On the boundary behavior of open discrete mappings with unbounded characteristic
We study the problem of extension of mappings $f : D → R^n,\; n ≥ 2$, to the boundary of a domain $D$. Under certain conditions imposed on a measurable function $Q(x),\; Q: D → [0, ∞]$, and the boundaries of the domains $D$ and $D' = f(D)$, we show that an open discrete mapping $f : D → R^...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2623 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508554763436032 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:57Z |
| description | We study the problem of extension of mappings $f : D → R^n,\; n ≥ 2$, to the boundary of a domain $D$. Under certain conditions imposed on a measurable function $Q(x),\; Q: D → [0, ∞]$, and the boundaries of the domains $D$ and $D' = f(D)$, we show that an open discrete mapping $f : D → R^n,\; n ≥ 2$, with quasiconformality characteristic $Q(x)$ can be extended
to the boundary $\partial D$ by continuity. The obtained statements extend the corresponding Srebro’s result to mappings with bounded distortion. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
E. А. Севостьянов (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
We study the problem of extension of mappings f : D → Rn, n ≥ 2, to the boundary of a domain D. Under certain
conditions imposed on a measurable function Q(x), Q : D → [0,∞], and the boundaries of the domains D and D ′ = f(D),
we show that an open discrete mapping f : D → Rn, n ≥ 2, with quasiconformality characteristic Q(x) can be extended
to the boundary ∂D by continuity. The obtained statements extend the corresponding Srebro’s result to mappings with
bounded distortion.
Вивчаються питання продовження вiдображень f : D → Rn, n ≥ 2, на межу областi D. За певних умов на вимiрну
функцiю Q(x), Q : D → [0,∞], i межi областей D i D ′ = f(D), показано, що вiдкрите дискретне вiдобра-
ження f : D → Rn, n ≥ 2, яке має характеристику квазiконформностi Q(x), продовжується неперервним чином
на межу ∂D. Отриманi твердження поширюють вiдповiдний результат У. Сребро для вiдображень з обмеженим
спотворенням.
1. Введение. Всюду далее D — область в Rn, n ≥ 2, m — мера Лебега Rn, запись f : D → Rn
предполагает, что отображение f, заданное в области D, непрерывно. Основные определения
и обозначения, используемые в настоящей работе, но не приводимые ниже, можно найти,
например, в статьях [1, 2], а также в монографии [3]. Границу ∂D, замыкание D области
D ⊂ Rn (либо области D ⊂ Rn), а также наличие предела для отображения f : D → Rn
(либо f : D → Rn) в дальнейшем будем понимать в смысле пространства Rn относительно
хордальной метрики h, определенной соотношениями
h(x,∞) =
1√
1 + |x|2
, h(x, y) =
|x− y|√
1 + |x|2
√
1 + |y|2
, x 6=∞ 6= y .
Основной целью настоящей статьи является распространение одного утверждения, извест-
ного для отображений с ограниченным искажением (см., например, [4, 5]), на более широкий
класс отображений. По этому поводу см. теорему 4.2 в работе У. Сребро [6], а также теорему
4.10 в диссертации М. Вуоринена [7] (разд. 4, гл. II). Пусть E, F ⊂ Rn — произвольные множе-
ства. Обозначим через Γ(E,F,D) семейство всех кривых γ : [a, b] → Rn, которые соединяют
E и F в D, т. е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b). Здесь и далее
A(r1, r2, x0) := {x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2} . (1)
Введeм в рассмотрение следующую конструкцию (см. разд. 7.6, гл. VII в [3]). Пусть Q : Rn →
→ [0,∞] — измеримая по Лебегу функция, Q(x) ≡ 0 при всех x 6∈ D. Говорят, что отображение
f : D → Rn является кольцевым Q-отображением в точке x0 ∈ D, x0 6= ∞, если для неко-
торого r0 = r(x0) и произвольных сферического кольца A = A(r1, r2, x0), центрированного в
точке x0, радиусов r1, r2, 0 < r1 < r2 < r0 = r(x0), и любых континуумов E1 ⊂ B(x0, r1)∩D,
E2 ⊂
(
Rn \B(x0, r2)
)
∩D отображение f удовлетворяет соотношению
M (f (Γ (E1, E2, D))) ≤
∫
A
Q(x) · ηn(|x− x0|) dm(x) (2)
c© Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6 855
856 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
для каждой измеримой функции η : (r1, r2)→ [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr ≥ 1 . (3)
Отметим, что при Q(x) ≤ K ′ соотношение (2) влечет условие M(f(Γ)) ≤ K ′ · M(Γ) для
семейств кривых Γ, соединяющих сферы S(x0, r1) и S(x0, r2), как только x0 ∈ D и 0 < r1 <
< r2 < dist(x0, ∂D); это, вообще говоря, нельзя утверждать относительно любого семейства Γ
кривых γ в D. Отметим также, что произвольное отображение f с ограниченным искажением
удовлетворяет соотношениям вида (2), (3) с Q, равным некоторой постоянной.
Будем говорить, что граница ∂D области D сильно достижима в точке x0 ∈ ∂D, если
для любой окрестности U точки x0 найдутся компакт E ⊂ D, окрестность V ⊂ U точки x0 и
число δ > 0 такие, что M(Γ(E,F,D)) ≥ δ для любого континуума F в D, пересекающего ∂U
и ∂V (см., например, разд. 3.8 в [3]). Одним из наиболее важных результатов настоящей статьи
является следующее утверждение.
Утверждение. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое Q-отображение в
точке b ∈ ∂D, f(D) = D ′, область D локально связна в точке b, C(f, ∂D) ⊂ ∂D ′ и область
D ′ сильно достижима хотя бы в одной точке y ∈ C(f, b). Предположим, что функция Q
имеет конечное среднее колебание в точке b. Тогда C(f, b) = {y}.
2. Формулировка и доказательство основной леммы. Следующая лемма доказана В. И. Ря-
зановым и Р. Р. Салимовым для случая гомеоморфизмов (см. лемму 5.1 [8]) и представляет собой
основной результат настоящей работы в наиболее общем случае.
Лемма 1. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое Q-отображение в
точке b ∈ ∂D, b 6= ∞, f(D) = D ′, область D локально связна в точке b, C(f, ∂D) ⊂ ∂D ′
и область D ′ сильно достижима хотя бы в одной точке y ∈ C(f, b). Предположим, что
найдутся ε0 > 0 и некоторая положительная измеримая функция ψ(t), ψ : (0, ε0) → (0,∞),
такая, что для всех ε ∈ (0, ε0)
0 < I(ε) =
ε0∫
ε
ψ(t)dt <∞ (4)
и при ε→ 0 ∫
A(ε,ε0,b)
Q(x) · ψ n(|x− b|) dm(x) = o(In(ε)) , (5)
где A := A(ε, ε0, b) определено в (1). Тогда C(f, b) = {y}.
Доказательство. Предположим противное. Тогда найдутся, по крайней мере, две после-
довательности xi, x
′
i ∈ D, i = 1, 2, . . . , такие, что xi → b, x ′i → b при i → ∞, f(xi) → y,
f(x ′i ) → y ′ при i → ∞ и y ′ 6= y. Отметим, что y и y ′ принадлежат ∂D ′, так как по условию
C(f, ∂D) ⊂ ∂D ′. По определению сильно достижимой границы в точке y ∈ ∂D ′ для любой
окрестности U этой точки найдутся компакт C ′0 ⊂ D ′, окрестность V точки y, V ⊂ U, и число
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ . . . 857
δ > 0 такие, что
M(Γ(C ′0, F,D
′)) ≥ δ > 0 (6)
для произвольного континуума F, пересекающего ∂U и ∂V. В силу предположения C(f, ∂D) ⊂
⊂ ∂D ′ для C0 := f −1(C ′0) выполнено условие C0 ∩ ∂D = ∅. Тогда, не ограничивая общности
рассуждений, можно считать, что C0 ∩ B(b, ε0) = ∅. Поскольку область D локально связна в
точке b, можно соединить точки xi и x ′i кривой γi, лежащей в V ∩D. Можно также считать,
что γi ∈ B(b, 2−i) ∩D. Поскольку f(xi) ∈ V и f(x ′i ) ∈ D \ U при всех достаточно больших
i ∈ N, найдeтся номер i0 ∈ N такой, что согласно (6)
M(Γ(C ′0, f(γi), D
′)) ≥ δ > 0 (7)
при всех i ≥ i0 ∈ N. Обозначим через Γi семейство всех полуоткрытых кривых βi : [a, b)→ Rn
таких, что βi(a) ∈ f(γi), βi(t) ∈ D ′ при всех t ∈ [a, b) и, кроме того, limt→b−0 βi(t) := Bi ∈ C ′0.
Очевидно, что
M(Γi) = M
(
Γ
(
C ′0, f(γi), D
′)) . (8)
При каждом фиксированном i ∈ N, i ≥ i0, рассмотрим семейство Γ ′i максимальных поднятий
αi(t) : [a, c) → D семейства Γi с началом во множестве γi. Такое семейство существует и
определено корректно в силу следствия 3.3 гл. II в [5] (см. также замечание, приведенное выше).
Прежде всего заметим, что никакая кривая αi(t) ∈ Γ ′i , αi : [a, c) → D, не может стремиться
к границе области D при t → c − 0 в силу условия C(f, ∂D) ⊂ ∂D ′. Тогда C(αi(t), c) ⊂ D.
Предположим теперь, что кривая αi(t) не имеет предела при t → c − 0. Тогда предельное
множество C(αi(t), c) является континуумом вD. В силу непрерывности отображения f имеем
f ≡ const на C(αi(t), c), что противоречит предположению о дискретности f.
Следовательно, существует limt→c−0 αi(t) = Ai ∈ D. Отметим, что в этом случае по опре-
делению максимального поднятия c = b. Тогда, с одной стороны, limt→b−0 αi(t) := Ai, а с
другой — в силу непрерывности отображения f в D
f(Ai) = lim
t→b−0
f(αi(t)) = lim
t→b−0
βi(t) = Bi ∈ C ′0 .
Отсюда по определению C0 следует, чтоAi принадлежит C0. Погрузим компакт C0 в некоторый
континуумC1, все еще полностью лежащий в областиD (см. лемму 1 в [9]). За счет уменьшения
ε0 > 0 можно снова считать, что C1 ∩B(b, ε0) = ∅. Заметим, что функция
η(t) =
{
ψ(t)/I(2−i), t ∈ (2−i, ε0),
0, t ∈ R \ (2−i, ε0) ,
где I(ε) :=
∫ ε0
ε ψ(t)dt, удовлетворяет условию нормировки вида (3) при r1 := 2−i, r2 := ε0,
поэтому в силу определения кольцевого Q-отображения в граничной точке, а также условий
(4), (5)
M
(
f
(
Γ ′i
))
≤ ∆(i) , (9)
где ∆(i)→ 0 при i→∞. Однако Γi = f(Γ ′i ), поэтому из (9) получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
858 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
M(Γi) = M
(
f(Γ ′i )
)
≤ ∆(i)→ 0 при i→∞. (10)
Но соотношение (10) вместе с равенством (8) противоречат неравенству (7), что и доказывает
лемму.
3. Основные результаты. Пусть Q : D → [0,∞] — измеримая по Лебегу функция, тогда
qx0(r) обозначает среднее интегральное значение Q(x) над сферой |x − x0| = r, qx0(r) :=
:=
1
ωn−1rn−1
∫
|x−x0|=r
Q(x) dS, где dS — элемент площади поверхности S. Полагаем
q ′b(r) :=
1
ωn−1rn−1
∫
|x−b|=r
Q ′(x) dS , Q ′(x) =
{
Q(x), Q(x) ≥ 1 ,
1, Q(x) < 1 .
(11)
Основным результатом настоящей работы является следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое Q-отображение в
точке b ∈ ∂D, b 6= ∞, f(D) = D ′, область D локально связна в точке b, C(f, ∂D) ⊂ ∂D ′
и область D ′ сильно достижима хотя бы в одной точке y ∈ C(f, b). Предположим, что
выполнено хотя бы одно из следующих условий: 1) функцияQ имеет конечное среднее колебание
в точке b; 2) qb(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0; 3) при некотором δ(b) > 0 выполнено
условие
δ(b)∫
0
dt
tq
′ 1
n−1
b (t)
=∞ . (12)
Тогда C(f, b) = {y}.
Доказательство. Утверждение теоремы непосредственно вытекает из доказанной выше
леммы 1 и леммы 8 в [1].
Замечание 1. Теорему 1 можно распространить на случай b = ∞, если в этой точке
определить, например, с помощью инверсии ϕ(z) =
z
|z|2
соответствующие условия 1 – 3 этой
теоремы.
Пусть Φ: [0,∞] → [0,∞] — неубывающая функция. Тогда обратная функция Φ−1 может
быть корректно определена следующим образом:
Φ−1(τ) = inf
Φ(t)≥τ
t . (13)
Как обычно, инфимум в (13) равен ∞, если множество t ∈ [0,∞] таких, что Φ(t) ≥ τ, пусто.
Заметим, что функция Φ−1 также является неубывающей.
Теорема 2. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое Q-отображение в
точке b ∈ ∂D, f(D) = D ′, область D локально связна в точке b, C(f, ∂D) ⊂ ∂D ′ и область
D ′ сильно достижима хотя бы в одной точке y ∈ C(f, b). Предположим, что существуют
число M > 0, неубывающая выпуклая функция Φ: [0,∞] → [0,∞] и окрестность U точки b
такие, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОТКРЫТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ . . . 859∫
U
Φ
(
Q ′(x)
) dm(x)
(1 + |x|2)n
≤ M (14)
и
∫ ∞
δ0
dτ
τ [Φ−1(τ)]
1
n−1
=∞ при некотором δ0 > Φ(0). Тогда C(f, b) = {y}.
Функция Q ′, содержащаяся в неравенстве (14), определена соотношением (11). Заметим,
что случай b =∞ здесь также допускается.
Доказательство. Из теоремы 3.1 в [2] следует расходимость интеграла вида (12) при
некотором δ(b) > 0, остальное следует из леммы 1 и леммы 8 в [1].
Замечание 2. Соотношения вида (2) установлены для многих классов отображений, на-
пример для так называемых отображений с конечным искажением длины при явных значениях
Q(x) (см., например, теорему 8.5 в [3], а также работу [10]).
1. Севостьянов Е. А. О точках ветвления отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности //
Сиб. мат. журн. – 2010. – 51, № 5. – С. 1129 – 1146.
2. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенная непрерывность квазиконформных в среднем отображений //
Сиб. мат. журн. – 2011. – 52, № 3. – С. 665 – 679.
3. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Sci. +
Business Media, LLC, 2009.
4. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск: Наука, 1982.
5. Rickman S. Quasiregular mappings // Results in Math. and Relat. Areas. – 1993. – 26, № 3.
6. Srebro U. Conformal capacity and quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I. Math. – 1973. – 529. –
P. 1 – 8.
7. Vuorinen M. Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in n-space // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Ser. A 1. Math. Diss. – 1976. – 11. – P. 1 – 44.
8. Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений // Укр. мат. вестн.
– 2007. – 4, № 2. – P. 199 – 234.
9. Смоловая Е. С. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах // Укр. мат.
журн. – 2010. – 62, № 5. – С. 682 – 689.
10. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math. and Math.
Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
Получено 12.10.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2623 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:04Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a1/590a5385f5e23255e535ece9b1ea9da1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26232020-03-18T19:30:57Z On the boundary behavior of open discrete mappings with unbounded characteristic О граничном поведении открытых дискретных отображений с неограниченной характеристикой Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. We study the problem of extension of mappings $f : D → R^n,\; n ≥ 2$, to the boundary of a domain $D$. Under certain conditions imposed on a measurable function $Q(x),\; Q: D → [0, ∞]$, and the boundaries of the domains $D$ and $D' = f(D)$, we show that an open discrete mapping $f : D → R^n,\; n ≥ 2$, with quasiconformality characteristic $Q(x)$ can be extended to the boundary $\partial D$ by continuity. The obtained statements extend the corresponding Srebro’s result to mappings with bounded distortion. Вивчаються питання продовження вiдображень $f : D → R^n,\; n ≥ 2$, на межу областi $D$. За певних умов на вимiрну функцiю $Q(x),\; Q: D → [0, ∞]$, i межi областей $D$ i $D' = f(D)$, показано, що вiдкрите дискретне вiдображення $f : D → R^n,\; n ≥ 2$, яке має характеристику квазiконформностi $Q(x)$, продовжується неперервним чином на межу $\partial D$. Отриманi твердження поширюють вiдповiдний результат У. Сребро для вiдображень з обмеженим спотворенням. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2623 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 6 (2012); 855-859 Український математичний журнал; Том 64 № 6 (2012); 855-859 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2623/2005 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2623/2006 Copyright (c) 2012 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. On the boundary behavior of open discrete mappings with unbounded characteristic |
| title | On the boundary behavior of open discrete mappings with unbounded characteristic |
| title_alt | О граничном поведении открытых дискретных отображений с неограниченной характеристикой |
| title_full | On the boundary behavior of open discrete mappings with unbounded characteristic |
| title_fullStr | On the boundary behavior of open discrete mappings with unbounded characteristic |
| title_full_unstemmed | On the boundary behavior of open discrete mappings with unbounded characteristic |
| title_short | On the boundary behavior of open discrete mappings with unbounded characteristic |
| title_sort | on the boundary behavior of open discrete mappings with unbounded characteristic |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2623 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea ontheboundarybehaviorofopendiscretemappingswithunboundedcharacteristic AT sevostʹânovea ontheboundarybehaviorofopendiscretemappingswithunboundedcharacteristic AT sevostʹânovea ontheboundarybehaviorofopendiscretemappingswithunboundedcharacteristic AT sevost039yanovea ograničnompovedeniiotkrytyhdiskretnyhotobraženijsneograničennojharakteristikoj AT sevostʹânovea ograničnompovedeniiotkrytyhdiskretnyhotobraženijsneograničennojharakteristikoj AT sevostʹânovea ograničnompovedeniiotkrytyhdiskretnyhotobraženijsneograničennojharakteristikoj |