On generalized solutions of differential equations with several operator coefficients
The theorem on the smoothness of generalized solutions of differential equations with some operational coefficients is proved.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2624 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508554799087616 |
|---|---|
| author | Chernobai, O. B. Чернобай, О. Б. |
| author_facet | Chernobai, O. B. Чернобай, О. Б. |
| author_sort | Chernobai, O. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:57Z |
| description | The theorem on the smoothness of generalized solutions of differential equations with some operational coefficients is proved. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. Б. Чернобай (Нац. ун-т ДПС України, Iрпiнь)
ПРО УЗАГАЛЬНЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З КIЛЬКОМА ОПЕРАТОРНИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
The theorem on the smoothness of generalized solutions of differential equations with some operational coefficients is
proved.
Доказана теорема о гладкости обобщенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений с несколькими
операторними коэффициентами.
У данiй статтi розглядаються узагальненi розв’язки операторного рiвняння L+(u) = 0, де L —
звичайний диференцiальний оператор зi змiнними вiдносно t операторнозначними коефiцiєн-
тами, якi дiють у фiксованому гiльбертовому просторi; L+ — формально спряжений до нього.
Результати цiєї роботи узагальнюють результати, отриманi в [1], а також пов’язанi з роботами
[2 – 8].
НехайH — повний сепарабельний комплексний гiльбертовий простiр зi скалярним добутком
(., .) i нормою ‖ · ‖, L(H) — сукупнiсть усiх обмежених операторiв у H. Позначимо I = (−l, l),
l ≤ ∞. Ĩ — його замикання.
Розглянемо L2(H, I) = L2(I) ⊗H, де L2(I) — простiр L2, побудований по мiрi Лебега dx
на iнтервалi I (див., наприклад, [7], гл.1, § 3).
Для довiльного k = 1, 2, . . . вiзьмемо вiдоме (див. [9]) гiльбертове оснащення простору
L2(I) соболевськими просторами
W−k2,0 (I) ⊃ L
2(I) ⊃W k
2,0(I),
де W k
2,0(I) — пiдпростiр соболевського простору W k
2 (I), що складається з функцiй u ∈W k
2 (I),
для яких u(0) = 0. Побудуємо наступнi тензорнi добутки просторiв:
W−k2,0 (I)⊗H =W−k2,0 (H, I), W
k
2,0(I)⊗H =W k
2,0(H, I).
В результатi отримаємо гiльбертове оснащення простору L2(H, I) :
W−k2,0 (H, I) ⊃ L
2(H, I) ⊃W k
2,0(H, I). (1)
У просторi H розглянемо рiвномiрно обмеженi неперервнi операторнi коефiцiєнти A0(t),
A1(t), . . . , Am(t), t ∈ I; A∗0(t), A∗1(t), . . . , A∗m(t) — спряженi до них. Побудуємо диференцiаль-
ний вираз
(Lu)(t) =
(
m∑
k=0
Ak(t)
dk
dtk
)
u, u ∈Wm
2,0(H, I), (2)
де m = 1, 2, . . . .
Формально спряжений диференцiальний вираз вiдносно простору L2(H, I) є таким:
(L+u)(t) =
m∑
k=0
(−1)kA∗k(t)
dk
dtk
u(t), u ∈Wm
2,0(H, I). (3)
c© О. Б. ЧЕРНОБАЙ, 2012
860 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
ПРО УЗАГАЛЬНЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ДИФЕРЕЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З КIЛЬКОМА ОПЕРАТОРНИМИ . . . 861
Множину всiх неперервних векторнозначних функцiй Ĩ 3 t 7−→ f(t) ∈ H позначимо через
C(H, Ĩ), а множину фiнiтних на I, k разiв неперервно диференцiйовних функцiй з C(H, Ĩ) —
через Ck0 (H, I), k = 0, 1, . . . ,∞.
Векторнозначну функцiю ϕ(t) ∈W−l2,0(H, I), де l = 1, 2, . . . , назвемо узагальненим розв’яз-
ком рiвняння L+u = 0 всерединi iнтервалу I, якщо
(ϕ,Lv)L2(H,I) = 0 ∀v ∈ C∞0 (H, I). (4)
Пiд фундаментальним розв’язком розумiють операторнозначну функцiю
Ĩ × Ĩ 3 (t, τ) 7−→ E(t, τ) ∈ L(H),
що має такi властивостi:
1) при кожному фiксованому τ ∈ Ĩ , τ 6= t, iснують частиннi похiднi (DtE)(t, τ) як завгодно
високого порядку, неперервнi по (t, τ) в кожному з трикутникiв
{(t, τ) ∈ Ĩ × Ĩ | t ≤ τ}, {(t, τ) ∈ Ĩ × Ĩ | t ≥ τ}; (5)
2) справджується рiвнiсть
L
∫
I
E(t, τ)f(τ)dτ
= f(t),
де t ∈ Ĩ , а f(t) — векторнозначна функцiя з простору C(H, I).
Ми будемо припускати коефiцiєнти виразу L такими, що вказаний фундаментальний розв’я-
зок iснує. Умови на коефiцiєнти, якi забезпечують його iснування, можна знайти в роботах [4,
8, 10 – 14].
Теорема 1. Будь-який узагальнений розв’язок ϕ(t) ∈ W−l2,0(H, I), l = 1, 2, . . . , рiвняння
L+u = 0, входить в W p
2 (H, I) при будь-якому p = 1, 2, . . . , тобто є звичайним.
Доведення (воно узагальнює на диференцiальнi вирази з операторними коефiцiєнтами вiд-
повiдне доведення з [9] (гл. 16, § 6, п. 1) та результати, доведенi в [1]). Спочатку покажемо, що
для кожної точки t0 ∈ I iснує окiл U(t0) = (t0−ε, t0+ε) ⊆ I такий, що ϕ(t) ∈W p
2,loc(H,U(t0)),
де iндекс loc означає локальне входження у простiр.
Зафiксуємо t0 ∈ I i виберемо ε > 0 досить малим так, щоб (t0 − 3ε, t0 + 3ε) ⊆ I.
Нехай k(x) ∈ C∞(R) анулюється при |x| ≥ ε i дорiвнює одиницi в деякому околi нуля. По
векторнозначнiй функцiї ω ∈ C∞0 (H,U(t0)) побудуємо векторнозначну функцiю на I :
v(t) =
∫
I
k(t− τ)E(t, τ)ω(τ)dτ =
=
∫
U(t0)
[k(t− τ)− 1]E(t, τ)ω(τ)dτ +
∫
U(t0)
E(t, τ)ω(τ)dτ, t ∈ I. (6)
Ця векторнозначна функцiя анулюється при |t − t0| ≥ 2ε, тому є фiнiтною вiдносно I. Вона
гладка− входить вC∞0 (H, I).Це випливає з диференцiювання пiд знаком iнтеграла та наявностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
862 О. Б. ЧЕРНОБАЙ
похiдних (DtE)(t, τ) при t 6= τ довiльного порядку, неперервних в обох трикутниках (5).
(Вiдмiтимо, що таку ж гладкiсть мають обидва iнтеграли рiвностi (6).) Отже, функцiю v(t)
можна пiдставити у рiвнiсть (4).
Враховуючи другу властивiсть фундаментального розв’язку, маємо
(Lv)(t) =
∫
U(t0)
Lt ([k(t− τ)− 1]E(t, τ))ω(τ)dτ + ω(t), t ∈ Ĩ . (7)
Розглянемо ядроK(t, τ) = Lt ([k(t− τ)− 1]E(t, τ)) , t, τ ∈ Ĩ . Враховуючи ануляцiю множ-
ника k(t− τ)− 1 в околi дiагоналi t = τ та наведенi властивостi фундаментального розв’язку,
переконаємося, що iснують похiднi довiльного порядку (DtDτK)(t, τ) для всiх t, τ ∈ Ĩ , до
того ж неперервнi по (t, τ) ∈ Ĩ × Ĩ .
У просторi L2(H, I) визначимо оператор
(Bu)(t) =
∫
I
K(t, τ)u(τ)dτ, u ∈ L2(H, I), t ∈ Ĩ . (8)
Зауважимо, що функцiя (Bu)(t) нескiнченне число разiв диференцiйовна. Оператор (8) можна
розширити по неперервностi до оператора, що дiє неперервно з простору W−p2,0 (H, I) у простiр
W p
2,0(H, I), де p = 1, 2, . . . .
Для доведення зафiксуємо β = 0, . . . , p i введемо ядро
Lβ(t, τ) = (Dβ
t K)(t, τ), t, τ ∈ Ĩ .
Таким чином,
(DβBu)(t) =
∫
I
Lβ(t, τ)u(τ)dτ, u ∈ L2(H, I), t ∈ Ĩ .
Для u ∈ L2(H, I) i будь-якого f ∈ H маємо
|((DβBu)(t), f)H | =
∣∣∣∣∣∣
∫
I
Lβ(t, τ)u(τ), f)Hdτ
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
∫
I
(u(τ), L∗β(t, τ)f)Hdτ
∣∣∣∣∣∣ ≤
∫
I
∣∣(u(τ), L∗β(t, τ)f)L2(H,I)
∣∣ dτ ≤
≤ (b− a)‖u‖W−p
2,0 (H,I)
‖L∗β(t, ·)f‖W p
2,0(H,I)
. (9)
Оскiльки Lβ(t, ·) — гладке ядро, то i L∗β(t, τ) = (Lβ(t, τ))
∗ буде таким. Тодi з деякою сталою
cβ > 0
‖L∗β(t, ·)f‖W p
2,0(H,I)
≤ cβ‖f‖H .
Далi, з (9) для будь-якого f ∈ H отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
ПРО УЗАГАЛЬНЕНI РОЗВ’ЯЗКИ ДИФЕРЕЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З КIЛЬКОМА ОПЕРАТОРНИМИ . . . 863
|((DβBu)(x), f)H | ≤ ‖u‖W−p
2,0 (H,I)
cβ‖f‖H , t ∈ Ĩ .
Завдяки довiльностi f ∈ H це означає, що
‖(DβBu)(t)‖H ≤ cβ‖u‖W−p
2,0 (H,I)
, t ∈ Ĩ . (10)
Тепер зазначимо, що для нескiнченно диференцiйовної векторнозначної функцiї Ĩ 3 t 7−→
7−→ v(t) ∈ H очевидно виконується нерiвнiсть
‖v‖W p
2,0(H,I)
≤ c
p∑
β=0
max
t∈Ĩ‖(D
βv)(t)‖H , (11)
де c > cβ — деяка стала.
З нерiвностей (10) i (11) випливає, що з деяким d > 0
‖Bu‖W p
2,0(H,I)
≤ c
p∑
β=0
max
t∈Ĩ‖(D
βBu)(t)‖H ≤ d‖u‖W−p
2,0 (H,I)
. (12)
Нерiвнiсть (12) означає, що оператор B дiє неперервно з простору W−p2,0 (H, I) у простiр
W p
2,0(H, I), що й потрiбно було довести.
Але тодi спряжений вiдносно L2(H, I) в ланцюжку (1) з k = p оператор B+ також дiє
неперервно з простору W−p2,0 (H, I) у простiр W p
2,0(H, I). Використовуючи рiвностi (7), (8),
маємо
Lv = Bω + ω, ω ∈ C∞0 (H,U(t0)).
Пiдставимо цю рiвнiсть у спiввiдношення (4):
0 = (ϕ,Lv)L2(H,I) = (ϕ,Bω)L2(H,I) + (ϕ, ω)L2(H,I) =
= (B+ϕ, ω)L2(H,I) + (ϕ, ω)L2(H,I) .
Таким чином, для будь-якого ω ∈ C∞0 (H,U(t0))
(ϕ, ω)L2(H,I) = (−B+ϕ, ω)L2(H,I) ,
де −B+ϕ ∈W p
2,0(H, I), а це означає, що
ϕ(t) ∈W p
2,loc(H, I). (13)
Позбудемось iндексу loc у включеннi (13). Вiдповiдно до теорем вкладення W p
2,loc(H, I) ⊂
⊂ C(H, I). Зафiксуємо c ∈ (a, b) i позначимо через ϕ розв’язок ω задачi Кошi на Ĩ = (a, b)
(L+ω)(t) = 0, t ∈ Ĩ , ω(c) = ϕ(c).
Згiдно з класичними теоремами цей розв’язок iснує i входить у W p
2,0(H, I). З iншого боку,
функцiя ϕ(t) також є розв’язком цiєї задачi Кошi в деякому околi точки c. Внаслiдок єдиностi
розв’язку задачi Кошi ϕ(t) = ω(t), t ∈ I, отже, ω = ϕ ∈ W p
2,0(H, I) i є розв’язком рiвняння
(L+ϕ)(t) = 0, t ∈ Ĩ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
864 О. Б. ЧЕРНОБАЙ
Зауваження 1. Оскiльки ϕ ∈W p
2,0(H, I) з як завгодно великим p = 1, 2, . . . , то це означає,
що ϕ ∈ C∞(H, I).
Зауваження 2. Одержаний результат залишається справедливим, якщо за простiр W k
2,0(I)
взяти пiдпростiр соболевського простору W k
2 (I), що складається з функцiй, для яких u(0) =
=
du
dt
(0) = . . . =
dlu
dtl
(0) = 0, де l < k є фiксованим.
Зауваження 3. Теорему, подiбну до теореми 1, можна довести i для неоднорiдного рiвняння
типу 1 – 3 (пор. з [9], гл.14, § 6).
1. Чернобай О. Б. Про узагальненi розв’язки диференцiальних рiвнянь з операторними коефiцiєнтами // Укр.
мат. журн. – 2006. – 58, № 5. – С. 715 – 720.
2. Горбачук М. Л. О представлении положительно определенных операторных функций // Укр. мат. журн. –
1965. – 17, № 2. – С. 29 – 46.
3. Горбачук М. Л., Кашпировский А. И. О слабых решениях дифференциальных уравнений в гильбертовом
пространстве // Укр. мат. журн. – 1981. – 17, № 4. – С. 513 – 518.
4. Кашпировский А. И. Граничные значения решений некоторых классов однородных дифференциальных урав-
нений в гильбертовом пространстве: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1981. – 18 с.
5. Чернобай О. Б. Спектральне представлення для узагальнених операторнозначних ядер Теплiца // Укр. мат.
журн. – 2005. – 57, № 12. – С. 1698 – 1710.
6. Berezansky Yu. M., Chernobai O. B. On the theory of generalized Toeplitz kernels // Укр. мат. журн. – 2000. – 52,
№ 11. – С. 1458 – 1472.
7. Горбачук М. Л., Горбачук В. И. Граничные задачи для диференциальных операторных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 1994. – 284 с.
8. Кочубей А. Н. Фундаментальные решения дифференциально-операторных уравнений // Дифференц. уравне-
ния. – 1977. – 13, № 9. – С. 1588 – 1597.
9. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. – Киев: Вища шк., 1990. – 600 с.
10. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1971.
11. Трев Ж. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. – М.:
Мир, 1965. – 296 с.
12. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом простран-
стве. – М.: Наука, 1970. – 534 с.
13. Tsar’kov M. Yu. Solvability of differential equations with operator coefficients // J. Math. Sci. – 2001. – 103, № 1. –
P. 131 – 134.
14. Aydin Akgun, Fatma. On the Green function of a second order differential equation with operator coefficient // An.
Univ. Oradea. Fasc. Mat. – 2006. – 13. – P. 5 – 22.
Отримано 20.12.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2624 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:04Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/77/9b46e1b85e5f4a239cce7e83daf33977.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26242020-03-18T19:30:57Z On generalized solutions of differential equations with several operator coefficients Про узагальнені розв'язки диференціальних рівнянь з кількома операторними коефіцієнтами Chernobai, O. B. Чернобай, О. Б. The theorem on the smoothness of generalized solutions of differential equations with some operational coefficients is proved. Доказана теорема о гладкости обобщенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений с несколькими операторними коэффициентами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2624 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 6 (2012); 860-864 Український математичний журнал; Том 64 № 6 (2012); 860-864 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2624/2007 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2624/2008 Copyright (c) 2012 Chernobai O. B. |
| spellingShingle | Chernobai, O. B. Чернобай, О. Б. On generalized solutions of differential equations with several operator coefficients |
| title | On generalized solutions of differential equations with several operator coefficients |
| title_alt | Про узагальнені розв'язки диференціальних рівнянь з кількома операторними коефіцієнтами |
| title_full | On generalized solutions of differential equations with several operator coefficients |
| title_fullStr | On generalized solutions of differential equations with several operator coefficients |
| title_full_unstemmed | On generalized solutions of differential equations with several operator coefficients |
| title_short | On generalized solutions of differential equations with several operator coefficients |
| title_sort | on generalized solutions of differential equations with several operator coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2624 |
| work_keys_str_mv | AT chernobaiob ongeneralizedsolutionsofdifferentialequationswithseveraloperatorcoefficients AT černobajob ongeneralizedsolutionsofdifferentialequationswithseveraloperatorcoefficients AT chernobaiob prouzagalʹnenírozv039âzkidiferencíalʹnihrívnânʹzkílʹkomaoperatornimikoefícíêntami AT černobajob prouzagalʹnenírozv039âzkidiferencíalʹnihrívnânʹzkílʹkomaoperatornimikoefícíêntami |