Local deformations of positive-definite quadratic forms
We give a complete description of real numbers that are $P$-limit numbers for integer-valued positive-definite quadratic forms with unit coefficients of the squares. It is shown that each of these $P$-limit numbers is realized in the Tits quadratic form of a Dynkin diagram.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2626 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508559521873920 |
|---|---|
| author | Bondarenko, V. V. Bondarenko, V. M. Pereguda, Yu. N. Бондаренко, В. В. Бондаренко, В. М. Перегуда, Ю. Н. Бондаренко, В. В. Бондаренко, В. М. Перегуда, Ю. Н. |
| author_facet | Bondarenko, V. V. Bondarenko, V. M. Pereguda, Yu. N. Бондаренко, В. В. Бондаренко, В. М. Перегуда, Ю. Н. Бондаренко, В. В. Бондаренко, В. М. Перегуда, Ю. Н. |
| author_sort | Bondarenko, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:31:34Z |
| description | We give a complete description of real numbers that are $P$-limit numbers for integer-valued positive-definite quadratic forms with unit coefficients of the squares. It is shown that each of these $P$-limit numbers is realized in the Tits quadratic form of a Dynkin diagram. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.64+519.17
В. М. Бондаренко, В. В. Бондаренко (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
Ю. Н. Перегуда (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко)
ЛОКАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ
КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
We give a complete description of real numbers that are P -limit numbers for integer-valued positive-definite quadratic
forms with unit coefficients of the squares. It is shown that each of these P -limit numbers is realized in the Tits quadratic
form of a Dynkin diagram.
Наведено повний опис дiйсних чисел, якi є P -граничними для цiлочислових додатно означених квадратичних форм з
одиничними коефiцiєнтами бiля квадратiв. Показано, що кожне таке P -граничне число реалiзується на квадратичнiй
формi Тiтса деякої дiаграми Динкiна.
1. Введение. Деформацией квадратичной формы f(z) мы называем семейство квадратичных
форм, параметризованных точками некоторого многообразия, одной из точек которого соот-
ветствует квадратичная форма f(z). В настоящей статье рассматриваются квадратичные формы
f(z) = f(z1, . . . , zn) =
n∑
i=1
fiiz
2
i +
∑
i<j
fijzizj
над полем действительных чисел R и их деформации вида
f (s)(z, a) = f (s)(z1, . . . , zn, a) = afssz
2
s +
∑
i 6=s
fiiz
2
i +
∑
i<j
fijzizj
с (пробегающим прямую R) параметром a, которые мы называем локальными. Изучение таких
деформаций начато в работе [1].
Число c назовем P -граничным числом для zs или s-м P -граничным числом
(
для формы
f(z)
)
, если квадратичная форма f (s)(z, x) является положительно определенной для любого
x > c, а форма f (s)(z, c) таковой не является; если же такого числа c не существует (а это может
случиться только для не положительно определенной формы), то в этом случае P -граничным
числом считаем∞.
Основной целью данной статьи является описание подмножества L+ ⊂ R, состоящего из
всех P -граничных чисел для всех целочисленных положительно определенных квадратичных
форм f(z) с единичными коэффициентами при квадратах (fii = 1 для любого i), а также
подмножеств L+
n ⊂ L+, соответствующих неразложимым квадратичным формам от n пере-
менных. Для таких квадратичных форм все P -граничные числа являются рациональными и
справедливы следующие теоремы.
Теорема A.
L+ =
{
1− 1
2a
− 1
2b
∣∣∣∣ a, b ∈ N
}⋃{
1− 2
c+ 1
∣∣∣∣ c ∈ N
}
=
=
{
1− 1
2a
− 1
2b
∣∣∣∣ a, b ∈ N
}⋃{
1− 2
4r + 1
∣∣∣∣ r ∈ N
}
.
c© В. М. БОНДАРЕНКО, В. В. БОНДАРЕНКО, Ю. Н. ПЕРЕГУДА, 2012
892 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЛОКАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ . . . 893
Теорема B.
L+
1 = {0}, L+
2 =
{
1
4
}
, L+
3 =
{
1
3
,
1
2
}
, L+
4 =
{
3
8
,
1
2
,
7
12
,
3
4
}
,
L+
5 =
{
2
5
,
1
2
,
3
5
,
5
8
,
2
3
,
3
4
,
5
6
}
, L+
6 =
{
5
12
,
1
2
,
5
8
,
13
20
,
2
3
,
17
24
,
3
4
,
5
6
,
17
20
,
7
8
,
11
12
}
,
L+
7 =
{
3
7
,
1
2
,
2
3
,
5
7
,
11
15
,
3
4
,
5
6
,
6
7
,
7
8
,
9
10
,
11
12
,
14
15
,
23
24
}
,
L+
8 =
{
7
16
,
1
2
,
19
28
,
3
4
,
31
40
,
5
6
,
7
8
,
9
10
,
11
12
,
15
16
,
23
24
,
27
28
,
39
40
,
59
60
}
и для произвольного натурального числа n > 8
L+
n =
{
1− 1
2i
− 1
2(n+ 1− i)
∣∣∣∣ 1 ≤ i ≤ n}⋃{
1− 1
2j
∣∣∣∣ 1 ≤ j ≤ n− 2
}⋃{
1− 2
n
}
.
Заметим, что два подмножества, входящие в правую часть равенства, указанного в условии
теоремы A, пересекаются (но не совпадают) (см. п. 5).
2. Свойства локальных деформаций положительно определенных форм. Множество
всех положительно определенных (сокращенно: положительных) квадратичных форм от n пе-
ременнных
f(z) = f(z1, . . . , zn) =
n∑
i=1
fiiz
2
i +
∑
i<j
fijzizj
над полем действительных чисел R обозначим через R+
n (n — натуральное число).
Пусть f(z) ∈ R+
n и s ∈ {1, . . . , n}. Локальной деформацией f(z) относительно zs или
s-деформацией f(z) назовем квадратичную форму
f (s)(z, a) = f (s)(z1, . . . , zn, a) = afssz
2
s +
∑
i 6=s
fiiz
2
i +
∑
i<j
fijzizj
с (пробегающим прямую R) параметром a. Обозначим через F (s)
+ множество всех b ∈ R таких,
что форма f (s)(z, b) является положительной; очевидно, F (s)
+ ⊆ R+ = {r ∈ R | r > 0}. Положим
F
(s)
− = R \ F (s)
+ , т. е. c ∈ F
(s)
− , если существует ненулевой вектор x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
такой, что f (s)(x, c) ≤ 0; очевидно, что при этом c < 1. Поскольку из c ∈ F (s)
− следует, что
d ∈ F
(s)
− для произвольного d < c, супремум m
(s)
f = sup F
(s)
− является граничной точкой.
Легко показать, что m(s)
f — наибольший элемент F (s)
− (см. [1], теорема 2). Число m(s)
f будем
называть P -граничным числом для zs или s-м P -граничным числом (квадратичной формы f(z)).
Из изложенного следует такое утверждение.
Предложение 1. Все P -граничные числа квадратичной формы f(z) ∈ R+
n лежат на
полуоткрытом интервале [0, 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
894 В. М. БОНДАРЕНКО, В. В. БОНДАРЕНКО, Ю. Н. ПЕРЕГУДА
Отметим, что в силу той же теоремы 2 работы [1] квадратичная форма f (s)(z,m
(s)
f ) является
неотрицательно определенной.
Напомним, что квадратичная форма f(z) = f(z1, . . . , zn) называется разложимой, если
существует собственное подмножество S ⊂ N = {1, 2, . . . , n} такое, что fij = 0 при i ∈ S,
j ∈ N \ S и при i ∈ N \ S, j ∈ S; в противном случае форма называется неразложимой.
Обозначим через g = g(zi | i ∈ S) квадратичную форму от переменных zi, i ∈ S, которая
получается из разложимой формы f(z) „игнорированием” переменных zi, i ∈ N \S (т. е. в f(z)
нужно положить zi = 0 при i ∈ N \ S).
Непосредственно из определения P -граничных чисел имеем следующее утверждение.
Предложение 2. Пусть f(z) ∈ R+
n и s ∈ S. Тогда m(s)
g = m
(s)
f .
Определитель симметричной матрицы
M(f) =
1
2
2f11 f12 . . . f1,n−1 f1n
f12 2f22 . . . f2,n−1 f2n
...
...
. . .
...
...
f1,n−1 f2,n−1 . . . 2fn−1,n−1 fn−1,n
f1n f2n . . . fn−1,n 2fnn
квадратичной формы f = f(z) = f(z1, . . . , zn) называется дискриминантом формы и обозна-
чается D(f). В случае, когда f ∈ R+
n , дискриминант формы f является положительным.
Теорема 1. Пусть f = f(z) ∈ R+
n , где n > 1, и f↓s = f↓s(z1, . . . , zs−1, zs+1, . . . , zn)
обозначает (положительную) квадратичную форму f(z1, . . . , zs−1, 0, zs+1, . . . , zn), где 1 ≤ s ≤
≤ n. Тогда для P -граничных чисел m(s)
f формы f выполняется равенство
m
(s)
f = 1− D(f)
fssD(f↓s)
.
Доказательство. Можно считать, что s = n (в противном случае перенумеруем пере-
менные квадратичной формы f, причем при этом, очевидно, все входящие в доказываемое
равенство величины не изменятся). Рассмотрим симметричную матрицу квадратичной формы
f (n)(z, a) = f (n)(z1, . . . , zn, a) :
M(a) = M(f (n)(z, a)) =
1
2
2f11 f12 . . . f1,n−1 f1n
f12 2f22 . . . f2,n−1 f2n
...
...
. . .
...
f1,n−1 f2,n−1 . . . 2fn−1,n−1 fn−1,n
f1n f2n . . . fn−1,n 2afnn
.
Поскольку первые n − 1 угловых миноров этой матрицы совпадают с соответствующими ми-
норами матрицы M(f) (положительной формы f ), из критерия Сильвестра (утверждающего,
что вещественная квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда
положительны все ее угловые миноры) следует, что необходимым и достаточным условием
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЛОКАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ . . . 895
положительной определенности квадратичной формы f (n)(z, a) для фиксированного значения
параметра a является неравенство D(f (n)(z, a)) > 0.
Вычислим дискриминант D(f (n)(z, a)) с помощью разложения по последней строке(
f1n
2
,
f2n
2
, . . . ,
fn−1,n
2
, afnn
)
матрицы M(a), учитывая, что (n− 1)-й угловой минор этой матрицы равен D(f↓n) :
D(f (n)(z, a)) = D̂ + afnnD(f↓n), (1)
где
D̂ = (−1)n+1 f1n
2
M1n + (−1)n+2 f2n
2
M2n + . . .+ (−1)2n−1 fn−1,n
2
Mn−1,n
(M1,n,M2,n, . . . ,Mn−1,n — соответствующие дополнительные миноры матрицыM(a)). Равенст-
во (1) выполняется для произвольного a и, в частности, для a = 1. Так как f (n)(z, 1) = f, а D̂
не зависит, очевидно, от a, из равенства (1) имеем
D(f) = D̂ + fnnD(f↓n). (2)
В силу равенств (1) и (2)
D(f (n)(z, a)) = D(f) + (a− 1)fnnD(f↓n)
и, следовательно, квадратичная форма f (n)(z, a) положительно определена тогда и только тогда,
когда выполняется неравенство
D(f) + (a− 1)fnnD(f↓n) > 0,
т. е.
a > 1− D(f)
fnnD(f↓n)
.
Отсюда имеем
m
(n)
f = 1− D(f)
fnnD(f↓n)
,
что и требовалось доказать.
Непосредственно из этой теоремы следует такое утверждение.
Следствие 1. При n > 1 все P -граничные числа являются рациональными и лежат в
открытом интервале (0, 1).
Если же f ∈ R+
1 , то, очевидно, единственное P -граничное число m(1)
f равно нулю.
3. Локальные деформации положительно определенных квадратичных форм Титса
неориентированных графов. В этом пункте мы изучаем локальные деформации положитель-
ных квадратичных форм вида
f(z) = f(z1, . . . , zn) =
n∑
i=1
z2
i −
∑
i<j
fijzizj ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
896 В. М. БОНДАРЕНКО, В. В. БОНДАРЕНКО, Ю. Н. ПЕРЕГУДА
где fij ∈ {0, 1} (заметим, что если fij ≥ 2 для некоторых i 6= j, то квадратичная форма не
будет положительной). Множество всех таких форм от n переменных (не обязательно поло-
жительных) обозначим через Qn, а положительных — через Q+
n . Положим Q =
⋃
n∈NQn,
Q+ =
⋃
n∈NQ+
n , где N — множество натуральных чисел.
3.1. Квадратичные формы Титса. Каждой квадратичной форме f = f(z) ∈ Qn можно
естественным образом сопоставить (конечный) неориентированный граф G(f): вершинами
графа являются 1, 2, . . . , n и при этом вершины i и j, где i < j, соединены ребром (i, j) = (j, i)
тогда и только тогда, когда fij = 1. Очевидно, что таким образом получаются все конечные
графы G без кратных ребер и петель (если рассматривать все формы f ∈ Q). Более того, форма
f(z) ∈ Q однозначно восстанавливается по своему графу G. Она называется квадратичной
формой Титса графа G и обозначается нами qG(z).
Таким образом, вместо множества квадратичных форм Q (соответственно, Qn) можно рас-
сматривать множество T (соответственно, Tn) квадратичных форм Титса qG(z), гдеG пробегает
все конечные графы (соответственно, состоящие из n вершин) без кратных ребер и петель. В
дальнейшем будем рассматривать только такие графы. Подход, использующий геометрическую
интерпретацию, всегда более наглядный и удобный.
3.2. Описание P -граничных чисел (формулировка теоремы). В силу предложения 2 P -
граничные числа достаточно описать для неразложимых квадратичных форм Титса (разло-
жимые формы не добавляют новых P -граничных чисел). Очевидно, что квадратичная форма
qG(z) неразложима тогда и только тогда, когда граф G связен. Связные графы G с положи-
тельной формой Титса — это в точности диаграммы Дынкина с однократными ребрами: An
(n ≥ 1), Dn(n ≥ 4), E6, E7, E8 (см. [2]). В дальшейшем под диаграммами Дынкина будем
подразумевать только такие графы.
С формальных соображений удобнее говорить о P -граничных числах графов G вместо
P -граничных чисел квадратичных форм Титса qG(z). Именно, P -граничным числом вершины
s графа G назовем s-е P -граничное число формы f = qG(z); в этом случае кроме обычного
обозначения m(s)
f будем использовать обозначение m(s)
G .
Следующая теорема описывает все P -граничные числа диаграмм Дынкина.
Теорема 2. P -граничными для диаграмм Дынкина An (n ≥ 1), Dn (n ≥ 4), E6, E7, E8
являются следующие числа:
u1 u
1− n+1
2n
2
1− n+1
4(n−1)
u q q q3
1− n+1
6(n−2)
u q q qi
1− n+1
2i(n+1−i)
un
1− n+1
2n
u q q q1
1− 1
2
u q q qi
1− 1
2i
u u u��
��
@
@
@@
u
u
n−4
u
n−3 n−2
n−1
n
1− 1
2(n−4) 1− 1
2(n−3) 1− 1
2(n−2)
1− 2
n
1− 2
n
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЛОКАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ . . . 897
u
5
8
u
17
20
u
11
12
u34
u
17
20
u
5
8
u u u
u
u u u
2
3
3
4
11
12
23
24
6
7
14
15
7
8
u u u
15
16u
u u u u
7
8
27
28
59
60
39
40
23
24
11
12
3
4
Из этой теоремы (с учетом предложения 2) следует, что для P -граничных чисел положи-
тельно квадратичных форм Титса для графов имеют место теоремы A и B (сформулированные
во введении для всех положительных целочисленных форм с единичными коэффициентами
возле квадратов). Об этом будет идти речь в следующем пункте.
Доказательству теоремы 2 посвящены пп. 3.3, 3.4.
3.3. Описание d-весов диаграмм Дынкина. Мы называем d-весом графа Γ дискриминант
симметричной матрицы соответствующей квадратичной формы Титса qΓ(z) и обозначаем его
wd(Γ). Положим W d(Γ) = 2swd(Γ), где s — число вершин графа Γ.
Следующее утверждение описывает d-веса диаграмм Дынкина.
Предложение 3. Диаграммы Дынкина An (n ≥ 1), Dn (n ≥ 4), En (n = 6, 7, 8) имеют
следующие d-веса:
wd(An) =
n+ 1
2n
, wd(Dn) =
1
2n−2
, wd(En) =
9− n
2n
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
898 В. М. БОНДАРЕНКО, В. В. БОНДАРЕНКО, Ю. Н. ПЕРЕГУДА
Доказательство. Очевидно, что дискриминант квадратичной формы не изменяется при
перенумерации переменных; следовательно, d-вес графа не изменяется при перенумерации
вершин графа. Мы будем нумеровать вершины диаграмм Дынкина An и Dn таким же образом,
как и в условии теоремы 2; вершины графа En также нумеруются естественным образом:
вершины его подграфа видаAn−1 — слева направо числами 1, . . . , n−1, а вершина, находящаяся
на диаграмме выше остальных, — числом n.
Указанные в условии равенства эквивалентны соответственно равенствам
W d(An) = n+ 1, W d(Dn) = 4, W d(En) = 9− n,
которые мы и будем доказывать.
Докажем сначала первое равенство. Полагая, для удобства, W (n) = W d(An), имеем следу-
ющее равенство (с матрицей размера n× n):
W (n) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 0 . . . 0 0 0
−1 2 −1 . . . 0 0 0
0 −1 2 . . . 0 0 0
...
...
...
. . .
...
...
...
0 0 0 . . . 2 −1 0
0 0 0 . . . −1 2 −1
0 0 0 . . . 0 −1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Очевидно, W (1) = 2 и W (2) = 3. Если же n > 2, то, разлагая указанный определитель по
первой строке, а затем второй из полученных определителей по первому столбцу, получаем
рекуррентное равенство
W (n) = 2W (n− 1)−W (n− 2).
Используя три полученных равенства, легко показать (применив, например, индукцию по n),
что W (n) = W d(An) = n+ 1.
Докажем теперь равенство W d(Dn) = 4. Полагая W (n) = W d(Dn), имеем следующее
равенство (с матрицей размера n× n):
W (n) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 0 . . . 0 0 0
−1 2 −1 . . . 0 0 0
0 −1 2 . . . 0 0 0
...
...
...
. . .
...
...
...
0 0 0 . . . 2 −1 −1
0 0 0 . . . −1 2 0
0 0 0 . . . −1 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЛОКАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ . . . 899
Если n > 5, то, разлагая (как и в первом случае) указанный определитель по первой строке,
а затем второй из полученных определителей по первому столбцу, получаем рекуррентное
равенство
W (n) = 2W (n− 1)−W (n− 2).
С помощью такого же разложения при n = 4 и n = 5 имеем соответственно
W (4) = 2 · 4− 4 = 4, W (5) = 2W (4)− 4 = 4.
Используя полученные равенства, легко показать, что W (n) = W d(Dn) = 4.
Докажем, наконец, равенствоW d(En) = 9−n. Полагая Ŵ (n) = W d(En), имеем следующее
равенство (с матрицей размера n× n):
Ŵ (n) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 0 . . . 0 0 0
−1 2 −1 . . . 0 0 0
0 −1 2 . . . 0 0 −1
...
...
...
. . .
...
...
...
0 0 0 . . . 2 −1 0
0 0 0 . . . −1 2 0
0 0 −1 . . . 0 0 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Разложим указанный определитель по последней строке, а затем первый из полученных
определителей по последнему столбцу. В результате получим, что Ŵ (n) является суммой числа
−3(n − 3)
(
как определителя, со знаком минус, прямой суммы матриц W (2) и W (n − 4)
)
и
числа 2n (как умноженного на 2 определителя матрицы W (n− 1)), т. е. Ŵ (n) = 9− n.
Предложение 3 доказано.
Заметим, что последнее (указанное в условии предложения) равенство доказано на самом
деле для графа En при любом n ≥ 6 (для n > 8 такой граф определяется очевидным образом).
3.4. Доказательство теоремы 2. При рассмотрении диаграмм Дынкина будем всегда счи-
тать, что их вершины занумерованы таким же образом, как и в пп 3.3.
Через Γ \ i, где Γ — граф и i — его вершина, будем обозначать граф, который получается
из Γ отбрасыванием вершины i вместе с ребрами вида (i, j) = (j, i). Для графов знаком ∪
будет обозначать их дизъюнктивное объединение (т. е. объединение без пересечений). Если Γ
— диаграмма Дынкина, состоящая из n > 1 вершин, то, очевидно, граф Γ \ i является либо
диаграммой Дынкина, либо дизъюнктивным объединением двух или трех диаграмм Дынкина.
Мы воспользуемся этим фактом вместе с предложением 3, чтобы вычислить d-веса для произ-
вольного графа Γ\ i. Именно, в первом случае d-вес Γ\ i указан в предложении 3, а если Γ\ i —
дизъюнктивное объединение диаграмм Дынкина Γ1 и Γ2 (соответственно, диаграмм Дынкина
Γ1, Γ2 и Γ3), то симметричная матрица квадратичной формы Титса графа Γ\ i является прямой
суммой двух (соответственно, трех) матриц, являющихся матрицами квадратичных форм Титса
графов Γ1 и Γ2 (соответственно, Γ1, Γ2 и Γ3). Следовательно, d-вес графа Γ \ i является произ-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
900 В. М. БОНДАРЕНКО, В. В. БОНДАРЕНКО, Ю. Н. ПЕРЕГУДА
ведением d-весов диаграмм Дынкина Γ1 и Γ2 (соответственно, Γ1, Γ2 и Γ3), а d-веса диаграмм
Дынкина указаны в предложении 3.
Вычислим теперь указанным способом все d-веса Γ \ i, где Γ — произвольная диаграмма
Дынкина (кроме A1) и i — ее произвольная вершина.
Для диаграмм Дынкина An и Dn имеем
wd(An \ 1) = wd(An \ n) = wd(An−1) =
n
2n−1
,
wd(An \ i) = wd(Ai−1 ∪An−i) =
i
2i−1
n− i+ 1
2n−i
=
i(n− i+ 1)
2n−1
для i 6= 1, n,
wd(Dn \ 1) = wd(Dn−1) =
1
2n−3
,
wd(Dn \ i) = wd(Ai−1 ∪Dn−i) =
i
2i−1
1
2n−i−2
=
i
2n−3
для 1 < i ≤ n− 4,
wd(Dn \ n− 3) = wd(An−4 ∪A3) =
n− 3
2n−4
4
23
=
n− 3
2n−3
,
wd(Dn \ n− 2) = wd(An−3 ∪A1 ∪A1) =
n− 2
2n−3
,
wd(Dn \ n− 1) = wd(Dn \ n) = wd(An−1) =
n
2n−1
.
Перейдем к диаграммам Дынкина En, n = 6, 7, 8. Будем считать, что их вершины зануме-
рованы естественным образом, указанным в доказательстве предложения 3.
Для диаграммы E6 имеем
wd(E6 \ 1) = wd(E6 \ 5) = wd(D5) =
1
23
, wd(E6 \ 2) = wd(E6 \ 4) = wd(A1 ∪A4) =
5
24
,
wd(E6 \ 3) = wd(A2 ∪A2 ∪A1) =
9
24
, wd(E6 \ 6) = wd(A5) =
3
24
,
для диаграммы E7
wd(E7 \ 1) = wd(D6) =
1
24
, wd(E7 \ 2) = wd(A1 ∪A5) =
3
24
,
wd(E7 \ 3) = wd(A2 ∪A3 ∪A1) =
3
23
, wd(E7 \ 4) = wd(A4 ∪A2) =
15
26
,
wd(E7 \ 5) = wd(D5 ∪A1) =
1
23
, wd(E7 \ 6) = wd(E6) =
3
26
,
wd(E7 \ 7) = wd(A6) =
7
26
и, наконец, для диаграммы E8
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЛОКАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ . . . 901
wd(E8 \ 1) = wd(D7) =
1
25
, wd(E8 \ 2) = wd(A1 ∪A6) =
7
26
,
wd(E8 \ 3) = wd(A2 ∪A4 ∪A1) =
15
26
, wd(E8 \ 4) = wd(A4 ∪A3) =
5
25
,
wd(E8 \ 5) = wd(D5 ∪A2) =
3
25
, wd(E8 \ 6) = wd(E6 ∪A1) =
3
26
,
wd(E8 \ 7) = wd(E7) =
1
26
, wd(E8 \ 8) = wd(A7) =
1
24
.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы 2.
Для диаграммы A1 доказательство очевидно. Во всех остальных случаях воспользуемся
формулой из теоремы 1, которую в случае квадратичных форм Титса для графов можно записать
в виде
m
(s)
G = 1− wd(G)
wd(G \ s)
,
где m(s)
G — s-е P -граничное число графа G. В частности, в силу предложения 3 для диаграмм
Дынкина An (n ≥ 1), Dn (n ≥ 4), E6, E7 и E8 имеем следующие формулы:
m
(s)
An
= 1− n+ 1
2nwd(An \ s)
, m
(s)
Dn
= 1− 1
2n−2wd(Dn \ s)
,
m
(s)
E6
= 1− 3
26wd(E6 \ s)
, m
(s)
E7
= 1− 1
26wd(E7 \ s)
, m
(s)
E8
= 1− 1
28wd(E8 \ s)
.
Подставляя в них для каждого s вычисленные выше значения величин wd(An \ s), wd(Dn \
s), wd(E6 \ s), wd(E7 \ s) и wd(E8 \ s), получаем P -граничные числа, указанные в условии
теоремы 2.
4. P -граничные числа в общем случае. В этом пункте мы опишем P -граничные числа для
квадратичных форм f(z) ∈ R+
n , доказав при этом (сформулированные во введении) теоремы A
и B.
4.1. Стабильные линейные преобразования. Пусть f(z) — квадратичная форма n пере-
менных над полем действительных чисел с симметричной матрицей F = M(f) :
f(z) = f(z1, . . . , zn) =
n∑
i=1
fiiz
2
i +
∑
i<j
fijzizj = zFzT =
= (z1, z2, . . . , zn)
f11
f12
2
. . .
f1,n−1
2
f1n
2
f12
2
f22 . . .
f2,n−1
2
f2n
2
...
...
. . .
...
...
f1,n−1
2
f2,n−1
2
. . . fn−1,n−1
fn−1,n
2
f1n
2
f2n
2
. . .
fn−1,n
2
fnn
z1
z2
...
zn
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
902 В. М. БОНДАРЕНКО, В. В. БОНДАРЕНКО, Ю. Н. ПЕРЕГУДА
Если в квадратичной форме f(z) выполнить линейное преобразование z = yA с невырожден-
ной матрицей A или (в развернутом виде)
(z1, . . . , zn) = (y1, . . . , yn)
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
,
то получим квадратичную форму
f(y) = f(y1, . . . , yn) = (yA)F (AT yT ) = y
(
AFAT
)
yT .
Для s ∈ {1, 2, . . . , n} линейное преобразование z = yA назовем s-стабильным, если s-й стол-
бец матрицы A совпадает с s-м столбцом единичной матрицы E размера n × n. Матрицу с
указанным свойством будем называть также s-стабильной.
Предложение 4*. Пусть квадратичная форма f(z) положительно определена. Если преоб-
разование z = yA s-стабильно, то s-е P -граничное число квадратичой формы f(y) совпадает
с s-м P -граничным числом квадратичной формы f(z).
Доказательство. Случай n = 1 очевиден, а при n > 1 можно считать, что s = 1 (иначе
перенумеруем переменные квадратичной формы). Если N — квадратная матрица, то матрицу,
которая получается из нее вычеркиванием первой строки и первого столбца, будет обозначать
через Ñ . Блоки матрицы, явный вид которых нас не интересует, будем обозначать символом ∗.
Тогда для матрицы F = M(f) имеем
F = M(f) = AFAT =
(
1 ∗
0 Ã
)∗ ∗
∗ F̃
1 0
∗ ÃT
=
∗ ∗
∗ ÃF̃ ÃT
,
и, значит, с одной стороны, D(f) = |F | = |AFAT | = |A|2|F | = |Ã|2D(f), а с другой —
D(f↓1) = |F̃ | = |ÃF̃ ÃT | = |Ã|2|F̃ | = |Ã|2D(f↓1), откуда
D(f)
D(f↓1)
=
D(f)
D(f↓1)
.
Теперь требуемое утверждение следует из теоремы 1.
4.2. Сведение общего случая к квадратичным формам Титса для графов. Напомним, что
две квадратичные формы (в данном случае над полем действительных чисел) называются экви-
валентными, если одна из них превращается в другую в результате применения к входящим в
нее переменным невырожденного линейного преобразования. Если обе формы целочисленные,
то они называются Z-эквивалентными, если матрица, задающая линейное преобразование, яв-
ляется целочисленной и обратимой над Z. Аналогично, будем называть квадратичные формы
s-стабильно эквивалентными, если матрица линейного преобразования является s-стабильной,
*Предложение верно и для −s-стабильности, которая (по определению) отличается от s-стабильности только
знаком диагонального элемента в s-м столбце матрицы A.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЛОКАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ . . . 903
и s-стабильно Z-эквивалентными, если эта s-стабильная матрица к тому же целочисленна и
обратима над Z.
Рассмотрим теперь общий случай положительных целочисленных квадратичных форм с
единичными коэффициентами при квадратах:
f(z) = f(z1, . . . , zn) =
n∑
i=1
z2
i +
∑
i<j
fijzizj ,
где fij ∈ {0, 1,−1} (заметим, что если |fij | ≥ 2 для некоторых i 6= j, то квадратичная фор-
ма не будет положительной). Множество всех таких положительных форм от n переменных
обозначим через Z+
n (очевидно, что это множество конечно).
В этом пункте будет доказана следующая теорема.
Теорема 3. Для любой неразложимой квадратичной формы f = f(z) ∈ Z+
n и s ∈
∈ {1, . . . , n} существует s-стабильно Z-эквивалентная квадратичная форма, являющаяся
квадратичной формой Титса некоторой диаграммы Дынкина.
Доказательство. Пусть g(z) ∈ Z+
n . В силу алгоритма Лагранжа приведения квадратичной
формы к каноническому виду или, например, теоремы 1 [3] (гл. XIV, §3), рассмотренных для
поля рациональных чисел Q, существует невырожденная матрица A (с элементами из Q) такая,
что
AM(g)AT =
1
q
p1 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . pn
,
где p1, . . . , pn и q — натуральные числа, откуда следует, что уравнение g(z) = m имеет конечное
число целочисленных решений для любого фиксированногоm ∈ N. Значит, число всех решений
уравнений g(z) = m, где g(z) пробегает множество Z+
n , также конечно.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы.
Пусть f = f(z) — неразложимая квадратичная форма, принадлежащая Z+
n . Будем считать,
что n > 1 (случай n = 1 очевиден).
Положим m0 = f(z0), где z0 = (1, 1, . . . , 1), и рассмотрим множество B0(f) всех s-ста-
бильных целочисленных матриц B с определителем 1 таких, что после замены y = zB новая
квадратичная форма fB = fB(y) является неразложимой и принадлежитZ+
n (последнее условие
эквивалентно тому, что коэффициенты при y2
11, y
2
22, . . . , y
2
nn равны единице). Зафиксируем в
B0(f) матрицу B0 и вектор x0 = (x01, x02, . . . , x0n) ∈ Nn, которые удовлетворяют следующим
условиям:
1) fB0(x0) = m0;
2) если fB(x) = m0 для некоторых B ∈ B0(f) и x = (x1, . . . , xn) ∈ Nn, то
x1 + x2 + . . .+ xn ≤ x01 + x02 + . . .+ x0n.
Заметим, что такая пара (B0, x) существует, так как f(1, 1, . . . , 1) = m0 и (см. выше) число
всех решений уравнений g(z) = m0 конечно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
904 В. М. БОНДАРЕНКО, В. В. БОНДАРЕНКО, Ю. Н. ПЕРЕГУДА
Квадратичную форму fB0 = fB0(y) (которая получена из формы f = f(z) в результате
линейного преобразования y = zB0) обозначим f = f(y). Покажем, что все ее коэффициенты
f ij , i < j, неположительны. Это и будет означать (см. п. 3), что f(y) — квадратичная форма
Титса некоторой диаграммы Дынкина.
Предположим, что это не так, т. е. f ij > 0 (а значит, f ij = 1) для некоторых i, j (i < j).
Положим p = i, q = j, если j 6= s, и p = j, q = i — в противном случае. Обозначим через E±pq
матрицу размера n× n с единичными диагональными элементами и единственным ненулевым
элементом вне диагонали, стоящим на месте (p, q) и равным ±1. Очевидно, E−pq = (E+
pq)
−1.
Матрица B = E−pqB0 является, очевидно, s-стабильной с определителем 1, а поскольку
в (симметричной) матрице M(f) = B0M(f)BT
0 на местах (p, q) и (q, p) стоит число
1
2
, то
диагональные элементы матрицы B̃ = E−pqM(f)(E−pq)
T = BM(f)BT являются единичными(
а элементы на местах (p, q) и (q, p) равны уже −1
2
)
. Наконец, квадратичная форма, задавае-
мая симметричной матрицей B̃, неразложима. Действительно, в противном случае (согласно
определению разложимой квадратичной формы) существовало бы собственное подмножество
S ⊂ N = {1, 2, . . . , n} такое, что в матрице B̃ на местах (r, s) при r ∈ S, s ∈ N \ S и при
s ∈ N \ S, r ∈ S стоят нулевые элементы, причем p ∈ S, q ∈ N \ S или p ∈ N \ S, q ∈ S.
Последнее условие следует из равенства E+
pqB̃(E+
pq)
T = B0M(f)BT
0 = M(f) и неразложимос-
ти квадратичной формы f = f(y) (в силу B0 ∈ B0(f)). Но тогда, как легко видеть, в матрице
E+
pqB̃(E+
pq)
T на месте (p, p) стоит число 2, а значит, квадратичная форма f(y) не принадлежит
Z+
n , что противоречит условию B0 ∈ B0(f).
Таким образом, целочисленная матрица B = E−pqB0 является s-стабильной с определите-
лем 1, а квадратичная форма, задаваемая матрицей BM(f)BT , неразложима и с единичными
коэффициентами при квадратах; следовательно, B ∈ B0(f).
Далее, имеем
m0 = x0B0M(f)BT
0 x
T
0 =
= x0E
+
pqE
−
pqB0M(f)BT
0 (E−pq)
T (E+
pq)
TxT0 = (x0E
+
pq)(BM(f)BT )(x0E
+
pq)
T .
А поскольку равенство (x0E
+
pq)(BM(f)BT )(x0E
+
pq)
T = m0 означает, что fB(x0E
+
pq) = m0, и
при этом сумма координат вектора x0 = x0E
+
pq ∈ Nn больше суммы координат вектора x0 (на
единицу), то это противоречит выбору матрицы B0. Следовательно, все коэффициенты f ij ,
i < j, квадратичной формы f(y) неположительны, что и требовалось доказать.
Теорема 3 доказана.
4.3. Доказательство теорем A и B. В силу предложения 4 и теоремы 3 теорему B
достаточно доказать для множества квадратичных форм Титса всех диаграмм Дынкина. Легко
видеть, что в этом случае теорема B следует непосредственно из теоремы 2, если учесть простое
равенство
1− n+ 1
2i(n+ 1− i)
= 1− 1
2i
− 1
2(n+ 1− i)
. (3)
Если через L(Γ) обозначить множество всех P -граничных чисел графа Γ, то, таким образом,
имеет место равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЛОКАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ . . . 905
⋃
s∈N∪0
L+
s =
(⋃
n∈N
L(An)
)⋃(⋃
n∈N
L(Dn)
)⋃ ⋃
n∈{6,7,8}
L(En)
, (4)
которое понадобится при доказательстве теоремы A, к которому мы и переходим.
Из предложения 2 следует, что
L+ =
⋃
s∈N∪0
L+
s ,
и поэтому, чтобы доказать теорему, нужно убедиться в справедливости равенств⋃
s∈N∪0
L+
s =
{
1− 1
2a
− 1
2b
∣∣∣∣ a, b ∈ N
}⋃{
1− 2
c+ 1
∣∣∣∣ c ∈ N
}
, (5)
где L+
s указаны в теореме B, и{
1− 1
2a
− 1
2b
∣∣∣∣ a, b ∈ N
}⋃{
1− 2
c+ 1
∣∣∣∣ c ∈ N
}
=
=
{
1− 1
2a
− 1
2b
∣∣∣∣ a, b ∈ N
}⋃{
1− 2
4r + 1
∣∣∣∣ r ∈ N
}
. (6)
Докажем сначала равенство (5). Первое и второе множества, стоящие в правой части (5),
обозначим соответственно через S1 и S2.
Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. 1− 1
t
∈ S1 для любого натурального числа t.
Действительно, для t = 2i и для t = 2i− 1 имеем равенства
1− 1
2i
= 1− 1
2(2i)
− 1
2(2i)
, 1− 1
2i− 1
= 1− 1
2i
− 1
2(2i2 − i)
.
Возвращаясь к равенству (5), покажем сначала, что L(Γ) ⊆ S1 ∪ S2 для любой диаграммы
Дынкина L(Γ); более того, L(Γ) ⊆ S1 при Γ 6= Dn. Для Γ = An это следует из равенства (3)
при i = 1, . . . , n, для Γ = Dn — из леммы 1 при t = 2, . . . , 2(n− 2), а для Γ = E6, E7, E7 — из
леммы 1 при t = 3, 4, 7, 8, 12, 15, 16, 24, 28, 40, 60 и равенств
5
8
= 1− 1
2 · 2
− 1
2 · 4
,
17
20
= 1− 1
2 · 4
− 1
2 · 20
.
В силу (4) это доказывает включение ⊆ в (5).
Покажем теперь, что выполняется включение ⊇ .
Для любых a, b ∈ N, a < b, положим
γab = 1− 1
2a
− 1
2b
.
Поскольку
γab = 1− 1
2a
− 1
2(n+ 1− a)
,
где n = a+ b− 1, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
906 В. М. БОНДАРЕНКО, В. В. БОНДАРЕНКО, Ю. Н. ПЕРЕГУДА{
1− 1
2a
− 1
2b
∣∣∣∣ a+ b > 9, a, b ∈ N
}
⊆
⋃
n>8
C+
n .
Кроме того, легко видеть, что γ1b ∈ C+
b при 1 ≤ b ≤ 8, γ2b ∈ C+
b+1 при 2 ≤ b ≤ 7, γ3b ∈ C+
b+2
при 3 ≤ b ≤ 6 и γ45 ∈ C+
8 . Следовательно, S1 — подмножество в ∪s∈N∪0 C+
n .
Далее, при c > 7 соответствующий элемент
λc = 1− 2
c+ 1
множества S2 принадлежит, очевидно, множеству C+
c+1 и, кроме того, легко видеть, что λ1 ∈ C+
1 ,
λ2, λ3 ∈ C+
3 , λ4, λ5, λ7 ∈ C+
5 и λ6 ∈ C+
7 . Следовательно, S2 — подмножество в ∪s∈N∪0 C+
n .
Включение ⊇, а значит и равенство (5), доказано.
Равенство (6) следует из равенств
1− 2
2r
= 1− 1
2r
− 1
2r
, 1− 2
4r − 1
= 1− 1
2r
− 1
2(4r2 − r)
.
Таким образом, теорема A доказана.
5. Замечания к теореме A. Обозначим через S3 второе из подмножеств, входящее в правую
часть равенства, указанного в условии теоремы A:
S3 =
{
1− 2
4r + 1
∣∣∣∣ r ∈ N
}
.
Напомним, что первое из этих подмножеств обозначено выше через S1:
S1 =
{
1− 1
2a
− 1
2b
∣∣∣∣ a, b ∈ N
}
.
Замечание 1. Подмножества S1 и S3 (множества рациональных чисел) множества R не
совпадают, так как, например,
1− 2
4 · 3 + 1
6= 1− 1
2a
− 1
2b
для любых a, b ∈ N. Однако они пересекаются: например,
1− 2
4 · 2 + 1
= 1− 1
2 · 3
− 1
2 · 9
.
Замечание 2. В условии теоремы A множество S3 можно заменить множеством
S̃3 =
{
1− 2
4r + 1
∣∣∣∣ r ∈ Ñ
}
,
где Ñ — множество всех натуральных чисел m таких, что любой простой (а значит, и вообще
любой) делитель числа 4m+ 1 имеет вид 4j + 1, т. е.
4m+ 1 =
k∏
i=1
(4qk + 1)
с простыми сомножителями. Действительно, если r ∈ N \ Ñ, то 4r + 1 = (4q − 1)(4s− 1) (для
некоторых q, s) и имеем следующее равенство:
1− 2
4r + 1
= 1− 1
2s(4q − 1)
− 1
2s(4r + 1)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЛОКАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ . . . 907
Множества S1 и S̃3 уже не пересекаются: если бы выполнялось равенство
1− 1
2a
− 1
2b
= 1− 2
4r + 1
для некоторых a, b ∈ N, r ∈ Ñ, то, записав его в виде
(4a− 4r − 1)(4b− 4r − 1) = (4r + 1)2,
имели бы, что 4a − 4r − 1 равно 4s + 1 для некоторого s ∈ N ∪ 0
(
как делитель (4r + 1)2
)
, а
значит, 4(a− r − s) = 2, что невозможно.
1. Bondarenko V. M., Pereguda Yu. M. On P -numbers of quadratic forms // Геометрiя, топологiя та їх застосування:
Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2009. – 6, № 2. – С. 474 – 477.
2. Gabriel P. Unzerlegbare Darstellungen // Manuscr. math. – 1972. – 6. – P. 71 – 103, 309.
3. Ленг С. Алгебра. – М.: Мир, 1968. – 564 с.
Получено 24.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2626 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:08Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/da/e000635ccc79677370184f402fecfbda.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26262020-03-18T19:31:34Z Local deformations of positive-definite quadratic forms Локальные деформации положительно определенных квадратичных форм Bondarenko, V. V. Bondarenko, V. M. Pereguda, Yu. N. Бондаренко, В. В. Бондаренко, В. М. Перегуда, Ю. Н. Бондаренко, В. В. Бондаренко, В. М. Перегуда, Ю. Н. We give a complete description of real numbers that are $P$-limit numbers for integer-valued positive-definite quadratic forms with unit coefficients of the squares. It is shown that each of these $P$-limit numbers is realized in the Tits quadratic form of a Dynkin diagram. Наведено повний опис дiйсних чисел, якi є $P$-граничними для цiлочислових додатно означених квадратичних форм з одиничними коефiцiєнтами бiля квадратiв. Показано, що кожне таке $P$-граничне число реалiзується на квадратичнiй формi Тiтса деякої дiаграми Динкiна. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2626 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 7 (2012); 892-907 Український математичний журнал; Том 64 № 7 (2012); 892-907 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2626/2011 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2626/2012 Copyright (c) 2012 Bondarenko V. V.; Bondarenko V. M.; Pereguda Yu. N. |
| spellingShingle | Bondarenko, V. V. Bondarenko, V. M. Pereguda, Yu. N. Бондаренко, В. В. Бондаренко, В. М. Перегуда, Ю. Н. Бондаренко, В. В. Бондаренко, В. М. Перегуда, Ю. Н. Local deformations of positive-definite quadratic forms |
| title | Local deformations of positive-definite quadratic forms |
| title_alt | Локальные деформации положительно определенных квадратичных форм |
| title_full | Local deformations of positive-definite quadratic forms |
| title_fullStr | Local deformations of positive-definite quadratic forms |
| title_full_unstemmed | Local deformations of positive-definite quadratic forms |
| title_short | Local deformations of positive-definite quadratic forms |
| title_sort | local deformations of positive-definite quadratic forms |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2626 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkovv localdeformationsofpositivedefinitequadraticforms AT bondarenkovm localdeformationsofpositivedefinitequadraticforms AT peregudayun localdeformationsofpositivedefinitequadraticforms AT bondarenkovv localdeformationsofpositivedefinitequadraticforms AT bondarenkovm localdeformationsofpositivedefinitequadraticforms AT peregudaûn localdeformationsofpositivedefinitequadraticforms AT bondarenkovv localdeformationsofpositivedefinitequadraticforms AT bondarenkovm localdeformationsofpositivedefinitequadraticforms AT peregudaûn localdeformationsofpositivedefinitequadraticforms AT bondarenkovv lokalʹnyedeformaciipoložitelʹnoopredelennyhkvadratičnyhform AT bondarenkovm lokalʹnyedeformaciipoložitelʹnoopredelennyhkvadratičnyhform AT peregudayun lokalʹnyedeformaciipoložitelʹnoopredelennyhkvadratičnyhform AT bondarenkovv lokalʹnyedeformaciipoložitelʹnoopredelennyhkvadratičnyhform AT bondarenkovm lokalʹnyedeformaciipoložitelʹnoopredelennyhkvadratičnyhform AT peregudaûn lokalʹnyedeformaciipoložitelʹnoopredelennyhkvadratičnyhform AT bondarenkovv lokalʹnyedeformaciipoložitelʹnoopredelennyhkvadratičnyhform AT bondarenkovm lokalʹnyedeformaciipoložitelʹnoopredelennyhkvadratičnyhform AT peregudaûn lokalʹnyedeformaciipoložitelʹnoopredelennyhkvadratičnyhform |