Problem with pulse action for systems with Bessel?Kolmogorov operators
We construct the fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem and a problem with impulse action for systems with Bessel - Kolmogorov operators degenerate in all space variables. Estimates for the fundamental matrix are obtained, and its properties are established.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2630 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508567888461824 |
|---|---|
| author | Konarovska, M. I. Конаровська, М. І. |
| author_facet | Konarovska, M. I. Конаровська, М. І. |
| author_sort | Konarovska, M. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:31:34Z |
| description | We construct the fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem and a problem with impulse action for systems with Bessel - Kolmogorov operators degenerate in all space variables.
Estimates for the fundamental matrix are obtained, and its properties are established. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
M. I. Конаровська (Чернiв. нац. ун-т)
ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ СИСТЕМ
З ОПЕРАТОРАМИ БЕССЕЛЯ – КОЛМОГОРОВА
We construct the fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem and a problem with impulse action for systems
with Bessel – Kolmogorov operators degenerate in all space variables. Estimates for the fundamental matrix are obtained,
and its properties are established.
Построена фундаментальная матрица решений задачи Коши и задачи с импульсным воздействием для систем с
операторами Бесселя – Колмогорова, имеющими вырождение по всем пространственным переменным. Получены
оценки фундаментальной матрицы и установлены ее свойства.
В останнi роки глибоко розвивається теорiя вироджених параболiчних рiвнянь. А. М. Колмого-
ров уперше при вивченнi випадкових рухiв фiзичної системи отримав рiвняння дифузiї з iнер-
цiєю, яке є виродженим параболiчним рiвнянням i належить класу ультрапараболiчних рiвнянь.
Рiзним узагальненням таких рiвнянь на даний час присвячено багато робiт. Зокрема, у моно-
графiї [1] детально вивчено рiвняння з виродженнями за двома групами просторових змiнних.
Для таких рiвнянь побудовано фундаментальнi розв’язки, встановлено коректну розв’язнiсть
задачi Кошi та описано властивостi розв’язкiв. У дослiдженнях iталiйських математикiв (див.,
наприклад, [2, 3]) розглядаються ультрапараболiчнi рiвняння з довiльною кiлькiстю груп ви-
родження. Детально описано властивостi фундаментальних розв’язкiв цих рiвнянь, доведено
теореми iснування та єдиностi. У працях Г. П. Малицької [4, 5] цi результати перенесено на
випадок системи рiвнянь зi сталими та залежними вiд t коефiцiєнтами, побудовано фундамен-
тальну матрицю розв’язкiв задачi Кошi та встановлено її оцiнки. У статтях [6, 7] цi результати
узагальнено на випадок рiвнянь другого порядку, якi мiстять оператор Бесселя. У цих рiвняннях
по однiй iз змiнних застосовується оператор Бесселя (називатимемо її бесселевою змiнною), а
по iнших – оператор диференцiювання. Зауважимо, що необмеженi коефiцiєнти мiстяться бiля
перших похiдних по всiх змiнних, крiм бесселевої. По цiй же змiннiй виродження є лише в
тому розумiннi, що коефiцiєнт, який входить в оператор Бесселя, необмежений в околi нуля.
У данiй статтi розглядається система рiвнянь довiльного порядку з оператором Бесселя –
Колмогорова. Слiд зазначити, що у систему рiвнянь входять доданки, якi мiстять оператор
Бесселя по однiй iз змiнних (в даному випадку по xn), а також доданок iз необмеженим коефi-
цiєнтом при першiй похiднiй по xn. У першому пунктi побудовано фундаментальну матрицю
розв’язкiв задачi Кошi та встановлено її властивостi. У другому пунктi для таких систем побу-
довано розв’язок, який у фiксованi моменти часу τi, i = 0, p, зазнає iмпульсного впливу. При
цьому використано вiдомi результати з теорiї звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсною
дiєю [8 – 10].
1. Постановка задач. Побудова розв’язку задачi Кошi для системи рiвнянь з операто-
рами Бесселя – Колмогорова. У шарi Π+ ≡ (0;T ) × E+
n , E
+
n = En−1 × (0,+∞), розглянемо
задачу про знаходження розв’язку
u(t, x) = col(u1(t, x), . . . , uN (t, x))
системи B-параболiчних рiвнянь
c© M. I. КОНАРОВСЬКА, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7 945
946 M. I. КОНАРОВСЬКА
∂us(t, x)
∂t
=
N∑
m=1
∑
|k|+2j≤2b
a
(sm)
kj Dk
x′B
j
xnum(t, x) +
n∑
l=1
xl
∂us(t, x)
∂xl
, (1)
t > 0, x ∈ E+
n , s = 1, N,
з умовами
us(t, x)|t=0 = ϕs(x), x ∈ E+
n , s = 1, N, (2)
∂us(t, x)
∂xn
∣∣∣∣∣
xn=0
= 0, t > 0, s = 1, N, (3)
та iмпульсними умовами
∆tus(t, x)|t=τi = b
(s)
i us(τi, x), 0 < τ1 < τ2 < · · · < τp = T, s = 1, N. (4)
У системi рiвнянь (1) коефiцiєнти a(sm)
kj — сталi,Dk
x′ = ∂|k|
∂x
k1
1 ...∂x
kn−1
n−1
— оператор диференцiюван-
ня, Bxn =
∂2
∂x2n
+
2ν + 1
xn
∂
∂xn
, ν ≥ −1
2
, — оператор Бесселя, x = (x′, xn), x′ = (x1, . . . , xn−1),
|k| =
∑n−1
l=1
kl. У початковiй умовi (2) ϕs, s = 1, N, — досить гладкi фiнiтнi функцiї в E+
n ,
парнi по xn. В iмпульсних умовах (4)
∆tus|t=τi = us(τi + 0, x)− us(τi, x), us(τi, x) = lim
t→τi−0
us(t, x),
елементи b(s)i є сталими. У цьому пунктi ми побудуємо розв’язок задачi Кошi (1) – (3).
Вважатимемо, що система (1) B-параболiчна, тобто характеристичне рiвняння
det
∑
|k|+2j=2b
Akj(iσ
′)(−σ2n)j − λE
= 0
має всi коренi λ = λ(σ), в яких Reλ ≤ −δ|σ|2b, δ > 0, σ ∈ E+
n , Akj =
(
a
(sm)
kj
)N
s,m=1
, E —
одинична матриця.
Перш нiж перейти до побудови розв’язку (1) – (3), для зручностi систему рiвнянь (1)
запишемо в матричнiй формi
Lu(t, x) ≡ ∂u(t, x)
∂t
−
∑
|k|+2j≤2b
AkjD
k
x′B
j
xnu(t, x)−
n∑
l=1
xl
∂u(t, x)
∂xl
= 0 (5)
та виконаємо замiну u(t, x) = e−nνtw(t, x), де nν = n + 2ν + 1. Для нової невiдомої функцiї
w(t, x) одержимо систему рiвнянь вигляду
∂w
∂t
=
∑
|k|+2j≤2b
AkjD
k
x′B
j
xnw +
n−1∑
l=1
∂
∂xl
(xlw) +
1
xn
∂
∂xn
(
x2nw
)
+ 2νw (6)
з умовами
w(t, x)|t=0 = ϕ(x),
∂w(t, x)
∂xn
∣∣∣∣∣
xn=0
= 0, (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ СИСТЕМ З ОПЕРАТОРАМИ БЕССЕЛЯ – КОЛМОГОРОВА 947
ϕ(x) = col(ϕ1(x), . . . , ϕN (x)).
Зауважимо, що зведення системи рiвнянь (1) до (6) потрiбне з наступних мiркувань. Розв’я-
зок задачi Кошi (6), (7) будемо знаходити у виглядi оберненого перетворення Фур’є – Бесселя
невiдомої функцiї v(t, σ) :
w(t, x) = F−1v(t, σ) = c′ν
∫
E+
n
eiσ
′x′v(t, σ)jν(σnxn)σ2ν+1
n dσ, (8)
де c′ν = (2π)−n2−2νΓ−2(ν + 1), σ′x′ =
∑n−1
l=1
σlxl, jν(σnxn) — нормована функцiя Бесселя.
Якщо пiдставити (8) у (6), (7) та припустити, що диференцiювання можна виконувати пiд зна-
ком iнтеграла, то в результатi останнiй доданок у (6) скоротиться, а сама система зведеться до
системи лiнiйних рiвнянь першого порядку з частинними похiдними. Доведемо це. Для цього
покажемо, що
∂
∂xl
xl +∞∫
−∞
eiσlxlv(t, σ)dσl
= −
+∞∫
−∞
eiσlxlσl
∂
∂σl
v(t, σ)dσl, l = 1, n− 1, (9)
1
xn
∂
∂xn
+∞∫
0
x2njν(σnxn)v(t, σ)σ2ν+1
n dσn
=
= −
+∞∫
0
jν(σnxn)σn
∂v
∂σn
σ2ν+1
n dσn − 2ν
+∞∫
0
jν(σnxn)v(t, σ)σ2ν+1
n dσn. (10)
Рiвнiсть (9) легко отримати, якщо припустити, що σlv(t, σ)→ 0 при σl →∞, l = 1, n− 1,
та використати формулу диференцiювання добутку двох функцiй. Для отримання рiвностi (10)
спочатку здиференцiюємо вираз у лiвiй частинi, використавши властивiсть нормованої функцiї
d
dλ
jν(λx) = −cνjν+1(λx)λx2, cν =
Γ(ν + 1)
2Γ(ν + 2)
[11]. Позначимо лiву частину у (10) через I .
Матимемо
I = 2
+∞∫
0
jν(σnxn)v(t, σ)σ2ν+1
n dσn − cνx2n
+∞∫
0
jν+1(σnxn)v(t, σ)σ2ν+3
n dσn.
Далi у другому доданку внесемо jν+1(σnxn) пiд диференцiал, врахуємо згадану вище власти-
вiсть функцiї jν(λx) та зiнтегруємо частинами. В результатi отримаємо
I = 2
+∞∫
0
jν(σnxn)v(t, σ)σ2ν+1
n dσn + σ2ν+2
n v(t, σ)jν(σnxn)
∣∣∞
0
−
−
+∞∫
0
jν(σnxn)
∂
∂σn
(vσ2ν+2
n )dσn.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
948 M. I. КОНАРОВСЬКА
Оскiльки нормована функцiя Бесселя обмежена при σn →∞ i дорiвнює одиницi при σn = 0, то
позаiнтегральний доданок дорiвнює нулевi, якщо σ2ν+2
n v(t, σ)→ 0 при σn →∞. Обчислюючи
в останньому iнтегралi
∂
∂σn
(vσ2ν+2
n ), дiстаємо рiвнiсть (10).
Враховуючи рiвностi (9) та (10), для функцiї v(t, σ) одержуємо систему лiнiйних рiвнянь
першого порядку з частинними похiдними
∂vs
∂t
+
n∑
l=1
σl
∂vs
∂σl
=
N∑
m=1
∑
|k|+2j≤2b
a
(sm)
kj (iσ′)k(−σ2n)jvm, s = 1, N. (11)
Припустимо, що для функцiї ϕ(x) iснує перетворення Фур’є – Бесселя, тодi
vs(t, σ)|t=0 = ψs(σ), s = 1, N. (12)
Друга умова з (7) виконується на основi властивостi
∂jν(σnxn)
∂xn
∣∣∣∣
xn=0
= 0.
Система (11) еквiвалентна однорiдному лiнiйному диференцiальному рiвнянню з частинни-
ми похiдними першого порядку функцiї g вiд n+N+1 незалежних змiнних (t, σ1, . . . , σn, v1, . . .
. . . , vN ) [12, c. 146 – 148]
∂g
∂t
+
n∑
l=1
σl
∂g
∂σl
+
N∑
s=1
N∑
m=1
∑
|k|+2j≤2b
a
(sm)
kj (iσ′)k(−σ2n)jvm
∂g
∂vs
= 0, (13)
а рiвняння (13), як вiдомо, еквiвалентне системi звичайних диференцiальних рiвнянь
dt
1
=
dσ1
σ1
= . . . =
dσn
σn
=
dv1∑N
m=1
∑
|k|+2j≤2b
a
(1m)
kj (iσ′)k(−σ2n)jvm
= . . .
. . . =
dvN∑N
m=1
∑
|k|+2j≤2b
a
(Nm)
kj (iσ′)k(−σ2n)jvm
. (14)
З перших n рiвнянь знаходимо σl = Cle
t, l = 1, n. Пiдставляючи знайденi σl в iншi N рiвнянь,
дiстаємо
dvs(t, Ce
t) =
N∑
m=1
∑
|k|+2j≤2b
a
(sm)
kj (iC ′)k(−C2
n)je(|k|+2j)tvmdt, s = 1, N, (15)
C = (C ′, Cn), C ′ = (C1, . . . , Cn−1). Нехай σ̂ — значення σ при t = 0, тодi σ̂ = C. Обчислюючи
vs(t, σ), s = 1, N, при t = 0 отримуємо
vs(t, σ)|t=0 = vs(0, σ̂) = vs(0, C) = ψs(C). (16)
Задача Кошi (15), (16) при виконаннi умов теореми Пiкара має єдиний розв’язок для 0 ≤
≤ t ≤ T < +∞. Якщо виконується умова Лаппо – Данилевського, то розв’язок v(t, Cet) набирає
вигляду
v(t, Cet) = exp
t∫
0
∑
|k|+2j≤2b
Akj(iC
′)k(−C2
n)je(|k|+2j)βdβ
ψ(C), (17)
де ψ = col(ψ1, . . . , ψN ). Враховуючи, що C = σe−t, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ СИСТЕМ З ОПЕРАТОРАМИ БЕССЕЛЯ – КОЛМОГОРОВА 949
v(t, σ) = Q(t, σ)ψ(σe−t), (18)
де
Q(t, σ) = exp
t∫
0
∑
|k|+2j≤2b
Akj(iσ
′)k(−σ2n)je−(|k|+2j)(t−β)dβ
.
Покажемо, що функцiя v(t, σ), визначена формулою (18), є розв’язком системи рiвнянь
(11). Для зручностi систему (11) запишемо у матричнiй формi. Дiйсно, за побудовою Q(t, σ) —
нормальна фундаментальна матриця розв’язкiв (15), тобто Q(t, σ) є розв’язком рiвняння (15).
З iншого боку,
dQ(t, σ)
dt
=
dQ(t, Cet)
dt
∣∣∣∣∣
Cet=σ
=
(
∂
∂t
+
n∑
l=1
σl
∂
∂σl
)
Q(t, σ).
Тодi, пiдставляючи v(t, σ) в (11), одержуємо(
∂
∂t
+
n∑
l=1
σl
∂
∂σl
)
v(t, σ) =
(
∂
∂t
+
n∑
l=1
σl
∂
∂σl
)
(Q(t, σ)ψ(σe−t)) =
=
∑
|k|+2j≤2b
Akj(iC
′)k(−C2
n)je(|k|+2j)tQ(t, σ)ψ(σe−t)+
+Q(t, σ)
(
−e−tgradψ · σ + e−tgradψ · σ
)
=
=
∑
|k|+2j≤2b
Akj(iC
′)k(−C2
n)je(|k|+2j)tv(t, σ),
що й потрiбно було показати. Легко довести, що функцiя v(t, σ) з (18) задовольняє початкову
умову (12). Отже, функцiя v(t, σ) є розв’язком задачi (11), (12), i навпаки, задача (11), (12)
зводиться до задачi (15), (16) та правильною є формула (18).
Далi, аналогiчно [13] можна встановити наступну оцiнку матрицi Q(t, σ):
|Q(t, αet)| ≤ C exp
{
−c0|α|2b
e2bt − 1
2b
}
, (19)
де сталi C, c0 залежать лише вiд T, n та b.
Побудова та властивостi фундаментального розв’язку задачi Кошi (ФРЗК) (1) – (3).
Оцiнка (19) матрицi Q(t, αet) гарантує можливiсть диференцiювання iнтеграла (8) пiд його зна-
ком i дозволяє виконати замiну порядку iнтегрування. Оскiльки перетворення Фур’є – Бесселя
добутку двох функцiй є згорткою їхнiх перетворень, то, пiдставляючи v(t, σ) з (18) у (8), маємо
w(t, x) =
∫
E+
n
T ξnxn G̃(t, x′ − ξ′, xn)Φ(t, ξ)ξ2ν+1
n dξ,
де T ξnxn — оператор узагальненого зсуву, що вiдповiдає оператору Бесселя Bxn ,
G̃(t, x) = c′ν
∫
E+
n
eiσ
′x′Q(t, σ)jν(σnxn)σ2ν+1
n dσ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
950 M. I. КОНАРОВСЬКА
Φ(t, x) = c′ν
∫
E+
n
eiσ
′x′ψ(σe−t)jν(σnxn)σ2ν+1
n dσ.
Спростимо вираз для Φ(t, x), врахувавши, що пiдiнтегральна функцiя має пряме та обернене
перетворення Фур’є – Бесселя. Для цього виконаємо замiну змiнних σe−t = ζ. В результатi
дiстанемо
Φ(t, x) = c′ν
∫
E+
n
ei(e
tζ′)x′ψ(ζ)jν((etζn)xn)(etζn)2ν+1dζ · ent = enνtϕ(etx).
Врахувавши знайдену функцiю Φ(t, x), для w(t, x) матимемо зображення
w(t, x) =
∫
E+
n
T ζnxn G̃(t, x′ − ζ ′, xn)ϕ(etζ)ζ2ν+1
n dζ · enνt
або, виконавши замiну змiнних etζ = ξ,
w(t, x) =
∫
E+
n
T e
−tξn
xn G̃(t, x′ − e−tξ′, xn)ϕ(ξ)ξ2ν+1
n dξ.
Повертаючись вiд функцiї w(t, x) до u(t, x), маємо
u(t, x) =
∫
E+
n
G(t, x′ − e−tξ′;xn, e−tξn)ϕ(ξ)ξ2ν+1
n dξ, (20)
де G(t, x′ − e−tξ′;xn, e
−tξn) ≡ e−nνtT e
−tξn
xn G̃(t, x′ − e−tξ′, xn). З цiєї рiвностi очевидним є
зв’язок мiж ФРЗК G(t, x, ξ) для системи рiвнянь (1) та ФРЗК G̃(t, x, ξ) для системи рiвнянь (6).
Наведемо основнi властивостi ФРЗК для системи рiвнянь (1).
Властивiсть 1. Для довiльного T > 0 i будь-яких k, l, j справджується оцiнка для похiд-
них ФРЗК G(t− τ, x′;xn, ξn)
|Dk
x′D
l
xnB
j
xnG(t− τ, x′;xn, ξn)| ≤
≤ Ckjl(α(t− τ))−
nν+|k|+2j+l
2b e−nν(t−τ)T ξnxn
{
e
−c
∣∣∣∣ x
(α(t−τ))1/2b
∣∣∣∣q}
, (21)
де α(t−τ) =
1− e−2b(t−τ)
2b
, Ckjl, c — додатнi сталi, залежнi вiд b, nν , T та сталої параболiчностi,
q =
2b
2b− 1
.
Оцiнку (21) одержуємо, скориставшись оцiнкою (19) матрицi Q та лемою про перетворення
Фур’є – Бесселя цiлих функцiй.
Властивiсть 2 (властивiсть нормальностi). Функцiя G(t, τ, x, ξ), 0 ≤ τ < t ≤ T, x, ξ ∈
∈ E+
n , як функцiя (t, x) є розв’язком системи рiвнянь (1), а як функцiя (τ, ξ) — розв’язком
спряженої системи рiвнянь.
Властивiсть 3. Функцiя G∗(τ, t, ξ′ − x′; ξn, xn) = G(t, τ, x′ − ξ′;xn, ξn) є ФРЗК для спря-
женої системи рiвнянь.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ СИСТЕМ З ОПЕРАТОРАМИ БЕССЕЛЯ – КОЛМОГОРОВА 951
Властивiсть 4. Правильними є рiвностi∫
E+
n
G(t, x′ − e−tξ′;xn, e−tξn)ξ2ν+1
n dξ = E, t > 0, x ∈ E+
n ,
∫
E+
n
G(t, x′ − e−tξ′;xn, e−tξn)ξ2ν+1
n dx = e−nνtE, t > 0, ξ ∈ E+
n .
Властивiсть 5. Для будь-якої неперервної та обмеженої в E+
n функцiї ϕ функцiя
u(t, x) =
∫
E+
n
G(t, x′ − e−tξ′;xn, e−tξn)ϕ(ξ)ξ2ν+1
n dξ, t > 0, x ∈ E+
n ,
задовольняє умову limt→0 u(t, x) = ϕ(x), x ∈ E+
n .
Властивiсть 6 (формула згортки). Правильною є формула згортки
T ξnxnG(t, τ, x′ − ξ′, xn) =
∫
E+
n
T ynxnG(t, β, x′ − y′, xn)T ξnynG(β, τ, y′ − ξ′, yn)y2ν+1
n dy. (22)
Теорема 1. Нехай в шарi Π+ задано задачу Кошi для B-параболiчної системи (1) зi ста-
лими коефiцiєнтами, яка мiстить оператор Бесселя по xn та виродження по всiх просторових
змiнних. Нехай початкова функцiя ϕ(x) неперервна та обмежена в E+
n , парна по xn. Тодi iснує
ФРЗК G(t, x) для системи (1), який є оберненим перетворенням Фур’є – Бесселя нормальної
фундаментальної матрицi Q(t, σ) системи рiвнянь (14), для якого справджуються властиво-
стi 1 – 6. Розв’язок задачi Кошi (1) – (3) визначається як згортка ФРЗК з початковою функцiєю
ϕ(x) i зображується у виглядi (20).
2. Побудова розв’язку задачi Кошi з iмпульсною дiєю для системи рiвнянь з опера-
торами Бесселя – Колмогорова. У даному пунктi побудуємо розв’язок задачi Кошi (1) – (3),
який задовольняє iмпульснi умови (4). Як i ранiше, зведемо систему рiвнянь (1) замiною
u(t, x) = e−nνtw(t, x) до системи рiвнянь (6), яка мiстить нову невiдому функцiю w(t, x).
Функцiя w(t, x) повинна задовольняти (7) та iмпульснi умови
∆tw(t, x)|t=τi = enντiBiw(τi, x), 0 < τ1 < τ2 < . . . < τp = T. (23)
Розв’язок задачi (6), (7), (23) шукаємо у виглядi оберненого перетворення Фур’є – Бесселя
невiдомої функцiї v(t, σ) (8). У першому пунктi показано, що система рiвнянь (6) зводиться до
системи лiнiйних рiвнянь першого порядку з частинними похiдними (11). Якщо для початкової
функцiї ϕ(x) iснує перетворення Фур’є – Бесселя, то v(t, σ) задовольняє початкову умову (12).
Оскiльки w(t, x) задовольняє iмпульсну умову (23), то v(t, σ) повинна задовольняти вiдповiдну
iмпульсну умову в образах Фур’є – Бесселя
∆tv(t, σ)|t=τi = enντiBiv(τi, σ), 0 < τ1 < τ2 < . . . < τp = T. (24)
Далi розiб’ємо промiжок [0, T ] точками τ1, . . . , τp. Побудуємо спочатку розв’язок v(t, σ) на
промiжку [0, τ1). Як i в першому пунктi, систему рiвнянь (11) можна звести до однорiдного
лiнiйного диференцiального рiвняння з частинними похiдними першого порядку функцiї g вiд
n + N + 1 незалежних змiнних (t, σ1, . . . , σn, v1, . . . , vN ), яке еквiвалентне системi звичайних
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
952 M. I. КОНАРОВСЬКА
диференцiальних рiвнянь (14). З перших n рiвнянь системи (14) знаходимо σl = Cle
t, l = 1, n.
Пiдставляючи знайденi σl в iншi N рiвнянь, отримуємо рiвняння (15) та початкову умову (16).
На промiжку [0, τ1) за теоремою Пiкара розв’язок задачi (15), (16) iснує i єдиний. Позначимо
його через v(1)(t, σ). Згiдно з (18) v(1)(t, σ) зображується у виглядi
v(1)(t, σ) = Q(t, 0, σ)ψ(σe−t), t ∈ [0, τ1).
Далi розглянемо промiжок [τ1, τ2) i побудуємо на ньому розв’язок v(2)(t, σ). За теоремою
Пiкара на [τ1, τ2) iснує єдиний розв’язок, який з урахуванням iмпульсної дiї набирає вигляду
v(2)(t, σ) = Q(t, τ1, σ)(E + enντ1B1)v
(1)(τ1, σ) =
= Q(t, τ1, σ)(E + enντ1B1)Q(τ1, 0, σ)ψ(σe−t), t ∈ [τ1, τ2).
Аналогiчно на промiжку [τ2, τ3) iснує єдиний розв’язок
v(3)(t, σ) = Q(t, τ2, σ)(E + enντ2B2)v
(2)(τ2, σ) =
= Q(t, τ2, σ)(E + enντ2B2)Q(τ2, τ1, σ)(E + enντ1B1)Q(τ1, 0, σ)ψ(σe−t), t ∈ [τ2, τ3).
На останньому промiжку [τp−1, T ] аналогiчним чином визначається розв’язок
v(t, σ) = v(p)(t, σ) = V (t, 0, σ)ψ(σe−t),
де V (t, 0, σ) — матрицант задачi (15), (16), (24) i
V (t, 0, σ) = Q(t, τp−1, σ)
1∏
i=p−1
((E + enντiBi)Q(τi, τi−1, σ)), τ0 = 0, τp−1 ≤ t < τp. (25)
Якщо матрицi E + enντiBi невиродженi, то матрицант V (t, 0, σ) також є невиродженою
матрицею. На основi оцiнок (19) матрицi Q(t, τ, σ) та зображення (25) матрицанта одержуємо
вiдповiднi оцiнки V (t, 0, σ):
|V (t, 0, σ)| = |V (t, 0, αet)| ≤ CpB exp
{
−c0|α|2b
e2bt − 1
2b
}
, (26)
де B =
∏p−1
i=1 |E + enντiBi|. Тодi розв’язок задачi (6), (7), (23) визначається формулою
w(t, x) =
∫
E+
n
T ξnxn Γ̃(t, x′ − ξ′, xn)Φ(t, ξ)ξ2ν+1
n dξ, (27)
де
Γ̃(t, x) = c′ν
∫
E+
n
eiσ
′x′V (t, 0, σ)jν(σnxn)σ2ν+1
n dσ.
Спрощуючи функцiю Φ(t, x), як i в першому пунктi, та повертаючись вiд функцiї w(t, x)
до u(t, x), отримуємо формулу для зображення розв’язку u(t, x) задачi (1) – (4):
u(t, x) =
∫
E+
n
Γ(t, x′ − e−tξ′;xn, e−tξn)ϕ(ξ)ξ2ν+1
n dξ, (28)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЗАДАЧА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ ДЛЯ СИСТЕМ З ОПЕРАТОРАМИ БЕССЕЛЯ – КОЛМОГОРОВА 953
Γ(t, x′ − e−tξ′;xn, e−tξn) ≡ e−nνtT e−tξnxn Γ̃(t, x′ − e−tξ′, xn).
Для фундаментального розв’язку Γ(t − τ, x′, xn, ξn) ≡ T ξnxnΓ(t − τ, x′, xn) задачi (1) – (4)
справджується оцiнка
|Dk
x′D
l
xnB
j
xnΓ(t− τ, x′, xn, ξn)| ≤
≤ Ckjl(α(t− τ))−
nν+|k|+2j+l
2b e−nν(t−τ)T ξnxn
{
e
−c
∣∣ x
(α(t−τ))1/2b
∣∣q}
, (29)
де α(t−τ) =
1− e−2b(t−τ)
2b
, Ckjl, c — додатнi сталi, залежнi вiд b, nν , T та сталої параболiчностi,
q =
2b
2b− 1
.
Теорема 2. Нехай в шарi Π+ задано B-параболiчну систему (1) зi сталими коефiцiєнта-
ми, яка мiстить оператор Бесселя по xn та виродження по всiх просторових змiнних, задано
умови (2), (3) та iмпульсну дiю (4). Нехай початкова функцiя ϕ(x) неперервна та обмежена в
E+
n , парна по xn, матрицi Bi сталi, такi, що (E + enντiBi) є невиродженими. Тодi iснує фун-
даментальний розв’язок, який задовольняє нерiвнiсть (29) i за допомогою якого визначається
розв’язок u(t, x) задачi (1) – (4) формулою (28).
Автор висловлює подяку науковому керiвнику професору Матiйчуку М. I. за поставлену
задачу та допомогу при написаннi статтi.
1. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Koshubei A. N. Analytic methods in theory of differential and pseudo-differential
equation of parabolic type. – Basel etc.: Birkhäuser, 2004. – 390 p.
2. Polidoro S. On a class of ultraparabolic operators of Kolmogorov – Fokker – Planck type // Matematiche. – 1994. –
49, № 1. – P. 53 – 105.
3. Di Francesco M., Polidoro S. On a class of degenerate parabolic equation of Kolmogorov type // AMRX Appl. Math.
Res. Express. – 2005. – № 3. – P. 77 – 116.
4. Малицька Г.П. Про фундаментальний розв’язок задачi Кошi для виродженого за довiльною кiлькiстю груп
змiнних параболiчного рiвняння типу Колмогорова довiльного порядку // Мат. методи та фiз.-мех. поля. –
2004. – 47, № 4. – С. 131 – 138.
5. Малицька Г. П. Системи рiвнянь типу Колмогорова // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 12. – С. 1650 – 1663.
6. Ивасишен Л.М. Интегральное представление и множества начальных значений решений параболических урав-
нений с оператором Бесселя и растущими коэффициентами. – Черновцы, 1992. – 62 с. – Деп. в УкрИНТЭИ
№ 1731-Ук.92.
7. Балабушенко Т. М., Iвасишен С. Д., Лавренчук В. П., Мельничук Л. М. Фундаментальний розв’язок задачi Кошi
для деяких параболiчних рiвнянь з оператором Бесселя i зростаючими коефiцiєнтами // Наук. вiсн. Чернiв.
ун-ту. Математика. – 2006. – Вип. 288. – С. 5 – 11.
8. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. – Киев: Высш.
шк., 1987. – 228 с.
9. Perestyuk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik N. V. Differential equations with impulse effects:
Multivalued right-hand sides with discontinuities // DeGruyter Stud. Math. – Berlin: Walter de Gruyter, 2011. – 40.
10. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. – Singapore: World Sci., 1995. – 462 p.
11. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М.: Наука, 1971. – 287 с.
12. Курант Р. Уравнения с частными производными. – М.: Мир, 1964. – 830 с.
13. Эйдельман С. Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964. – 442 с.
14. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. – 176 с.
Одержано 25.01.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2630 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:16Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f7/91f7475f4ee6d4f2cb97123eb50b8af7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26302020-03-18T19:31:34Z Problem with pulse action for systems with Bessel?Kolmogorov operators Задача з імпульсною дією для систем з операторами Бесселя - Колмогорова Konarovska, M. I. Конаровська, М. І. We construct the fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem and a problem with impulse action for systems with Bessel - Kolmogorov operators degenerate in all space variables. Estimates for the fundamental matrix are obtained, and its properties are established. Построена фундаментальная матрица решений задачи Коши и задачи с импульсным воздействием для систем с операторами Бесселя – Колмогорова, имеющими вырождение по всем пространственным переменным. Получены оценки фундаментальной матрицы и установлены ее свойства. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2630 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 7 (2012); 945-953 Український математичний журнал; Том 64 № 7 (2012); 945-953 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2630/2019 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2630/2020 Copyright (c) 2012 Konarovska M. I. |
| spellingShingle | Konarovska, M. I. Конаровська, М. І. Problem with pulse action for systems with Bessel?Kolmogorov operators |
| title | Problem with pulse action for systems with Bessel?Kolmogorov operators |
| title_alt | Задача з імпульсною дією для систем з операторами Бесселя - Колмогорова |
| title_full | Problem with pulse action for systems with Bessel?Kolmogorov operators |
| title_fullStr | Problem with pulse action for systems with Bessel?Kolmogorov operators |
| title_full_unstemmed | Problem with pulse action for systems with Bessel?Kolmogorov operators |
| title_short | Problem with pulse action for systems with Bessel?Kolmogorov operators |
| title_sort | problem with pulse action for systems with bessel?kolmogorov operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2630 |
| work_keys_str_mv | AT konarovskami problemwithpulseactionforsystemswithbesselkolmogorovoperators AT konarovsʹkamí problemwithpulseactionforsystemswithbesselkolmogorovoperators AT konarovskami zadačazímpulʹsnoûdíêûdlâsistemzoperatoramibesselâkolmogorova AT konarovsʹkamí zadačazímpulʹsnoûdíêûdlâsistemzoperatoramibesselâkolmogorova |