Conditions for balance between survival and ruin
Let $\xi_t$ be a classic risk process or a risk process with stochastic premiums. We establish conditions for balance between ruin and survival in the case of zero initial capital $u = 0$ (ruin probability $q_{+} = \psi(0) = 1/2$, survival probability $p_{+} = 1 — q_{+} = 1/2$) and determine premium...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2633 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508568802820096 |
|---|---|
| author | Gusak, D. V. Гусак, Д. В. |
| author_facet | Gusak, D. V. Гусак, Д. В. |
| author_sort | Gusak, D. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:31:34Z |
| description | Let $\xi_t$ be a classic risk process or a risk process with stochastic premiums. We establish conditions for balance between ruin and survival in the case of zero initial capital $u = 0$ (ruin probability $q_{+} = \psi(0) = 1/2$, survival probability $p_{+} = 1 — q_{+} = 1/2$) and determine premium estimates under these conditions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.23
Д. В. Гусак (Iн-т математики НАН України, Київ)
УМОВИ РIВНОВАГИ МIЖ ВИЖИВАННЯМ I БАНКРУТСТВОМ
Let ξt be a classic risk process or a risk process with stochastic premiums. We establish conditions for balance between
ruin and survival in the case of zero initial capital u = 0 (ruin probability q+ = Ψ(0) = 1/2, survival probability
p+ = 1 − q+ = 1/2) and determine premium estimates under these conditions.
Пусть ξt — классический процесс риска или процесс риска со случайными премиями. Установлены условия рав-
новесия между банкротством и выживанием при нулевом начальном капитале u = 0 (вероятность банкротства
q+ = Ψ(0) = 1/2, вероятность выживания p+ = 1 − q+ = 1/2) и определены премиальные оценки при этих
условиях.
У монографiї [1, с. 47] розглядались принципи оцiнювання премiй для процесу ризику ξt =
= Pt − St (St — процес вимог, Pt — компенсацiйна премiальна функцiя на [0; t]). Якщо t = 1,
то для S = S1, P = P1 за функцiєю розподiлу (ф. р.) вимог S на [0; 1]
GS(x) = P{S < x}, ES =
∫
xdGS(x), σ2(S) = DS <∞
вводяться функцiонали для оцiнювання компенсацiйної премiї P(·) = F(·)[GS(x)].
Обмежимось першими трьома принципами, що пов’язанi з моментами вимог ES, σ2(S):
1) принцип математичного сподiвання,
2) принцип середньоквадратичного вiдхилення,
3) дисперсiйний принцип.
Вiдповiдно з цими принципами компенсацiйнi оцiнки премiй визначаються спiввiдношен-
нями
P(a) = ES + α0ES = (1 + α0)ES,
P(b) = ES + ασ(S), σ(S) =
√
DS, (1)
P(c) = ES + βσ2(S);
де α0, α, β — додатнi рiвневi параметри оцiнок.
Спочатку вияснимо, якi значення мають компенсацiйнi оцiнки для C при умовi рiвноваги
p+ = q+ = 1/2. Цi значення вiдмiчатимемо iндексом ∗, оскiльки вони в певному сенсi є
вiдправними при оцiнюваннi за умови p+ 6= q+.
1. Розглянемо ξt = Ct − St — класичний резервний процес ризику, де C > 0, St =
=
∑
k≤Nt
Yk — процес вимог, Nt — пуассонiв процес з iнтенсивнiстю λ > 0,
ES =
∑
r≥1
1
r!
e−rλrE
[
r∑
k=1
Yk
]
= λEY1, EY1 = µ1 <∞,
DS = λDY1 = λ[µ2 − µ21], µ2 = EY 2
1 <∞.
(2)
c© Д. В. ГУСАК, 2012
988 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
УМОВИ РIВНОВАГИ МIЖ ВИЖИВАННЯМ I БАНКРУТСТВОМ 989
Вияснимо питання про зв’язок iмовiрностi банкрутства q+ = Ψ(0) та iмовiрностi виживання
p+ = 1− q+ при u = 0 з коефiцiєнтом страхової надбавки при умовi Eξ1 = C − λµ1 > 0
δ =
C −ES
ES
=
C − λµ1
λµ1
> 0, ES = λµ1 > 0. (3)
Значення коефiцiєнта страхової надбавки при p+ = q+ позначимо через δ∗, при p+ > q+ —
через δ> > δ∗, а при p+ < q+ — через δ< < δ∗.
На основi встановленого зв’язку мiж p+, q+ та δ можна також оцiнювати премiальне зна-
чення для C.
Як i в [2], для зручностi замiсть резервного процесу ризику ξt,u = u+ ξt введемо надлиш-
ковий процес вимог
ζt = St − Ct, ζ0 = 0, C > 0, m = Eζ1 = λµ1 − C < 0. (4)
При умовi (3) (тобто при m < 0) абсолютний максимум ζ+ = sup0≤t<∞ ζt має невироджений
розподiл, що визначає ймовiрнiсть банкрутства
Ψ(u) = P{ζ+ > u}, u ≥ 0, Ψ(0) = q+, p+ = 1− q+. (5)
Зв’язок мiж δ та p+, q+ встановлено (див. [2, c. 372]) у наступнiй теоремi.
Теорема 1. При умовi (3) для процесу (4) має мiсце спiввiдношення
δ =
C − λµ1
λµ1
=
p+
q+
, p+ + q+ = 1. (6)
За умови рiвноваги мiж виживанням та банкрутством (p+ = q+ — аналог „чесної гри”) з (6)
випливає, що оцiнку iнтенсивностi надходження премiй визначає значення C∗ у спiввiдношеннi
δ = δ∗ =
C −ES
ES
= 1⇒ C = C∗ = 2ES = 2λµ1, P ∗(t) = C∗t. (7)
Надiйнiша (за „чесну гру”) робота страхової компанiї досягається при збiльшеннi C, тобто
при δ> > δ∗ = 1. Тодi
C> = (1 + δ>)ES, C > C∗ = 2ES, p+ > q+, P (t) = C>t. (8)
Якщо δ = δ< < 1, то
C< = (1 + δ<)ES, C< < C∗ = 2ES, p+ < q+, P (t) = C<t. (9)
Порiвнянням оцiнок (1) з оцiнкою для C з (3) в термiнах δ встановлюється наближена
залежнiсть мiж коефiцiєнтами страхової надбавки δ та рiвневими параметрами α, β :
a) α0 = δ, b) δ ∼ ασ(S)
ES
, c) δ ∼ βσ2(S)
ES
. (10)
За умови рiвноваги для цих параметрiв мають мiсце спiввiдношення
a) α∗0 = δ∗ = 1, b) α∗ ∼
ES
σ(S)
, c) β∗ ∼
ES
σ−2(S)
,
P ∗(a) = 2ES, P ∗(b) = ES + α∗σ(S), P ∗(c) = ES + β∗σ
2(S).
(11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
990 Д. В. ГУСАК
У випадку p+ 6= q+ (δ 6= 1), α = δα∗, β = δβ∗
P(a) < P ∗(a) = 2ES, P(b) < P ∗(b), P(c) < P ∗(c) при p+ < q+,
P(a) > P ∗(a), P(b) > P ∗(b), P(c) > P ∗(c) при p+ > q+.
(12)
Доведення. Справедливiсть спiввiдношення (6) випливає з таких мiркувань. Для напiвне-
перервного знизу процесу ζt в таблицi II (див. [2, c. 536]) зiбрано значення основних ризикових
характеристик, що випливають iз результатiв § 3.1 та 5.1 в [2]. Зокрема, там наведено спiввiд-
ношення для q+ i p+
q+ = λµ1C
−1, p+ = (C − λµ1)C−1,
пiсля пiдстановки яких у (3) легко одержати (6), а з (6) випливає (7).
Безпосереднiм порiвнянням усiх розглянутих в (1) та (3) оцiнок встановлюються спiввiд-
ношення (8) – (12).
Теорему 1 доведено.
Зауважимо, що забезпечення надiйнiшої роботи страхових компанiй шляхом збiльшення δ
при незмiнних ES, ES2 не впливає на α∗, β∗, а отже, рiвневi параметри α, β збiльшуються
пропорцiйно δ.
Результати для класичного випадку (див. ζt в (4)) ввiйшли до монографiї [4, с. 246], а
також [2, с. 372]. Там пiсля теореми 6.11 було вияснено залежнiсть мiж p+, q+, δ, а також їх
зв’язок з iмовiрнiстю обмеженостi тотального часу перебування надлишкового процесу вимог
у ризиковiй („червонiй”) зонi y > 0.
По-iншому виглядає умова рiвноваги мiж виживанням та банкрутством для процесiв ризику
з випадковими премiями.
2. Нехай ζt — майже напiвнеперервний знизу процес з випадковими премiями
ζt = St − C(t), S(t) =
∑
k≤N1(t)
Yk, C(t) =
∑
k≤N2(t)
Xk 6= Ct, (13)
де N1,2(t) — пуассоновi процеси з iнтенсивностями λ1,2 > 0, Xk − exp(b) — показниково
розподiленi, 0 < Yk, k > 0, — довiльно розподiленi. Має мiсце дещо вiдмiнне вiд теореми 1
твердження, в якому розглядається лише оцiнка а).
Теорема 2. Нехай ζt (див. (13)) — надлишковий процес вимог з коефiцiєнтом страхової
надбавки
δ =
EC(1)−ES
ES
=
|m|
ES
=
λ2 − λ1bµ1
λ1bµ1
> 0, m = Eζ1 < 0, ES = λ1µ1, (14)
де
µ1 = EY1, µ2 = EY 2
1 , EX1 = b−1, bµ1 =
EY1
EX1
<
λ2
λ1
, EC(1) = λ2b
−1. (15)
Тодi має мiсце спiввiдношення зв’язку мiж α0, δ та p+, q+
α0 = δ =
q − pbµ1
pbµ1
=
p+
q − p+
=
p+
q+ − p
, p =
λ1
λ1 + λ2
, q = 1− p. (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
УМОВИ РIВНОВАГИ МIЖ ВИЖИВАННЯМ I БАНКРУТСТВОМ 991
1. У випадку λ2 > λ1 (q > p) можлива рiвновага (p+ = q+), в умовах якої
δ = δ∗ =
1
1− 2p
=
1
q − p
> 1 (q > p, α∗0 = δ∗). (17)
Для оцiнки премiального середнього має мiсце спiввiдношення
EC∗(1) =
2q
q − p
ES, 1 + δ∗ =
2q
q − p
> 2. (18)
2. При умовi λ1 ≥ λ2 (p ≥ q) згiдно з (15) bµ1 < 1, а згiдно з (16) виконується нерiвнiсть
q − p+ > 0⇒ p+ < q ≤ 1
2
. (19)
З (19) випливає, що при λ2 ≤ λ1 умова рiвноваги неможлива, бо при цiй умовi завжди q+ >
1
2
.
Доведення. Для майже неперервних знизу процесiв у згадуванiй вище таблицi II iз [2]
зiбрано також значення основних ризикових характеристик, одержаних у § 3.2, 5.2 [2]. Зокрема,
в таблицi наведено значення
q+ = p(1 + bµ1), p+ = q − pbµ1. (20)
Пiсля пiдстановки (20) у (14) отримуємо (16). Оцiнка (18) випливає з (14) i (17).
Щоб при λ2 > λ1, m = Eζ1 < 0 забезпечити надiйнiшi умови за „чесну гру” (p+ = q+),
достатньо збiльшити λ2, щоб збiльшити δ > δ∗ =
1
q − p
. Тодi збiльшиться середнє
EC(1) > EC∗(1) =
2q
q − p
ES. (21)
Слiд зазначити, що на практицi iнтенсивнiсть λ1 повернення виплат застрахованим особам
у нещасних випадках значно менша за iнтенсивнiсть оформлення страхових контрактiв, тобто
λ2 значно перевищує λ1. Тому можна вважати, що другий випадок λ1 ≥ λ2 майже неможливий.
Теорему 2 доведено.
Зауважимо, що при m < 0 у будь-якому випадку (q+ < p+ чи q+ ≥ p+) для обох процесiв
(4) i (13) при зростаннi початкового капiталу u > 0 Ψ(u) монотонно спадає. Зокрема, для
процесу (4) згiдно з наближенням Реньї (див. [2], таблиця V)
Ψ(u) = P{ζ+ > u} ∼ ΨR(u) = q+e
− 2δµ1u
µ2(1+δ) , q+ =
λµ1
C
, u→∞. (22)
При цьому збiльшення δ в (22) прискорює спадання ΨR(u) при u→∞.
Формулу, подiбну до наближення Реньї для класичного процесу ризику (4), можна одержати
i для процесу з випадковими премiями (13), якщо за наближення до ζt в (13) вибрати процес iз
задачi (20.2) в [3] з довiльним b > 0:
ζ0(t) = S0(t)− C(t), EC(1) = λ2b
−1 (S0(t) є „наближенням” S(t)),
S0(t) =
∑
k≤N0(t)
Y 0
k , Y
0
k — exp(a), N0(t) — пуассонiв процес з iнтенсивнiстю λ0.
Як i в прикладi 3.13 iз [2], при умовi ES0(1)k = ES(1)k, k = 1, 2, та m = Eζ1 = λ1µ1 −
− λ2b
−1 < 0 встановлюється зв’язок мiж параметрами ζt та ζ0(t) в термiнах перших двох
моментiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
992 Д. В. ГУСАК
λ1µ1 =
λ0
a
,
λ1µ2 =
2λ0
a2
,
⇒
λ0 = aλ1µ1,
λ1µ2 =
2λ1µ1
a
,
⇒
a =
2µ1
µ2
, λ0 + λ2 =
2λ1µ
2
1 + λ2µ2
µ2
,
λ0 =
2λ1µ
2
1
µ2
.
Рiвняння Лундберга для ζ0(t) при Eζ0(1) < 0 зводиться до рiвняння
λ0
a− r
=
λ2
b+ r
⇒ ρ0+ =
ab|m|
λ0 + λ2
=
2µ1|m|b
µ2(λ0 + λ2)
=
2µ1|m|b
2λ1µ21 + λ2µ2
,
p0+ =
ρ0+
a
=
b|m|
λ0 + λ2
, q0+ = 1− b|m|
λ0 + λ2
=
λ0 + bλ1µ1
λ0 + λ2
=
λ1µ1(2µ1 + µ2b)
2λ1µ21 + λ2µ2
.
(23)
Єдиний додатний корiнь рiвняння Лундберга r = ρ0+ згiдно з (3.105) в [2] при m < 0 визначає
розподiл ζ+0 (а отже, i вiдповiдне наближення Ψ0(u))
Ψ(u) ∼ Ψ0(u) = P{ζ+0 > u} = q0+e
−ρ0+u, u > 0. (24)
Значення q0+ та ρ0+ згiдно з (23) виражаються в термiнах моментiв „наближуваного” процесу
ζt, отже, при достатньо великих u має мiсце таке твердження.
Пропозицiя. Якщо за „наближення” до ζt в (13) вибрати вищевказаний процес ζ0(t), то
справджується спiввiдношення (24) з q0+, ρ
0
+ в (23). Пiсля замiни у Ψ0(u) q0+ на q+ = Ψ(0) =
= p(1 + bµ1) з (24) випливає наближення
Ψ(u) = P{ζ+ > u} ∼ Ψ0
R(u) = q+ e
− 2µ1|m|b
2λ1µ21+λ2µ2 , u→∞,
яке є аналогом наближення Реньї (22), а наближення (24) — аналогом наближення Ψ0(u) в
таблицi V iз [2] для процесу (4) з C = 1.
Отже, наближення Реньї (22) для процесу (13) з випадковими премiями вiд наближення
Реньї для процесу (4) (див. ΨR(y) у табл. V в [2]) вiдрiзняються лише показником експоненти
i для q+ залежнiсть вiд δ = ρ складнiша, нiж у класичному випадку, коли q+ =
1
1 + ρ
.
Щоб проаналiзувати всi випадки (p+ = q+, p+ 6= q+) при знаходженнi оцiнки для C,
розглянемо простий приклад.
Приклад. Нехай ζt — неперервний знизу процес iз прикладу 2.3 в [2] (або iз задачi 20.3 в
[3]) з позначенням параметрiв у (4): C = 1, EeiαY1 =
c
c− iα
, c > 0, λ > 0. Тодi
ζt =
∑
k≤N(t)
Yk − t, δ =
1− λc−1
λc−1
=
c− λ
λ
> 0
(
m = Eζ1 =
λ
c
− 1 < 0
)
.
При m < 0 ζ+ має невироджений розподiл з генератрисою
Ee−vζ
+
=
p+(c+ v)
cp+ + v
= p+ + q+
cp+
cp+ + v
, q+ = λe−1,
пiсля обернення якої по v визначається ймовiрнiсть банкрутства при початковому капiталi
u > 0:
Ψ(u) = P{ζ+ > u} = q+e
−cp+u, u > 0. (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
УМОВИ РIВНОВАГИ МIЖ ВИЖИВАННЯМ I БАНКРУТСТВОМ 993
Для порiвняння всiх трьох випадкiв (δ< < 1, δ∗ = 1, δ> > 1) детальнiшi обчислення
проведемо при c = 1 для u ≤ 1:
1) δ∗ = 1, λ =
1
2
, q+ = Ψ∗(0) =
1
2
, згiдно з (25)
Ψ∗(u) =
1
2
e−
1
2u, u ≥ 0; Ψ∗(1) =
1
2
e−0,5 ≈ 0,5 · 0,6 = 0,3 <
1
2
;
2) δ = 2, λ =
1
3
, q+ = Ψ(0) =
1
3
, згiдно з (25)
Ψ(u) =
1
3
e−
2
3u, u ≥ 0; Ψ(1) =
1
3
e−
2
3 ≈ 0,15 < Ψ∗(1) <
1
2
;
3) δ′ =
1
4
< 1; λ =
4
5
, q+ = Ψ(0) =
4
5
, згiдно з (25)
Ψ(u) =
4
5
e−
1
5u, u ≥ 0; Ψ(1) =
4
5
e−0,2 ≈ 3,24
5
≈ 0,65 >
1
2
.
Отже, при обмежених значеннях початкового капiталу u ≤ 1 в усiх випадках 1 – 3 ймовiр-
ностi банкрутства монотонно спадають при зростаннi u, але у першому i другому випадках для
u = 1 Ψ∗(1) =
1
2
Ψ∗(0) <
1
2
, Ψ(1) ≈ 1
3
Ψ∗(0) <
1
2
, а в третьому випадку Ψ(1) ≈ 0,65 >
1
2
. Це
означає, що в третьому випадку ймовiрнiсть виживання ще не досягає значення рiвноваги
1
2
при
u = 1 i лише при u ≈ 2,35 можлива рiвновага мiж банкрутством i виживанням: Ψ(2,35) ≈ 1
2
.
Зауважимо, що в умовах наведеного прикладу
ES = λc−1, σ2(s) = λc−2, q+ = λµ1 = λc−1.
За умови рiвноваги q+ = λc−1 =
1
2
, λ =
c
2
. Тодi згiдно з (11)
P ∗(a) = 2
λ
c
= 1, P ∗(b) =
1
2
(1 +
√
2c), P ∗(c) =
1
2
(1 + 2c)
(
α∗ =
√
c
2
, β∗ = c
)
.
При збiльшеннi коефiцiєнта премiй C = 1 (замiнi 1 на C > 1) страхова надбавка збiльшиться:
δ> =
cC − λ
λ
> 1. Тодi згiдно з (12) пропорцiйно збiльшиться значення рiвневих параметрiв
α = δ>α∗, β = δ>β∗.
Висновок. Для обох процесiв ризику (4) та (13) при порiвняно малих значеннях почат-
кового капiталу u для зменшення ризику гарантовнiше вибирати α0 = δ > δ∗ = 1 для (4)
(δ > δ∗ =
1
q − p
для (13), q > p). Для процесу (13) при λ1 < λ2 забезпечується надiйнiша
робота страхової компанiї, якщо (див. (21)) λ2 >
2qES
b(q − p)
. Припущення λ1 < λ2 є цiлком
природним i практично виправданим.
1. Bühlmann H. Mathematical methods in risk theory. – Berlin: Springer Verlag, 1970. – 196 p.
2. Гусак Д. В. Процеси з незалежними приростами в теорiї ризику // Працi Iн-ту математики НАН України. –
2011. – 88. – 544 с.
3. Gusak D. V., Kukush A. G., Kulik A. M., Mishura Yu., Pilipenko A. Yu. Theory of stochastic processes. With
applications to financial mathematics and risk theory. – New York etc.: Springer, 2010. – 376 p.
4. Гусак Д. В. Граничнi задачi для процесiв з незалежними приростами в теорiї ризику // Працi Iн-ту математики
НАН України. – 2007. – 65. – 459 с.
Одержано 28.12.11,
пiсля доопрацювання — 03.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2633 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:17Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3d/c87c8714108bcfc83c39e6caf872fa3d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26332020-03-18T19:31:34Z Conditions for balance between survival and ruin Умови рівноваги між виживанням і банкрутством Gusak, D. V. Гусак, Д. В. Let $\xi_t$ be a classic risk process or a risk process with stochastic premiums. We establish conditions for balance between ruin and survival in the case of zero initial capital $u = 0$ (ruin probability $q_{+} = \psi(0) = 1/2$, survival probability $p_{+} = 1 — q_{+} = 1/2$) and determine premium estimates under these conditions. Пусть $\xi_t$ — классический процесс риска или процесс риска со случайными премиями. Установлены условия равновесия между банкротством и выживанием при нулевом начальном капитале $u = 0$ (вероятность банкротства $q_{+} = \psi(0) = 1/2$ вероятность выживания $p_{+} = 1 — q_{+} = 1/2$) и определены премиальные оценки при этих условиях. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2633 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 7 (2012); 988-993 Український математичний журнал; Том 64 № 7 (2012); 988-993 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2633/2025 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2633/2026 Copyright (c) 2012 Gusak D. V. |
| spellingShingle | Gusak, D. V. Гусак, Д. В. Conditions for balance between survival and ruin |
| title | Conditions for balance between survival and ruin |
| title_alt | Умови рівноваги між виживанням і банкрутством |
| title_full | Conditions for balance between survival and ruin |
| title_fullStr | Conditions for balance between survival and ruin |
| title_full_unstemmed | Conditions for balance between survival and ruin |
| title_short | Conditions for balance between survival and ruin |
| title_sort | conditions for balance between survival and ruin |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2633 |
| work_keys_str_mv | AT gusakdv conditionsforbalancebetweensurvivalandruin AT gusakdv conditionsforbalancebetweensurvivalandruin AT gusakdv umovirívnovagimížviživannâmíbankrutstvom AT gusakdv umovirívnovagimížviživannâmíbankrutstvom |