Denseness of the set of Cauchy problems with nonunique solutions in the set of all Cauchy problems
We prove the following theorem: Let $E$ be an arbitrary Banach space, $G$ be an open set in the space $R×E$, and $f : G → E$ be an arbitrary continuous mapping. Then, for an arbitrary point $(t_0, x_0) ∈ G$ and an arbitrary number $ε > 0$, there exists a continuous mapping $g : G → E$ such th...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2635 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508570237272064 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:31:34Z |
| description | We prove the following theorem: Let $E$ be an arbitrary Banach space, $G$ be an open set in the space $R×E$, and $f : G → E$ be an arbitrary continuous mapping. Then, for an arbitrary point $(t_0, x_0) ∈ G$ and an arbitrary number $ε > 0$, there exists
a continuous mapping $g : G → E$ such that
$$\sup_{(t,x)∈G}||g(t, x) − f(t, x)|| \leq \varepsilon$$
and the Cauchy problem
$$\frac{dz(t)}{dt} = g(t, z(t)), z(t0) = x_0$$
has more than one solution. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.911
В. Ю. Слюсарчук (Нац. ун-т водн. госп-ва та природокористування, Рiвне)
ЩIЛЬНIСТЬ МНОЖИНИ ЗАДАЧ КОШI
З НЕЄДИНИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ У МНОЖИНI ВСIХ ЗАДАЧ КОШI
We prove the following theorem: Let E be an arbitrary Banach space, G be an open set in the space R×E, and f : G→ E
be an arbitrary continuous mapping. Then, for an arbitrary point (t0, x0) ∈ G and an arbitrary number ε > 0, there exists
a continuous mapping g : G→ E such that
sup
(t,x)∈G
‖g(t, x)− f(t, x)‖ 6 ε
and the Cauchy problem
dz(t)
dt
= g(t, z(t)), z(t0) = x0
has more than one solution.
Доказана следующая теорема. Пусть E — произвольное банахово пространство, G — открытое множество в прост-
ранстве R×E и f : G→ E — произвольное непрерывное отображение. Тогда для произвольных точки (t0, x0) ∈ G
и числа ε > 0 существует такое непрерывное отображение g : G→ E, что
sup
(t,x)∈G
‖g(t, x)− f(t, x)‖ 6 ε
и задача Коши
dz(t)
dt
= g(t, z(t)), z(t0) = x0
имеет более чем одно решение.
Нехай E — довiльний банахiв простiр iз нормою ‖ · ‖, R — множина всiх дiйсних чисел, G —
область у просторi R× E i f : G→ E — неперервне вiдображення.
Зафiксуємо довiльну точку (t0, x0) ∈ G i розглянемо задачу Кошi
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), x(t0) = x0. (1)
Для цiєї задачi важливим є наступне твердження.
Теорема 1 (Пеано). При виконаннi наведених умов у випадку скiнченновимiрного простору
E задача Кошi (1) має хоча б один розв’язок.
Доведення цiєї теореми або її окремих випадкiв мiстяться в багатьох книгах iз теорiї зви-
чайних диференцiальних рiвнянь (див., наприклад, [1 – 4]).
Зазначимо, що в теоремi Пеано вимога скiнченної розмiрностi простору E є суттєвою, що
пiдтверджується наступним твердженням.
Теорема 2 [5]. Кожний банахiв простiр, в якому справджується теорема Пеано, є скiн-
ченновимiрним.
Згiдно з цiєю теоремою для кожного нескiнченновимiрного банахового простору E iснують
неперервне вiдображення f : G → E i точка (t0, x0) ∈ G, для яких задача Кошi (1) не має
жодного розв’язку (таке вiдображення наведено в [5]). Те, що iснують банаховi простори,
в яких теорема Пеано є хибною, показав у 1950 р. Ж. Дьєдонне [6] (таку властивiсть має
простiр c0).
Аналог теореми Годунова справджується i для довiльного ненормованого простору Фреше,
що показано С. Г. Лобановим [7] i С. А. Шкарiним [8]. Сильнiший результат встановлено у
c© В. Ю. СЛЮСАРЧУК, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7 1001
1002 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
статтi С. Г. Лобанова i О. Г. Смолянова [9], де показано, що для довiльного ненормованого
простору Фреше E iснує таке неперервне вiдображення f : E → E, що рiвняння
dx
dt
= f(x) не
має розв’язкiв.
Таким чином, прикладiв задач Кошi без розв’язкiв є достатньо багато. Автором було пока-
зано, що у випадку нескiнченновимiрного банахового простору E множина задач Кошi (1) з
порожньою множиною розв’язкiв є щiльною у множинi всiх задач Кошi [10]. Справедливим є
таке твердження.
Теорема 3 [10]. Нехай E i f : R×E → E — довiльнi нескiнченновимiрний банахiв простiр
i неперервне вiдображення вiдповiдно.
Тодi для довiльних точки (t0, x0) ∈ R×E i числа ε > 0 iснує таке неперервне вiдображення
g : R× E → E, що
sup
(t,x)∈R×E
‖g(t, x)− f(t, x)‖ 6 ε
i задача
dz(t)
dt
= g(t, z(t)), t ∈ (t0 − δ, t0 + δ), z(t0) = z0
не має жодного розв’язку для кожного δ > 0.
У цiй теоремi множину R× E можна замiнити областю G.
Зазначимо, що у випадку виконання умов теореми Пеано задача Кошi може мати неєдиний
розв’язок, що пiдтверджується наступним вiдомим прикладом.
Приклад. Розв’язками задачi Кошi
dx
dt
=
√
|x|, x(0) = 0
є функцiї
x = 0,
x =
−4
−1(t− c1)2, якщо t < c1,
0, якщо t > c1,
x =
0, якщо t < c2,
4−1(t− c2)2, якщо t > c2,
i
x =
−4−1(t− c1)2, якщо t < c1,
0, якщо c1 6 t 6 c2,
4−1(t− c2)2, якщо t > c2,
де c1 i c2 — довiльнi числа iз промiжкiв (−∞, 0] i [0,+∞) вiдповiдно.
Зауважимо, що якщо задача Кошi має бiльше нiж один розв’язок, то у випадку скiнчен-
новимiрного простору E вона має незлiченну множину розв’язкiв (див. теорему Кнезера [3,
с. 28 – 30; 11]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЩIЛЬНIСТЬ МНОЖИНИ ЗАДАЧ КОШI З НЕЄДИНИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1003
Задачi Кошi з неєдиними розв’язками не є рiдкiстю. Такi задачi утворюють множину, що
є щiльною у множинi всiх задач Кошi. Це ми покажемо далi у випадку довiльного банахового
простору E.
Основним результатом цiєї статтi є наступне твердження.
Теорема 4. Нехай G — область у просторi R × E i f : G → E — довiльне неперервне
вiдображення (банахiв простiр E може мати довiльну розмiрнiсть).
Тодi для довiльних точки (t0, x0) ∈ G i числа ε > 0 iснує таке неперервне вiдображення
g : G→ E, що
sup
(t,x)∈G
‖g(t, x)− f(t, x)‖ 6 ε (2)
i задача Кошi
dx(t)
dt
= g(t, x(t)), x(t0) = x0 (3)
має бiльше нiж один розв’язок.
Зазначимо, що у випадку E = R аналогiчне твердження мiститься у статтi А. Бека [12]
(теорема 5.1), де побудовано, зокрема, приклад рiвняння, що має континуум рiзних скрiзь
визначених еволюцiйних (розв’язуючих) вiдображень, кожне з яких є неперервним.
При доведеннi теореми 4 використаємо приклад неєдиностi Ф. Хартмана [3, с. 31 – 35;
13]. Ф. Хартманом побудовано неперервну функцiю U : R2 → R таку, що для кожної точки
(t0, x0) ∈ R2 задача Кошi
dx(t)
dt
= U(t, x(t)), x(t0) = x0 (4)
має бiльше нiж один розв’язок на кожному iз вiдрiзкiв [t0, t0 + γ] i [t0 − γ, t0] при довiльному
γ > 0.
Очевидно, що аналогiчну властивiсть має i задача Кошi
dx(t)
dt
= U(t+ α, x(t) + β), x(t0) = x0 (5)
для довiльних дiйсних чисел α i β.
Перший приклад такого типу запропоновано М. А. Лаврентьєвим [14].
Доведеня теореми 4. Спочатку розглянемо випадок, коли банахiв простiр E є дiйсним i
dimE > 2.
Зафiксуємо довiльний нормований вектор a ∈ E. Розглянемо пiдпростiр E1 = {ta : t ∈ R}
простору E. Оскiльки пiдпростiр E1 скiнченновимiрний (dimE1 = 1), то пiдпростiр E1 має
пряме доповнення [15, c. 100], тобто iснує такий пiдпростiр E2 простору E, що E = E1 ⊕ E2.
Нехай P1 — оператор проектування на E1 паралельно E2 i P2 — оператор проектування на E2
паралельно E1 [16, с. 33].
Розглянемо дiйснi числа x0,1 i f1(t0, x0), що визначаються рiвностями
P1x0 = x0,1a
i
P1f(t0, x0) = f1(t0, x0)a. (6)
Нехай δ1, δ2 i δ3 — такi дiйснi числа, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
1004 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
|δ1| < ε, (7)
f1(t0, x0) + δ1 6= 0
i
U(t0 + δ2, x0,1 + δ3) 6= 0,
де U — функцiя, що й у задачi Кошi (4). Розглянемо число
k =
f1(t0, x0) + δ1
U(t0 + δ2, x0,1 + δ3)
(8)
i неперервну функцiю
qr(t, x) =
1, якщо |t− t0|+ ‖x− x0‖ 6 r,
2− |t− t0|+ ‖x− x0‖
r
, якщо r < |t− t0|+ ‖x− x0‖ < 2r,
0, якщо |t− t0|+ ‖x− x0‖ > 2r,
де r ∈ (0,+∞).
Визначимо неперервне вiдображення g : G→ E за допомогою рiвностей
P1g(t, x) = qr(t, x)kU(t0 + δ2 + k(t− t0), x1 + δ3)a+ (1− qr(t, x))P1f(t, x)
i
P2g(t, x) = qr(t, x)P2f(t0, x0) + (1− qr(t, x))P2f(t, x),
де x1 — таке дiйсне число, що
P1x = x1a.
Iз цих рiвностей, (6) i (8) випливає
P1(g(t, x)− f(t, x)) = qr(t, x)(kU(t0 + δ2 + k(t− t0), x1 + δ3)a− P1f(t, x)) =
= qr(t, x)
(
f1(t0, x0) + δ1
U(t0 + δ2, x0,1 + δ3)
U(t0 + δ2 + k(t− t0), x1 + δ3)a− P1f(t, x)
)
=
= qr(t, x)
(
(f1(t0, x0) + δ1)
(
U(t0 + δ2 + k(t− t0), x1 + δ3)
U(t0 + δ2, x0,1 + δ3)
− 1
)
+ δ1
)
a+
+qr(t, x)P1(f(t0, x0)− f(t, x))
i
P2(g(t, x)− f(t, x)) = qr(t, x)P2(f(t0, x0)− f(t, x)).
Тому
g(t, x)− f(t, x) = P1(g(t, x)− f(t, x)) + P2(g(t, x)− f(t, x)) =
= qr(t, x)
(
(f1(t0, x0) + δ1)
(
U(t0 + δ2 + k(t− t0), x1 + δ3)
U(t0 + δ2, x0,1 + δ3)
− 1
)
+ δ1
)
a+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
ЩIЛЬНIСТЬ МНОЖИНИ ЗАДАЧ КОШI З НЕЄДИНИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ . . . 1005
+qr(t, x)(f(t0, x0)− f(t, x)),
оскiльки P1 + P2 — одиничний оператор.
Отже,
‖g(t, x)− f(t, x)‖ 6
6 qr(t, x)
(
|f1(t0, x0) + δ1|
∣∣∣∣U(t0 + δ2 + k(t− t0), x1 + δ3)
U(t0 + δ2, x0,1 + δ3)
− 1
∣∣∣∣+ |δ1|)+
+qr(t, x)‖f(t0, x0)− f(t, x)‖.
Звiдси, з означення qr(t, x), нерiвностi (7) та з неперервностi f i U випливає, що виконується
спiввiдношення (2) для всiх r ∈ (0, r∗], де r∗ — достатньо мале додатне число. Будемо вважати,
що число r∗ є настiльки малим, що вiдкрита куля
B((t0, x0), r
∗) = {(t, x) ∈ R× E : |t− t0|+ ‖x− x0‖ < r∗}
є пiдмножиною областi G.
Далi для побудованого вiдображення g : G→ E при r = r∗ розглянемо задачу Кошi (3). Цю
задачу на кулi B((t0, x0), r
∗) можна подати у виглядi
dx1(t)
dt
a = kU(t0 + δ2 + k(t− t0), x1(t) + δ3) a, x1(t0) = x0,1,
dP2x(t)
dt
= P2f(t0, x0), P2x(t0) = P2x0,
(9)
де x1(t) — функцiя зi значеннями в R, для якої P1x(t) = x1(t)a. Використаємо нову змiнну
τ = t0 + k(t − t0). Враховуючи, що t = t0 + k−1(τ − t0), отримуємо, що задача Кошi (9) по
вiдношенню до нових функцiй
w1(τ) = x1(t0 + k−1(τ − t0)) (10)
i
w2(τ) = P2x(t0 + k−1(τ − t0)) (11)
має вигляд
dw1(τ)
dτ
a = U(τ + δ2, w1(τ) + δ3) a, w1(t0) = x0,1,
dw2(τ)
dτ
= k−1P2f(t0, x0), w2(t0) = P2x0.
(12)
Перше рiвняння задачi (12) для кожного достатньо малого числа γ > 0 має на кожному
iз вiдрiзкiв [t0, t0 + γ] i [t0 − γ, t0] бiльше нiж один розв’язок, оскiльки a 6= 0 i аналогiчну
властивiсть має задача (5). Друге рiвняння задачi (12), очевидно, для кожного достатньо малого
числа γ > 0 має єдиний розв’язок w2(τ) = P2x0 + (τ − t0)k−1P2f(t0, x0) на вiдрiзку [t0 −
−γ, t0+γ]. Тому згiдно з (10) i (11) задача Кошi (9) для кожного достатньо малого числа γ > 0
має на кожному iз вiдрiзкiв [t0, t0 + γ] i [t0 − γ, t0] бiльше нiж один розв’язок.
Отже, задача Кошi (3) має бiльше нiж один розв’язок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
1006 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Таким чином, у випадку дiйсного простору E i dimE > 2 теорему 4 доведено.
Розглянемо випадок комплексного простору E, для якого dimE > 1. У цьому випадку мож-
на використати декомплексифiкацiю простору E [17, с. 17, 18]. Тодi задача (3) в комплексному
просторi E рiвносильна аналогiчнiй задачi в деякому дiйсному просторi Ê, розмiрнiсть якого
не менша 2. Тому можна скористатися розглянутим вище випадком дiйсного простору.
Якщо простiр E дiйсний i dimE = 1, то доведення теореми суттєво спрощується (у наве-
дених вище мiркуваннях потрiбно вважати, що E1 = E). Доведення теореми у цьому випадку
з використанням прикладу неєдиностi Ф. Хартмана наведено у [18].
Теорему 4 доведено.
1. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. – М.; Л.: Гостехиздат,
1949. – 550 с.
2. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1970. – 280 с.
3. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970. – 720 с.
4. Самойленко А. М., Перестюк М. О., Парасюк I. О. Диференцiальнi рiвняння. – Київ: Либiдь, 2003. – 600 с.
5. Годунов А. Н. О теореме Пеано в банаховых пространствах // Функцион. анализ и его прил. – 1975. – 9, вып. 1.
– P. 59 – 60.
6. Dieudonné J. Deux exemples singuliers d’équvations différentielles // Acta. Sci. Math. – 1950. – 12, Pt B. – P. 38 – 40.
7. Лобанов С. Г. Теорема Пеано неверна для любого бесконечномерного пространства Фреше // Мат. сб. – 1993.
– 184, № 2. – P. 83 – 86.
8. Шкарин С. А. Об одной проблеме О. Г. Смолянова, связанной с бесконечномерной теоремой Пеано // Диффе-
ренц. уравнения. – 1992. – 28, № 6. – С. 1092.
9. Лобанов С. Г., Смолянов О. Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространст-
вах // Успехи мат. наук. – 1994. – 49, вып 3 (297). – С. 93 – 168.
10. Слюсарчук В. Е. Плотность множества неразрешимых задач Коши во множестве всех задач Коши в случае
бесконечномерного банахова пространства // Нелiнiйнi коливання. – 2002. – 5, № 1. – С. 86 – 89.
11. Kneser H. Ueber die Lösungen eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen das der Lipschitzschen Begingung
nicht genügt // S.-B. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl. – 1923. – P. 171 – 174.
12. Beck A. Uniqueness of flow solutions of differential equations // Lect. Notes Math. – 1973. – 318. – P. 30 – 50.
13. Hartman P. A differential equation with nonunique solutions // Amer. Math. Monthly. – 1963. – 70. – P. 255 – 259.
14. Lavrentjev M. A. Sur une équation différentielle du premier ordre // Math. Z. – 1925. – 23. – S. 197 – 209.
15. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1971. – 104 с.
16. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. – М.: Мир, 1972. – 740 с.
17. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 496 с.
18. Слюсарчук В. Ю. Задача Кошi з неєдиними розв’язками // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2011. – 1,
№ 4. – P. 117 – 118.
Одержано 30.12.10,
пiсля доопрацювання — 12.03.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2635 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:18Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/39/04ff3f294745d733ce116d9db4384239.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26352020-03-18T19:31:34Z Denseness of the set of Cauchy problems with nonunique solutions in the set of all Cauchy problems Щільність множини задач Коші з неєдиними розв'язками у множині всіх задач Коші Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. We prove the following theorem: Let $E$ be an arbitrary Banach space, $G$ be an open set in the space $R×E$, and $f : G → E$ be an arbitrary continuous mapping. Then, for an arbitrary point $(t_0, x_0) ∈ G$ and an arbitrary number $ε > 0$, there exists a continuous mapping $g : G → E$ such that $$\sup_{(t,x)∈G}||g(t, x) − f(t, x)|| \leq \varepsilon$$ and the Cauchy problem $$\frac{dz(t)}{dt} = g(t, z(t)), z(t0) = x_0$$ has more than one solution. Доказана следующая теорема. Пусть $E$ — произвольное банахово пространство, $G$ — открытое множество в прост- ранстве $R×E$ и $f : G → E$ — произвольное непрерывное отображение. Тогда для произвольных точки $(t_0, x_0) ∈ G$ и числа $ε > 0$ существует такое непрерывное отображение $g : G → E$, что $$\sup_{(t,x)∈G}||g(t, x) − f(t, x)|| \leq \varepsilon$$ и задача Коши $$\frac{dz(t)}{dt} = g(t, z(t)), z(t0) = x_0$$ имеет более чем одно решение. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2635 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 7 (2012); 1001-1006 Український математичний журнал; Том 64 № 7 (2012); 1001-1006 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2635/2029 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2635/2030 Copyright (c) 2012 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Denseness of the set of Cauchy problems with nonunique solutions in the set of all Cauchy problems |
| title | Denseness of the set of Cauchy problems with nonunique solutions in the set of all Cauchy problems |
| title_alt | Щільність множини задач Коші з неєдиними розв'язками у множині всіх задач Коші |
| title_full | Denseness of the set of Cauchy problems with nonunique solutions in the set of all Cauchy problems |
| title_fullStr | Denseness of the set of Cauchy problems with nonunique solutions in the set of all Cauchy problems |
| title_full_unstemmed | Denseness of the set of Cauchy problems with nonunique solutions in the set of all Cauchy problems |
| title_short | Denseness of the set of Cauchy problems with nonunique solutions in the set of all Cauchy problems |
| title_sort | denseness of the set of cauchy problems with nonunique solutions in the set of all cauchy problems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2635 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu densenessofthesetofcauchyproblemswithnonuniquesolutionsinthesetofallcauchyproblems AT slûsarčukvû densenessofthesetofcauchyproblemswithnonuniquesolutionsinthesetofallcauchyproblems AT slyusarchukvyu ŝílʹnístʹmnožinizadačkošízneêdinimirozv039âzkamiumnožinívsíhzadačkoší AT slûsarčukvû ŝílʹnístʹmnožinizadačkošízneêdinimirozv039âzkamiumnožinívsíhzadačkoší |