Trigonometric widths of classes of periodic functions of many variables
We obtain exact-order estimates for the trigonometric widths of the classes $B^{\Omega}_{p\theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p$ and $q$.
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2639 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508576430161920 |
|---|---|
| author | Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. |
| author_facet | Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. |
| author_sort | Derev’yanko, N. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:31:48Z |
| description | We obtain exact-order estimates for the trigonometric widths of the classes $B^{\Omega}_{p\theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p$ and $q$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Н. В. Дерев’янко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ТРИГОНОМЕТРИЧНI ПОПЕРЕЧНИКИ
КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ
We obtain exact-order estimates for the trigonometric widths of the classes BΩ
p,θ of periodic functions of many variables in
the space Lq for some relations between the parameters p and q.
Получены точные по порядку оценки тригонометрических поперечников классов BΩ
p,θ периодических функций
многих переменных в пространстве Lq для некоторых соотношений между параметрами p и q.
Вступ. У цiй роботi дослiджуються тригонометричнi поперечники класiв BΩ
p,θ перiодичних
функцiй багатьох змiнних у просторi Lq при 1 ≤ p, q, θ ≤ ∞.
Для того щоб сформулювати постановку задачi, наведемо необхiднi позначення, означення
класiв BΩ
p,θ та апроксимативної характеристики, яку будемо вивчати.
Нехай Rd, d ≥ 1, — d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, ..., xd), y =
= (y1, ..., yd), (x, y) = x1y1 + ...+ xdyd, i Lp(πd) — простiр 2π-перiодичних за кожною змiнною
i сумовних у степенi p, 1 ≤ p < ∞ (вiдповiдно суттєво обмежених при p = ∞), на кубi
πd =
∏d
j=1[−π;π] функцiй f(x) = f(x1, ..., xd), норма в якому визначається таким чином:
‖f‖Lp(πd) = ‖f‖p =
(
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|pdx
)1/p
, 1 ≤ p <∞,
‖f‖L∞(πd) = ‖f‖∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Для f ∈ Lp(πd) i h ∈ Rd покладемо
∆hf(x) = f(x+ h)− f(x)
i означимо за формулою
∆l
hf(x) = ∆h∆l−1
h f(x) , ∆0
hf(x) = f(x),
кратну рiзницю порядку l ∈ N функцiї f(x) у точцi x = (x1, ..., xd) з кроком h, яку також можна
подати за допомогою спiввiдношення
∆l
hf(x) =
l∑
n=0
(−1)l+nCnl f(x+ nh).
Означимо модуль неперервностi порядку l ∈ N функцiї f ∈ Lp(πd) згiдно з формулою
Ωl(f ; t)p = sup
|h|≤t
‖∆l
hf(x)‖p ,
де |h| — евклiдова норма h.
Нехай Ω(t) — функцiя типу модуля неперервностi порядку l, яка задана на R+ = {t, t ≥ 0}
та задовольняє такi умови:
c© Н. В. ДЕРЕВ’ЯНКО, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 1041
1042 Н. В. ДЕРЕВ’ЯНКО
1) Ω(0) = 0, Ω(t) > 0 для t > 0;
2) Ω(t) є неперервною;
3) Ω(t) зростає;
4) для всiх n ∈ Z+ Ω(nt) ≤ CnlΩ(t), де l ∈ N, стала C ≥ 0 не залежить вiд n i t.
Множину таких функцiй Ω позначимо через Ψl. Зауважимо, що якщо f ∈ Lp(πd), то
Ωl(f ; t)p ∈ Ψl.
Будeмо писати:
1) Ω ∈ Sα, якщо Ω(τ)/τα майже зростає з деяким α > 0, тобто iснує така не залежна вiд
τ1 i τ2 стала C1 > 0, що
Ω(τ1)
τα1
≤ C1
Ω(τ2)
τα2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1 ;
2) Ω ∈ Sl , l > 0, якщо Ω(τ)/τγ майже спадає з деяким 0 < γ < l, тобто iснує така не
залежна вiд τ1 i τ2 стала C2 > 0, що
Ω(τ1)
τγ1
≥ C2
Ω(τ2)
τγ2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1 .
Умови належностi функцiї Ω до множин Sα i Sl часто називають умовами Барi – Стєчкiна [1].
Покладемо також Φα,l = Ψl ∩ Sα ∩ Sl.
Для наочностi наведемо приклад функцiї Ω ∈ Φα,l:
Ω(t) =
t
r
(
log+ 1
t
)b
, t > 0 ,
0, t = 0 ,
де log+ t = max{1, log t}, 0 < r < l, а b — фiксоване дiйсне число.
Тепер перейдемо безпосередньо до означення просторiв BΩ
p,θ [2, 3].
Нехай 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i Ω ∈ Φα,l. Будемо вважати, що f ∈ BΩ
p,θ, якщо f задовoльняє такi
умови:
1) f ∈ Lp(πd);
2) ‖f‖bΩp,θ <∞, де ‖f‖bΩp,θ визначається спiввiдношенням
‖f‖bΩp,θ =
(
+∞∫
0
(
Ω(f ; t)p
Ω(t)
)θ dt
t
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞ ,
sup
t>0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
, θ =∞.
Простiр BΩ
p,θ є лiнiйним нормованим простором з нормою
‖f‖BΩ
p,θ
= ‖f‖p + ‖f‖bΩp,θ .
Якщо Ω(t) = tr, то простори BΩ
p,θ збiгаються з просторами О. В. Бєсова Br
p,θ [4] i, зокрема,
при θ = ∞ отримаємо Br
p,∞ = Hr
p , де Hr
p — простори, введенi С. М. Нiкольським [5]. Якщо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ 1043
‖f‖BΩ
p,θ
≤ 1, то будемо говорити, що функцiя f належить класу BΩ
p,θ, i зберiгати при цьому для
класiв тi самi позначення, що i для вiдповiдних просторiв BΩ
p,θ.
У подальших мiркуваннях ми будемо використовувати порядковi спiввiдношення. Означимо
їх. Для двох послiдовностей µ1(n) i µ2(n) запис µ1 � µ2 означає, що iснують сталi C3, C4 > 0
такi, що C3µ1(n) ≤ µ2(n) ≤ C4µ1(n). Записи µ1 � µ2 або µ1 � µ2 означають Cµ1(n) ≤ µ2(n)
i µ2(n) ≤ Cµ1(n) вiдповiдно. Всi сталi Ci, i = 1, 2, ..., якi будуть зустрiчатись у роботi, можуть
залежати лише вiд тих параметрiв, що входять в означення класу, метрики, в якiй здiйснюється
наближення, та розмiрностi простору Rd.
Позначимо через Vm(t), m ∈ N, t ∈ R, ядро Валле Пуссена вигляду
Vm(t) = 1 + 2
m∑
k=1
cos kt+ 2
2m∑
k=m+1
(
2m− k
m
)
cos kt .
Багатовимiрне ядро Vm(x), m ∈ N, x ∈ R, означимо формулою
Vm(x) =
d∏
j=1
Vm(xj) .
Для функцiї f ∈ Lp(πd) розглянемо оператор згортки Vm цiєї функцiї з ядром Vm(x), тобто
Vmf = f ∗ Vm = Vm(f, x) .
Таким чином, Vm(f, x) — кратна сума Валле Пуссена функцiї f(x). Покладемо для f ∈ Lp(πd)
σ0(f, x) = V1(f, x) , σs(f, x) = V2s(f, x)− V2s−1(f, x) , s ∈ N .
У наведених позначеннях при 1 ≤ p ≤ ∞ (з точнiстю до абсолютних сталих) класи BΩ
p,θ
можна визначити таким чином (див. [3]): BΩ
p,θ = {f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BΩ
p,θ
≤ 1}, де
‖f‖BΩ
p,θ
�
( ∑
s∈Z+
(
‖σs(f, ·)‖p
Ω(2−s)
)θ)1/θ
, 1 ≤ θ <∞ ,
sup
s∈Z+
‖σs(f, ·)‖p
Ω(2−s)
, θ =∞ .
(1)
Зазначимо, що у випадку 1 < p < ∞ можна записати еквiвалентне спiввiдношення для
норм функцiй з класiв BΩ
p,θ, 1 ≤ θ ≤ ∞, використовуючи в (1) замiсть σs(f, x) „блоки” ряду
Фур’є функцiї f(x).
1. Означення апроксимативних характеристик та допомiжнi твердження. Означимо
апроксимативнi характеристики класiв BΩ
p,θ, що дослiджуються у роботi.
Нехай F ⊂ Lq(πd) — деякий функцiональний клас. Тригонометричний поперечник класу F
у просторi Lq означається формулою [6]
dTm(F,Lq) = inf
Ωm
sup
f∈F
inf
t(Ωm,x)
||f(·)− t(Ωm, ·)||q , (2)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1044 Н. В. ДЕРЕВ’ЯНКО
t(Ωm, x) =
m∑
j=1
cj e
i(kj ,x) , Ωm = {k1, ..., km}
— набiр векторiв kj = (kj1, ..., k
j
d), j = 1,m, iз цiлочислової решiтки Zd, cj — довiльнi числа.
Вперше тригонометричний поперечник був уведений Р. С. Iсмагiловим [6]. Величина (2) для
рiзних функцiональних класiв дослiджувалась у багатьох роботах. З детальнiшою iнформацiєю,
а також вiдповiдною бiблiографiєю можна ознайомитися, наприклад, у роботах [7 – 10].
При встановленнi оцiнок поперечникiв dTm(BΩ
p,θ, Lq) будемо використовувати вiдомi оцiнки
для найкращих m-членних тригонометричних наближень функцiй iз класiв BΩ
p,θ та наближень
цих класiв тригонометричними полiномами зi спектром у кубiчних областях. Для формулюван-
ня вiдповiдних результатiв наведемо необхiднi позначення та означення.
Нехай f ∈ Lq(πd), через em(f, Lq) позначимо найкраще m-членне тригонометричне на-
ближення функцiї f у просторi Lq, яке означається таким чином:
em(f, Lq) = inf
{kj}mj=1
inf
{cj}mj=1
∣∣∣∣∣∣∣∣f(·)−
m∑
j=1
cj e
i(kj ,·)
∣∣∣∣∣∣∣∣
q
,
де {kj}mj=1 — набiр векторiв kj = {kj1, ..., k
j
d} з цiлочисловими координатами, cj — довiльнi
числа, (kj , x) = kj1x1 + ...+ kjdxd.
Якщо F — деякий функцiональний клас, то покладемо
em(F, Lq) = sup
f∈F
em(f, Lq) . (3)
Величина em(f, L2) для функцiї однiєї змiнної була введена С. Б. Стєчкiним [11] при фор-
мулюваннi критерiю абсолютної збiжностi ортогональних рядiв. Згодом величини em(f, Lq) i
em(F, Lq), 1 ≤ q ≤ ∞, почали дослiджувати вже з точки зору апроксимацiї iндивiдуальних
функцiй i класiв функцiй вiдповiдно. Першi оцiнки величини em(f, L∞) для деяких кон-
кретних функцiй отримав Р. С. Iсмагiлов [6]. Систематичне вивчення величини (3) на класах
перiодичних функцiй багатьох змiнних С. Л. Соболєва W r
p,α та С. М. Нiкольського Hr
p розпочав
В. Н. Темляков [12]. Подальшi дослiдження величин em(F, Lq) на класах функцiй W r
p,α та Hr
p
було продовжено у роботах Е. С. Белiнського [8, 13]. Вiдмiтимо також роботи [14 – 16], в яких
проводилися дослiдження величин (3) для деяких важливих функцiональних класiв.
Далi, нехай T�2n
= {t(x) : t(x) =
∑
k∈�2n
cke
i(k,x), ck ∈ C, де
�2n = {k = (k1, ..., kd) : |kj | < 2n, 1 ≤ j ≤ d}.
Для f ∈ Lq, 1 ≤ q ≤ ∞, покладемо
E�2n
(f, Lq) = inf
t(·)∈T�2n
‖f(·)− t(·)‖q
i для функцiонального класу F ⊂ Lq вiдповiдно
E�2n
(F,Lq) = sup
f∈F
E�2n
(f, Lq) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ 1045
Сформулюємо кiлька тверджень, якi будуть використанi при встановленнi вiдповiдних ре-
зультатiв.
Теорема А [5]. Нехай nj ∈ N, j = 1, d, i
t(x) =
∑
|kj |≤nj
ck e
i(k,x) .
Тодi при 1 ≤ q < p ≤ ∞ виконується нерiвнiсть
‖t‖p ≤ 2d
d∏
j=1
n
1/q−1/p
j ‖t‖q . (4)
Нерiвнiсть (4) доведена С. М. Нiкольським i називається „нерiвнiстю рiзних метрик”. У
випадку d = 1 i p =∞ вiдповiдну нерiвнiсть довiв Джексон [17].
Лема А [18]. Нехай 2 ≤ q <∞. Тодi для довiльного тригонометричного полiнома
P (Θm, x) =
m∑
j=1
ei(k
j ,x)
i для довiльного n ≤ m знайдуться тригонометричний полiном P̃ (Θn, x), який мiстить не
бiльш як n гармонiк, i стала Cq > 0 такi, що
‖P (Θm, ·)− P̃ (Θn, ·)‖q ≤ Cqmn−1/2 ,
до того ж Θn ⊂ Θm, всi коефiцiєнти P̃ (Θn, x) однаковi i не перевищують за модулем mn−1.
Позначимо тепер через µ(s), s = 0, 1, 2, . . . , пiдмножину цiлочислової решiтки вигляду
µ(s) = {k = (k1, ..., kd) : 2s−1 ≤ max
j=1,d
|kj | < 2s}
i для f ∈ Lp(πd) введемо позначення
f0(x) = f̂(0) i fs(x) =
∑
k∈µ(s)
f̂(k)ei(k,x) , s = 1, 2, ... ,
де
f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt
— коефiцiєнт Фур’є функцiї f .
Теорема Б [19]. Нехай f ∈ Lp(πd), 1 < p <∞. Тодi iснують сталi C5(p) i C6(p) такi, що
C5(p)||f ||p ≤
∣∣∣∣∣∣∣∣( ∞∑
s=0
|fs|2
)1/2∣∣∣∣∣∣∣∣
p
≤ C6(p)‖f‖p . (5)
Теорема В [20]. Нехай 1 ≤ p, q, θ ≤ ∞ i Ω ∈ Φα,l з деяким α > α(p, q), де
α(p, q) =
d(1/p− 1/q)+ , 1 ≤ p ≤ q ≤ 2 або 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ ,
max{d/p; d/2} — в iнших випадках.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1046 Н. В. ДЕРЕВ’ЯНКО
Тодi для будь-яких m ∈ N має мiсце оцiнка
em(BΩ
p,θ, Lq) � Ω(m−1/d)m(1/p−max{1/q;1/2})+ ,
де a+ = max{a, 0}.
Теорема Г [21]. Нехай 1 ≤ p, q, θ ≤ ∞, а функцiя Ω ∈ Φα,l з деяким α > d(1/p − 1/q)+.
Тодi
E�2n
(BΩ
p,θ, Lq) � Ω(2−n)2nd(1/p−1/q)+ ,
де a+ = max{a; 0}.
2. Оцiнки тригонометричних поперечникiв класiв BΩ
p,θ у просторi Lq. Має мiсце таке
твердження.
Теорема 1. Нехай 1 ≤ p < 2 ≤ q < p/(p − 1), 1 ≤ θ ≤ ∞, функцiя Ω належить Φα,l при
деякому α > d. Тодi справджується спiввiдношення
dTm(BΩ
p,θ, Lq) � Ω(m−1/d)m1/p−1/2 . (6)
Доведення. Зауважимо, що оцiнка знизу в (6) отримується з теореми В. Оскiльки, згiдно з
означеннями величин em(F, Lq) i dTm(F, Lq), виконується нерiвнiсть
em(F, Lq) ≤ dTm(F,Lq) , (7)
то можемо записати (навiть для α > d/p )
dTm(BΩ
p,θ, Lq) ≥ em(BΩ
p,θ, Lq)� Ω(m−1/d)m1/p−1/2 .
Оцiнку знизу встановлено.
Перейдемо до встановлення оцiнки зверху. Оскiльки права частина (6) вiд θ не залежить, а
зi збiльшенням параметра θ класи BΩ
p,θ розширюються, тобто при 1 ≤ θ ≤ θ′ ≤ ∞ мають мiсце
вкладення
BΩ
p,1 ⊂ BΩ
p,θ ⊂ BΩ
p,θ′ ⊂ BΩ
p,∞ ≡ HΩ
p ,
то оцiнку зверху достатньо встановити для dTm(BΩ
p,∞, Lq), тобто dTm(HΩ
p , Lq).
Вiзьмемо довiльне m ∈ N i пiдберемо n ∈ N таким чином, щоб виконувались нерiвностi
2(n−1)d ≤ m ≤ 2nd, тобто m � 2nd.
Для s = 0, 1, 2, . . . покладемо
ms =
2sd , 0 ≤ s < n ,
[Ω−1(2−n)2sdΩ(2−s)] + 1 , n ≤ s ≤ n0,
0, s > n0,
де [a] — цiла частина числа a i n0 =
[
n
α/d− 1/p+ 1/2
α/d− 1/p+ 1/q
]
+ 1. Тодi оцiнимо
∑n0
s=0ms:
n0∑
s=0
ms ≤
n−1∑
s=0
2sd +
n0∑
s=n
Ω−1(2−n)2sdΩ(2−s) +
n0∑
s=n
1�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ 1047
� 2nd + Ω−1(2−n)
n0∑
s=n
Ω(2−s)
2−αs
2−s(α−d) + (n0 − n+ 1) = J1 .
Оскiльки Ω(t) ∈ Sα з деяким α > d, то має мiсце спiввiдношення
Ω(2−s)
2−αs
≤ Ω(2−n)
2−αn
, s ≥ n.
Оцiнку для J1 можна продовжити таким чином:
J1 � 2nd + Ω−1(2−n)
Ω(2−n)
2−αn
n0∑
s=n
2−s(α−d) + (n0 − n+ 1)�
� 2nd + 2αn2−n(α−d) + (n0 − n+ 1) =
= 2nd + 2nd + (n0 − n+ 1)� 2nd
(
1 +
n0 − n+ 1
2nd
)
� m .
Отже, маємо
n0∑
s=0
ms � m .
Розглянемо тригонометричний полiном
ts(x) =
∑
k∈µ(s)
ei(k,x)
i зауважимо, що при кожному s вiн складається з |µ(s)| доданкiв, тобто їх кiлькiсть дорiвнює
за порядком 2(s+1)d. Через |A| позначаємо кiлькiсть елементiв скiнченної множини A ⊂ Zd.
Далi, оскiльки для довiльного s = 0, 1, 2, ... виконується нерiвнiсть ms ≤ 2(s+1)d, то згiдно
з лемою А iснують тригонометричний полiном t(Θms , x), який мiстить не бiльше ms гармонiк,
i стала Cq такi, що
‖ts(·)− t(Θms , ·)‖q ≤ Cq2(s+1)dm−1/2
s � 2sdm−1/2
s ,
до того ж Θms ⊂ Θ2(s+1)d , всi коефiцiєнти t(Θms , x) однаковi i за модулем не перевищують
2(s+1)dm−1
s .
Побудуємо пiдпростiр тригонометричних полiномiв з „номерами” гармонiк з об’єднання
множин P =
⋃
0≤s<n µ(s) i Q =
⋃
n≤s≤n0
Θms i переконаємося, що наближення полiномом з
даного простору реалiзує порядок тригонометричного поперечника dTm(HΩ
p , Lq) при 1 ≤ p <
< 2 ≤ q < p/(p− 1).
Нехай f — довiльна функцiя iз класуHΩ
p . Розглянемо для цiєї функцiї наближаючий полiном
з „номерами” гармонiк з P
⋃
Q вигляду
t(x) =
n−1∑
s=0
fs(x) +
n0∑
s=n
(t(Θms , x) ∗ fs(x)) .
Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1048 Н. В. ДЕРЕВ’ЯНКО
‖f(·)− t(·)‖q ≤
∣∣∣∣∣∣∣∣ n0∑
s=n
fs(·)− (fs(·) ∗ t(Θms , ·))
∣∣∣∣∣∣∣∣
q
+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣ ∑
s>n0
fs(·)
∣∣∣∣∣∣∣∣
q
= J2 + J3 . (8)
Спочатку встановимо оцiнку зверху для доданка J3 у випадку p 6= 1. Оскiльки для f ∈ HΩ
p
виконується нерiвнiсть
‖σs(f, ·)‖p ≤ Ω(2−s), s = 0, 1, 2, ... ,
то згiдно з нерiвнiстю Мiнковського i „нерiвнiстю рiзних метрик” отримуємо
J3 =
∣∣∣∣∣∣∣∣ ∑
s>n0
fs(·)
∣∣∣∣∣∣∣∣
q
≤
∑
s>n0
‖fs(·)‖q �
�
∑
s>n0
2sd(1/p−1/q)‖σs(f, ·)‖p ≤
≤
∑
s>n0
2sd(1/p−1/q)Ω(2−s) =
∑
s>n0
Ω(2−s)
2−αs
2−sd(α/d−1/p+1/q) .
Оскiльки Ω(t) ∈ Sα з α > d, то має мiсце спiввiдношення
Ω(2−s)
2−αs
� Ω(2−n)
2−αn
, s > n0 > n .
Продовжуємо оцiнку J3:
J3 �
Ω(2−n)
2−αn
∑
s>n0
2−sd(α/d−1/p+1/q) �
� Ω(2−n)
2−αn
2
−nα/d−1/p+1/2
α/d−1/p+1/q
d(α/d−1/p+1/q)
=
=
Ω(2−n)
2−αn
2−nd(α/d−1/p+1/2) =
= Ω(2−n)2nd(1/p−1/2) � Ω(m−1/d)m1/p−1/2 . (9)
Перейдемо до встановлення оцiнки зверху величини J2. З цiєю метою для кожного s ∈
∈ [n, n0] розглянемо лiнiйний оператор Ts, який дiє на функцiю f(x) ∈ Lp таким чином:
Tsf(x) = f(x) ∗ (ts(x)− t(Θms ;x)) .
Тодi має мiсце таке твердження.
Лема Б [22]. Нехай 1 < p < 2 < q < p/(p−1). Тодi норма оператора Ts з Lp в Lq(||Ts||p→q)
задовoльняє спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ 1049
‖Ts‖p→q = sup
‖f‖p≤1
‖Tsf‖q � 2sdm−(1/2+1/p′)
s ,
де p′ = p/(p− 1).
Нехай спочатку p ∈ (1, 2). Використовуючи послiдовно теорему Б, нерiвнiсть Мiнковського
i лему Б (для n ≤ s ≤ n0), можемо записати
J2 �
∥∥∥∥( n0∑
s=n
|fs(·)− (fs(·) ∗ t(Θms , ·))|2
)1/2∥∥∥∥
q
=
=
∥∥∥∥ n0∑
s=n
|fs(·)− (fs(·) ∗ t(Θms , ·))|2
∥∥∥∥1/2
q/2
≤
≤
( n0∑
s=n
‖ |fs(·)− (fs(·) ∗ t(Θms , ·))|2 ‖q/2
)1/2
=
=
( n0∑
s=n
‖fs(·)− (fs(·) ∗ t(Θms , ·))‖2q
)1/2
=
=
( n0∑
s=n
‖Tsfs(·)‖2q
)1/2
≤
( n0∑
s=n
‖Ts‖2p→q‖fs(·)‖2p
)1/2
�
�
( n0∑
s=n
22sdm−(1+2/p′)
s ||fs(·)||2p
)1/2
. (10)
Пiдставляючи в (10) замiсть ms їхнi значення i виконуючи вiдповiднi перетворення, отримуємо
J2 �
( n0∑
s=n
22sdΩ1+2/p′(2−n)2−sd(1+2/p′)Ω−(1+2/p′)(2−s)‖σs(f, ·)‖2p
)1/2
≤
≤ Ω1/2+1/p′(2−n)
( n0∑
s=n
Ω−(1+2/p′)(2−s)Ω2(2−s)2sd(1−2/p′)
)1/2
=
= Ω3/2−1/p(2−n)
( n0∑
s=n
Ω2/p−1(2−s)2sd(2/p−1)
)1/2
=
= Ω3/2−1/p(2−n)
( n0∑
s=n
(
Ω(2−s)
2−αs
)2/p−1
2−s(α−d)(2/p−1)
)1/2
.
Враховуючи, що згiдно з умовами теореми функцiя Ω(t) ∈ Sα з деяким α > d i виконуються
нерiвностi 2/p− 1 > 0 i α− d > 0, оцiнку величини J2 можна продовжити таким чином:
J2 � Ω3/2−1/p(2−n)
(
Ω(2−n)
2−αn
)1/p−1/2( n0∑
s=n
2−s(α−d)(2/p−1)
)1/2
�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1050 Н. В. ДЕРЕВ’ЯНКО
� Ω(2−n)2αn(1/p−1/2)2−n(α−d)(1/p−1/2) =
= Ω(2−n)2nd(1/p−1/2) � Ω(m−1/d)m1/p−1/2 . (11)
Отже, пiдставивши (9) i (11) в (8), одержимо оцiнку
‖f(·)− t(·)‖q � Ω(m−1/d)m1/p−1/2 , 1 < p < 2 ≤ q < p
p− 1
.
Звiдси випливає оцiнка зверху для поперечника dTm(HΩ
p , Lq), а також i для поперечника
dTm(BΩ
p,θ, Lq), 1 < p < 2 ≤ q < p/(p− 1), 1 ≤ θ <∞.
Встановимо тепер оцiнку зверху для тригонометричного поперечника dTm(HΩ
1 , Lq), 2 ≤
≤ q <∞.
Нехай p1 — число, яке задовoльняє умову 1 < p1 < 2. Його значення уточнимо пiзнiше.
Доданок J3 оцiнюється так само, як i в попередньому випадку. Для величини J2, повторивши
до певного мiсця мiркування, якi проводилися вище, отримаємо
J2 �
( n0∑
s=n
‖Tsfs(·)‖2q
)1/2
≤
( n0∑
s=n
‖Ts‖2p1→q‖fs(·)‖
2
p1
)1/2
�
�
( n0∑
s=n
‖Ts‖2p1→q‖σs(f, ·)‖
2
p1
)1/2
�
�
( n0∑
s=n
22sdm
−(1+2/p′1)
s ‖σs(f, ·)‖2p1
)1/2
. (12)
Застосувавши до ‖σs(f, ·)‖p1 нерiвнiсть рiзних метрик i пiдставивши в (12) значенняms, будемо
мати
J2 �
( n0∑
s=n
22sdm
−(1+2/p′1)
s 22sd(1−1/p1)‖σs(f, ·)‖21
)1/2
≤
≤ Ω1/2+1/p′1(2−n)
( n0∑
s=n
Ω1−2/p′1(2−s)2sd
)1/2
=
= Ω1/2+1/p′1(2−n)
( n0∑
s=n
(
Ω(2−s)
2−αs
)1−2/p′1
2−s(α−2α/p′1−d)
)1/2
≤
≤ Ω1/2+1/p′1(2−n)
(
Ω(2−n)
2−αn
)1/2−1/p′1
( n0∑
s=n
2−s(α−2α/p′1−d)
)1/2
=
= Ω(2−n)2αn(1/2−1/p′1)
( n0∑
s=n
2−s(α−2α/p′1−d)
)1/2
.
Тепер пiдберемо число p1 таким чином, щоб виконувалась умова α− 2α/p′1 − d > 0, де
1/p1 + 1/p′1 = 1. Це можливо, оскiльки згiдно з умовами теореми α > d.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ТРИГОНОМЕТРИЧНI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ 1051
Продовжимо оцiнку J2:
J2 � Ω(2−n)2αn(1/2−1/p′1)2−n(α/2−α/p′1−d/2) �
� Ω(2−n)2nd/2 � Ω(m−1/d)m1/2 .
Звiдси, беручи до уваги оцiнку величини J3, знаходимо шукану оцiнку для поперечника
dTm(HΩ
1 , Lq), а вiдповiдно i оцiнку dTm(BΩ
1,θ, Lq), 1 ≤ θ <∞.
Теoрему доведено.
На завершення наведемо твердження щодо порядкiв тригонометричних поперечникiв
dTm(BΩ
p,θ, Lq) для iнших спiввiдношень мiж параметрами p та q, яке є наслiдком вiдомих ре-
зультатiв .
Теорема 2. Нехай 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ або 1 ≤ p ≤ q ≤ 2 i 1 ≤ θ ≤ ∞ , функцiя Ω належить
Φα,l при деякому α > d(1/p− 1/q)+. Тодi має мiсце порядкова оцiнка
dTm(BΩ
p,θ, Lq) � Ω(m−1/d)m(1/p−1/q)+ . (13)
Оцiнку зверху в (13) отримуємо з теореми Г згiдно з нерiвнiстю
dTm(BΩ
p,θ, Lq) ≤ E�2n
(BΩ
p,θ, Lq), m � 2nd,
а оцiнка знизу є наслiдком теореми В.
Зауваження. 1. Якщо Ω(t) = tr, r > d, 1 ≤ p < 2 ≤ q < p/(p− 1), 1 ≤ θ ≤ ∞, то
dTm(Br
p,θ)q � m−r/d+1/p−1/2 . (14)
Оцiнку (14) встановлено у роботi [22].
2. Для тих спiввiдношень мiж параметрами p i q, якi задовольняють умови теорем 1 i 2,
згiдно з теоремою В можемо записати
dTm(BΩ
p,θ, Lq) � em(BΩ
p,θ, Lq) .
3. Питання про порядки поперечникiв dTm(BΩ
p,θ, Lq) у випадках 2 ≤ p < q ≤ ∞ i 1 < p < 2,
p/(p− 1) < q ≤ ∞ залишається вiдкритим.
1. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функ-
ций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – С. 483 – 522.
2. Liu Yongping, Xu Guiqiao. The infinite-dimensional widths and optimal recovery of generalized Besov classes // J.
Complexity. – 2002. – 18, № 3. – P. 815 – 832.
3. Xu Guiqiao. The n-widths for a generalized periodic Besov classes // Acta Math. Sci. – 2005. – 25, № 4. – P. 663 – 671.
4. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения // Докл.
АН СССР. – 1959. – 126, № 6. – С. 1163 – 1165.
5. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
6. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций
тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. – 1974. – 29, № 3. – C. 161 – 178.
7. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах периодических функций с огра-
ниченной смешанной производной // Исследование по теории функций многих вещественных переменных. –
Ярославль: Ярослав. ун-т, 1988. – С. 16 – 33.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1052 Н. В. ДЕРЕВ’ЯНКО
8. Белинский Э. С. Приближение периодических функций многих переменных „плавающей” системой экспонент
и тригонометрические поперечники // Докл. АН СССР. – 1985. – 284, № 6. – С. 1294 – 1297.
9. Романюк А. С. Колмогоровские и тригонометрические поперечники классов Бесова Br
p,θ периодических
функций многих переменных // Мат. сб. – 2006. – 197, № 1. – С. 71 – 96.
10. Майоров В. Е. Тригонометрические n-поперечники класса W r
1 в пространстве Lq // Математическое про-
граммирование и смежные вопросы. Теория операторов в линейных пространствах. – М.: ЦЭМИ, 1976. –
С. 199 – 208.
11. Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. – 1955. – 102, № 1. –
С. 37 – 40.
12. Темляков В. Н. О приближении периодических функций многих переменных // Докл. АН СССР. – 1984. – 279,
№ 2. – С. 301 – 305.
13. Белинский Э. С. Приближение „плавающей” системой экспонент на классах периодических гладких функций //
Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1987. – 180. – С. 46 – 47.
14. Романюк А. С. Наилучшие M -членные тригонометрические приближения классов Бесова периодических
функций многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2003. – 67, № 2. – С. 61 – 100.
15. Кашин Б. С., Темляков В. Н. О наилучших М-членных приближениях и энтропии множеств в пространстве
L1 // Мат. заметки. – 1994. – 56, № 5. – С. 57 – 86.
16. Стасюк С. А. Найкращi тригонометричнi наближення класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних у
просторi L1 // Екстремальнi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання: Пр. Iн-ту математики НАН Укрaїни. –
2003. – 46. – С. 265 – 275.
17. Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1933. – 39, № 12. – P. 889 – 906.
18. Белинский Э. С., Галеев Э. М. О наименьшей величине норм смешанных производных тригонометрических
полиномов с заданным числом гармоник // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. – 1991. – № 2. –
С. 3 – 7.
19. Лизоркин П. И. Обобщенные гельдеровы пространства B
(r)
p,θ и их соотношения с пространствами Соболева
L
(r)
p // Сиб. мат. журн. – 1968. – 9, № 5. – С. 1127 – 1152.
20. Войтенко С. П. Найкращi М-членнi тригонометричнi наближення класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох
змiнних // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 9. – С. 1189 – 1199.
21. Стасюк С. А. Наближення класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних полiномами зi спектром в
кубiчних областях // Мат. студ. – 2011. – 35, № 1. – С. 66 – 73.
22. Романюк А. С., Романюк В. С. Тригонометрические и ортопроекционные поперечники классов периодических
функций многих переменных // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 10. – С. 1348 – 1366.
Одержано 21.02.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2639 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:24Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/37/dec76c707e7c086a6a80739fd05b0137.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26392020-03-18T19:31:48Z Trigonometric widths of classes of periodic functions of many variables Тригонометричні поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. We obtain exact-order estimates for the trigonometric widths of the classes $B^{\Omega}_{p\theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p$ and $q$. Получены точные по порядку оценки тригонометрических поперечников классов $B^{\Omega}_{p\theta}$ периодических функций многих переменных в пространстве Lq для некоторых соотношений между параметрами $p$ и $q$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2639 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 8 (2012); 1041-1052 Український математичний журнал; Том 64 № 8 (2012); 1041-1052 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2639/2037 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2639/2038 Copyright (c) 2012 Derev’yanko N. V. |
| spellingShingle | Derev’yanko, N. V. Дерев'янко, Н. В. Trigonometric widths of classes of periodic functions of many variables |
| title | Trigonometric widths of classes of periodic functions of many variables |
| title_alt | Тригонометричні поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full | Trigonometric widths of classes of periodic functions of many variables |
| title_fullStr | Trigonometric widths of classes of periodic functions of many variables |
| title_full_unstemmed | Trigonometric widths of classes of periodic functions of many variables |
| title_short | Trigonometric widths of classes of periodic functions of many variables |
| title_sort | trigonometric widths of classes of periodic functions of many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2639 |
| work_keys_str_mv | AT derevyankonv trigonometricwidthsofclassesofperiodicfunctionsofmanyvariables AT derev039ânkonv trigonometricwidthsofclassesofperiodicfunctionsofmanyvariables AT derevyankonv trigonometričnípoperečnikiklasívperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT derev039ânkonv trigonometričnípoperečnikiklasívperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih |