Space-time fractional Cauchy problem in spaces of generalized functions
We prove a theorem on the existence and uniqueness and obtain a representation using the Green vector function for the solution of the Cauchy problem $$u^{(\beta)}_t + a^2(-\Delta)^{\alpha/2}u = F(x, t), \quad (x, t) \in \mathbb{R} ^n \times (0, T], \quad a = \text{const} $$ $$u(x, 0) = u_0(x), \qua...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2641 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508579974348800 |
|---|---|
| author | Lopushanskaya, G. P. Lopushanskyi, A. O. Лопушанська, Г. П. Лопушанський, А. О. |
| author_facet | Lopushanskaya, G. P. Lopushanskyi, A. O. Лопушанська, Г. П. Лопушанський, А. О. |
| author_sort | Lopushanskaya, G. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:31:48Z |
| description | We prove a theorem on the existence and uniqueness and obtain a representation using the Green vector function for the solution of the Cauchy problem
$$u^{(\beta)}_t + a^2(-\Delta)^{\alpha/2}u = F(x, t), \quad (x, t) \in \mathbb{R} ^n \times (0, T], \quad a = \text{const} $$
$$u(x, 0) = u_0(x), \quad x \in \mathbb{R} ^n$$
where $u^{(\beta)}_t$ is the Riemann-Liouville fractional derivative of order $\beta \in (0,1)$, and $u_0$ and $F$ belong to some spaces of generalized functions.
We also establish the character of the singularity of the solution at $t = 0$ and its dependence on the order of singularity of the given generalized function in the initial condition and the character of the power singularities of the function on right-hand side of the equation. Here, the fractional $n$-dimensional Laplace operator
$\mathfrak{F}[(-\Delta)^{\alpha/2} \psi(x)] = |\lambda|^{\alpha} \mathfrak{F}[\psi(x)]$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
Г. П. Лопушанська, А. О. Лопушанський (Львiв. нац. ун-т, Ряшiв. ун-т, Польща)
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ РIВНЯНЬ З ДРОБОВИМИ ПОХIДНИМИ
ЗА ЧАСОВОЮ ТА ПРОСТОРОВИМИ ЗМIННИМИ
У ПРОСТОРАХ УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦIЙ
We prove a theorem on the existence and uniqueness and obtain a representation using the Green vector function for the
solution of the Cauchy problem
u
(β)
t + a2(−∆)α/2u = F (x, t), (x, t) ∈ Rn × (0, T ], a = const,
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Rn,
where u(β)
t is the Riemann – Liouville fractional derivative of order β ∈ (0, 1), and u0 and F belong to some spaces
of generalized functions. We also establish the character of the singularity of the solution at t = 0 and its dependence
on the order of singularity of the given generalized function in the initial condition and the character of the power
singularities of the function on right-hand side of the equation. Here, the fractional n-dimensional Laplace operator
F[(−∆)α/2ψ(x)] = |λ|αF[ψ(x)].
Доказана теорема существования и единственности и получено представление с помощью вектор-функции Грина
решения задачи Коши
u
(β)
t + a2(−∆)α/2u = F (x, t), (x, t) ∈ Rn × (0, T ], a = const,
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Rn,
с производной Римана – Лиувилля u(β)
t порядка β ∈ (0, 1) и u0, F из пространств обобщенных функций. Установлен
характер особенностей решения при t = 0 в зависимости от порядка сингулярности заданной обобщенной функции
в начальном условии и характера степенных особенностей функции в правой части уравнения. Здесь (−∆)α/2
определено с помощью преобразования Фурье F[(−∆)α/2ψ(x)] = |λ|αF[ψ(x)].
У роботах [1, 2] доведено теорему iснування та єдиностi, а також одержано зображення за
допомогою функцiї Грiна класичного розв’язку задачi Кошi
Dβ
t u(x, t) = A(x,D)u(x, t), (x, t) ∈ Rn × [0, T ],
u(x, 0) = g1(x), x ∈ Rn,
з регуляризованою похiдною функцiї u порядку β ∈ (0; 1)
Dβ
t u(x, t) =
1
Γ(1− β)
∂
∂t
t∫
0
u(x, τ)
(t− τ)β
dτ − u(x, 0)
tβ
, (x, t) ∈ Rn × [0, T ],
неперервною функцiєю g1 певного зростання на нескiнченностi та елiптичним диференцiаль-
ним оператором другого порядкуA(x,D) з гладкими коефiцiєнтами, залежними вiд просторової
змiнної x ∈ Rn. Таку регуляризовану похiдну дробового порядку використано у роботах [3 – 8].
У випадку β > 1 та A(x,D) = ∆ класичний розв’язок вiдповiдної задачi Кошi побудовано у
[7]. Одержано зображення розв’язку за допомогою функцiї Грiна. Крайовi задачi для рiвнянь iз
кiлькома дробовими похiдними вивчались у роботах [9 – 11].
У [12, 13] побудовано вiдповiдно фундаментальний розв’язок G0(x, t) рiвняння
c© Г. П. ЛОПУШАНСЬКА, А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 1067
1068 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА, А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ
u
(β)
t + a2(−∆)α/2u = F (x, t), (x, t) ∈ QT = Rn × (0, T ], (1)
з дробовою похiдною Рiмана – Лiувiлля u(β)
t та функцiю Грiна G1(x, t) задачi Кошi
Dβ
t u+ a2(−∆)α/2u = 0, (2)
u(x, 0) = g1(x), x ∈ Rn. (3)
Оператор J−α = (−∆)α/2 є оберненим до оператора згортки Jα = (−∆)−α/2 :
(Jαg)(x) = Jα(x) ∗ g(x) ∀g ∈ S(Rn),
де Jα(x) = 2−απn/2
Γ ((n− α)/2)
Γ (α/2)
|x|α−n, Γ(λ) — гамма-функцiя, S(Rn) — простiр нескiнченно
диференцiйовних швидкоспадних на нескiнченностi функцiй. Зауважимо, що
(Jαg)(x) =
∫
Rn
Jα(x− y)g(y)dy при 0 < α < n.
За властивiстю перетворення Фур’є F згортки та формулою з [14, c. 156]
F
[
(−∆)−α/2g(x)] = F[Jα(x)]F[g(x)] = |λ|αF[g(x)
]
.
Оскiльки J−αψ = g <=> ψ = Jαg <=> F[ψ] = |λ|−αF[g], то F[J−αψ] = F[g] = |λ|αF[ψ], а
отже, F[(−∆)α/2g(x)] = |λ|αF[g(x)].
У данiй статтi доведено розв’язнiсть задачi Кошi для рiвняння (1) при β ∈ (0, 1) у просторах
узагальнених функцiй типуD′ та вагових просторах узагальнених функцiй. Встановлено харак-
тер особливостей розв’язку при t = 0 залежно вiд порядку сингулярностi заданої узагальненої
функцiї в початковiй умовi та характеру степеневих особливостей функцiї у правiй частинi
рiвняння. Зауважимо, що для випадку α = 2 у [15] встановлено однозначну розв’язнiсть задачi
Кошi з даними – узагальненими функцiями повiльного зростання.
1. Основнi позначення. Нехай
QT = Rn × (0, T ], n = 1, 2, . . . , E(Rn) = C∞(Rn),
C∞,(0)(Q̄T ) = {ϕ ∈ C∞(Q̄T ) : Dl
tϕ|t=T = 0, l = 0, 1, 2, . . .},
D(Rn) = C∞0 (Rn) таD(QT ) — простори нескiнченно диференцiйовних функцiй з компактними
носiями вiдповiдно в Rn та QT ,
D(Q̄T ) = C
∞,(0)
0 (Q̄T ) — простiр нескiнченно диференцiйовних функцiй з компактними
носiями в Q̄τ , τ < T,
E′(Rn), D′(Rn) — простори лiнiйних неперервних функцiоналiв (узагальнених функцiй)
вiдповiдно на E(Rn), D(Rn), (f, ϕ) — значення f ∈ E′(Rn) (f ∈ D′(Rn)) на основнiй функцiї
ϕ ∈ E(Rn)
(
вiдповiдно ϕ ∈ D(Rn)
)
,
D′(Q̄T ) — простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв на D(Q̄T ), (f, ϕ)QT — значення
f ∈ D′(Q̄T ) на ϕ ∈ D(Q̄T ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ РIВНЯНЬ З ДРОБОВИМИ ПОХIДНИМИ ЗА ЧАСОВОЮ . . . 1069
Позначимо через ∗̂ операцiю згортки узагальненої функцiї g та основної функцiї ϕ [14,
с. 111]: (g∗̂ϕ)(x) =
(
g(ξ), ϕ(x + ξ)
)
, через ∗ операцiю згортки узагальнених функцiй f i g —
узагальнену функцiю f ∗ g : (f ∗ g, ϕ) = (f, g∗̂ϕ) для кожної основної функцiї ϕ.
Будемо використовувати функцiю fλ ∈ D′+(R) = {f ∈ D′(R) : f = 0 при t < 0}:
fλ(t) =
θ(t)tλ−1
Γ(λ)
при λ > 0 i fλ(t) = f ′1+λ(t) при λ ≤ 0,
де θ(t) — одинична функцiя Хевiсайда. Мають мiсце спiввiдношення
fλ ∗ fµ = fλ+µ, fλ∗̂fµ = fλ+µ,
f−β(t)∗̂v(x, t) = f ′1−β(t)∗̂v(x, t) = −f1−β(t)∗̂vt(x, t) = − 1
Γ(1− β)
∂
∂t
T∫
t
v(x, η)
(η − t)β
dη,
(x, t) ∈ QT , β ∈ (0; 1), v ∈ D(Q̄T ).
Позначимо через Cα,β(QT ) клас неперервних обмежених функцiй v(x, t), (x, t) ∈ Q̄T ,
рiвних нулю при t ≥ T та з неперервними функцiями (−∆v)α/2, Dβ
t v в QT .
Введемо оператори
L̂ : (L̂v)(x, t) ≡ f−β(t)∗̂v(x, t) + (−∆v)α/2(x, t), (x, t) ∈ QT , v ∈ D(Q̄T ),
L : (Lv)(x, t) ≡ f−β(t) ∗ v(x, t) + (−∆v)α/2(x, t), (x, t) ∈ QT , v ∈ D′(Q̄T ),
Lreg : (Lregv)(x, t) ≡ Dβ
t v(x, t) + (−∆v)α/2(x, t), (x, t) ∈ QT , v ∈ Cα,β(QT )
та функцiйний простiр
X(Q̄T ) = {ϕ ∈ C∞,(0)(Q̄T ) : L̂ϕ ∈ D(Q̄T )}.
З леми 3 випливатиме, що простiр X(Q̄T ) не є порожнiм.
2. Формулювання задачi.
Припущення (L): β ∈ (0, 1), min{n, 2, α} > (n− 1)/2, α 6= β,
u0 ∈ E′(Rn), F ∈ X ′(Q̄T ).
За припущення (L) вивчаємо задачу Кошi
(Lu)(x, t) = F (x, t), (x, t) ∈ QT , u(x, 0) = u0(x), x ∈ Rn. (4)
Означення 1. Функцiя u ∈ D′(Q̄T ), що задовольняє тотожнiсть
(
u(x, t), (L̂ψ)(x, t)
)
QT
= (F,ψ)QT +
(
u0(x),
T∫
0
f1−β(t)ψ(x, t)dt
)
∀ψ ∈ X(Q̄T ), (5)
називається розв’язком задачi (4).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1070 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА, А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ
Зауважимо, що для u ∈ Cα,β(QT ), ψ ∈ D(Q̄T ) правильною є формула Грiна∫
QT
u(x, t)(L̂ψ)(x, t)dxdt =
=
∫
QT
(Lregu)(x, t)ψ(x, t)dxdt+
∫
Rn
u(x, 0)dx
T∫
0
f1−β(t)ψ(x, t)dt. (6)
Тому задачу (4) можна вважати узагальненням задачi Кошi
Lregu = g0(x, t), (x, t) ∈ QT , (7)
u(x, 0) = g1(x), x ∈ Rn, (8)
з регулярними даними g0, g1. З одержаної нижче теореми 1 можна вивести, що при достатньо
гладких та фiнiтних F = g0, u0 = g1 розв’язки задач (4) та (7), (8) збiгаються мiж собою.
3. Вектор-функцiя Грiна.
Означення 2. Вектор-функцiєю Грiна задачi Кошi (4) називається така пара функцiй(
G0(x, t), G1(x, t)
)
, що при достатньо гладких та фiнiтних g0, g1 функцiя
u(x, t) =
t∫
0
dτ
∫
Rn
G0(x− y, t− τ)g0(y, τ)dy +
∫
Rn
G1(x− y, t)g1(y)dy, (x, t) ∈ QT , (9)
є класичним
(
класу Cα,β(QT )
)
розв’язком задачi (7), (8).
З означення G1(x, t) як ядра Пуассона задачi Кошi випливає, що
LregG1(x, t) = 0, (x, t) ∈ QT , G1(x, 0) = δ(x), x ∈ Rn. (10)
Також LG0(x, t) = δ(x, t), (x, t) ∈ QT . Тут δ — дельта-функцiя Дiрака.
Якщо пiдставимо розв’язок (9) класичної задачi Кошi (7), (8) у формулу (6), то при довiльнiй
функцiї ψ ∈ X(Q̄T ) одержимо
∫
QT
t∫
0
dτ
∫
Rn
G0(x− y, t− τ)g0(y, τ)dy
(L̂ψ)(x, t)dxdt+
+
∫
QT
∫
Rn
G1(x− y, t)g1(y)dy
(L̂ψ)(x, t)dxdt =
=
∫
QT
g0(x, t)ψ(x, t)dxdt+
∫
QT
g1(x)f1−β(t)ψ(x, t)dxdt,
тобто
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ РIВНЯНЬ З ДРОБОВИМИ ПОХIДНИМИ ЗА ЧАСОВОЮ . . . 1071
∫
QT
T∫
τ
dt
∫
Rn
G0(x− y, t− τ)(L̂ψ)(x, t)dx
g0(y, τ)dydτ+
+
∫
Rn
∫
QT
G1(x− y, t)(L̂ψ)(x, t)dxdt
g1(y)dy =
=
∫
QT
ψ(y, τ)g0(y, τ)dydτ +
∫
Rn
T∫
0
f1−β(t)ψ(y, t)dt
g1(y)dy.
За довiльнiстю g0, g1 одержуємо правильнiсть наступної леми.
Лема 1. Для кожної функцiї ψ ∈ X(Q̄T )
T∫
τ
∫
Rn
G0(x− y, t− τ)(L̂ψ)(x, t)dx = ψ(y, t), (y, t) ∈ Q̄T , (11)
∫
QT
G1(x− y, t)(L̂ψ)(x, t)dxdt =
T∫
0
f1−β(t)ψ(y, t)dt, y ∈ Rn. (12)
Звiдси одержуємо
G0(x, t) = fβ−1(t) ∗G1(x, t), (x, t) ∈ QT .
Нехай
(Ĝ0ϕ)(y, τ) =
T∫
τ
∫
Rn
G0(x− y, t− τ)ϕ(x, t)dx,
(Ĝ1ϕ)(y, τ) =
∫
QT
G1(x− y, t)ϕ(x, t)dxdt, ϕ ∈ D(Q̄T ).
Лема 2. Ĝ0 : D(Q̄T )→ C∞,(0)(Q̄T ), Ĝ1 : D(Q̄T )→ C∞(Rn).
Доведення. Згiдно з [12] (формула (13))
G0(x, t) =
πn/2tβ−1
|x|n
H2,1
2,3
(
|x|α
2αa2tβ
∣∣∣∣∣(1, 1) (β, β)
(1, 1) (n/2, α/2) (1, α/2)
)
, (13)
а згiдно з [13] (формула (33))
G1(x, t) =
πn/2
|x|n
H2,1
2,3
(
|x|α
2αa2tβ
∣∣∣∣∣(1, 1) (1, β)
(1, 1) (n/2, α/2) (1, α/2)
)
, (14)
де Hm,n
p,q
(
z
∣∣∣∣(a1, α1) . . . (ap, αp)
(b1, β1) . . . (bq, βq)
)
— H-функцiя Фокса [16], i зображення (14) є правильним
принаймнi для
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1072 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА, А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ
β ∈ (0, 1), min{n, 2, α} > (n− 1)/2, |x| 6= 0.
При β < α також функцiю G1(x, t) можна подати у виглядi ряду
G1(x, t) =
πn/2
|x|n
∞∑
k=0
(−1)k
(
|x|α
2αa2tβ
)k+1 Γ(n− α− αk/2)
Γ(1− β − βk/2)Γ(α+ αk/2)
.
Використаємо позначення iз [16] для Hm,n
p,q :
a∗ =
n∑
i=1
αi −
p∑
i=n+1
αi +
m∑
i=1
βi −
q∑
i=m+1
βi,
∆∗ =
q∑
i=1
βi −
p∑
i=1
αi.
Для обох функцiй G0, G1 маємо a∗ = 2 − β, ∆∗ = α − β. Тому за теоремою 1.1 [16] при
β 6= α (∆∗ 6= 0) функцiї G0, G1 iснують для всiх x 6= 0, t > 0.
У [16] побудовано асимптотику для H-функцiй Фокса. Враховуючи, що виконуються умо-
ви (1.6) та (1.3.2) iз [16], за теоремою 1.7 iз [16] одержуємо оцiнки
|G0(x, t)| ≤ C0
t1−β|x|n
, |G1(x, t)| ≤ C1
|x|n
при |x|α > tβ.
За наслiдком з теореми 1.12 [16] отримуємо оцiнки при |x|α < tβ :
|G0(x, t)| ≤ C∗0
t|x|n−α
ln
tβ
|x|α
, якщо α < n,
|G0(x, t)| ≤ C∗0
t1−β(α−n
α
)
ln
tβ
|x|α
, якщо α ≥ n,
|G1(x, t)| ≤ C∗1
tβ|x|n−α
ln
tβ
|x|α
, якщо α < n,
|G1(x, t)| ≤ C∗1
tnβ/α
ln
tβ
|x|α
, якщо α ≥ n.
Тут C0, C1, C
∗
0 , C
∗
1 — певнi додатнi сталi. У випадку
α 6= n+ 2l
σ
, l = 0, 1, . . . , σ = 1, 2, . . . , (15)
правильними є такi ж оцiнки без логарифмiв.
З одержаних вище оцiнок випливає iнтегровнiсть функцiй G0, G1 в QT , а звiдси — непе-
рервнiсть функцiй (Ĝ0ϕ)(y, τ) в QT та (Ĝ1ϕ)(y) в Rn.
Нехай γ = (γ1, . . . , γn) — мультиiндекс, |γ| = γ1 + . . .+ γn, D
γ
x =
∂|γ|
∂γ1x1 . . . ∂
γn
xn
, Dγ̄ = Dγ̄
x,t =
= Dγ
xD
γ0
t , |γ̄| = |γ|+
[
α
β
]
γ0, де p — цiла частина числа p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ РIВНЯНЬ З ДРОБОВИМИ ПОХIДНИМИ ЗА ЧАСОВОЮ . . . 1073
Оскiльки
∂
∂yi
G0(x− y, t) = − ∂
∂xi
G0(x− y, t), ∂
∂τ
G0(x− y, t− τ) = − ∂
∂t
G0(x− y, t− τ) i,
подiбно для похiдних вищих порядкiв, функцiя ϕ належить D(Q̄T ), то для всiх γ̄
Dγ̄(Ĝ0ϕ)(y, τ) =
∫
QT
G0(x− y, t− τ)Dγ̄ϕ(x, t)dxdt та Dγ̄(Ĝ0ϕ)(y, T ) = 0
за умови рiвномiрної збiжностi iнтегралiв
vγ̄(y, τ) =
T∫
τ
∫
Rn
G0(x− y, t− τ)Dγ̄ϕ(x, t)dxdt, ϕ ∈ D(Q̄T ).
За цiєї умови з попередньої рiвностi одержуємо, що Dγ̄(Ĝ0ϕ) належить C(QT ) для довiль-
ного мультиiндексу γ̄, а отже, Ĝ0ϕ належить C∞,(0)(Q̄T ) при ϕ ∈ D(Q̄T ).
Покажемо рiвномiрну збiжнiсть iнтегралiв vγ̄(y, τ) для кожного γ̄. Для простоти розгляда-
тимемо випадок (15).
Враховуючи оцiнки функцiї G0(x− y, t− τ), фiнiтнiсть та обмеженiсть функцiй Dγ̄ϕ(x, t)
в QT , у випадку α < n маємо
∣∣vγ̄(y, τ)
∣∣ ≤ T∫
τ
∫
x : |x−y|α<(t−τ)β
|G0(x− y, t− τ)||Dγ̄ϕ(x, t)|dx +
+
∫
x : |x−y|α>(t−τ)β
|G0(x− y, t− τ)||Dγ̄ϕ(x, t)|dx
dt ≤
≤ c0
T∫
τ
∫
x : |x−y|α<(t−τ)β
|Dγ̄ϕ(x, t)|
(t− τ)|x− y|n−α
dx +
+
∫
x : |x−y|α>(t−τ)β
|Dγ̄ϕ(x, t)|
(t− τ)1−β|x− y|n
dx
dt ≤
≤ c1
T∫
τ
dt
t− τ
(t−τ)β/α∫
0
rα−1dr +
T∫
τ
1
(t− τ)1−β dt
+∞∫
(t−τ)β/α
|Dγ̄ϕ(x, t)|r−1dr
≤
≤ c2
T∫
τ
1
(t− τ)1−β
[
1 + | ln (t− τ)β/α|
]
dt < +∞.
Тут i далi ci, di, i = 0, 1, . . . , — додатнi сталi.
У випадку α ≥ n аналогiчно одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1074 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА, А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ
|vγ̄(y, τ)| ≤ c3
T∫
τ
∫
x : |x−y|α<(t−τ)β
|Dγ̄ϕ(x, t)|
(t− τ)1−β(1−n
α
)
dx +
+
∫
x:|x−y|α>(t−τ)β
|Dγ̄ϕ(x, t)|
(t− τ)1−β|x− y|n
dx
dt ≤
≤ c4
T∫
τ
1
(t− τ)1−β [1+ | ln (t− τ)β/α|]dt < +∞.
Ми довели, що Ĝ0 : D(Q̄T )→ C∞,(0)(Q̄T ).
Враховуючи оцiнки функцiї G1(x, t), так само показуємо, що Ĝ1 : D(Q̄T )→ C∞(Rn). При
ϕ ∈ D(Q̄T ) розглядаємо
wγ(y) =
T∫
0
dt
∫
Rn
G1(x− y, t)Dγϕ(x, t)dx =
=
T∫
0
dt
∫
x:|x−y|α<tβ
G1(x− y, t)Dγϕ(x, t)dx+
+
T∫
0
dt
∫
x : |x−y|α>tβ
G1(x− y, t)Dγϕ(x, t)dx.
У випадку α < n отримуємо
|wγ(y)| ≤ d0
T∫
0
∫
x:|x−y|α<tβ
|Dγϕ(x, t)|
tβ|x− y|n−α
dx+
∫
x:|x−y|α>tβ
|Dγϕ(x, t)|
|x− y|n
dx
dt ≤
≤ d1
T∫
0
dt
tβ
tβ/α∫
0
rα−1dr +
T∫
0
dt
+∞∫
tβ/α
|Dγϕ(x, t)|r−1dr
≤ d2
T∫
0
[
1+ | ln tβ/α|
]
dt < +∞.
У випадку α ≥ n
|wγ(y)| ≤ d3
T∫
0
∫
x : |x−y|α<tβ
|Dγϕ(x, t)|
tnβ/α
dx+
∫
x : |x−y|α>tβ
|Dγϕ(x, t)|
|x− y|n
dx
dt ≤
≤ d4
T∫
0
[1+ | ln tβ/α|]dt < +∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ РIВНЯНЬ З ДРОБОВИМИ ПОХIДНИМИ ЗА ЧАСОВОЮ . . . 1075
Лема 3. Для кожної функцiї ϕ ∈ D(Q̄T ) iснує така ψ ∈ X(Q̄T ), що
(L̂ψ)(x, t) = ϕ(x, t), (x, t) ∈ QT .
Доведення. Як i у [15], показуємо, що шуканою є функцiя
ψ(y, τ) =
T∫
τ
dt
∫
Rn
G0(x− y, t− τ)ϕ(x, t)dx.
Справдi, за лемою 2 ψ ∈ C∞,(0)(Q̄T ) при ϕ ∈ D(Q̄T ),
(L̂ψ)(y, τ) = L̂
(
G0(x− y, t− τ), ϕ(x, t)
)
QT
= L̂
(
G0(x, t), ϕ(x+ y, t+ τ)
)
QT
=
=
(
G0(x, t), (L̂ϕ)(x+ y, t+ τ)
)
QT
=
(
(LG0)(x, t), ϕ(x+ y, t+ τ)
)
QT
=
=
(
δ(x, t), ϕ(x+ y, t+ τ)
)
QT
= ϕ(y, τ), (y, τ) ∈ QT .
З леми 3 випливає, що L̂(Ĝ0ϕ) = ϕ, а отже, Ĝ0ϕ належить X(Q̄T ) при ϕ ∈ D(Q̄T ), тобто
Ĝ0 : D(Q̄T )→ X(Q̄T ).
4. Теореми iснування та єдиностi.
Теорема 1. За припущення (L) iснує єдиний розв’язок u ∈ D′(Q̄T ) задачi (4), який визна-
чається формулою
(u, ϕ)QT = (F, Ĝ0ϕ)QT + (u0, Ĝ1ϕ)QT ∀ϕ ∈ D(Q̄T ). (16)
Доведення. На пiдставi лем 2, 3 Ĝ0 : D(Q̄T ) → X(Q̄T ), Ĝ1 : D(Q̄T ) → C∞(Rn). Отже,
права частина у формулi (16) має сенс i формулою (16) визначено u ∈ D′(Q̄T ).
Пiдставляючи функцiю (16) у тотожнiсть (5) i використовуючи лему 1, показуємо, що
функцiя (16) є розв’язком задачi (4):
(u, L̂ψ)QT =
(
F, Ĝ0(L̂ψ)
)
QT
+
(
u0, Ĝ1(L̂ψ)
)
=
= (F,ψ)QT +
u0(x),
T∫
0
f1−β(t)ψ(x, t)dt
∀ψ ∈ X(Q̄T ).
Якщо u1, u2 — розв’язки задачi (4), то функцiя u = u1 − u2 задовольняє умову
(u, L̂ψ)QT = 0 ∀ψ ∈ X(Q̄T ).
За лемою 3 для довiльної функцiї ϕ ∈ D(Q̄T ) iснує така функцiя ψ ∈ X(Q̄T ), що L̂ψ = ϕ
в QT . Тодi з попередньої тотожностi (u, ϕ)QT = 0 для кожної функцiї ϕ ∈ D(Q̄T ), тобто u = 0
в D′(Q̄T ).
Теорему доведено.
Теорему 1 можна покращити: визначити залежнiсть характеру особливостей розв’язку зада-
чi при t = 0 вiд особливостей правої частини рiвняння та порядку сингулярностi узагальненої
функцiї в початковiй умовi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1076 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА, А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ
Узагальнена функцiя P ∈ D′(Rn) має порядок сингулярностi s(P ) ≤ s0 [14, c. 46], якщо
(P,ϕ) =
∑
|γ|≤s0
∫
Rn
Dγϕ(x)Pγ(x)dx для всiх ϕ ∈ D(Rn), де Pγ ∈ L1,loc(R
n), |γ| ≤ s0.
Через ρ(x, t)
(
(x, t) ∈ Q̄T
)
позначимо невiд’ємну функцiю iз D(Q̄T ), додатну в Qτ , τ < T,
що має порядок tβ/α при t→ 0
(
limt→0+ t
−(β/α)ρ(x, t) = const
)
, а також ρ(x, t) ≤ 1 в Q̄T .
Для k ≥ 0 використовуємо функцiйнi простори:
Ck(QT ) — простори Гельдера функцiй ϕ з неперервними Dγ̄ϕ, |γ̄| ≤ [k] та (при нецiлому
k) скiнченними∑
0<|γ̄|=[k]
sup
(x,t),(y,τ)∈QT ,x 6=y
∆y
xD
γ̄
x,tϕ(x, t)
|x− y|k−[k]
,
∑
0<k−|γ̄|<α
β
sup
(x,t),(y,τ)∈QT ,t 6=τ
∆τ
tD
γ̄
x,tϕ(x, t)
|t− τ |(k−|γ̄|)[
α
β
]
,
де ∆y
xψ(x, t) = ψ(y, t)− ψ(x, t), ∆τ
tψ(x, t) = ψ(x, τ)− ψ(x, t),
Ck0 (Q̄T ) — простори функцiй iз Ck(QT ) з компактними носiями в Q̄T ,
C
k,(0)
0 (Q̄T ) =
{
ϕ ∈ Ck0 (Q̄T ) : Dl
tϕ|t=T = 0, l = 0, 1, 2, . . . ,
[
α
β
]}
,
Dk(Q̄T ) = {ϕ ∈ C
k,(0)
0 (Q̄T )(ϕ ∈ D(Q̄T ) при k ∈ N
⋃
{0} = N0) : ρ|γ̄|−kDγ̄ϕ ∈ C(Q̄T )
∀γ̄ : |γ̄| ≤ k},
Xk(Q̄T ) = {ϕ ∈ Ck+α,(0)(Q̄T )(ϕ ∈ C∞,(0)(Q̄T ) при k ∈ N0) : L̂ϕ ∈ Dk(Q̄T )}, де p —
найбiльше цiле число, менше p,
D′k(Q̄T ), X ′k(Q̄T ) — простори лiнiйних неперервних функцiоналiв вiдповiдно на Dk(Q̄T ),
Xk(Q̄T ).
Кажемо, що ϕl → 0, l →∞ в Dk(Q̄T ), якщо ρ|γ̄|−kDγ̄ϕl → 0, l →∞ рiвномiрно в Q̄T для
всiх |γ̄| ≤ k, ϕl → 0, l→∞ в Xk(Q̄T ), якщо ϕl → 0 в Ck+α(Q̄T ) та L̂ϕl → 0 в Dk(Q̄T ).
Зауважимо, що простiр Xk(Q̄T ) не є порожнiм. Це випливає з леми 3: функцiя ψ в лемi 3
належить Xk(Q̄T ) при ϕ ∈ Dk(Q̄T ).
До просторiв Dk(Q̄T ) належать, зокрема, множини функцiй{
ϕ ∈ D(Q̄T ) : ϕ = %k · ψ,ψ ∈ D(Q̄T )
}
,
а функцiї зi степеневими особливостями при t = 0 вигляду v = %−kv0, де v0 ∈ L1,loc(QT ),
належать до вагових просторiв узагальнених функцiй D′k(Q̄T ).
Припущення (Ls): β ∈ (0, 1), min{n, 2, α} > (n− 1)/2, α 6= β,
u0 ∈ D′(Rn), s(u0) ≤ s, k > s− α
β
, F ∈ Xk(Q̄T ).
За припущення (Ls) вивчаємо задачу Кошi (4) — задачу знаходження функцiї u ∈ D′k(Q̄T ),
що задовольняє тотожнiсть (5) для довiльної функцiї ψ ∈ Xk(Q̄T ).
Теорема 2. За припущення (Ls) iснує єдиний розв’язок u ∈ D′k(Q̄T ) задачi (4), який ви-
значається формулою (16) для довiльної функцiї ϕ ∈ Dk(Q̄T ).
Доведення аналогiчне доведенню теореми 1, але замiсть леми 2 використовується наступна
лема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ РIВНЯНЬ З ДРОБОВИМИ ПОХIДНИМИ ЗА ЧАСОВОЮ . . . 1077
Лема 4. При k ≥ 0
Ĝ0 : Dk(Q̄T )→ Xk(Q̄T ), Ĝ1 : Dk(Q̄T )→ C
k+α
β (Rn).
Доведення. Як i при доведеннi леми 2, враховуючи, що Dγ̄ϕ = ρk−|γ̄|ϕk,γ̄ при ϕ ∈ Dk(Q̄T ),
|γ̄| ≤ k, де ϕk,γ̄ — неперервнi та фiнiтнi функцiї в Q̄T , у випадку α < n маємо
|Dγ(Ĝ1ϕ)(y)| =
∣∣∣∣∣∣∣
∫
QT
Dγϕ(x, t)G1(x− y, t)dxdt
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ d5
T∫
0
∫
x : |x−y|α<tβ
t(k−|γ|)
β
α |ϕk,γ(x, t)|
tβ|x− y|n−α
dx+
∫
x : |x−y|α>tβ
t(k−|γ|)
β
α |ϕk,γ(x, t)|
|x− y|n
dx
dt ≤
≤ d6
T∫
0
t(k−|γ|)
β
α |ψk,γ(t)|
[
1 + | ln tβ/α|
]
dt, y ∈ Rn,
де ψk,γ(t) — неперервнi та фiнiтнi функцiї на [0, T ].
У випадку α ≥ n аналогiчно одержуємо таку ж оцiнку.
Одержанi iнтеграли збiгаються при
(
k − |γ|
)β
α
− ε > −1 <=> |γ| < k +
α
β
(1 − ε) та
довiльному ε > 0, а отже, при |γ| ≤ s ≤ k +
α
β
. Ми одержали, що Ĝ1ϕ ∈ C
k+
α
β (Rn) при
ϕ ∈ Dk(Q̄T ). Другу частину леми встановлено.
Аналогiчно при ϕ ∈ Dk(Q̄T ), |γ̄| ≤ k маємо
|Dγ̄(Ĝ0ϕ)(y, τ)| =
∣∣∣∣∣∣∣
∫
QT
Dγ̄ϕ(x, t)G0(x− y, t− τ)dxdt
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ c5
T∫
τ
t(k−|γ̄|)
β
α
(t− τ)1−β |ψk,γ̄(t)|
[
1 + | ln (t− τ)β/α|
]
dt.
Тут ψ̃k,γ̄(t) — неперервнi та фiнiтнi функцiї на [0, T ].
Одержанi iнтеграли збiгаються при
(
k − |γ̄|
)β
α
+ β − εβ
α
> 0 та довiльному ε > 0, тобто
|γ̄| ≤ k + α для всiх (y, τ) ∈ Q̄T , а отже, Ĝ0ϕ ∈ Ck+α(Q̄T ) при ϕ ∈ Dk(Q̄T ). Крiм того,
розбиваючи iнтеграл по (τ, T ) на частини (τ, 2τ), (2τ, T ) i враховуючи, що при t ∈ (τ, 2τ)
маємо t(k−|γ̄|)
β
α ≤ c6τ
(k−|γ̄|)βα , а при t ∈ (2τ, T ) — t − τ > τ, а отже, (t − τ)β−1 < c7τ
β−1,
одержуємо оцiнки
|Dγ̄(Ĝ0ϕ)(y, τ)| ≤ c8
[
τ (k−|γ̄|)βα
2τ∫
τ
(t− τ)β−1
[
1 + | ln (t− τ)β/α|
]
dt+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1078 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА, А. О. ЛОПУШАНСЬКИЙ
+τβ−1
T∫
2τ
t(k−|γ̄|)
β
α |ψ̃k,γ̄(t)|
[
1 + | ln (t− τ)β/α|
]
dt
]
≤ c9τ
(k+α−|γ̄|)βα−ε
β
α .
Звiдси випливає, що τ (|γ̄|−(k+α))
β
αDγ̄(Ĝ0ϕ) ∈ C(Q̄T ), тобто ρ|γ̄|−(k+α)Dγ̄(Ĝ0ϕ) ∈ C(Q̄T ) для
всiх |γ̄| ≤ k + α, (y, τ) ∈ Q̄T , якщо ϕ ∈ Dk(Q̄T ). З леми 3 випливає, що L̂(Ĝ0ϕ) = ϕ, а отже,
Ĝ0ϕ ∈ Xk(Q̄T ) при ϕ ∈ Dk(Q̄T ).
Розглянемо окремо випадок F = 0 та уточнимо характер особливостей при t = 0 розв’язку
задачi Кошi. Введемо ваговий функцiйний простiр
Mk(QT ) =
u ∈ L1,loc(QT ) : ‖u‖k =
∫
QT
ρk(x, t)|u(x, t)|dxdt < +∞
.
Це простiр регулярних узагальнених функцiй iз D′k(Q̄T ): якщо f ∈ Mk(QT ), то (f, ϕ)QT =
=
∫
QT
fϕdxdt для кожної функцiї ϕ ∈ Dk(Q̄T ).
Теорема 3. За припущення (Ls) та F = 0 iснує єдиний розв’язок u ∈Mk(QT ) задачi (4),
що визначається формулою
u(x, t) = (u0(y), G1(x− y, t)), (x, t) ∈ QT . (17)
Доведення. З теореми 2 випливає однозначна розв’язнiсть задачi у просторi D′k(Q̄T ) та
зображення (16) розв’язку для довiльної ϕ ∈ Dk(Q̄T ). Потрiбно показати, що цей розв’язок
можна подати у виглядi (17) та що вiн має кращi властивостi — належить ваговому L1-простору
Mk(QT ).
За властивостями H-функцiй Фокса [16] G1(x, t) — нескiнченно диференцiйовна функцiя
при (x, t) 6= (0, 0), а отже, G1(x− y, t) — нескiнченно диференцiйовна функцiя при (x, t) ∈ QT
i праву частину (17) визначено.
Використовуючи аналог теореми Фубiнi [17, c. 59] (формула (3.2)) i формулу (12), для
довiльної функцiї ψ ∈ X(Q̄T ) маємо∫
QT
uL̂ψdxdt =
∫
QT
(
u0(y), G1(x− y, t)
)
(L̂ψ)(x, t)dxdt =
=
u0(y),
∫
QT
G1(x− y, t)(L̂ψ)(x, t)dxdt
=
u0(y),
T∫
0
f1−β(t)ψ(y, t)dt
.
Отже, функцiя (17) задовольняє тотожнiсть (5), тобто є розв’язком задачi (4).
Щоб довести, що функцiя (17) належить Mk(QT ), достатньо довести скiнченнiсть∫
QT
%k(x, t)u(x, t)dxdt. Оскiльки %k належить Dk(Q̄T ), то з леми 4 випливає iснування та-
ких додатних сталих Ĉk,γ , що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ РIВНЯНЬ З ДРОБОВИМИ ПОХIДНИМИ ЗА ЧАСОВОЮ . . . 1079∣∣∣∣∣∣∣Dγ
y
∫
QT
ρk(x, t)G1(x− y, t)dxdt
∣∣∣∣∣∣∣ ≤ Ĉk,γ ∀y ∈ Rn, |γ| ≤ s ≤ k +
α
β
. (18)
Згiдно з означенням порядку сингулярностi узагальненої функцiї,
(u0(y), G1(x− y, t)) =
∑
|γ|≤s
∫
B
Dγ
yG1(x− y, t)Fγ(y)dy, (x, t) ∈ QT , (19)
де B = suppu0, Fγ ∈ L1(B), |γ| ≤ s.
Тепер, враховуючи (18) та (19), отримуємо∣∣∣∣∣∣∣
∫
QT
%k(x, t)u(x, t)dxdt
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∑
|γ|≤s
∣∣∣∣∣Dγ
y
∫
B
( ∫
QT
%k(x, t)G1(x− y, t)dxdt
)∣∣∣∣∣ |Fγ(y)|dy ≤
∑
|γ|≤s
∫
B
Ĉk,γ |Fγ(y)|dy < +∞.
1. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения. – 1990. – 26, № 4. – С. 660 – 670.
2. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential
equations of parabolic type. – Basel etc.: Birkhäuser, 2004. – 390 p.
3. Caputo M. Linear model of dissipation whose Q is almost friequency independent, II // Geophys. J. Roy. Astron.
Soc. – 1967. – 13. – P. 529 – 539.
4. Caputo M., Minardi P. Linear model of dissipation in anelastic solids // Rev. Nuovo Cimento (Ser. II). – 1971. – 1. –
P. 161 – 198.
5. Джрбашян M. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. – М.:
Наука, 1999. – 671 c.
6. Gorenfio R., Minardi P. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order // Fractals and
Fractional Calculus in Continuum Mechanics / Eds A. Carpinteri, P. Minardi. CISM Lect. Notes. – 1997. – 378. –
P. 223 – 276.
7. Ворошилов A. А., Килбас А. А. Условия существования классического решения задачи Коши для диффузионно-
волнового уравнения с частной производной Капуто // Докл. АН. – 2007. – 414, № 4. – С. 1 – 4.
8. Engler H. Similarity solutions for a class of hyperbolic integrodifferential equations // Different. Integral Equat. –
1997. – 10, № 5. – P. 815 – 840.
9. Городецкий В. В., Дринь Я. М. Параболические псевдодифференциальные уравнения в пространстве обоб-
щенных функций – Львов, 1991. – 57 с. – (Препринт / АН Украины. Ин-т прикл. пробл. мех. и мат.; № 4 – 91).
10. Лопушанська Г. П. Основнi граничнi задачi для одного рiвняння в дробових похiдних // Укр. мат. журн. – 1999.
– 51, № 1. – С. 48 – 59.
11. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. – М.: Наука, 2005. – 199 с.
12. Jun Sheng Duan. Time- and space-fractional partial differential equations // J. Math. Phys. – 2005. – 46 (013504).
13. Anh V. V., Leonenko N. N. Spectral analysis of fractional kinetic equations with random datas // J. Statist. Phys. –
2001. – 104, № 5/6. – P. 1349 – 1387.
14. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй спец. курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
15. Лопушанская Г. П., Лопушанский А. О., Пасичник О. В. Задача Коши для уравнений с дробной производной
по времени в пространстве обобщенных функций // Сиб. мат. журн. – 2011. – 52, № 6. – С. 1288 – 1299.
16. Kilbas A.A., Sajgo M. H-transforms. – Boca-Raton: Chapman and Hall/CRC, 2004. – 401 p.
17. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1981. – 512 с.
Одержано 08.03.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2641 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:28Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c5/c9f7a00eaaa41457a55908053a50bfc5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26412020-03-18T19:31:48Z Space-time fractional Cauchy problem in spaces of generalized functions Задача Коші для рівнянь з дробовими похідними за часовою та просторовими змінними у просторах узагальнених функцій Lopushanskaya, G. P. Lopushanskyi, A. O. Лопушанська, Г. П. Лопушанський, А. О. We prove a theorem on the existence and uniqueness and obtain a representation using the Green vector function for the solution of the Cauchy problem $$u^{(\beta)}_t + a^2(-\Delta)^{\alpha/2}u = F(x, t), \quad (x, t) \in \mathbb{R} ^n \times (0, T], \quad a = \text{const} $$ $$u(x, 0) = u_0(x), \quad x \in \mathbb{R} ^n$$ where $u^{(\beta)}_t$ is the Riemann-Liouville fractional derivative of order $\beta \in (0,1)$, and $u_0$ and $F$ belong to some spaces of generalized functions. We also establish the character of the singularity of the solution at $t = 0$ and its dependence on the order of singularity of the given generalized function in the initial condition and the character of the power singularities of the function on right-hand side of the equation. Here, the fractional $n$-dimensional Laplace operator $\mathfrak{F}[(-\Delta)^{\alpha/2} \psi(x)] = |\lambda|^{\alpha} \mathfrak{F}[\psi(x)]$. Доказана теорема существования и единственности и получено представление с помощью вектор-функции Грина решения задачи Коши $$u^{(\beta)}_t + a^2(-\Delta)^{\alpha/2}u = F(x, t), \quad (x, t) \in \mathbb{R} ^n \times (0, T], \quad a = \text{const} $$ $$u(x, 0) = u_0(x), \quad x \in \mathbb{R} ^n,$$ с производной Римана – Лиувилля $u^{(\beta)}_t$ порядка $\beta \in (0,1)$ и $u_0$, $F$ из пространств обобщенных функций. Установлен характер особенностей решения при $t = 0$ в зависимости от порядка сингулярности заданной обобщенной функции в начальном условии и характера степенных особенностей функции в правой части уравнения. Здесь $(-\Delta)^{\alpha/2}$ определено с помощью преобразования Фурье $\mathfrak{F}[(-\Delta)^{\alpha/2} \psi(x)] = |\lambda|^{\alpha} \mathfrak{F}[\psi(x)]$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2641 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 8 (2012); 1067-1079 Український математичний журнал; Том 64 № 8 (2012); 1067-1079 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2641/2041 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2641/2042 Copyright (c) 2012 Lopushanskaya G. P.; Lopushanskyi A. O. |
| spellingShingle | Lopushanskaya, G. P. Lopushanskyi, A. O. Лопушанська, Г. П. Лопушанський, А. О. Space-time fractional Cauchy problem in spaces of generalized functions |
| title | Space-time fractional Cauchy problem in spaces of generalized functions |
| title_alt | Задача Коші для рівнянь з дробовими похідними за часовою та просторовими змінними у просторах узагальнених функцій |
| title_full | Space-time fractional Cauchy problem in spaces of generalized functions |
| title_fullStr | Space-time fractional Cauchy problem in spaces of generalized functions |
| title_full_unstemmed | Space-time fractional Cauchy problem in spaces of generalized functions |
| title_short | Space-time fractional Cauchy problem in spaces of generalized functions |
| title_sort | space-time fractional cauchy problem in spaces of generalized functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2641 |
| work_keys_str_mv | AT lopushanskayagp spacetimefractionalcauchyprobleminspacesofgeneralizedfunctions AT lopushanskyiao spacetimefractionalcauchyprobleminspacesofgeneralizedfunctions AT lopušansʹkagp spacetimefractionalcauchyprobleminspacesofgeneralizedfunctions AT lopušansʹkijao spacetimefractionalcauchyprobleminspacesofgeneralizedfunctions AT lopushanskayagp zadačakošídlârívnânʹzdrobovimipohídnimizačasovoûtaprostorovimizmínnimiuprostorahuzagalʹnenihfunkcíj AT lopushanskyiao zadačakošídlârívnânʹzdrobovimipohídnimizačasovoûtaprostorovimizmínnimiuprostorahuzagalʹnenihfunkcíj AT lopušansʹkagp zadačakošídlârívnânʹzdrobovimipohídnimizačasovoûtaprostorovimizmínnimiuprostorahuzagalʹnenihfunkcíj AT lopušansʹkijao zadačakošídlârívnânʹzdrobovimipohídnimizačasovoûtaprostorovimizmínnimiuprostorahuzagalʹnenihfunkcíj |