Asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg?de Vries equation with variable coefficients. II
We consider the problem of the construction of higher terms of asymptotic many-phase soliton-type solutions of the singular perturbed Korteweg – de Vries equation with variable coefficients. The accuracy with which the obtained asymptotic solution satisfies the original equation is determined.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2643 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508581763219456 |
|---|---|
| author | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. |
| author_facet | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. |
| author_sort | Samoilenko, V. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:31:48Z |
| description | We consider the problem of the construction of higher terms of asymptotic many-phase soliton-type solutions of the singular
perturbed Korteweg – de Vries equation with variable coefficients. The accuracy with which the obtained asymptotic solution
satisfies the original equation is determined. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. Г. Самойленко, Ю. I. Самойленко (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
АСИМПТОТИЧНI m-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ
СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА
ЗI ЗМIННИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ. II
We consider the problem of the construction of higher terms of asymptotic many-phase soliton-type solutions of the singular
perturbed Korteweg – de Vries equation with variable coefficients. The accuracy with which the obtained asymptotic solution
satisfies the original equation is determined.
Рассматривается задача о построении старших членов асимптотического многофазового солитоноподобного ре-
шения сингулярно возмущенного уравнения Кортевега – де Фриза с переменными коэффициентами. Установлена
оценка, с которой построенное асимптотическое решение удовлетворяет исходному уравнению.
Дана стаття є продовженням працi [41], тому у нiй продовжено нумерацiю формул, тверджень
i посилань з [41].
4.2. Необхiднi умови iснування розв’язкiв системи рiвнянь для визначення сингулярної
частини асимптотики (11), (12) у просторi G0
m. Сингулярна частина асимптотики (11), (12)
— функцiї Vj(x, t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, визначаються з лiнiйних неоднорiдних диференцi-
альних рiвнянь з частинними похiдними зi змiнними коефiцiєнтами [41], якi в околi кривої
x = ϕs(t), s = 1,m, мають вигляд
m∑
p,q,r=1
∂3Vjs
∂τp∂τq∂τr
=
m∑
k=1
[
−a0(ϕs(t), t)ϕ′k(t) + b0(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t)
] ∂Vjs
∂τk
+
+b0(ϕs(t), t)
m∑
k=1
(
V0
∂Vjs
∂τk
+ Vjs
∂V0
∂τk
)
+ Fjs(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, s = 1,m. (49)
Тут значення функцiй Fjs = Fjs(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, s = 1,m, знаходяться рекурентним
чином пiсля вiдповiдного визначення функцiй V0s(t, τ1, τ2, . . . , τm), V1s(t, τ1, τ2, . . . , τm), . . .
. . . , Vj−1,s(t, τ1, τ2, . . . , τm). При цьому функцiї Fjs, j = 1, N, s = 1,m, також залежать (певним
чином) вiд коефiцiєнтiв рiвняння (8).
У першiй частинi даної працi [41] зроблено припущення (20) – (23) щодо коефiцiєнтiв асимп-
тотичних розкладiв для коефiцiєнтiв (9), членiв регулярної частини асимптотичного розв’язку
сингулярно збуреного рiвняння Кортевега – де Фрiза (8), функцiй Fjs, j = 1, N, s = 1,m, згiдно
з якими неоднорiдностi у правих частинах рiвнянь (49) — функцiї Fjs, j = 1, N, збiгаються
мiж собою при всiх значеннях s = 1,m. Зрозумiло, що у такому випадку можна вважати,
що функцiї Vjs(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, s = 1, N, також задовольняють цю умову, тобто
збiгаються мiж собою при всiх значеннях s = 1,m. Тому у подальшому при записi функцiй
ϕs(t), Fjs, Vjs(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, s = 1,m, iндексом s нехтуємо.
Має мiсце наступна теорема, яка встановлює необхiднi умови iснування розв’язку рiвнянь
(49) у просторi G0
m.
Теорема 3. Нехай виконуються умови (20) – (22), функцiя Fj(t, τ1, τ2, . . . , τm) належить
простору G0
m, j = 1, N . Тодi якщо рiвняння (49) має розв’язок Vj(t, τ1, τ2, . . . , τm) ∈ G0
m,
c© В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8 1089
1090 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
j = 1, N, то для кожного k = 1,m виконується умова ортогональностi вигляду
+∞∫
−∞
lim
τ1→±∞
lim
τ2→±∞
. . . lim
τk−1→±∞
lim
τk+1→±∞
. . . lim
τm→±∞
[Fj(t, τ1, τ2, . . . , τm)×
×V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) ] dτk = 0, j = 1, N, (50)
де позначення limτn→±∞(·), n = 1,m, n 6= k, у повторних границях означає, що аргумент τn
прямує або до +∞, або ж до −∞.
Доведення. Не втрачаючи загальностi, вважаємо k = 1,m фiксованим. Оскiльки Fj(t, τ1,
τ2, . . . , τm) належить простору G0
m, j = 1, N, то очевидно, що при кожному j = 1, N функцiя
fj(t, τk) := lim
τ1→±∞
lim
τ2→±∞
. . . lim
τk−1→±∞
lim
τk+1→±∞
. . . lim
τm→±∞
Fj(t, τ1, τ2, . . . , τm) (51)
належить простору G0
1.
Аналогiчно, оскiльки згiдно з теоремою 1 [41] V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) ∈ G0
m, функцiя
v0(t, τk) := lim
τ1→±∞
lim
τ2→±∞
. . . lim
τk−1→±∞
lim
τk+1→±∞
. . . lim
τm→±∞
V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) (52)
належить простору G0
1 i, отже, fj(t, τk)v0(t, τk) ∈ G0
1, j = 1, N .
Розглянемо рiвняння (49). Домножимо це рiвняння на функцiю V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) i вiд
правої та лiвої частин отриманого спiввiдношення обчислимо повторнi границi при τ1 → ±∞,
τ2 → ±∞, . . . , τk−1 → ±∞, τk+1 → ±∞, . . . , τm → ±∞ вигляду (50). В результатi з
урахуванням позначень (20) – (22) отримаємо спiввiдношення
v0
∂3vj
∂τ3k
= −a0(t)ϕ′k(t)v0
∂vj
∂τk
+ b0(t)
(
u0(t)v0
∂vj
∂τk
+ v20
∂vj
∂τk
+ v0vj
∂v0
∂τk
)
+ v0fj(t, τk), (53)
де v0 = v0(t, τk) ∈ G0
1, vj = vj(t, τk) ∈ G0
1, j = 1, N .
Зiнтегруємо рiвняння (53) по τk в межах вiд−∞ до +∞ i виконаємо iнтегрування частинами
в лiвiй частинi отриманого виразу. Тодi, враховуючи властивiсть v0(t, τk) ∈ G0
1 i те, що функцiя
V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) задовольняє рiвняння (18), отримуємо спiввiдношення
+∞∫
−∞
fj(t, τk)v0(t, τk)dτk = 0, j = 1, N,
яке з урахуванням позначень (51), (52) еквiвалентне (50).
Теорему 3 доведено.
Зауваження 1. Незважаючи на те, що функцiї Fj(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, полiномiаль-
но залежать вiд функцiй V0(t, τ1, τ2, . . . , τm), V1(t, τ1, τ2, . . . , τm), . . . , Vj−1(t, τ1, τ2, . . . , τm) ∈
∈ G0
m (це випливає з запису рiвняння (8), (9)), функцiї Fj(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, не
обов’язково є елементами простору G0
m, тобто умова теореми 3 про належнiсть цiєї функцiї
простору G0
m потребує перевiрки для кожного розглядуваного випадку. Тому в подальшому
припускаємо, що умова Fj(t, τ1, τ2, . . . , τm) ∈ G0
m, j = 1, N, має мiсце.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
АСИМПТОТИЧНIm-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 1091
Зауваження 2. У випадку m = 1 функцiї, що визначають сингулярну частину асимпто-
тики сингулярно збуреного рiвняння Кортевега – де Фрiза (8), при будь-якому значеннi µ > 0
досить швидко (див. п. 10 в означеннi простору G1 в [41]) прямують до нуля поза µ-околом Φµ
кривої x = ϕ(t).
Аналогiчно, у випадку m > 1 при виконаннi умов ϕs(0) = 0, s = 1,m, функцiя Vj =
= Vj(t, τ1, τ2, . . . , τm) ∈ G0
m, j = 1, N, що є розв’язком рiвняння (49), вiдповiдно до властиво-
стей функцiй iз просторуG0
m при |τk| = |x−ϕk(t)|/ε > µ/ε досить швидко прямує до нуля поза
множиною Φµ =
⋃m
s=1 Φsµ при будь-якому значеннi µ > 0, де Φsµ — µ-окiл кривої x = ϕs(t),
s = 1,m.
Питання про iснування у просторi G0
m розв’язкiв рiвнянь (49) потребує додаткового вивчен-
ня.
4.3. Визначення функцiй Vj(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, сингулярної частини асимп-
тотики. Як зазначено вище, функцiї сингулярної частини асимптотики (11), (12) рiвняння
(8), що є функцiями вiд багатьох (m > 2) змiнних, визначаються з лiнiйних неоднорiдних
диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними третього порядку зi змiнними коефiцiєнтами
(49), загальних методiв побудови класичних розв’язкiв яких не iснує.
Для визначення функцiй сингулярної частини асимптотики (11), (12) скористаємося тим,
що задача побудови асимптотичних розв’язкiв рiвняння (8) пов’язана зi знаходженням лише
частинних розв’язкiв рiвнянь (49), i тим, що простiр G0
m в якостi пiдпростору мiстить простiр
функцiй, що є швидко спадними за кожною iз змiнних τ1, τ2, . . . , τm, i побудуємо наближенi (в
певному сенсi) розв’язки рiвнянь (49), якi задовольняють це рiвняння в областi
Γµ =
{
(τ1, τ2, . . . , τm) ∈ Rm : |τk| =
|x− ϕk(t)|
ε
<
µ
ε
}
, µ > 0,
а за межами цiєї областi швидко (в сенсi простору швидко спадних функцiй S) прямують до
нуля.
З цiєю метою при кожному j = 1,m у подальшому розглядаємо допомiжне лiнiйне неодно-
рiдне диференцiальне рiвняння з частинними похiдними третього порядку, коефiцiєнтами якого
є сталi або швидко спаднi функцiї i яке (в певному сенсi) є апроксимацiєю рiвняння (49). Засто-
совуючи до допомiжного рiвняння перетворення Фур’є за m − 1 змiнною, отримуємо лiнiйне
неоднорiдне iнтегро-диференцiальне рiвняння, що мiстить похiднi третього порядку вiд невi-
домої функцiї, розв’язок якого будується за допомогою методу послiдовних наближень. Далi
показуємо, що отриманий розв’язок є нескiнченно диференцiйовним i певним чином вкладаєть-
ся у простiр швидко спадних функцiй. Пiсля цього застосовуємо обернене перетворення Фур’є
i встановлюємо оцiнку вiдхилу побудованого за допомогою описаного вище способу розв’язку
для диференцiального рiвняння (49). На завершення цього пункту, як пiдсумок, сформульовано
теорему про точнiсть побудованого асимптотичного розв’язку рiвняння (8), (9).
4.3.1. Допомiжне для (49) диференцiальне рiвняння та iснування його розв’язку. Припус-
тимо, що функцiя Fj(t, τ1, τ2, . . . , τm) належить S, j = 1, N, де S — простiр швидко спад-
них за змiнними (τ1, τ2, . . . , τm−1) ∈ Rm−1 функцiй. Згiдно з лемою [40, c. 16] для функцiї
V0 = V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) iснує така нескiнченно диференцiйовна та фiнiтна щодо змiнних
τ1, τ2, . . . , τm функцiя V̄0(t, τ1, τ2, . . . , τm), що виконується спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1092 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
V̄0 = V̄0(t, τ1, τ2, . . . , τm) =
V0(t, τ1, τ2, . . . , τm), |τk| < τ̄0, k = 1,m− 1,
0, |τk| ≥ τ̄0 + δ, k = 1,m− 1,
(54)
де τ̄0, δ — довiльнi (фiксованi) додатнi дiйснi числа, j = 1, N .
Одночасно з рiвнянням (49) розглянемо допомiжне диференцiальне рiвняння вигляду
m∑
p,q,r=1
∂3Vj
∂τp∂τq∂τr
=
m∑
k=1
[
−a0(t)ϕ′k(t) + b0(t)u0(t)
] ∂Vj
∂τk
+
+b0(t)
[
V̄0
m∑
k=1
∂Vj
∂τk
+ Vj
m∑
k=1
∂V̄0
∂τk
]
+ Fj(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, (55)
де використано позначення (20) – (22).
Рiвняння (55) є диференцiальним рiвнянням з частинними похiдними третього порядку,
коефiцiєнти якого є сталими або належать простору нескiнченно диференцiйовних i фiнiтних
функцiй D(Rm), i збiгається з (49) з точнiстю до виразу
Rj(t, τ1, τ2, . . . , τm) = b0(t)
m∑
k=1
∂
∂τk
[
(V̄0 − V0)Vj
]
, j = 1, N. (56)
Для побудови загального розв’язку рiвняння (55) скористаємося перетворенням Фур’є [40]
за m− 1 змiнною, наприклад за змiнними τ1, τ2, . . . , τm−1, i зведемо це рiвняння до лiнiйного
неоднорiдного iнтегро-диференцiального рiвняння вигляду
d3vj
dτ3
− 3iξ
d2vj
dτ2
−
(
3ξ2 + γ(t)
) dvj
dτ
+ i
(
ξ3 +
m−1∑
k=1
ξkγk(t)
)
vj+
+
ib0(t)ξ
(2π)m−1
̂̄V0 ∗ vj −
b0(t)
(2π)m−1
d
dτ
(̂̄V0 ∗ vj
)
= F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ), j = 1, N, (57)
де τ = τm, ξ = ξ1 + ξ2 + . . .+ ξm−1, γ = γm(t), i — уявна одиниця,
vj(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) =
∫
Rm−1
exp
(
i
m−1∑
k=1
ξkτk
)
×
×vj(t, τ1, τ2, . . . , τm−1, τ) dτ1dτ2 . . . dτm−1, j = 1, N,
̂̄V0(t, ξ1, . . . , ξm−1, τ) =
∫
Rm−1
exp
(
i
m−1∑
k=1
ξkτk
)
×
×V̄0(t, τ1, τ2, . . . , τm−1, τ) dτ1dτ2 . . . dτm−1,
F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) =
∫
Rm−1
exp
(
i
m−1∑
k=1
ξkτk
)
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
АСИМПТОТИЧНIm-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 1093
×Fj(t, τ1, τ2, . . . , τm−1, τ) dτ1dτ2 . . . dτm−1, j = 1, N,
f̂ ∗ ĝ =
∫
Rm−1
f̂(t, s1, s2, . . . , sm−1, τ)×
×ĝ(t, ξ1 − s1, ξ2 − s2, . . . , ξm−1 − sm−1, τ) ds1ds2 . . . dsm−1.
Тут використано властивiсть згортки f̂g = (2π)−(m−1)f̂ ∗ ĝ.
Для знаходження розв’язку рiвняння (57) при кожному j = 1, N застосуємо метод послi-
довних наближень, будуючи послiдовнi наближення за рекурентними формулами
d3v
(n)
j
dτ3
− 3iξ
d2v
(n)
j
dτ2
−
(
3ξ2 + γ
) dv
(n)
j
dτ
+ i
(
ξ3 +
m−1∑
k=1
ξkγk
)
v
(n)
j +
+
b0(t)
(2π)m−1
(
iξ̂̄V0 ∗ v
(n−1)
j − d
dτ
(̂̄V 0 ∗ v
(n−1)
j
))
= F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ), n ∈ N, (58)
v
(0)
j ≡ 0. (59)
Вважаючи змiннi t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1 параметрами, рiвняння (58) для функцiй v
(n)
j (·, τ),
n ∈ N, j = 1, N, можна розглядати як лiнiйнi неоднорiднi диференцiальнi рiвняння третього
порядку зi сталими коефiцiєнтами, розв’язки яких, як вiдомо, можна побудувати в явному
виглядi.
Розглянемо вiдповiдне (58) характеристичне рiвняння
(λ− iξ)3 − γλ+ i
m−1∑
k=1
ξkγk = 0. (60)
Рiвняння (60) має один чисто уявний λ1 i два комплексних коренi λ2, λ3, для яких Re λ2 =
= −Re λ3, i його розв’язки можна записати за допомогою формул Кардано [42, с. 43, 44],
звiвши попередньо це рiвняння до випадку дiйсних коефiцiєнтiв.
У п. 4.1, при зведеннi диференцiального рiвняння для головного члена сингулярної частини
асимптотики (11), (12) до рiвняння Кортевега – де Фрiза зi сталими коефiцiєнтами, використано
умову про те, що
γs(t) = −a0(t)ϕ′s(t) + b0(t)u0(t) > 0, t ∈ [0;T ], s = 1,m.
У цьому випадку для кубiчного рiвняння (60) маємо так званий звiдний випадок [42], оскiльки
p = γ(t) > 0, Q =
(p
3
)3
+
(q
2
)2
> 0,
де q = ξγ(t)−
∑m
k=1 ξkγk(t), t ∈ [0;T ] вважається параметром.
При цьому, як легко бачити, характеристичнi коренi є простими.
Розв’язки характеристичного рiвняння (60) можна записати за допомогою формул
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1094 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
λk = iξ + iyk, k = 1, 3, (61)
де
y1 = −2
(p
3
)1/2
ctg 2α, y2,3 =
(p
3
)1/2 (
ctg 2α± i
√
3 cosec 2α
)
, (62)
tgα =
(
tg
β
2
)1/3
, tg β =
2
q
(p
3
)3/2
, (63)
а величини α, β задовольняють умови |α| ≤ π/4, |β| ≤ π/2.
Зауважимо, що
ctg 2α =
1
2
(
a−
1
6 − a
1
6
)
, cosec 2α =
1
2
(
a
1
6 + a−
1
6
)2
, (64)
де
a =
q2
2 +
(p
3
)3 − q√( q2)2 +
(p
3
)3(p
3
)3 . (65)
З’ясуємо тепер питання про диференцiйовнiсть загального розв’язку кожного з рiвнянь (58).
Загальний розв’язок рiвняння (58) за вiдомими значеннями характеристичних коренiв рiвняння
(60) зображується формулою
v
(n)
j (t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) = c1ne
λ1τ + c2ne
λ2τ + c3ne
λ3τ+
+
3∑
k=1
τ∫
τ0
Φ̂
(n)
j (t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, σ)
d
dλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
−1 e−λk(σ−τ) dσ, (66)
де τ0 — довiльна (фiксована) початкова точка, c1n, c2n, c3n, n = 0, 1, . . . , — довiльнi сталi,
Φ̂
(n)
j (t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) = F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ)− iξb0(t)
(2π)m−1
̂̄V0 ∗ v
(n−1)
j +
+
b0(t)
(2π)m−1
∂
∂τ
(̂̄V0 ∗ v
(n−1)
j
)
, j = 1, N. (67)
Справедливою є наступна лема.
Лема 3. Нехай γ(t) > 0 для всiх t ∈ [0;T ]. Тодi при кожному n ∈ N функцiя v
(n)
j (t, ξ1,
ξ2, . . . , ξm−1, τ), j = 1, N, що визначена формулою (66), є нескiнченно диференцiйовною щодо
змiнних ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ для всiх (ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) ∈ Rm.
Доведення. Скористаємося методом математичної iндукцiї. Розглянемо функцiю v
(n)
j (t, ξ1,
ξ2, . . . , ξm−1, τ), j = 1, N, при n = 1. Маємо
v
(1)
j (t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) = c11e
λ1τ + c21e
λ2τ + c31e
λ3τ+
+
3∑
k=1
τ∫
τ0
F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, σ)
d
dλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
−1 e−λk(σ−τ) dσ. (68)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
АСИМПТОТИЧНIm-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 1095
З властивостей перетворення Фур’є випливає, що функцiя F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, σ), j =
= 1, N, є нескiнченно диференцiйовною за змiнними (ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, σ) ∈ Rm. Тодi кожна з
функцiй
τ∫
τ0
F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, σ)
d
dλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
−1 e−λk(σ−τ) dσ, k = 1, 3, (69)
є також нескiнченно диференцiйовною, а отже, v
(1)
j (t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ), j = 1, N, — нескiн-
ченно диференцiйовна по ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ функцiя.
Властивiсть нескiнченної диференцiйовностi функцiй v
(n)
j (t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ), j = 1, N,
щодо змiнних ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ ∈ Rm при n ≥ 2 випливає з формул (66), (67), якщо взяти до
уваги властивостi перетворення Фур’є, нескiнченну диференцiйовнiсть функцiй Fj(t, τ1, τ2, . . .
. . . , τm), v
(k)
j (t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, k = 0, n− 1, та властивостi згортки.
Лему 3 доведено.
Формула (66) при кожному n ∈ N мiстить довiльнi сталi c1n, c2n, c3n, якi можна знайти
з початкових умов для частинного розв’язку рiвняння (58) i якi, в свою чергу, певним чином
визначаються деяким (вiдповiдним) розв’язком рiвняння (57). З огляду на те, що для побудови
асимптотичного розв’язку (11), (12) рiвняння (8), (9) потрiбно знайти лише частинний розв’язок
рiвняння (58), можна вважати, що набiр сталих c1n, c2n, c3n не залежить вiд n, тобто при всiх
n ∈ N виконується умова c1n = c1, c2n = c2, c3n = c3.
Для побудови розв’язку рiвняння (57) розглянемо послiдовнiсть функцiй вигляду
v̄
(n)
j (t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) = v
(n)
j (t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ)ηj(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1), (70)
де n = 0, 1 , . . . , j = 1, N, функцiя
ηj(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1) =
1, |ξ| < 1− δ1,
0, |ξ| ≥ 1,
j = 1, N,
є нескiнченно диференцiйовною i задовольняє нерiвностi 0 ≤ ηj(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1) ≤ 1,
(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1) ∈ [0;T ] × Rm−1, j = 1, N, δ1 ∈ (0; 1) — довiльне число. Такi функцiї,
як вiдомо, iснують [40].
З’ясуємо питання про збiжнiсть послiдовностi функцiй v̄
(n)
j = v̄
(n)
j (t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ),
n = 0, 1, . . . , j = 1, N, при n→∞ в областi
DT =
{
(ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) : |ξ|2 = ξ21 + ξ22 + . . .+ ξ2m−1 < 1, |τ − τ0| < T
}
,
де T — деяке довiльне (фiксоване) додатне число. Змiнна t вважається параметром.
Оцiнимо вираз
∣∣∣ v̄
(n)
j − v̄
(n−1)
j
∣∣∣ , n ∈ N, j = 1, N, при (ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) ∈ DT . Маємо
∣∣∣ v̄
(n)
j − v̄
(n−1)
j
∣∣∣ =
|b0(t)|
(2π)m−1
∣∣∣∣∣∣
3∑
k=1
τ∫
τ0
[
−iξ̂̄V0 ∗ (v̄
(n−1)
j − v̄
(n−2)
j
)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1096 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
+
∂
∂σ
(̂̄V0 ∗ (v̄
(n−1)
j − v̄
(n−2)
j
))] d
dλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
−1 e−λk(σ−τ) dσ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ (A+B) sup
(ξ1,ξ2,...,ξm−1,τ)∈DT
∣∣∣v̄(n−1)
j − v̄
(n−2)
j
∣∣∣ , (71)
де
A =
|b0(t)|
(2π)m−1
3∑
k=1
∣∣∣∣∣∣ ddλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
∣∣∣∣∣∣
−1 ∫
s∈Rm−1
( ∣∣∣ e−λk(τ0−τ)̂̄V0(t, s, τ0)∣∣∣+
+
τ∫
τ0
∣∣∣ e−λk(σ−τ)̂̄V0(t, s, σ)
∣∣∣ dσ) ds , (72)
B =
|b0(t)|
(2π)m−1
3∑
k=1
∣∣∣∣∣∣ ddλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
∣∣∣∣∣∣
−1 ∫
s∈Rm−1
( ∣∣∣̂̄V0(t, s, τ0)∣∣∣+
+|λk|
τ∫
τ0
∣∣∣ e−λk(σ−τ)̂̄V0(t, s, σ)
∣∣∣ dσ) ds . (73)
Зауважимо, що супремум у правiй частинi нерiвностi (71) iснує за лемою 3.
Таким чином, має мiсце таке твердження.
Лема 4. Нехай A + B < 1, де числа A, B визначено згiдно з формулами (72), (73). Тодi
функцiональний ряд
∞∑
n=0
(
v̄
(n+1)
j − v̄
(n)
j
)
збiгається абсолютно та рiвномiрно в областi DT .
Сталi A, B у формулi (71) залежать лiнiйним чином вiд функцiї V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) —
головного члена асимптотичного ряду (13), (14), яка визначається з диференцiального рiвняння
(18). Явний вигляд даної функцiї задається формулою (36), де сталi c1(0), c2(0), . . . , cm(0) є
довiльними додатними числами. Звiдси, зокрема, випливає, що за допомогою належного вибору
цих сталих можна досягти виконання умови леми 4 про те, що A+B < 1.
Лема 5. Нехай γ(t) > 0 для всiх t ∈ [0;T ], A + B < 1, де числа A, B визначено згiдно з
формулами (72), (73). Тодi послiдовнiсть функцiй {v̄(n)
j , n ∈ N}, j = 1, N, збiгається в областi
DT до деякої нескiнченно диференцiйовної щодо змiнних ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ функцiї.
Доведення. Нескiнченна диференцiйовнiсть щодо змiнних ξ1, ξ2, . . . , ξm−1 граничної
функцiї послiдовностi {v̄(n)
j , n ∈ N}, j = 1, N, випливає безпосередньо з формули для похiдних
Dα
ξ v̄
(n)
j , α = (α1, α2, . . . , αm−1) ∈ (N ∪ {0})m−1 , n ∈ N, j = 1, N, i рiвномiрної збiжностi при
n→∞ послiдовностi цих похiдних.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
АСИМПТОТИЧНIm-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 1097
Покажемо, що гранична функцiя є нескiнченно диференцiйовною по τ . Розглянемо похiдну
∂v̄
(n)
j /∂τ, n ∈ N, j = 1, N . Маємо
∂v̄
(n)
j
∂τ
= c1λ1e
λ1τ + c2λ2e
λ2τ + c3λ3e
λ3τ+
+
3∑
k=1
Φ̂
(n)
j (t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ)
d
dλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
−1 +
+
τ∫
τ0
3∑
k=1
λkΦ̂
(n)
j (t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, σ)
d
dλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
−1 e−λk(σ−τ)dσ.
Оцiнимо рiзницю ∣∣∣∣∣∂v̄
(n)
j
∂τ
−
∂v̄
(n−1)
j
∂τ
∣∣∣∣∣ =
=
|b0(t)|
(2π)m−1
∣∣∣∣∣∣
3∑
k=1
(−iξ) ̂̄V 0 ∗
(
v̄
(n−1)
j − v̄
(n−2)
j
) d
dλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
−1∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣
3∑
k=1
(−iξ) ∂
∂τ
(̂̄V 0 ∗
(
v̄
(n−1)
j − v̄
(n−2)
j
)) d
dλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
−1∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣
3∑
k=1
λk
τ∫
τ0
(
−iξ ̂̄V 0 ∗
(
v̄
(n−1)
j − v̄
(n−2)
j
)) d
dλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
−1 e−λk(σ−τ)dσ
∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣
3∑
k=1
λk
τ∫
τ0
∂
∂σ
(̂̄V 0 ∗
(
v̄
(n−1)
j − v̄
(n−2)
j
)) d
dλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
−1 e−λk(σ−τ)dσ
∣∣∣∣∣∣
≤
≤ |b0(t)|
(2π)m−1
sup
(ξ1,ξ2,...,ξm−1,τ)∈DT
|v̄(n−1)
j − v̄
(n−2)
j |
3∑
k=1
∣∣∣∣∣∣ ddλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
∣∣∣∣∣∣
−1
×
×
(1 + |λk|+ |λk| e−λk(τ0−τ)
) ∫
s∈Rm−1
| ̂̄V 0(t, s, τ)|ds+
∫
s∈Rm−1
| ̂̄V 0τ (t, s, τ)|ds+
+
(
|λk|+ |λk|2
) τ∫
τ0
∫
s∈Rm−1
∣∣∣ e−λk(σ−τ) ̂̄V 0(t, s, σ)
∣∣∣ ds dσ
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1098 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
+ sup
(ξ1,ξ2,...,ξm−1,τ)∈DT
∣∣∣∣∣∂v̄
(n−1)
j
∂τ
−
∂v̄
(n−2)
j
∂τ
∣∣∣∣∣
3∑
k=1
∣∣∣∣∣∣ ddλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
∣∣∣∣∣∣
−1
×
×
∫
s∈Rm−1
| ̂̄V 0(t, s, τ)|ds
.
Звiдси отримуємо∣∣∣∣∣∂v̄
(n)
j
∂τ
−
∂v̄
(n−1)
j
∂τ
∣∣∣∣∣ ≤ A1 sup
(ξ1,ξ2,...,ξm−1,τ)∈DT
|v̄(n−1)
j − v̄
(n−2)
j |+
+B1 sup
(ξ1,ξ2,...,ξm−1,τ)∈DT
∣∣∣∣∣∂v̄
(n−1)
j
∂τ
−
∂v̄
(n−2)
j
∂τ
∣∣∣∣∣ ≤ . . .
. . . ≤ A1 sup
(ξ1,ξ2,...,ξm−1,τ)∈DT
|v̄(n−1)
j − v̄
(n−2)
j |+B1A1 sup
(ξ1,ξ2,...,ξm−1,τ)∈DT
∣∣∣v̄(n−2)
j − v̄
(n−3)
j
∣∣∣+
+B2
1A1 sup
(ξ1,ξ2,...,ξm−1,τ)∈DT
|v̄(n−3)
j − v̄
(n−4)
j |+ . . .
. . .+Bn−3
1 A1 sup
(ξ1,ξ2,...,ξm−1,τ)∈DT
|v̄(2)
j − v̄
(1)
j |+Bn−2
1 A1 sup
(ξ1,ξ2,...,ξm−1,τ)∈DT
|v̄(1)
j |+
+Bn−1
1 sup
(ξ1,ξ2,...,ξm−1,τ)∈DT
∣∣∣∣∣∂v̄
(1)
j
∂τ
∣∣∣∣∣ ≤
≤ A1
(A+B)n−1 −Bn−1
1
A+B −B1
sup
(ξ1,ξ2,...,ξm−1,τ)∈DT
|v̄(1)
j |+Bn−1
1 sup
(ξ1,ξ2,...,ξm−1,τ)∈DT
∣∣∣∣∣∂v̄
(1)
j
∂τ
∣∣∣∣∣ , (74)
де
A1 =
|b0(t)|
(2π)m−1
3∑
k=1
∣∣∣∣∣∣ ddλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
∣∣∣∣∣∣
−1 ∫
s∈Rm−1
| ̂̄V 0τ (t, s, τ)|ds+
+
(
1 + |λk|+ |λk| e−λk(τ0−τ)
) ∫
s∈Rm−1
| ̂̄V 0(t, s, τ)|ds+
+
(
|λk|+ |λk|2
) τ∫
τ0
∫
s∈Rm−1
∣∣∣e−λk(σ−τ) ̂̄V 0(t, s, σ)
∣∣∣ ds dσ
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
АСИМПТОТИЧНIm-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 1099
B1 =
|b0(t)|
(2π)m−1
∫
s∈Rm−1
| ̂̄V 0(t, s, τ)|ds
3∑
k=1
∣∣∣∣∣∣ ddλ
3∏
r=1
(λ− λr)
∣∣∣∣∣
λ=λk
∣∣∣∣∣∣
−1
.
З (74) випливає, що у випадку B1 < 1 послiдовнiсть
{
∂v̄
(n)
j
∂τ
, n ∈ N
}
, j = 1, N, збiгається
при n→∞ рiвномiрно в областi DT . Враховуючи нерiвнiсть B1 < B < 1, переконуємося, що
умова B1 < 1 виконується.
Аналогiчно показуємо, що у випадку B1 < 1 при кожному k ∈ N послiдовнiсть{
∂kv̄
(n)
j
∂τk
, n ∈ N
}
, j = 1, N, при n→∞
збiгається рiвномiрно в областi DT .
Лему 5 доведено.
З лем 3 – 5 випливає, що послiдовнiсть функцiй {v̄(n)
j (t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ), n ∈ N}, j =
= 1, N, є нескiнченно диференцiйовною щодо (ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) ∈ Rm−1× (τ0−T , τ0 +T ) i
при n→∞ збiгається рiвномiрно разом з усiма своїми похiдними в областi Rm−1×(τ0−T , τ0+
+ T ). Це означає, що послiдовнiсть функцiй {v̄(n)
j (t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ), n ∈ N}, j = 1, N, при
n → ∞ збiгається рiвномiрно до розв’язку v̄j = v̄j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ), j = 1, N, рiвняння
(57) при τ ∈ (τ0 − T , τ0 + T ).
4.3.2. Оцiнка вiдхилу для допомiжного рiвняння (55). Пiдставимо функцiю v̄j , j = 1, N,
у рiвняння (57). Маємо
d3v̄j
dτ3
− 3iξ
d2v̄j
dτ2
−
(
3ξ2 + γ
) dv̄j
dτ
+
(
iξ3 + i
m−1∑
k=1
ξkγk
)
v̄j +
iξb0(t)
(2π)m−1
̂̄V0 ∗ v̄j−
− b0(t)
(2π)m−1
d
dτ
(̂̄V0 ∗ v̄j
)
+ R̄j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) = F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ), (75)
де R̄j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ), j = 1, N, — функцiя вiдхилу, що визначена формулою
R̄j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) = F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ)− d3v̄j
dτ3
+ 3iξ
d2v̄j
dτ2
+
+
(
3ξ2 + γ
) dv̄j
dτ
−
[
iξ3 + i
m−1∑
k=1
ξkγk
]
v̄j −
b0(t)
(2π)
m−1
2
(
iξ̂̄V0 ∗ v̄j −
d
dτ
(̂̄V0 ∗ v̄j
))
. (76)
Застосувавши до спiввiдношення (76) обернене перетворення Фур’є, отримаємо
1
(2π)m−1
∫
Rm−1
exp
(
−i
m−1∑
k=1
ξkτk
)
R̄j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) dξ1dξ2 . . . dξm−1 =
=
1
(2π)m−1
∫
|ξ|<1−δ1
exp
(
−i
m−1∑
k=1
ξkτk
)[
F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ)− d3v̄j
dτ3
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1100 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
+3iξ
d2v̄j
dτ2
+
(
3ξ2 + γ
) dv̄j
dτ
−
(
iξ3 + i
m−1∑
k=1
ξkγk
)
v̄j−
− b0(t)
(2π)m−1
(
iξ̂̄V0 ∗ v̄j −
d
dτ
(̂̄V0 ∗ v̄j
))]
dξ1dξ2 . . . dξm−1+
+
1
(2π)m−1
∫
1−δ1<|ξ|<1
exp
(
−i
m−1∑
k=1
ξkτk
)
R̄j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) dξ1dξ2 . . . dξm−1+
+
1
(2π)m−1
∫
|ξ|>1
exp
(
−i
m−1∑
k=1
ξkτk
)
F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) dξ1dξ2 . . . dξm−1 =
=
1
(2π)m−1
∫
1−δ1<|ξ|<1
exp
(
−i
m−1∑
k=1
ξkτk
)
R̄j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) dξ1dξ2 . . . dξm−1+
+
1
(2π)m−1
∫
|ξ|>1
exp
(
−i
m−1∑
k=1
ξkτk
)
F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) dξ1dξ2 . . . dξm−1.
Очевидно, що функцiя v̄j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ), j = 1, N, задовольняє нерiвнiсть
|v̄j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ)| < C1, (ξ1, ξ2, . . . , ξm−1) ∈ Rm−1, τ ∈ (τ0 − T , τ0 + T ).
З (76) випливає нерiвнiсть∣∣R̄j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ)
∣∣ < C, (ξ1, ξ2, . . . , ξm−1) ∈ Rm−1, τ ∈ (τ0 − T , τ0 + T ),
а отже, ∣∣∣∣∣∣∣
∫
1−δ1<|ξ|<1
exp
(
−i
m−1∑
k=1
ξkτk
)
R̄j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) dξ1dξ2 . . . dξm−1
∣∣∣∣∣∣∣ < Cδ1,
τ ∈ (τ0 − T , τ0 + T ).
Оцiнимо величину
∫
|ξ|>1
exp
(
−i
m−1∑
k=1
ξkτk
)
F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) dξ1dξ2 . . . dξm−1.
Має мiсце таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
АСИМПТОТИЧНIm-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 1101
Лема 6. Функцiя F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ), j = 1, N, при кожному k ∈ N задовольняє
нерiвнiсть∣∣∣∣∣∣∣
∫
|ξ|>1
exp
(
−i
m−1∑
k=1
ξkτk
)
F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ) dξ1dξ2 . . . dξm−1
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
Ck
(1 + τ2)k
,
де Ck, k ∈ N, — деякi додатнi не залежнi вiд τ сталi.
Доведення випливає з властивостей швидко спадних функцiй.
Лема 7. Нехай виконується умова
F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, 0) = 0. (77)
Тодi має мiсце нерiвнiсть∫
|ξ|>1
∣∣∣F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ)
∣∣∣ dξ1dξ2 . . . dξm−1
∣∣∣∣∣
τ=
x−ϕm(t)
ε
< CεN ,
де
τ ∈ {τ ∈ R : |τ | > εα0−1T1} ∪ {τ ∈ R : |τ | < εNT1},
α0 ∈ (0; 1), T1 > 0 — деякi числа.
Доведення. Згiдно з лемою 6 має мiсце нерiвнiсть∫
|ξ|>1
∣∣∣F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ)
∣∣∣ dξ1dξ2 . . . dξm−1 ≤ Ck
(1 + τ2)k
, k ∈ N.
Якщо натуральне число k задовольняє при фiксованому N нерiвнiсть 2k > N, то α0 :=
:= 1−N/(2k) ∈ (0; 1) i при |τ | > εα0−1T1 виконується нерiвнiсть∫
|ξ|>1
∣∣∣F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ)
∣∣∣ dξ1dξ2 . . . dξm−1
∣∣∣∣∣
τ=
x−ϕm(t)
ε
< CεN ,
де C — деяка стала, що не залежить вiд ε.
Згiдно з (77) i теоремою про середнє отримуємо∫
|ξ|>1
∣∣∣F̂j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ)
∣∣∣ dξ1dξ2 . . . dξm−1
∣∣∣∣∣
τ=
x−ϕm(t)
ε
< CεN
при |τ | < εNT1.
Лему 7 доведено.
Таким чином, поклавши T1 = T , τ0 = 0, отримаємо, що функцiя (v̄j(t, ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τ))∨ ,
j = 1, N, задовольняє допомiжне рiвняння (55) з точнiстю O(εN ) в областi D = D1 ∪D2, де
D1 = {(τ1, τ2, . . . , τm) ∈ Rm : |τm| > εα0−1T },
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1102 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
D2 = {(τ1, τ2, . . . , τm) ∈ Rm : |τm| < εNT }.
4.3.3. Оцiнка функцiї вiдхилу Rj(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N . Функцiя вiдхилуRj(t, τ1,
τ2, . . . , τm), j = 1, N, має вигляд (56) i є рiзницею правих частин диференцiальних рiвнянь (49)
i (55). При цьому рiвняння (49) — це рiвняння, яке розглядається на кривих x = ϕs(t), s = 1,m,
а (55) — це апроксимуюче для (49) диференцiальне рiвняння, яке отримано за умов (20) – (22) з
(49) замiною деяких коефiцiєнтiв у правiй частинi (49) на їх апроксимацiї фiнiтними функцiями.
Оцiнку функцiї вiдхилу Rj(t, τ1, τ2, . . . , τm), j = 1, N, встановлює наступна лема.
Лема 8. Нехай A + B < 1, де числа A, B визначено згiдно з формулами (72), (73). Тодi
iснує таке число T2 > 0, що має мiсце нерiвнiсть∣∣∣∣∣∣Rj(t, τ1, τ2, . . . , τm)
∣∣∣∣∣
τk=
x−ϕk(t)
ε
, k=1,m
∣∣∣∣∣∣ < CεN , j = 1, N,
де вектор (τ1, τ2, . . . , τm) належить областi
Rm−1 × (−T , T )\
m−1⋃
k=1
{
(τ1, τ2, . . . , τm) ∈ Rm−1 × (−T , T ) : |τm| < εα0−1T2
}
,
α0 ∈ (0; 1) — деяке число, що визначено згiдно з лемою 7.
Доведення. З (56), (57), (70) випливає, що при кожному j = 1, N функцiя
Rj(t, τ1, τ2, . . . , τm) = b0(t)
[
(v̄j)
∨
m∑
k=1
∂(V̄0 − V0)
∂τk
+ (V̄0 − V0)
m∑
k=1
∂ (v̄j)
∨
∂τk
]
належить S-простору швидко спадних щодо змiнних (τ1, τ2, . . . , τm) ∈ Rm функцiй. Тодi, якщо
τm ∈ {τm ∈ (−T , T ) : |τm| > εα0−1T2}, з леми 6 маємо∣∣∣∣∣(v̄j)∨
m∑
k=1
∂(V̄0 − V0)
∂τk
∣∣∣∣∣ ≤ Cn
δ
m− 1(
1 + τ21 + . . .+ τ2m−1
)n =
=
Cn
δ
m− 1(
1 +
(
x−ϕ1(t)
ε
)2
+
(
x−ϕ2(t)
ε
)2
+ . . .+
(
x−ϕm−1(t)
ε
)2)n , (78)
де T2 > 0 — деяке число, f∨ — обернене перетворення Фур’є за змiнними (ξ1, ξ2, . . . , ξm−1) ∈
∈ Rm−1 функцiї f(ξ1, ξ2, . . . , ξm−1, τm), n ∈ N — довiльне число.
При δ := ε в (78) отримаємо твердження леми 8.
Таким чином, поклавши T2 := τ̄0 := T , δ1 := εN , де τ̄0 визначено згiдно з (54), отримаємо,
що функцiя (v̄j)
∨ , j = 1, N, задовольняє в областi D рiвняння (49) з точнiстю O(εN ).
Як пiдсумок, використовуючи умови статтi [41], отримуємо таке твердження.
Теорема 4. Нехай виконуються умови теореми 2, умови (24) – (26), функцiї a0xx(x, t),
b0xx(x, t), a1(x, t), b1(x, t), u1(x, t) обмеженi на множинi (x, t) ∈ R × [0;T ], має мiсце нерiв-
нiсть A+B < 1, де числа A, B визначено згiдно з формулами (72), (73).
Тодi функцiя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
АСИМПТОТИЧНIm-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 1103
Y1(x, t, ε) =
=
1∑
j=0
εj [uj(x, t) + Vj(t, τ1, τ2, . . . , τm)] , (τ1, τ2, . . . , τm) ∈ D3,
1∑
j=0
εjuj(x, t) + V0(t, τ1, τ2, . . . , τm), (τ1, τ2, . . . , τm) ∈ D4,
(79)
де
V1(t, τ1, τ2, . . . , τm) = (v̄1)
∨ (t, τ1, τ2, . . . , τm),
D3 = {(τ1, τ2, . . . , τm) ∈ Rm−1 × (−T ; T ) : |τm| < εT },
D4 = {(τ1, τ2, . . . , τm) ∈ Rm : |τm| > εα0−1T },
τ1 =
x− ϕ1(t)
ε
, τ2 =
x− ϕ2(t)
ε
, . . . , τm =
x− ϕm(t)
ε
,
задовольняє спiввiдношення (15) з точнiстю O(ε2) на множинi {(x, t) ∈ R × [0;T ] : |x −
− ϕm(t)| < ε2T } ∪ {(x, t) ∈ R× [0;T ] : |x− ϕm(t)| > εα0T }, де α0 ∈ (0; 1) — деяке число, що
визначено згiдно з лемою 7.
Доведення. Пiдставимо функцiю Y1(x, t, ε) у рiвняння (8) та домножимо на ε. Враховуючи
рiвняння (16), (17) для визначення регулярної частини асимптотики та рiвняння (18), (19),
отримуємо
ε3
∂3u0
∂x3
+ ε
∂3u1
∂x3
+
1
ε3
m∑
p,q,r=1
∂3V0
∂τp∂τq∂τr
+
1
ε2
m∑
p,q,r=1
∂3V1
∂τp∂τq∂τr
−
−εa(x, t, ε)
∂u0
∂t
+ ε
∂u1
∂t
+
∂V0
∂t
+ ε
∂V1
∂t
− 1
ε
m∑
p=1
ϕ′p
∂V0
∂τp
−
m∑
p=1
ϕ′p
∂V1
∂τp
−
−εb(x, t, ε) [u0 + εu1 + V0 + εV1]×
×
∂u0
∂x
+ ε
∂u1
∂x
+
1
ε
m∑
p=1
∂V0
∂τp
+
m∑
p=1
∂V1
∂τp
=: g(x, t, ε).
Оцiнимо тепер величину g(x, t, ε). Враховуючи рiвняння (18), (19) та процедуру побудови
розв’язку рiвняння (19), переконуємося, що на множинi D3 ∪D4 має мiсце спiввiдношення
g(x, t, ε) =
= [a0(x, t) + εa1(x, t)− a0(ϕs(t), t)− ετsa0x(ϕs(t), t)− εa1(ϕs(t), t)]
m∑
p=1
ϕ′p
∂V0
∂τp
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1104 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
+ [b0(ϕs(t), t) + ετsb0x(ϕs(t), t) + εb1(ϕs(t), t)− b0(x, t)− εb1(x, t)]V0
m∑
p=1
∂V0
∂τp
+
+
[
b0(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t) + ετs (b0(x, t)u0(x, t))x
∣∣∣
x=ϕs(t)
− b0(x, t)u0(x, t)+
+εb0(ϕs(t), t)u1(ϕs(t), t) + εb1(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t)−
−εb0(x, t)u1(x, t)− εb1(x, t)u0(x, t)
]
m∑
p=1
∂V0
∂τp
+
+ε [b0(ϕs(t), t)u0x(ϕs(t), t)− b0(x, t)u0x(x, t)]V0 + ε [a0(ϕs(t), t)− a0(x, t)]
∂V0
∂t
+
+ε [a0(ϕs(t), t)− a0(x, t)]
m∑
p=1
(−ϕ′p)
∂V0
∂τp
+
+ε [b0(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t)− εb0(x, t)u0(x, t)]
m∑
k=1
(
V0
∂V1
∂τp
+ V1
∂V0
∂τp
)
+O(ε2).
Розглянемо доданок
[a0(x, t) + εa1(x, t)− a0(ϕs(t), t)− ετsa0x(ϕs(t), t)− εa1(ϕs(t), t)]
m∑
p=1
ϕ′p
∂V0
∂τp
.
На пiдставi умов (20) – (22), (24) – (26), враховуючи обмеженiсть функцiй a0(x, t), a0xx(x, t)
на множинi R× [0;T ], одержуємо оцiнку∣∣∣∣∣∣[a0(x, t) + εa1(x, t)− a0(ϕs(t), t)− ετsa0x(ϕs(t), t)− εa1(ϕs(t), t)]
m∑
p=1
ϕ′p
∂V0
∂τp
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣[a0(x, t) + εa1(x, t)− a0(ϕs(t), t)− εa1(ϕs(t), t)]
m∑
p=1
ϕ′p
∂V0
∂τp
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ ε2
m∑
p=1
C1pτ
2
p
∣∣∣∣∂V0∂τp
∣∣∣∣+ ε2
m∑
p=1
C2p|τp|
∣∣∣∣∂V0∂τp
∣∣∣∣ ,
звiдки, використовуючи властивостi функцiй
∂V0
∂τp
, зокрема те, що функцiя
∂V0
∂τp
, p = 1,m,
належить простору швидко спадних функцiй, як i при доведеннi теореми 2, знаходимо
ε2
m∑
p=1
C1pτ
2
p
∣∣∣∣∂V0∂τp
∣∣∣∣+ ε2
m∑
p=1
C2p|τp|
∣∣∣∣∂V0∂τp
∣∣∣∣ < Cε2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
АСИМПТОТИЧНIm-ФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ . . . 1105
Оскiльки функцiя F1(t, τ1, τ2, . . . , τm) належить простору S, то враховуючи умови (24) –
(26), переконуємося, що функцiя
∂V0
∂t
теж належить простору S. Тодi з мiркувань, що викори-
станi при доведеннi теореми 2, отримуємо∣∣∣∣ε [a0(x, t)− a0(ϕs(t), t)]
∂V0
∂t
∣∣∣∣ < Cε2
для деякої сталої C.
Аналогiчно встановлюємо оцiнку
|ε [a0(x, t)− a0(ϕs(t), t)]V1| < C1ε
2.
Проводячи аналогiчнi мiркування для оцiнки iнших доданкiв функцiї g(x, t, ε), як пiдсумок,
отримуємо асимптотичну рiвнiсть g(x, t, ε) = O(ε2).
Очевидно, що на множинi D4 функцiя
∑1
j=0 ε
juj(x, t) + V0(t, τ1, τ2, . . . , τm) задовольняє
спiввiдношення (15) з точнiстю O(ε2), оскiльки V1(t, τ1, τ2, . . . , τm), F1(t, τ1, τ2, . . . , τm) ∈ S.
Теорему доведено.
Зауваження 3. Аналогiчнi твердження можна довести i для випадку YN (x, t, ε), N ≥ 2.
Висновки. Запропоновано алгоритм побудови асимптотичного багатофазового солiтонопо-
дiбного розв’язку сингулярно збуреного рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєн-
тами. Отримано системи диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними для регулярної i
сингулярної частин асимптотичного розв’язку.
Для знаходження розв’язкiв системи диференцiальних рiвнянь для сингулярної частини
асимптотики запропоновано процедуру побудови їх наближених розв’язкiв за допомогою де-
яких апроксимуючих рiвнянь i отримано оцiнку вiдхилу для таких розв’язкiв.
Наведено обґрунтування запропонованого алгоритму.
41. Самойленко В.Г., Самойленко Ю.I. Асимптотичнi m-фазовi солiтоноподiбнi розв’язки сингулярно збуреного
рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 7. – С. 970 – 987.
42. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1977. – 832 с.
Одержано 14.12.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2643 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:29Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/38/e57f29456e0c9932312723f67acc0f38.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26432020-03-18T19:31:48Z Asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg?de Vries equation with variable coefficients. II Асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами. II Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. We consider the problem of the construction of higher terms of asymptotic many-phase soliton-type solutions of the singular perturbed Korteweg – de Vries equation with variable coefficients. The accuracy with which the obtained asymptotic solution satisfies the original equation is determined. Рассматривается задача о построении старших членов асимптотического многофазового солитоноподобного решения сингулярно возмущенного уравнения Кортевега – де Фриза с переменными коэффициентами. Установлена оценка, с которой построенное асимптотическое решение удовлетворяет исходному уравнению. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2643 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 8 (2012); 1089-1105 Український математичний журнал; Том 64 № 8 (2012); 1089-1105 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2643/2045 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2643/2046 Copyright (c) 2012 Samoilenko V. G.; Samoilenko Yu. I. |
| spellingShingle | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. Asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg?de Vries equation with variable coefficients. II |
| title | Asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg?de Vries equation with variable coefficients. II |
| title_alt | Асимптотичні m-фазові солітоноподібні розв'язки сингулярно збуреного рівняння Кортевега - де Фріза зі змінними коефіцієнтами. II |
| title_full | Asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg?de Vries equation with variable coefficients. II |
| title_fullStr | Asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg?de Vries equation with variable coefficients. II |
| title_full_unstemmed | Asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg?de Vries equation with variable coefficients. II |
| title_short | Asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg?de Vries equation with variable coefficients. II |
| title_sort | asymptotic m-phase soliton-type solutions of a singularly perturbed korteweg?de vries equation with variable coefficients. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2643 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkovg asymptoticmphasesolitontypesolutionsofasingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficientsii AT samoilenkoyui asymptoticmphasesolitontypesolutionsofasingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficientsii AT samojlenkovg asymptoticmphasesolitontypesolutionsofasingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficientsii AT samojlenkoûlí asymptoticmphasesolitontypesolutionsofasingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficientsii AT samoilenkovg asimptotičnímfazovísolítonopodíbnírozv039âzkisingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntamiii AT samoilenkoyui asimptotičnímfazovísolítonopodíbnírozv039âzkisingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntamiii AT samojlenkovg asimptotičnímfazovísolítonopodíbnírozv039âzkisingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntamiii AT samojlenkoûlí asimptotičnímfazovísolítonopodíbnírozv039âzkisingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntamiii |