Estimates for bilinear approximations of the classes TeX of periodic functions of two variables
We obtain exact-order estimates for the best bilinear approximations of the classes $S_{p, \theta}^{\Omega} B$ of periodic functions of two variables in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p, q, \theta$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2644 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508580955815936 |
|---|---|
| author | Solich, K. V. Соліч, К. В. |
| author_facet | Solich, K. V. Соліч, К. В. |
| author_sort | Solich, K. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:31:48Z |
| description | We obtain exact-order estimates for the best bilinear approximations of the classes $S_{p, \theta}^{\Omega} B$ of periodic functions of two variables in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p, q, \theta$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
К. В. Солiч (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКИ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ SΩ
p,θB
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ
We obtain exact-order estimates for the best bilinear approximations of the classes S Ω
p, θB of periodic functions of two
variables in the space Lq for some relations between the parameters p, q, θ.
Получены точные по порядку оценки наилучших билинейных приближений классов S Ω
p, θB периодических функций
двух переменных в пространстве Lq для некоторых соотношений между параметрами p, q, θ.
Вступ. Роботу присвяченo дослiдженню бiлiнiйних наближень класiв S Ω
p, θB у просторi Lq для
деяких спiввiдношень мiж параметрами p, q, θ. У вступi наведено означення класiв та коротко
iсторiю їх дослiдження в окресленому напрямку, у другiй частинi мiстяться допомiжнi твер-
дження. Основною є третя частина, де викладено отриманi результати щодо оцiнок найкращих
бiлiнiйних наближень.
Нехай d ∈ N, R d — d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd) i Lp(πd),
πd =
∏d
j=1
[−π;π], — простiр 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй i сумовних у степенi p,
1 ≤ p <∞ (вiдповiдно суттєво обмежених при p =∞) функцiй f(x) = f(x1, . . . , xd). Норма в
цьому просторi визначається таким чином:
‖f‖p =
(2π)−d
∫
πd
|f(x) |pdx
1/p
, 1 ≤ p <∞,
‖f‖∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Пiдмножину функцiй f ∈ Lp(πd), для яких виконується умова
π∫
−π
f(x)dxj = 0, j = 1, d,
позначимо через L◦p(πd).
Означимо простори SΩ
p,θB ⊂ Lp(πd), властивостi яких визначаються за допомогою Ω(t),
t = (t1, . . . , td) ∈ Rd+, — мажорантної функцiї для мiшаного модуля неперервностi l-го порядку
(l ∈ N) функцiї f ∈ Lp(πd) та числових параметрiв p i θ, 1 ≤ p, θ ≤ ∞.
Отже, для довiльної функцiї f ∈ Lp(πd) покладемо
Ωl(f, t)p = sup
|hj |≤tj
j=1,d
‖∆l
hf(·)‖p
— мiшаний модуль неперервностi порядку l функцiї f, де ∆l
hf(x) = ∆l
hd
. . .∆l
h1
f(x) =
= ∆l
hd
(. . . (∆l
h1
f(x))), h = (h1, . . . , hd), — мiшана l-та рiзниця з кроком hj за змiнною xj ,
j = 1, d. Тут
c© К. В. СОЛIЧ, 2012
1106 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ОЦIНКИ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ SΩ
p,θB ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1107
∆l
hj
f(x) :=
l∑
n=o
(−1)l−nCnl f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd).
Нехай далi Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) — функцiя типу мiшаного модуля неперервностi порядку l,
яка задовольняє наступнi умови:
1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d; Ω(t) = 0,
∏d
j=1
tj = 0;
2) Ω(t) неперервна на Rd+;
3) Ω(t) не спадає по кожнiй змiннiй tj ≥ 0, j = 1, d, при будь-яких фiксованих значеннях
iнших змiнних ti, i 6= j;
4) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤ C
(∏d
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d, C > 0 — деяка стала.
Множину таких функцiй Ω позначимо через Ψl,d. У випадку d = 1 пишемо Ψl. Зауважимо,
що якщо f ∈ Lp(πd), то Ωl(f, ·) ∈ Ψl,d.
Пiдпорядкуємо функцiї Ω ∈ Ψl,d додатковим умовам, якi опишемо у термiнах двох понять,
уведених С. Н. Бернштейном [1]:
а) невiд’ємна функцiя ϕ(τ), τ ∈ [0;∞), майже зростає, якщо iснує стала C1 > 0 така, що
ϕ(τ1) ≤ C1ϕ(τ2) для будь-яких τ1, τ2, 0 ≤ τ1 < τ2;
б) додатна функцiя ϕ(τ), τ ∈ (0;∞), майже спадає, якщо iснує стала C2 > 0 така, що
ϕ(τ1) ≥ C2ϕ(τ2) для будь-яких τ1, τ2, 0 < τ1 < τ2.
Нехай d = 1 i Ω ∈ Ψ
(1,2)
l , тобто для Ω(t), t ≥ 0, виконуються, принаймнi, умови 1 i 2.
Будемо писати:
i) Ω ∈ Sα (α > 0), якщо функцiя
Ω(τ)
τα
майже зростає при τ > 0;
ii) Ω ∈ Sl, якщо iснує γ, 0 < γ < l, таке, що функцiя
Ω(τ)
τγ
майже спадає при τ > 0.
Умови належностi функцiї Ω до множин Sα i Sl часто називають в лiтературi умовами Барi –
Стєчкiна [2].
При d > 1 для функцiї Ω ∈ Ψ
(1,2)
l,d будемо вважати, що Ω ∈ Sα,d, α = (α1, . . . , αd), αj > 0,
j = 1, d (вiдповiдно Ω ∈ Sl,d, l ∈ N), якщо Ω(t1, . . . , td) як функцiя змiнної tj , j = 1, d, при
будь-яких значеннях iнших змiнних ti, i 6= j, належить множинi Sαj (вiдповiдно Sl).
Зауважимо, що у випадку d = 1 будемо використовувати позначення Sα,1 ≡ Sα та Sl,1 ≡ Sl
вiдповiдно.
Покладемо також Φd
α,l = Ψl,d ∩ Sα ∩ Sl.
Отже, нехай 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i Ω ∈ Φd
α,l. Тодi
SΩ
p,θB :=
{
f ∈ Lp(πd) : |f |SΩ
p,θB
<∞
}
,
де напiвнорма |f |SΩ
p,θB
визначається спiввiдношенням
|f |SΩ
p,θB
=
∫
πd
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ d∏
j=1
dtj
tj
1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
t≥0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
, θ =∞.
(1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1108 К. В. СОЛIЧ
Визначимо норму у просторi SΩ
p,θB таким чином:
‖f‖SΩ
p,θB
:= ‖f‖p + |f |SΩ
p,θB
, 1 ≤ p, θ ≤ ∞.
Наведене означення просторiв SΩ
p,θB (з незначною модифiкацiєю) взято iз роботи [3]. При
θ =∞ простори SΩ
p,θB (з позначенням SΩ
p H) уведенi i вивчались у роботi [4].
Шкала просторiв SΩ
p,θB є природним узагальненням шкали просторiв Нiкольського – Бєсова
Br
p,θ, r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d (див. наприклад, [5]), i SΩ
p,θB ≡ Br
p,θ при Ω(t) =
=
∏d
j=1
t
rj
j , rj < l, j = 1, d (зазначимо, що при θ = ∞ Br
p,θ — простори Нiкольського
Hr
p [6]).
У подальшому будемо використовувати порядковi спiввiдношення. Запис A � B означає
двосторонню нерiвнiсть мiж виразами A i B, тобто C3B ≤ A ≤ C4B, де C3, C4 > 0 — сталi,
значення яких можуть бути рiзними в рiзних мiсцях. Також якщо A ≤ C5B, C5 > 0, та
A ≥ C6B, C6 > 0, будемо писати A� B i A� B вiдповiдно. Iз контексту буде зрозумiло, вiд
яких параметрiв цi сталi не залежать. Ми не будемо акцентувати на цьому увагу щоразу при
використаннi символiв �,� i� .
Сформулюємо необхiднi при доведеннi одержаних у роботi результатiв вiдомi твердження,
що стосуються еквiвалентного в сенсi вiдношення � зображення норми ‖f‖SΩ
p,θB
функцiй
f ∈ SΩ
p,θB, 1 ≤ p, θ ≤ ∞, Ω ∈ Φd
α,l.
Цi зображення подаються у термiнах визначеного порядку росту p-норм деяких тригоно-
метричних полiномiв, якi будуються на основi розкладу функцiї f ∈ Lp(πd) в ряд Фур’є за
тригонометричною системою.
Отже, нехай f ∈ Lp(πd) i
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x), (k, x) = k1x1 + . . .+ kdxd,
де f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt — коефiцiєнти Фур’є функцiї f i для кожного вектора s =
= (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d,
ρ(s) := {k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d}.
В роботi [3] встановлено, що при 1 < p <∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, Ω ∈ Φd
α,l для f ∈ SΩ
p,θB ∩ L◦p(πd)
‖f‖SBΩ
p,θ
�
(∑
s
Ω(2−s)−θ‖δs(f, ·)‖θp
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
s
‖δs(f, ·)‖p
Ω(2−s)
, θ =∞,
(2)
де Ω(2−s) = Ω(2−s1 , . . . , 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d.
Як бачимо, таке зображення норми не охоплює випадки p = 1 i p =∞. Деяка модифiкацiя
правої частини (2) дозволяє встановити подiбне зображення i в цих випадках. Введемо необхiднi
позначення.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ОЦIНКИ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ SΩ
p,θB ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1109
Нехай
Vn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
cos kt+ 2
2n−1∑
k=n+1
2n− k
n
cos kt
— ядро Валле Пуссена порядку 2n i в точцi x = (x1, . . . , xd)
As(x) =
d∏
j=1
(V2sj (xj)− V2sj−1(xj)), s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d. (3)
Якщо f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, то покладемо
As(f, x) := f ∗As = (2π)−d
∫
πd
f(t− x)As(t)dt, x = (x1, . . . , xd). (4)
В роботi [7] встановлено, що при 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ <∞ i Ω ∈ Φd
α,l для f ∈ SΩ
p,θB ∩L◦p(πd)
має мiсце спiввiдношення
‖f‖SΩ
p,θB
�
(∑
s
Ω(2−s)−θ‖As(f, ·)‖θp
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞, (5)
i вiдповiдно в [4] при θ =∞
‖f‖SΩ
p,∞B
� sup
s
‖As(f, ·)‖p
Ω(2−s)
. (6)
Далi в формулюваннях тверджень задiяно простори SΩ
p,θB у випадку, коли функцiя Ω має
спецiальний вигляд
Ω(t) = ω
d∏
j=1
tj
, ω ∈ Φ1
α,l, α > 0. (7)
Отже, тут ω(·) — довiльна функцiя (однiєї змiнної) типу модуля неперервностi порядку l i
ω ∈ Φ1
α,l. Згiдно з попереднiми означеннями зрозумiло, що
ω ∈ Φ1
α,l =⇒ Ω ∈ Φd
α,l, α = (α, . . . , α︸ ︷︷ ︸
d
).
Зауважимо, що до множини Φ1
α,l, l ∈ N, належить, наприклад, функцiя
ω(u) =
ur(
log+ 1
u
)β , u > 0,
0, u = 0,
де log+ τ = max{1, log τ}, 0 < r < l, β ∈ R.
Далi будемо використовувати термiн „клас SΩ
p,θB”, розумiючи одиничну кулю у просторi
SΩ
p,θB ∩ L◦p(πd), i позначати цю множину функцiй так само, як i увесь простiр SΩ
p,θB.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1110 К. В. СОЛIЧ
1. Iсторiя питання та допомiжнi твердження. У цьому пунктi наведено означення дос-
лiджуваної апроксимативної характеристики у випадку функцiй багатьох змiнних з певною
конкретизацiєю для двовимiрного випадку (в загальному випадку функцiй 2d (d > 1) змiн-
них вiдповiдне означення мiститься, наприклад, у [8, c. 85]). Також коротко дано iсторичну
довiдку щодо найкращих бiлiнiйних наближень та їх застосувань i сформульовано допомiжнi
твердження, якi будемо використовувати далi.
Нехай Lq(π2), q = (q1, q2) — множина функцiй f(x1, x2), x1, x2 ∈ R, зi скiнченною мiшаною
нормою
‖f(x1, x2)‖q1,q2 = ‖ ‖f(·, x2)‖q1‖q2 ,
де норма обчислюється спочатку у просторi Lq1(π), де π := π1, по змiннiй x1 ∈ R, а потiм
вiд результату — по змiннiй x2 ∈ R у просторi Lq2(π). Для f ∈ Lq(π2) означимо найкраще
бiлiнiйне наближення порядку M :
τM (f)q1,q2 := inf
uj(x1),vj(x2)
‖f(x1, x2)−
M∑
j=1
uj(x1)vj(x2)‖q1,q2 ,
де uj ∈ Lq1(π), vj ∈ Lq2(π) i τ0(f)q1,q2 := ‖f(x1, x2)‖q1,q2 .
Якщо F ⊂ Lq(π2) — клас функцiй, то покладемо
τM (F )q1,q2 := sup
f∈F
τM (f)q1,q2 . (8)
При q1 = q2 = q будемо писати вiдповiдно τM (f)q i τM (F )q.
Дослiдження найкращих бiлiнiйних наближень було розпочато ще на початку минулого
сторiччя. Так, у 1907 р. E. Schmidt [9] довiв теорему про наближення перiодичних функцiй
двох змiнних f(x, y) в L2 бiлiнiйними формами
∑n
k=1
ϕk(x)ψk(y), де, зокрема, вказав спосiб
побудови найкращих бiлiнiйних форм.
C. A. Micchelli та A. Pinkus [10], дослiджуючи бiлiнiйнi наближення деяких функцiй двох
змiнних, заданих на квадратi [0, 1] × [0, 1], застосували отриманi результати для знаходження
точних значень поперечникiв класiв диференцiйовних функцiй.
М.-Б.А. Бабаєв [11, 12] розглянув питання бiлiнiйних наближень неперiодичних функцiй.
Поведiнка величини τM (P )2,2 для функцiй P iз класiв, аналогiчних до класiв Соболєва,
вивчалась у роботi М. В. Мiрошина i В. В. Хромова [13].
Пiзнiше Р. С. Iсмагiлов [14] встановив зв’язок мiж найкращими бiлiнiйними наближеннями
функцiй виду f(x− y), f(x) ∈ F, i поперечниками за Колмогоровим класiв F.
Дослiдженню бiлiнiйних наближень функцiй 2d змiнних (d ≥ 1) з класiвW r
p,α iHr
p , якi є ана-
логами класiв С. Л. Соболєва та С. М. Нiкольського, присвячено низку робiт В. М.Темлякова [8,
15 – 18].
Також вiдзначимо роботи А. С. Романюка [19, 20] i А. С. Романюка, В. С. Романюка [21],
якi присвяченi дослiдженню бiлiнiйних наближень функцiй 2d змiнних iз класiв О. В. Бєсова
та їх аналогiв. У згаданих роботах можна ознайомитись з бiльш детальною бiблiографiєю в
цьому напрямi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ОЦIНКИ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ SΩ
p,θB ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1111
Нехай Cd(N) позначає множину векторiв k = (k1, . . . , kd) з цiлими координатами, що
задовольняють умову |kj | ≤ N, j = 1, d.
Справедливим є наступне твердження.
Лема A [17]. Нехай задано число N i M = Nd. Тодi для заданої функцiї
g(x) =
∑
k∈Cd(2N)
ĝ(k)ei(k,x)
такої, що |ĝ(k)| ≤ 1 i |ĝ(k)| = 1 при k ∈ Cd(N), виконується спiввiдношення
τM (g(x− y))2,1 �M1/2.
Нехай T(Cd(2n)) позначає множину тригонометричних полiномiв з номерами гармонiк з
Cd(2n).
Теорема A [22]. Нехай t ∈ T(Cd(2n)). Тодi при 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ має мiсце нерiвнiсть
‖t‖p � 2nd(1/q−1/p)‖t‖q. (9)
Зауважимо, що ця нерiвнiсть була встановлена С. М. Нiкольським i отримала назву не-
рiвностi рiзних метрик. В одновимiрному випадку при p = ∞ вiдповiдну нерiвнiсть довiв
Д. Джексон [23].
Покладемо Qn =
⋃
‖s‖1≤n
ρ(s), де ‖s‖1 = s1 + . . .+ sd. Множину Qn називають схiдчасто-
гiперболiчним хрестом. Вiдомо (див., наприклад, [24]), що для кiлькостi точок |Qn| цiєї мно-
жини має мiсце спiввiдношення
|Qn| � 2nnd−1. (10)
Для G ⊂ Zd, де Zd — цiлочислова решiтка в Rd, через T(G, d) позначимо множину триго-
нометричних полiномiв d змiнних
T(G, d) =
{
f : f(x) =
∑
k∈G
cke
i(k,x)
}
,
i для G1, G2 ⊂ Zd через T (G1, G2, 2d) — множину тригонометричних полiномiв 2d змiнних
T(G1, G2, 2d) =
f : f(x, y) =
∑
k1∈G1, k2∈G2
ck1,k2e
i((k1,x)+(k2,y))
.
Лема Б [25]. Нехай f ∈ T(Qµ, Qν , 2d). Тодi
τM (f(x, y))∞ � min{1,M−1}|Qµ|1/2|Qν |1/2(µν)1/2×
×
(
log
(
1 +
|Qµ|
M + 1
)
log
(
1 +
|Qν |
M + 1
))1/2
‖f‖2. (11)
2. Основнi результати. У цьому пунктi наведено результати щодо порядкових оцiнок най-
кращих бiлiнiйних наближень функцiй двох змiнних, що належать до класiв SΩ
p,θB, 1 ≤ p ≤ ∞,
у просторi Lq,q(π2), 1 ≤ q ≤ ∞, який у такому випадку збiгається з простором Lq(π2).
Сформулюємо i доведемо наступне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1112 К. В. СОЛIЧ
Теорема . Нехай 1 ≤ p, q, θ ≤ ∞ i Ω ∈ Φ2
α,l, α > α0, де
α0 =
1
p
− 1
q
, 1 ≤ p ≤ q ≤ 2,
1
2
, 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞,
1
p
, 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞.
Тодi справедливими є наступнi оцiнки:
τM (SΩ
p,θB)q �
Ω(M−2)M1/p−1/q, 1 ≤ p ≤ q ≤ 2,
Ω(M−2), 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞,
Ω(M−2)M1/p−1/2, 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞.
(12)
Доведення. Оскiльки для класiв SΩ
p,θB при 1 ≤ θ ≤ ∞ мають мiсце включення
SΩ
p,1B ⊂ SΩ
p,θB ⊂ SΩ
p,∞B = SΩ
p H,
то оцiнки зверху в теоремi достатньо довести для класiв SΩ
p H, а знизу — для SΩ
p,1B.
Встановимо спочатку оцiнки зверху. При цьому будемо дотримуватися схеми мiркувань, яка
використовувалась при дослiдженнi бiлiнiйних наближень функцiй iз класiв W r
p,α i Hr
p (див. [8,
c. 105 – 109]).
Нехай f ∈ SΩ
p H, 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞. Тодi для f має мiсце зображення
f(x) =
∑
s1,s2≥0
As(f, x), x = (x1, x2), s = (s1, s2) (13)
(ряд збiгається у просторi Lp(π2)), де As(f, x) визначено рiвнiстю (4).
Для заданого n ∈ N покладемо M̃ = 2n i розглянемо функцiї
f
M̃,1
(x) =
∑
|k1|<M̃
V̂
M̃/2
(k1)eik1x1 · 1
2π
π∫
−π
f(x)e−ik1x1dx1
i
f
M̃,2
(x) =
∑
|k2|<M̃
V̂
M̃/2
(k2)eik2x2 · 1
2π
π∫
−π
(
f(x)− f
M̃,1
(x)
)
e−ik2x2dx2,
де V̂m(l) = (2π)−1
∫ π
−π
Vm(t)e−iltdt — коефiцiєнти Фур’є функцiї Vm(t), t ∈ R, по тригономет-
ричнiй системi. Зрозумiло, що сума f
M̃,1
(x) + f
M̃,2
(x) зображується у виглядi
f
M̃,1
(x) + f
M̃,2
(x) =
4M̃−2∑
i=1
ui(x1)vi(x2), (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ОЦIНКИ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ SΩ
p,θB ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1113
де ui i vi, i = 1, 4M̃ − 2, — деякi функцiї iз Lq(π).
Розклад функцiї
g(x) = f(x)− f
M̃,1
(x)− f
M̃,2
(x) (15)
по тригонометричнiй системi не мiстить гармонiк ei(k,x) з k такими, що minj |kj | ≤
M̃
2
i,
очевидно,
g(x) =
∑
s1,s2>n
As(f, x), s = (s1, s2). (16)
Далi покладемо
Ms = [M̃ · 2−κ((s1+s2)−2n)], s = (s1, s2), s1, s2 > n,
де число κ > 0 є вiльним у подальшому виборi, а [c] — цiла частина числа c ∈ R.
Нехай M = C(κ)2n, де C(κ) — достатньо велике число. Тодi
M0 := 4M̃ − 2 +
∑
s1,s2>n
Ms < M, M0 � 2n, (17)
до того ж iснує n0 = n0(κ) ≥ n таке, що Ms ≥ 1 при n ≤ s1, s2 ≤ n0 i Ms = 0 при s1, s2 > n0.
Розглянемо наближення в Lq(π2) функцiї As(f, x), s1, s2 > n, для f ∈ SΩ
p H (при рiзних
спiввiдношеннях мiж p i q, 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞) за допомогою бiлiнiйних агрегатiв
∑
i
u∗i (x1)v∗i (x2)
з Ms доданками в сумi. Функцiї As(f, x) є тригонометричними полiномами порядку 2s1 по
змiннiй x1 i порядку 2s2 по змiннiй x2 i зображуються у виглядi
As(f, x) =
∑
k
As(f ;xk1
1 , x
k2
2 )V2s1 (x1 − xk1
1 )V2s2 (x2 − xk2
2 ),
де k = (k1, k2),
xk1
1 = k1π2−s1−1, k1 = 0, 1, . . . , 2s1+2 − 1,
xk2
2 = k2π2−s2−1, k2 = 0, 1, . . . , 2s2+2 − 1,
i пiдсумовування проводиться за всiма парами (k1, k2).
Позначимо через Gs множину, що складається з Ms точок (k1, k2), яким вiдповiдають
найбiльшi числа |As(f, xk1
1 , x
k2
2 )|, i покладемо
gs(x1, x2) =
∑
k∈Gs
As(f, x
k1
1 , x
k2
2 )V2s1 (x1 − xk1
1 )V2s2 (x2 − xk2
2 ) :=
Ms∑
i=1
usi (x1)vsi (x2). (18)
У [8, c. 105, 106] показано, що
‖As(f, x1, x2)− gs(x1, x2)‖q � min{M−βs , 1}2β(s1+s2)‖As(f, x)‖p, β = 1/p− 1/q. (19)
Нехай 1 ≤ p ≤ q ≤ 2, а число κ > 0 в означеннi послiдовностi (Ms)s1,s2>n таке, що
(1 + κ)β < α, де α взято з умови теореми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1114 К. В. СОЛIЧ
Тодi, враховуючи, що для f ∈ SΩ
p H (див. [4])
‖As(f, x1, x2)‖p � Ω(2−(s1+s2)), (20)
i беручи до уваги зображення (16) та (18), маємо
(
далi M∗ =
∑
s1,s2>n
Ms
)
τM∗(g)q ≤
∑
s1,s2>n
‖As(f, x)− gs(x)‖q �
�
∑
n<s1,s2<n0
M−βs 2β(s1+s2)‖As(f, x)‖p +
∑
s1,s2>n0
‖As(f, x)‖q �
�
∑
n<s1,s2<n0
(
M̃2−κ((s1+s2)−2n)
)−β
2β(s1+s2)‖As(f, x)‖p +
∑
s1,s2>n0
‖As(f, x)‖q = I1 + I2.
(21)
Оцiнимо спочатку перший доданок у (21). Оскiльки функцiя Ω ∈ Φ2
α,l, α >
1
p
− 1
q
, то
I1 �
∑
n<s1,s2<n0
M−β2κβ((s1+s2)−2n)+β(s1+s2)Ω(2−(s1+s2)) �
�M−β2−2nκβ
∑
n<s1,s2<n0
Ω(2−(s1+s2))2(s1+s2)(κβ+β) �
�M−β2−2nκβ
∑
n<s1,s2<n0
Ω(2−(s1+s2))
2−α(s1+s2)
2−(s1+s2)(α−κβ−β) �
�M−β2−2nκβΩ(2−2n)22n(κβ+β) � Ω(2−2n)
2−2αn
2−n(2α−β). (22)
Для оцiнки величини I2, використовуючи теорему А, можемо записати
I2 �
∑
s1,s2>n0
2(s1+s2)(1/p−1/q)‖As(f, x)‖p �
∑
s1,s2>n0
2(s1+s2)βΩ(2−(s1+s2))�
�
∑
s1,s2>n0
Ω(2−(s1+s2))
2−α(s1+s2)
2−(s1+s2)(α−β) � Ω(2−2n)
2−2αn
∑
s1,s2>n0
2−(s1+s2)(α−β).
Зауважимо, що до I2 будуть входити доданки лише з тими s1, s2, для яких Ms = 0, тобто
для цього повинна виконуватись умова M̃ · 2κ((s1+s2)−2n) < 1. Як зазначалося вище, M̃ = 2n, i
тому цю вимогу запишемо у виглядi
2n−κ((s1+s2)−2n) < 1,
що рiвносильно виконанню нерiвностi
s1 + s2 >
n
κ
+ 2n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ОЦIНКИ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ SΩ
p,θB ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1115
Продовжимо оцiнку величини I2:
I2 �
Ω(2−2n)
2−2αn
2(n/κ+2n)(β−α) =
Ω(2−2n)
2−2αn
2−n(2α−β)2(n/κ+2n)(β−α)+n(2α−β) =
=
Ω(2−2n)
2−2αn
2−n(2α−β)2−
n
κ
(α−β−βκ). (23)
Далi, оскiльки, згiдно з вибором κ, α− β − βκ > 0, то I2 � I1 i з (21) будемо мати
τM∗(g)q �
Ω(2−2n)
2−2αn
2−n(2α−β) = Ω(2−2n)2nβ = Ω(M−2)M1/p−1/q. (24)
Отже, для довiльної функцiї f ∈ SΩ
p H, внаслiдок рiвностi (15), iз урахуванням зображення (14)
(див. також (17)) i оцiнки (24) отримаємо
τM (f)q � Ω(M−2)M1/p−1/q, 1 ≤ p ≤ q ≤ 2.
Нехай тепер 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞. Зауважимо, що в цьому випадку достатньо встановити оцiнку
зверху в теоремi при p = 2. Отже, нехай f ∈ SΩ
2 H. Згiдно з лемою Б для функцiї двох змiнних
g(x) вигляду
g(x) =
∑
k1∈Qs1
k2∈Qs2
ck1,k2e
i(k1x1+k2x2),
що належить до T (Qs1 , Qs2 , 2), беручи до уваги спiввiдношення (11) для d = 1, можемо
записати
τMs(g(x))∞ �
� min{1,M−1
s }2
s1+s2
2 log1/2
(
1 +
2s1
Ms + 1
)
log1/2
(
1 +
2s2
Ms + 1
)
‖g‖2, s = (s1, s2). (25)
Далi, оскiльки As(f, x) ∈ T (Qs1+1, Qs2+1, 2) i, крiм того, має мiсце нерiвнiсть (17), внаслiдок
(25) отримаємо (при n < s1, s2 ≤ n0)
τMs(As(f, x))∞ �M−1
s 2
s1+s2
2 log1/2
(
1 +
2s1
Ms + 1
)
log1/2
(
1 +
2s2
Ms + 1
)
Ω(2−(s1+s2)). (26)
Виберемо κ > 0 в означеннi послiдовностi (Ms)s1,s2>n так, щоб виконувалась нерiвнiсть
α − κ − 1
2
> 0
(
за умовою у випадку, що розглядається, α >
1
2
)
. Далi, як i в попередньому
випадку, будемо використовувати зображення (13) – (16) i спiввiдношення (17). Враховуючи, що
Ω ∈ Φ2
α,l, α >
1
2
, використовуючи оцiнку (26) та теорему А, можемо записати
τM (f)∞ �
∑
s1,s2>n
τMs(As(f, x))∞ �
�
n0∑
s1=n+1
n0∑
s2=n+1
M−1
s 2
s1+s2
2 log1/2
(
1 +
2s1
Ms
)
log1/2
(
1 +
2s2
Ms
)
Ω(2−(s1+s2))+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1116 К. В. СОЛIЧ
+
∑
s1,s2>n0
‖As(f, x)‖∞ �
� M̃−12−2κn
n0∑
s1=n+1
n0∑
s2=n+1
Ω(2−(s1+s2))2−(s1+s2)(−1/2−κ) +
∑
s1,s2>n0
2
s1+s2
2 ‖As(f, x)‖2 �
= M̃−12−2κn
n0∑
s1=n+1
n0∑
s2=n+1
Ω(2−(s1+s2))
2−α(s1+s2)
2−(s1+s2)(α−κ−1/2) +
∑
s1,s2>n0
2
s1+s2
2 Ω(2−(s1+s2))�
� M̃−12−2κnΩ(2−2n)
2−2αn
n0∑
s1=n+1
n0∑
s2=n+1
2−(s1+s2)(α−κ−1/2)+
+
∑
s1,s2>n0
Ω(2−(s1+s2))
2−α(s1+s2)
2−(s1+s2)(α−1/2) �
� M̃−12−2κnΩ(2−2n)
2−2αn
2−2n(α−κ−1/2) +
Ω(2−2n)
2−2αn
∑
s1,s2>n0
2−(s1+s2)(α−1/2) �
�M−12nΩ(2−2n) +
Ω(2−2n)
2−2αn
∑
s1,s2>n0
2−(s1+s2)(α−1/2) �
� Ω(2−2n) +
Ω(2−2n)
2−2αn
∑
s1,s2>n0
2−(s1+s2)(α−1/2). (27)
Далi, повторюючи для оцiнки другого доданка (27) мiркування, аналогiчнi до тих, якi ви-
користовувались для оцiнки величини I2 (див. (21) – (23)), i враховуючи, що α − κ − 1
2
> 0,
записуємо
τM (f)∞ � Ω(2−2n) � Ω(M−2).
Отже, у випадку 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞, Ω ∈ Φ2
α,l, α >
1
2
оцiнку зверху для τM (SΩ
p,θB)q доведено.
Нехай тепер 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞ i Ω ∈ Φ2
α,l, α >
1
p
. В цьому випадку оцiнку зверху в теоремi
достатньо довести для q = ∞. Як i в попередньому випадку, застосовуючи лему Б до функцiї
As(f, x)−gs(x) (див. нерiвнiсть (25)) i враховуючи при цьому, щоAs(f, x) ∈ T (Qs1+1, Qs2+1, 2),
f ∈ SΩ
p H, а gs(x) ∈ T (Qs1 , Qs2 , 2), можемо записати
τM (As(f, x)− gs(x))∞ �M−1
s 2
s1+s2
2 log1/2
(
1 +
2s1
Ms
)
log1/2
(
1 +
2s2
Ms
)
‖As(f, x)− gs(x)‖2.
(28)
З iншого боку, згiдно з оцiнками (19) i (20)
‖As(f, x1, x2)− gs(x1, x2)‖2 �M−γs 2γ(s1+s2)Ω(2−(s1+s2)), γ = 1/p− 1/2. (29)
Спiвставляючи (28) i (29) та враховуючи (18), отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ОЦIНКИ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ SΩ
p,θB ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1117
τ2Ms(As(f, x))∞ �M−1−γ
s 2γ(s1+s2)2
s1+s2
2 log1/2
(
1 +
2s1
Ms
)
log1/2
(
1 +
2s2
Ms
)
Ω(2−(s1+s2)).
Зауважимо, що така ж порядкова оцiнка зберiгається i для τMs(As(f, x))∞.
Далi виберемо κ > 0 в означеннi послiдовностi (Ms)s1,s2>n так, щоб виконувалась нерiв-
нiсть 0 < κ <
α− 1/p
1/2 + 1/p
(
нагадаємо, що за умовою α >
1
p
)
. Тодi, як i в попередньому випадку,
для f ∈ SΩ
p H можемо записати
τM (f)∞ �
∑
s1,s2>n
τMs(As(f, x))∞ �
n0∑
s1=n+1
n0∑
s2=n+1
M−1−γ
s 2(s1+s2)(γ+1/2)Ω(2−(s1+s2))+
+
∑
s1,s2>n0
‖As(f, x)‖∞ � M̃−1−γ2−2nκ(1/2+1/p)×
×
n0∑
s1=n+1
n0∑
s2=n+1
Ω(2−(s1+s2))
2−α(s1+s2)
2−κ(s1+s2)(−1/2−1/p) · 2−(s1+s2)(α−1/p)+
+
∑
s1,s2>n0
2
s1+s2
p ‖As(f, x)‖p �
� M̃−(1/2+1/p)2−2nκ(1/2+1/p) Ω(2−2n)
2−2αn
n0∑
s1=n+1
n0∑
s2=n+1
2−(s1+s2)[(α−1/p)−κ(1/2+1/p)]+
+
∑
s1,s2>n0
2
s1+s2
p Ω(2−(s1+s2)) �
� M̃−(1/2+1/p)2−2nκ(1/2+1/p) Ω(2−2n)
2−2αn
2−2n[(α−1/p)−κ(1/2+1/p)]+
+
∑
s1,s2>n0
Ω(2−(s1+s2))
2−α(s1+s2)
2−(s1+s2)(α−1/p) �
� M̃−(1/2+1/p) Ω(2−2n)
2−2αn
2−n(2α−2·1/p) +
Ω(2−2n)
2−2αn
∑
s1,s2>n0
2−(s1+s2)(α−1/p) �
� Ω(2−2n)
2−2αn
2−n(2α−(1/p−1/2)) +
Ω(2−2n)
2−2αn
∑
s1,s2>n0
2−(s1+s2)(α−1/p) � Ω(2−2n)2n(1/p−1/2).
Звiдси отримуємо остаточну оцiнку
τM (f)∞ � Ω(M−2)M1/p−1/2.
Оцiнки зверху в (12) встановлено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1118 К. В. СОЛIЧ
Перейдемо до встановлення оцiнок знизу. Для цього будемо будувати екстремальнi функцiї
g(x1, x2) = f(x1 − x2), де f — функцiя однiєї змiнної така, що g ∈ SΩ
p,θB, як функцiя двох
змiнних. При цьому, як зазначалося ранiше, достатньо обмежитися значенням θ = 1.
Нехай 1 ≤ p ≤ q ≤ 2. По заданому натуральному числу M знайдемо n ∈ N таке, що
2n−1 ≤M < 2n, i розглянемо бiлiнiйне наближення функцiї двох змiнних
f1(x1, x2) = C7Ω(2−2n)2−(1−1/p)nV2n+2(x1 − x2), C7 > 0.
Покажемо спочатку, що при належному виборi додатної сталої C7 функцiя f1 належить
класу SΩ
p,1B. За означенням норми функцiї в цьому класi маємо
‖f1‖SΩ
p,1B
= C7Ω(2−2n)2−(1−1/p)n
∑
s1,s2>0
Ω−1(2−(s1+s2))‖As(V2n+2(x1 − x2))‖p �
� Ω(2−2n)2−(1−1/p)n
n+3∑
s1=1
n+3∑
s2=1
Ω−1(2−(s1+s2))‖As(x1, x2)‖1‖(V2n+2(x1 − x2))‖p. (30)
Оскiльки ‖As‖1 ≤ C8 (див., наприклад, [15, c. 35]) та ‖V2n+2‖p � 2n(1−1/p), 1 ≤ p ≤ ∞ (див.,
наприклад, [15, c. 28]), то оцiнку (30) можна продовжити таким чином:
‖f1‖SΩ
p,1B
� Ω(2−2n)2−(1−1/p)n
n+3∑
s1=1
n+3∑
s2=1
Ω−1(2−(s1+s2))‖(V2n+2(x1 − x2))‖p �
� Ω(2−2n)2−(1−1/p)nΩ−1(2−2(n+3))2n(1−1/p) � 1.
Отже, при певному виборi сталої C7 > 0 функцiя f1 належить класу SΩ
p,1B.
Далi, у [8, с.107] встановлено, що
τM (V2n+2(x1 − x2))q,1 � 2−n(1/q−1),
а отже,
τM (f1)q,1 � Ω(2−2n)2−n(1−1/p)τM (V2n+2(x1 − x2))q,1 �
� Ω(2−2n)2−n(1−1/p)2n(1−1/q) = Ω(2−2n)2−n(1/q−1/p) = Ω(M−2)M1/p−1/q.
Звiдси випливає вiдповiдна оцiнка знизу i для τM (SΩ
p,θB)q.
У випадку 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞ розглянемо функцiю
f2(x1, x2) = C9Ω(2−2n)2−n/2Rn(x1 − x2), C9 > 0,
де Rn(t) =
∑2n
k=−2n
εke
ikt, εk = ±1, — полiном Рудiна – Шапiро (див., наприклад, [26, c. 155]),
для якого виконується порядкова нерiвнiсть ‖Rn‖∞ � 2n/2.
Як i в попередньому випадку, можна показати, що при належному виборi додатної сталої
C9 функцiя f2 належить класу SΩ
p,1B.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ОЦIНКИ БIЛIНIЙНИХ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ SΩ
p,θB ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1119
Нехай M = 2n. Оскiльки функцiя Rn(t) задовольняє умови леми А при d = 1, то викону-
ється порядкова нерiвнiсть
τM (Rn(x1 − x2))2,1 �M1/2.
Таким чином, можемо записати
τM (f2(x1 − x2))2,1 � Ω(2−2n)2−n/2τM (Rn(x1 − x2))2,1 � Ω(2−2n) = Ω(M−2),
звiдки, очевидно, при будь-якому M ∈ N
τM (SΩ
p,1B)q � Ω(M−2).
Насамкiнець оцiнка знизу у випадку 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞ випливає з оцiнок знизу для
1 ≤ p ≤ q ≤ 2 при q = 2 внаслiдок монотонностi норми, тобто ‖ · ‖2 ≤ ‖ · ‖q, q ≥ 2.
Оцiнки знизу, а отже, i теорему доведено.
Зауваження. 1. При θ = ∞ твердження теореми є поширенням вiдповiдних результатiв
В. М. Темлякова [8, c. 101] (теорема 4.2) для класiв Hr
p на класи SΩ
p H.
2. З доведеної теореми при Ω(t) = tr i вiдповiдних обмеженнях на параметр r можна
отримати твердження для класiв Br
p,θ, встановлене в роботi [21].
1. Бернштейн С. Н. Конструктивная теория функций (1931 – 1953) // Собр. соч. – М.: Изд-во АН СССР, 1954. –
Т. 2. – 626 с.
2. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функ-
ций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – С. 483 – 522.
3. Sun Youngsheng, Wang Heping. Representation and approximation of multivariate periodic functions with bounded
mixed moduli of smoothness // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1997. – 219. – C. 356 – 377.
4. Пустовойтов Н. Н. Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным
смешанным модулем непрерывности // Anal. math. – 1994. – 20, № 1. – P. 35 – 48.
5. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – C. 143 – 161.
6. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 c.
7. Стасюк С. А., Федуник О. В. Апроксимативнi характеристики класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох
змiнних // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 5. – C. 692 – 704.
8. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – С. 1 – 112.
9. Schmidt E. Zur Theoric der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I // Math. Ann. – 1907. – 63. – P. 433 – 476.
10. Micchelli C. A., Pinkus A. Some problem in the approximation of functions of two variables and n-widths of integral
operators // J. Approxim. Theory. – 1978. – 24. – P. 51 – 77.
11. Бабаев М.-Б. А. Приближение соболевских классов функций суммами произведений функций меньшего числа
переменных // Мат. заметки. – 1990. – 48, № 6. – С. 10 – 21.
12. Бабаев М.-Б. А. О порядке приближения соболевского класса W r
q билинейным формами // Мат. сб. – 1991. –
182, № 1. – C. 122 – 129.
13. Мирошин Н. В., Хромов В. В. Об одной задаче наилучшей аппроксимации функций многих переменных //
Мат. заметки. – 1982. – 32, № 5. – С. 721 – 727.
14. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций
тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. – 1974. – 29, № 3. – С. 161 – 178.
15. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 419 p.
16. Темляков В. Н. Билинейная аппроксимация и близкие вопросы // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1991. – 194. – C. 229 –
248.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1120 К. В. СОЛIЧ
17. Темляков В. Н. Приближение периодических функций многих переменных комбинациями функций, зависящих
от меньшего числа переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1986. – 173. – С. 243 – 252.
18. Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений функций двух переменных и некоторые их
приложения // Мат. сб. – 1987. – 176, № 1. – C. 16 – 33.
19. Романюк А. С. Билинейные приближения и колмогоровские поперечники периодических классов Бесова // Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. – 2009. – 6, № 1. – С. 222 – 236.
20. Романюк А. С. Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова Brp,θ периодических функций
многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2006. – 70, № 2. – С. 69 – 98.
21. Романюк А. С., Романюк В. С. Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных
приближений классов функций нескольких переменных // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 4. – C. 536 – 551.
22. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
23. Jakson D. Certain problem of closet approximation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1993. – 39, № 12. – P. 889 – 906.
24. Никольская Н. С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике
Lp // Докл. АН СССР. – 1973. – 208, № 5. – С. 1283 – 1285.
25. Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений периодических функций // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1988. – 181. – С. 250 – 267.
26. Кашин С. Б., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 495 с.
Отримано 08.02.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2644 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:29Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/94/ead5568c7ad3061930081acc625eb894.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26442020-03-18T19:31:48Z Estimates for bilinear approximations of the classes TeX of periodic functions of two variables Оцінки білінійних наближень класів $S_{p, \theta}^{\Omega} B$ періодичних функцій двох змінних Solich, K. V. Соліч, К. В. We obtain exact-order estimates for the best bilinear approximations of the classes $S_{p, \theta}^{\Omega} B$ of periodic functions of two variables in the space $L_q$ for some relations between the parameters $p, q, \theta$. Получены точные по порядку оценки наилучших билинейных приближений классов $S_{p, \theta}^{\Omega} B$ периодических функций двух переменных в пространстве $L_q$ для некоторых соотношений между параметрами $p, q, \theta$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2644 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 8 (2012); 1106-1120 Український математичний журнал; Том 64 № 8 (2012); 1106-1120 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2644/2047 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2644/2048 Copyright (c) 2012 Solich K. V. |
| spellingShingle | Solich, K. V. Соліч, К. В. Estimates for bilinear approximations of the classes TeX of periodic functions of two variables |
| title | Estimates for bilinear approximations of the classes TeX of periodic functions of two variables |
| title_alt | Оцінки білінійних наближень класів $S_{p, \theta}^{\Omega} B$ періодичних функцій двох змінних |
| title_full | Estimates for bilinear approximations of the classes TeX of periodic functions of two variables |
| title_fullStr | Estimates for bilinear approximations of the classes TeX of periodic functions of two variables |
| title_full_unstemmed | Estimates for bilinear approximations of the classes TeX of periodic functions of two variables |
| title_short | Estimates for bilinear approximations of the classes TeX of periodic functions of two variables |
| title_sort | estimates for bilinear approximations of the classes tex of periodic functions of two variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2644 |
| work_keys_str_mv | AT solichkv estimatesforbilinearapproximationsoftheclassestexofperiodicfunctionsoftwovariables AT solíčkv estimatesforbilinearapproximationsoftheclassestexofperiodicfunctionsoftwovariables AT solichkv ocínkibílíníjnihnabliženʹklasívspthetaomegabperíodičnihfunkcíjdvohzmínnih AT solíčkv ocínkibílíníjnihnabliženʹklasívspthetaomegabperíodičnihfunkcíjdvohzmínnih |