One improvement of the law of the iterated logarithm for the maximum scheme
A lower bound is found in the law of the iterated logarithm for the maximum scheme.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2646 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508583543701504 |
|---|---|
| author | Akbash, K. S. Matsak, I. K. Акбаш, К. С. Мацак, І. К. |
| author_facet | Akbash, K. S. Matsak, I. K. Акбаш, К. С. Мацак, І. К. |
| author_sort | Akbash, K. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:31:48Z |
| description | A lower bound is found in the law of the iterated logarithm for the maximum scheme. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.23
К. С. Акбаш, I. K. Mацак (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ОДНЕ УТОЧНЕННЯ ЗАКОНУ ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
ДЛЯ СХЕМИ МАКСИМУМУ
A lower bound is found in the law of the iterated logarithm for the maximum scheme.
Найдена точная нижняя грань в законе повторного логарифма для схемы максимума.
Закон повторного логарифма (ЗПЛ) для сум незалежних випадкових величин (н. в. в.) Бернуллi
вперше становив Хiнчин [1]. У подальшому ЗПЛ для сум довiльних н. в. в. iнтенсивно дослiд-
жувався (див., наприклад, [2]).
Для схеми максимуму ЗПЛ вивчався у роботах [3 – 6]. Наведемо один iз основних резуль-
татiв по цiй тематицi.
Нехай ξ, ξ1, ξ2 . . . — послiдовнiсть н. в. в. з функцiєю розподiлу (ф. р.) F (x) i F має додатну
похiдну F ′(x) для всiх достатньо великих x.
Покладемо zn = max1≤i≤n ξi. Вiдомо [3, 5], що асимптотична поведiнка {zn} тiсно пов’я-
зана з поведiнкою при x→∞ функцiй f(x) та g(x), визначених рiвностями
f(x) =
1− F (x)
F ′(x)
,
g(x) = f(x) ln ln
{
1
1− F (x)
}
.
(1)
Так, у роботi [5] при умовi
lim
t→∞
g′(t) = 0 (2)
було отримано наступний ЗПЛ для схеми максимуму:
lim sup
n→∞
zn − an
f(an) ln lnn
= 1 м. н., (3)
lim inf
n→∞
zn − an
f(an) ln lnn
= 0 м. н., (4)
де
an = F−1
(
1− 1
n
)
, F−1(y) = inf {x : F (x) ≥ y} обернена до F (x).
Покладемо
R(x) = − ln(1− F (x)) або F (x) = 1− exp
(
−R(x)
)
.
Звичайно, R(x), як i F (x), — диференцiйовна функцiя i
c© К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК, 2012
1132 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ОДНЕ УТОЧНЕННЯ ЗАКОНУ ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ СХЕМИ МАКСИМУМУ 1133
R′(x) =
F ′(x)
1− F (x)
=
1
f(x)
∀x > x0. (5)
Далi будемо використовувати поняття правильно змiнної функцiї (означення див. у [7,
с. 317]).
Порiвняння ЗПЛ (3), (4) iз класичним ЗПЛ дозволяє висунути припущення, що рiвнiсть (4)
можна уточнити. Виявляється, що це дiйсно так. А саме, має мiсце така теорема.
Теорема 1. Нехай функцiя f(x) визначена рiвнiстю (1). Якщо виконується одна з умов:
(i) f(x) правильно змiнюється при x→∞ i для будь-якого t ∈ (0, 1)
∞∫
1
dF (x)
1− F (tx)
<∞, (6)
(ii) h(x) = f(R−1(x)) правильно змiнюється при x→∞,
то
lim sup
n→∞
zn − an
f(an) ln lnn
= 1, (7)
lim inf
n→∞
zn − an
f(an) ln ln lnn
= −1. (8)
Зауваження. 1. Умова (6) є вiдомою (див. [8, с. 206], умови (54), (55)). Вона достатня для
вiдносної стiйкостi м. н. zn, тобто при виконаннi (6)
P
(
lim
n→∞
zn
an
= 1
)
= 1. (9)
2. Мабуть, умова (2) в деякому сенсi бiльш широка, нiж умови (i), (ii) теореми 1. Але
приклади, наведенi в кiнцi роботи, показують, що цi умови виконуються для досить широкого
класу функцiй розподiлу. Неважко навести приклад функцiї розподiлу, для якої умова (2) не
виконується, а умова (i) виконується.
В доведеннi теореми 1 будуть використанi кiлька допомiжних лем.
Лема 1. Нехай (ξi) — послiдовнiсть незалежних однаково розподiлених випадкових ве-
личин (н. о. р. в. в.) з ф. р. F (x). Нехай (un) — така неспадна послiдовнiсть дiйсних чисел, що
послiдовнiсть n [1− F (un)] також є неспадною. Крiм того, припустимо, що функцiя F (x)
неперервна. Тодi при un < ω(F ), де ω(F ) = sup (x : F (x) < 1) , ймовiрнiсть
P (zn ≤ un н.ч.р.) ,
де н. ч. р. — нескiнченне число разiв, дорiвнює нулю або одиницi у вiдповiдностi з тим, збiгається
чи розбiгається ряд
∞∑
j=1
[
1− F (uj)
]
exp
{
−j [1− F (uj)]
}
. (10)
Доведення леми 1 див. у [8].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1134 К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК
Лема 2. Нехай (ξi) — послiдовнiсть н. в. в. з ф. р. F (x) = 1− exp(−x). Тодi м. н.
lim sup
n→∞
zn− lnn
ln lnn
= 1, (11)
lim inf
n→∞
zn− lnn
ln ln lnn
= −1. (12)
Доведення. Оскiльки an = lnn, f(an) = 1, то (11) випливає з (3). Тому залишається
встановити лише (12). Нехай 1 > ε > 0. Розглянемо два випадки:
1) un = lnn+ (−1− ε) ln ln lnn,
2) un = lnn+ (−1 + ε) ln ln lnn
при n ≥ 3.
Оцiнимо суму ряду (10) у випадку 1:
∞∑
n=3
exp
{
− lnn− (−1− ε) ln ln lnn
}
exp
{
−n exp {− lnn− (−1− ε) ln ln lnn}
}
=
=
∞∑
n=3
(ln lnn)ε+1
n
exp
{
−(ln lnn)ε+1
}
.
Для довiльного ε > 0 iснує nε таке, що при n > nε
(ln lnn)ε+1 ≥ 2 ln lnn ⇒ exp
{
−(ln lnn)ε+1
}
≤ (lnn)−2.
Тодi
∞∑
n≥nε
(ln lnn)ε+1
n
exp
{
− (ln lnn)ε+1
}
≤
∞∑
n≥nε
(ln lnn)ε+1
n(lnn)2
<∞. (13)
Оскiльки ряд (13) збiгається, то збiгається i ряд (10). Елементарно перевiряється, що n
(
1 −
− F (un)
)
— неспадна послiдовнiсть. Таким чином, згiдно з лемою 1,
P
(
zn− lnn
ln ln lnn
< −1− ε н. ч. р.
)
= 0.
Звiдси
P
(
lim inf
n→∞
zn− lnn
ln ln lnn
≥ −1− ε
)
= 1.
Оскiльки ε довiльне, то
P
(
lim inf
n→∞
zn − lnn
ln ln lnn
≥ −1
)
= 1. (14)
Розглянемо ряд (10) у випадку 2:
∞∑
n=3
exp {− lnn− (ε− 1) ln ln lnn} exp {−n exp {− lnn− (ε− 1) ln ln lnn}} =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ОДНЕ УТОЧНЕННЯ ЗАКОНУ ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ СХЕМИ МАКСИМУМУ 1135
=
∞∑
n=3
(ln lnn)1−ε
n
exp
{
−(ln lnn)1−ε
}
≥
∞∑
n=3
(ln lnn)1−ε
n
exp {−(ln lnn)} =
=
∞∑
n=3
(ln lnn)1−ε
n lnn
=∞. (15)
Оскiльки ряд (10) розбiгається, то
P
(
zn− lnn
ln ln lnn
< −1 + ε н.ч.р.
)
= 1.
Звiдси
P
(
lim inf
n→∞
zn− lnn
ln ln lnn
≤ −1 + ε
)
= 1,
а отже,
P
(
lim inf
n→∞
zn − lnn
ln ln lnn
≤ −1
)
= 1. (16)
Iз (14) i (16) випливає (12).
Лему 2 доведено.
Лема 3 [9]. Нехай H(x) правильно змiнюється при x→∞, cn →∞, dn →∞, cn/dn → 1
при n→∞.
Тодi
H(cn)
H(dn)
→ 1.
Зауважимо, що в [9] встановлено бiльш загальний результат, нiж наведений вище.
Доведення теореми 1. (i) Нехай τ — стандартна експоненцiально розподiлена в. в., P(τ <
< x) = 1− exp(−x), x > 0, (τi) — незалежнi копiї τ, zen = max1≤i≤n τi.
Нехай ξ — в. в. з ф. р. F (x) = 1− exp(−R(x)), що задовольняє умову (i) теореми 1, (ξi) —
незалежнi копiї ξ, zn = max1≤i≤n ξi.
Вiдомо (див., наприклад, [5]), що
τ
d
= R(ξ), а отже, zen
d
= R(zn).
Позначення ξ1
d
= ξ2 означає однакову розподiленiсть в. в. ξ1 та ξ2. Зрозумiло, що
an = R−1(lnn).
Тодi, враховуючи (5), маємо
zen− lnn
d
= R(zn)−R(R−1(lnn)) = R(zn)−R(an) =
=
zn − an
f(θnan + (1− θn)zn)
, 0 ≤ θn ≤ 1.
Звiдси
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1136 К. С. АКБАШ, I. K. MАЦАК
zen− lnn
ln ln lnn
d
=
f(an)
f(θnan + (1− θn)zn)
(
zn − an
f(an) ln ln lnn
)
, n ≥ 3. (17)
За рiвнiстю (9) при n→∞
θnan + (1− θn)zn
an
→ 1 м. н.
Оскiльки f(x) правильно змiнюється, то за лемою 3
f(an)
f(θnan + (1− θn)zn)
→ 1 м. н. (18)
У вiдповiдностi з лемою 2 для послiдовностi (zen) виконуються рiвностi (11), (12).
Об’єднуючи (17), (18) та (12), вiдразу одержуємо рiвнiсть (8).
(ii) Мiркування в цьому випадку подiбнi наведеним вище. Маємо ξ
d
= R−1(τ) i, таким
чином, zn
d
= R−1(zen).
Далi запишемо
zn − an
d
= R−1(zen)−R−1(lnn) = (zen− lnn)f(R−1(θn lnn+ (1− θn)zen)).
Отже,
zn − an
f(an) ln ln lnn
d
=
zen− lnn
ln ln lnn
(
h(θn lnn+ (1− θn)zen)
h(lnn)
)
, n ≥ 3. (19)
Вiдомо [8, с. 200], що при n→∞
zen
lnn
→ 1 м. н.,
h(x) правильно змiнюється при x→∞ i, таким чином, за лемою 3
h(θn lnn+ (1− θn)zen)
h(lnn)
→ 1 м. н. (20)
Iз спiввiдношень (19), (20) та (12) отримуємо рiвнiсть (8).
Рiвнiсть (7) у обох випадках одержуємо аналогiчно.
Приклади. 1. Неважко перевiрити, що умову (i) теореми 1 задовольняють функцiї
R(x) =
x
α, x > 0,
0, x ≤ 0,
α > 0, та R(x) =
(lnx)α, x > 1,
0, x ≤ 1,
α > 1,
а умову (ii) — функцiї
R(x) =
exp(xα), x > 1, α > 0,
лiнiйна i неперервна на [0, 1], R(0) = 0,
та
R(x) =
exp(exp(xα)), x > 1, α > 0,
лiнiйна i неперервна на [0, 1], R(0) = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
ОДНЕ УТОЧНЕННЯ ЗАКОНУ ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА ДЛЯ СХЕМИ МАКСИМУМУ 1137
2. Якщо ξ — стандартна нормальна в. в. з ф. р. Φ(x),
Φ(x) =
x∫
−∞
ϕ(s)ds, ϕ(s) =
1√
2π
exp
(
−s
2
2
)
,
то при n→∞
an = Φ−1
(
1− 1
n
)
= (2 lnn)1/2 − ln lnn+ ln(4π) + o(1)
2(2 lnn)1/2
,
1
f(x)
= R′(x) =
ϕ(x)
1− Φ(x)
= c(x)x,
де c(x) → 1 при x → ∞ (близькi обчислення можна знайти в [10, с. 25, 26]). Тодi рiвностi (7)
та (8) запишуться так:
lim sup
n→∞
(2 lnn)1/2
(
zn − (2 lnn)1/2
)
ln lnn
=
1
2
,
lim inf
n→∞
(2 lnn)1/2
(
zn − (2 lnn)1/2 + ln lnn
2(2 lnn)1/2
)
ln ln lnn
= −1.
Остання рiвнiсть дещо уточнює вiдомий результат iз [3, 4].
1. Khintchin A. Uber einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Fund. Math. – 1924. – 6, № 1. – P. 9 – 12.
2. Петров B.B. Суммы независимых случайных величин. – М.: Наука, 1972. – 416 с.
3. Pickands J. Sample sequences of maxima // Ann. Math. Statist. – 1967. – 38, № 5. – P. 1570 – 1574.
4. Pickands J. An iterated logarithm law for the maximum in a stationary Gaussian sequence // Z.
Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb. – 1969. – 12, № 3. – S. 344 – 355.
5. De Haan L., Hordijk A. The rate of growth of sample maxima // Ann. Math. Statist. – 1972. – 43. – P. 1185 – 1196.
6. De Haan L., Ferreira A. Extreme values theory: An Introduction. – Berlin: Springer, 2006.
7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. – М.: Мир, 1984. – Т. 2. – 752 с.
8. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. – М.: Наука, 1984. – 304 с.
9. Булдигiн В. В., Кльосов О. I., Штайнебах Й. Г. Про деякi властивостi асимптотично квазiобернених функцiй
та їх застосування // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 2004. – Вип. 70. – С. 9 – 25.
10. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен Х. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. – М.: Мир,
1989. – 392 с.
Одержано 20.01.12,
пiсля доопрацювання — 14.06.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2646 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:31Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b1/7e52ab1cb0b88b2cee67f8346f09d3b1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26462020-03-18T19:31:48Z One improvement of the law of the iterated logarithm for the maximum scheme Одне уточнення закону повторного логарифма для схеми максимуму Akbash, K. S. Matsak, I. K. Акбаш, К. С. Мацак, І. К. A lower bound is found in the law of the iterated logarithm for the maximum scheme. Найдена точная нижняя грань в законе повторного логарифма для схемы максимума. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2646 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 8 (2012); 1132-1137 Український математичний журнал; Том 64 № 8 (2012); 1132-1137 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2646/2051 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2646/2052 Copyright (c) 2012 Akbash K. S.; Matsak I. K. |
| spellingShingle | Akbash, K. S. Matsak, I. K. Акбаш, К. С. Мацак, І. К. One improvement of the law of the iterated logarithm for the maximum scheme |
| title | One improvement of the law of the iterated logarithm for the maximum scheme |
| title_alt | Одне уточнення закону повторного логарифма для схеми максимуму |
| title_full | One improvement of the law of the iterated logarithm for the maximum scheme |
| title_fullStr | One improvement of the law of the iterated logarithm for the maximum scheme |
| title_full_unstemmed | One improvement of the law of the iterated logarithm for the maximum scheme |
| title_short | One improvement of the law of the iterated logarithm for the maximum scheme |
| title_sort | one improvement of the law of the iterated logarithm for the maximum scheme |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2646 |
| work_keys_str_mv | AT akbashks oneimprovementofthelawoftheiteratedlogarithmforthemaximumscheme AT matsakik oneimprovementofthelawoftheiteratedlogarithmforthemaximumscheme AT akbašks oneimprovementofthelawoftheiteratedlogarithmforthemaximumscheme AT macakík oneimprovementofthelawoftheiteratedlogarithmforthemaximumscheme AT akbashks odneutočnennâzakonupovtornogologarifmadlâshemimaksimumu AT matsakik odneutočnennâzakonupovtornogologarifmadlâshemimaksimumu AT akbašks odneutočnennâzakonupovtornogologarifmadlâshemimaksimumu AT macakík odneutočnennâzakonupovtornogologarifmadlâshemimaksimumu |