Approximation of holomorphic functions of Zygmund class by Fejer means
We obtain an asymptotic equality for the upper bounds of deviations of Fejer means on the Zygmund class of functions holomorphic in the unit disk.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2648 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508584596471808 |
|---|---|
| author | Savchuk, V. V. Savchuk, M. V. Савчук, В. В. Савчук, М. В. |
| author_facet | Savchuk, V. V. Savchuk, M. V. Савчук, В. В. Савчук, М. В. |
| author_sort | Savchuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:31:48Z |
| description | We obtain an asymptotic equality for the upper bounds of deviations of Fejer means on the Zygmund class of functions holomorphic in the unit disk. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Савчук (Iн-т математики НАН України, Київ),
М. В. Савчук (Iн-т пiдготовки кадрiв держ. служби зайнятостi України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ З КЛАСУ ЗИГМУНДА
СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА
We obtain an asymptotic equality for the upper bounds of deviations of Fejér means on the Zygmund class of functions
holomorphic in the unit disk.
Установлено асимптотическое равенство для верхних граней отклонений средних Фейера в классе Зигмунда функ-
ций, голоморфных в единичном круге.
Розглянемо клас Z функцiй
f(z) =
∞∑
k=2
f̂kz
k, f̂k :=
f (k)(0)
k!
,
голоморфних у крузi D := {z ∈ C : |z| < 1}, для яких
B(f) := sup{(1− %2)M(%, f ′′) : % ∈ [0, 1)} ≤ 1,
де M(%, f ′′) = maxt∈[0,2π] |f ′′(%eit)|.
А. Зигмунд [1] показав, що для голоморфної функцiї f умова B(f) <∞ виконується тодi i
тiльки тодi, коли f є неперервною в D i
max
x∈[0,2π]
|f(ei(x−h))− 2f(eix) + f(ei(x+h))| = O(h), h→ 0 + .
Тому клас Z можна розглядати як „голоморфну частину” класу Зигмунда, який складається з
неперервних 2π-перiодичних функцiй g : R→ C, що задовольняють умову
max
x∈[0,2π]
|g(x− h)− 2g(x) + g(x+ h)| ≤ Kh, h ≥ 0, (1)
де K — певна стала, не залежна вiд g i h.
У данiй роботi дослiджується величина
Fn
(
Z;A(D)
)
:= sup {‖f − σn(f)‖ : f ∈ Z} ,
де
σn(f)(z) :=
n−1∑
k=0
(
1− k
n
)
f̂kz
k
— середнi Фейєра функцiї f , A(D) — диск-алгебра, тобто простiр голоморфних в D i неперерв-
них в D функцiй f , надiлений нормою ‖f‖ := maxz∈D |f(z)|.
Теорема. При n→∞ справджується асимптотична рiвнiсть
Fn
(
Z;A(D)
)
=
lnn
2n
+O
(
1
n
)
. (2)
c© В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК, 2012
1148 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ З КЛАСУ ЗИГМУНДА СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 1149
Це твердження є сумiжним з одним результатом О. В. Єфiмова [2] про асимптотичну рiв-
нiсть для верхнiх меж вiдхилень середнiх Фейєра на спряженому класi дiйснозначних 2π-
перiодичних функцiй, якi задовольняють умову (1).
Теорема випливає з лем 1 i 2, якi мають i самостiйний iнтерес.
Позначимо f%(z) := f(%z), ∆2(f, x, z) := f(eixz)− 2f(z) + f(e−ixz).
Лема 1. Нехай 0 ≤ % < 1 i n ≥ 3. Тодi для будь-якої функцiї f ∈ A(D)
‖f − f%‖ = (1− %)n‖f − σn(f)‖+ ε(f, %, n),
де
|ε(f, %, n)| ≤ C(1 + (1− %)n)2n
π/(2n)∫
0
‖∆2(f, x, ·)‖dx,
C — стала, не залежна вiд f , % i n.
Лема 1 є аналогом для голоморфних функцiй одного твердження В. В. Жука [3], доведеного
для неперервних 2π-перiодичних функцiй f : R→ R.
Лема 2. Для будь-якого ρ ∈ [0, 1)
max{‖f − f%‖ : f ∈ Z} =
1
2
(ln 4− (1 + %) ln(1 + %)− (1− %) ln(1− %)) .
Доведення леми 1. Вiдомо [4], що для будь-якої функцiї g, голоморфної в D,
|g(z)− g%(z)| ≤ (1− %)‖g′‖ ∀ z ∈ D, % ∈ [0, 1)
i ∣∣g(z)− g%(z)− (1− %)zg′%(z)
∣∣ ≤ 1
2
(1− %)2‖g′′‖ ∀ z ∈ D, % ∈ [0, 1).
Тому ∣∣∣∣ ‖g − g%‖ − (1− %)
∥∥g′∥∥ ∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ ‖g − g%‖ − (1− %)
∥∥g′%∥∥ ∣∣∣∣+ (1− %)
∣∣∣∣ ∥∥g′%∥∥− ∥∥g′∥∥ ∣∣∣∣ ≤
≤
(
(1− %)2
2
+ (1− %)2
)
‖g′′‖ ≤ 3
2
(1− %)2‖g′′‖ ∀ % ∈ [0, 1). (3)
Нехай Pn = Pn(f) — многочлен найкращого наближення порядку n функцiї f в A(D), тобто
‖f − Pn‖ = En(f) := inf ‖f − pn‖,
де iнфiмум береться по множинi всiх алгебраїчних многочленiв pn степеня не бiльшого за n−1.
Тодi, позначивши
ε(f, %, n) := ‖f − f%‖ − δ‖f − σn(f)‖, δ := (1− %)n,
з урахуванням спiввiдношення (3), тотожностi Pn(z)− σn(Pn)(z) = zP ′n(z)/n i спiввiдношень
‖f%‖ ≤ ‖f‖, ‖σn(f)‖ ≤ ‖f‖ одержуємо нерiвностi
|ε(f, %, n)| ≤
∣∣∣∣ ‖f − f%‖ − ‖Pn − (Pn)%‖
∣∣∣∣+
∣∣∣∣δ ‖f − σn(f)‖ − ‖Pn − (Pn)%‖
∣∣∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1150 В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК
≤ 2En(f) + δ
∣∣∣∣ ‖f − σn(f)‖ − ‖Pn − σn(Pn)‖
∣∣∣∣+
∣∣∣∣ ‖Pn − (Pn)%‖ − δ ‖Pn − σn(Pn)‖
∣∣∣∣ ≤
≤ 2En(f) + 2δEn(f) +
∣∣∣∣ ‖Pn − (Pn)%‖ − (1− %)
∥∥P ′n∥∥ ∣∣∣∣ ≤ α(f, %, n),
де
α(f, %, n) := 2(1 + δ)En(f) +
3
2
(1− %)2‖P ′′n‖. (4)
Оцiнимо тепер α(f, %, n).
Для величини En(f) за теоремою Л. В. Тайкова [5] справджується нерiвнiсть
En(f) ≤ n
π − 2
π/(2n)∫
0
‖∆2(f, x, ·)‖dx =:
1
π − 2
Φn(f) ∀ n ∈ N. (5)
Переходячи до оцiнки величини ‖P ′′n‖, розглянемо тотожнiсть
z2P ′′n (z) = −zP ′n(z)− (Pn)′′θ(z),
в якiй
(Pn)′′θ = ((Pn)′θ)
′
θ, (Pn)′θ(z) :=
∂
∂θ
Pn(%eiθ), z = %eiθ.
Оскiльки
P ′n(eix) =
−1
π
2π∫
0
(Pn)′′θ
(
eiy
)
e−iy
(
1
2
+
n−2∑
ν=1
cos ν(x− y)
ν + 1
)
dy
i, як показали В. Рогозинський i Г. Сегьо [6],
1
2
+
k−1∑
ν=1
cos νy
ν + 1
≥ 0 ∀ k ∈ N \ {1}, y ∈ R,
то ‖P ′n‖ ≤ ‖(Pn)′′θ‖. Тому
‖P ′′n‖ ≤ 2‖(Pn)′′θ‖. (6)
Оцiнимо тепер ‖(Pn)′′θ‖. З цiєю метою для спрощення записiв позначимо Qn(x) := Pn(eix),
∆̃2(f, t, x) := ∆2(f, t, e
ix) i розглянемо тригонометричний многочлен порядку n− 1
F (x) :=
n
π − 2
π/(2n)∫
0
(Qn (x+ t) +Qn (x− t)) (1− sinnt)dt, x ∈ R.
Здиференцiювавши пiдiнтегральний вираз двiчi по змiннiй x, а потiм двiчi зiнтегрувавши по
змiннiй t частинами, одержимо
F ′′(x) =
n
π − 2
π/(2n)∫
0
(
Q′′n (x+ t) +Q′′n (x− t)
)
(1− sinnt)dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
НАБЛИЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ З КЛАСУ ЗИГМУНДА СЕРЕДНIМИ ФЕЙЄРА 1151
=
n2
π − 2
π/(2n)∫
0
(
Q′n (x+ t)−Q′n (x− t)
)
cosntdt =
n3
π − 2
π/(2n)∫
0
∆̃2(Qn, t, x) sinntdt.
Звiдси випливає спiвiдношення
‖F ′′‖ ≤ n3
π − 2
π/(2n)∫
0
‖∆̃2(Qn, t, ·)‖ sinntdt. (7)
Зауважимо, що
F (x)−Qn(x) =
n
π − 2
π/(2n)∫
0
∆̃2(Qn, t, x)(1− sinnt)dt.
Оскiльки F−Qn є тригонометричним полiномом порядку n−1, то за нерiвнiстю Бернштейна
‖(F −Qn)′′‖ ≤ n2‖F −Qn‖ ≤
n3
π − 2
π/(2n)∫
0
‖∆̃2(Qn, t, ·)‖(1− sinnt)dt. (8)
Додавши нерiвностi (7) i (8), а потiм використавши спiввiдношення (5), одержимо
‖(Pn)′′θ‖ ≤ ‖F ′′‖+ ‖(Qn − F )′′‖ ≤ n2
π − 2
Φn(Qn) ≤ n2
π − 2
Φn(f) +
2π
π − 2
n2En(f) ≤
≤ n2
π − 2
Φn(f) +
2π
(π − 2)2
n2Φn(f) =
3π − 2
(π − 2)2
n2Φn(f). (9)
Об’єднавши спiввiдношення (4) – (6) i (9), отримаємо
|ε(f, %, n)| ≤ |α(f, %, n)| ≤
(
2
π − 2
+
2
π − 2
δ +
3(3π − 2)
(π − 2)2
δ2
)
Φn(f) ≤
≤ C(1 + δ)2Φn(f), C :=
3(3π − 2)
(π − 2)2
.
Лему 1 доведено.
Зауваження. Всi мiркування, викладенi в доведеннi леми 1, залишаються правильними при
формальнiй замiнi A(D) на Hp, 1 ≤ p ≤ ∞ i ‖ ·‖ на ‖ ·‖Hp . Тому лема 1 має мiсце i для функцiй
iз просторiв Гардi Hp, 1 ≤ p ≤ ∞.
Доведення леми 2. Оскiльки для будь-якої функцiї f ∈ Z
f%(e
it) = ei2t
%∫
0
%1∫
0
f ′′(reit)drd%1 ∀ % ∈ [0, 1], t ∈ [0, 2π],
то
f(eit)− f%(eit) = ei2t
1∫
%
%1∫
0
f ′′(reit)drd%1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
1152 В. В. САВЧУК, М. В. САВЧУК
Звiдси випливає спiввiдношення
‖f − f%‖ ≤
1∫
%
%1∫
0
M(r, f ′′)drd%1 ≤
1∫
%
%1∫
0
dr
1− r2
drd%1 =
1
2
1∫
%
ln
1 + %1
1− %1
d%1 =
=
1
2
(ln 4− (1 + %) ln(1 + %)− (1− %) ln(1− %)) . (10)
Легко бачити, що функцiя
f∗(z) :=
1
2
((1 + z) ln(1 + z) + (1− z) ln(1− z)) =
1
2
∞∑
k=0
z2(k+1)
(k + 1)(2k + 1)
належить Z i для неї спiввiдношення (10) перетворюється в рiвнiсть.
Доведення теореми. В [1] показано, що
L := sup
{
‖∆2(f, x, ·)‖
x
: x ∈ [0, 1], f ∈ Z
}
<∞.
Враховуючи це, згiдно з лемами 1 i 2, для будь-якого натурального n ≥ 3 одержимо оцiнку
Fn
(
Z;A(D)
)
≤ sup{‖f − f1−1/n‖ : f ∈ Z}+ sup{|ε(f, 1− 1/n, n)| : f ∈ Z} ≤
≤ lnn
2n
+
1
2
(ln 4− (2− 1/n) ln(2− 1/n)) +
π2CL
2n
≤
≤ lnn
2n
+
1
n
(
π2CL
2
+
1
2
(ln 2 + 1)
)
. (11)
Для оцiнки знизу вiзьмемо функцiю f∗. Маємо
Fn
(
Z;A(D)
)
≥ ‖f∗ − σn(f∗)‖ =
1
n
[(n−1)/2]−1∑
k=0
1
2k + 1
+
∞∑
k=[n/2]
1
(2k + 2)(2k + 1)
>
>
1
2n
[(n−1)/2]∑
k=1
1
k
>
1
2n
ln
([
n− 1
2
]
+ 1
)
>
1
2n
ln
(
n− 1
2
)
∀ n ≥ 3. (12)
Об’єднуючи спiввiдношення (11) i (12), при n→∞ одержуємо (2).
1. Zygmund A. Smooth functions // Duke Math. J. – 1945. – 12. – P. 47 – 76.
2. Ефимов А. В. О приближении некоторых классов непрерывных функций суммами Фурье и суммами Фейера
// Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1958. – 22, № 1. – C. 81 – 116.
3. Жук В. В. О порядке приближения непрерывной 2π-периодической функции при помощи средних Фейера и
Пуассона ее ряда Фурье // Мат. заметки. – 1968. – 4, № 1. – С. 21 – 32.
4. Савчук В. В. Наближення голоморфних функцiй середнiми Тейлора – Абеля – Пуассона // Укр. мат. журн. –
2007. – 59, № 9. – С. 1253 – 1260.
5. Тайков Л. В. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Мат. заметки – 1977. – 22, № 2. –
C. 285 – 295.
6. Rogosinski W., Szegö G. Über die Abschnitte von Potenzreihen, die in einem Kreise beschränkt bleiben // Math. Z. –
1928. – 28. – S. 73 – 94.
Одержано 28.02.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2648 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:32Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b2/5778a6c74f34a62cdda08260b71315b2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26482020-03-18T19:31:48Z Approximation of holomorphic functions of Zygmund class by Fejer means Наближення голоморфних функцій з класу Зигмунда середніми Фейєра Savchuk, V. V. Savchuk, M. V. Савчук, В. В. Савчук, М. В. We obtain an asymptotic equality for the upper bounds of deviations of Fejer means on the Zygmund class of functions holomorphic in the unit disk. Установлено асимптотическое равенство для верхних граней отклонений средних Фейера в классе Зигмунда функций, голоморфных в единичном круге. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2648 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 8 (2012); 1148-1152 Український математичний журнал; Том 64 № 8 (2012); 1148-1152 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2648/2055 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2648/2056 Copyright (c) 2012 Savchuk V. V.; Savchuk M. V. |
| spellingShingle | Savchuk, V. V. Savchuk, M. V. Савчук, В. В. Савчук, М. В. Approximation of holomorphic functions of Zygmund class by Fejer means |
| title | Approximation of holomorphic functions of Zygmund class by Fejer means |
| title_alt | Наближення голоморфних функцій з класу Зигмунда середніми Фейєра |
| title_full | Approximation of holomorphic functions of Zygmund class by Fejer means |
| title_fullStr | Approximation of holomorphic functions of Zygmund class by Fejer means |
| title_full_unstemmed | Approximation of holomorphic functions of Zygmund class by Fejer means |
| title_short | Approximation of holomorphic functions of Zygmund class by Fejer means |
| title_sort | approximation of holomorphic functions of zygmund class by fejer means |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2648 |
| work_keys_str_mv | AT savchukvv approximationofholomorphicfunctionsofzygmundclassbyfejermeans AT savchukmv approximationofholomorphicfunctionsofzygmundclassbyfejermeans AT savčukvv approximationofholomorphicfunctionsofzygmundclassbyfejermeans AT savčukmv approximationofholomorphicfunctionsofzygmundclassbyfejermeans AT savchukvv nabližennâgolomorfnihfunkcíjzklasuzigmundaserednímifejêra AT savchukmv nabližennâgolomorfnihfunkcíjzklasuzigmundaserednímifejêra AT savčukvv nabližennâgolomorfnihfunkcíjzklasuzigmundaserednímifejêra AT savčukmv nabližennâgolomorfnihfunkcíjzklasuzigmundaserednímifejêra |