On convolution of functions in angular domains
We obtain analogs of the Parseval theorem, convolution theorem, and some other properties of the convolution of functions from the Hardy – Smirnov spaces in an arbitrary convex unbounded polygon.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2649 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508587456987136 |
|---|---|
| author | Dilnyi, V. M. Дільний, В. М. |
| author_facet | Dilnyi, V. M. Дільний, В. М. |
| author_sort | Dilnyi, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:05Z |
| description | We obtain analogs of the Parseval theorem, convolution theorem, and some other properties of the convolution of functions
from the Hardy – Smirnov spaces in an arbitrary convex unbounded polygon. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. М. Дiльний (Львiв. нац. ун-т; Дрогобиц. держ. пед. ун-т)
ПРО ЗГОРТКУ ФУНКЦIЙ У КУТОВИХ ОБЛАСТЯХ
We obtain analogs of the Parseval theorem, convolution theorem, and some other properties of the convolution of functions
from the Hardy – Smirnov spaces in an arbitrary convex unbounded polygon.
Установлены аналоги равенства Парсеваля, теоремы о свертке и некоторые другие свойства свертки функций из
классов Гарди – Смирнова в произвольном выпуклом неограниченном многоугольнике.
1. Вступ. Одним iз глибоких результатiв спектральної теорiї функцiй є класична теорема
Лакса – Бьорлiнга (див [1, 2]) про опис замикання лiнiйної оболонки системи {G(z)eτz : τ ≤ 0}
у просторах Гардi H2 у пiвплощинi. Ця теорема має рiзноманiтнi застосування в спектральнiй
теорiї лiнiйних операторiв, що продемонстровано у низцi монографiй (див. [3 – 6]), зокрема до
дослiдження рiвняння (див. [7])
0∫
−∞
f(u+ τ)g(u)du = 0, τ ≤ 0.
Цi застосування базуються на класичнiй теоремi про згортку та рiвностi Парсеваля для пе-
ретворення Фур’є. Спроби знайти повний аналог цiєї теорiї для вагових просторiв iз вагою
степеневого характеру були, зокрема, в роботах [8 – 11]. Б. Винницький розглянув [13] просто-
ри Гардi у пiвплощинi з експоненцiальною вагою Hp
σ(C+) (див. нижче). При цьому вiн описав
послiдовностi нулiв цього класу функцiй, увiв поняття перетворення Фур’є – Лапласа i встано-
вив аналоги теореми про згортку та рiвностi Парсеваля. Виходячи з цих результатiв, автор [22,
23, 25] знайшов критерiй того, щоб замикання лiнiйної оболонки системи {G(z)eτz : τ ≤ 0} ,
G ∈ H2
σ(C+), збiгалося з простором H2
σ(C+), що є частковим поширенням теорiї Лакса –
Бьорлiнга на простори H2
σ(C+). При цьому з’ясувалося, що iснують якiснi вiдмiнностi кла-
сичного випадку σ = 0 i σ > 0. Це виявилося, зокрема, в тому, що множення функцiї G на
функцiю ecz, c < 0, не впливає на апроксимацiйнi властивостi цiєї системи у випадку σ > 0
i тому створює труднощi для опису замикання її лiнiйної оболонки. Глибиннi причини цього
вловити важко. Розгляд ширшого класу просторiв, iмовiрно, може привести до осмислення
цього. Саме розгляду ширшого класу просторiв, нiж H2
σ(C+), присвячено дану статтю.
Нехай D — необмежений опуклий n-кутник, n ∈ N, що лежить у деякому кутi комплексної
площини, величина якого є меншою за π i межа якого складається з пiвпрямих l1 i ln+1 та,
можливо, вiдрiзкiв l2, . . . , ln, нумерацiя i орiєнтацiя яких вiдповiдає додатному обходу ∂D.
Далi, нехай D∗ = C\D, а Ep[D] i Ep∗ [D] — простори функцiй, аналiтичних вiдповiдно в D i
D∗, для яких
sup
∫
γ
|f(z)|p|dz|
1/p
< +∞
c© В. М. ДIЛЬНИЙ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9 1155
1156 В. М. ДIЛЬНИЙ
(тут пiд |dz| розумiємо елемент довжини), де супремум береться за всiма вiдрiзками γ, що
лежать в D (вiдповiдно, в D∗). В останньому означеннi замiсть вiдрiзкiв γ супремум мож-
на брати також за всiма ламаними, що мiстяться в D (чи, вiдповiдно, в D∗), сторони яких
паралельнi сторонам (вiдрiзкам чи прямим) ∂D. Цi простори розглядалися в [14, 15]. Там,
зокрема, показано, що функцiї з цих просторiв мають майже скрiзь на ∂D кутовi граничнi
значення i f ∈ Lp(∂D). У випадку, коли D є областями C(α, β) = {z : α < arg z < β} чи Dσ =
{z : Rez < 0, |Im z| < σ} , вказанi простори збiгаються з дослiджуваними вiдповiдно у [12] та
[13]. У [16, 21] встановлено аналоги рiвностi Парсеваля та теореми про згортку для просторiв
E2[Dσ] i E2
∗ [Dσ]. Питання про аналоги цих тверджень для довiльного необмеженого опуклого
многокутника залишалося вiдкритим. Метою цiєї статтi є встановлення аналога теореми про
згортку та знаходження умов повноти деяких систем функцiй. Основними результатами цiєї
статтi є теореми 2 та 4.
2. Основнi позначення. Нехай m,n = [m;n] ∩ Z. Позначимо через aj , j = 1, n, скiн-
ченнi вершини областi D, через αj , j ∈ 1, n+ 1, величини кутiв, що рахуються в додатному
обходi, мiж додатним напрямом осi абсцис i напрямним вектором променя чи вiдрiзка lj , який
визначається ранiше вибраним обходом ∂D, а через l∗j пряму, що проходить через сторону lj .
Нехай
π
β
, 1 < β 6 +∞, — величина кута π − αn+1 + α1. Через
−→
b при β < +∞ позначи-
мо вектор з початком у точцi перетину прямих l∗1 i l∗n+1, який лежить на бiсектрисi l∗1 i l∗n+1
та напрямлений в сторону областi D. Якщо ж β = +∞, то через
−→
b позначатимемо вектор,
напрям якого збiгається з вибраним напрямом сторони ln+1. Нехай ϕ∗, 0 6 ϕ∗ < 2π, — кут
мiж додатним напрямом дiйсної осi i вектором
−→
b , який вимiрюється вiд цiєї осi у додатному
напрямi. Через π∗(lj) позначимо пiвплощину, утворену прямою l∗j , що не мiстить областi D.
Нехай також 1/α+ 1/β = 1 (якщо β = +∞, то вважаємо, що α = 1) i h(θ) = h(θ,D), де
h(θ,D) = sup
{
Re
(
ze−iθ
)
: z ∈ D
}
.
Функцiя h є неперервною на промiжку 4α,ϕ∗ = {θ : |θ − π + ϕ∗| 6 π/(2α)} . Позначимо через
Hp(D×, h), 1 6 p < +∞, простiр функцiй f, аналiтичних в кутi D× =
{
z : |arg z − π + ϕ∗| <
< π/(2α)
}
, для яких
‖f‖p := sup
|ϕ−π+ϕ∗|<π/(2α)
+∞∫
0
|f(reiϕ)|pe−prh(ϕ)dr
< +∞.
Нехай W 2
σ — простiр Вiнера цiлих функцiй експоненцiального типу 6 σ, звуження яких
на R належать простору L2(R), а H2(C) — простiр Гардi у пiвплощинi C− = {z : Re z < 0} .
Нехай далi D−× = C \ D×. Через T 2(D−×) позначимо множину всiх упорядкованих наборiв
F = (F1, F2, . . . , Fn+1), де F1(ze
−iα1)ea1z ∈ H2(C−), Fn+1(ze
i(π−αn+1))ean+1z ∈ H2(C−), а
Fj
(
ze−i(αj−π/2)
)
e
aj+aj−1
2 z ∈W 2∣∣aj−aj−1
2
∣∣, до того ж
n+1∑
j=1
Fj(z) = 0, z ∈ D−×. (1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ПРО ЗГОРТКУ ФУНКЦIЙ У КУТОВИХ ОБЛАСТЯХ 1157
Простiр T 2(D−×) можна розглядати як нормований простiр з нормою ‖F‖ =
= max
{
max
{
‖Fj‖W 2 , j ∈ 2, n
}
; ‖F1‖H2 ; ‖Fn+1‖H2
}
, де пiд ‖Fj‖H2 та ‖Fj‖W 2 розумiємо
норми у вiдповiдних просторах Гардi та Вiнера. Властивостi просторiв E2[D] та T 2(D−×) вiд-
значено у [14], а H2(D×, h) та E2
∗ [D] — у [15]. Зокрема, в [14] показано, що рiвностi
Fj(z) =
1√
2π
∫
lj
f(w)e−zwdw, f ∈ E2[D], j ∈ 1, n+ 1, (2)
задають взаємно однозначне вiдображення простору E2[D] на T 2(D−×), а у [15] — що рiвнiсть
g(w) =
1√
2π
+∞eiθ∗∫
0
G(z)e−zwdz, w ∈ {ω = u+ iv : u cos θ∗ − v sin θ∗ > h(θ∗)} , (3)
де θ∗ — довiльне число, яке задовольняє умову |θ∗ − π + ϕ∗| <
π
2α
, задає взаємно однозначне
вiдображення простору H2(D×, h) на E2
∗ [D].
Зазначимо, що при доведеннi теореми 1 ми використовуємо рiвнiсть Парсеваля у формi
(див. [17, с. 62])
+∞∫
−∞
F (x)G(x)dx =
1
i
+∞∫
−∞
f(t)G(t)dt,
де f ∈ L2(−∞;∞), g ∈ L2(−∞;∞),
F (u) =
1√
2π
+∞∫
−∞
f(t)eiutdt, G(u) =
1
i
√
2π
+∞∫
−∞
g(t)e−iutdt.
3. Рiвнiсть Парсеваля.
Теорема 1 (рiвнiсть Парсеваля). Нехай f ∈ E2[D], g ∈ E2
∗ [D] i ϕj = αj − π/2. Тодi
∫
∂D
f(w)g(w)dw =
n+1∑
j=1
+∞e−iϕj∫
0
Fj(z)G(z)dz.
Доведення. Позначимо
f∗1 (a1 + reiα1) =
f(a1 + reiα1), r 6 0,
0, r > 0,
F ∗1 (t) =
1√
2π
+∞∫
−∞
f∗1 (a1 + reiα1)e−itrdr =
1√
2π
0∫
−∞
f(a1 + reiα1)e−itrdr,
G∗1(t) =
1
i
√
2π
+∞∫
−∞
g(a1 + reiα1)eitrdr. (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1158 В. М. ДIЛЬНИЙ
Тодi, використавши рiвнiсть Парсеваля, отримаємо
∫
l1
f(w)g(w)dw =
+∞∫
−∞
f∗1 (a1 + reiα1)g(a1 + reiα1)eiα1dr = eiα1
+∞∫
−∞
F ∗1 (t)G∗1(t)dt. (5)
Але
F ∗1 (t) =
1√
2π
∫
l1
f(w)e−it(w−a)e
−iα1
d((w − a1)e−iα1) =
=
1√
2π
e−iα1eita1e
−iα1
∫
l1
f(w)e−itwe
−iα1
dw,
тому
F ∗1 (−iteiα1) = e−iα1eta1
∫
l1
f(w)e−twdw.
Звiдси за теоремою Пелi – Вiнера на пiдставi останньої рiвностi з (2) для майже всiх t ∈ R функ-
цiя F ∗1 (teiα1−π/2) збiгається з кутовими граничними значеннями на прямiй
{
z : z = tei(α1−π/2)
}
,
t ∈ R, функцiї eza1−iα1F1(z). Формула (3) залишається справедливою i при |θ∗−π+ϕ∗| =
π
2α
;
в останньому випадку пiд G(z) розумiємо вiдповiднi кутовi граничнi значення функцiї G на
∂D∗. Тому, зокрема, при θ∗ = π − ϕ∗ +
π
2α
одержимо
g(w) =
eπ−ϕ∗+π/2α
√
2π
+∞∫
0
G(reπ−ϕ∗+π/2α)e−r exp(i(π−ϕ∗+π/2α))wdr, w ∈ π∗(l1).
Оскiльки ϕ∗ = α1 + π − π
2β
, то π − ϕ∗ +
π
2α
= −α1 +
π
2
. Отже,
g(a1 + ρeiα1) =
e−iϕ1
√
2π
+∞∫
0
G(re−iϕ1)e−re
−iϕ1 (a1+ρeiα1 )dr =
=
e−iϕ1
√
2π
+∞∫
0
G(re−iϕ1)e−a1re
−iϕ1
e−iρrdr.
Оскiльки h(−ϕ1) = supz∈D
{
Re
(
ze−i(α1−π/2)
)}
= Re
(
a1e
−iϕ1
)
= Re a1 cosϕ1 + Im a1 sinϕ1,
тоG(re−iϕ1)e−a1re
−iϕ1 ∈ L2(0; +∞). Тому, врахувавши, що функцiя g належить простору Гардi
H2 у пiвплощинi π∗(l1), за теоремою Пелi – Вiнера та оберненою формулою для перетворення
Лапласа маємо
G(re−iϕ1)e−a1re
−iϕ1
=
eiϕ1
√
2π
+∞∫
−∞
g(a1 + ρeiα1)eirρdρ, r > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ПРО ЗГОРТКУ ФУНКЦIЙ У КУТОВИХ ОБЛАСТЯХ 1159
Порiвнявши останню рiвнiсть з (4), одержимо G∗1(t) = iG(te−iϕ1)e−a1te
−iϕ1e−iϕ1 для майже
всiх t > 0. Крiм того, оскiльки g належить простору Гардi у пiвплощинi π∗(l1), то [18, с. 88] з
(4) маємо G∗1(t) = 0 для всiх t < 0. Отже, з (5) отримаємо
∫
l1
f(w)g(w)dw = eiα1
+∞∫
0
F1(te
−iϕ1)G(te−iϕ1)e−iα1e−iϕ1dt =
+∞e−iϕ1∫
0
F1(z)G(z)dz.
Аналогiчно, позначивши
f∗n+1(an + reiαn+1) =
fn+1(an + reiαn+1), r > 0,
0, r < 0,
F ∗n+1(t) =
1√
2π
+∞∫
0
f(an + reiαn+1)e−itrdr,G∗n+1(t) =
1
i
√
2π
+∞∫
0
g(an + reiαn+1)eitrdr, (6)
одержимо ∫
ln+1
f(w)g(w)dw =
+∞∫
−∞
f∗n+1(an + reiαn+1)g(an + reiαn+1)eiαn+1dr =
=
eiαn+1
i
+∞∫
−∞
F ∗n+1(t)G
∗
n+1(t)dt. (7)
Але
F ∗n+1(t) =
1√
2π
∫
ln+1
f(w)e−it(w−an)e
−iαn+1
d
(
(w − an)e−iαn+1
)
=
=
1√
2π
e−iαn+1eitane
−iαn+1
∫
ln+1
f(w)e−itwe
−iαn+1
dw,
тому
F ∗n+1(−iteiαn+1) =
1√
2π
e−iαn+1etan
∫
ln+1
f(w)e−twdw.
Згiдно з теоремою Пелi – Вiнера, порiвнюючи останню рiвнiсть з другою рiвнiстю (6), пе-
реконуємося, що функцiя F ∗n+1(te
i(αn+1−π/2)) збiгається з кутовими граничними значеннями
на прямiй
{
z : z = tei(αn+1−π/2), t ∈ R
}
функцiї e−iαn+1ezanFn+1(z). Далi, покладаючи в (3)
θ∗ = π − ϕ∗ −
π
2α
, маємо
g(w) =
ei(π−ϕ∗−π/2α)
√
2π
+∞∫
0
G(rei(π−ϕ∗−π/2α)) e−r exp(i(π−ϕ∗−π/2α))wdr, w ∈ π∗(ln+1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1160 В. М. ДIЛЬНИЙ
Оскiльки π − ϕ∗ −
π
2α
= −ϕn+1, то
g(an + ρeiαn+1) =
e−iϕn+1
√
π
+∞∫
0
G(re−iϕn+1)e−re
−iϕn+1(an+ρe
iαn+1)
dr =
=
e−iϕn+1
√
π
+∞∫
0
G(re−iϕn+1)e−anre
−iϕn+1
e−irρdr.
Врахувавши, що h(−ϕn+1) = sup
{
Re
(
ze−i(αn+1−π/2)
)
: z ∈ D
}
= Re
(
ane
−iϕn+1
)
=
= Re an cosϕn+1 + Im an sinϕn+1, одержимо G(re−iϕn+1) e−anre
−iϕn+1 ∈ L2(0; +∞). Оскiльки
функцiя g належить простору Гардi H2 у пiвплощинi π∗(ln+1), за теоремою Пелi – Вiнера та
оберненою формулою для перетворення Лапласа знову маємо
G(re−iϕn+1)e−anre
−iϕn+1
=
eiϕn+1
√
2π
+∞∫
−∞
g(an + ρeiαn+1)eirρdρ, r > 0.
Порiвнявши цю рiвнiсть з (6) i врахувавши, що G∗n+1(t) = 0 для всiх t < 0, з (7) одержимо
∫
ln+1
f(w)g(w)dw =
+∞e−iϕn+1∫
0
Fn+1(z)G(z)dz.
Нехай
f∗j (aj−1 + reiαj ) =
f(aj−1 + reiαj ), r ∈ [0; |aj − aj−1|],
0, r ∈ R \ [0; |aj − aj−1|],
j ∈ 2, n,
F ∗j (t) =
1√
2π
+∞∫
−∞
f∗j (aj−1 + reiαj ) e−itrdr =
1√
2π
|aj−aj−1|∫
0
f∗j (aj−1 + reiαj ) e−itrdr, (8)
G∗j (t) =
1
i
√
2π
+∞∫
−∞
g(aj−1 + reiαj )eitrdr.
За рiвнiстю Парсеваля отримаємо
∫
lj
f(w)g(w)dw =
+∞∫
−∞
f∗j (aj−1 + reiαj )g(aj−1 + reiαj )eiαjdr =
=
eiαj
i
+∞∫
−∞
F ∗j (t)G∗j (t)dt, j ∈ 2, n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ПРО ЗГОРТКУ ФУНКЦIЙ У КУТОВИХ ОБЛАСТЯХ 1161
але
F ∗j (t) =
1√
2π
∫
lj
f(w)e−it(w−aj−1)e
−iαj
d
(
(w − aj−1)e−iαj
)
=
=
1√
2π
e−iαjeitaj−1e
−iαj
∫
lj
f(w) e−itwe
−iαj
dw.
За iншою теоремою Пелi – Вiнера [19, c. 26]
F ∗j (t) = e−iαjeitaj−1e
−iαj
Fj
(
te−i(αj−π/2)
)
, t ∈ R.
Оскiльки g ∈ π∗(lj), то G∗j (t) = 0, t < 0. Взявши в (3) θ∗ = −ϕj , одержимо
g(w) =
e−iϕj√
2π
+∞∫
0
G(re−iϕj )e−re
−iϕjwdr.
Тому
g(aj−1 + ρeiαj ) =
e−iϕj√
2π
+∞∫
0
G(re−iϕj ) e−re
−iϕj (aj−1+ρe
iαj )dr =
=
e−iϕj√
2π
+∞∫
0
G(re−iϕj ) e−aj−1re
−iϕj
e−iρrdr.
Оскiльки h(−ϕj) = sup
{
Re
(
ze−iϕj
)
: z ∈ D
}
= Re
(
aj−1e
−iϕj
)
, то G(re−iϕj )e−aj−1re
−iϕj ∈
∈ L2(0; +∞). Тому на пiдставi теореми Пелi – Вiнера
G(re−iϕj ) = e−aj−1re
−iϕj eiϕj√
2π
+∞∫
−∞
g(aj−1 + ρeiαj )eirρdρ, r > 0.
Порiвнявши останню рiвнiсть з (8), одержимо∫
lj
f(w)g(w)dw =
+∞e−iϕj∫
0
Fj(z)G(z)dz, j ∈ 2, n.
Теорему доведено.
4. Теорема про згортку. У цьому пунктi пiд C(α;α) розумiємо порожню множину, а пiд
C(α;α) — промiнь {z : z = reiα, r > 0}.
Теорема 2. Якщо f ∈ E2[D] i g ∈ E2
∗ [D], то для кожного τ ∈ C(αn+1;π + α1) справ-
джується рiвнiсть ∫
∂D
f(w + τ)g(w)dw =
n+1∑
j=1
+∞e−iϕj∫
0
Φj(z)e
τzdz,
де Φj = FjG, j ∈ 1;n+ 1, функцiї Fj та G визначенi рiвностями (2) та (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1162 В. М. ДIЛЬНИЙ
Доведення. Зазначимо спочатку, що∫
∂D
f(w + τ)g(w)dw =
∫
∂D(τ)
f(w)g(w − τ)dw =
=
∫
∂D
f(w)g(w − τ)dw, τ ∈ C(αn+1;π + α1), (9)
де D(τ) = {z : z − τ ∈ D}. Справдi, перша з рiвностей (9) є очевидною. Для доведення
другої зауважимо, що функцiя ητ (w) = f(w)g(w − τ) для будь-якого τ ∈ C(αn+1;π + α1) є
аналiтичною в областi D\D(τ). Цю область можна подати у виглядi об’єднання скiнченної
кiлькостi многокутникiв та пiвсмуг, у кожнiй з яких функцiя ητ (w) належить до класу Гардi –
Смiрнова E1. Тому [20, с. 205; 13] ∫
∂(D\D(τ))
ητ (w)dw = 0.
Звiдси випливає друга з рiвностей (9). Далi, якщо gτ (w) = g(w − τ) для будь-якого τ ∈
∈ C(αn+1;π + α1), маємо gτ ∈ E2
∗ [D]. Оскiльки ewz ∈ E2[D] для кожного z ∈ D×, то з (9)
отримаємо
1
i
√
2π
∫
∂D
gτ (w)ewzdw = eτzG(z). (10)
Тому потрiбне випливає з теореми 1.
Лема 1. Якщо f ∈ E2[D] i g ∈ E2
∗ [D], то функцiя
ψ(τ) =
∫
∂D
f(w + τ)g(w)dw (11)
є неперервною в C(αn+1;π + α1) i аналiтичною в C(αn+1;π + α1), якщо αn+1 < π + α1.
Доведення. Для кожного компакта з C[αn+1;π+α1] iнтеграл у правiй частинi рiвностi (11)
збiгається абсолютно i рiвномiрно, бо, як показано при доведеннi теореми 1, Φj(re
−iϕj ) ∈
∈ L1(0; +∞) для кожного j ∈ 1, n+ 1. Тому за теоремою 2∣∣∣∣∣∣
∫
∂D
f(w + τ)g(w)dw
∣∣∣∣∣∣ 6
n+1∑
j=1
∫ ∣∣Φj(re
−iϕj )
∣∣ dr < c < +∞.
Звiдси випливає твердження леми.
Теорема 3. Нехай функцiя G визначена рiвнiстю (3). Рiвняння∫
∂D
f(w + τ)g(w)dw = 0, (12)
де τ ∈ C(αn+1;π + α1), має ненульовий розв’язок f ∈ E2[D] тодi i тiльки тодi, коли система
{g(w − τ) : τ 6 0} не є повною в E2
∗ [D].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ПРО ЗГОРТКУ ФУНКЦIЙ У КУТОВИХ ОБЛАСТЯХ 1163
Доведення. Справдi, з (9) випливає, що рiвняння (12) рiвносильне рiвнянню∫
∂D
f(w)g(w − τ)dw = 0, τ ∈ C(αn+1;π + α1).
Але за лемою 4 з [15] простiр, спряжений (сильно) до E2
∗ [D], можна ототожнити з E2[D] i
значення функцiонала f ∈ E2[D] на елементi g(w − τ) визначається формулою
〈f ; g(w − τ)〉 =
∫
∂D
f(w)g(w − τ)dw.
Тому потрiбне випливає з вiдомого критерiю повноти Банаха.
Теорема 4. Нехай функцiя G визначена рiвнiстю (3). Рiвняння (12), в якому τ ∈
∈ C(αn+1;π + α1), має ненульовий розв’язок f ∈ E2[D] тодi i тiльки тодi, коли система{
G(z)eτz : τ ∈ C(αn+1; π + α1)
}
не є повною в H2(D×, h).
Доведення. В [15] показано, що рiвнiсть (3) задає топологiчне вiдображення E2
∗ [D] на
H2(D×, h) а з (10) маємо, що образом функцiї g(w − τ) є функцiя G(z)eτz. Отже, теорема
випливає з попередньої леми.
Приклад 1. Нехай D = {z : |π − arg z| < π/2δ}, δ > 0. Тодi n = 1, a1 = 0, α1 = π/2δ,
α2 = π − π/2δ. Тому β = δ, α = δ/(δ − 1), ϕ∗ = 0. Отже, в цьому випадку D× =
=
{
z : |arg z| < π/2
(
1− 1
δ
)}
, а функцiї F1 та F2 належать просторам Гардi вiдповiдно у пiв-
площинах {z : π/2 + π/2δ < arg z < 3π/2 + π/2δ} та {z : π/2− π/2δ < arg z < 3π/2− π/2δ}.
Ймовiрно, теореми 1 та 2 для цього випадку є вiдомими, проте нам не вдалося знайти такi твер-
дження у публiкацiях.
Приклад 2. Нехай Dσ = {z : |Im z| < σ, Re z < 0}, σ > 0. Тодi n = 2, a1 = −σ,
a2 = σ, α1 = 0, α2 = π. Тому β = 0, α = +∞, ϕ∗ = 0. Отже, в цьому випадку D× =
= {z : |arg z − π| < π/4} = C−, функцiї F1(z)e
−iσz та F3(z)e
iσz належать просторам Гардi у
пiвплощинi C−, а F2 є цiлою функцiєю експоненцiального типу ≤ σ такою, що F2 ∈ L2(R).
Теореми 1 та 2 для цього випадку встановлено в [16].
1. Beurling A. On two problems concerning linear transformations in Hilbert space // Acta math. – 1949. – 81, № 1. –
P. 239 – 255.
2. Lax P. Translation invariant subspaces // Acta math. – 1959. – 101. – P. 163 – 178.
3. Никольский Н. К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций // Итоги науки и
техники. Сер. Мат. анализ. – ВИНИТИ. – 1974. – 12. – С. 199 – 412.
4. Nikolski N. K. Operatos, functions and systems: an easy reading. – Amer. Math. Soc., 2002. – Vol. 1.
5. Лакс П., Филлипс Р. Теория рассеяния для автоморфных функций. – М.: Мир, 1976. – 412 с.
6. Lax P. Functional analysis. – Wiley Intersci., 2002.
7. Гурарий В. П. Групповые методы комутативного гармонического анализа // Итоги науки и техники. Сер.
Математика / ВИНИТИ. – 1988. – 25. – С. 1 – 312.
8. Korenblum B. An extansion of a Nevanlinna theory // Acta math. – 1974. – 135, № 1. – P. 187 – 219.
9. Korenblum B. A Beurling-type theorem // Acta math. – 1977. – 138, № 1. – P. 265 – 293.
10. Shapiro Harold S. Weakly invertible elements in certain function spaces and generators in l2 // Mich. Math. J. –
1964. – 11. – P. 161 – 165.
11. Shapiro G. (Shapiro H. S.) Some observations concerning the weighted polynomial approximation of holomorphic
functions // Mat. Sb. – 1967. – 73. – P. 320 – 330.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1164 В. М. ДIЛЬНИЙ
12. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. – М.:
Наука, 1966. – 672 с.
13. Винницкий Б. В. О нулях функций, аналитических в полуплоскости, и полноте систем экспонент // Укр. мат.
журн. – 1994. – 46, № 5. – C. 484 – 500.
14. Дiльний В. М. Про зображення одного класу аналiтичних функцiй у кутовiй областi // Вiсн. Нац. ун-ту „Львiв.
полiтехнiка”. – 2012. – 718. – № 718. – C. 15 – 18.
15. Винницкий Б. В. Аппроксимационные свойства систем экспонент в одном пространстве аналитических функ-
ций // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 2. – C. 168 – 183.
16. Винницький Б. В. Про розв’язки однорiдного рiвняння згортки в одному класi функцiй, аналiтичних у пiвсмузi
// Мат. студ. – 1997. – 7, № 1. – C. 41 – 52.
17. Титчмарш Э. Введение в теорию интегралов Фурье. – М.; Л.: ОГИЗ, 1948. – 418 с.
18. Garnett J. Bounded analytic functions. – New York: Acad. Press, 1981. – 467 p.
19. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. – М.: Наука, 1964. – 267 с.
20. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. – М.; Л.: Гостехтеориздат, 1950. – 336 с.
21. Винницький Б. В. Рiвняння згортки i кутовi граничнi значення аналiтичних функцiй // Доп. НАН України.
Сер. А. – 1995. – № 10. – C. 13 – 17.
22. Vinnitskii B., Dil’nyi V. On extension of Beurling – Lax theorem // Math. Notes. – 2006. – 79. – P. 362 – 368.
23. Дiльний В. М. Про еквiвалентнiсть деяких умов для вагових просторiв Гардi // Укр. мат. журн. – 2006. – 58.
№ 9. – C. 1257 – 1263.
24. Дiльний В. М. Про iснування розв’язкiв одного рiвняння типу згортки // Доп. НАН України. – 2008. – № 11. –
C. 7 – 10.
25. Dilnyi V. On cyclic functions in weighted Hardy spaces // Журн. мат. фiзики, аналiзу, геометрiї. – 2011. – 7. –
C. 19 – 33.
26. Джрбашян М. М., Мартиросян В. М. Теоремы типа Винера – Пели и Мюнца – Саса // Изв. АН СССР. Сер. мат.
– 1974. – 41. – C. 868 – 894.
Одержано 02.09.11,
пiсля доопрацювання — 20.06.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2649 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:35Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7a/4fb6a0624f9a3ee544a02f0789e6607a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26492020-03-18T19:32:05Z On convolution of functions in angular domains Про згортку функцій у кутових областях Dilnyi, V. M. Дільний, В. М. We obtain analogs of the Parseval theorem, convolution theorem, and some other properties of the convolution of functions from the Hardy – Smirnov spaces in an arbitrary convex unbounded polygon. Установлены аналоги равенства Парсеваля, теоремы о свертке и некоторые другие свойства свертки функций из классов Гарди – Смирнова в произвольном выпуклом неограниченном многоугольнике. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2649 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 9 (2012); 1155-1164 Український математичний журнал; Том 64 № 9 (2012); 1155-1164 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2649/2057 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2649/2058 Copyright (c) 2012 Dilnyi V. M. |
| spellingShingle | Dilnyi, V. M. Дільний, В. М. On convolution of functions in angular domains |
| title | On convolution of functions in angular domains |
| title_alt | Про згортку функцій у кутових областях |
| title_full | On convolution of functions in angular domains |
| title_fullStr | On convolution of functions in angular domains |
| title_full_unstemmed | On convolution of functions in angular domains |
| title_short | On convolution of functions in angular domains |
| title_sort | on convolution of functions in angular domains |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2649 |
| work_keys_str_mv | AT dilnyivm onconvolutionoffunctionsinangulardomains AT dílʹnijvm onconvolutionoffunctionsinangulardomains AT dilnyivm prozgortkufunkcíjukutovihoblastâh AT dílʹnijvm prozgortkufunkcíjukutovihoblastâh |