Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear systems of ordinary differential equations with regularly and rapidly varying nonlinearities
We obtain asymptotic representations for one class of solutions of systems of ordinary differential equations more general than systems of the Emden – Fowler type.
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2650 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508589056065536 |
|---|---|
| author | Evtukhov, V. M. Shlepakov, O. R. Евтухов, В. М. Шлепаков, О. Р. Евтухов, В. М. Шлепаков, О. Р. |
| author_facet | Evtukhov, V. M. Shlepakov, O. R. Евтухов, В. М. Шлепаков, О. Р. Евтухов, В. М. Шлепаков, О. Р. |
| author_sort | Evtukhov, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:05Z |
| description | We obtain asymptotic representations for one class of solutions of systems of ordinary differential equations more general
than systems of the Emden – Fowler type. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.44
В. М. Евтухов, О. Р. Шлепаков (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПРАВИЛЬНО И БЫСТРО МЕНЯЮЩИМИСЯ
НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
We obtain asymptotic representations for one class of solutions of systems of ordinary differential equations more general
than systems of the Emden – Fowler type.
Встановлено асимптотичнi зображення для одного класу розв’язкiв систем звичайних диференцiальних рiвнянь
бiльш загального типу, нiж системи типу Емдена – Фаулера.
1. Постановка задачи и вспомогательные обозначения. Рассматривается система диффе-
ренциальных уравнений
y′i = αipi(t)ϕi+1(yi+1), i = 1, n
1
, (1.1)
в которой αi ∈ {−1, 1} , i = 1, n, pi : [a, ω[→]0,+∞[, i = 1, n, — непрерывные функции,
−∞ < a < ω ≤ +∞2, ϕi : ∆(Y 0
i ) → ]0; +∞[, i = 1, n
(
∆(Y 0
i ) — некоторая односторон-
няя окрестность точки Y 0
i ∈ {0,±∞}
)
, — дважды непрерывно дифференцируемые функции,
удовлетворяющие условиям
ϕ′i(z) 6= 0 при z ∈ ∆(Y 0
i ), lim
z→Y 0
i
z∈∆(Y 0
i
)
ϕi(z) = Φ0
i , Φ0
i ∈ {0,+∞},
lim
z→Y 0
i
z∈∆(Y 0
i
)
ϕ′′i (z)ϕi(z)[
ϕ′i(z)
]2 = γi,
(1.2)
где
∏n
i=1
(1− γi) 6= 1.
Такая система уравнений в случае, когда ϕi(yi) = |yi|σi , i = 1, n, называется системой типа
Эмдена – Фаулера. Асимптотические представления при t ↑ ω для ее неколеблющихся решений
были установлены в [1 – 5] при n = 2.
В данной работе рассматриваются случаи, когда функции ϕi(yi), i = 1, n, являются не
только близкими к степенным, как в работах [11 – 15], но и случаи, когда функции ϕi(yi),
i = 1, n, могут иметь экспоненциальную скорость изменения, т. е. могут быть быстро меняю-
щимися функциями [6]. В работах [7 – 9] рассматриваются некоторые виды дифференциальных
уравнений, содержащие в правой части такие функции, и для них находятся асимптотические
представления при t ↑ ω для неколеблющихся решений.
1Здесь и далее для всех функций и параметров с индексом n + 1 будем полагать их взаимно однозначное
соответствие с соответствующими величинами с индексом 1.
2При ω = +∞ считаем, что a > 0.
c© В. М. ЕВТУХОВ, О. Р. ШЛЕПАКОВ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9 1165
1166 В. М. ЕВТУХОВ, О. Р. ШЛЕПАКОВ
Решение (yi)
n
i=1 системы (1.1), заданное на промежутке [t0, ω[⊂ [a, ω[, будем называть
Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решением, если функции ui(t) = ϕi
(
yi(t)
)
удовлетворяют следующим усло-
виям:
lim
t↑ω
ui(t) = Φ0
i , lim
t↑ω
ui(t)u
′
i+1(t)
u′i(t)ui+1(t)
= Λi, i = 1, n− 1. (1.3)
Целью работы является установление необходимых и достаточных условий существования
Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решений системы дифференциальных уравнений (1.1), а также асимптоти-
ческих при t ↑ ω формул для таких решений в случае, когда Λi, i = 1, n− 1, — отличные от
нуля вещественные постоянные.
Введем некоторые необходимые для дальнейшего вспомогательные обозначения.
Поскольку ϕi(z) — дважды непрерывно дифференцируемые функции и ϕ′i(z) 6= 0 при z ∈
∈ ∆(Y 0
i ), они монотонны, а значит и обратимы, и мы можем корректно определить следующую
величину:
ρi = signϕ′i(z) при z ∈ ∆(Y 0
i ), i = 1, n.
Далее, заметим, что определение Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решения не дает прямой связи между
первой и n-й компонентами этого решения, фигурирующими в n-м уравнении системы (1.1).
Но при выполнении условий Λi ∈ R \ {0}, i = 1, n− 1, в силу (1.3) имеем
Λn = lim
t↑ω
un(t)u′1(t)
u′n(t)u1(t)
= lim
t↑ω
[
un(t)u′n−1(t)
u′n(t)un−1(t)
un−1(t)u′n−2(t)
u′n−1(t)un−2(t)
. . .
u2(t)u′1(t)
u′2(t)u1(t)
]
=
1
Λ1 . . .Λn−1
.
Отсюда следует, что
∏n
i=1
Λi = 1, и поэтому согласно условию
∏n
i=1(1− γi) 6= 1 хотя бы для
одного значения i ∈ {1, . . . , n} выражение 1− Λi − γi отлично от нуля. Пусть
I = {i ∈ {1, . . . , n} : 1− Λi − γi 6= 0}, Ī = {1, . . . , n}\I
и l — минимальный элемент множества I.
Учитывая выбор l, вводим вспомогательные функции Ii и отличные от нуля постоянные βi,
i = 1, . . . , n, полагая
Ii(t) =
t∫
Ai
pi(τ) dτ при i ∈ I,
t∫
Ai
Il(τ)pi(τ) dτ при i ∈ Ī,
βi =
1− Λi − γi, если i ∈ I,
βl
Λl . . .Λi−1
, если i ∈ {l + 1, . . . , n}\I,
βl
Λl . . .ΛnΛ1 . . .Λi−1
, если i ∈ {1, . . . , l − 1}\I,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 1167
где каждый из пределов интегрирования Ai принадлежит {ω, a} и выбран так, чтобы соответст-
вующий ему интеграл Ii стремился либо к нулю, либо к∞ при t ↑ ω.
Кроме того, введем числа
A∗i =
1, если Ai = a,
−1, если Ai = ω
i = 1, . . . , n, (1.4)
позволяющие определять знаки функций Ii, i = 1, . . . , n, на промежутке ]a, ω[.
2. Основные результаты.
Теорема 2.1. Пусть Λi ∈ R \ {0}, i = 1, n− 1, и l = min I. Тогда для существования
Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решений системы дифференциальных уравнений (1.1) необходимо, а если
алгебраическое уравнение
n∏
i=1
(1− γi)
i−1∏
j=1
Λj + ν
− n∏
i=1
i−1∏
j=1
Λj = 0 (2.1)
не имеет корней с нулевой действительной частью, то и достаточно, чтобы для каждого
i ∈ {1, . . . , n}
lim
t↑ω
Ii(t)I
′
i+1(t)
I ′i(t)Ii+1(t)
= Λi
βi+1
βi
(2.2)
и выполнялись знаковые условия
A∗iβi > 0 при Φ0
i = +∞, A∗iβi < 0 при Φ0
i = 0, (2.3)
sign [αiA
∗
iβi] = ρi. (2.4)
Более того, каждое такое решение допускает при t ↑ ω асимптотические представления
ϕi
(
yi(t)
)
ϕ′i
(
yi(t)
)
ϕi+1
(
yi+1(t)
) = αiβiIi(t)
[
1 + o(1)
]
, если i ∈ I, (2.5)
ϕi
(
yi(t)
)
ϕ′i
(
yi(t)
)
ϕi+1
(
yi+1(t)
) = αiβi
Ii(t)
Il(t)
[
1 + o(1)
]
, если i ∈ Ī, (2.6)
причем существует k-параметрическое семейство таких решений в случае, когда среди корней
алгебраического уравнения (2.1) имеется k корней (с учетом кратных), знаки действительных
частей которых противоположны знаку числа A∗l βl.
Замечание 2.1. Уравнение в (2.1) заведомо не имеет корней с нулевой действительной
частью, если
∏n
i=1
|1− γi| > 1.
Доказательство. Не ограничивая общности, будем считать, что l = 1. Общий случай
сводится к этому путем переобозначения всех функций, переменных и постоянных следующим
образом (показана замена индексов):
l→ 1, . . . , n→ n− l + 1, 1→ n− l + 2, . . . , l − 1→ n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1168 В. М. ЕВТУХОВ, О. Р. ШЛЕПАКОВ
При l = 1 формулы, определяющие отличные от нуля постоянные βi и функции Ii, i = 1, n,
примут вид
βi =
1− Λi − γi, если i ∈ I,
β1
Λ1 . . .Λi−1
, если i ∈ Ī,
Ii(t) =
t∫
Ai
pi(τ) dτ при i ∈ I,
t∫
Ai
I1(τ)pi(τ) dτ при i ∈ Ī.
Учитывая (1.3) и правило выбора пределов интегрирования Ai, i = 1, n, заметим, что при
t ∈]a, ω[
signIi(t) =
A
∗
i , если i ∈ I,
A∗iA
∗
1, если i ∈ Ī.
(2.7)
Необходимость. Пусть yi : [t0, ω[→ ∆(Y 0
i ), i = 1, n, — произвольное Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-
решение системы дифференциальных уравнений (1.1). Обозначим ui(t) = ϕi
(
yi(t)
)
. Тогда
уравнения системы (1.1) примут вид
u′i(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)
= αipi(t), i = 1, n, при t ∈ [t0, ω[. (2.8)
Интегрируя каждое из этих соотношений при i ∈ I на промежутке от Bi до t, где Bi = ω, если
Ai = ω, и Bi = t0, если Ai = a, получаем
t∫
Bi
u′i(τ)dτ
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(τ)
))
ui+1(τ)
= αiIi(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω. (2.9)
Сравним выражение
ui(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)
с интегралом, стоящим в левой части (2.9). По
правилу Лопиталя в форме Штольца имеем
lim
t↑ω
ui(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)∫ t
Bi
u′i(τ)dτ
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(τ)
))
ui+1(τ)
=
= lim
t↑ω
u′i(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)
−
ui(t)u
′
i+1(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
u2
i+1(t)
−
ui(t)ϕ
′′
i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
u′i(t)
ui+1(t)ϕ′3i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
u′i(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 1169
= 1− lim
t↑ω
ui(t)u
′
i+1(t)
u′i(t)ui+1(t)
− lim
t↑ω
ui(t)ϕ
′′
i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ϕ′2i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
)) = 1− Λi − γi = βi 6= 0 при i ∈ I.
Отметим корректность применения этого правила как в данной ситуации, так и в после-
дующих. Вначале заметим, что производная выражения
ui(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)
, как и само
данное выражение, сохраняет знак в окрестности ω. Следовательно, у него существует конеч-
ный или бесконечный предел при t ↑ ω. Если предел знаменателя при t ↑ ω равен ∞, то
правило применимо. Если предел знаменателя при t ↑ ω равен 0, то интеграл Ii(t) стремится
к 0 при t ↑ ω, т. е. интеграл
∫ ω
a
pi(t)dt сходится. В данном случае легко проверяется, что
ui(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)
стремится к 0 при t ↑ ω. Тогда мы получаем неопределенность
(
0
0
)
и
правило также применимо.
В силу этого предельного соотношения из (2.9) получаем следующие асимптотические
представления:
ui(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)
= αiβiIi(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω. (2.10)
Переходя от ui(t) к yi(t), имеем асимптотическое представление (2.5). Из (2.10) и (2.8), кроме
того, следует, что
u′i(t)
ui(t)
=
I ′i(t)
βiIi(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω. (2.11)
Каждое из соотношений (2.8), в котором i ∈ Ī, умножим на I1(t) и проинтегрируем на проме-
жутке от Bi до t, где Bi выбираются таким же образом, как и выше. В результате получим
t∫
Bi
u′i(τ)I1(τ)dτ
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(τ)
))
ui+1(τ)
= αiIi(t)
[
1 + o(1)
]
, i ∈ Ī, при t ↑ ω. (2.12)
В силу правила Лопиталя в форме Штольца
lim
t↑ω
ui(t)I1(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)∫ t
Bi
u′i(τ)I1(τ)dτ
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(τ)
))
ui+1(τ)
=
= lim
t↑ω
u′i(t)I1(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)
+
ui(t)I
′
1(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)
u′i(t)I1(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1170 В. М. ЕВТУХОВ, О. Р. ШЛЕПАКОВ
−
ui(t)u
′
i+1(t)I1(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
u2
i+1(t)
+
ui(t)I1(t)ϕ′′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
u′i(t)
ui+1(t)ϕ′3i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
u′i(t)I1(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)
=
= 1 + lim
t↑ω
ui(t)I
′
1(t)
u′i(t)I1(t)
− lim
t↑ω
ui(t)u
′
i+1(t)
u′i(t)ui+1(t)
− lim
t↑ω
ui(t)ϕ
′′
i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ϕ′2i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
)) =
= 1− Λi − γi + β1 lim
t↑ω
ui(t)u
′
1(t)
u′i(t)u1(t)
=
= β1 lim
t↑ω
[
ui(t)u
′
i−1(t)
u′i(t)ui−1(t)
· . . . · u2(t)u′1(t)
u′2(t)u1(t)
]
=
β1
Λ1 . . .Λi−1
= βi 6= 0 при i ∈ Ī.
Отсюда и из (2.12) получаем асимптотическое представление
ui(t)
ϕ′i
(
ϕ−1
i
(
ui(t)
))
ui+1(t)
= αiβi
Ii(t)
I1(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω. (2.13)
Переходя от ui(t) к yi(t), имеем асимптотическое представление (2.6). Кроме того, из (2.13) и
(2.8) следует, что асимптотические представления (2.11) имеют место и при i ∈ Ī.
Поскольку соотношения (2.11) имеют место при i = 1, n и рассматриваемое решение удов-
летворяет последнему предельному соотношению из определения Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решения,
для каждого i ∈ {1, . . . , n} выполняются условия (2.2). Кроме того, проинтегрировав (2.11) на
отрезке [Bi, t[, получим
ui(t) = |Ii(t)|
1
βi
+o(1)
, i = 1, n, при t ↑ ω,
откуда с учетом условия limt↑ω ui(t) = Φ0
i из определения Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решения и опре-
деления числа A∗i следуют знаковые условия (2.3).
Справедливость знаковых условий (2.4) непосредственно следует из (2.10), (2.13), если
учесть знаки функций ui и Ii, i = 1, n, на промежутке [t0, ω[.
Достаточность. Предположим, что Λi ∈ R \ {0}, 1−Λ1−γ1 6= 0 (l = 1) и наряду с усло-
виями (2.2) – (2.4) алгебраическое уравнение (2.1) не имеет корней с нулевой действительной
частью. Покажем, что в этом случае система дифференциальных уравнений (1.1) имеет хотя бы
одно Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решение, допускающее при t ↑ ω асимптотические представления (2.5),
(2.6), и выясним вопрос о количестве таких решений.
Сначала для всех i = 1, n рассмотрим функцию ϕ′i
(
ϕ−1
i (z)
)
и покажем, что она является
правильно меняющейся функцией порядка γi при z → Φ0
i . Действительно,
lim
z→Φ0
i
z
[
ϕ′i
(
ϕ−1
i (z)
)]′
ϕ′i
(
ϕ−1
i (z)
) = lim
z→Φ0
i
zϕ′′i
(
ϕ−1
i (z)
)[
ϕ′i
(
ϕ−1
i (z)
)]2 = lim
u→Yi
u∈∆(Y 0
i
)
ϕ′′i (u)ϕi(u)
[ϕ′i(u)]2
= γi,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 1171
тогда функция ϕ′i
(
ϕ−1
i (z)
)
представима в виде
ϕ′i
(
ϕ−1
i (z)
)
= |z|γiθi(z), (2.14)
где θi(z) — медленно меняющаяся функция при z → Φ0
i такая, что limz→Φ0
i
zθ′i(z)
θi(z)
= 0.
Теперь из (2.14) получаем соотношение
ϕ′i(z) =
∣∣ϕi(z)∣∣γiθi(ϕi(z)), i = 1, n. (2.15)
Рассматривая систему соотношений вида
ϕi(yi)
ϕ′i(yi)ϕi+1(yi+1)
= Qi(t)[1 + vi], i = 1, n, (2.16)
в которой
Qi(t) =
αiβiIi(t), если i ∈ I,
αiβi
Ii(t)
I1(t)
, если i ∈ I,
устанавливаем, что она однозначно определяет заданные на множестве D0 = [t0, ω[×V0, где
t0 ∈ [a, ω[ и V0 = {v̄ ≡ (v1, . . . , vn) : |vi| ≤ 1/2, i = 1, n, непрерывно дифференцируемые
неявные функции yi = Yi(t, v̄), i = 1, n, вида
Ui(t, v̄) = ϕi
(
Yi(t, v̄)
)
=
∣∣I1(t)
∣∣ 1
β1
Li+zi(t,v̄)
, i = 1, n, (2.17)
где
L1 = 1, Li =
i−1∏
j=1
Λj , i = 2, n,
а функции zi, i = 1, n, таковы, что∣∣zi(t, v̄)
∣∣ ≤ 1
2|β1|
|Li| , i = 1, n, при (t, v̄) ∈ D0
и
lim
t↑ω
zi(t, v̄) = 0 равномерно по v̄ ∈ V0.
Для этого, полагая в (2.16)
ϕi
(
yi(t)
)
=
∣∣I1(t)
∣∣ 1
β1
Li+zi , i = 1, n, (2.18)
получаем с учетом (2.15) систему соотношений вида∣∣I1(t)
∣∣1−γiβ1
Li+(1−γi)zi−
1
β1
Li+1−zi+1 = Qi(t) θi
(∣∣I1(t)
∣∣ 1
β1
Li+zi
)
(1 + vi), i = 1, n. (2.19)
В силу условий (2.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1172 В. М. ЕВТУХОВ, О. Р. ШЛЕПАКОВ
ln
∣∣Ii(t)∣∣ ∼ βi
βi−1
Λi−1 ln
∣∣Ii−1(t)
∣∣ ∼ . . . ∼ βi
β1
Li ln
∣∣I1(t)
∣∣, i = 2, n, при t ↑ ω,
и поэтому ∣∣Ii(t)∣∣ =
∣∣I1(t)
∣∣ βiβ1
Li+ui(t), i = 1, n, (2.20)
где ui : ]a, ω[−→ R, i = 2, n, — непрерывные функции, стремящиеся к нулю при t ↑ ω. Отсюда
с учетом условий (2.3) следует, что limt↑ω µi
∣∣I1(t)
∣∣ 1
β1
Li = Φ0
i , i = 1, n. Следовательно, система
соотношений (2.19) определена на множестве Ω0 = [t1, ω[×Z0 × V0, где t1 — некоторое число
из промежутка [a, ω[ и Z0 =
{
z̄ ≡ (z1, . . . , zn) : |zi| ≤
1
2|β1|
|Li|, i = 1, n
}
.
Из (2.19) с использованием (2.20) имеем
(1− γi)zi − zi+1 = ui(t) +
ln
[
|βi|
∣∣∣∣θi(∣∣I1(t)
∣∣ 1
β1
Li+zi
)∣∣∣∣ (1 + vi)
]
ln |I1(t)|
, i = 1, n.
Частично разрешая эту систему относительно z1, . . . , zn (как линейную неоднородную), полу-
чаем
zi = ai(t) + bi(t, v̄) + Zi(t, z̄), i = 1, n, (2.21)
где
ai(t) =
(
n∏
j=1
(1− γj)− 1
)−1
i−1∑
k=1
(
uk(t)
i−1∏
j=k+1
(1− γj)
)
+
+
i−1∏
j=1
(1− γj)
n∑
k=i
(
uk(t)
n∏
j=k+1
(1− γj)
),
bi(t, v̄) =
(
n∏
j=1
(1− γj)− 1
)−1
ln−1 |I1(t)|
i−1∑
k=1
(
ln
(
|βk|(1 + vk)
) i−1∏
j=k+1
(1− γj)
)
+
+
i−1∏
j=1
(1− γj)
n∑
k=i
(
ln
(
|βk|(1 + vk)
) n∏
j=k+1
(1− γj)
),
Zi(t, z̄) =
(
n∏
j=1
(1− γj)− 1
)−1
ln−1 |I1(t)|
i−1∑
k=1
(
ln
∣∣∣∣θk (|I1(t)|
1
β1
Lk+zk
)∣∣∣∣ i−1∏
j=k+1
(1− γj)
)
+
+
i−1∏
j=1
(1− γj)
n∑
k=i
(
ln
∣∣∣∣θk (|I1(t)|
1
β1
Lk+zk
)∣∣∣∣ n∏
j=k+1
(1− γj)
), i = 1, n
3
.
3 Здесь и ниже считаем, что
∏i
j=i+1
= 1,
∑i
j=i+1
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 1173
Здесь
lim
t↑ω
bi(t, v̄) = 0, i = 1, n, равномерно по v̄ ∈ V0 (2.22)
и в силу свойств медленно меняющихся функций (см. [4])
lim
t↑ω
Zi(t, z̄) = 0, i = 1, n, равномерно по z̄ ∈ Z0. (2.23)
Поскольку ui(t), i = 1, n, стремятся к 0 при t ↑ ω, то и
lim
t↑ω
ai(t) = 0, i = 1, n. (2.24)
Кроме того,
∂Zi(t, z1, . . . , zn)
∂zm
= %im
|I1(t)|
1
β1
Lm+zm
θ′m
(
|I1(t)|
1
β1
Lm+zm
)
θm
(
|I1(t)|
1
β1
Lm+zm
) , i,m = 1, n,
где
%im =
(
n∏
j=1
(1− γj)− 1
)−1 i−1∏
j=m+1
(1− γj) при 2 ≤ i ≤ n, 1 ≤ m < i,
(
n∏
j=1
(1− γj)− 1
)−1 i−1∏
j=1
(1− γj)
n∏
j=m+1
(1− γj) при 1 ≤ i ≤ n, i ≤ m ≤ n.
Отсюда с учетом условий limz→Φ0
i
zθ′i(z)
θi(z)
= 0, i = 1, n, которым удовлетворяют медленно
меняющиеся функции θi, i = 1, n, следует, что
lim
t↑ω
∂Zi(t, z1, . . . , zn)
∂zm
= 0, i,m = 1, n, равномерно по z̄ ∈ Z0.
В силу приведенных выше предельных соотношений существует число t0 ∈ [t1, ω[ такое,
что на множестве [t0, ω[×Z0 × V0 выполняются неравенства∣∣ai(t) + bi(t, v̄) + Zi(t, z̄)
∣∣ ≤ β0
n
, i = 1, n, где β0 =
1
2|β1|
min
{
|L1| , . . . , |Ln|
}
,
(2.25)
и условия Липшица
∣∣Zi(t, z̄1)− Zi(t, z̄2)
∣∣ ≤ 1
n+ 1
n∑
k=1
∣∣z1
k − z2
k
∣∣, i = 1, n, (2.26)
при t ∈ [t0, ω[ и любых z̄1, z̄2 ∈ Z0.
Выбрав таким образом число t0, обозначим через B банахово пространство непрерывных
и ограниченных на множестве Ω = [t0, ω[×V0 вектор-функций z = (zi)
n
i=1 : Ω −→ Rn с нормой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1174 В. М. ЕВТУХОВ, О. Р. ШЛЕПАКОВ
‖z‖ = sup
{
n∑
i=1
|zi(t, v̄)| : (t, v̄) ∈ Ω
}
.
Выделим из него подмножество B0 тех функций из B, для которых ‖z‖ ≤ β0, и рассмотрим
на B0, выбрав предварительно произвольным образом число ν ∈ (0, 1), оператор Φ = (Φi)
n
i=1,
определенный соотношениями
Φi(z)(t, v̄) = zi(t, v̄)− ν
[
zi(t, v̄)− ai(t)− bi(t, v̄)− Zi
(
t, z1(t, v̄), . . . , zn(t, v̄)
)]
, i = 1, n.
(2.27)
Для любого z ∈ B0 в силу условий (2.25) имеем∣∣Φi(z)(t, v̄)
∣∣ ≤ (1− ν)
∣∣zi(t, v̄)
∣∣+
νβ0
n
, i = 1, n, при (t, v̄) ∈ Ω.
Поэтому на множестве Ω
n∑
i=1
∣∣Φi(z)(t, v̄)
∣∣ ≤ (1− ν)
n∑
i=1
∣∣zi(t, v̄)
∣∣+ νβ0 ≤ (1− ν)‖z‖+ νβ0 ≤ (1− ν)β0 + νβ0 = β0.
Отсюда следует, что ‖Φ(z)‖ ≤ β0, т. е. Φ(B0) ⊂ B0.
Пусть теперь z, z̃ ∈ B0. Тогда в силу (2.26) при (t, v̄) ∈ Ω∣∣∣∣Φi(z)(t, v̄)− Φi(z̃)(t, v̄)| ≤ (1− ν)|zi(t, v̄)− z̃i(t, v̄)
∣∣∣∣+
+ν
∣∣∣∣Zi(t, z1(t, v̄), . . . , zn(t, v̄)
)
− Zi(t, z̃1(t, v̄), . . . , z̃n(t, v̄)
∣∣∣∣ ≤
≤ (1− ν)
∣∣zi(t, v̄)− z̃i(t, v̄)
∣∣+
ν
n+ 1
n∑
k=1
∣∣zk(t, v̄)− z̃k(t, v̄)
∣∣, i = 1, n.
Значит, на множестве Ω
n∑
k=1
∣∣Φk(z)(t, v̄)− Φk(z̃)(t, v̄)
∣∣ ≤
≤
(
1− ν
n+ 1
) n∑
k=1
∣∣zk(t, v̄)− z̃k(t, v̄)
∣∣ ≤ (1− ν
n+ 1
)
‖z − z̃‖,
откуда следует, что
‖Φ(z)− Φ(z̃)‖ ≤
(
1− ν
n+ 1
)
‖z − z̃‖.
Тем самым показано, что оператор Φ отображает множество B0 в себя и является на нем
оператором сжатия. Тогда согласно принципу сжатых отображений существует единственная
вектор-функция z ∈ B0 такая, что z = Φ(z). В силу (2.27) эта непрерывная на множестве Ω
вектор-функция является единственным решением системы (2.21), удовлетворяющим условию
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 1175
‖z‖ ≤ β0. Из (2.21) с учетом этого условия и (2.22) – (2.24) следует, что компоненты данного
решения стремятся к нулю при t ↑ ω равномерно по v̄ ∈ V0. Непрерывная дифференцируемость
этого решения на множестве Ω непосредственно следует из известной локальной теоремы о
существовании неявных функций, определяемых системой соотношений. В силу замены (2.18)
полученной вектор-функции z = (zi)
n
i=1 соответствует вектор-функция (Yi)
n
i=1 с компонентами
вида (2.17), которая является решением системы (2.16).
Теперь, применяя к системе дифференциальных уравнений (1.1) преобразование
yi(t) = Yi
(
t, v1(x), . . . , vn(x)
)
=
= ϕ−1
i
(
Ui
(
t, v1(x), . . . , vn(x)
))
, i = 1, n, x = A∗1 ln |I1(t)|, (2.28)
и учитывая, что вектор-функция (Yi(t, v1(x), . . . , vn(x))ni=1 при t ∈ [t0, ω[ и
(
v1(x), . . . , vn(x)
)
∈
∈ V0 является решением системы уравнений
ϕi
(
yi(t)
)
ϕ′i
(
yi(t)
)
ϕi+1
(
yi+1(t)
) = Qi(t)
[
1 + vi(x)
]
, i = 1, n, (2.29)
получаем систему дифференциальных уравнений вида
v′i =
A∗1
β1
[
hi(x)ξi(x, v1, . . . , vn)− hi+1(x)
1 + vi
1 + vi+1
− gi(x)(1 + vi)
]
, i = 1, n, (2.30)
в которой
hi(x) = hi
(
x(t)
)
=
β1
βi
I ′i(t)I1(t)
Ii(t)I ′1(t)
,
gi
(
x(t)
)
=
β1
I ′i(t)I1(t)
Ii(t)I ′1(t)
, если i ∈ I,
β1
(
I ′i(t)I1(t)
Ii(t)I ′1(t)
− 1
)
, если i ∈ Ī,
ξi(x, v1, . . . , vn) = ξ(x(t), v1, . . . , vn) =
= 1−
ϕi
(
ϕ−1
i
(
Ui(t, v1, . . . , vn)
))
ϕ′′i
(
ϕ−1
i (Ui(t, v1, . . . , vn))
)
[
ϕ′i
(
ϕ−1
i (Ui(t, v1, . . . , vn))
)]2 , i = 1, n.
Здесь в силу условий (2.2) для i = 1, n
lim
x→+∞
hi(x) = lim
t↑ω
hi
(
x(t)
)
= Li, lim
x→+∞
gi(x) = lim
t↑ω
gi
(
x(t)
)
= (1− Λi − γi)Li. (2.31)
Поскольку в силу (2.3) и (2.17) limt↑ω Ui(t, v1, . . . , vn) = Φ0
i , i = 1, n, равномерно по (v1, . . . , vn) ∈
∈ V0 и выполняются условия (1.2), имеет место представление
ξi(x, v1, . . . , vn) = 1− γi +Ri1(x, v1, . . . , vn), i = 1, n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1176 В. М. ЕВТУХОВ, О. Р. ШЛЕПАКОВ
где
Ri(x, v1, . . . , vn) −→ 0 при x −→ +∞ равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ V0. (2.32)
Учитывая эти представления и представления
1 + vi
1 + vi+1
= 1 + vi − vi+1 +Ri2(v1, . . . , vn), i = 1, n,
в которых функции Ri2, i = 1, n, таковы, что
lim
|v1|+...+|vn|→0
∂Ri2(v1, . . . , vn)
∂vk
= 0, i, k = 1, n, (2.33)
записываем систему дифференциальных уравнений (2.30) в виде
v′i =
A∗1
β1
[
fi(x) + pii(x)vi + pii+1(x)vi+1 + Vi1(x, v1, . . . , vn) + Vi2(x, v1, . . . , vn)
]
, i = 1, n,
(2.34)
где
fi(x) = (1− γi)hi(x)− hi+1(x)− gi(x),
pii(x) = −hi+1(x)− gi(x), pii+1(x) = hi+1(x),
Vi1(x, v1, . . . , vn) = hi(x)Ri1(x, v1, . . . , vn),
Vi2(x, v1, . . . , vn) = −hi+1(x)Ri2(x, v1, . . . , vn), i = 1, n.
В этой системе в силу условий (2.28) – (2.30)
lim
x→+∞
fi(x) = 0, i = 1, n,
lim
x→+∞
Vi1(x, v1, . . . , vn) = 0, i = 1, n, равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ V0,
lim
|v1|+...+|vn|→0
Vi2(x, v1, . . . , vn)
|v1|+ . . .+ |vn|
= 0, i = 1, n, равномерно по t ∈ [t0, ω[
и матрица P (x) =
(
pij(x)
)n
i,j=1
из коэффициентов при vk, k = 1, n, стоящих в правых частях в
квадратных скобках, такова, что
P0 = lim
x→+∞
P (x) =
=
−(1− γ1)L1 L2 0 · · · 0 0
0 −(1− γ2)L2 L3 · · · 0 0
...
...
...
. . .
...
...
0 0 0 · · · −(1− γn−1)Ln−1 Ln
L1 0 0 · · · 0 −(1− γn)Ln
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 1177
При этом заметим, что характеристическое уравнение det[P0 − νEn] = 0, где En — единичная
матрица n-го порядка, может быть записано в виде (2.1) и поэтому не имеет корней с нулевой
действительной частью. Значит, для системы дифференциальных уравнений (2.34) выполнены
все условия теоремы 2.2 из работы [7]. Согласно этой теореме система дифференциальных урав-
нений (2.34) имеет хотя бы одно решение {vi}ni=1 : [x1,+∞[→ Rn
(
x1 ≥ x0 = A∗1 ln |I1(t0)|
)
,
стремящееся к нулю при x → +∞, причем таких решений существует k-параметрическое
семейство, если среди корней характеристического уравнения (2.1) имеется k корней (с учетом
кратных), действительные части которых имеют знак, противоположный знаку числа A∗1β1.
Каждому такому решению системы (2.34) в силу замены (2.28) и системы соотношений (2.29),
которой удовлетворяют функции Yi
(
t, v1
(
x(t)
)
, . . . , vn
(
x(t)
))
, i = 1, n, соответствуют реше-
ния (y1, . . . , yn) системы дифференциальных уравнений (1.1), допускающие асимптотические
представления
ϕi
(
yi(t)
)
ϕ′i
(
yi(t)
)
ϕi+1
(
yi+1(t)
) = Qi(t)
[
1 + o(1)
]
, i = 1, n, при t ↑ ω.
Остается лишь убедиться в том, что любое из указанных выше решений системы диффе-
ренциальных уравнений (1.1) является Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решением.
Поскольку каждому из них соответствует решение (v1(x), . . . , vn(x)) системы (2.34), стре-
мящееся к нулю при x→ +∞, в силу установленных ранее свойств функций Ui(t, v1, . . . , vn),
i = 1, n, первое из условий (1.3) заведомо выполнено. Кроме того, для данных решений систе-
мы (1.1) обозначим ui(t) = ϕi
(
yi(t)
)
, i = 1, n. Тогда с учетом (2.29) и (2.2) имеем
lim
t↑ω
u′i+1(t)ui(t)
ui+1(t)u′i(t)
=
βi
βi+1
lim
t↑ω
I ′i+1(t)Ii(t)
Ii+1(t)I ′i(t)
= Λi.
Значит, выполняется второе из условий (1.3) определения Pω(Λ1, . . . ,Λn)-решения.
Теорема доказана.
Теперь укажем условия, при которых асимптотические представления (2.5), (2.6) могут
быть записаны в более простом виде.
Обозначим ψi(z) = ϕ′i
(
ϕ−1
i (z)
)
. Как показано ранее, ψi(z) — правильно меняющаяся функ-
ция порядка γi и для нее справедливо представление (2.14).
Определение 2.1 [14]. Будем говорить, что функция ψi, i ∈ {1, . . . , n}, удовлетворяет
условию S, если для любой непрерывно дифференцируемой функции l : ∆(Φ0
i ) −→]0,+∞[ такой,
что
lim
z→Φ0
i
z∈∆(Φ0
i
)
zl′(z)
l(z)
= 0,
имеет место асимптотическое соотношение
θi(zl(z)) = θi(z)
[
1 + o(1)
]
при z → Φ0
i
(
z ∈ ∆
(
Φ0
i
) )
. (2.35)
Условию S заведомо удовлетворяют функции ψi, i ∈ {1, . . . , n}, для которых функция θi
имеет конечный предел при z → Y 0
i , а также функции вида
ψi(z) = |z|σ| ln z|γ1 , ψi(z) = |z|σ| ln z|γ1 | ln | ln z||γ2 ,
где γ1, γ2 6= 0, и многие другие.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1178 В. М. ЕВТУХОВ, О. Р. ШЛЕПАКОВ
Замечание 2.2 [15]. Если функция ψi, i ∈ {1, . . . , n}, удовлетворяет условию S, а функция
ui : [t0, ω[−→ ∆(Φ0
i ) непрерывно дифференцируема и такая, что
lim
t↑ω
ui(t) = Φ0
i ,
u′i(t)
ui(t)
=
ξ′(t)
ξ(t)
[r + o(1)] при t ↑ ω,
где r — отличная от нуля вещественная постоянная, ξ — непрерывно дифференцируемая в
некоторой левой окрестности ω вещественная функция, для которой ξ′(t) 6= 0, то
θi
(
ui(t)
)
= θi
(
|ξ(t)|r
)[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω,
так как в данном случае
ui(t) = z(t)l
(
z(t)
)
, z(t) = µ0|ξ(t)|r,
и
lim
z→Φ0
z∈∆(Φ0)
z l′(z)
l(z)
= lim
t↑ω
z(t) l′
(
z(t)
)
l
(
z(t)
) = lim
t↑ω
z(t)
(
yi(t)
z(t)
)′
(
yi(t)
z(t)
)
z′(t)
= lim
t↑ω
[
ξ(t)y′i(t)
rξ′(t)yi(t)
− 1
]
= 0.
Теорема 2.2. Пусть Λi ∈ R \ {0}, i = 1, n− 1, l = min I и все функции ψi(z) =
= ϕ′i
(
ϕ−1
i (z)
)
, i = 1, n, удовлетворяют условию S. Тогда каждое Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решение
(в случае их существования) системы дифференциальных уравнений (1.1) допускает при t ↑ ω
асимптотические представления
ϕi (yi(t)) =
n∏
k=1
∣∣∣∣Qk(t)θk (|Ik(t)| 1
βk
)∣∣∣∣δik [1 + o(1)
]
, i = 1, n, (2.36)
где
Qk(t) =
αkβkIk(t), если k ∈ I,
αkβk
Ik(t)
Il(t)
, если k ∈ I,
δik =
i−1∏
j=k+1
(1− γj)
n∏
j=1
(1− γj)− 1
при k = 1, i− 1,
n∏
j=k+1
(1− γj)
i−1∏
j=1
(1− γj)
n∏
j=1
(1− γj)− 1
при k = i, n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 1179
Доказательство. При установлении теоремы 2.1 было показано, что для существования
Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решений системы дифференциальных уравнений (1.1) необходимо, чтобы
выполнялись условия (2.2) – (2.4) и каждое такое решение допускало при t ↑ ω асимптотические
представления (2.5), (2.6). Кроме того, было получено для таких решений асимптотическое
соотношение (2.11). В силу этого соотношения и замечания 2.2
θi(ui(t)) = θi
(
|Ii(t)|
1
βi
)[
1 + o(1)
]
, i = 1, n, при t ↑ ω,
где ui(t) = ϕi(yi(t)).
Поэтому асимптотические представления (2.5), (2.6) можно записать в виде
[ui(t)]
1−γi
ui+1(t)
= Qi(t)θi
(
|Ii(t)|
1
βi
)[
1 + o(1)
]
, i = 1, n, при t ↑ ω.
Разрешая эту систему алгебраических уравнений относительно u1, . . . , un, получаем асимпто-
тические представления (2.36).
Теорема доказана.
Замечание 2.3. Если для какого-то i ∈ {1, . . . , n} γi−1 = 1, то δik = 0 при k 6= i − 1 и
δi,i−1 = −1. Тогда асимптотическое представление (2.36) можно представить в виде
ϕi(yi(t)) =
∣∣∣∣Qi−1(t)θi−1
(
|Ii−1(t)|
1
βi−1
)∣∣∣∣−1 [
1 + o(1)
]
при t ↑ ω.
3. Приложения основных результатов. Прежде чем перейти к некоторым приложениям
данных результатов, отметим некоторые свойства функций ϕi(z), вытекающие из их опреде-
ления.
Замечание 3.1. Если функция ϕi(z) удовлетворяет условиям (1.2) и γi 6= 1, то функция
ϕi(z) удовлетворяет соотношению
lim
z→Yi
z∈∆(Y 0
i
)
zϕ′i(z)
ϕi(z)
= σi =
1
1− γi
. (3.1)
Замечание 3.2. Если функция ϕi(z) удовлетворяет условиям (1.2) и γi = 1, то функция
ϕi(z) удовлетворяет соотношению
lim
z→Yi
z∈∆(Y 0
i
)
zϕ′i(z)
ϕi(z)
=∞. (3.2)
Доказательство замечаний 3.1, 3.2 можно найти, например, в [7 – 16].
Рассмотрим уравнение (1.1) в случае, когда γi 6= 1 при i = 1, n. Тогда обозначим σi =
=
1
1− γi
. Отметим, что соотношению
∏n
i=1(1−γi) 6= 1 соответствует соотношение
∏n
i=1
σi 6=
6= 1.
Кроме того, тогда из соотношения (3.1) следует
ϕ′i
(
yi(t)
)
ϕi
(
yi(t)
) =
σi
yi(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω. (3.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1180 В. М. ЕВТУХОВ, О. Р. ШЛЕПАКОВ
Введем класс решений для системы (1.1) в случае, когда все функции ϕi(z) удовлетворяют
условию (3.1).
Решение (yi)
n
i=1 системы (1.1), заданное на промежутке [t0, ω[⊂ [a, ω[, будем называть
Pω(λ1, . . . , λn−1)-решением, если
yi(t) ∈ ∆(Y 0
i ) при t ∈ [t0, ω[, lim
t↑ω
yi(t) = Y 0
i ,
lim
t↑ω
yi(t)y
′
i+1(t)
y′i(t)yi+1(t)
= λi, i = 1, n− 1.
(3.4)
В силу свойств функций ϕi(z) и соотношения (3.3) любое Pω(λ1, . . . , λn−1)-решение сис-
темы (1.1) является также и Pω(Λ1, . . . ,Λn−1)-решением, где Λi =
σi+1
σi
λi.
Кроме того, введем µi, равное +1 или –1 и определяющее знаки компонент Pω(λ1, . . . , λn−1)-
решения системы (1.1). Отметим, что в силу (3.3) sign[ρi] = sign[σiµi].
Тогда теорему 2.1 с учетом соотношения (3.3) можно сформулировать в следующем виде.
Теорема 3.1. Пусть λi ∈ R \ {0}, i = 1, n− 1, и l = minI. Тогда для существова-
ния Pω(λ1, . . . , λn−1)-решений системы дифференциальных уравнений (1.1) необходимо, а если
алгебраическое уравнение
n∏
i=1
(
i−1∏
j=1
λj + ν
)
−
n∏
i=1
(
σi
i−1∏
j=1
λj
)
= 0 (3.5)
не имеет корней с нулевой действительной частью, то и достаточно, чтобы для каждого
i ∈ {1, . . . , n}
lim
t↑ω
Ii(t)I
′
i+1(t)
I ′i(t)Ii+1(t)
= λi
σi+1βi+1
σiβi
и выполнялись знаковые условия
A∗iβiσi > 0 при Y 0
i = ±∞, A∗iβiσi < 0 при Y 0
i = 0,
sign [αiA
∗
iβiσi] = µi.
Более того, каждое такое решение допускает при t ↑ ω асимптотические представления
yi(t)
ϕi+1
(
yi+1(t)
) = αiσiβiIi(t)
[
1 + o(1)
]
, если i ∈ I,
yi(t)
ϕi+1
(
yi+1(t)
) = αiσiβi
Ii(t)
Il(t)
[
1 + o(1)
]
, если i ∈ Ī,
причем существует k-параметрическое семейство таких решений в случае, когда среди корней
алгебраического уравнения (3.5) имеется k корней (с учетом кратных), знаки действительных
частей которых противоположны знаку числа A∗l βlσl.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 1181
В заключение рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка
u(n) = α0p(t)ϕ(u), (3.6)
где α0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[−→]0,+∞[ — непрерывная функция, ϕ : ∆(U0) →]0; +∞[ — дваж-
ды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям (1.2), где ∆(U0) —
некоторая односторонняя окрестность точки U0, U0 равно либо 0, либо ±∞.
В случае, когда γ 6= 1, данное уравнение рассмотрено в работе [16], где для него вводились
соответствующие классы решений и находились необходимые и достаточные условия для их
существования. В данном случае нас будет интересовать это уравнение только в случае, когда
γ = 1, т. е. функция ϕ(z) является быстро меняющейся.
В работах [7, 8] рассматривалось данное уравнение при n = 2, в работе [9] — данное
уравнение произвольного порядка, но только в случае, когда ϕ(z) = eσz.
Решение u уравнения (3.6) будем называть Pω(Λ0)-решением, где −∞ ≤ Λ0 ≤ +∞, если
оно определено на некотором промежутке [t0, ω[⊂ [a, ω[ и удовлетворяет условиям
lim
t↑ω
ϕ
(
u(t)
)
= Φ0, lim
t↑ω
u(k)(t) = U0
k =
либо 0,
либо ±∞, k = 1, . . . , n− 1,
lim
t↑ω
ϕ
(
u(t)
)
ϕ′
(
u(t)
) u′′(t)
[u′(t)]2
= Λ0, (3.7)
и
существует конечный или бесконечный lim
t↑ω
[
u(n−1)(t)
]2
u(n)(t)u(n−2)(t)
. (3.8)
Введем числа
µ0
i =
1, если U0
i = +∞,
либо U0
i = 0 и ∆(U0
i )− правая окрестность 0,
−1, если U0
i = −∞,
либо U0
i = 0 и ∆(U0
i )− левая окрестность 0, i = 1, n− 1,
определяющие знаки Pω(λ0)-решения и его производной в некоторой левой окрестности ω.
Теоремы 2.1 и 2.2 позволяют исследовать вопрос о существовании и асимптотике Pω(Λ0)-
решений уравнения (3.6) в случае, когда Λ0 ∈ R \ {0} .
В самом деле, уравнение (3.6) с помощью замены
u(i−1) = yi, i = 1, n, (3.9)
сводится к системе дифференциальных уравнений
y′i = yi+1, i = 1, n− 1,
y′n = α0 p(t)ϕ(y1).
(3.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1182 В. М. ЕВТУХОВ, О. Р. ШЛЕПАКОВ
Эта система уравнений является системой вида (1.1), в которой
αi = sign yi+1 = µ0
i , αn = α0, pi(t) ≡ 1, i = 1, n− 1, pn(t) = p(t),
ϕi(yi) = |yi|, ϕ1(y1) = ϕ(y1), ρ1 = ρ, ρi = µ0
i−1, i = 2, n,
(3.11)
где ρ — знак ϕ′(z). Здесь ϕi, i = 2, n, являются правильно меняющимися функциями порядка
один, как при yi → 0, так и при yi → ±∞, т. е. γi = 0, i = 2, n, и γ1 = 1.
Кроме того, из соотношений (3.2) и (3.7) имеем
lim
t↑ω
[u′(t)]2
u(t)u′′(t)
= 0.
Отсюда при выполнении условия (3.8) согласно лемме 10.1 из [16] для любого Pω(Λ0)-решения
уравнения (3.6) следуют предельные соотношения
lim
t↑ω
[
u(i)(t)
]2
u(i−1)(t)u(i+1)(t)
=
i− 1
i
6= 0, i = 2, n− 1.
Далее отметим, что для функций wi(t) = ϕi
(
yi(t)
)
, i = 1, n, в силу (3.9) и (3.11) имеем
w1(t)w′2(t)
w′1(t)w2(t)
=
ϕ
(
u(t)
)
ϕ′
(
u(t)
) u′′(t)
[u′(t)]2
,
wi(t)w
′
i+1(t)
w′i(t)wi+1(t)
=
u(i−1)(t)u(i+1)(t)[
u(i)(t)
]2 , i = 2, n− 1.
Поэтому решение u уравнения (3.6) является Pω(Λ0)-решением тогда и только тогда, ког-
да соответствующее ему в силу замены (3.9) решение (y1, . . . , yn) системы (3.10) является
Pω (Λ1, . . . ,Λn−1)-решением, где
Λ1 = Λ0, Λi =
i
i− 1
, i = 2, n− 1.
При этом Λn =
1
Λ1 . . .Λn−1
=
[
(n− 1)Λ0
]−1
.
В силу указанного вида Λi, i = 1, n, постоянные βi, A∗i и функции Ii, i = 1, n, из первого
пункта определяются следующим образом:
β1 = 1− Λ1 − γ1 = −Λ0, βi = 1− Λi =
1
1− i
, i = 1, n− 1,
βn =
1− Λn − γn = 1−
[
(n− 1)Λ0
]−1
, если Λ0 6=
1
n− 1
,
β1
Λ1 . . .Λn−1
=
1
1− n
, если Λ0 =
1
n− 1
,
Ii(t) =
t∫
Ai
dτ = πω(t), i = 1, n− 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 1183
In(t) =
t∫
An
p(τ)dτ, если Λ0 6=
1
n− 1
,
t∫
An
πω(τ)p(τ)dτ, если Λ0 =
1
n− 1
,
A∗i = signπω(t), i = 1, n− 1, A∗n =
sign
t∫
An
p(τ) dτ
, если Λ0 6=
1
n− 1
,
sign
t∫
An
|πω(τ)|p(τ) dτ
, если Λ0 =
1
n− 1
,
где каждый из пределов интегрирования Ai принадлежит {ω, a}, i = 1, n, и выбран так, чтобы
соответствующий ему интеграл Ii стремился либо к нулю, либо к∞ при t ↑ ω и
πω(t) =
t, если ω = +∞,
ω − t, если ω < +∞.
При Λ0 ∈ R \ {0} алгебраическое уравнение (2.1) для системы (3.10), а значит и для
уравнения (3.6), примет в вид
n∏
i=1
[(i− 1) + ν]− Λ−1
0 (n− 1)! = 0. (3.12)
И, наконец, отметим, что в силу (3.9)
ϕ1
(
y1(t)
)
ϕ′1
(
y1(t)
)
y2(t)
=
ϕ
(
u(t)
)
ϕ′
(
u(t)
)
u′(t)
,
yi(t)
yi+1(t)
=
u(i−1)(t)
u(i)(t)
, i = 2, n− 1,
yn(t)
ϕ1
(
y1(t)
) =
u(n−1)(t)
ϕ
(
u(t)
) ,
откуда имеем
u′(t)
ϕ
(
u(t)
) =
yn(t)
ϕ1
(
y1(t)
) n−1∏
i=2
yi(t)
yi+1(t)
,
1
ϕ′
(
u(t)
) =
ϕ1
(
y1(t)
)
ϕ′1
(
y1(t)
)
y2(t)
yn(t)
ϕ1
(
y1(t)
) n−1∏
i=2
yi(t)
yi+1(t)
.
Теорема 3.2. Пусть Λ0 ∈ R \ {0} . Тогда для существования Pω(Λ0)-решений уравне-
ния (3.6) необходимо, а если уравнение (3.12) не имеет корней с нулевой действительной
частью, то и достаточно, чтобы выполнялись условия
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1184 В. М. ЕВТУХОВ, О. Р. ШЛЕПАКОВ
lim
t↑ω
πω(t)p(t)∫ t
An
p(τ) dτ
=
1− (n− 1)Λ0
Λ0
, если Λ0 6=
1
n− 1
,
lim
t↑ω
π2
ω(t)p(t)∫ t
An
πω(τ)p(τ) dτ
= 1, если Λ0 =
1
n− 1
,
µ0
1ρ < 0, если Φ0 = 0, µ0
1ρ > 0, если Φ0 = ±∞,
µ0
iµ
0
i+1 < 0, если U0
i = 0, µ0
iµ
0
i+1 > 0, если U0
i = ±∞, i = 1, n− 2,
α0µ
0
n−1 < 0, если U0
n−1 = 0, α0µ
0
n−1 > 0, если U0
n−1 = ±∞,
и неравенства при t ∈]a, ω[
µ0
1ρΛ0πω(t) < 0,
µ0
i−1µ
0
iπω(t) < 0, i = 2, n− 1,
α0µ
0
n−1πω(t) < 0,
причем для каждого такого решения имеет место при t ↑ ω асимптотическое представление
u′(t)
ϕ(u(t))
=
α0(−1)n−1
(n− 1)!
[
πω(t)
]n−1
p(t)
[
1 + o(1)
]
, (3.13)
1
ϕ′(u(t))
=
α0(−1)nΛ0
(n− 1)!
[
πω(t)
]n
p(t)
[
1 + o(1)
]
, (3.14)
u(i−1)(t)
u(i)(t)
=
1
1− i
πω(t)
[
1 + o(1)
]
, i = 2, n− 1. (3.15)
Более того, при выполнении указанных условий существует k-параметрическое семейство та-
ких решений в случае, когда среди корней алгебраического уравнения (3.12) имеется k корней (с
учетом кратных), знаки действительных частей которых противоположны знаку числа ρµ0
1.
Замечание 3.3. Если функция ψ(z) = ϕ′
(
ϕ−1(z)
)
удовлетворяет условию S, то из пред-
ставлений (3.13) – (3.15) легко с использованием замечания 2.2 могут быть получены более
простые асимптотические представления для ϕ(u).
1. Миpзов Д. Д. Об асимптотических свойствах pешений одной системы типа Эмдена – Фаyлеpа // Дифференц.
ypавнения. – 1985. – 21, № 9. – С. 1498 – 1504.
2. Миpзов Д. Д. Некоторые асимптотические свойства pешений одной системы типа Эмдена – Фаyлеpа // Диф-
ференц. ypавнения. – 1987. – 23, № 9. – С. 1519 – 1532.
3. Мирзов Дж. Д. Асимптотические свойства решений систем нелинейных неавтономных обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. – Майкоп: Адыгей. книж. изд-во, 1993. – 132 с.
4. Евтухов В. М. Асимптотические представления правильных решений одной двумерной системы дифферен-
циальных уравнений // Доп. НАН України. – 2002. – № 4. – С. 11 – 17.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 1185
5. Евтухов В. М. Асимптотические представления правильных решений одной полулинейной двумерной системы
дифференциальных уравнений // Доп. НАН України. – 2002. – № 5. – С. 11 – 17.
6. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
7. Maric V. Regular variation and differential equations. – Springer, 2000. – 127 p.
8. Евтухов В. М., Харьков В. М. Асимптотические представления решений существенно нелинейных дифферен-
циальных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. – 2007. – 43, № 9. – С. 1311 – 1323.
9. Шинкаренко В. Н. Асимптотические представления решений дифференциального уравнения n-го порядка с
экспоненциальной нелинейностью // Нелiнiйнi коливання. – 2004. – 7, № 4. – С. 562 – 573.
10. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений у вещественных
неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. –
С. 52 – 80.
11. Белозерова М. А. Асимптотические свойства одного класса решений существенно нелинейных дифференци-
альных уравнений второго порядка // Мат студ. – 2008. – 29, № 1. – С. 52 – 62.
12. Бiлозерова М. О. Асимптотичнi зображення розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку з нелiнiйно-
стями, у деякому сенсi близькими до степеневих // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. – 2008. – Вип. 374. – С. 34 – 43.
13. Белозерова М. А. Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных уравнений
второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным // Нелiнiйнi коливання. – 2009. – 12, № 1. – С. 3 –
15.
14. Евтухов В. М., Белозерова М. А. Асимптотические представления решений существенно нелинейных неавто-
номных дифференциальных уравнений второго порядка // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 3. – С. 310 – 331.
15. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями // Дифференц. уравнения. – 2011.
– 47, № 5. – С. 628 – 650.
16. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных
уравнений: Дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. – Киев, 1998. – 295 c.
Получено 10.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2650 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:36Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ae/6f2ad185bd6abba4fb1e255ea869bdae.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26502020-03-18T19:32:05Z Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear systems of ordinary differential equations with regularly and rapidly varying nonlinearities Асимптотические представления решений существенно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с правильно и быстро меняющимися нелинейностями Evtukhov, V. M. Shlepakov, O. R. Евтухов, В. М. Шлепаков, О. Р. Евтухов, В. М. Шлепаков, О. Р. We obtain asymptotic representations for one class of solutions of systems of ordinary differential equations more general than systems of the Emden – Fowler type. Встановлено асимптотичнi зображення для одного класу розв’язкiв систем звичайних диференцiальних рiвнянь бiльш загального типу, нiж системи типу Емдена – Фаулера. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2650 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 9 (2012); 1165-1185 Український математичний журнал; Том 64 № 9 (2012); 1165-1185 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2650/2059 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2650/2060 Copyright (c) 2012 Evtukhov V. M.; Shlepakov O. R. |
| spellingShingle | Evtukhov, V. M. Shlepakov, O. R. Евтухов, В. М. Шлепаков, О. Р. Евтухов, В. М. Шлепаков, О. Р. Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear systems of ordinary differential equations with regularly and rapidly varying nonlinearities |
| title | Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear systems of ordinary differential equations with regularly and rapidly varying nonlinearities |
| title_alt | Асимптотические представления решений существенно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с правильно и быстро меняющимися нелинейностями |
| title_full | Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear systems of ordinary differential equations with regularly and rapidly varying nonlinearities |
| title_fullStr | Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear systems of ordinary differential equations with regularly and rapidly varying nonlinearities |
| title_full_unstemmed | Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear systems of ordinary differential equations with regularly and rapidly varying nonlinearities |
| title_short | Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear systems of ordinary differential equations with regularly and rapidly varying nonlinearities |
| title_sort | asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear systems of ordinary differential equations with regularly and rapidly varying nonlinearities |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2650 |
| work_keys_str_mv | AT evtukhovvm asymptoticrepresentationsofsolutionsofessentiallynonlinearsystemsofordinarydifferentialequationswithregularlyandrapidlyvaryingnonlinearities AT shlepakovor asymptoticrepresentationsofsolutionsofessentiallynonlinearsystemsofordinarydifferentialequationswithregularlyandrapidlyvaryingnonlinearities AT evtuhovvm asymptoticrepresentationsofsolutionsofessentiallynonlinearsystemsofordinarydifferentialequationswithregularlyandrapidlyvaryingnonlinearities AT šlepakovor asymptoticrepresentationsofsolutionsofessentiallynonlinearsystemsofordinarydifferentialequationswithregularlyandrapidlyvaryingnonlinearities AT evtuhovvm asymptoticrepresentationsofsolutionsofessentiallynonlinearsystemsofordinarydifferentialequationswithregularlyandrapidlyvaryingnonlinearities AT šlepakovor asymptoticrepresentationsofsolutionsofessentiallynonlinearsystemsofordinarydifferentialequationswithregularlyandrapidlyvaryingnonlinearities AT evtukhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijspravilʹnoibystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT shlepakovor asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijspravilʹnoibystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT evtuhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijspravilʹnoibystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT šlepakovor asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijspravilʹnoibystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT evtuhovvm asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijspravilʹnoibystromenâûŝimisânelinejnostâmi AT šlepakovor asimptotičeskiepredstavleniârešenijsuŝestvennonelinejnyhsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijspravilʹnoibystromenâûŝimisânelinejnostâmi |