Approximation of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables by Fourier sums in the space $L_p$ with $p = 1, \infty$
We obtain an exact-order estimate for the deviation of Fourier sums of periodic functions of many variables from the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ in the space $L_p$ for $p = 1, \infty$.
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2652 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508592247930880 |
|---|---|
| author | Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. |
| author_facet | Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. |
| author_sort | Myronyuk, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:05Z |
| description | We obtain an exact-order estimate for the deviation of Fourier sums of periodic functions of many variables from the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ in the space $L_p$ for $p = 1, \infty$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. В. Миронюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ BΩ
p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ
БАГАТЬОХ ЗМIННИХ СУМАМИ ФУР’Є У ПРОСТОРI Lp ПРИ p = 1,∞
We obtain an exact-order estimate for the deviation of Fourier sums of periodic functions of many variables from the
classes BΩ
p,θ in the space Lp for p = 1,∞.
Получена точная по порядку оценка отклонения частных сумм Фурье периодических функций многих переменных
из классов BΩ
p,θ в пространстве Lp при p = 1,∞.
Вступ. Роботу присвячено дослiдженню наближення „кубiчними” сумами Фур’є перiодичних
функцiй багатьох змiнних з узагальнених класiв БєсоваBΩ
p,θ у просторiLp при p = 1,∞. З точки
зору теорем вкладення цi класи розглядалися в роботах М. Л. Гольдмана [1] i Г. А. Калябiна [2].
Пiзнiше їхнi апроксимативнi характеристики вивчались у роботах Li Yungping, Xu Guiqiao [3],
Xu Guiqiao [4]. Подальше дослiдження класiв BΩ
p,θ проводилось у роботах С. А. Стасюка [5],
[6], С. П. Войтенка [7, 8], К. В. Солiч [9] та iн.
У данiй роботi продовжено вивчення апроксимативних характеристик функцiй iз класiв
BΩ
p,θ. Для бiльш детальної постановки задачi наведемо необхiднi означення та позначення.
Нехай Rd, d ≥ 1, позначає d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd) i
Lp(πd), πd =
∏d
j=1
[−π;π], — простiр 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй i сумовних у степенi
p, 1 ≤ p < ∞ (вiдповiдно суттєво обмежених при p = ∞), функцiй f(x) = f(x1, . . . , xd).
Норма в цьому просторi визначається таким чином:
‖f‖p =
(2π)−d
∫
πd
|f(x) |pdx
1/p
, 1 ≤ p <∞,
‖f‖∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Для f ∈ Lp(πd) i h ∈ Rd позначимо
∆hf(x) = f(x+ h)− f(x)
i визначимо кратну рiзницю порядку l ∈ N функцiї f у точцi x з кроком h згiдно з формулою
∆l
hf(x) = ∆h∆l−1
h f(x), ∆0
hf(x) = f(x).
Кратну рiзницю ∆l
hf(x) також можна записати у виглядi
∆l
hf(x) =
l∑
j=0
(−1)j+lCjl f(x+ jh).
Вiдштовхуючись вiд кратної рiзницi ∆l
hf(x), визначимо модуль неперервностi l-го порядку
функцiї f ∈ Lp(πd), який будемо позначати Ωl(f, t)p, згiдно з формулою
c© В. В. МИРОНЮК, 2012
1204 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ BΩ
p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1205
Ωl(f, t)p = sup
|h|≤t
∥∥∆l
hf(·)
∥∥
p
,
де |h| =
√∑d
j=1
h2
j — евклiдова норма h.
Нехай Ω(t) — функцiя типу модуля неперервностi порядку l, тобто Ω(t) задовольняє такi
умови:
1) Ω(0) = 0, Ω(t) > 0 для t > 0;
2) Ω(t) неперервна на R+;
3) Ω(t) неспадна на R+;
4) для всiх n ∈ Z+ Ω(nt) ≤ CnlΩ(t), де C > 0 не залежить вiд n i t.
Множину таких функцiй Ω позначимо через Ψl. Зауважимо, що якщо f ∈ Lp(πd), то
Ωl(f, ·)p ∈ Ψl.
Пiдпорядкуємо функцiї Ω ∈ Ψl додатковим умовам, якi опишемо в термiнах двох понять,
уведених С. Н. Бернштейном [10]:
а) невiд’ємна функцiя ϕ(τ), τ ∈ [0;∞), майже зростає, якщо iснує стала C1 > 0 така, що
ϕ(τ1) ≤ C1ϕ(τ2) для будь-яких τ1, τ2, 0 ≤ τ1 < τ2;
б) додатна функцiя ϕ(τ), τ ∈ (0;∞), майже спадає, якщо iснує стала C2 > 0 така, що
ϕ(τ1) ≥ C2ϕ(τ2) для будь-яких τ1, τ2, 0 < τ1 < τ2.
Будемо вважати, що Ω належить множинам Sα i Sl. Умови належностi до цих множин часто
в лiтературi називають умовами Барi – Стєчкiна [11]. Це означає наступне:
I) Ω ∈ Sα (α > 0), якщо функцiя
Ω(τ)
τα
майже зростає при τ > 0;
II) Ω ∈ Sl, якщо iснує γ, 0 < γ < l, таке, що функцiя
Ω(τ)
τγ
майже спадає при τ > 0.
Покладемо також Φα,l = Ψl ∩ Sα ∩ Sl. Варто зазначити, що функцiї Ω ∈ Φα,l можуть мати,
наприклад, вигляд
Ω(t) =
t
r
(
log+
(
1
t
))β
, t > 0,
0, t = 0,
де log+(t) = max{1, log(t)}, 0 < r < l, a β — фiксоване дiйсне число.
Для 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i заданої функцiї Ω(t) типу модуля неперервностi порядку l, яка задо-
вольняє умови 1 – 4, простiр BΩ
p,θ визначається таким чином:
BΩ
p,θ =
{
f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BΩ
p,θ
df
= ‖f‖p + |f |bΩp,θ <∞
}
,
де напiвнорма |f |bΩp,θ визначається спiввiдношенням
|f |bΩp,θ =
+∞∫
0
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ dt
t
1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
t>0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
, θ =∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1206 В. В. МИРОНЮК
Простiр BΩ
p,θ — лiнiйний нормований простiр iз нормою
‖f‖BΩ
p,θ
= ‖f‖p + |f |bΩp,θ .
Якщо Ω(t) = tr, 0 < r < l, то простори BΩ
p,θ збiгаються з просторами О. В. Бєсова B r
p,θ
[13] i, зокрема, при θ =∞ та Ω(t) = tr B r
p,∞ ≡ H r
p , де H r
p — простори, введенi С. М. Нiколь-
ським [12]. Таким чином, простори BΩ
p,θ є узагальненням (за гладкiсним параметром) вiдомих
просторiв Нiкольського – Бєсова.
Далi по тексту використовується запис A � B, який означає, що для невiд’ємних величин
A та B, залежних вiд деякої сукупностi параметрiв, iснує додатна стала C така, що C−1A ≤
≤ B ≤ CA. Якщо тiльки B ≤ CA (B ≥ C−1A), то пишемо B � A (B � A). Iз контексту буде
зрозумiло вiд яких параметрiв не залежить стала C > 0. Ми не будемо акцентувати на цьому
увагу щоразу при використаннi символiв �,�,�.
У подальших мiркуваннях нам буде зручно користуватися еквiвалентним (з точнiстю до
абсолютних сталих множникiв) зображенням норми функцiй з одиничних куль просторiв BΩ
p,θ.
Пояснимо це.
Нехай Vm(·), m ∈ N, позначає одновимiрне ядро Валле Пуссена вигляду
Vm(t) = 1 + 2
m∑
k=1
cos kt+ 2
2m−1∑
k=m+1
2m− k
m
cos kt, t ∈ R.
Тодi в точцi x = (x1, . . . , xd) багатовимiрне ядро Vm(x), m ∈ N, визначимо згiдно з формулою
Vm(x) =
d∏
j=1
Vm(xj).
Через Vm позначимо оператор, який задає згортку функцiї f ∈ Lp(πd) з багатовимiрним
ядром Vm, тобто
Vmf(x) := (f ∗ Vm)(x) = (2π)−d
∫
πd
f(t)Vm(x− t)dt, x ∈ Rd.
Для f ∈ L1(πd) покладемо
σ0(f, x) = V1f(x), σs(f, x) = V2sf(x)− V2s−1f(x), s ∈ N, x ∈ Rd.
Далi, якщо не стверджується iнше, пiд поняттям „класи BΩ
p,θ” будемо розумiти одиничнi
кулi у просторi BΩ
p,θ, тобто клас BΩ
p,θ := {f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BΩ
p,θ
≤ 1}.
Вiдомо (див., наприклад, [4]), що при 1 ≤ p ≤ ∞ для функцiй f iз класiв BΩ
p,θ
‖f‖BΩ
p,θ
�
(∑
s∈Z+
(
‖σs(f, ·)‖p
Ω(2−s)
)θ)1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
s∈Z+
‖σs(f, ·)‖p
Ω(2−s)
, θ =∞.
(1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ BΩ
p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1207
Зазначимо, що для просторiв BΩ
p,θ справедливi вкладення
BΩ
p,1 ⊂ BΩ
p,θ ⊂ BΩ
p,θ′ ⊂ BΩ
p,∞ ≡ HΩ
p , 1 < θ < θ′ <∞.
1. Основнi результати. Визначимо величини, якi будуть дослiджуватись у роботi.
Для f ∈ L1(πd) i n ∈ N через Sn(f, x) позначимо кратну суму Фур’є
Sn(f, x) =
∑
k∈K(n)
f̂(k)ei(k, x),
де K(n) =
{
k = (k1, . . . , kd) : |kj | ≤ n, j = 1, d
}
, (k, x) = k1x1 + . . .+ kdxd i
f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(x)e−i(k, x)dx
— коефiцiєнти Фур’є функцiї f. Дану суму природно називати „кубiчною” сумою Фур’є функцiї
f. Зауважимо, що її можна записати у виглядi згортки з багатовимiрним ядром Дiрiхле:
Sn(f, x) = (f ∗Dn)(x), (2)
де Dn(x) =
∏d
j=1
(
1
2
+
∑n
k=1
cos kxj
)
, x = (x1, . . . , xd).
Отже, для f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, позначимо
En(f)p = ‖f(·)− Sn(f, ·)‖p (3)
i для функцiонального класу F ⊂ Lp(πd) покладемо
En(F )p = sup
f∈F
En(f)p .
Нехай
Tn =
{
t : t(x) =
∑
k∈K(n)
cke
i(k, x), ck ∈ C, x ∈ Rd
}
.
Для f ∈ Lp(πd) покладемо
En(f)p = inf
t∈Tn
‖f(·)− t(·)‖p (4)
i
En(F )p = sup
f∈F
En(f)p, F ⊂ Lp(πd).
Нижче при встановленнi оцiнки зверху в теоремi 1 нам знадобиться допомiжне твердження.
Лема 1. Нехай f ∈ Lp(πd), p = 1,∞, тодi виконується порядкова нерiвнiсть
En(f)p � lnd(n+ 1)En(f)p. (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1208 В. В. МИРОНЮК
Зауважимо, що в одновимiрному випадку для неперервних 2π-перiодичних функцiй поряд-
кову нерiвнiсть (5) отримав Лебег (див., наприклад, [14, с. 116]), а для сумовних 2π-перiодичних
функцiй див., наприклад, [15] (роздiл 1). Нерiвнiсть (5) при d ≥ 2 встановлюється аналогiчно
одновимiрному випадку. Для зручностi наведемо вiдповiдне мiркування.
Нехай t∗n ∈ Tn — полiном найкращого наближення функцiї f у просторi Lp(πd). Враховуючи,
що
∥∥∥∥1
2
+
∑n
k=1
cos kt
∥∥∥∥
1
� ln(n + 1), t ∈ R (див., наприклад, [14, с. 112]), згiдно з рiвнiстю
Sn(t∗n, x) ≡ t∗n(x), x ∈ Rd, та (2) отримуємо
En(f)p = ‖f(·)− Sn(f, ·)‖p = ‖f(·)− t∗n(·)− Sn(f − t∗n, ·)‖p ≤
≤ ‖f(·)− t∗n(·)‖p + ‖((f − t∗n) ∗Dn)(·)‖p ≤
≤ En(f)p + En(f)p‖Dn(·)‖1 = En(f)p + En(f)p
d∏
j=1
∥∥∥∥∥1
2
+
n∑
k=1
cos kxj
∥∥∥∥∥
1
�
� lnd(n+ 1)En(f)p.
Отже, оцiнку (5) встановлено.
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай p = 1,∞ i Ω ∈ Φα,l, α > 0, l ∈ N. Тодi при 1 ≤ θ ≤ ∞ має мiсце
порядкова оцiнка
En(BΩ
p,θ)p � Ω(n−1) lnd(n+ 1). (6)
Доведення. Оцiнку зверху отримуємо згiдно з (5) iз результату
En(BΩ
p,θ)p � Ω(n−1), p = 1,∞, 1 ≤ θ ≤ ∞,
який встановлено в [6].
Вiдповiдну оцiнку знизу в (6) достатньо довести при θ = 1, оскiльки BΩ
p,1 ⊂ BΩ
p,θ при
1 < θ ≤ ∞.
Розглянемо спочатку випадок, коли p = 1. Не зменшуючи загальностi будемо вважати, що
n = 3 · 2m, m ∈ N. Побудуємо функцiю, яка реалiзовує оцiнку знизу в (6).
Нехай KN (t), t ∈ R, позначає ядро Фейєра порядку N ∈ N :
KN (t) =
∑
|k|≤N
(
1− |k|
N
)
eikt.
Тодi багатовимiрне ядро KN (x), x = (x1, . . . , xd), N ∈ N, визначимо згiдно з формулою
KN (x) =
d∏
j=1
KN (xj).
Розглянемо функцiю
f(x) = C3 Ω(2−m)
d∏
j=1
ϕ(xj), C3 > 0,
де ϕ(xj) = ei(2
m+2m+1)xjK2m(xj), xj ∈ R, m ∈ N, j = 1, d.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ BΩ
p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1209
Покажемо, що при певному виборi сталої C3 > 0 функцiя f належить класу BΩ
1,1. Оскiльки
полiном f мiстить гармонiки тiльки з „номерами”, якi належать кубу
∏d
j=1
[2m+1 +1; 2m+2−1],
то за винятком, можливо, σm+1(f, x) та σm+2(f, x), для всiх iнших σs(f, x) виконується рiвнiсть
σs(f, x) = 0. Позначимо
υs+1(x) =
d∏
j=1
V2s+1(xj)−
d∏
j=1
V2s(xj).
Тодi, беручи до уваги, що ‖KN (t)‖1 = 1, t ∈ R (див., наприклад, [14, с. 118]), отримуємо
‖υm+1(x)‖1 =
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
V2m+1(xj)−
d∏
j=1
V2m(xj)
∥∥∥∥∥∥
1
≤
≤
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
(2K2m+1(xj)−K2m(xj))
∥∥∥∥∥∥
1
+
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
(2K2m(xj)−K2m−1(xj))
∥∥∥∥∥∥
1
≤ 2 · 3 d
i згiдно з властивiстю згортки
‖σm+1(f, x)‖1 � Ω(2−m)‖υm+1(x)‖1
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
ei(2
m+2m+1)xjK2m(xj)
∥∥∥∥∥∥
1
� Ω(2−m). (7)
Аналогiчно для σm+2(f, x) маємо
‖σm+2(f, x)‖1 � Ω(2−m). (8)
Враховуючи (7) та (8), одержуємо∑
s∈Z+
Ω−1(2−s) ‖σs(f, ·)‖1 =
= Ω−1(2−(m+1)) ‖σm+1(f, ·)‖1 + Ω−1(2−(m+2)) ‖σm+2(f, ·)‖ �
� Ω(2−m)
Ω(2−(m+1))
+
Ω(2−m)
Ω(2−(m+2))
≤ C4, C4 > 0,
а отже, згiдно з (1) функцiя f при вiдповiдному виборi сталої C3 > 0 належить класу BΩ
1,1.
Розглянемо наближення в L1(πd) функцiї f за допомогою її частинної суми Фур’є Sn(f, x),
n = 3 · 2m, m ∈ N.
Маємо
‖f(x)− Sn(f, x)‖1 ≥
∣∣∣∥∥Sn(f, x)‖1 − ‖f(x)
∥∥
1
∣∣∣�
� Ω(2−m)
∣∣∣∣∣∣
d∏
j=1
‖Sn(ϕ, xj)‖1 −
d∏
j=1
‖ϕ(xj)‖1
∣∣∣∣∣∣ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1210 В. В. МИРОНЮК
= Ω(2−m)
∣∣∣∣∣∣
d∏
j=1
‖Sn(ϕ, xj)‖1 − 1
∣∣∣∣∣∣ . (9)
Далi розглянемо частинну суму Фур’є Sn(ϕ, t), t ∈ R, функцiї ϕ. За допомогою елементар-
них перетворень можна показати, що
Sn(ϕ, t) = ei(2
m+2m+1)t
0∑
k=−2m
(
1− |k|
2m
)
eikt,
а тому, беручи до уваги спiввiдношення |a+ ib| ≥ max{|a|, |b|}, a, b ∈ R, отримуємо
‖Sn(ϕ, t)‖1 =
∥∥∥∥∥
0∑
k=−2m
(
1− |k|
2m
)
eikt
∥∥∥∥∥
1
=
=
∥∥∥∥∥
0∑
k=−2m
(
1− |k|
2m
)
cos kt+ i
0∑
k=−2m
(
1− |k|
2m
)
sin kt
∥∥∥∥∥
1
≥
≥
∥∥∥∥∥
0∑
k=−2m
(
1− |k|
2m
)
sin kt
∥∥∥∥∥
1
=
∥∥∥∥∥
2m∑
k=1
(
1− k
2m
)
sin kt
∥∥∥∥∥
1
. (10)
Для того щоб продовжити оцiнку (10), позначимо
F (t) =
2m∑
k=1
(
1− k
2m
)
sin kt
i розглянемо функцiю
ψ(t) =
∞∑
k=1
sin kt
k
.
Вiдомо (див., наприклад, [16, c. 447]), що
ψ(t) =
π − t
2
, t ∈ (0, 2π),
0, t ∈ {0, 2π}.
Позначимо через ψ∗ 2π-перiодичне продовження функцiї ψ на дiйсну вiсь.
Нехай
I = (F,ψ∗) = (2π)−d
∫
πd
F (x)ψ∗(x)dx.
Тодi, з одного боку,
I =
2m∑
k=1
(
1− k
2m
)
1
k
=
2m∑
k=2
1
k
, (11)
а з iншого, згiдно з нерiвнiстю Гельдера, можемо записати
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ BΩ
p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1211
I ≤ ‖F‖1‖ψ∗‖∞ =
∥∥∥∥∥
2m∑
k=1
(
1− k
2m
)
sin kt
∥∥∥∥∥
1
∥∥∥∥π − t2
∥∥∥∥
∞
�
∥∥∥∥∥
2m∑
k=1
(
1− k
2m
)
sin kt
∥∥∥∥∥
1
. (12)
Iз (10), враховуючи (11) та (12), отримуємо
‖Sn(ϕ, t)‖1 ≥
∥∥∥∥∥
2m∑
k=1
(
1− k
2m
)
sin kt
∥∥∥∥∥
1
�
2m∑
k=2
1
k
� ln 2m. (13)
Таким чином, беручи до уваги (9) та (13), знаходимо
En(BΩ
1,θ)1 ≥ ‖f(x)− Sn(f, x)‖1 � Ω(2−m)
d∏
j=1
ln 2m �
� Ω(2−m) lnd 2m � Ω(n−1) lnd(n+ 1).
Оцiнку знизу у випадку p = 1 встановлено.
Перейдемо тепер до встановлення оцiнки знизу у випадку p = ∞. Як i у попередньому
випадку, шукану оцiнку достатньо встановити при n = 4 · 2m + 2, m ∈ N. Почнемо з побудови
екстремальної функцiї.
Нехай
g(x) = C7Ω(2−m)
d∏
j=1
ei(3·2
m+1)xjGm(xj), C5 > 0,
де
Gm(xj) =
2m∑
|k|=1
eikxj
2m + 1− |k|
+
2m+1+1∑
|k|=2m+2
eikxj
2m + 1− |k|
, m ∈ N.
Покажемо, що при певному виборi сталої C5 > 0 функцiя g належить класу BΩ
∞,1. Для цього
виконаємо наступнi перетворення полiнома Gm(xj) :
Gm(xj) =
2m∑
|k|=1
eikxj
2m + 1− |k|
−
2m+1+1∑
|k|=2m+2
eikxj
|k| − (2m + 1)
=
= 2
(
cosxj
2m
+
cos 2xj
2m − 1
+ . . .+
cos 2mxj
1
)
−
−2
(
cos (2m + 2)xj
1
+
cos (2m + 3)xj
2
+ . . .+
cos (2m+1 + 1)xj
2m
)
=
= 2
(
cos 2mxj − cos (2m + 2)xj
1
+
+
cos(2m − 1)xj − cos (2m + 3)xj
2
+ . . .+
cosxj − cos (2m+1 + 1)xj
2m
)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1212 В. В. МИРОНЮК
= 4 sin (2m + 1)xj
2m∑
k=1
sin kxj
k
.
Як зазначалось вище, ряд
∑∞
k=1
sin kt
k
збiгається в кожнiй точцi t ∈ R i його сума є функцiєю
iз L∞([−π, π]), a тому частиннi суми
∑n
k=1
sin kt
k
є рiвномiрно обмеженими в L∞
(
[−π, π]
)
.
Звiдси випливає, що i Gm ∈ L∞([−π, π]).
Зауважимо, що тригонометричний полiном g мiстить гармонiки лише з „номерами”, якi
належать кубу
∏d
j=1
[2m; 5 · 2m + 2]. Отже, як i у випадку p = 1, можна стверджувати, що
за винятком, можливо, σm(g, x), σm+1(g, x), σm+2(g, x) та σm+3(g, x) для усiх iнших σs(g, x)
виконується рiвнiсть σs(g, x) = 0.
Оцiнимо ‖σs(g, x)‖∞ при s = m,m+ 3. Маємо
‖σm(g, x)‖∞ � Ω(2−m)‖υm(x)‖1
∥∥∥∥∥∥
d∏
j=1
ei(3·2
m+1)xjG2m(xj)
∥∥∥∥∥∥
∞
� Ω(2−m) (14)
i аналогiчно
‖σs(g, x)‖∞ � Ω(2−m) (15)
при s = m+ 1, m+ 2, m+ 3.
Для функцiї g, як наслiдок спiввiдношення (1), враховуючи (14) та (15), отримуємо
‖g‖BΩ
∞,1
�
∑
s∈Z+
Ω−1(2−s)‖σs(g, ·)‖∞ =
= Ω−1(2−m)‖σm(g, ·)‖∞ + Ω−1(2−(m+1))‖σm+1(g, ·)‖∞+
+Ω−1(2−(m+2))‖σm+2(g, ·)‖∞ + Ω−1(2−(m+3))‖σm+3(g, ·)‖∞ �
� Ω(2−m)
Ω(2−m)
+
Ω(2−m)
Ω(2−(m+1))
+
Ω(2−m)
Ω(2−(m+2))
+
Ω(2−m)
Ω(2−(m+3))
≤ C6, C6 > 0.
Звiдси випливає, що при певному виборi сталої C5 > 0 функцiя g належить класу BΩ
∞,1.
Розглянемо наближення в L∞(πd) функцiї g її частинною сумою Фур’є Sn(g, x),
n = 4 · 2m + 2, m ∈ N. Маємо
En(BΩ
∞,θ)∞ ≥ ‖g(·)− Sn(g, ·)‖∞ ≥
∣∣∣∣‖Sn(g, ·)‖∞ − ‖g(·)‖∞
∣∣∣∣�
� Ω(2−m)
∣∣∣∣∣∣
d∏
j=1
∥∥∥∥∥
2m+1+1∑
k=2m+2
ei(k+3·2m+1)xj
2m + 1− k
∥∥∥∥∥
∞
−
d∏
j=1
‖Gm(xj)‖∞
∣∣∣∣∣∣�
� Ω(2−m)
d∏
j=1
2m+1+1∑
k=2m+2
1
k − 2m − 1
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
НАБЛИЖЕННЯ КЛАСIВ BΩ
p,θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ СУМАМИ ФУР’Є . . . 1213
= Ω(2−m)
d∏
j=1
2m∑
k=1
1
k
� Ω(2−m) lnd 2m � Ω(n−1) lnd(n+ 1).
Оцiнку знизу при p =∞ i разом з нею теорему 1 доведено.
Сформулюємо наслiдок теореми 1 для класiв B r
p,θ, тобто у випадку, коли Ω(t) = tr, r > 0.
Наслiдок. Нехай p = 1,∞, 1 ≤ θ <∞ i r > 0. Тодi
En(B r
p,θ)p � n−r lnd(n+ 1).
Зауваження. 1. У випадку θ = ∞, який не охоплено наслiдком, тобто для класiв Hr
p ,
порядковi оцiнки величин En(Hr
p)p, p = 1,∞, знайдено В. М. Темляковим (див., наприклад,
[15], роздiл 2).
2. В одновимiрному випадку (d = 1) при p = 1 наслiдок i теорему 1 встановлено вiдповiдно
А. С. Романюком [17] та С. А. Стасюком [5].
Користуючись нагодою, висловлюю щиру подяку моєму науковому керiвниковi Анатолiю
Сергiйовичу Романюку за постановку задачi, кориснi зауваження та поради у роботi.
1. Гольдман М. Л. Теоремы вложения для анизотропных пространств Никольского – Бесова с модулями непре-
рывности общего вида // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1984. – 170. – С. 84 – 106.
2. Калябин Г. А. Теоремы вложения для обобщенных пространств Бесова и Лиувилля // Докл. АН СССР. – 1977.
– 232, № 6. – С. 1245 – 1248.
3. Liu Yongping, Xu Cuiqiao The infinite-dimensional widths and optimal recovery of generalized Besov classes // J.
Complexity. – 2002. – 18. – P. 815 – 832.
4. Xu Guiqiao The n-widths for a generalized periodic Besov classes // Acta Math. Sсi. Ser. B. Engl. Ed. – 2005. –
25B, № 4. – P. 663 – 671.
5. Стасюк С. А. Приближение суммами Фурье классов Bω
1,θ периодических функций в пространстве L1 // Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. – 2010. – 7, № 1. – С. 338 – 344.
6. Стасюк С. А. Наближення класiв Bω
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних полiномами зi спектром в
кубiчних областях // Мат. студ. – 2011. – 35, № 1. – С. 66 – 73.
7. Войтенко С. П. Найкращi M -членнi тригонометричнi наближення класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох
змiнних // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 9. – С. 1189 – 1199.
8. Войтенко С. П. Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй ба-
гатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 11. – С. 1473 – 1484.
9. Солiч К. В. Бiлiнiйнi наближення класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Зб. праць Iн-ту мате-
матики НАН України. – 2010. – 7, № 1. – С. 325 – 337.
10. Бернштейн С. Н. Конструктивная теория функций (1931–1953) // Собр. соч. – М.: Изд-во АН СССР, 1954. –
2. – 626 с.
11. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функ-
ций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – С. 483 – 522.
12. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
13. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения // Докл.
АН СССР. – 1959. – 126, № 6. – С. 1163 – 1165.
14. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – М.: Наука, 1977. – 512 с.
15. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 272 p.
16. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. – М.: Наука 1976. – Т 3. –
656 с.
17. Романюк A. C. Приближение классов B r
p,θ периодических функций одной и многих переменных // Мат.
заметки. – 2010. – 87, № 3. – С. 429 – 442.
Одержано 09.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2652 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:39Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5a/d398ea9320a3e4927afd5273d16c965a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26522020-03-18T19:32:05Z Approximation of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables by Fourier sums in the space $L_p$ with $p = 1, \infty$ Наближення класів $B^{\Omega}_{p, \theta}$ періодичних функцій багатьох змінних сумами Фур'є у просторі $L_p$ при $p = 1, \infty$ Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. We obtain an exact-order estimate for the deviation of Fourier sums of periodic functions of many variables from the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ in the space $L_p$ for $p = 1, \infty$. Получена точная по порядку оценка отклонения частных сумм Фурье периодических функций многих переменных из классов$B^{\Omega}_{p, \theta}$ в пространстве $L_p$ при $p = 1, \infty$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2652 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 9 (2012); 1204-1213 Український математичний журнал; Том 64 № 9 (2012); 1204-1213 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2652/2063 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2652/2064 Copyright (c) 2012 Myronyuk V. V. |
| spellingShingle | Myronyuk, V. V. Миронюк, В. В. Approximation of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables by Fourier sums in the space $L_p$ with $p = 1, \infty$ |
| title | Approximation of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables by Fourier sums in the space $L_p$ with $p = 1, \infty$ |
| title_alt | Наближення класів $B^{\Omega}_{p, \theta}$ періодичних функцій багатьох змінних сумами Фур'є у просторі $L_p$ при $p = 1, \infty$ |
| title_full | Approximation of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables by Fourier sums in the space $L_p$ with $p = 1, \infty$ |
| title_fullStr | Approximation of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables by Fourier sums in the space $L_p$ with $p = 1, \infty$ |
| title_full_unstemmed | Approximation of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables by Fourier sums in the space $L_p$ with $p = 1, \infty$ |
| title_short | Approximation of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables by Fourier sums in the space $L_p$ with $p = 1, \infty$ |
| title_sort | approximation of the classes $b^{\omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables by fourier sums in the space $l_p$ with $p = 1, \infty$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2652 |
| work_keys_str_mv | AT myronyukvv approximationoftheclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofmanyvariablesbyfouriersumsinthespacelpwithp1infty AT mironûkvv approximationoftheclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofmanyvariablesbyfouriersumsinthespacelpwithp1infty AT myronyukvv nabližennâklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihsumamifur039êuprostorílpprip1infty AT mironûkvv nabližennâklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihsumamifur039êuprostorílpprip1infty |