Smoothness of functions in the metric spaces Lψ
Let $L_0(T)$ be thе set of real-valued periodic measurable functions, let $\psi : R^+ \rightarrow R^+$ be a modulus of continuity $(\psi \neq 0)$ , and let $$L_{\psi} \equiv L_{\psi}(T ) = \left\{f \in L_0 (T ): ||f||_{\psi} := \int_T \psi( |f (x)| ) dx < \infty \right\}.$$ The following prob...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2653 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508596815527936 |
|---|---|
| author | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_facet | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_sort | Pichugov, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:05Z |
| description | Let $L_0(T)$ be thе set of real-valued periodic measurable functions, let $\psi : R^+ \rightarrow R^+$ be a modulus of continuity $(\psi \neq 0)$ , and let
$$L_{\psi} \equiv L_{\psi}(T ) = \left\{f \in L_0 (T ): ||f||_{\psi} := \int_T \psi( |f (x)| ) dx < \infty \right\}.$$
The following problems are investigated:
Relationship between the rate of approximation of $f$ by trigonometric polynomials in $L_{\psi}$ and smoothness
in $L_1$.
Correlation between the moduli of continuity of $f$ in $L_{\psi}$ and $L_1$, and theorems on imbedding of the classes $\text{Lip} (\alpha, \psi)$ in $L_1$.
Structure of functions from the class $\text{Lip}(1, \psi)$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
© С. А. ПИЧУГОВ, 2012
1214 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
УДК 517.5
С. А. Пичугов (Днепропетр. нац. ун-т ж.-д. трансп.)
ГЛАДКОСТЬ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ L!
Let L 0(T ) be thе set of real-valued periodic measurable functions, let ! :!R+ " R+ be a modulus of continuity
(! " 0) , and let
L! ! " !L! (T )! = ! f #L0(T ) :! f ! := ! f (x)( ) dx < $
T
%
&
'
(
)(
*
+
(
,(
.
The following problems are investigated:
Relationship between the rate of approximation of f by trigonometric polynomials in L! and smoothness
in L1 .
Correlation between the moduli of continuity of f in L! and L1 , and theorems on imbedding of the classes
Lip(!,") in L1 .
Structure of functions from the class Lip(1,!) .
Нехай L 0(T ) — множина дійснозначних періодичних вимірних функцій, ! :!R+ " R+ — модуль неперервності
(! " 0) ,
L! ! " !L! (T )! = ! f #L0(T ) :! f ! := ! f (x)( ) dx < $
T
%
&
'
(
)(
*
+
(
,(
.
Досліджуються наступні задачі:
Зв’язок між швидкістю апроксимації f тригонометричними поліномами в L! та гладкістю в L1 .
Співвідношення між модулями неперервності f в L! і L1 та теореми вкладення класів Lip(!,")
в L1 .
Структура функцій класу Lip(1,!) .
1. Введение. Настоящая работа является продолжением статей [1 – 4]; все необходимые
определения и обозначения можно найти в этих работах.
Пусть L0 ! L0 (T ) — множество действительнозначных 1-периодических функций, изме-
римых и почти всюду конечных, T = [0,1] — основной тор периодов; ! — множество функ-
ций ! :!R+ " R+ , являющихся модулем непрерывности (! " 0) .
Среди метрических пространств
L! ! " !L! T( )! := ! f #L0 (T ) :! f ! := ! f (x)( ) dx < $
T
%
&
'
(
)(
*
+
(
,(
важнейшими являются пространства Lp , 0 < p < 1 (случай !(t) = t p ), и L0 с топологией
сходимости по мере: f 0 := ! f (x)( ) dx
T" , !(t) = t
1+ t
.
В работах [1 – 4] исследовались основные задачи теории приближений тригонометриче-
скими полиномами в пространствах L! : прямые и обратные теоремы Джексона и
ГЛАДКОСТЬ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ L! 1215
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
неравенства типа Бернштейна для полиномов. Ранее эти задачи были решены для пространств
Lp [5 – 7]. Отметим, что в результате исследований оказалось, что как прямая (первая), так и
обратная (в строго определенной форме) теоремы Джексона имеют место в L! тогда и толь-
ко тогда, когда нижний индекс растяжения ! " функции ! отличен от нуля. Это позво-
лило, в частности, в таких L! -пространствах получить при некоторых значениях α кон-
структивную характеристику липшицевых классов
Lip !,"( )! := ! f #L" ;!!$C f :!!% f , h( ) & C f h! !!'h > 0{ }
в терминах приближения f тригонометрическими полиномами.
В данной статье рассмотрим некоторые задачи, связанные с исследованием гладкости (в
различных терминах) функций из L! .
В п. 2 рассмотрена следующая задача, связанная с обратной теоремой Джексона. Пусть
для заданной функции f ! L! известна скорость стремления к нулю последовательности ее
наилучших приближений E! ( f )" ;!! = 0,1, 2,…{ } . Что можно сказать о гладкости функции
f в случае ! " = 0 (в этом случае обратной теоремы Джексона в L! нет)?
Мы покажем (см. теорему 1 и ее следствия), что для любой функции ! "# при опреде-
ленных условиях на E! ( f )"{ } можно утверждать наличие некоторой гладкости функции
f как элемента нормированного пространства L1 . Доказательство будет проведено стан-
дартным методом теории приближений (см. [8]), основанным на ,,неравенствах разных метрик”
для полиномов. Отметим, что этот результат справедлив для любой функции ! "# . В
качестве следствий при условии ! " > 0 получены соотношения между модулями непрерыв-
ности f в L! и L1 и некоторые теоремы вложения классов Lip(!,") в L1 .
В частности, для классов Lip !, p( ) при ! " 1 наши теоремы вложения совпали с из-
вестными [9], однако при ! = 1 наш результат является слабее.
В связи с этим в п. 3 в случае ! " > 0 исследуем другим методом теоремы вложения
Lip !,"( ) в L1 . Для пространств Lp , 0 < p < 1 , основным результатом здесь является
неравенство Э. А. Стороженко [9]:
!( f , h)1 ! " !Cp
!( f , x)p
x
#
$%
&
'(0
h
)
1/ p
dx, 0 < h <
1
3
. (1)
В теореме 2 устанавливается аналогичное (1) соотношение для функций из L! , ! " > 0 .
Метод доказательства — аппроксимация f из L! кусочно-постоянными функциями с пла-
вающими узлами — оказался полезным и при исследовании связи между модулями непре-
рывности в L! и соответствующими K -функционалами (см. п. 4).
В п. 5 исследуются аналоги в пространствах L! следующих двух результатов, получен-
ных в пространствах Lp , 0 < p < 1 :
1216 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1) если f !AC , f ! const , то f !Lip p, p( ) [5];
2) в случае 0 < p < 1 следующие условия эквивалентны [10]:
1) f !Lip 1, p( ) ;
2) f эквивалентна функции ограниченной p -вариации;
3) f эквивалентна функции fd вида
fd ! = !d0 + dk
xk <x
! , (2)
где {xk} — последовательность попарно различных точек из 0,1[ ) , и dk
p < !k=1" .
Напомним, что по известной теореме Харди – Литтлвуда [11] при p ! 1;"( ) f !
!Lip 1, Lp( ) тогда и только тогда, когда f эквивалентна функции из AC с производной из
Lp , а при p = 1 если f !AC , то f !Lip 1, L1( ) .
Отмеченные выше результаты показывают, что в Lp при p ! 0,1( ) ситуация иная:
класс AC принадлежит Lip p, p( ) , а класс Lip 1, p( ) становится достаточно ,,бедным” и
состоит только из функций скачков (2).
Из теорем 4, 5 следует, что в L! расположение класса AC в шкале Липшица для любой
! из ! зависит от показателей растяжения ! . При ! " > 0 сохраняется аналог теоремы
В. Г. Кротова, однако при ! " = 0 картина может измениться. Например, в пространстве L0
класс AC ,,возвращается” в класс Липшица с показателем 1.
Заметим, что в работах [5, 6, 9, 10] в пространствах Lp , 0 < p < 1 , значение символа
f p отличается от нашего; в этих работах f p := f (x) p dx
T!( )1/ p .
Мы при цитировании результатов этих работ вносим соответствующие изменения, следуя
нашим обозначениям.
Исследуемые свойства пространств L! существенно зависят от поведения соответ-
ствующей функции растяжения M! . Напомним ее определение и основные свойства [15,
с. 75 – 78].
Если ! t( ) — положительная всюду конечная на 0,!( ) функция, то ее функция растя-
жения M! , определенная равенством
M! s( ) = sup
0<t<"
! st( )
! t( ) , 0 < s < " ,
имеет следующие свойства:
1) M! s1s2( ) " M! s1( )M! s2( ) ;
2) если M! s( ) всюду конечна, то для нее существуют два числа: ! " (нижний индекс
растяжения) и !" (верхний индекс растяжения), 0 ! " # ! $# < % , такие, что
ГЛАДКОСТЬ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ L! 1217
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
M! s( ) " s# ! при s < 1 , M! s( ) " s#! при s > 1 и для любого ! > 0 при достаточно
больших s M! s( ) " s#! +$ , а при достаточно малых s M! s( ) " s# ! $% .
Из этих свойств следует, что если ! "# , то 0 ! " # ! $# ! 1 , и для любого ! > 0
найдутся постоянные !C" , !!C" такие, что
M! s( )! " ! #C$s
%! +$ при всех s ! 1 ,
M! s( )! " ! ##C$s
% ! &$ при всех s ! 0,1( ] .
2. Связь между приближением в L! и гладкостью в L1 . Будем использовать сле-
дующий вариант ,,неравенства разных метрик” для полиномов [3] (следствие 4): пусть ! "# ,
n !N , k, r = 0,1,…, h ! 0, 1
2
"
#$
%
&'
, тогда для любого полинома Tn выполняется неравенство
!
"hkTn(r) 1
hk
#
$
%
%
&
'
(
(
! ) !Cn M! nr*1 min nk , h*k( )( ) Tn ! (3)
с некоторой постоянной C = C! k, r( ) .
Теорема 1. Пусть ! "# , f из L! такова, что при некотором r = 0,1, ... сходится
ряд
M! "r#1( ) E"#1
"=1
$
% f( )! < $ . (4)
Тогда если r > 0 , то функция f эквивалентна функции, имеющей (r ! 1) -ю абсолют-
но непрерывную производную, f r( ) !L1 , и для любого h ! 0, 1
2
"
#$
%
&'
и всех k = 1, 2, ... выпол-
няются неравенства
!
" k f (r), h( )1
hk
#
$
%
%
&
'
(
(
≤
≤ C! k, r( ) M! "r#1+k( )
"$1/h
% E"#1 f( )! + M! "r#1h#k( )
">1/h
% E"#1 f( )! . (5)
Если же r = 0 , то из (4) следует, что f !L1 , и выполнено (5).
Доказательство. Пусть r > 0 , Tn — полином наилучшего L! -приближения f и
T0 = 0 (без ограничения общности). Рассмотрим ряды
1218 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
T
2!+1"1
( j ) " T
2! "1
( j )( )
!=0
#
$ , j = 0,1,…, r . (6)
Из (3) (при k = 0 ) и (4) следует, что эти ряды сходятся в L1 . Действительно, последова-
тельности Sn( j ) := T
2!+1"1
( j ) " T
2! "1
( j )( )!=0
n# являются фундаментальными:
! Sn+q
j( ) " Sn j( )
1( ) ≤ ! T
2"+1#1
( j ) # T
2" #1
( j )
1( )
"=n+1
n+q
$ ≤
≤ C1 2!+1M" 2 !+1( ) j#1( )( ) E2! #1 f( )"
!=n+1
n+q
$ ≤ C2 M! " j#1( ) E"#1 f( )!
"=2n+1
2n+q
$ .
Пусть функции g j из L1 , j = 0,1,…, r , являются суммами рядов (6). Покажем снача-
ла, что почти всюду g0 = f .
Если ! — наименьшая выпуклая вверх мажоранта функции ! из ! , то (см., напри-
мер, [15], гл. ІІ, § 1) для всех y > 0
! y( )! " !! y( )! " !2! y( ) .
Поэтому
g0 ! Sn0( )
"
! # !" g0 x( ) ! Sn0( ) x( ) dx
T
$
%
&
'
(
)
* ! # !2" g0 ! Sn0( )
1( ) ,
f ! g0 " ! # ! f ! Sn
0( )
"
+ g0 ! Sn0( )
"
≤
≤ f ! Sn0( )
"
+ 2" g0 ! Sn0( )
1( )!# !0 , n! " ,
а значит, g0 x( ) = f x( ) почти всюду.
Теперь покажем, что функция g0 имеет абсолютно непрерывную производную r ! 1( ) -
го порядка, g0 r!1( ) = gr!1 , и r -ю производную из L1 , g0(r) = gr .
Из сходимости частных сумм Sn( j ) x( ) в L1 следует, что существует подпоследователь-
ность Snm
( j ) x( ) , которая при всех j сходится к g j x( ) почти всюду. Пусть x0 — одна из
точек сходимости при всех j = 1,…, r . Рассмотрим разность
g j!1 x( ) ! g j!1 x0( ) !
x0
x
" g j t( )dt =
= g j!1 x( ) ! Snm
( j!1) x( )( ) – g j!1 x0( ) ! Snm
( j!1) x0( )( ) – g j t( ) ! Snm
( j ) t( )( ) dt
x0
x
" .
ГЛАДКОСТЬ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ L! 1219
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
Поскольку
g j!1 x( ) ! g j!1 x0( ) ! g j t( )dt
x0
x
"
1
≤
≤ g j!1 x( ) ! Snm
( j!1) x( )
1
+ g j!1 x0( ) ! Snm
( j!1) x0( ) + g j x( ) ! Snm
( j ) x( )
1
и правая часть при неограниченном увеличении m стремится к нулю, почти при всех x и
j = 1, 2,…, r
g j!1 x( ) ! g j!1 x0( )! = ! g j t( )dt
x0
x
" .
Таким образом, с точностью до значений на множестве меры нуль f r!1( ) "AC и
f r( ) !L1.
Заметим, что мы по существу повторили рассуждения [12, с. 347] для аналогичного факта
в шкале нормированных пространств Lp , p ! 1 .
Докажем (5). Так как f r( ) = Dr T2!+1"1 " T2! "1( )!=0
#$ , где равенство в смысле L1 ,
используя (3), получаем
!
"hk f (r) 1
hk
#
$
%
%
&
'
(
(
≤ !
"hk
hk
Dr T2#+1$1 $ T2# $1( )
1
%
&
'
(
)
*
#=0
+
, ≤
≤ c 2!M" 2! r#1( ) min 2!k , h#k( )( )
!=0
$
% T2!+1#1 # T2! #1 "
≤
≤ 2c 2!M" 2! r#1( )2!k( ) E2! #1 f( )" +
!:2! $1/h
% 2!M" 2! r#1( )h#k( ) E2! #1 f( )"
!:2! >1/h
%
&
'
(
(
)
*
+
+
.
Дальнейшие преобразования к виду (5) стандартные (см., например, [4], теорема 1).
Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Пусть ! "# , !" — верхний показатель растяжения ! . Если при не-
которых r = 0,1,…, ! > 0 и ! > 0 для функции f !L" выполняются неравенства
E!"1 f( )# ! $ !
C f ,%
M# !r"1( )!1+&+% , ! = 1, 2,…, (7)
то для этой функции справедливо утверждение теоремы 1, и для любого k = 1, 2,… при
всех h ! 0, 1
2
"
#$
%
&'
1220 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
!
" k f (r), h( )1
hk
#
$
%
%
&
'
(
(
! ) !
C 1
h
#
$%
&
'(
k*! +,
, k*! + , > 0,
C ln 1
h
, k*! + , = 0,
C, k*! + , < 0,
-
.
/
/
/
0
/
/
/
(8)
где постоянная C = C(r, k,!, f ) не зависит от h .
Доказательство. Очевидно, что условие (4) выполнено.
Из (5) и (7) следует
!
" k f r( ), h( )1
hk
#
$
%
%
&
'
(
(
≤
≤ C1
M! "r#1+k( )
M! "r#1( )"1+$1%"%1/h
& +
M! "r#1h#k( )
M! "r#1( )"1+$">1/h
&
'
(
)
)
*
+
,
,
! = : !C1 &1 + &2( ) .
Поскольку
M! "r#1+k( )! $ !M! "r#1( )M! "k( )! $ !M! "r#1( )C%"
k&! +% ,
то
!1 ! " !C# $k%& '1'(
1"$"1/h
! .
Далее,
M! "r#1h#k( )! $ !M! "r#1( )M! h#k( )! $ !M! "r#1( )C%h
#k&! #% ,
поэтому
!2 ! " !C#h
$k%& $# '$1$($#
'>1/h
! ! " !C2
1
h
)
*+
,
-.
k%& $(
.
Следовательно, при любом ! > 0
!
" k f (r), h( )1
hk
#
$
%
%
&
'
(
(
! ) !C3 *k+! ,1,-
1)*)1/h
. +
1
h
#
$%
&
'(
k+! ,-#
$
%
&
'
( .
Отсюда следует (8).
3. Связь между модулями непрерывности в L! и L1 . С помощью аппроксимации
функций тригонометрическими полиномами из теоремы 1 получаем следующие утверждения.
ГЛАДКОСТЬ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ L! 1221
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
Следствие 2. Пусть ! " > 0 . Если функция f из L! такова, что сходится инте-
грал
M! x( )
x0
1
"
# f , x( )!
x
dx! < !$ , (9)
то f !L1 и для всех h ! 0, 1
2
"
#$
%
&'
выполняется неравенство
!
" f , h( )1
h
#
$%
&
'(
! ) !C!, f
" f , x( )!
x2
dx +
1
h
M! x( )
x
" f , hx( )!
x
dx
0
1
*
h
1
*
#
$
%
&
'
( (10)
с некоторой постоянной C!, f , не зависящей от h .
Доказательство. В [2] доказано, что в случае ! " > 0 (и только в этом случае) в про-
странстве L! справедлива теорема Джексона:
sup
f !L" , f #const
sup
$!N
E$%1 f( )"
& f ,1/$( )"
< ' .
Отсюда и из (9) следует, что при r = 0 выполняется условие (4). Используем утвержде-
ние (5) (в случае r = 0 , k = 1 ):
!
" f , h( )1
h
#
$%
&
'(
! ) !C1 E*+1 f( )! +
*)1/h
, M!
1
h*
#
$%
&
'( E*+1 f( )!
*>1/h
,
#
$
%
&
'
( ≤
≤
C2 ! f , 1
"
#
$%
&
'( )
+
"*1/h
+ M)
1
h"
#
$%
&
'( ! f , 1
"
#
$%
&
'( )">1/h
+
#
$
%
&
'
( ≤
≤ C3
! f , x( )"
x2
dx +
h
1
# M"
x
h
$
%&
'
()
! f , x( )"
x2
dx
0
h
#
$
%
&
'
(
) =
= C3
! f , x( )"
x2
dx +
h
1
#
1
h
M" x( )
x
! f , hx( )"
x
dx
0
1
#
$
%
&
'
(
) .
Доказанное утверждение позволяет, в частности, получить теоремы вложения классов
Lip(!,") , ! " 0,1( ] , в L1 .
Следствие 3. Пусть ! " > 0 , f !Lip(",#) и показатель ! удовлетворяет условию
1! " # < ! < 1. Тогда f !L1 и для ее L1 -модуля непрерывности при всех h ! 0, 1
2
"
#$
%
&'
вы-
полняются неравенства
1222 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
!
" f , h( )1
h
#
$%
&
'(
! ) !C f
1
h1*+
, + , 1* - ! ,1( ) . (11)
Для доказательства надо использовать (10) и тот факт, что при x ! 0,1( ] M! (x) ≤
≤ C!x
" # $! для любого ! > 0 .
Заметим, что при ! = 1 эти же рассуждения позволяют доказать неравенство
! " f , h( )1 h#1( ) ≤ C f ln
1
h
!
"#
$
%& , которое, однако, уже не является ,,хорошим” даже в про-
странстве Lp (см. [9]). В дальнейшем (см. следствие 5) другим методом докажем для случая
! = 1 более точный результат.
Отметим еще следующий факт, вытекающий из теоремы 1 в случае r = 1 .
Следствие 4. Какова бы ни была функция ! из ! , из условия E!"1 f( )# < $
!=1
$%
вытекает, что функция f эквивалентна абсолютно непрерывной функции.
Теперь для исследования связи между модулями непрерывности в L! и L1 вместо ап-
проксимации полиномами используем приближение кусочно-постоянными функциями.
Теорема 2. Пусть ! " > 0 и f из L! такова, что конечен интеграл
M! t( )
t0
1
"
# f , t( )!
t
dt ! < !$ . (12)
Тогда f принадлежит L1 и для всех h ! 0, 1
2
"
#$
%
&'
выполняется неравенство
!
" f , h( )1
h
#
$%
&
'(
! ) !C!, f
M! t( )
t
" f , ht( )!
ht
dt
0
1
* (13)
с некоторой постоянной C!, f , не зависящей от h .
Заметим, что существование функций f ( f ! const) , удовлетворяющих условию (12),
гарантируется лишь в случае ! " > 0 . Действительно, если ! " = 0 , то M! (t) = 1 при
t ! 0,1( ] , и (12) невозможно ни для какого нетривиального модуля непрерывности.
Доказательство. Принадлежность f пространству L1 установлена в следствии 2, од-
нако этот факт легко увидеть и в приводимом ниже доказательстве (13) (см. (17)). Будем
использовать связь между модулями непрерывности и К-функционалами (см., например, [13])
в L1 :
! f , h( )1 ! " !K f , h; L1,V( )! := ! inf
f1+ f2 = f
f1 1 + hV f2( )( ) , (14)
где V f2( ) — вариация функции f2 на периоде.
ГЛАДКОСТЬ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ L! 1223
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
Для оценки K f( ) сверху построим специальные сплайн-функции. Для каждого нату-
рального k построим разбиение периода 0,1[ ] равноотстоящими точками
x j,k ! = ! j2!k , j = 0,1,…, 2k .
Cнимем значения f в этих точках и определим кусочно-постоянную функцию S2k ( f , x) :
для j = 0,1,…, 2k ! 1
S2k f , x( )! := ! f (x j,k ) при x ! x j,k , x j+1,k"# ) . (15)
Если функция f непрерывна, то определение (15) интерполяционного сплайна S2k f , x( )
корректно. Однако для эквивалентных в L1 функций соответствующие сплайны (15) могут
различаться как элементы пространства L1 . Для исправления этого недостатка используем
тот факт, что неравенство (13) инвариантно относительно сдвигов функций f .
Для каждого фиксированного t !R обозначим через ft сдвиг функции f на параметр t :
ft x( )! := ! f x + t( ) .
Поскольку ! f , h( )1 = ! ft , h( )1 , из (14) следует, что
!
" f , h( )1
h
#
$%
&
'(
! = ! !
" ft , h( )1
h
#
$%
&
'(0
1
) dt ! * !C1 ! h+1K ft , h; L,V( )( )
0
1
) dt =
= C1 ! inf
f1,t + f2,t = ft
h"1 f1, t 1 +V f2,t( )( )#
$%
&
'(
0
1
) dt . (16)
В качестве функций f1,t и f2,t будем выбирать сплайны вида (15). Отметим, что если
функции f и g эквивалентны, то сплайны S2k ft( ) и S2k gt( ) совпадают при почти всех
t . Поэтому теперь их использование в (16) является корректным.
Пусть сначала h имеет вид h = 2!n , n "N . Положим в (16)
f2,t ! := !S2n ft( ) .
Легко видеть, что имеет место равенство в смысле L1
ft = S2n ft( ) + S2k ft( ) ! S2k!1 ft( )( )
k>n
" , (17)
поэтому
f1,t = S2k ft( ) ! S2k!1 ft( )( )
k>n
" .
Далее,
1224 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
S2k ft( ) ! S2k!1 ft( )
1
=
= S2k ft , x( ) ! S2k!1 ft , x( )
x j ,k
x j+1,k
"
j=0
2k !1
# dx ≤ 1
2k
ft x j+1,k( ) ! ft x j,k( )
j=0
2k !1
" ,
! 2n f1,t 1( ) " !
k>n
# 2n S2k ft( ) $ S2k$1 ft( )
1
%
&'
(
)*
≤
≤ ! 2n S2k ft( ) " S2k"1 ft( )
1( )
k>n
# ≤
≤ ! 2n"k ft x j+1,k( ) " ft x j,k( )
j=0
2k "1
#
$
%
&&
'
(
))k>n
# ≤
≤ M! 2n"k( )
k>n
# ! ft x j+1,k( ) " ft x j,k( )( )
j=0
2k "1
# ,
! 2n f1,t 1( ) dt
0
1
" # M! 2n$k( )
k>n
%
0
1
" ! ft x j+1,k( ) $ ft x j,k( )( )
j=0
2k $1
% dt =
=
M! 2n"k( )
k>n
# $1/2k f !
! = !
j=0
2k "1
# M! 2n"k( )
k>n
# 2k $1/2k f !
. (18)
Аналогичным образом
V f2,t( ) = V S2n ft( )( ) = ft x j+1,n( ) ! ft x j,n( )
j=0
2n !1
" ,
! V f2,t( )( ) " ! ft x j+1,n( ) # ft x j,n( )( )
j=0
2n #1
$ ,
! V f2,t( )( ) dt "
0
1
# $1/2n f !
= 2n
j=0
2n %1
& $1/2n f !
. (19)
Теперь из (16) при h = 2!n , (18) и (19) следует, что
! 2n" f , 2#n( )1( ) $ C1 ! 2n f1,t 1 +V f2,t( )( ) dt
0
1
% ≤
≤
C1 M! 2n"k( )
k>n
# 2k $1/2k f !
+ 2n $1/2n f !
%
&'
(
)*
≤
ГЛАДКОСТЬ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ L! 1225
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
≤
C1 M! 2n 1
2k
"
#$
%
&'
( f ,1/2k( )!
1 / 2kk)n
* ! + !C2 M! 2n y( ) ( f , y( )!
y0
1/2n
,
dy
y
=
= C2
M! t( )
t
" f , 2#n t( )!
2#n t0
1
$ dt .
Неравенство (13) доказано в случае h = 2!n . Для произвольного h ! 0, 1
2
"
#$
%
&'
найдем n !N
такое, что 2!n " h < 2!(n!1) . Тогда
!
" f , h( )1
h
#
$%
&
'(
) !
" f , 2 * 2+n( )1
2+n
#
$
%
%
&
'
(
(
≤
≤ ! 2
" f , 2#n( )1
2#n
$
%
&
&
'
(
)
)
* M! 2( )!
" f , 2#n( )1
2#n
$
%
&
&
'
(
)
)
≤
≤ M! 2( )C2
M! t( )
t
" f , 2#n t( )!
2#n t0
1
$ dt ≤
≤ M! 2( )C2 2
M! t( )
t
" f , ht( )!
ht0
1
# dt .
Теорема 2 доказана.
Из неравенства (13) для классов Lip !,"( ) при ! < 1 вытекают те же теоремы вло-
жения в L1 , что и в следствии 3. Однако в случае ! = 1 теперь можно утверждать большее.
Следствие 5. Если ! " > 0 , то из условия f !Lip(",#) следует, что f !Lip(1, L1) .
4. Модули непрерывности в L! и К-функционалы. При доказательстве теоремы 2 для
оценки сверху К-функционала использовалась аппроксимация функций интерполяционными
сплайнами нулевого порядка с плавающими узлами. Заметим, что теоремы Джексона (прямая
и обратная) для такой аппроксимации в метрических пространствах доказаны в [14].
Сейчас используем ту же идею для доказательства аналога соотношения (14) в простран-
стве L! .
Пусть
L!1 ! := !Lip 1,!( ) , f !,1 " f L!1
! := !sup
s>0
# f , s( )!
s
,
K f , h; L! , L!1( )! := ! inf
f1+ f2 = f
f1 ! + h f2 !,1( ) ,
1226 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
! f , h( )" — наименьшая выпуклая вверх мажоранта функции !( f , h)" . Напомним (см., на-
пример, [15]), что
! f , h( )" # ! f , h( )" # 2! f , h( )" . (20)
Теорема 3. Для любых ! "# и f !L" при всех h ! 0, 1
2
"
#$
%
&'
имеют место неравен-
ства
1
2
! f , 2h( )" # K f , h; L" , L"1( ) # 2! f , 2h( )" . (21)
Доказательство. Левое неравенство является простым следствием определений.
Поскольку для любого h > 0
1
2
! f , 2h( )" # f " , ! g, h( )" # g ",1 h, g $L"1 ,
то для любой функции g !L"1
1
2
! f , 2h( )" #
1
2
! f $ g, 2h( )" + ! g, 2h( )"( ) #
1
2
2 f $ g " + g ",1 2h( ),
поэтому
1
2
! f , 2h( )" # inf
g$L"1
f % g " + h g ",1( ) = K f , h; L" , L"1( ).
Так как K ( f , h) — выпуклая вверх функция аргумента h , левое неравенство (21) до-
казано.
Для доказательства правой части (21) достаточно показать, что для всех n !N
K f , 1
n
; L! , L!1
"
#$
%
&' ( 2) f , 1
n
"
#$
%
&' !
. (22)
Действительно, если выполнено (22), то для произвольного h ! 0, 1
2
"
#$
%
&'
найдем n !N
такое, что 2!n " h < 2! n!1( ) , тогда
K f , h; L! , L!1( ) " K f , 2# n#1( ); L! , L!1( ) " 2$ f , 2# n#1( )( )! " 2$ f , 2h( )! .
Итак, для доказательства (22) зафиксируем n , и для каждого сдвига ft функции f по-
строим интерполяционный сплайн Sn ( ft ) (15) c n равноотстоящими узлами y j,n := jn!1 ,
j = 0,1,…, n . Тогда
ГЛАДКОСТЬ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ L! 1227
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
K f , 1
n
; L! , L!1
"
#$
%
&' = K ft ,
1
n
; L! , L!1
"
#$
%
&'
0
1
( dt ≤
≤ ft ! Sn ft( ) " +
1
n
Sn ft( ) ",1
#
$%
&
'(
0
1
) dt , (23)
ft ! Sn ft( ) "
0
1
# dt = " ft x( ) ! ft y j,n( )( ) dx dt
y j ,n
y j+1,n
#
j=0
n!1
$
0
1
# =
= ! ft x + y j,n( ) " ft y j,n( )( ) dx dt
0
1/n
#
0
1
#
j=0
n"1
$ =
= ! f t + x + y j,n( ) " f t + y j,n( )( ) dt dx
0
1
#
0
1/n
#
j=0
n"1
$ =
= ! x f " dx
0
1/n
#
j=0
n$1
% = n ! x f " dx
0
1/n
# . (24)
Для оценки второго слагаемого в (23) вычислим ! Sn ft( ) , h( )" . Пусть сначала h !
1
n
.
Тогда для почти всех t
!hSn ft( ) " = " ft y j,n( ) # ft y j#1,n( )( ) dx
y j ,n
y j ,n +h
$
j=1
n
% =
= h ! ft y j,n( ) " ft y j"1,n( )( )
j=1
n
# ,
а значит, при h !
1
n
! Sn ft( ) , h( )" = h " ft y j,n( ) # ft y j#1,n( )( )
j=1
n
$ . (25)
Если h >
1
n
, то найдем k !N такое, что h !
k
n
, k + 1
n
"
#$
%
&' . Тогда h =
k
n
+ !h , где !h <
1
n
,
и с помощью (25) получим
! Sn ft( ) , h( )" # ! Sn ft( ) , k
n
$
%&
'
() "
+ ! Sn ft( ) , h '( )" ≤
1228 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
≤ k! Sn ft( ) , 1
n
"
#$
%
&' (
+ ! Sn ft( ) , )h( )( =
= k 1
n
+ !h"
#$
%
&' ( ft y j,n( ) ) ft y j)1,n( )( )
j=1
n
* . (26)
Из (25) и (26) следует, что для почти всех t
Sn ft( ) !,1 = ! ft y j,n( ) " ft y j"1,n( )( )
j=1
n
# ,
поэтому
Sn ft( ) !,1
0
1
" dt = n #1/n f !
. (27)
Теперь из (23), (24) и (27) следует
K f , 1
n
; L! , L!1
"
#$
%
&' ( n ) x f ! dx + )1/n f !
0
1/n
* .
Отсюда вытекает (22).
Теорема 3 доказана.
5. Классы Липшица и абсолютно непрерывные функции в L! .
Теорема 4. Если f !AC , f ! const , то для любой ! "# найдутся постоянные
C1 = C1(!, f ) и C2 = C2 (!, f ) такие, что при всех h ! 0,1[ ) выполняются неравенства
C1
M! 1/h( ) " # f , h( )! " C2! h( ). (28)
Доказательство. Правое неравенство является следствием (20) и неравенства Йенсена:
!h f " = " !h f x( )( ) dx
0
1
# $ " !h f x( )( ) dx
0
1
# ≤
≤ ! "h f 1( ) # 2! "h f 1( ) ≤
≤ 2! V f( )h( ) " 2M! V f( )( )! h( ).
Для доказательства левого неравенства используем следующую лемму.
Лемма 1. Если для f !AC найдется бесконечная последовательность попарно раз-
личных {hi} ! 0 такая, что
ГЛАДКОСТЬ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ L! 1229
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
!hi f
hi "
!# !0 при i! " ,
то f ! const .
Для пространств Lp , 0 < p < 1, это утверждение доказано в [5] (лемма 1.5), и доказатель-
ство остается справедливым для всех L! .
Из леммы вытекает, что если f !AC , f ! const , то найдется постоянная K > 0 такая,
что для всех достаточно малых h > 0
!h f
h "
# K > 0 . (29)
С другой стороны,
!h f
h "
# M"
1
h
$
%&
'
() !h f " # M"
1
h
$
%&
'
() * f , h( )" . (30)
Из (29) и (30) следует левая часть (28).
Теорема 4 доказана.
Заметим, что ! 1( ) = !
1
h
h"
#$
%
&' ( M!
1
h
"
#$
%
&' ! h( ) , т. е.
! 1( )
M! 1/h( ) " ! h( ) , (31)
однако в (31) возможен и знак строгого неравенства.
Нам не известно, можно ли усилить нижнюю оценку в (28) для произвольной ! "# . А
вот верхняя оценка в (28) неулучшаемая для каждой ! . Действительно, пример функции
g !AC ,
g(x) =
x, x ! 0, 1
4
"
#$
%
&'
,
1
2
( x, x !
1
4
, 1
2
"
#$
%
&'
,
)
*
+
+
,
+
+
g x +
1
2
-
./
0
12 = ( g(x) ,
показывает, что оценка ! f , h( )" = 0 " h( )( ) , h! 0 , на классе f !AC , f ! const , не-
возможна.
Пусть ! — класс выпуклых вверх функций ! из ! ,
!1 = " #! :! lim
s$0
" s( )
s
= 1%
&
'
(
)
*
. (32)
1230 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
Легко видеть (см. [3]), что для ! "#1 M! s( ) = s !s " 1.
Таким образом, получаем следующее утверждение.
Следствие 6. Если ! "#1 , то все абсолютно непрерывные функции f ( f ! const)
принадлежат классу Lip(1,!) .
Это справедливо, например, в пространствах L0 , ln(1+ L) , для которых ! " = 0 . Если
же ! t( ) : = min t, t"( ) , 0 < ! < 1 , то ! "#1 и ! " = # . Таким образом, для функций !
из !1 ! " может принимать любое значение из 0,1[ ] .
Однако, как мы сейчас покажем, если изменить условие (32) на (33), то в случае ! " > 0
класс Lip 1,!( ) уже не содержит абсолютно непрерывных функций.
Для заданной ! "# скажем, что функция f имеет ограниченную ! -вариацию
f !V"( ) , если
V! f( ) := sup0=x0 <...<xn =1 ! f xk( ) " f xk"1( )( ) < #k=1
n$ .
Следующая теорема об описании классов Lip 1,!( ) в случае пространств Lp , 0 < p <
< 1, доказана В. Г. Кротовым [10]. При доказательстве мы по существу повторяем рассуж-
дения из [10], внося лишь необходимые технические изменения.
Теорема 5. Пусть ! "# такова, что ! " > 0 и
lim sup
s!0
" s( )
s
! = !# . (33)
Тогда следующие условия равносильны:
1) f !Lip(1,") ;
2) f эквивалентна функции класса V! ;
3) f эквивалентна функции вида
fd x( )! = !d0 + dk
xk <x
! , (34)
где {xk} — последовательность попарно различных точек из 0,1[ ] , и ! dk( ) < "k=1
"# .
Таким образом, при указанных условиях на ! класс Lip 1,!( ) состоит только из
функций скачков (34).
Ясно, что от условия (33) избавиться нельзя; достаточно положить L! = L1 .
Доказательство. Покажем, что 1) ! 3). Поскольку ! " > 0 , согласно следствию 5
f !Lip 1, L1( ) , а значит, f !V (после изменения ее значений на множестве меры нуль).
Пусть ее разложение Лебега
ГЛАДКОСТЬ ФУНКЦИЙ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ L! 1231
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
f = fa + fs + fd , (35)
где fa — абсолютно непрерывная составляющая, fs — сингулярная часть, fd — функция
скачков вида (34).
Покажем, что
! dk( ) < " .
k=1
"
# (36)
Следуя [10], для фиксированного n !N выберем h > 0 настолько малым, что
xk ! h, xk( )! xi ! h, xi( )! = !", i # k, i,!k = 1,…, n ,
dk ! 2 f x + h( ) " f x( ) , x # xk " h, xk( ) , k = 1,…, n .
Тогда в силу того, что !h f " # C f h , имеем
! dk( )
k=1
n
" ! = ! 1
h
! f x + h( ) # f x( )( ) dx
xk #h
xk
$
k=1
n
" ≤
≤ M! 2( ) 1
h
! "h f x( )( ) dx
0
h
# $ M! 2( )C f
для всех n !N . Отсюда следует (36), а значит, наряду с f !Lip 1,"( ) и fd !Lip 1,"( ) .
Следовательно (см. (35)), функция g := fa + fs тоже принадлежит Lip 1,!( ) . Кроме то-
го, g !C . Отсюда выведем, что g ! const . Тогда из (35) будет следовать данное утверж-
дение.
Оценим приращение g в L1 :
!hg 1 ! := ! !hg x( )
0
1
" dx! = ! # !hg x( )( ) !hg x( )
# !hg x( )( )
$
%&
'
()0
1
" dx ≤
≤ sup
0!x!1
"hg x( )
# "hg x( )( ) "hg # ! ! !C f h sup
0!x!1
"hg x( )
# "hg x( )( ) . (37)
Поскольку
! y( )! " !! y( )! " !2! y( ) , ! y( )
y
# ,
то
1232 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
sup
0!y!b
y
" y( ) ! ! !2 sup
0!y!b
y
" y( )
! = !2 b
" b( )
! ! !2 b
" b( ) ,
поэтому
sup
0!x!1
"hg x( )
# "hg x( )( ) ! ! !2
"hg C
# "hg C( ) ! ! !2
$ g, h( )C
# $ g, h( )C( ) .
В силу условия (33)
! g, h( )C
" ! g, h( )C( ) ! = !o 1( ) , h# 0 . (38)
Из (37) и (38) следует, что !hg 1 = o(h) , и g = const . Таким образом, f = fd + const .
Остальные утверждения теоремы достаточно очевидны.
1. Пичугов С. А. О теореме Джексона для периодических функций в пространствах с интегральной мет-
рикой // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 1. – С. 122 – 133.
2. Пичугов С. А. О теореме Джексона для периодических функций в метрических пространствах с интег-
ральной метрикой. ΙΙ // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 11. – С. 1524 – 1533.
3. Пичугов С. А. Неравенства для тригонометрических полиномов в пространствах с интегральной метрикой
// Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 12. – С. 1657 – 1671.
4. Пичугов С. А. Обратные теоремы Джексона в пространствах с интегральной метрикой // Укр. мат. журн.
– 2012. – 64, № 3. – С. 351 – 362.
5. Стороженко Э. А., Кротов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в простран-
ствах Lp , 0 < p < 1 // Мат. сб. – 1975. – 98, № 3. – С. 395 – 415.
6. Иванов В. И. Прямые и обратные теоремы теории приближения в метрике Lp для 0 < p < 1 // Мат. за-
метки. – 1975. – 18, № 5. – С. 641 – 658.
7. Арестов В. В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных //
Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1982. – 45, № 1. – С. 3 – 22.
8. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1977. –
342 с.
9. Стороженко Э. А. О некоторых теоремах вложения // Мат. заметки. – 1976. – 19, № 2. – С. 187 – 200.
10. Кротов В. Г. О дифференцируемости функций из Lp , 0 < p < 1 // Мат. сб. – 1982. – 117, № 1. –
С. 95 – 113.
11. Hardy G. H., Littlewood J. Some properties of functional integrals. I // Math. Z. – 1928. – 27. – P. 565 – 606.
12. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
13. Bennett C., Sparsley R. Interpolation of operators. – New York: Acad. Press, 1988. – 469 p.
14. Пичугов С. А. Аппроксимация измеримых периодических функций по мере кусочно-постоянными функ-
циями // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 5. – С. 711 – 715.
15. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. – М.: Наука, 1978. –
400 с.
Получено 10.10.11,
после доработки — 24.03.12
|
| id | umjimathkievua-article-2653 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:44Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c2/4b842b2b346bed5c4581819fa153c4c2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26532020-03-18T19:32:05Z Smoothness of functions in the metric spaces Lψ Гладкость функций в метрических пространствах Lψ Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. Let $L_0(T)$ be thе set of real-valued periodic measurable functions, let $\psi : R^+ \rightarrow R^+$ be a modulus of continuity $(\psi \neq 0)$ , and let $$L_{\psi} \equiv L_{\psi}(T ) = \left\{f \in L_0 (T ): ||f||_{\psi} := \int_T \psi( |f (x)| ) dx < \infty \right\}.$$ The following problems are investigated: Relationship between the rate of approximation of $f$ by trigonometric polynomials in $L_{\psi}$ and smoothness in $L_1$. Correlation between the moduli of continuity of $f$ in $L_{\psi}$ and $L_1$, and theorems on imbedding of the classes $\text{Lip} (\alpha, \psi)$ in $L_1$. Structure of functions from the class $\text{Lip}(1, \psi)$. Нехай $L_0(T)$ — множина дійснозначних періодичних вимірних функцій, $\psi : R^+ \rightarrow R^+$ — модуль неперервності $(\psi \neq 0)$, $$L_{\psi} \equiv L_{\psi}(T ) = \left\{f \in L_0 (T ): ||f||_{\psi} := \int_T \psi( |f (x)| ) dx < \infty \right\}.$$ Досліджуються наступні задачі: Зв’язок між швидкістю апроксимації $f$ тригонометричними поліномами в $L_{\psi}$ та гладкістю в $L_1$. Співвідношення між модулями неперервності $f$ в $L_{\psi}$ і $L_1$ та теореми вкладення класів $\text{Lip} (\alpha, \psi)$ в $L_1$. Структура функцій класу $\text{Lip}(1, \psi)$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2653 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 9 (2012); 1214-1232 Український математичний журнал; Том 64 № 9 (2012); 1214-1232 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2653/2065 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2653/2066 Copyright (c) 2012 Pichugov S. A. |
| spellingShingle | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. Smoothness of functions in the metric spaces Lψ |
| title | Smoothness of functions in the metric spaces Lψ |
| title_alt | Гладкость функций в метрических пространствах Lψ |
| title_full | Smoothness of functions in the metric spaces Lψ |
| title_fullStr | Smoothness of functions in the metric spaces Lψ |
| title_full_unstemmed | Smoothness of functions in the metric spaces Lψ |
| title_short | Smoothness of functions in the metric spaces Lψ |
| title_sort | smoothness of functions in the metric spaces lψ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2653 |
| work_keys_str_mv | AT pichugovsa smoothnessoffunctionsinthemetricspaceslps AT pičugovsa smoothnessoffunctionsinthemetricspaceslps AT pičugovsa smoothnessoffunctionsinthemetricspaceslps AT pichugovsa gladkostʹfunkcijvmetričeskihprostranstvahlps AT pičugovsa gladkostʹfunkcijvmetričeskihprostranstvahlps AT pičugovsa gladkostʹfunkcijvmetričeskihprostranstvahlps |