Geodesic spaces tangent to metric spaces
We investigate the geometry of spaces tangent and pretangent to general metric spaces with marked point. We find a sufficient condition under which every separable tangent space is geodesic. This condition is almost exact in the sense that it is necessarily satisfied if all spaces pretangent to a...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2657 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508597175189504 |
|---|---|
| author | Bilet, V. V. Билет, В. В. Билет, В. В. |
| author_facet | Bilet, V. V. Билет, В. В. Билет, В. В. |
| author_sort | Bilet, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:05Z |
| description | We investigate the geometry of spaces tangent and pretangent to general metric spaces with marked point.
We find a sufficient condition under which every separable tangent space is geodesic.
This condition is almost exact in the sense that it is necessarily satisfied if all spaces pretangent to a given metric space are geodesic. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.124.4
В. В. Билет (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
К МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВАМ
We investigate the geometry of spaces tangent and pretangent to general metric spaces with marked point. We find a
sufficient condition under which every separable tangent space is geodesic. This condition is almost exact in the sense that
it is necessarily satisfied if all spaces pretangent to a given metric space are geodesic.
Дослiджується геометрiя дотичних та переддотичних просторiв до загальних метричних просторiв iз вiдмiченою
точкою. Знайдено достатню умову, за якою довiльний сепарабельний дотичний простiр є геодезичним. Ця умова є
майже точною в тому сенсi, що вона обов’язково виконується, якщо всi переддотичнi простори до даного метричного
простору є геодезичними.
1. Введение. Предкасательные и касательные пространства, используемые в настоящей работе,
были введены в [7] (см. также [8]) для определения обобщенного дифференцирования на
метрических пространствах без линейной структуры.
В данной работе найдено условие геодезичности касательных пространств к общим мет-
рическим пространствам. Выбор геодезичности как основного объекта исследования основан
на том, что многие модельные геодезические пространства, например CAT (k)-пространства
(для подробного ознакомления см., например, [2], гл. 2, [3], гл. 4), G-пространства (или про-
странства геодезических), дезарговы пространства, гиперболические по Громову метрические
пространства и т. д. (более подробно об этих пространствах см. [4], гл. 6), находят все большее
применение при изучении проблем современной математики.
2. Предварительные замечания. Приведем необходимые определения.
Пусть (X, d) — метрическое пространство и p — точка из X. Зафиксируем некоторую по-
следовательность r̃ положительных вещественных чисел rn, стремящихся к нулю. Назовем r̃
нормирующей (или масштабирующей) последовательностью. Будем обозначать через X̃ мно-
жество всех последовательностей точек из X.
Определение 1. Две последовательности x̃, ỹ ∈ X̃, x̃ = {xn}n∈N и ỹ = {yn}n∈N, взаимно
стабильны относительно нормирующей последовательности r̃ = {rn}n∈N, если существует
конечный предел
lim
n→∞
d(xn, yn)
rn
:= d̃r̃(x̃, ỹ) = d̃(x̃, ỹ). (1)
Cемейство F̃ ⊆ X̃ самостабильное, если любые две последовательности x̃, ỹ ∈ F̃ взаимно
стабильны, F̃ ⊆ X̃ — максимальное самостабильное, если F̃ самостабильное и для произволь-
ной z̃ ∈ X̃ \ F̃ существует x̃ ∈ F̃ такая, что x̃ и z̃ не взаимно стабильны.
Предложение 1. Пусть (X, d) — метрическое пространство и p ∈ X, тогда для каждой
нормирующей последовательности r̃ = {rn}n∈N существует максимальное самостабильное
семейство X̃p,r̃ такое, что постоянная последовательность p̃ = {p, p, . . .} принадлежит X̃p,r̃.
c© В. В. БИЛЕТ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9 1273
1274 В. В. БИЛЕТ
Рассмотрим функцию d̃ : X̃p,r̃ × X̃p,r̃ → R, где d̃(x̃, ỹ) = d̃r̃(x̃, ỹ) определена через (1).
Очевидно, d̃ симметрична и неотрицательна. Кроме того, из неравенства треугольника для d
имеем
d̃(x̃, ỹ) ≤ d̃(x̃, z̃) + d̃(z̃, ỹ)
для всех x̃, ỹ, z̃ из X̃p,r̃. Следовательно,
(
X̃p,r̃, d̃
)
— псевдометрическое пространство.
Определим отношение эквивалентности ∼ на X̃p,r̃ как x̃ ∼ ỹ тогда и только тогда, когда
d̃r̃(x̃, ỹ) = 0. Обозначим через ΩX
p,r̃ множество всех классов эквивалентности на X̃p,r̃, порож-
денных отношением ∼ . Для α, β ∈ ΩX
p,r̃ положим ρ(α, β) = d̃(x̃, ỹ), где x̃ ∈ α, ỹ ∈ β, тогда
ρ — метрика на ΩX
p,r̃. Переход от псевдометрического пространства
(
X̃p,r̃, d̃
)
к метрическому
пространству
(
ΩX
p,r̃, ρ
)
будем называть метрической идентификацией
(
X̃p,r̃, d̃
)
.
Определение 2. Пространство
(
ΩX
p,r̃, ρ
)
называется предкасательным к X в точке p
относительно нормирующей последовательности r̃.
Заметим, что ΩX
p,r̃ 6= ∅, так как постоянная последовательность p̃ лежит в X̃p,r̃ (см. пред-
ложение 1).
Пусть {nk}k∈N — бесконечная строго возрастающая последовательность натуральных чи-
сел. Обозначим через r̃′ подпоследовательность {rnk
}k∈N нормирующей последовательности
r̃ = {rn}n∈N и пусть x̃′ := {xnk
}k∈N для каждой x̃ = {xn}n∈N ∈ X̃. Ясно, что если x̃ и ỹ
взаимно стабильны относительно r̃, то x̃′ и ỹ′ взаимо стабильны относительно r̃′ и
d̃r̃(x̃, ỹ) = d̃r̃′(x̃
′, ỹ′). (2)
Если X̃p,r̃ — максимальное самостабильное относительно r̃ семейство, то, по лемме Цорна,
существует максимальное самостабильное относительно r̃′ семейство X̃p,r̃′ такое, что{
x̃′ : x̃ ∈ X̃p,r̃
}
⊆ X̃p,r̃′ .
Обозначим через inr̃′ отображение из X̃p,r̃ в X̃p,r̃′ с inr̃′(x̃) = x̃′ для всех x̃ ∈ X̃p,r̃.
После метрической идентификации отображение inr̃′ переходит в изометрическое вложение
em′ : ΩX
p,r̃ → ΩX
p,r̃′ , для которого диаграмма
X̃p,r̃
inr̃′−−−−→ X̃p,r̃′
π
y
yπ′
ΩX
p,r̃
em′
−−−−−→ ΩX
p,r̃′
(3)
коммутативна. Здесь π и π′ — отображения проектирования на соответствующие фактор-
пространства, π(x̃) :=
{
ỹ ∈ X̃p,r̃ : d̃r̃(x̃, ỹ) = 0
}
и π′(x̃) :=
{
ỹ ∈ X̃p,r̃′ : d̃r̃′(x̃, ỹ) = 0
}
.
Пусть X и Y — два метрических пространства. Напомним, что отображение f : X →
→ Y называется изометрией, если f сохраняет расстояние и биективно. Будем говорить, что
предкасательное пространство ΩX
p,r̃ является касательным, если em′ : ΩX
p,r̃ → ΩX
p,r̃′ — изометрия
для каждого X̃p,r̃′ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА К МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВАМ 1275
Замечание 1. Пусть X̃p,r̃ — максимальное самостабильное семейство с соответствующим
предкасательным пространством ΩX
p,r̃. Легко видеть, что ΩX
p,r̃ является касательным тогда и
только тогда, когда для каждой подпоследовательности r̃′ = {rnk
}k∈N последовательности r̃
семейство {x̃′ : x̃ ∈ X̃p,r̃} — максимальное самостабильное по отношению к r̃′.
Следующие стандартные определения можно найти, например, в [2, 3].
Определение 3. Пусть (X, d) — метрическое пространство. Кривая γ : [0, d(x, y)] →
→ X такая, что:
γ(0) = x,
γ
(
d(x, y)
)
= y,
d(γ
(
t1), γ(t2)
)
= |t1 − t2| для любых t1, t2 ∈ [0, d(x, y)],
называется геодезической с концами x, y ∈ X.
Определение 4. Метрическое пространство (X, d) является геодезическим простран-
ством, если любые две точки x, y ∈ X могут быть соединены геодезической.
Определение 5. Метрическое пространство (X, d) называется срединно выпуклым (или
допускающим срединное отображение), если для любых различных точек x, y ∈ X существует
третья точка z ∈ X, называемая срединной точкой, для которой выполняются равенства
d(x, y) = d(x, z) + d(z, y) и d(x, z) =
1
2
d(x, y). (4)
Пусть (X, d, p) — метрическое пространство с отмеченной точкой p.
Определение 6. Будем говорить, что пространство X является срединно выпуклым в
точке p, если для любых двух последовательностей x̃ = {xn}n∈N ∈ X̃ и ỹ = {yn}n∈N ∈ X̃,
сходящихся к p, найдется последовательность z̃ = {zn}n∈N ∈ X̃, z̃ = z̃(x̃, ỹ) такая, что
d(xn, zn) =
1
2
d(xn, yn) + o
(
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
)
(5)
и
d(yn, zn) =
1
2
d(xn, yn) + o
(
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
)
, (6)
где
d(xn, p) ∨ d(yn, p) = max
{
d(xn, p), d(yn, p)
}
,
а формулы (5) и (6) означают, что
lim
n→∞
∣∣∣∣d(xn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
= lim
n→∞
∣∣∣∣d(yn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
= 0. (7)
Замечание 2. При d(xn, p) = d(yn, p) = 0 формула (7) не определена, но ее легко доопре-
делить, как это сделано ниже в формуле (9).
Очевидно, что любое срединно выпуклое пространство X является срединно выпуклым
в каждой точке p. Обратное утверждение не верно. Окружность T = {z ∈ C : |z| = 1} с
обычной нормой, индуцированной из комплексной плоскости C, является примером полного
метрического пространства, срединно выпуклого в любой точке p ∈ T, но не допускающего
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1276 В. В. БИЛЕТ
срединного отображения. Это можно проверить непосредственно исходя из определений или
получить из следствия 2, приведенного в следующем пункте работы.
Следующее утверждение является переформулировкой определения 6.
Утверждение 1. Пусть (X, d, p) — метрическое пространство с отмеченной точкой p.
Пространство X срединно выпукло в точке p тогда и только тогда, когда
lim sup
x,y→p
(
inf
z∈X
Ψ(x, y, z)
)
= 0, (8)
где Ψ — функция, определенная на X ×X ×X правилом
Ψ(x, y, z) :=
∣∣∣∣d(x, z)− 1
2
d(x, y)
∣∣∣∣+
∣∣∣∣d(y, z)− 1
2
d(x, y)
∣∣∣∣
d(x, p) ∨ d(y, p)
при d(x, p) ∨ d(y, p) > 0,
0 при x = y = z = p,
∞ при x = y = p, z 6= p.
(9)
Доказательство. Пусть X — срединно выпукло в точке p, но
lim sup
x,y→p
(
inf
z∈X
Ψ(x, y, z)
)
> 0. (10)
Тогда найдутся последовательности x̃ = {xn}n∈N ∈ X̃, ỹ = {yn}n∈N ∈ X̃ и число ε0 > 0, для
которых limn→∞ d(xn, p) = limn→∞ d(yn, p) = 0, и
inf
z∈X
Ψ(xn, yn, z) > ε0 (11)
при всех n ∈ N. Из (11) следует, что d(xn, p)∨d(yn, p) > 0, так как если d(xn, p)∨d(yn, p) = 0,
то xn = yn = p, и в силу (9) имеем Ψ(xn, yn, p) = 0, а это противоречит (11). Поскольку X
срединно выпукло в точке p, найдется последовательность z̃ = {zn}n∈N ∈ X̃, z̃ = z̃(x̃, ỹ) такая,
что
lim
n→∞
∣∣∣∣d(xn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
= lim
n→∞
∣∣∣∣d(yn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
= 0,
откуда
lim
n→∞
∣∣∣∣d(xn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣+
∣∣∣∣d(yn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
= 0.
Тогда, используя (9), находим
lim
n→∞
Ψ(xn, yn, zn) = 0.
Полученное соотношение противоречит (11). Следовательно, еслиX срединно выпукло в точке
p, то lim supx,y→p
(
infz∈X Ψ(x, y, z)
)
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА К МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВАМ 1277
Для доказательства достаточности предположим, что справедливо (8). Тогда для любых
двух последовательностей x̃ = {xn}n∈N ∈ X̃ и ỹ = {yn}n∈N ∈ X̃, сходящихся к p, имеем
lim sup
n→∞
inf
z∈X
(
Ψ(xn, yn, z)
)
= 0.
Следовательно, существует z̃ = {zn}n∈N ∈ X̃, для которой
lim sup
n→∞
Ψ(xn, yn, zn) = 0. (12)
Поскольку при всех n ∈ N
Ψ(xn, yn, zn) ≥
∣∣∣∣d(yn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
≥ 0
и
Ψ(xn, yn, zn) ≥
∣∣∣∣d(xn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
≥ 0,
из этих неравенств и (12) следует (7), что и доказывает достаточность.
Утверждение доказано.
3. Основные результаты. Нам понадобятся следующие известные результаты из [1, 2, 7].
Утверждение 2 [7, с. 17]. Пусть (X, d) — метрическое пространство, p ∈ X и r̃ =
= {rn}n∈N — нормирующая последовательность. Тогда любое касательное пространство ΩX
p,r̃
является полным.
Утверждение 3 ([2, с. 4], см. также [4, с. 25]). Полное метрическое пространство явля-
ется геодезическим метрическим пространством тогда и только тогда, когда оно срединно
выпукло.
Лемма 1 [1]. Пусть (X, d) — метрическое пространство с отмеченной точкой p, B —
счетное подсемейство X̃, r̃ — нормирующая последовательность и X̃p,r̃ — максимальное са-
мостабильное семейство. Предположим, что неравенство
lim sup
n→∞
d(zn, p)
rn
<∞ (13)
выполняется для любой z̃ = {zn}n∈N ∈ B и предкасательное пространство ΩX
p,r̃ = π(X̃p,r̃)
сепарабельное и касательное. Тогда существует строго возрастающая, бесконечная последо-
вательность {nk}k∈N натуральных чисел такая, что для любой z̃ = {zn}n∈N ∈ B существует
t̃ = {tn}n∈N ∈ X̃p,r̃ такая, что z̃′ = t̃′, т. е равенство
znk
= tnk
(14)
выполняется для любого k ∈ N.
Следующая теорема дает необходимое условие геодезичности сепарабельных касательных
пространств.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1278 В. В. БИЛЕТ
Теорема 1. Пусть (X, d, p) — метрическое пространство с отмеченной точкой p. Если
X является срединно выпуклым в точке p, то любое сепарабельное касательное пространство
ΩX
p,r̃ является геодезическим.
Доказательство. Пусть X — срединно выпукло в точке p, а ΩX
p,r̃ — произвольное сепа-
рабельное касательное пространство. Тогда, в силу утверждений 2 и 3, ΩX
p,r̃ — геодезическое
пространство, если для любых β, γ ∈ ΩX
p,r̃ существует точка θ ∈ ΩX
p,r̃ такая, что
ρ(β, θ) = ρ(γ, θ) =
1
2
ρ(γ, β). (15)
Пусть X̃p,r̃ — максимальное самостабильное семейство, соответствующее ΩX
p,r̃, и x̃, ỹ ∈ X̃p,r̃
такие, что π(x̃) = β, π(ỹ) = γ, β 6= γ, где π — естественная проекция (см. (3)). Необходимо
показать, что существует θ ∈ ΩX
p,r̃, для которого выполнено (15). Пусть z̃ = {zn}n∈N ∈ X̃ —
последовательность точек, для которой выполнены соотношения (5) и (6). Тогда
lim sup
n→∞
∣∣∣∣12d(xn, yn)− d(xn, zn)
∣∣∣∣
rn
=
= lim sup
n→∞
∣∣∣∣12d(xn, yn)− d(xn, zn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
(
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
rn
)
=
=
(
ρ(α, β) ∨ ρ(α, γ)
)
lim
n→∞
∣∣∣∣12d(xn, yn)− d(xn, zn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
= 0, (16)
где α = π(p̃), p̃ = (p, p, . . .) и ρ(α, β) ∨ ρ(α, γ) > 0, так как β 6= γ. Из (16) следует, что
lim
n→∞
1
2
d(xn, yn)− d(xn, zn)
rn
= 0.
Аналогично получаем
lim
n→∞
1
2
d(xn, yn)− d(yn, zn)
rn
= 0.
Следовательно,
lim
n→∞
d(xn, zn)
rn
= lim
n→∞
d(yn, zn)
rn
=
1
2
ρ(β, γ). (17)
Проверим выполнение неравенства (13). В силу неравенства треугольника
d(zn, p) ≤ d(zn, xn) + d(p, xn).
Отсюда, используя (17), имеем
lim sup
n→∞
d(zn, p)
rn
≤ 1
2
ρ(β, γ) + ρ(α, β),
что доказывает (13).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА К МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВАМ 1279
Воспользуемся леммой 1 с B, состоящим из единственного элемента {zn}n∈N. Тогда су-
ществуют строго возрастающая последовательность натуральных чисел {nk}k∈N и последова-
тельность t̃′ = {tnk
}k∈N ∈ X̃p,r̃′ такие, что
tnk
= znk
(18)
для любого k ∈ N. Пусть t̃ ∈ X̃p,r̃ — последовательность, для которой inr̃′(t̃) = t̃′ (см. (3)).
Положим θ = π(t̃). Тогда, используя (17) и (18), получаем
ρ(β, θ) = lim
n→∞
d(xn, tn)
rn
= lim
k→∞
d(xnk
, tnk
)
rnk
= lim
k→∞
d(xnk
, znk
)
rnk
= lim
n→∞
d(xn, zn)
rn
=
1
2
ρ(β, γ).
Аналогично имеем
ρ(γ, θ) =
1
2
ρ(β, γ).
Следовательно,
ρ(β, θ) = ρ(γ, θ) =
1
2
ρ(β, γ),
что и доказывает (15).
Теорема доказана.
Следствие 1. Любое сепарабельное касательное пространство ΩX
p,r̃ является геодезиче-
ским для любого геодезического пространства X и любой точки p ∈ X.
Теорема 2. Пусть (X, d, p) — метрическое пространство с отмеченной точкой p. Если
все предкасательные пространства ΩX
p,r̃ являются геодезическими, то X — срединно выпукло
в точке p.
Доказательство. Пусть все предкасательные пространства ΩX
p,r̃ являются геодезическими,
но X не является пространством, срединно выпуклым в точке p. Тогда, в силу утверждения 1,
lim sup
x,y→p
(
inf
z∈X
Ψ(x, y, z)
)
> 0, (19)
где отображение Ψ: X × X × X → [0,∞] определено формулой (9). В силу (19) найдутся
последовательности x̃ = {xn}n∈N ∈ X̃, ỹ = {yn}n∈N ∈ X̃ и число ε0 > 0, для которых
lim
n→∞
d(xn, p) = lim
n→∞
d(yn, p) = 0, (20)
и
inf
z∈X
Ψ(xn, yn, z) > ε0 (21)
при всех n ∈ N. Последовательности{
d(xn, yn)
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
}
n∈N
,
{
d(xn, p)
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
}
n∈N
,
{
d(yn, p)
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
}
n∈N
являются ограниченными. Переходя к подпоследовательности, можем считать, что все эти
последовательности сходятся. Положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1280 В. В. БИЛЕТ
rn = d(xn, p) ∨ d(yn, p), n ∈ N. (22)
Соотношения (20) и (21) влекут равенство
lim
n→∞
rn = 0 (23)
и неравенство rn > 0 для всех n ∈ N. Действительно, равенство (23) очевидно. Если rn = 0,
то xn = yn = p. Используя (9), получаем Ψ(xn, yn, p) = 0, что противоречит (21). Следова-
тельно, последовательность r̃ = {rn}n∈N можно принять в качестве нормирующей. Выше было
замечено, что последовательности x̃ = {xn}n∈N, ỹ = {yn}n∈N и p̃ = {p, p, . . .} можно выбрать
попарно взаимо стабильными. Пусть X̃p,r̃ — максимальное самостабильное семейство, содер-
жащее x̃ и ỹ, а ΩX
p,r̃ — соответствующее ему предкасательное пространство. По предположению
ΩX
p,r̃ является геодезическим. Следовательно, для точек β = π(x̃) и γ = π(ỹ) найдется θ ∈ ΩX
p,r̃
такая, что
ρ(β, θ) = ρ(γ, θ) =
1
2
ρ(β, γ). (24)
Пусть z̃ = {zn}n∈N — такой элемент из X̃p,r̃, для которого π(z̃) = θ. Равенство (24) можно
представить в виде
lim
n→∞
d(xn, zn)
rn
= lim
n→∞
d(yn, zn)
rn
=
1
2
lim
n→∞
d(xn, yn)
rn
,
откуда получаем
lim
n→∞
d(xn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
rn
= lim
n→∞
d(yn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
rn
= 0,
что дает
lim
n→∞
∣∣∣∣d(xn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣+
∣∣∣∣d(yn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
rn
= 0.
Отсюда, используя (22) и (9), находим
lim
n→∞
Ψ(xn, yn, zn) = 0.
Полученное соотношение противоречит (21). Таким образом, если все ΩX
p,r̃ являются геодези-
ческими, то X срединно выпукло в точке p.
Теорема доказана.
Из теорем 1 и 2 вытекает следующее утверждение.
Следствие 2. Пусть (X, d, p) — метрическое пространство с отмеченной точкой p.
Предположим, что любое предкасательное пространство ΩX
p,r̃ является сепарабельным и ка-
сательным. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) X срединно выпукло в точке p;
(ii) любое ΩX
p,r̃ является геодезическим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА К МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВАМ 1281
Замечание 3. Примеры пространств, все предкасательные к которым являются сепара-
бельными и касательными, можно найти в [5]. Можно показать, что если X — выпуклое под-
множество на плоскости, то любое касательное пространство ΩX
p,r̃ изометрично наименьшему
замкнутому выпуклому конусу с вершиной в точке p, включающему X (см. [6]), а следователь-
но, является геодезическим.
1. Abdullayev F., Dovgoshey O., Küçükaslan M. Compactness and boundedness of tangent spaces to metric spaces //
Beitr. Algebra Geom. – 2010. – 51, № 2. – P. 547 – 576.
2. Bridson M., Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature. – Berlin: Springer-Verlag, 1999. – 645 p.
3. Burago D., Burago Yu., Ivanov S. A course in metric geometry. – Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 2001.
– 496 p.
4. Deza Е., Deza М. Dictionary of distances. – Amsterdam: Elsevier, 2008. – 444 p.
5. Dovgoshey O. Tangent spaces to metric spaces and to their subspaces // Ukr. Math. Bull. – 2008. – 5, № 4. –
P. 459 – 477.
6. Dovgoshey O., Abdullayev F., Küçükaslan M. Tangent metric spaces to starlike sets on the plane // arXiv: 1203.0720
(math. MG).
7. Dovgoshey O., Martio O. Tangent spaces to metric spaces // Repts Math. – 2008. – 480. – 20 p.
8. Dovgoshey O., Martio O. Tangent spaces to general metric spaces // Rev. roum. math. pures et appl. – 2011. – 56,
№ 2. – P. 137 – 155.
Получено 05.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2657 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:44Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0f/d491c16717b5854a8c705bd94395010f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26572020-03-18T19:32:05Z Geodesic spaces tangent to metric spaces Геодезические касательные пространства к метрическим пространствам Bilet, V. V. Билет, В. В. Билет, В. В. We investigate the geometry of spaces tangent and pretangent to general metric spaces with marked point. We find a sufficient condition under which every separable tangent space is geodesic. This condition is almost exact in the sense that it is necessarily satisfied if all spaces pretangent to a given metric space are geodesic. Дослiджується геометрiя дотичних та переддотичних просторiв до загальних метричних просторiв iз вiдмiченою точкою. Знайдено достатню умову, за якою довiльний сепарабельний дотичний простiр є геодезичним. Ця умова є майже точною в тому сенсi, що вона обов’язково виконується, якщо всi переддотичнi простори до даного метричного простору є геодезичними. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2657 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 9 (2012); 1273-1281 Український математичний журнал; Том 64 № 9 (2012); 1273-1281 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2657/2073 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2657/2074 Copyright (c) 2012 Bilet V. V. |
| spellingShingle | Bilet, V. V. Билет, В. В. Билет, В. В. Geodesic spaces tangent to metric spaces |
| title | Geodesic spaces tangent to metric spaces |
| title_alt | Геодезические касательные пространства к метрическим пространствам |
| title_full | Geodesic spaces tangent to metric spaces |
| title_fullStr | Geodesic spaces tangent to metric spaces |
| title_full_unstemmed | Geodesic spaces tangent to metric spaces |
| title_short | Geodesic spaces tangent to metric spaces |
| title_sort | geodesic spaces tangent to metric spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2657 |
| work_keys_str_mv | AT biletvv geodesicspacestangenttometricspaces AT biletvv geodesicspacestangenttometricspaces AT biletvv geodesicspacestangenttometricspaces AT biletvv geodezičeskiekasatelʹnyeprostranstvakmetričeskimprostranstvam AT biletvv geodezičeskiekasatelʹnyeprostranstvakmetričeskimprostranstvam AT biletvv geodezičeskiekasatelʹnyeprostranstvakmetričeskimprostranstvam |