Vibrating Systems with Rigid Light-Weight Inclusions: Asymptotics of the Spectrum and Eigenspaces
We study the asymptotic behavior of the eigenvalues and eigenfunctions of a singularly perturbed boundary-value problem for a second-order elliptic operator. The problem describes the eigenmodes of an elastic system with finite number of stiff light-weight inclusions of arbitrary shape. The leadin...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2661 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508605362470912 |
|---|---|
| author | Holovatyi, Yu. D. Hut, V. M. Головатий, Ю.Д. Гут, В. М. |
| author_facet | Holovatyi, Yu. D. Hut, V. M. Головатий, Ю.Д. Гут, В. М. |
| author_sort | Holovatyi, Yu. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:22Z |
| description | We study the asymptotic behavior of the eigenvalues and eigenfunctions of a singularly perturbed boundary-value problem for a second-order elliptic operator.
The problem describes the eigenmodes of an elastic system with finite number of stiff light-weight inclusions of arbitrary shape.
The leading terms of the asymptotic representation of eigenelements are constructed with regard for their multiplicity.
The justification of the asymptotic formulas is based on the uniform resolvent convergence of a certain family of unbounded self-adjoint operators. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.227; 517.956.8
Ю. Д. Головатий, В. М. Гут (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
КОЛИВНI СИСТЕМИ З ЖОРСТКИМИ ЛЕГКИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ:
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА ТА ВЛАСНИХ ПРОСТОРIВ
We study the asymptotic behavior of the eigenvalues and eigenfunctions of a singularly perturbed boundary-value problem
for a second-order elliptic operator. The problem describes the eigenmodes of an elastic system with finite number of
stiff light-weight inclusions of arbitrary shape. The leading terms of the asymptotic representation of eigenelements are
constructed with regard for their multiplicity. The justification of the asymptotic formulas is based on the uniform resolvent
convergence of a certain family of unbounded self-adjoint operators.
Изучено асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций сингулярно возмущенной кра-
евой задачи для эллиптического оператора второго порядка. Задача моделирует собственные колебания упругой
системы с конечным числом жестких и одновременно легких включений произвольной формы. Найдены глав-
ные члены асимптотики собственных элементов с учетом их кратности. Обоснование асимптотических формул
базируется на равномерной резольвентной сходимости некоторого семейства неограниченных самосопряженных
операторов.
1. Вступ. Створення нових матерiалiв iз наперед заданими властивостями та їхнє промислове
використання є основною метою багатьох сучасних технологiй. В останнi сорок рокiв особли-
во широкого застосування набули рiзноманiтнi композитнi матерiали, яким властива сильна
неоднорiднiсть фiзичних характеристик. Це дало поштовх до появи i активного розвитку мате-
матичної теорiї сильно неоднорiдних середовищ. Однi з перших фундаментальних дослiджень
таких математичних проблем належать вiтчизняним математикам В. О. Марченку та Є. Я. Хрус-
лову [1]. Огляд досягнень теорiї усереднення диференцiальних операторiв та асимптотичних
методiв для сингулярно збурених крайових задач з достатньо повною бiблiографiєю можна
знайти у монографiях [2 – 7].
Механiчнi процеси в композитах моделюють крайовими задачами для диференцiальних
операторiв, де коефiцiєнти при старших похiдних за просторовими змiнними вiдповiдають за
жорсткiсть матерiалу, а коефiцiєнт при найстаршiй часовiй похiднiй у динамiчнiй задачi чи
при спектральному параметрi в стацiонарнiй — за розподiл маси середовища. В залежностi вiд
типу композитного матерiалу деякi з цих коефiцiєнтiв, чи всi одночасно, можуть сингулярно
залежати вiд малого параметра (перiодичнiсть iз малим перiодом, рiзка змiна значень у рiзних
пiдобластях). Задачi з швидкозмiнним коефiцiєнтом жорсткостi, що описують так звану мо-
дель подвiйної пористостi, вивчено в [8 – 10]. Також вивчали моделi iз скiнченною кiлькiстю
жорстких включень [11 – 14]. Велику кiлькiсть робiт присвячено коливним системам iз кон-
центрованими масами (див., зокрема, [15 – 18], а також огляд результатiв у [19]). Властивостi
механiчних систем з масами, якi концентруються в околi одновимiрних многовидiв, описано в
[20, 21].
У [22, 23] дослiджено моделi середовищ складної геометрiї з одночасним збурення як гу-
стини маси, так i жорсткостi. В цих моделях вважалось, що композит утворений з традицiйних
матерiалiв, коли жорсткiший матерiал має бiльшу густину маси. В останнi роки кiлька провiд-
них наукових центрiв свiту проводять експерименти з метою створення надмiцних i водночас
дуже легких матерiалiв на основi вуглецевих нанотрубок1. За прогнозами фахiвцiв новий ма-
1Carbon nanotubes http://en.wikipedia.org/wiki/Carbon_nanotube.
c© Ю. Д. ГОЛОВАТИЙ, В. М. ГУТ, 2012
1314 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
КОЛИВНI СИСТЕМИ З ЖОРСТКИМИ ЛЕГКИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ: АСИМПТОТИКА СПЕКТРА . . . 1315
терiал з вуглецевих волокон буде у 100 разiв мiцнiшим за сталь i майже у 50 разiв легшим.
Використання таких матерiалiв поряд iз традицiйними приведе до появи конструкцiй iз силь-
но контрастними фiзичними властивостями. Одновимiрнi моделi таких контрастних структур
розглядали в [24, 25].
У цiй статтi ми вивчатимемо спектральнi властивостi композитного середовища (мембрана,
пружне тiло), яке мiстить скiнченну кiлькiсть надмiцних легких включень довiльної форми.
Спiввiдношення коефiцiєнтiв жорсткостi включень та „матрицi” буде порядку ε−1 при ε → 0,
а спiввiдношення густин маси — порядку εκ, κ > 0. Дослiджуватимемо асимптотичну пове-
дiнку власних значень та власних функцiй елiптичної крайової задачi iз сингулярно збуреними
коефiцiєнтами. Основним результатом статтi є теореми збiжностi для спектра та власних пiд-
просторiв, коли параметр ε прямує до нуля. Гранична задача, яка виникає при дослiдженнi,
мiстить iнтегральну крайову умову, i їй вiдповiдає одне з некласичниx самоспряжених розши-
рень елiптичного оператора другого порядку в обмеженiй областi.
2. Формулювання задачi. Нехай Ω — обмежена область в Rd, d > 2, а ω — її строго
внутрiшня вiдкрита пiдмножина. Межi ∂Ω та ∂ω є гладкими. Множина ω може мати скiнченну
кiлькiсть компонент зв’язностi (див. рисунок). Нехай також Ω0 = Ω \ ω, тодi ∂Ω0 = ∂Ω ∪ ∂ω.
Для кожного ε ∈ (0, 1) введемо функцiї
aε(x) =
{
εa(x), x ∈ Ω0,
α(x), x ∈ ω,
rε(x) =
{
r(x), x ∈ Ω0,
εκρ(x), x ∈ ω,
де a, α, r та ρ є неперервними i додатними на замиканнi своїх областей визначення, а κ —
додатне число.
Вивчатимемо поведiнку при ε → 0 власних значень λε та власних функцiй uε крайової
задачi
−div(aε∇uε) = λεrεu
ε в Ω, uε = 0 на ∂Ω. (2.1)
На поверхнi ∂ω контакту двох середовищ вимагатимемо виконання умов спряження[
uε
]
∂ω
= 0,
[
aε ∂νu
ε
]
∂ω
= 0, (2.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1316 Ю. Д. ГОЛОВАТИЙ, В. М. ГУТ
де ∂ν — похiдна вздовж векторного поля нормалей на ∂ω, зорiєнтованих у напрямку ω, а
[
·
]
∂ω
— стрибок функцiї при переходi через поверхню ∂ω.
При кожному ε ∈ (0, 1) задача (2.1), (2.2) є стандартною спектральною задачею з дискрет-
ним додатним спектром. Перенумеруємо власнi значення задачi з урахуванням кратностi
0 < λε1 < λε2 6 . . . 6 λεn 6 . . .→∞, n→∞.
Власнi функцiї {uεn}∞n=1 можна вибрати так, що вони утворюватимуть ортонормовану базу у
ваговому просторi L2(rε,Ω) зi скалярним добутком
(u, v)ε =
∫
Ω
rεuv dx =
∫
Ω0
ruv dx+ εκ
∫
ω
ρuv dx
та нормою ‖u‖ε = (u, u)
1/2
ε .
3. Властивостi власних значень збуреної задачi та їхня формальна асимптотика. Через
Hs(Ω) позначатимемо простори С. Л. Соболєва, а через H1
0 (Ω) — пiдпростiр функцiй з H1(Ω),
якi дорiвнюють нулю на межi ∂Ω. Введемо квадратичну форму
bε[u] =
∫
Ω
aε|∇u|2 dx = ε
∫
Ω0
a|∇u|2 dx+
∫
ω
α|∇u|2 dx, u ∈ H1
0 (Ω).
Найпростiшi властивостi власних значень збуреної задачi як функцiй параметра ε виплива-
ють безпосередньо з варiацiйного принципу Куранта.
Лема 3.1. Власнi значення λεn є неперервними функцiями змiнної ε ∈ (0, 1). Кожне власне
значення задовольняє оцiнку cε 6 λεn 6 cnε, де сталi c i cn не залежать вiд ε.
Доведення. Вiдомо, що
λεn = inf
En
sup
u∈En\{0}
bε[u]
‖u‖2ε
,
де iнфiмум беруть за всiма n-вимiрними пiдпросторами En в H1
0 (Ω). Неперервнiсть власних
значень у кожнiй точцi iнтервалу (0, 1) випливає з неперервностi на кожному вiдрiзку [ε1, ε2] ⊂
⊂ (0, 1) квадратичних форм bε[u] i ‖u‖2ε щодо ε, яка є рiвномiрною на кожнiй обмеженiй
множинi з H1
0 (Ω). Справдi, iснує така стала m = m(ε1, ε2), що∣∣bε[u]− bε′ [u]
∣∣+
∣∣‖u‖2ε − ‖u‖2ε′∣∣ 6 m |εγ − ε′γ | ‖u‖2H1
0 (Ω), γ = min{1,κ},
для всiх ε i ε′ з вiдрiзка [ε1, ε2].
Далi,
λε1 = inf
u∈H1
0 (Ω)
bε[u]
‖u‖2ε
> ε inf
u∈H1
0 (Ω)
∫
Ω0
a|∇u|2 dx+
∫
ω α|∇u|
2 dx∫
Ω0
r|u|2 dx+
∫
ω ρ|u|2 dx
= ελ1
1,
де λ1
1 — перше власне значення задачi (2.1), (2.2) при ε = 1. Отже, λεn > ελ1
1 для всiх ε ∈ (0, 1)
та n ∈ N.
Тепер розглянемо допомiжну спектральну задачу −div(a∇v) = ηrv в Ω0, v = 0 на ∂Ω0.
Нехай v1, . . . , vn — її власнi функцiї, що вiдповiдають першим n власним значенням η1, . . . , ηn,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
КОЛИВНI СИСТЕМИ З ЖОРСТКИМИ ЛЕГКИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ: АСИМПТОТИКА СПЕКТРА . . . 1317
а Pn ⊂ H1
0 (Ω) — лiнiйна оболонка цих власних функцiй, продовжених нулем на всю область
Ω. Тодi
λεn 6 sup
u∈Pn\{0}
bε[u]
‖u‖2ε
= ε sup
u∈Pn\{0}
∫
Ω0
a|∇u|2 dx∫
Ω0
r|u|2 dx
= εηn,
що завершує доведення.
Побудуємо головнi члени формальної асимптотики власних значень та власних функцiй,
щоб отримати задачу, яка далi вiдiграватиме роль граничної. Врахувавши лему 3.1, наближення
власного значення виберемо так: λε ∼ εµ + o(ε), а власної функцiї — uε ∼ u + o(ε) в Ω0 та
uε ∼ w + εw1 + o(ε) в ω. Тодi з (2.1) та (2.2) отримаємо рiвностi
−div(a∇u) = µru в Ω0, u = 0 на ∂Ω, (3.1)
u = w на ∂ω, (3.2)
div(α∇w) = 0 в ω, ∂νw = 0 на ∂ω, (3.3)
div(α∇w1) = 0 в ω, α ∂νw1 = a ∂νu на ∂ω. (3.4)
Нехай область ω має K компонент зв’язностi: ω =
⋃K
k=1 ωk. Розв’язок задачi Неймана
(3.3) є сталою функцiєю на кожнiй з цих компонент, а значення сталих на ωk можна вибирати
незалежно. Отже, задача має нульове власне значення кратностi K. Тодi згiдно з альтернативою
Фредгольма розв’язок w1 неоднорiдної задачi (3.4) iснуватиме при виконаннi умов∫
∂ωk
a ∂νu ds = 0, k = 1, . . . ,K, (3.5)
де ds — елемент поверхнi. Врахувавши (3.1), (3.2), отримаємо спектральну задачу
−div(a∇u) = µru в Ω0, u = 0 на ∂Ω,
u — стала на ∂ωk,
∫
∂ωk
a ∂νu ds = 0, k = 1, . . . ,K.
(3.6)
Зауважимо, що сталi, яких набуває функцiя u на межах ∂ωk, є невiдомими. Така задача з
iнтегральними крайовими умовами, яку надалi називатимемо граничною, виникає в механiцi та
задачах електростатики [5, с.105; 26, с.70].
Отже, формальнi мiркування вказують на те, що власнi значення збуреної задачi (2.1),
(2.2) матимуть асимптотику λεn = εµn + o(ε) при ε → 0, де µn — власне значення задачi
(3.6), а власнi функцiї uεn збiгатимуться до власних функцiй задачi (3.6), якi за неперервнiстю
продовженi сталими в областi ωk. Доведенню цього факту присвячено наступнi пункти.
4. Операторне формулювання збуреної та граничної задач. Уведемо у просторi L2(rε,Ω)
самоспряжений оператор Aε = − 1
rε
div(aε∇ ·) з областю визначення
D(Aε) =
{
u ∈ H2(Ω \ ∂ω) : u = 0 на ∂Ω, [u]∂ω = 0, [aε ∂νu]∂ω = 0
}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1318 Ю. Д. ГОЛОВАТИЙ, В. М. ГУТ
який вiдповiдає задачi (2.1), (2.2). Гранична ж задача (3.6) породжує в L2(r,Ω0) оператор
T = −1
r
div(a∇·) з областю визначення
D(T ) =
v ∈ H2(Ω0) : v = 0 на ∂Ω, v — стала на ∂ωk,
∫
∂ωk
a ∂νv ds = 0, k = 1, . . . ,K
.
Нашою метою є доведення близькостi спектрiв операторiв Aε та T . Проте вони дiють у рiзних
функцiональних просторах, що створює додатковi проблеми. Тому поставимо у вiдповiднiсть
задачi (2.1), (2.2) iнший оператор, а точнiше сiм’ю операторiв, що дiятимуть, як i оператор T,
у просторi L2(r,Ω0).
Якщо θ не є власним значенням задачi Дiрiхле
−div(α∇u) = θρu в ω, u = 0 на ∂ω, (4.1)
то для кожного ϕ ∈ H3/2(∂ω) неоднорiдна задача −div(α∇v) = θρv в ω, v = ϕ на ∂ω
має єдиний розв’язок v ∈ H2(ω) i коректно визначену нормальну похiдну ∂νv ∈ H1/2(∂ω).
Введемо оператор Дiрiхле – Неймана Λ(θ) : H3/2(∂ω)→ H1/2(∂ω),що дiє за правилом Λ(θ)ϕ =
= −α∂νv. Знак мiнус взято, щоб узгодити означення цього оператора iз загальноприйнятим
[27, с.127], оскiльки нормаль ν зорiєнтовано всередину множини ω. Вiдомо [28], що таке вiдо-
браження допускає неперервне продовження Λ(θ) : H1/2(∂ω)→ H−1/2(∂ω), яке для дiйсних θ
є самоспряженим оператором.
Виконаємо у рiвняннi (2.1) замiну спектрального параметра λε = εµε. Нехай λεn = εµεn
— власне значення задачi (2.1), (2.2) з власною функцiєю uεn. Звуження функцiї uεn на ω є
розв’язком задачi Дiрiхле
−div(α∇v) = ε1+κµεnρv в ω, v = ψ на ∂ω,
з ψ = uεn. Використавши оператор Дiрiхле – Неймана, другу з умов спряження (2.2) можна
записати так: Λ(ε1+κµεn)uεn = −εa ∂νuεn. Тому µεn i звуження uεn на Ω0 є власним значенням та
власною функцiєю задачi
−div(a∇u) = µru в Ω0, u = 0 на ∂Ω, (Λ(ε1+κµ) + εa ∂ν)u = 0 на ∂ω (4.2)
з нелiнiйною залежнiстю вiд µ. Нижче в лемi 4.2 ми конкретизуємо, в якому сенсi розумiтимемо
еквiвалентнiсть задач (2.1), (2.2) та (4.2).
У просторi L2(r,Ω0) введемо сiм’ю операторiв Tε(µ) = −1
r
div(a∇ ·) з областю визначення
D(Tε(µ)) =
{
v ∈ H2(Ω0) : v = 0 на ∂Ω, (Λ(ε1+κµ) + εa∂ν)v = 0 на ∂ω
}
.
Нехай Ξ = {(ε, µ) ∈ (0, 1)×R : ε1+κµ < λ1}, де λ1 — найменше власне значення задачi Дiрiхле
(4.1). Оператори Tε(µ) коректно визначено для ε та µ з множини Ξ, а задачу (4.2) тепер можна
записати у виглядi операторного рiвняння (Tε(µ)− µ)u = 0.
Лема 4.1. Оператор Tε(µ) є самоспряженим i має компактну резольвенту для кожної
пари (ε, µ) ∈ Ξ. Такими ж властивостями володiє оператор T .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
КОЛИВНI СИСТЕМИ З ЖОРСТКИМИ ЛЕГКИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ: АСИМПТОТИКА СПЕКТРА . . . 1319
Доведення. З урахуванням самоспряженостi оператора Λ(θ) для всiх u ∈ D(Tε(µ)) та
v ∈ H2(Ω0) маємо
(Tε(µ)u, v)L2(r,Ω0) = −
∫
Ω0
div(a∇u) v̄ dx =
= −
∫
Ω0
u div(a∇v̄) dx−
∫
∂Ω
a∂νu v̄ ds+
1
ε
∫
∂ω
u (Λ(ε1+κµ) + εa∂ν)v̄ ds.
Тому дiя операторiв Tε(µ) i T ∗ε (µ) є однаковою, а максимальний клас функцiй v, для яких
виконується тотожнiсть (Tε(µ)u, v)L2(r,Ω0) = (u, T ∗ε (µ)v)L2(r,Ω0), збiгається з D(Tε(µ)). Отже,
T ∗ε (µ) = Tε(µ).
Далi, для довiльних u ∈ D(T ) i v ∈ H2(Ω0) iнтегрування частинами дає
(Tu, v)L2(r,Ω0) = −
∫
Ω0
div(a∇u) v̄ dx = −
∫
Ω0
u div(a∇v̄) dx−
−
∫
∂Ω
a ∂νu v̄ ds−
∫
∂ω
a ∂νu v̄ ds+
∫
∂ω
au ∂ν v̄ ds. (4.3)
Щоб позбутися поверхневих iнтегралiв, передусiм покладемо v = 0 на ∂Ω. Другий поверхневий
iнтеграл в (4.3) буде нульовим для всiх u ∈ D(T ), лише коли функцiя v є сталою на кожнiй з
меж ∂ωk. Далi, ∫
∂ω
au ∂ν v̄ ds = g1(u)
∫
∂ω1
a∂ν v̄ ds+ . . .+ gK(u)
∫
∂ωK
a∂ν v̄ ds, (4.4)
де gk : D(T ) → C — лiнiйнi неперервнi функцiонали такi, що u = gk(u) на кожнiй iз меж
∂ωk. Функцiонали gk лiнiйно незалежнi, оскiльки для довiльного набору сталих β1, . . . , βK
iснує функцiя h з D(T ) така, що h = βk на ∂ωk. Тому лiнiйна комбiнацiя (4.4) дорiвнюватиме
нулю для всiх u ∈ D(T ) лише тодi, коли всi iнтеграли у правiй частинi є нулями. Отже,
D(T ∗) = D(T ), а оператор T є самоспряженим.
Доведення компактностi резольвент операторiв Tε(µ) i T є стандартним i випливає з ком-
пактностi вкладення H2(Ω0) ⊂ L2(Ω0).
Лему 4.1 доведено.
Наслiдок 4.1. Спектр граничної задачi (3.6) є дiйсним i дискретним. Всi власнi значення
є додатними i мають скiнченну кратнiсть.
Для доведення наслiдку залишилось зауважити, що оператор T є додатним. Справдi,
(Tu, u)L2(r,Ω0) =
∫
Ω0
a|∇u|2 dx > 0
для всiх ненульових u ∈ D(T ).
Причиною необоротностi оператора Tε(µ)−µ для (ε, µ) ∈ Ξ може бути лише нетривiальне
скiнченновимiрне ядро задачi (4.2). Тому число µε називатимемо власним значенням задачi
(4.2), якщо µε належить спектру оператора Tε(µε).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1320 Ю. Д. ГОЛОВАТИЙ, В. М. ГУТ
Лема 4.2. Нехай λεn — власнi значення задачi (2.1), (2.2) з власними функцiями uεn. Для
кожного натурального N i достатньо малих ε числа
ε−1λε1, . . . , ε
−1λεN (4.5)
є власними значеннями задачi (4.2) з власними функцiями uε1|Ω0 , . . . , u
ε
N |Ω0 вiдповiдно. Крiм
того, на iнтервалi (−∞, ε−1λεN ] задача (4.2) не має iнших власних значень.
Доведення. Нехай µεn = ε−1λεn. Оператори Λε(ε
1+κµεn) визначено для всiх n 6 N, оскiльки
за лемою 3.1 величини ε1+κµεn при малих ε є меншими за перше власне значення задачi (4.1).
Тодi, як доведено вище, кожне з чисел µεn є власним значенням задачi (4.2), а вiдповiднi власнi
функцiї є звуженням власних функцiй збуреної задачi на область Ω0.
Нехай тепер µε — власне значення задачi (4.2) з iнтервалу (−∞, µεN ], а vε — вiдповiдна
власна функцiя. Функцiю vε можна продовжити на область Ω розв’язком задачi −div(α∇wε) =
= ε1+κµερwε в ω, wε = vε на ∂ω. Покладемо
uε(x) =
{
vε(x), x ∈ Ω0,
wε(x), x ∈ ω.
Тодi εµε є власним значенням задачi (2.1), (2.2) з власною функцiєю uε. Справдi, uε задовольняє
другу умову спряження (2.2), бо α∂νwε = −Λε(ε
1+κµε)vε = εa ∂νv
ε. Отже, µε є одним iз чисел
(4.5).
5. Рiвномiрна резольвентна збiжнiсть сiм’ї операторiв Tε(µ). Доведення основного
результату про асимптотичну поведiнку спектра та власних пiдпросторiв збуреної задачi (2.1)
базується на такiй теоремi.
Теорема 5.1. Для кожного дiйсного числа µ сiм’я операторiв Tε(µ) збiгається при ε→ 0
до оператора T в сенсi рiвномiрної резольвентної збiжностi.
Для довiльної функцiї f ∈ L2(Ω0) розглянемо резольвентнi рiвняння
(Tε(µ) + i)vε = f, (T + i)v = f,
де i2 = −1. Функцiї vε та v є розв’язками крайових задач
−div(a∇vε) + irvε = rf в Ω0,
vε = 0 на ∂Ω, (Λ(ε1+κµ) + εa ∂ν)vε = 0 на ∂ω;
(5.1)
−div(a∇v) + irv = rf в Ω0,
v = 0 на ∂Ω, v — стала на ∂ωk,
∫
∂ωk
a∂νv ds = 0,
(5.2)
де k = 1, . . . ,K. Обидва розв’язки vε та v належать просторуH2(Ω0), проте гранична поведiнка
послiдовностi vε при ε→ 0 у просторах Соболєва вимагає додаткового дослiдження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
КОЛИВНI СИСТЕМИ З ЖОРСТКИМИ ЛЕГКИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ: АСИМПТОТИКА СПЕКТРА . . . 1321
Використавши означення оператора Дiрiхле – Неймана, функцiю vε можна продовжити на
всю область Ω як розв’язок крайової задачi
− div(a∇vε) + irvε = rf в Ω0, (5.3)
− div(α∇vε) = ε1+κµρvε в ω, (5.4)
vε = 0 на ∂Ω, [vε]∂ω = 0, [aε ∂νvε]∂ω = 0, (5.5)
зберiгши для продовження це ж саме позначення. Нехай
〈u〉ωk
=
1
|ωk|
∫
ωk
u dx
— середнє значення функцiї u в областi ωk.
Лема 5.1. Для розв’язку vε задачi (5.1) при малих ε виконуються оцiнки
‖vε‖H1(Ω0) 6 C1‖f‖L2(Ω0), (5.6)
‖vε − 〈vε〉ωk
‖H1/2(∂ωk) 6 C2
√
ε ‖f‖L2(Ω0), (5.7)
де k = 1, . . . ,K. Сталi C1 та C2 не залежать вiд ε та f .
Доведення. Домножимо рiвняння (5.3) на εv̄ε, рiвняння (5.4) на v̄ε i зiнтегруємо частинами:∫
ω
α |∇vε|2 dx+ ε
∫
Ω0
a |∇vε|2 dx+ i ε
∫
Ω0
r |vε|2 dx = ε1+κµ
∫
ω
ρ |vε|2 dx+ ε
∫
Ω0
rf v̄ε dx.
Для vε виконується нерiвнiсть Фрiдрiхса ‖vε‖L2(Ω) 6 c0‖∇vε‖L2(Ω), тому дiйсну частину виразу
злiва можна оцiнити так:∫
ω
α |∇vε|2 dx+ ε
∫
Ω0
a |∇vε|2 dx 6 ε1+κ|µ|ρ∗
∫
ω
|vε|2 dx+ εr∗
∫
Ω0
|f | |vε| dx 6
6 c2
0 ε(ε
κ|µ|ρ∗ + δr∗) ‖∇vε‖2L2(Ω) +
εr∗
4δ
‖f‖2L2(Ω0), (5.8)
де ρ∗ = supω ρ, r
∗ = supΩ0
r, а δ — довiльне додатне число. Ввiвши також позначення a∗ =
= infΩ0 a та α∗ = infω α, з останньої нерiвностi отримаємо(
α∗ − ε c(ε, δ)
)
‖∇vε‖2L2(ω) + ε
(
1− c(ε, δ)
)
‖∇vε‖2L2(Ω0) 6
εr∗
4δ
‖f‖2L2(Ω0),
де c(ε, δ) = c2
0(εκ|µ|ρ∗+δr∗). Для малих ε i δ обидва доданки у лiвiй частинi будуть додатними,
тому
‖∇vε‖L2(Ω0) 6 c1 ‖f‖L2(Ω0), (5.9)
‖∇vε‖L2(ω) 6 c2
√
ε ‖f‖L2(Ω0), (5.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1322 Ю. Д. ГОЛОВАТИЙ, В. М. ГУТ
де сталi c1 та c2 не залежать вiд ε та f . Зокрема, виконується i нерiвнiсть
‖vε‖H1(Ω) 6 c3 ‖f‖L2(Ω0). (5.11)
З (5.9) та нерiвностi Фрiдрiхса випливає оцiнка (5.6).
Далi, з нерiвностi Пуанкаре та оцiнки (5.10) маємо
‖vε − 〈vε〉ωk
‖L2(ωk) 6 c4‖∇vε‖L2(ωk) 6 c5
√
ε ‖f‖L2(Ω0), k = 1, . . . ,K.
Тому ‖vε − 〈vε〉ωk
‖H1(ωk) 6 c6
√
ε ‖f‖L2(Ω0). Нерiвностi (5.7) є наслiдком неперервностi опера-
торiв слiду γk : H1(ωk)→ H1/2(∂ωk).
Лему 5.1 доведено.
Вивчимо поведiнку нормальної похiдної vε на межi ∂ω. Введемо простiр
H1(Ω0, ∂Ω) =
{
u ∈ H1(Ω0) : u = 0 на ∂Ω
}
.
Нехай P — елiптичний диференцiальний оператор другого порядку з неперервними i обмежени-
ми коефiцiєнтами в областi Ω0, а простiр H1
P (Ω0) =
{
u ∈ H1(Ω0, ∂Ω): Pu ∈ H−1
0 (Ω0)
}
осна-
щений нормою графiка ‖u‖H1
P (Ω0) = ‖u‖H1(Ω0) +‖Pu‖H−1
0 (Ω0). Тут H−1
0 (Ω0) — спряжений про-
стiр до H1(Ω0) щодо скалярного добутку в L2(Ω0). Через 〈h, ψ〉∂ω позначатимемо дiю функцiо-
нала h ∈ H−1/2(∂ω) на функцiях ψ ∈ H1/2(∂ω). Нехай Z : H1/2(∂ω) → H1(Ω0, ∂Ω) — непе-
рервний оператор продовження, тобто правий обернений до оператора слiду γ1 : H1(Ω0, ∂Ω)→
→ H1/2(∂ω).
Нехай далi P = −div(a∇·) + i r. Вiдомо [29, с.197], що для u ∈ H1
P (Ω0) вiдображення
H1/2(∂ω) 3 ψ 7→ 〈τu, ψ〉∂ω =
∫
Ω0
a∇u∇Zψ dx+ i
∫
Ω0
ruZψ dx−
∫
Ω0
rfZψ dx
задає лiнiйний неперервний функцiонал τu на H1/2(∂ω) такий, що τu = a∂νu|∂ω для u ∈
∈ H2(Ω0). Крiм того, вiдображення τ : H1
P (Ω0)→ H−1/2(∂ω) є неперервним. Зауважимо також,
що τ не залежить вiд вибору оператора Z.
Лема 5.2. Iснують не залежнi вiд ε та f сталi C3 та C4 такi, що
‖a∂νvε‖H−1/2(∂ω) 6 C3 ‖f‖L2(Ω0), (5.12)∣∣∣∣∣∣∣
∫
∂ωk
a∂νvε ds
∣∣∣∣∣∣∣ 6 C4ε
κ ‖f‖L2(Ω0) (5.13)
для всiх k = 1, . . . ,K, де слiд нормальної похiдної vε на ∂ωk взято з боку областi Ω0.
Доведення. Розв’язок vε задачi (5.1), як елемент H2(Ω0), належить H1
P (Ω0), а τvε =
= a∂νvε|∂ω. З леми 5.1 та неперервностi вкладення L2(Ω0) ⊂ H−1
0 (Ω0) матимемо
‖vε‖H1
P (Ω0) = ‖vε‖H1(Ω0) + ‖f‖H−1
0 (Ω0) 6 c1 ‖f‖L2(Ω0),
де стала c1 не залежить вiд ε та f . З неперервностi τ отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
КОЛИВНI СИСТЕМИ З ЖОРСТКИМИ ЛЕГКИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ: АСИМПТОТИКА СПЕКТРА . . . 1323
‖a∂νvε‖H−1/2(∂ω) = ‖τvε‖H−1/2(∂ω) 6 ‖τ‖ ‖vε‖H1
P (Ω0) 6 C3 ‖f‖L2(Ω0).
Далi, зiнтегруємо частинами рiвняння (5.4) на компонентi зв’язностi ωk:∫
∂ωk
Λ(ε1+κµ)vε ds = −ε1+κµ
∫
ωk
ρ vε dx.
Звiдси та з (5.11) випливає оцiнка∣∣∣∣∣∣∣
∫
∂ωk
Λ(ε1+κµ)vε ds
∣∣∣∣∣∣∣ 6 c2ε
1+κ|µ| ‖vε‖L2(ωk) 6 c3ε
1+κ ‖vε‖L2(Ω) 6 C4ε
1+κ ‖f‖L2(Ω0).
Залишилося зауважити, що Λ(ε1+κµ)vε = −εa∂νvε на кожнiй iз меж ∂ωk.
Лему 5.2 доведено.
Доведення теореми 5.1. Рiзниця wε = vε − v розв’язкiв задач (5.1) та (5.2) задовольняє
рiвняння −div(a∇wε) + irwε = 0 в Ω0 та однорiднi умови wε = 0 на ∂Ω. Тому∫
Ω0
(
a|∇wε|2 + ir|wε|2
)
dx =
∫
∂ω
a∂νwε w̄ε ds =
=
∫
∂ω
a∂νvε v̄ε ds−
∫
∂ω
a∂νv v̄ε ds−
∫
∂ω
a∂νvε v̄ ds. (5.14)
Нагадаємо, що
∫
∂ω
a∂νv v̄ ds = 0 з огляду на крайовi умови задачi (5.2).
Оцiнимо поверхневi iнтеграли в (5.14). Розв’язок задачi (5.2) справджує нерiвнiсть
‖v‖H2(Ω0) 6 c1‖f‖L2(Ω0). (5.15)
Скористаємося функцiоналами gk, введеними в доведеннi леми 4.1:∫
∂ω
a∂νvε v̄ ds = g1(v)
∫
∂ω1
a∂νvε ds+ . . .+ gK(v)
∫
∂ωK
a∂νvε ds.
З (5.15) випливають оцiнки |gk(v)| 6 c2‖f‖L2(Ω0). Врахувавши (5.13), матимемо∣∣∣∣∣∣
∫
∂ω
a∂νvε v̄ ds
∣∣∣∣∣∣ 6 c3ε
κ ‖f‖2L2(Ω0). (5.16)
Далi, з лем 5.1, 5.2 та очевидних нерiвностей |〈vε〉ωk
| 6 c4‖f‖L2(Ω0) отримаємо∣∣∣∣∣∣
∫
∂ω
a∂νvε v̄ε ds
∣∣∣∣∣∣ 6
K∑
k=1
∣∣∣∣∣∣∣
∫
∂ωk
a∂νvε v̄ε ds
∣∣∣∣∣∣∣ 6
6
K∑
k=1
∣∣∣∣∣∣∣
∫
∂ωk
a∂νvε
(
v̄ε − 〈v̄ε〉ωk
)
ds
∣∣∣∣∣∣∣+
K∑
k=1
|〈vε〉ωk
|
∣∣∣∣∣∣∣
∫
∂ωk
a∂νvε ds
∣∣∣∣∣∣∣ 6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1324 Ю. Д. ГОЛОВАТИЙ, В. М. ГУТ
6
K∑
k=1
‖a∂νvε‖H−1/2(∂ωk)‖vε − 〈vε〉ωk
‖H1/2(∂ωk) + c5ε
κ ‖f‖2L2(Ω0) 6 c6ε
γ ‖f‖2L2(Ω0),
де γ = min{1/2,κ}. Аналогiчно, взявши до уваги (5.15), матимемо∣∣∣∣∣∣
∫
∂ω
a∂νv v̄ε ds
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
K∑
k=1
∫
∂ωk
a∂νv
(
v̄ε − 〈v̄ε〉ωk
)
ds
∣∣∣∣∣∣∣ 6
6
K∑
k=1
‖a∂νv‖H−1/2(∂ωk)‖vε − 〈vε〉ωk
‖H1/2(∂ωk) 6 c7
√
ε ‖f‖2L2(Ω0). (5.17)
Отже, повертаючись до (5.14), з (5.16), (5.17) одержуємо∣∣∣∣∣∣
∫
Ω0
(
a|∇wε|2 + i r|wε|2
)
dx
∣∣∣∣∣∣ 6 c8ε
γ ‖f‖2L2(Ω0).
Звiдси ‖wε‖L2(Ω0) = ‖vε − v‖L2(Ω0) 6 c9ε
γ/2 ‖f‖L2(Ω0), що рiвносильно нерiвностi∥∥(Tε(µ) + i)−1 − (T + i)−1
∥∥ 6 c9ε
γ/2,
оскiльки всi сталi ck у цьому доведеннi не залежали вiд ε та f . З останньої нерiвностi випливає
рiвномiрна збiжнiсть резольвент (Tε(µ)−ζ)−1 → (T −ζ)−1 для всiх ζ з резольвентної множини
оператора T [30] (теорема VIII.19).
Теорему 5.1 доведено.
Наслiдок 5.1. Нехай {µε}ε∈(0,1) — обмежена послiдовнiсть. Тодi сiм’я операторiв Tε(µε)
збiгається при ε→ 0 до оператора T в сенсi рiвномiрної резольвентної збiжностi.
Доведення. Оцiнки розв’язку vε, отриманi в лемах 5.1 та 5.2, залишаються правильними i
тодi, коли в рiвняннi (5.4) число µ замiнити обмеженою послiдовнiстю µε.
6. Збiжнiсть спектра та власних пiдпросторiв збуреної задачi. Нехай H — гiльбертiв
простiр зi скалярним добутком (·, ·) та нормою ‖ · ‖, а B — самоспряжений оператор в H з
областю визначення D(B).
Означення 6.1. Квазiмодою з похибкою δ для оператора B будемо називати таку пару
(µ, v) ∈ R×D(B), що ‖Bv − µv‖ 6 δ i ‖v‖ = 1.
Якщо квазiмода має похибку δ = 0, то µ — власне значення, а v — нормована власна функцiя
оператора B. Якщо ж δ > 0 i на вiдрiзку [µ − δ, µ + δ] оператор B має дискретний спектр, то
цей вiдрiзок мiстить принаймнi одне власне значення оператора B [31].
Означення 6.2. Нехай (µ, v1), . . . , (µ, vN ) — квазiмоди оператора B. Говоритимемо, що
вони утворюють сiм’ю квазiмод з похибкою δ та вiдхиленням вiд ортогональностi τ, якщо
‖Bvj − µvj‖ 6 δ та |(vj , vk)− δjk| 6 τ для всiх j, k = 1, . . . , N, де δjk — символ Кронекера.
Твердження 6.1 [32]. Нехай {(µ, vj)}Nj=1 — сiм’я квазiмод оператора B з похибкою δ
та вiдхиленням вiд ортогональностi τ, а також для деякого h > 0 спектр B на вiдрiзку
[µ−h, µ+h] є лише дискретним. Якщо δh−1+τ < N−1, то операторB на вiдрiзку [µ−h, µ+h]
має власнi значення сумарної кратностi не менше N .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
КОЛИВНI СИСТЕМИ З ЖОРСТКИМИ ЛЕГКИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ: АСИМПТОТИКА СПЕКТРА . . . 1325
6.1. Збiжнiсть власних значень. Покажемо, що спектр задачi (3.6) описує асимптотичну
поведiнку в головному при ε→ 0 власних значень збуреної задачi (2.1), (2.2).
Теорема 6.1. Нехай {λεn}∞n=1 та {µn}∞n=1 — власнi значення задач (2.1), (2.2) та (3.6) вiд-
повiдно, перерахованi з урахуванням кратностi. Тодi для кожного натурального n вiдношення
ε−1λεn збiгається до µn при ε→ 0.
Лема 6.1. Для кожного n ∈ N послiдовнiсть µεn = ε−1λεn має скiнченну границю при
ε→ 0, яка є точкою спектра оператора T .
Доведення. Припустимо вiд супротивного, що для деякого n
µ∗ = lim
ε→0
µεn < lim
ε→0
µεn = µ∗.
Числа µ∗ та µ∗ є скiнченними, оскiльки згiдно з лемою 3.1 послiдовнiсть µεn обмежена. Крiм
того, µεn, як функцiя параметра ε, є неперервною. Тому для кожного µ ∈ (µ∗, µ
∗) iснує пiдпо-
слiдовнiсть µε
′
n , збiжна до µ при ε′ → 0. Введемо позначення ∆h(µ) = (µ−h, µ+h) i виберемо
число h так, щоб ∆h(µ) ⊂ (µ∗, µ
∗). За лемою 4.2 число µε
′
n є власним значенням оператора
Tε′(µ
ε′
n ) i при достатньо малих ε′ мiститься в околi ∆h(µ). Згiдно з наслiдком 5.1 оператори
Tε′(µ
ε′
n ) збiгаються до T в сенсi рiвномiрної резольвентної збiжностi, тому в iнтервалi ∆h(µ)
при малих ε′ лежить власне значення T [30] (теорема VIII.23). З довiльностi µ i h випливає, що
спектр оператора T має бути скрiзь щiльним у (µ∗, µ
∗), а тому [µ∗, µ
∗] ⊂ σ(T ). Якщо µ∗ < µ∗,
то останнє вкладення неможливе. Тому числа µ∗ i µ∗ рiвнi та збiгаються з одним iз власних
значень оператора T .
Лему 6.1 доведено.
Лема 6.2. Нехай µ є власним значенням оператора T кратностi s, тобто µ = µn =
= µn+1 = . . . = µn+s−1 та µn−1 < µ < µn+s для деякого n. Тодi сумарна кратнiсть тих
власних значень λε задачi (2.1), (2.2), для яких вiдношення ε−1λε збiгаються до µ, не менша
за s.
Доведення. Виберемо h так, щоб окiл ∆h(µ) не мiстив iнших точок спектра T, окрiм µ.
Згiдно з теоремою 5.1 та теоремою VIII.23 [30] для достатньо малих ε в ∆h(µ) лежать власнi
значення оператора Tε(µ) сумарної кратностi s. Позначимо їх µε1, . . . , µ
ε
s, врахувавши кратнiсть,
а через vε1, . . . , v
ε
s вiдповiднi ортонормованi власнi функцiї, якi є розв’язками задач
−div(a∇vεk) = µεkrv
ε
k в Ω0, vεk = 0 на ∂Ω, (Λ(ε1+κµ) + εa ∂ν)vεk = 0 на ∂ω.
Кожну з них можна продовжити на область Ω до функцiї V ε
k ∈ D(Aε) як розв’язок задачi
−div(a∇V ε
k ) = µεk rV
ε
k в Ω0, −div(α∇V ε
k ) = µ ε1+κρV ε
k в ω, (6.1)
V ε
k = 0 на ∂Ω, [V ε
k ]∂ω = 0, [aε ∂νV
ε
k ]∂ω = 0. (6.2)
Для функцiї V ε
k виконується нерiвнiсть
c∗ 6 ‖V ε
k ‖L2(Ω) 6 c∗ (6.3)
зi сталими, не залежними вiд ε та k. Оцiнка знизу є наслiдком нормування власних функцiй
vεk = V ε
k |Ω0 в L2(r,Ω0). Щодо оцiнки зверху, то задачi (6.1), (6.2) та (5.3) – (5.5) збiгаються,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1326 Ю. Д. ГОЛОВАТИЙ, В. М. ГУТ
якщо в рiвняннi (5.3) покласти f = (i + µεk)V
ε
k . Тому з нерiвностi (5.11) матимемо рiвномiрну
обмеженiсть V ε
k за параметром ε в H1(Ω), а тому i в просторi L2(Ω). Нехай V̂ ε
k = ‖V ε
k ‖−1
ε V ε
k .
Доведемо, що пари (εµ, V̂ ε
k ) є квазiмодами оператора Aε.
Нехай µεk = µ+ δεk. Зрозумiло, що |δεk| < h для всiх k = 1, . . . , s. Безпосередньо з (6.1) для
кожного k = 1, . . . , s отримуємо (Aε − εµ)V̂ ε
k = f εk , де f εk = ε δεk ‖V ε
k ‖−1
ε vεk в Ω0 та f εk = 0 в ω.
Тому ‖(Aε − εµ)V̂ ε
k ‖ε 6 ε|δεk| < εh для всiх k = 1, . . . , s. Далi, використавши ортогональнiсть
власних функцiй vεk у просторi L2(r,Ω0) та (6.3), для j 6= k матимемо
|(V̂ ε
j , V̂
ε
k )ε| 6 εκ
∫
ω
ρ|V ε
j ||V ε
k | dx 6 c1ε
κ.
Отже, {(εµ, V̂ ε
k )}sk=1 є сiм’єю квазiмод оператора Aε з похибкою δ = εh та вiдхиленням
вiд ортогональностi τ = c1ε
κ . Згiдно з твердженням 6.1 сумарна кратнiсть власних значень
оператора Aε в iнтервалi ∆h(µ) не менша за s, як тiльки ε+ c1ε
κ < s−1. Позаяк ∆h(µ) мiстить
лише одну точку спектра T, то за попередньою лемою всi цi власнi значення, подiленi на ε,
збiгаються до µ.
Лему 6.2 доведено.
Доведення теореми 6.1. Залишилося довести, що до s-кратного власного значення опе-
ратора T збiгається рiвно s вiдношень ε−1λεn. Припустимо, що сiм’я квазiмод {(εµ, V̂ ε
k )}sk=1
апроксимує не весь спектр оператора Aε, що локалiзується в околi εµ. Тобто iснує таке власне
значення ενε оператора Aε з власною функцiєю Wε, що νε → µ, але
(Wε, V̂
ε
k )ε → 0, ε→ 0, (6.4)
для всiх k = 1, . . . , s.
Нехай wε = Wε|Ω0 . Вважатимемо, що Wε нормована умовою ‖wε‖L2(r,Ω0) = 1. Взагалi
кажучи, wε не належить до D(Tε(µ)). Розглянемо допомiжну задачу
−div(a∇zε) = ζεrzε в Ω0, zε = 0 на ∂Ω, (Λ(ε1+κµ) + εa ∂ν)zε = ψε на ∂ω, (6.5)
де ψε =
(
Λ(ε1+κνε) − Λ(ε1+κµ)
)
wε. Послiдовнiсть чисел ζε вибираємо так, щоб ζε → µ при
ε → 0 та dist{ζε, σ(Tε(µ))} > ε. Позаяк Wε ∈ H2(Ω \ ∂ω), то ψε ∈ H1/2(∂ω) та iснує єдиний
розв’язок zε ∈ H2(Ω0) задачi (6.5). Крiм того,
‖zε‖H2(Ω0) 6
c1 ‖ψε‖H1/2(∂ω)
dist{ζε, σ(Tε(µ))}
6
c1
ε
∥∥(Λ(ε1+κνε)− Λ(ε1+κµ)
)
wε
∥∥
H1/2(∂ω)
6
6
c1
ε
∥∥Λ(ε1+κνε)− Λ(ε1+κµ)
∥∥ ‖wε‖H3/2(∂ω) 6 c1mε
κ|νε − µ| 6 c2ε
κ,
оскiльки на кожному вiдрiзку [θ1, θ2] ⊂ R, що не мiстить власних значень задачi (4.1), викону-
ється нерiвнiсть ‖Λ(θ)− Λ(θ′)‖ 6 m|θ − θ′| для всiх θ, θ′ ∈ [θ1, θ2], де стала m залежить лише
вiд вибраного вiдрiзка.
За побудовою функцiї zε сума wε∗ = wε + zε належить до областi визначення оператора
Tε(µ), а коректор zε є нескiнченно малим в L2-нормi. Далi,
(Tε(µ)− µ)wε∗ = −1
r
div(a∇wε)− µwε −
1
r
div(a∇zε)− µzε = (νε − µ)wε + (ζε − µ)zε,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
КОЛИВНI СИСТЕМИ З ЖОРСТКИМИ ЛЕГКИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ: АСИМПТОТИКА СПЕКТРА . . . 1327
тому величина δε∗ = ‖(Tε(µ)− µ)wε∗‖L2(r,Ω0) є нескiнченно малою порядку |νε− µ|+ |ζε− µ|εκ
при ε → 0. З (6.3) та (6.4) випливає, що (wε, v
ε
k)L2(r,Ω0) → 0 при ε → 0 для всiх k = 1, . . . , s.
Тодi, беручи до уваги мализну zε, переконуємося, що добутки (wε∗, v
ε
k)L2(r,Ω0) теж прямують
до нуля. Отже, (µ, vε1), . . . , (µ, vεs), (µ,wε∗) є сiм’єю квазiмод оператора Tε(µ) з нескiнченно
малими похибкою та вiдхиленням вiд ортогональностi. Тодi згiдно з твердженням 6.1 вимiрнiсть
спектрального проектора для Tε(µ), що вiдповiдає iнтервалу ∆h(µ), буде не меншою нiж s+1.
З огляду на те, що резольвенти Tε(µ) збiгаються до резольвенти T рiвномiрно, а кратнiсть µ як
власного значення оператора T, дорiвнює s, отримуємо суперечнiсть.
Теорему 6.1 доведено.
6.2. Збiжнiсть власних пiдпросторiв. НехайU та V — пiдпростори гiльбертового простору
H, а PU i PV — вiдповiднi ортогональнi проектори. Розхилом мiж пiдпросторами U та V
називатимемо величину δH(U, V ) = ‖PU − PV ‖.
Через E0
µ позначимо власний пiдпростiр оператора T, що вiдповiдає власному значенню
µ. Оскiльки елементи E0
µ є сталими функцiями на межах ∂ωk, то за неперервнiстю їх можна
продовжити цими ж сталими з Ω0 на всю область Ω, отримавши пiдпростiр Eµ в L2(Ω).
Очевидно, що простори E0
µ i Eµ мають однакову вимiрнiсть.
Теорема 6.2. Нехай Eεµ — пiдпростiр в L2(Ω), породжений усiма такими власними функ-
цiями uεk оператора Aε, що ε−1λεk → µ при ε → 0. Тодi для кожної точки µ зi спектра
оператора T маємо
δL2(Ω)(Eεµ, Eµ)→ 0 при ε→ 0. (6.6)
Якщо µ = µn — просте власне значення, то власна функцiя uεn оператора Aε збiгається в
L2(Ω) до власної функцiї vn оператор T, що за неперервнiстю продовжена сталими в об-
ласть Ω.
Доведення. З теореми 6.1 випливає, що dim Eεµ = dim Eµ для достатньо малих ε. Доведення
теореми ґрунтується на такому фактi: якщо для кожного v ∈ Eµ, ‖v‖L2(Ω) = 1, iснує нормований
елемент uε ∈ Eεµ такий, що ‖uε − v‖L2(Ω) 6 β, то виконується нерiвнiсть δL2(Ω)(Eεµ, Eµ) 6Mβ,
де β — достатньо мале додатне число, а стала M залежить лише вiд вимiрностi простору Eµ
[15] (лема 1.3).
Нехай v ∈ Eµ — довiльна власна функцiя оператора T з власним значенням µ, продовжена
сталими на Ω. Крiм того, ‖v‖L2(Ω0) = 1. Доведемо, що iснує така нормована лiнiйна комбiнацiя
uε власних функцiй uεk ∈ Eεµ оператора Aε, що норма ‖uε − v‖L2(Ω) є як завгодно малою при
ε→ 0.
Взагалi кажучи, v не належить до D(Aε), тому побудуємо коректор. Нехай ψ — розв’язок
задачi −div(α∇ψ) = 0 в ω, α∂νψ = a∂νv на ∂ω, де похiдну ∂νv обчислено з боку областi Ω0.
Розв’язок ψ iснує, бо для v виконуються умови
∫
∂ωk
α∂νv ds = 0, k = 1, . . . ,K. Хоча вiн не
єдиний, це є непринциповим для наших мiркувань. Розглянемо також таку функцiю ϕ з класу
H2(Ω0), що ϕ = 0 на ∂Ω, ϕ = ψ та ∂νϕ = 0 на ∂ω. Покладемо w = ψ в ω та w = ϕ в Ω0. Легко
переконатися, що функцiя vε = v + εw належить до D(Aε) i ‖vε‖ε → 1 при ε→ 0. Крiм того,∣∣‖vε‖ε − 1
∣∣ 6 c1ε. (6.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1328 Ю. Д. ГОЛОВАТИЙ, В. М. ГУТ
Введемо позначення v̂ε = ‖vε‖−1
ε vε i доведемо, що пара (εµ, v̂ε) є квазiмодою оператора Aε
з похибкою порядку ε. Справдi, безпосередньо переконуємося, що Aεv̂ε − εµv̂ε = fε, де
fε =
1
‖vε‖ε
·
−εµ(v + εψ)) в ω,
−ε2
(
1
r
div(a∇ϕ) + µϕ
)
в Ω0.
Тому виконується оцiнка ‖fε‖ε 6 c2ε
γ , де γ = min{1 + κ/2, 2}.
Нехай iнтервал [µ − b, µ + b] не мiстить iнших власних значень оператора T , окрiм µ.
За лемою Вiшика – Люстерника iснує нормований вектор uε ∈ Eεµ такий, що ‖uε − v̂ε‖ε 6
6
2c2
b
εγ . Врахувавши оцiнку (6.7), отримаємо ‖uε − v‖L2(r,Ω0) 6 c3ε. Щодо збiжностi uε на ω,
то скористаємося зображенням uε = cε1u
ε
1 + . . .+ cεmu
ε
m, де uεk — ортонормованi власнi функцiї
оператора Aε, для яких ε−1λεk → µ. Тому bε[uε] = λε1c
ε
1
2 + . . . + λεmc
ε
m
2 6 cε. З останньої
нерiвностi випливає ‖uε‖H1
0 (Ω) 6 C. Оскiльки послiдовнiсть uε збiгається сильно у просторi
L2(r,Ω0), то звiдси одержуємо ‖uε − v‖L2(Ω) → 0 при ε→ 0.
Отже, δL2(Ω)(Eεµ, Eµ) → 0, що завершує доведення (6.6). Зрозумiло, що у випадку однови-
мiрних просторiв Eµ та Eεµ збiжнiсть до нуля їхнього розхилу еквiвалентна збiжностi одиничних
векторiв, якi їх породжують.
Теорему 6.2 доведено.
Отже, ми довели, що власнi значення задачi (2.1), (2.2) мають асимптотику
λεn = εµn + o(ε), ε→ 0,
для всiх номерiв n ∈ N, де µn — власне значення задачi (3.6). Якщо власне значення µn
є простим, то власна функцiя uεn збуреної задачi збiгається в L2(Ω) до власної функцiї vn
граничної задачi (3.6), яка продовжена за неперервнiстю сталими в область Ω.
1. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. — Киев: Наук. думка,
1974.
2. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний: Пер. с англ. — М.: Мир, 1984. — 472 с.
3. Sanchez Hubert J., Sanchez Palencia E. Vibration and coupling of continuous systems // Asymptotic Methods. —
Berlin etc.: Springer-Verlag, 1989. — xv+421 p.
4. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих
сред. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. — 311 с.
5. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. — М.: Физматлит, 1993.
— 464 с.
6. Марченко В. А., Хруслов Е. Я. Усредненные модели микронеоднородных сред. — Киев: Наук. думка, 2005. —
552 c.
7. Пятницкий А. Л., Чечкин Г. А., Шамаев А. С. Усреднение. Методы и приложения. – Новосибирск: Тамара
Рожковская, 2007.
8. Сандраков Г. В. Осреднение системы уравнений теории упругости с контрастными коэффициентами // Мат.
сб. — 1999. — 190, № 12. — С. 37 – 92.
9. Zhikov V. V. On spectrum gaps of some divergent elliptic operators with periodic coefficients // Алгебра и анализ. —
2004.– 16, вып. 5. — С. 733 – 790.
10. Bourgeat A., Chechkin G. A., Piatnitski A. L. Singular double porosity model // Appl. Anal. — 2003. — 82, № 2. —
P. 103 – 116.
11. Geymonat G., Lobo-Hidalgo M., Sanchez-Palencia E., Roach G. F. Spectral properties of certain stiff problems in
elasticity and acoustics // Math. Meth. Appl. Sci. — 1982. — 4. — P. 291 – 306.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
КОЛИВНI СИСТЕМИ З ЖОРСТКИМИ ЛЕГКИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ: АСИМПТОТИКА СПЕКТРА . . . 1329
12. Lobo M., Nazarov S.A., Pérez E. Eigen-oscillations of contrasting non-homogeneous elastic bodies: asymptotic and
uniform estimates for eigenvalues // J. Appl. Math. — 2005. — P. 1 – 40.
13. Gómez D., Lobo M., Nazarov S.A., Pérez E. Asymptotics for the spectrum of the Wentzell problem with a small
parameter and other related stiff problems // J. math. pures et appl. — 2006. — 86. — P. 369 – 402.
14. Golovaty Yu., Babych N. On WKB asymptotic expansions of high frequency vibrations in stiff problems // Proc.
Equadiff’99. — Singapore: World Sci., 1999. — P. 103 – 105.
15. Головатый Ю. Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами: эффект локаль-
них колебаний // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1992. — 54. — С. 29 – 72.
16. Чечкин Г. А. Асимптотические разложения собственных значений и собственных функций эллиптического
оператора в области с большим количеством близко расположенных на границе „легких” концентрированных
масс. Двумерный случай // Изв. РАН. Сер. мат. — 2005. — 69, № 4. — C. 161 – 204.
17. Rybalko V. Vibrations of elastic systems with a large number of tiny heavy inclusions // Asymp. Anal. — 2002. — 32.
— P. 27 – 62.
18. Chechkin G. A., Mel’nyk T. A. Asymptotics of eigenelements to spectral problem in thick cascade junction with
concentrated masses //Appl. Anal. — 2011. — P. 1 – 41 (doi: 10.1080/00036811.2011.602634).
19. Lobo M., Pérez E. Local problems for vibrating systems with concentrated masses: a review // C. R. Mecanique. —
2003. — 331. — P. 303 – 317.
20. Golovaty Yu. D., Gomez D., Lobo M., Pérez E. Asymptotics for the eigenelements of vibrating membranes with very
heavy thin inclusions // C.R. Mecanique. — 2002. — 330(11). — P. 777 – 782.
21. Golovaty Yu. D., Gomez D., Lobo M., Pérez E. On vibrating membranes with very heavy thin inclusions // Math.
Models and Meth. Appl. Sci.. — 2004. — 14, № 7. — P. 987 – 1034.
22. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотическая структура спектра в задаче о гармонических колебаниях ступицы
с тяжелыми спицами // Докл. РАН. — 1993. — 333, № 1. — C. 13 – 15.
23. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотический анализ задачи Неймана на соединении тела с тонкими тяжелыми
стержнями // Алгебра и анализ. — 2000. — 12, № 2. — С. 188 – 238.
24. Golovaty Yu., Babych N. Asymptotic analysis of vibrating system containing stiff-heavy and flexible-light parts //
Nonlinear Boundary Value Problems. — 2008. — 18. — P. 194 – 207.
25. Golovaty Yu. D., Babych N. Low and high freqensy approximations to eigenvibrations in a medium with doubl
contrasts // J. Comput. and Appl. Math. — 2010. — 234. — P. 1860 – 1867.
26. Showalter R. Hilbert space methods for partial differential equations // Electron. J. Different. Equat. — 1994.
27. Inverse problems for partial different. equations // Appl. Math. Ser. — Berlin etc.: Springer-Verlag, 1998. — 127.
28. Sylvester J., Uhlmann G. The Dirichlet to Neumann map and its applications // Inverse Problems in Partial Differential
Equations. — 1990. — P. 101 – 139.
29. Hsiao G.C., Wendland W. L. Boundary integral equations // Appl. Math. Sci. — Berlin: Springer, 2008. — 164. —
618 p.
30. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики // Функциональный анализ. — М.: Мир, 1977.
— Т. 1. — 354 с.
31. Вишик М. И., Люстерник А. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных
уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. — 1957. — 12, вип. 5. — С. 3 – 122.
32. Лазуткин В. Ф. Квазиклассическая асимптотика собственных функций // Итоги науки и техники. Совр. про-
блемы математики. Фундам. направления / ВИНИТИ. — 1988. — 34. — C. 135 – 174.
Одержано 01.11.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2661 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:52Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/99/e4abf095062256038d20bf76ca894999.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26612020-03-18T19:32:22Z Vibrating Systems with Rigid Light-Weight Inclusions: Asymptotics of the Spectrum and Eigenspaces Коливні системи з жорсткими легкими включеннями: асимптотика спектра та власних просторів Holovatyi, Yu. D. Hut, V. M. Головатий, Ю.Д. Гут, В. М. We study the asymptotic behavior of the eigenvalues and eigenfunctions of a singularly perturbed boundary-value problem for a second-order elliptic operator. The problem describes the eigenmodes of an elastic system with finite number of stiff light-weight inclusions of arbitrary shape. The leading terms of the asymptotic representation of eigenelements are constructed with regard for their multiplicity. The justification of the asymptotic formulas is based on the uniform resolvent convergence of a certain family of unbounded self-adjoint operators. Изучено асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций сингулярно возмущенной краевой задачи для эллиптического оператора второго порядка. Задача моделирует собственные колебания упругой системы с конечным числом жестких и одновременно легких включений произвольной формы. Найдены главные члены асимптотики собственных элементов с учетом их кратности. Обоснование асимптотических формул базируется на равномерной резольвентной сходимости некоторого семейства неограниченных самосопряженных операторов. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2661 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 10 (2012); 1314-1329 Український математичний журнал; Том 64 № 10 (2012); 1314-1329 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2661/2081 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2661/2082 Copyright (c) 2012 Holovatyi Yu. D.; Hut V. M. |
| spellingShingle | Holovatyi, Yu. D. Hut, V. M. Головатий, Ю.Д. Гут, В. М. Vibrating Systems with Rigid Light-Weight Inclusions: Asymptotics of the Spectrum and Eigenspaces |
| title | Vibrating Systems with Rigid Light-Weight Inclusions: Asymptotics of the Spectrum and Eigenspaces |
| title_alt | Коливні системи з жорсткими легкими включеннями: асимптотика спектра та власних просторів |
| title_full | Vibrating Systems with Rigid Light-Weight Inclusions: Asymptotics of the Spectrum and Eigenspaces |
| title_fullStr | Vibrating Systems with Rigid Light-Weight Inclusions: Asymptotics of the Spectrum and Eigenspaces |
| title_full_unstemmed | Vibrating Systems with Rigid Light-Weight Inclusions: Asymptotics of the Spectrum and Eigenspaces |
| title_short | Vibrating Systems with Rigid Light-Weight Inclusions: Asymptotics of the Spectrum and Eigenspaces |
| title_sort | vibrating systems with rigid light-weight inclusions: asymptotics of the spectrum and eigenspaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2661 |
| work_keys_str_mv | AT holovatyiyud vibratingsystemswithrigidlightweightinclusionsasymptoticsofthespectrumandeigenspaces AT hutvm vibratingsystemswithrigidlightweightinclusionsasymptoticsofthespectrumandeigenspaces AT golovatijûd vibratingsystemswithrigidlightweightinclusionsasymptoticsofthespectrumandeigenspaces AT gutvm vibratingsystemswithrigidlightweightinclusionsasymptoticsofthespectrumandeigenspaces AT holovatyiyud kolivnísistemizžorstkimilegkimivklûčennâmiasimptotikaspektratavlasnihprostorív AT hutvm kolivnísistemizžorstkimilegkimivklûčennâmiasimptotikaspektratavlasnihprostorív AT golovatijûd kolivnísistemizžorstkimilegkimivklûčennâmiasimptotikaspektratavlasnihprostorív AT gutvm kolivnísistemizžorstkimilegkimivklûčennâmiasimptotikaspektratavlasnihprostorív |