Asymptotics of Solutions of Nonautonomous Second-Order Ordinary Differential Equations Asymptotically Close to Linear Equations
Asymptotic representations are obtained for a broad class of monotone solutions of nonautonomous binary differential equations of the second order that are close in a certain sense to linear equations.
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2663 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508606565187584 |
|---|---|
| author | Evtukhov, V. M. Евтухов, В. М. Евтухов, В. М. |
| author_facet | Evtukhov, V. M. Евтухов, В. М. Евтухов, В. М. |
| author_sort | Evtukhov, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:22Z |
| description | Asymptotic representations are obtained for a broad class of monotone solutions of nonautonomous binary differential
equations of the second order that are close in a certain sense to linear equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925
В. М. Евтухов (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА, АСИМПТОТИЧЕСКИ БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
Asymptotic representations are obtained for a broad class of monotone solutions of nonautonomous binary differential
equations of the second order that are close in a certain sense to linear equations.
Встановлено асимптотичнi зображення для широкого класу монотонних розв’язкiв неавтономних двочленних зви-
чайних диференцiальних рiвнянь другого порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь.
1. Введение. Рассматривается дифференциальное уравнение
y′′ = α0p(t)yL(y), (1.1)
где α0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[−→]0, +∞[ — непрерывная функция, −∞ < a < ω ≤ +∞,
L : ∆Y0 −→]0, +∞[ — непрерывная и медленно меняющаяся при y → Y0 функция, Y0 рав-
но либо нулю, либо ±∞, ∆Y0 — односторонняя окрестность Y0.
При L(y) ≡ 1 уравнение (1.1) является линейным дифференциальным уравнением второго
порядка. Асимптотическое поведение при t → +∞ (случай ω = +∞) его решений доста-
точно подробно исследовано. Многие из полученных здесь результатов вытекают из теорем,
установленных в монографии [1], для линейных дифференциальных уравнений n-го порядка.
Решение y уравнения (1.1) будем называть Pω(Y0, λ0)-решением, −∞ ≤ λ0 ≤ +∞, если
оно определено на промежутке [t0, ω[⊂ [a, ω[ и удовлетворяет следующим условиям:
y : [t0, ω[−→ ∆Y0 , lim
t↑ω
y(t) = Y0, (1.2)
lim
t↑ω
y′(t) =
либо 0,
либо ±∞,
lim
t↑ω
[
y′(t)
]2
y′′(t)y(t)
= λ0. (1.3)
При L(y) = | ln |y||σ, σ ∈ R, в работах [2 – 6] были установлены условия существова-
ния и асимптотические при t ↑ ω представления всех возможных типов Pω(Y0, λ0)-решений
уравнения (1.1).
Целью настоящей статьи является распространение результатов из [3 – 6] на случай произ-
вольной медленно меняющейся при y → Y0 функции L.
Согласно определению медленно меняющейся функции (см. [7])
lim
y→Y0
L(λy)
L(y)
= 1 для любого λ > 0. (1.4)
Известно [7], что предельное соотношение (1.4) выполняется равномерно по λ на любом про-
межутке [c, d] ⊂]0,+∞[ (свойство M1) и существует непрерывно дифференцируемая медленно
меняющаяся при y → Y0 функция L1 : ∆Y0 −→]0,+∞[ (свойство M2) такая, что
c© В. М. ЕВТУХОВ, 2012
1346 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1347
lim
y→Y0
y∈∆Y0
L(y)
L1(y)
= 1 и lim
y→Y0
y∈∆Y0
yL′1(y)
L1(y)
= 0. (1.5)
Примерами медленно меняющихся при y → Y0 функций являются
| ln |y||σ1 , lnσ2 | ln |y||, σ1, σ2 ∈ R, exp
(
| ln |y||σ3
)
, 0 < σ3 < 1, exp
(
ln |y|
ln | ln |y||
)
,
(1.6)
функции, имеющие отличный от нуля конечный предел при y → Y0, и др.
2. Вспомогательные обозначения и некоторые априорные асимптотические свойства
Pω(Y0, λ0)-решений уравнения (1.1). Выберем число b ∈ ∆Y0 так, чтобы выполнялось нера-
венство
|b| < 1 при Y0 = 0, b > 1 (b < −1) при Y0 = +∞ (Y0 = −∞), (2.1)
и положим
∆Y0(b) =
[b, Y0[, если ∆Y0 − левая окрестность Y0,
]Y0, b], если ∆Y0 − правая окрестность Y0.
Из определения Pω(Y0, λ0)-решения ясно, что каждое такое решение уравнения (1.1) и его
производные до второго порядка включительно отличны от нуля на некотором промежутке
[t1, ω[⊂ [t0, ω[, причем на этом промежутке первая производная данного решения положитель-
на, если ∆Y0 — левая окрестность Y0, и отрицательна — в противном случае. Учитывая этот
факт и выбор b, вводим два числа
µ0 = sign b, µ1 =
1, если ∆Y0 − левая окрестность Y0,
−1, если ∆Y0 − правая окрестность Y0,
(2.2)
определяющие соответственно знаки Pω(Y0, λ0)-решения и его первой производной на проме-
жутке [t1, ω[. При этом заметим, что для Pω(Y0, λ0)-решения
µ0µ1 > 0 при Y0 = ±∞ и µ0µ1 < 0 при Y0 = 0.
Далее, вводим функции Φi : ∆Y0(b) −→ R, i = 1, 2, полагая
Φ1(y) =
y∫
B1
ds
sL(s)
, Φ2(y) =
y∫
B2
ds
sL1/2(s)
, (2.3)
где
B1 =
b, если
Y0∫
b
ds
sL(s)
= ±∞,
Y0, если
Y0∫
b
ds
sL(s)
= const,
B2 =
b, если
Y0∫
b
ds
sL1/2(s)
= ±∞,
Y0, если
Y0∫
b
ds
sL
1
2 (s)
= const,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1348 В. М. ЕВТУХОВ
а также числа
µ∗i =
1, если Bi = b,
−1, если Bi = Y0,
i = 1, 2. (2.4)
В силу выбора µ0, µ1 и µ∗i , i = 1, 2,
sign Φi(y) = µ0µ1µ
∗
i , i = 1, 2, при y ∈ ∆Y0(b) \ {b}. (2.5)
Кроме того, функции Φi, i = 1, 2, строго монотонны на промежутке ∆Y0(b) и областью их
значений являются промежутки
∆Zi(ci) =
[ci, Zi[, если µ0 > 0,
]Zi, ci], если µ0 < 0
i = 1, 2, (2.6)
где
ci = Φi(b), Zi = lim
y→Y0
Φi(y) =
0, если Bi = Y0,
+∞, если Bi = b и µ0µ1 > 0,
−∞, если Bi = b и µ0µ1 < 0,
i = 1, 2. (2.7)
Значит, для них существуют непрерывно дифференцируемые и строго монотонные обратные
функции Φ−1i : ∆Zi(ci) −→ ∆Y0(b), i = 1, 2, для которых limz→Zi Φ−1i (z) = Y0, i = 1, 2.
Используя правило Лопиталя, нетрудно убедиться в том, что функции Φi, i = 1, 2, яв-
ляются медленно меняющимися при y → Y0, а функции Φ−1i , i = 1, 2, — быстро меняю-
щимися при z → Zi, и поэтому, вообще говоря, неопределенным является характер роста
возникающих в дальнейшем функций L
(
Φ−1i (z)
)
, i = 1, 2, при z → Zi. В частности, если
медленно меняющаяся при y → Y0 функция L имеет отличный от нуля конечный предел при
y → Y0 или является функцией одного из видов (1.6), где σ1 6= 1 (σ1 6= 2), то L
(
Φ−11 (z)
)(
соответственно L(Φ−12 (z)
)
— правильно меняющаяся функция при z → Z1 (z → Z2). Если
же L(y) = ln |y| (L(y) = ln2 |y|), или L(y) = ln |y| ln | ln |y||
(
L(y) =
(
ln |y| ln | ln |y||
)2)
, то
L
(
Φ−11 (z)
) (
соответственно L
(
Φ−12 (z)
))
— быстро меняющаяся функция при z → Z1 (z → Z2).
В случае непрерывно дифференцируемой функции L
lim
z→Zi
z
(
L(Φ−1i (z))
)′
L(Φ−1i (z))
= lim
z→Zi
zL′(Φ−1i (z))
L(Φ−1i (z))Φ′i(Φ
−1
i (z))
= lim
y→Y0
Φi(y)L′(y)
Φ′i(y))L(y)
, i = 1, 2.
Поэтому, если при i ∈ {1, 2}
lim
y→Y0
Φi(y)L′(y)
Φ′i(y))L(y)
= γ = const,
то L
(
Φ−1i (z)
)
— правильно меняющаяся при z → Zi функция порядка γ, т. е. допускает пред-
ставление вида
L
(
Φ−1i (z)
)
= |z|γL∗i (z), (2.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1349
где L∗i — медленно меняющаяся функция при z → Zi.
Далее, введем функцию
πω(t) =
{
t, если ω = +∞,
t− ω, если ω < +∞.
С использованием тождества
y′′(t)y(t)[
y′(t)
]2 =
(
y′(t)
y(t)
)′(y′(t)
y(t)
)−2
+ 1,
определения Pω(Y0, λ0)-решения и правила Лопиталя легко устанавливается следующее необ-
ходимое для дальнейшего изложения утверждение.
Лемма 2.1 [8]. Пусть y : [t0, ω[−→ ∆Y0 — произвольное Pω(Y0, λ0)-решение уравнения
(1.1). Тогда:
1) если λ0 ∈ R \ {1}, то имеют место предельные соотношения
lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
=
λ0
λ0 − 1
, lim
t↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
=
1
λ0 − 1
, (2.9)
причем второе из них в случае λ0 = 0 справедливо при дополнительном предположении сущест-
вования (конечного или равного ±∞) предела limt↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
;
2) если λ0 = 1, то
lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= ±∞, lim
t↑ω
πω(t)y′′(t)
y′(t)
= ±∞. (2.10)
3. Основные результаты. Введем функции Ik, k = 1, 2, 3, 4, положив
I1(t) =
t∫
A1
p(τ) dτ, I2(t) =
t∫
A2
πω(τ)p(τ) dτ,
I3(t) =
t∫
A3
p1/2(τ) dτ, I4(t) =
t∫
A4
p(τ)L
(
Φ−12
(
µ0µ1|λ0|1/2I3(τ)
))
dτ,
где каждый из пределов интегрирования Ai ∈ {ω; a}, i ∈ {1, 2, 3}, A4 ∈ {ω; a0}, a0 ∈ [a, ω[, и
выбирается так, чтобы соответствующий ему интеграл стремился при t ↑ ω либо к нулю, либо
к ±∞ (по аналогии с тем, как выбирались пределы интегрирования Bi, i = 1, 2, в функциях
Φi, i = 1, 2).
Теорема 3.1. Пусть функция L
(
Φ−11 (z)
)
является правильно меняющейся при z → Z1 по-
рядка γ и λ0 ∈ R\{1}, причем в случае λ0 = 0 существует limt↑ω πω(t)p(t)
[
I1(t)
]−1
(конечный
или равный ±∞). Тогда для существования Pω(Y0, λ0)-решений уравнения (1.1) необходимо, а
если
(1 + λ0)(1 + λ0 + λ0γ) 6= 0, (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1350 В. М. ЕВТУХОВ
то и достаточно, чтобы выполнялись условия
lim
t↑ω
πω(t)p(t)
I1(t)
= −1, α0(λ0 − 1) lim
t↑ω
I2(t) = Z1, (3.2)
lim
t↑ω
π2ω(t)p(t)L
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
))
=
α0λ0
(λ0 − 1)2
, (3.3)
α0µ0µ1(λ0 − 1)πω(t) > 0, µ∗1πω(t)I2(t) > 0 при t ∈]a, ω[. (3.4)
Более того, для каждого такого решения имеют место асимптотические представления
Φ1(y(t)) = α0(λ0 − 1)I2(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω, (3.5)
y′(t)
y(t)
= α0(λ0 − 1)πω(t)p(t)L
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
))[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω, (3.6)
причем решений с такими представлениями существует однопараметрическое семейство в
случае, когда (λ0 − 1)(1 + λ0 + γλ0)I2(t) < 0 при t ∈]a, ω[, и двупараметрическое семейство в
случае, когда (λ0 − 1)(1 + λ0 + γλ0)I2(t) > 0 и (λ20 − 1)πω(t) > 0 при t ∈]a, ω[.
Доказательство. Необходимость. Пусть y — произвольное Pω(Y0, λ0)-решение диффе-
ренциального уравнения (1.1). Тогда существует число t1 ∈ [a, ω[ такое, что
y : [t1, ω[−→ ∆Y0(b), sign y(t) = µ0 и sign y′(t) = µ1 при t ∈ [t1, ω[. (3.7)
Кроме того, имеем(
y′(t)
y(t)L1(y(t))
)′
=
y′′(t)
y(t)L1(y(t)
[
1− (y′(t))2
y(t)y′′(t)
− (y′(t))2
y(t)y′′(t)
y(t)L′1(y(t))
L1(y(t))
]
,
где L1 : ∆Y0 −→]0,+∞[ — непрерывно дифференцируемая функция, существующая в силу
свойства M2 медленно меняющихся функций, удовлетворяющая условиям (1.5). Поэтому в
силу (1.2), (1.3) и второго из условий (1.5)
y′′(t)
y(t)L1
(
y(t)
) =
1 + o(1)
1− λ0
(
y′(t)
y(t)L1
(
y(t)
))′ при t ↑ ω.
Из (1.1) с учетом этого асимптотического соотношения и второго из условий (1.5) находим(
y′(t)
y(t)L1
(
y(t)
))′ = α0(1− λ0)p(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω.
Интегрируя это соотношение на промежутке от t1 до t, получаем
y′(t)
y(t)L1
(
y(t)
) = C + α0(1− λ0)I1(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω, (3.8)
где C — некоторая вещественная постоянная.
Если в I1 предел интегрирования A1 = a, то это представление принимает вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1351
y′(t)
y(t)L1
(
y(t)
) = α0(1− λ0)I1(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω. (3.9)
Покажем, что в случае, когда A1 = ω, также имеет место (3.9), т. е. C = 0 в (3.8). В самом деле,
если C 6= 0, то согласно (3.8)
y′(t)
y(t)L1
(
y(t)
) = C + o(1) при t ↑ ω,
и поэтому, учитывая (1.1), получаем
y′′(t)
y′(t)
=
α0
C
p(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω,
откуда следует, что
ln |y′(t)| = C1 +
α0
C
I1(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω,
гдеC1 — некоторая вещественная постоянная. Однако это невозможно, так как здесь выражение,
стоящее справа, имеет конечный предел при t ↑ ω, а выражение слева в силу первого из усло-
вий (1.3) — бесконечный. Значит, в (3.8) C = 0 и имеет место представление (3.9).
Из (3.9) с учетом первого из условий (1.5) следует, что
y′(t)
y(t)L
(
y(t)
) = α0(1− λ0)I1(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω. (3.10)
В силу этого асимптотического соотношения и (1.1) имеем
πω(t)y′′(t)
y′(t)
=
πω(t)p(t)
(1− λ0)I1(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω. (3.11)
Поскольку при λ0 = 0 существует limt↑ω
πω(t)p(t)
I1(t)
(конечный или равный ±∞), согласно
лемме 2.1 для любого λ0 ∈ R\{1} имеют место предельные соотношения (2.9). В силу второго
из них и (3.11) выполняется первое из условий (3.2). Учитывая его, записываем (3.10) в виде
y′(t)
y(t)L
(
y(t)
) = α0(λ0 − 1)πω(t)p(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω. (3.12)
Отсюда с учетом знаков y и y′ следует первое из знаковых условий (3.4), а также асимп-
тотическое представление (3.5). В силу (3.5) и (2.5), (2.7) выполняются второе из знаковых
условий (3.4) и второе из условий (3.2). Кроме того, из (3.5) с учетом того, что функция
L
(
Φ−11 (z)
)
является правильно меняющейся при z → Z1 порядка γ, следует, что
L
(
y(t)
)
= L
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
))[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω.
В силу этого представления из (3.12) получаем представление (3.6), из которого согласно
первому из предельных соотношений (2.9) вытекает (3.3).
Достаточность. Пусть наряду с (3.2) – (3.4) выполняется неравенство (3.1). Покажем,
что в этом случае существуют Pω(Y0, λ0)-решения уравнения (1.1), допускающие при t ↑ ω
асимптотические представления (3.5), (3.6).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1352 В. М. ЕВТУХОВ
Применяя к уравнению (1.1) преобразование
y′(t)
y(t)
= α0(1− λ0)I1(t)L1
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
))[
1 + v1(τ)
]
,
Φ1
(
y(t)
)
= α0(λ0 − 1)I2(t)
[
1 + v2(τ)
]
, τ = β ln |πω(t)|,
(3.13)
где
β =
1, если ω = +∞,
−1, если ω < +∞,
получаем систему дифференциальных уравнений
v′1 =
βh1(τ)
1− λ0
[
H(τ, v2)−
g1(τ)(1 + v1)
2
h1(τ)
+ (1 + v1)
(
λ0 − 1 + g1(τ)g2(τ)
)]
,
v′2 = −βh2(τ)
[
1 + v1
H(τ, v2)
+ h1(τ)(1 + v2)
]
,
(3.14)
где
h1
(
τ(t)
)
=
πω(t)p(t)
I1(t)
, H
(
τ(t), v2
)
=
L
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)(1 + v2)
))
L1
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
)) ,
h2
(
τ(t)
)
=
πω(t)I1(t)
I2(t)
, g1
(
τ(t)
)
= α0(λ0 − 1)2πω(t)I1(t)L1
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
))
,
g2
(
τ(t)
)
=
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
)
L′1
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
))
L1
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
)) .
В силу выбора числа β функция τ имеет свойства
lim
t↑ω
τ(t) = +∞, τ ′(t) > 0 при t ∈ [a, ω[ 1, τ : [a, ω[−→ [τ0,+∞[, τ0 = β ln |πω(a)|.
(3.15)
Поэтому, используя первое из условий (3.2), находим
lim
τ→+∞
h1(τ) = −1, lim
τ→+∞
h2(τ) = 0,
+∞∫
τ1
|h2(τ)| dτ = +∞, lim
τ→+∞
h′2(τ)
h2(τ)
= 0 (3.16)
(τ1 — любое из промежутка ]τ0,+∞[).
Согласно второму из условий (3.2), условиям (3.4), а также (2.5) и (2.7) (при i = 1) суще-
ствует число t1 ∈]a, ω[ такое, что α0(λ−1)I2(t)(1+v2) ∈ ∆Z1(c1) при t ∈ [t1, ω[ и |v2| ≤
1
2
. При
1При ω = +∞ считаем, что a > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1353
таком выборе числа t1 правые части системы (3.14) определены и непрерывны на множестве
[τ1,+∞[×D, где τ1 = β ln |πω(t1)| и D =
{
(v1, v2) ∈ R2 : |vi| ≤
1
2
, i = 1, 2
}
.
Поскольку функция L(Φ−11 (z)) является правильно меняющейся при z → Z1 порядка γ, т. е.
допускает представление вида (2.8), и выполняется второе из условий (3.2), c учетом свойства
M1 медленно меняющихся функций имеем
L
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)(1 + v2)
))
=
=
∣∣∣Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
)∣∣∣γ |1 + v2|γL∗1
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)(1 + v2)
))
=
=
∣∣∣Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
)∣∣∣γ |1 + v2|γL∗1
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
))[
1 +R(t, v2)
]
=
= L
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
))
|1 + v2|γ [1 +R(t, v2],
где
lim
t↑ω
R(t, v2) = 0 равномерно по |v2| ≤
1
2
.
В силу этого представления и первого из условий (1.5)
H(τ, v2) = |1 + v2|γ
[
1 + r1(τ, v2)
]
,
1
H(τ, v2)
= |1 + v2|−γ
[
1 + r2(τ, v2)
]
,
где функции ri, i = 1, 2, непрерывны на множестве [τ1,+∞[×
{
v2 ∈ R : |v2| ≤
1
2
}
и такие, что
lim
τ→+∞
ri(τ, v2) = 0, i = 1, 2, равномерно по |v2| ≤
1
2
.
Кроме того, ясно, что limt↑ω Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
)
= Y0, и поэтому в силу условий (1.5),
(3.3) и первого из условий (3.2)
lim
τ→+∞
g1(τ) = −λ0, lim
τ→+∞
g2(τ) = 0.
На основании изложенного выше систему дифференциальных уравнений (3.14) можно
представить в виде
v′1 =
β
λ0 − 1
[
f1(τ, v1, v2)− (λ0 + 1)v1 + γv2 + V1(v1, v2)
]
,
v′2 = −βh2(τ)
[
f2(τ, v1, v2) + v1 − (γ + 1)v2 + V2(v1, v2)
]
,
(3.17)
где
V1(v1, v2) = −λ0v21 + (1 + v2)
γ − 1− γv2, V2(v1, v2) = (1 + v2)
−γ(1 + v1)− 1− v1 + γv2,
а функции fi, i = 1, 2, непрерывны на множестве [τ1,+∞[×D и таковы, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1354 В. М. ЕВТУХОВ
lim
τ→+∞
fi(τ, v1, v2) = 0, i = 1, 2, равномерно по (v1, v2) ∈ D.
Поскольку lim|v1|+|v2|→0
∂Vi(v1, v2)
∂vj
= 0, i, j = 1, 2, то функции Vi, i = 1, 2, удовлетворяют
условиям
lim
|v1|+|v2|→0
Vi(v1, v2)
|v1|+ |v2|
= 0, i = 1, 2.
Также заметим, что в силу (3.1) коэффициент при v1 в первом уравнении системы (3.17) отличен
от нуля и определитель ∣∣∣∣∣−(λ0 + 1) γ
1 −(γ + 1)
∣∣∣∣∣ = 1 + λ0 + γλ0,
составленный из коэффициентов при v1 и v2, стоящих в квадратных скобках этой системы,
также отличен от нуля.
Таким образом, для системы дифференциальных уравнений (3.17) выполняются с учетом
(3.16) все условия теоремы 2.6. из работы [9]. Согласно этой теореме система (3.17) имеет,
по крайней мере, одно решение (v1, v2) : [τ2,+∞[−→ R2, τ2 ≥ τ1, стремящееся к нулю при
τ → +∞, причем таких решений существует однопараметрическое семейство в случае, когда
(λ0−1)(1+λ0+γλ0)h2(τ) > 0 при τ > τ0, и двупараметрическое в случае, когда β(λ0+1)(λ0−
− 1) > 0 и (λ0 − 1)(1 + λ0 + γλ0)h2(τ) < 0 при τ > τ0. Каждому такому решению системы
(3.17) в силу замен (3.13) соответствует решение y : [t2, ω[−→ ∆(Y0) дифференциального
уравнения (1.1), удовлетворяющее при t ↑ ω асимптотическим соотношениям
Φ1(y(t)) = α0(λ0 − 1)I2(t)
[
1 + o(1)
]
,
y′(t)
y(t)
= α0(1− λ0)I1(t)L1
(
Φ−11
(
α0(λ0 − 1)I2(t)
))[
1 + o(1)
]
.
Первое из этих соотношений совпадает с (3.5), а второе в силу (1.5) и первого из условий (3.2)
может быть записано в виде (3.6). Используя представления (3.5) и (3.6), а также условия (3.2) –
(3.4), нетрудно проверить, что любое из таких решений является Pω(Y0, λ0)-решением. Спра-
ведливость утверждения теоремы об условиях существования одно- и двупараметрического
семейств Pω(Y0, λ0)-решений следует из указанных выше неравенств, если учесть, что
β = signπω(t) и signh2(τ(t)) = − sign I2(t) при t ∈]a, ω[.
Теорема доказана.
Далее, установим два результата для случая, когда функция L(Φ−11 (z)) не является правиль-
но меняющейся при z → Z1. Первый из них касается Pω(Y0, 1)-решений, которые не охватыва-
лись теоремой 3.1, а второй – Pω(Y0, λ0)-решений уравнения (1.1), для которых λ0 ∈ R\{0; 1}.
Теорема 3.2. Пусть функция L
(
Φ−12 (z)
)
является правильно меняющейся при z → Z2
порядка γ. Тогда для существования Pω(Y0, 1)-решений уравнения (1.1) необходимо, а если
функция p : [a, ω[−→]0,+∞[ непрерывно дифференцируема и такая, что существует (конеч-
ный или равный ±∞)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1355
lim
t↑ω
p′(t)p−3/2(t)L−1/2
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))
,
то и достаточно, чтобы
lim
t↑ω
πω(t)
[
p(t)L
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))]1/2
=∞, µ0µ1 lim
t↑ω
I3(t) = Z2 (3.18)
и выполнялись неравенства
α0 > 0, µ∗2I3(t) > 0 при t ∈]a, ω[. (3.19)
Более того, для каждого такого решения имеют место при t ↑ ω асимптотические представ-
ления
Φ2
(
y(t)
)
= µ0µ1I3(t)
[
1 + o(1)
]
,
y′(t)
y(t)
= µ0µ1
[
p(t)L
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))]1/2[
1 + o(1)
]
,
(3.20)
причем таких решений при выполнении указанных условий существует однопараметрическое
семейство в случае, когда µ0µ1µ∗2 < 0, и двупараметрическое в случае, когда µ∗2 > 0 и µ0µ1 > 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть y : [t0, ω[→ ∆Y0 — Pω(Y0, 1)-решение дифферен-
циального уравнения (1.1). Тогда для некоторого t1 ∈ [t0, ω[ выполняются условия (3.7) и в
силу леммы 2.1 — условия (2.10). Кроме того, из (1.3) следует, что y′′(t) ∼ [y′(t)]2
y(t)
при t ↑ ω, и
поэтому согласно (1.1)(
y′(t)
y(t)
)2
= α0p(t)L(y(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω.
Отсюда следуют первое из условий (3.19) и асимптотическое соотношение
y′(t)
y(t)L
1
2 (y(t))
= µ0µ1p
1/2(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω. (3.21)
Интегрируя это соотношение на промежутке от t1 до t, получаем
Φ2(y(t)) = µ0µ1I3(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω.
Следовательно, имеет место первое из представлений (3.20). Кроме того, отсюда в силу (2.5)
и (2.7) следуют второе из предельных условий (3.18) и второе из неравенств (3.19). Если же
учесть, что L(Φ−12 (z)) является правильно меняющейся функцией порядка γ при z → Z2,
то в силу приведенного выше асимптотического соотношения, (2.8) и свойства M1 медленно
меняющихся функций
L(y(t)) = L
(
Φ−12 (µ0µ1I3(t)
[
1 + o(1)
])
= L
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω.
Используя это представление, из (3.21) получаем второе из асимптотических соотношений (3.20)
и в силу (2.10) — первое из предельных условий (3.18).
Достаточность. Предположим, что функция p : [a, ω[−→]0,+∞[ непрерывно дифферен-
цируема, существует (конечный или равный ±∞) limt↑ω p
′(t)p−3/2(t) и выполняются усло-
вия (3.18), (3.19). В этом случае, применяя к уравнению (1.1) преобразование
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1356 В. М. ЕВТУХОВ
τ(t) = β ln |I3(t)|, Φ2
(
y(t)
)
= µ0µ1I3(t)
[
1 + v1(τ)
]
,
y′(t)
y(t)
= µ0µ1p
1/2(t)L
1/2
1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))[
1 + v2(τ)
]
,
(3.22)
где
β =
1, если lim
t↑ω
I3(t) =∞,
−1, если lim
t↑ω
I3(t) = 0,
и L1 : ∆Y0 −→]0,+∞[ — непрерывно дифференцируемая и медленно меняющаяся при y → Y0
функция со свойствами (1.5), получаем систему дифференциальных уравнений
v′1 = β
[
[H(τ, v1)]
−1/2(1 + v2)− 1− v1
]
,
v′2 = βq(τ)
[
H(τ, v1)− (1 + v2)
2 − µ0µ1h(τ)(1 + v2)
]
,
(3.23)
в которой
H
(
τ(t), v1
)
=
L
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)[1 + v1]
))
L1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
)) ,
q(τ(t)) = µ0µ1I3(t)L
1/2
1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))
,
h
(
τ(t)
)
=
(
p1/2(t)L
1/2
1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
)))′
p(t)L1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
)) .
Учитывая второе из условий (3.18) и второе из неравенств (3.19), подбираем число t1 ∈]a, ω[
так, чтобы µ0µ1I3(t)[1 + v1] ∈ ∆Z2(c2) (см. (2.6)) при t ∈ [t1, ω[ и |v1| ≤
1
2
. При таком выборе
числа t1
lim
t↑ω
τ(t) = +∞, τ ′(t) > 0 при t ∈ [t1, ω[, τ : [t1, ω[−→ [τ1,+∞[, τ1 = β ln |I3(t1)|
и правые части системы (3.23) непрерывны на множестве Ω = [τ1,+∞[×D,
где D =
{
(v1, v2) ∈ R2 : |vi| ≤
1
2
, i = 1, 2
}
. Кроме того, в силу первого из условий (3.18)
+∞∫
τ1
q(τ) dτ = µ0µ1β
ω∫
t1
p1/2(t)L
1/2
1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))
dt = ±∞. (3.24)
Далее, покажем, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1357
lim
τ→+∞
h(τ) = 0, lim
τ→+∞
q(τ) =∞. (3.25)
Поскольку согласно условиям теоремы существует (конечный или равный ±∞)
limt↑ω p
′(t)p−3/2(t), выполняются второе из условий (3.18) и второе из условий (1.5), для функ-
ции h также существует (конечный или равный ±∞) предел при t ↑ ω. Допустим, что
lim
t↑ω
h(τ(t)) =
{
либо const 6= 0,
либо ±∞.
(3.26)
Интегрируя функцию h
(
τ(t)
)
на промежутке от t1 до t, получаем
t∫
t1
h
(
τ(t)
)
dt = − 1
p1/2(t)L
1/2
1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
)) + C, (3.27)
где C — некоторая постоянная.
Если ω = +∞, то πω(t) = t, и в этом случае в силу первого из условий (3.18)
lim
t→+∞
∫ t
t1
h(τ(t)) dt
t
= 0.
Однако это невозможно, так как в силу правила Лопиталя и (3.26)
lim
t→+∞
∫ t
t1
h
(
τ(t)
)
dt
t
= lim
t→+∞
h
(
τ(t)
)
6= 0.
Если же ω <∞, то πω(t) = t− ω, и в силу первого из условий (3.18)
lim
t↑ω
p1/2(t)L
1/2
1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))
= +∞.
Поэтому из (3.27) следует, что limt↑ω
∫ t
t1
h(τ(t)) dt = C. В силу этого условия равенство (3.27)
может быть представлено в виде
t∫
ω
h
(
τ(t)
)
dt = − 1
p1/2(t)L
1/2
1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
)) .
Разделив это соотношение на πω(t) и перейдя к пределу при t ↑ ω, с учетом первого из
условий (3.18) получим
lim
t↑ω
∫ t
ω
h(τ(t)) dt
t− ω
= 0.
Однако это невозможно, так как предел, стоящий слева, в силу правила Лопиталя и (3.26)
отличен от нуля.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1358 В. М. ЕВТУХОВ
Следовательно, предположение о том, что limt↑ω h
(
τ(t)
)
6= 0, было неверным. Значит,
lim
t↑ω
h
(
τ(t)
)
= lim
τ→+∞
h(τ) = 0.
Чтобы установить справедливость второго из предельных соотношений (3.25), введем функ-
цию z(t) = q(τ(t)). Для этой функции имеем
z′(t) = µ0µ1p
1/2(t)L
1/2
1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))[
1 + δ(t)z(t)
]
, (3.28)
где
δ(t) =
µ0µ1Φ
−1
2
(
µ0µ1I3(t)
)
L′1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))
2L1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
)) L1/2
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))
L
1/2
1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
)) .
Поскольку выполняются предельные соотношения (1.5), а в силу второго из условий (3.18),
второго из неравенств (3.19) и свойств функции Φ2 следует, что limt↑ω Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
)
= Y0,
здесь limt↑ω δ(t) = 0. Следовательно, для любого значения c ∈ R функция
f(t, c) = µ0µ1p
1/2(t)L
1/2
1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))[
1 + δ(t)c
]
сохраняет знак в некоторой левой окрестности ω. Поэтому согласно лемме 2.1 из работы [10]
для функции z существует конечный или равный ±∞ предел при t ↑ ω. Если бы этот предел
был конечным, то из (3.28) получили бы асимптотическое соотношение
z′(t) = µ0µ1p
1/2(t)L
1/2
1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω,
из которого следует, что
z(t)− z(t1) = µ0µ1
t∫
t1
p1/2(s)L
1/2
1
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(s)
))[
1 + o(1)
]
ds.
Однако это невозможно, так как здесь выражение, стоящее слева, имеет конечный предел при
t ↑ ω, а выражение справа в силу первого из условий (3.18 ) — бесконечный. Значит,
lim
t↑ω
z(t) = lim
t↑ω
q
(
τ(t)
)
= lim
τ→+∞
q(τ) =∞.
Перейдем к установлению вида функций H(τ, v1) и H−1/2(τ, v1).
Поскольку согласно условиям теоремы функция L
(
Φ−12 (z)
)
является правильно меняю-
щейся при z → Z2 порядка γ, в силу второго из условий (3.18), второго из неравенств (3.19),
представления (2.8) и свойства M2 медленно меняющихся функций имеем
L
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)[1 + v1]
))
= |I3(t)|γ |1 + v1|γL∗2
(
µ0µ1I3(t)[1 + v1]
)
=
= |I3(t)|γ |1 + v1|γL∗2
(
µ0µ1I3(t)
)[
1 +R(t, v1)
]
=
= L
(
Φ−12
(
µ0µ1I3(t)
))
|1 + v1|γ
[
1 +R(t, v1)
]
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1359
где функция R непрерывна на множестве [t1, ω[×
{
v1 ∈ R : |v1| ≤
1
2
}
и такая, что
limt↑ω R(t, v1) = 0 равномерно по |v1| ≤
1
2
. Отсюда с учетом первого из условий (1.5) следует,
что имеют место представления
H−1/2(τ, v1) = |1 + v1|−γ/2
[
1 + r1(τ, v1)
]
, H(τ, v1) = |1 + v1|γ
[
1 + r2(τ, v1)
]
,
где функции ri, i = 1, 2, непрерывны на множестве [τ1,+∞[×
{
v1 ∈ R : |v1| ≤
1
2
}
и удовлет-
воряют условиям
lim
t↑ω
ri(τ, v1) = 0, i = 1, 2, равномерно по |v1| ≤
1
2
. (3.29)
Используя эти представления, записываем систему дифференциальных уравнений (3.23) в
виде
v′1 = β
[
f1(τ, v1, v2) + a11v1 + a12v2 + V1(v1, v2)
]
,
v′2 = βq(τ)
[
f2(τ, v1, v2) + a21v1 + a22v2 + V2(v1, v2)
]
,
(3.30)
где
f1(τ, v1, v2) = (1 + v1)
−γ/2(1 + v2)r1(τ, v1), V1(v1, v2) = (1 + v2)(1 + v1)
−γ/2 − 1− v2 +
γ
2
v1,
f2(τ, v1, v2) = (1 + v1)
γr2(τ, v1)− µ0µ1h(τ)(1 + v2), V2(v1, v2) = −v22 + (1 + v1)
γ − 1− γv1,
a11 = −γ
2
− 1, a12 = 1, a21 = γ, a22 = −2.
Здесь функции Vi, i = 1, 2, удовлетворяют условиям
lim
|v1|+|v2|→0
∂Vi(v1, v2)
∂vj
= 0, i, j = 1, 2, (3.31)
а функции fi, i = 1, 2, в силу (3.29) и первого из условий (3.25) таковы, что
lim
τ→+∞
fi(τ, v1, v2) = 0, i = 1, 2, равномерно по (v1, v2) ∈ D.
Кроме того,
a22 = −2 6= 0 и a11 − a12a21a−122 = −γ
2
− 1 +
γ
2
= −1 6= 0.
В силу этих условий и (3.24), (3.25) для системы дифференциальных уравнений (3.30) выпол-
няются все условия теоремы 2.8 из работы [9]. Согласно этой теореме система дифференциаль-
ных уравнений (3.30) имеет, по крайней мере, одно решение (v1, v2) : [τ2,+∞[−→ R2, τ2 ≥ τ1,
стремящееся к нулю при τ → +∞, причем таких решений существует однопараметрическое
семейство в случае, когда q(τ) < 0 при τ ≥ τ1, и двупараметрическое в случае, когда β > 0
и βq(τ) > 0 при τ ≥ τ1. Каждому из этих решений в силу замен (3.21) и первого из усло-
вий (1.5) соответствует решение y : [t2, ω[−→ ∆Y0 , t2 ∈ [a, ω[, дифференциального уравнения
(1.1), допускающее при t ↑ ω асимптотические представления (3.20). Кроме того, учитывая,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1360 В. М. ЕВТУХОВ
что β = sign I3(t) при t ∈]a, ω[, а также второе из неравенств (3.19), приходим к выводу о
справедливости утверждения теоремы об условиях наличия одно- и двупараметрического се-
мейств решений с данными представлениями. Любое из этих решений уравнения (1.1) в силу
условий (3.18) и (3.19) является Pω(Y0, 1)-решением.
Теорема доказана.
Теорема 3.3. Пусть функция L
(
Φ−12 (z)
)
является правильно меняющейся при z → Z2
порядка γ и λ0 ∈ R \ {0; 1}. Тогда для существования Pω(Y0, λ0)-решений уравнения (1.1)
необходимо, а если
(1 + λ0)
[
1 + λ0 +
γ
2
(λ0 − 1)
]
6= 0, (3.32)
то и достаточно, чтобы
lim
t↑ω
πω(t)I ′4(t)
I4(t)
= −1, lim
t↑ω
πω(t)I4(t) = − α0λ0
(λ0 − 1)2
, µ0µ1 lim
t↑ω
I3(t) = Z2 (3.33)
и выполнялись неравенства
α0λ0 > 0, µ0µ1(λ0 − 1)πω(t) > 0 и µ∗2I3(t) > 0 при t ∈]a, ω[. (3.34)
Более того, для каждого такого решения имеют место при t ↑ ω асимптотические представ-
ления
Φ2
(
y(t)
)
= µ0µ1|λ0|1/2I3(t)
[
1 + o(1)
]
,
y′(t)
y(t)
= α0(1− λ0)I4(t)
[
1 + o(1)
]
, (3.35)
причем таких решений при выполнении указанных условий существует однопараметрическое
семейство в случае, когда µ0µ1µ
∗
2
[
1 + λ0 +
γ
2
(λ0 − 1)
]
< 0, и двупараметрическое, когда
µ0µ1(1 + λ0) > 0 и µ∗2(1 + λ0)
[
1 + λ0 +
γ
2
(λ0 − 1)
]
> 0.
Доказательство. Необходимость. Пусть y : [t0, ω[−→ ∆Y0 — произвольное Pω(Y0, λ0)-
решение дифференциального уравнения (1.1). Тогда наряду с (1.2) и (1.3) для некоторого t1 ∈
∈ [t0, ω[ выполняются условия (3.7) и в силу леммы 2.1 — условия (2.9).
Из (1.1) с учетом второго из условий (1.3) имеем(
y′(t)
y(t)
)2
= α0λ0p(t)L
(
y(t)
)[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω. (3.36)
Отсюда ясно, что выполняется первое из условий (3.34) и имеет место (с учетом знаков y и y′)
асимптотическое соотношение
y′(t)
y(t)L1/2
(
y(t)
) = µ0µ1|λ0|1/2p1/2(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω. (3.37)
Кроме того, из (1.1) следует, что(
y′(t)
y(t)
)′
+
(
y′(t)
y(t)
)2
= α0p(t)L
(
y(t)
)
,
и поэтому в силу (3.36)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1361(
y′(t)
y(t)
)′
= α0(1− λ0)p(t)L
(
y(t)
)[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω. (3.38)
Интегрируя (3.37) на промежутке от t1 до t, получаем соотношение, которое не противоречит
второму из условий (1.2) лишь в случае, когда
Φ2(y(t)) = µ0µ1|λ0|
1
2 I3(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω.
Значит, имеет место первое из асимптотических представлений (3.35) и в силу (2.5), (2.7)
выполняются третье из предельных условий (3.33) и третье из неравенств (3.34).
Поскольку согласно условиям теоремы функция L(Φ−12 (z)) является правильно меняющей-
ся при z → Z2 и справедливы установленные выше представление для Φ2(y(t)) и условия из
(3.33), (3.34), при t ↑ ω
L
(
y(t)
)
= L
(
Φ−12
(
µ0µ1|λ0|1/2I3(t)
[
1 + o(1)
]))
= L
(
Φ−12
(
µ0µ1|λ0|1/2I3(t)
))[
1 + o(1)
]
.
Подставляя это значение L
(
y(t)
)
в правую часть (3.38) и интегрируя полученное при этом
соотношение на промежутке от a0 до t, где a0 ∈ [t1, ω[ и такое, что µ0µ1|λ0|1/2I3(t) ∈ ∆Z2(c)
при t ∈ [a0, ω[, находим
y′(t)
y(t)
= α0(1− λ0)I4(t)
[
1 + o(1)
]
при t ↑ ω,
т. е. выполняется второе из асимптотических представлений (3.35). В силу этого условия и (1.1)
имеем
πω(t)y′(t)
y(t)
∼ α0(1− λ0)πω(t)I4(t) и
πω(t)y′′(t)
y′(t)
∼ πω(t)I ′4(t)
(1− λ0)I4(t)
при t ↑ ω.
Отсюда с учетом (2.9) получаем первое и второе из предельных условий (3.33). Учитывая
первое из них и второе из асимптотических соотношений (3.35), убеждаемся также в справед-
ливости второго из знаковых условий (3.34).
Достаточность. Пусть наряду с (3.33) и (3.34) выполняется неравенство (3.32). Покажем,
что в этом случае дифференциальное уравнение (1.1) имеет Pω(Y0, λ0)-решение, допускающее
при t ↑ ω асимптотические представления (3.35), и выясним вопрос об их количестве. Для
этого, применяя к уравнению (1.1) преобразование
y′(t)
y(t)
= α0(1− λ0)I4(t)
[
1 + v1(τ)
]
, Φ2
(
y(t)
)
= µ0µ1|λ0|1/2I3(t)
[
1 + v2(τ)
]
,
τ = β ln |πω(t)|, где β =
1, если ω = +∞,
−1, если ω < +∞,
(3.39)
получаем c учетом первых двух из знаковых условий (3.34) систему дифференциальных урав-
нений
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1362 В. М. ЕВТУХОВ
v′1 =
β
1− λ0
[
g1(τ)H(τ, v2)− α0(1− λ0)2g2(τ)(1 + v1)
2 − (1− λ0)g1(τ)(1 + v1)
]
,
v′2 = βg3(τ)
[∣∣∣∣(1− λ0)2g2(τ)
λ0g1(τ)
∣∣∣∣1/2 1 + v1
H1/2(τ, v2)
− 1− v2
]
,
(3.40)
в которой
g1
(
τ(t)
)
=
πω(t)I ′4(t)
I4(t)
, g2
(
τ(t)
)
= πω(t)I4(t), g3
(
τ(t)
)
=
πω(t)p1/2(t)
I3(t)
,
H
(
τ(t), v2
)
=
L
(
Φ−12
(
µ0µ1|λ0|1/2I3(t)[1 + v2]
))
L
(
Φ−12
(
µ0µ1|λ0|1/2I3(t)
)) .
В силу третьего из условий (3.33), третьего из неравенств (3.34) и (2.5), (2.7) (при i = 2) сущест-
вует число t1 ∈]a, ω[ такое, что µ0µ1|λ0|1/2I3(t)[1 + v2] ∈ ∆Z2(c2) при t ∈ [t1, ω[ и |v2| ≤
1
2
.
Отсюда с учетом свойств (3.15) функции τ ясно, что правые части системы (3.40) непрерывны
на множестве Ω = [τ1,+∞[×D, где τ1 = β ln |πω(t1)| иD =
{
(v1, v2) ∈ R2 : |vi| ≤
1
2
, i = 1, 2
}
.
Кроме того, с использованием первых двух условий из (3.33), третьего из неравенств (3.34) и
свойств (3.15) имеем
lim
τ→+∞
g1(τ) = lim
t↑ω
g1(τ(t)) = −1, lim
τ→+∞
g2(τ) = lim
t↑ω
g2(τ(t)) = − α0λ0
(λ0 − 1)2
, (3.41)
+∞∫
τ1
|g3(τ)| dτ = µ∗2
ω∫
t1
I ′3(t)
I3(t)
dt = µ∗2 ln |I3(t)||ωt1 = +∞. (3.42)
Поскольку функция L
(
Φ−12 (z)
)
является правильно меняющейся при z → Z2, таким же обра-
зом, как при доказательстве двух предыдущих теорем, устанавливаем, что
H(τ, v2) = |1 + v2|γ
[
1 + r1(τ, v2)
]
, H−1/2(τ, v2) = |1 + v2|−γ/2
[
1 + r2(τ, v2)
]
, (3.43)
где функции ri, i = 1, 2, непрерывны на множестве [τ1,+∞[×
{
v1 ∈ R : |v1| ≤
1
2
}
и удовлет-
воряют условиям
lim
t↑ω
ri(τ, v1) = 0, i = 1, 2, равномерно по |v1| ≤
1
2
.
Далее, заметим, что
βg3(τ) =
g4(τ)
q(τ)
,
где
q
(
τ(t)
)
= I3(t)L
1/2
1
(
Φ−12
(
µ0µ1|λ0|1/2I3(t)
))
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ . . . 1363
g4
(
τ(t)
)
=
∣∣∣∣∣g1
(
τ(t)
)
g2
(
τ(t)
)
L1
(
Φ−12
(
µ0µ1|λ0|1/2I3(t)
))
L
(
Φ−12
(
µ0µ1|λ0|1/2I3(t)
)) ∣∣∣∣∣
1/2
и L1 : ∆Y0 −→]0,+∞[ — непрерывно дифференцируемая и медленно меняющаяся при y → Y0
функция со свойствами (1.5).
Здесь в силу (3.41), (3.42) и (1.5)
lim
τ→+∞
g4(τ) =
|λ0|1/2
|λ0 − 1|
, µ∗2
+∞∫
τ1
dτ
q(τ)
= +∞. (3.44)
Как при доказательстве достаточности теоремы 3.2, можно установить, что здесь для данной
функции q также выполняется второе из предельных условий (3.25). Кроме того, учитывая
(3.33), второе из условий (1.5) и вид функции τ, нетрудно проверить, что
lim
τ→+∞
q′(τ)
q(τ)
= 0. (3.45)
В силу первого из условий (3.44), а также (3.41) и (3.43) система дифференциальных урав-
нений (3.40) может быть представлена в виде
v′1 =
β
1− λ0
[
f1(τ, v1, v2) + a11v1 + a12v2 + V1(v1, v2)
]
,
v′2 =
|λ0|1/2h(τ)
|λ0 − 1|
[
f2(τ, v1, v2) + a21v1 + a22v2 + V2(v1, v2)
]
,
(3.46)
где функции fi, i = 1, 2, непрерывны на множестве [τ1,+∞[×D и таковы, что
lim
τ→+∞
fi(τ, v1, v2) = 0, i = 1, 2, равномерно по (v1, v2) ∈ D,
h(τ) =
1
q(τ)
, a11 = 1 + λ0, a12 = −γ, a21 = 1, a22 = −γ
2
− 1,
V1(v1, v2) = λ0v
2
1 + 1 + γv2 − (1 + v2)
γ , V2(v1, v2) =
γ
2
v2 + (1 + v1)
[
(1 + v2)
−γ/2 − 1
]
.
В этой системе уравнений функции Vi, i = 1, 2, удовлетворяют условиям (3.31), функция h в
силу (3.25), (3.45) и второго из условий условий (3.44) имеет свойства
lim
τ→+∞
h(τ) = 0, lim
τ→+∞
h′(τ)
h(τ)
= 0,
+∞∫
τ1
h(τ) dτ = ±∞,
а постоянные aij , i, j = 1, 2, согласно условию (3.32) таковы, что
a11 = 1 + λ0 6= 0,
∣∣∣∣∣a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣ = −
[
1 + λ0 +
γ
2
(λ0 − 1)
]
6= 0.
Тем самым показано, что для системы дифференциальных уравнений (3.45) выполняются
все условия теоремы 2.6 из работы [9]. На основании этой теоремы система уравнений (3.45)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1364 В. М. ЕВТУХОВ
имеет, по крайней мере, одно решение (v1, v2) : [τ2,+∞[−→ R2, τ2 ≥ τ1, стремящееся к нулю
при τ → +∞, причем таких решений существует однопараметрическое семейство в случае,
когда µ0µ1µ∗2
[
1 + λ0 +
γ
2
(λ0 − 1)
]
< 0, и двупараметрическое в случае µ0µ1(1 + λ0) > 0 и
µ∗2(1 + λ0)
[
1 + λ0 +
γ
2
(λ0 − 1)
]
> 0. Каждому такому решению системы (3.45) в силу замен
(3.39) соответствует решение y : [t2, ω[−→ ∆Y0 , t2 ∈ [t1, ω[, допускающее при t ↑ ω асимпто-
тические представления (3.35), причем нетрудно убедиться с помощью этих представлений и
условий (3.33) и (3.34), что оно является Pω(Y0, λ0)-решением.
Теорема доказана.
Из установленных здесь теорем в частном случае, когда L(y) = | ln |y||σ, следуют все
основные результаты работ [3 – 6].
1. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. – М.: Наука, 1990. – 430 с.
2. Evtukhov V. M., Mousa Jaber Abu Elshour. Asymptotic behaviour of solutions of second order nonlinear differential
equations clouse to linear equations // Mem. Different. Equat. Math. Phys. – 2008. – 43. – P. 97 – 106.
3. Муса Джабер Абу эль-шаур. Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных урав-
нений второго порядка, близких к линейным // Нелiнiйнi коливання. – 2008. – 11, № 2. – C. 230 – 241.
4. Mousa Jaber Abu Elshour. Asymptotic representations of the solutions of a class of the second order non-autonomous
differential equations // Mem. Different. Equat. Math. Phys. – 2008. – 44. – P. 59 – 68.
5. Mousa Jaber Abu Elshour, Evtukhov V. M. Asymptotic representations for solutions of a class of second order
nonlinear differential equations // Miscolc Math. Notes. – 2009. – 2. – P. 119 – 127.
6. Mousa Jaber Abu Elshour. Asymptotic representations of solutions of second order nonlinear differential equations
// Int. Math. Forum. – 2009. – 4, № 17. – P. 835 – 844.
7. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
8. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных
уравнений: Дис . . . д-ра физ.-мат. наук. – Киев, 1998. – 295 c.
9. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений вещественных
неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. –
С. 52 – 80.
10. Евтухов В. М., Шинкаренко В. Н. Асимптотические представления решений двучленных неавтономных обык-
новенных дифференциальных уравнений n-го порядка с экспоненциальной нелинейностью // Дифференц.
уравнения. – 2008. – 44, № 3. – С. 308 – 322.
Получено 10.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2663 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:53Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/57/eaea4440d4e8da6458f0e3e31327f057.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26632020-03-18T19:32:22Z Asymptotics of Solutions of Nonautonomous Second-Order Ordinary Differential Equations Asymptotically Close to Linear Equations Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, асимптотически близких к линейным Evtukhov, V. M. Евтухов, В. М. Евтухов, В. М. Asymptotic representations are obtained for a broad class of monotone solutions of nonautonomous binary differential equations of the second order that are close in a certain sense to linear equations. Встановлено асимптотичнi зображення для широкого класу монотонних розв’язкiв неавтономних двочленних звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2663 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 10 (2012); 1346-1364 Український математичний журнал; Том 64 № 10 (2012); 1346-1364 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2663/2085 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2663/2086 Copyright (c) 2012 Evtukhov V. M. |
| spellingShingle | Evtukhov, V. M. Евтухов, В. М. Евтухов, В. М. Asymptotics of Solutions of Nonautonomous Second-Order Ordinary Differential Equations Asymptotically Close to Linear Equations |
| title | Asymptotics of Solutions of Nonautonomous Second-Order Ordinary Differential Equations Asymptotically Close to Linear Equations |
| title_alt | Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, асимптотически близких к линейным |
| title_full | Asymptotics of Solutions of Nonautonomous Second-Order Ordinary Differential Equations Asymptotically Close to Linear Equations |
| title_fullStr | Asymptotics of Solutions of Nonautonomous Second-Order Ordinary Differential Equations Asymptotically Close to Linear Equations |
| title_full_unstemmed | Asymptotics of Solutions of Nonautonomous Second-Order Ordinary Differential Equations Asymptotically Close to Linear Equations |
| title_short | Asymptotics of Solutions of Nonautonomous Second-Order Ordinary Differential Equations Asymptotically Close to Linear Equations |
| title_sort | asymptotics of solutions of nonautonomous second-order ordinary differential equations asymptotically close to linear equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2663 |
| work_keys_str_mv | AT evtukhovvm asymptoticsofsolutionsofnonautonomoussecondorderordinarydifferentialequationsasymptoticallyclosetolinearequations AT evtuhovvm asymptoticsofsolutionsofnonautonomoussecondorderordinarydifferentialequationsasymptoticallyclosetolinearequations AT evtuhovvm asymptoticsofsolutionsofnonautonomoussecondorderordinarydifferentialequationsasymptoticallyclosetolinearequations AT evtukhovvm asimptotikarešenijneavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkaasimptotičeskiblizkihklinejnym AT evtuhovvm asimptotikarešenijneavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkaasimptotičeskiblizkihklinejnym AT evtuhovvm asimptotikarešenijneavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdkaasimptotičeskiblizkihklinejnym |