Generalization of One Sufficient Condition for Fourier Multipliers
We obtain new sufficient conditions for Fourier multipliers in the Hardy spaces $H_p(\mathbb{R}^n),\; 0 < p < 2$. These conditions are given in terms of the simultaneous behavior of a function and its derivatives. The results of this paper generalize the corresponding theorems of A. Mi...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2665 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508609898610688 |
|---|---|
| author | Kolomoitsev, Yu. S. Коломойцев, Ю. С. Коломойцев, Ю. С. |
| author_facet | Kolomoitsev, Yu. S. Коломойцев, Ю. С. Коломойцев, Ю. С. |
| author_sort | Kolomoitsev, Yu. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:22Z |
| description | We obtain new sufficient conditions for Fourier multipliers in the Hardy spaces $H_p(\mathbb{R}^n),\; 0 < p < 2$. These conditions
are given in terms of the simultaneous behavior of a function and its derivatives. The results of this paper generalize the corresponding theorems of A. Miachi. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Ю. С. Коломойцев (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ОБОБЩЕНИЕ ОДНОГО ДОСТАТОЧНОГО УСЛОВИЯ
ДЛЯ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ ФУРЬЕ
We obtain new sufficient conditions for Fourier multipliers in the Hardy spaces Hp(Rn), 0 < p < 2. These conditions
are given in terms of the simultaneous behavior of a function and its derivatives. The results of this paper generalize the
corresponding theorems of A. Miachi.
Отримано новi достатнi умови для мультиплiкаторiв Фур’є у просторах Хардi Hp(Rn), 0 < p < 2. Цi умови дано
в термiнах спiльної поведiнки функцiї та її похiдних. Результати цiєї статтi є узагальненням вiдповiдних теорем
А. Мiячi.
1. Введение. В работе [1] А. Миячи доказал следующее достаточное условие для мультипли-
каторов Фурье, учитывающее совместное поведение функции и ее частных производных.
Теорема A. Пусть 0 < p < 2, a ≥ 0, b ≥ 0 и r = max
{[
n
(
1
p
− 1
2
)]
+ 1,
[n
2
]
+ 1
}
.
Предположим, что m ∈W 2, r
loc (R
n), m(ξ) = 0 в окрестности нуля и удовлетворяет следующим
неравенствам:
|m(ξ)| ≤ C|ξ|−b и
R−n ∫
R<|x|<2R
|Dνm(x)|2dx
1/2
≤ CR−bR(a−1)|ν|1
для всех 0 ≤ |ν|1 ≤ r и R > 0. Тогда если an
(
1
p
− 1
2
)
= b, то m является мультипликатором
Фурье в пространстве Hp(Rn).
Аналогичная теорема имеет место также для функций m, имеющих компактный носитель
(см. теоремы 1′, 1′′ и 2′′ в [1]). Отметим, что подобные достаточные условия для мультипли-
каторов в аналитических пространствах Харди Hp, 0 < p ≤ 1, в различных областях в Cn
исследовались в работах [2 – 5].
Точность теоремы A можно проверить, например, использовав известную функцию-мульти-
пликатор
ma, b(ξ) = θ(ξ)
ei|ξ|
a
|ξ|b
, a > 0, b > 0, (1)
где θ ∈ C∞(Rn), θ(ξ) = 0 при |x| < 1 и θ(ξ) = 1 при |x| ≥ 2. Известно (см. [1, 6, 7], а также [8],
гл. IV, § 7.4), что функция ma, b при a 6= 1 является мультипликатором в пространстве Hp(Rn),
0 < p < 2, если и только если
b
a
≥ n
(
1
p
− 1
2
)
.
Заметим, что достаточные условия в терминах совместного поведения функции и ее про-
изводных для мультипликаторов Фурье в пространствах L1 (C или L∞) появились совсем
недавно (см., например, работы [9, 10] и обзор [11], раздел 10). В частности, в [9] (см. также
c©Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10 1373
1374 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
работу [10], в которой получены более общие достаточные условия) было показано, что ло-
кально абсолютно непрерывная на R функция m является мультипликатором в L1(R), если при
|x| → ∞
|m(x)| = O
(
1
|x|γ0
)
, γ0 > 0, |m′(x)| = O
(
1
|x|γ1
)
γ1 ∈ R, (2)
и γ0 + γ1 > 1. При этом если γ0 + γ1 ≤ 1, то такая функция m уже может не быть мультипли-
катором в L1(R), по крайней мере, если γ0 6= 1/2, γ1 6= 1/2 (по поводу точности условий см.
также [1] (лемма 4) и [6] (теорема 9)). Как видно из теоремы A, функция m, удовлетворяющая
оценкам (2), является мультипликатором в H1(R), если γ0 + γ1 ≥ 1.
Цель настоящей статьи — получить обобщения приведенного выше достаточного условия
А. Миячи. В частности, мы покажем, что требование степенного убывания функции m и L2-
средних ее частных производных в теореме A можно убрать, что по существу расширяет класс
исследуемых функций m.
2. Основные обозначения. Пусть Rn — n-мерное eвклидово пространство элементов
x = (x1, . . . , xn), ξ = (ξ1, . . . , ξn) со скалярным произведением (x, ξ) = x1ξ1 + . . . + xnξn и
нормой |x| = (x, x)
1
2 . Как обычно, пространство Lp(Rn) состоит из измеримых функций f(x),
x ∈ Rn, для которых при 0 < p <∞
‖f‖p =
∫
Rn
|f(x)|pdx
1
p
<∞,
а при p =∞
‖f‖∞ = ess sup
x∈Rn
|f(x)| <∞.
Мы используем стандартные обозначения для пространства распределений умеренного ро-
ста S ′(Rn) и для соответствующего пространства пробных функций S(Rn).
Вещественные пространства Харди Hp(Rn), 0 < p <∞, определяют как класс умеренных
распределений f ∈ S ′(Rn) таких, что
‖f‖Hp =
∥∥ sup
t>0
|ϕt ∗ f(x)|
∥∥
p
<∞,
где ϕ ∈ S(Rn),
∫
Rn ϕ(x)dx 6= 0 и ϕt(x) = t−nϕ(x/t).
Известно, что если 1 < p <∞, то Hp(Rn) = Lp(Rn) с эквивалентными нормами (см. [7]).
Преобразование Фурье функции f ∈ L1(Rn) определим стандартным образом:
f̂(ξ) = Ff(ξ) = (2π)−
n
2
∫
Rn
f(x)e−i(ξ,x)dx,
положим также F−1f(ξ) = Ff(−ξ).
Функцию m называют мультипликатором Фурье в Hp(Rn) (пишут m ∈ M(Hp)), если
оператор
T : F(Tf)(x) = m(x)f̂(x), f ∈ Hp(Rn) ∩ L2(Rn),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
ОБОБЩЕНИЕ ОДНОГО ДОСТАТОЧНОГО УСЛОВИЯ ДЛЯ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ ФУРЬЕ 1375
можно продолжить до линейного ограниченного оператора на всем Hp(Rn).
Пусть α = (α1, . . . , αn) — мультииндекс с неотрицательными координатами, тогда
Dαf(x) =
∂|α|1f(x)
∂xα1
1 . . . ∂xαnn
.
Частную производную порядка r ∈ N по переменной xi обозначим через Dr
i f(x) =
∂r
∂xri
f(x).
Будем говорить, что функция m принадлежит классу ACrloc(Rn), если m ∈ L∞(Rn) и
частные производныеDr−1
i m для всех i = 1, . . . , n локально абсолютно непрерывны на Rn\{0}
по каждой переменной.
Шар радиуса R с центром в нуле обозначим символом BR := {x ∈ Rn : |x| < R}. Положим
также Vj = B2j+1 \B2j−1 . Буквой C будем обозначать положительные постоянные, зависящие
от указанных параметров, а буквой A — некоторые конечные постоянные.
3. Формулировка основных результатов.
Теорема 1. Пусть 0 < p < 1, r > n(1/p− 1/2) и m ∈ ACrloc(Rn). Если
sup
j∈Z
1
2nj
∫
Vj
|m(ξ)|2dξ
1
2
− n
2r
( 1
p
− 1
2
) 1
2nj
∫
Vj
|2sjDs
im(ξ)|2dξ
n
2r
( 1
p
− 1
2
)
≤ A (3)
для всех s = 0, . . . , r и i = 1, . . . , n, то m ∈M(Hp).
Отметим, что при p = 1 теорема 1 неверна (см. ниже предложение 1). Однако при более
сильном условии вида (3) имеет место следующий аналог данной теоремы.
Теорема 2. Пусть 1 ≤ p < 2, r > n/2 и m ∈ ACrloc(Rn). Если
sup
j∈Z
(
sup
ξ∈Vj
|m(ξ)|
)1−n
r
( 1
p
− 1
2
)
1
2nj
∫
Vj
|2sjDs
im(ξ)|2dξ
n
2r
( 1
p
− 1
2
)
≤ A (4)
для всех s = 0, . . . , r и i = 1, . . . , n, то m ∈M(Hp).
Прежде чем перейти к доказательству основных результатов, сделаем несколько замечаний.
1. Точность условий (3) и (4) в приведенных выше теоремах можно проверить, использовав
функцию (1). В частности, при λ <
n
r
(
1
p
− 1
2
)
условие
sup
j∈Z
(
sup
ξ∈Vj
|m(ξ)|
)1−λ
1
2nj
∫
Vj
|2sjDs
im(ξ)|2dξ
λ
2
≤ A,
где s = 0, . . . , r, а i = 1, . . . , n, не является достаточным для того, чтобы m ∈ M(Hp),
0 < p < 2.
2. В качестве примера рассмотрим функцию
m∗a, b(ξ) = θ(ξ)
eie
a|ξ|
eb|ξ|
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1376 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
Если ra > b > 0, то частные производные Dr
im
∗
a, b экспоненциально возрастают на бесконеч-
ности и, следовательно, теорема A уже не применима для исследования данной функции. В то
же время, используя теоремы 1 и 2, нетрудно проверить, что m∗a, b ∈M(Hp), 0 < p < 2, если
b
(
1 +
n
r
(
1
p
− 1
2
))
> 2an
(
1
p
− 1
2
)
и r = max
{[
n
(
1
p
− 1
2
)]
+ 1,
[n
2
]
+ 1
}
.
3. В некоторых случаях использование L∞-нормы в (4) является слишком сильным огра-
ничением. При некотором видоизменении условия (4) L∞-норму произведения mηj можно
заменить L2-нормой. Так, применяя теорему 2.2 из [12], в которой показано, что m ∈ M(H1),
если
∑∞
j=−∞ ‖F(mηj)‖21 <∞, а также используя аналог известной теоремы Берлинга об абсо-
лютной интегрируемости интеграла Фурье (см., например, [11], теоремы 6.3 и 9.2), получаем
следующее достаточное условие для мультипликаторов в H1(Rn).
Теорема 3. Пусть r > n/2 и m ∈ ACrloc(Rn). Если
∞∑
j=−∞
1
2nj
∫
Vj
|m(ξ)|2dξ
1− n
2r
1
2nj
∫
Vj
|2sjDs
im(ξ)|2dξ
n
2r
≤ A (5)
для всех s = 0, . . . , r и i = 1, . . . , n, то m ∈M(H1).
4. Доказательства теорем 1 и 2. Доказательство теоремы 1 основано на схеме доказа-
тельства теоремы 1 из работы [1].
Нам понадобятся две вспомогательные леммы, дающие описание пространства Hp(Rn) с
помощью атомного разложения и преобразования Рисса.
Напомним, что функция f называется p-атомом, если существует шар B ⊂ Rn такой, что
supp f ⊂ B, ‖f‖∞ ≤ |B|−1/p (|B| — мера Лебега шара B) и∫
Rn
f(x)xαdx = 0, |α|1 ≤ [n(1/p− 1)]. (6)
Лемма 1 (см. [13], теорема A). Пусть 0 < p ≤ 1. Тогда f принадлежит Hp(Rn), если и
только если f можно представить в виде сходящегося в Hp(Rn) ряда
f(x) =
∞∑
k=0
λkfk(x), (7)
где fk — p-атом, а
∑∞
k=0 |λk|p <∞. Более того,
C−1‖f‖Hp ≤ inf
{(∑
k
|λk|p
) 1
p }
≤ C‖f‖Hp ,
где инфимум берется по всем представлениям функции f в виде (7), а постоянная C зависит
только от p и n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
ОБОБЩЕНИЕ ОДНОГО ДОСТАТОЧНОГО УСЛОВИЯ ДЛЯ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ ФУРЬЕ 1377
Приведем теперь характеризацию пространства Hp(Rn) с помощью преобразования Рисса.
Пусть α = (α1, . . . , αn) — мультииндекс с неотрицательными координатами, положим
Rαf = F−1
((
−iξ
|ξ|
)α
f̂(ξ)
)
, f ∈ L2(Rn).
Лемма 2 (см. [1], теорема B). Пусть k ∈ N и p > (n−1)/(n−1+k). Тогда f принадлежит
L2(Rn) ∩Hp(Rn), если и только если Rαf ∈ L2(Rn) ∩ Lp(Rn) для всех |α|1 ≤ k, и
C−1‖f‖Hp ≤
∑
|α|1≤k
‖Rαf‖p ≤ C‖f‖Hp , f ∈ L2(Rn) ∩Hp(Rn),
где постоянная C зависит только от p, k и n.
Пусть AR, 0 < R <∞, — множество функций f, для которых имеет место (6), supp f ⊂ BR
и ‖f‖∞ ≤ R−
n
p . Используя леммы 1 и 2, а также учитывая инвариантность относительно сдвига
оператора T, убеждаемся, что для доказательства теоремы 1 достаточно проверить неравенство
‖Tf‖p ≤ C для всех функций f ∈ AR, 0 < R <∞ (подробнее см. в [1, с. 160, 161]).
Итак, пусть f ∈ AR, тогда ‖f‖2 ≤ CR
−n
p
+n
2 . Применяя последовательно неравенство
Гельдера и теорему Планшереля, получаем оценку ‖Tf‖Lp(B2R) ≤ C‖m‖∞. Таким образом,
остается только доказать неравенство ‖Tf‖Lp(Rn\B2R) ≤ CA, где C — постоянная, зависящая
только от p и n.
Всюду далее для удобства положим
mj(ξ) = m(ξ)η(2−jξ),
где η ∈ C∞(Rn), supp η ⊂ {ξ ∈ Rn : 1/2 ≤ |ξ| ≤ 2}, 0 ≤ η(ξ) ≤ 1 для всех ξ ∈ Rn и
∞∑
j=−∞
η(2−jξ) ≡ 1, ξ 6= 0.
Пусть β = (β1, . . . , βn) — произвольный мультииндекс с неотрицательными целыми ко-
ординатами. Используя формулу Лейбница, а также учитывая принадлежность функции m
пространству ACrloc(Rn), находим
‖Dr
i (ξ
βmj(ξ))‖2 ≤ C2j|β|1‖Dr
imj‖2. (8)
Здесь и ниже постоянные C зависят только p, n и r.
Не теряя общности, далее можно считать, что mj 6≡ 0 для всех j ∈ Z. Из (8) и (3) следует
неравенство
‖Hr
jD
r
i (ξ
βmj(ξ))‖2 ≤ C2j|β|1‖mj‖2,
где Hj =
(
A−12
jn( 1
p
−1)‖mj‖2
) 1
n( 1p−
1
2 ) , из которого после применения теоремы Планшереля
получаем
‖gj(x)DβKj(x)‖2 ≤ C2j|β|1‖mj‖2,
где Kj = F−1mj и gj(x) = (1 +Hj |x|)r.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1378 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
Далее, используя неравенство Минковского, имеем∥∥∥∥ 1
Rn
∫
BR
1∫
0
|gj(x− ty)DβKj(x− ty)|dtdy
∥∥∥∥
2
≤
≤ 1
Rn
∫
BR
1∫
0
‖gj(x− ty)DβKj(x− ty)‖2dtdy ≤ C2j|β|1‖mj‖2.
Учитывая, что при x ∈ Rn \ B2R, y ∈ BR и t ∈ (0, 1) выполняются неравенства |x|/2 ≤
≤ |x− ty| ≤ 2|x|, а также применяя неравенство Гельдера, находим∥∥∥∥ 1
Rn
∫
BR
1∫
0
|DβKj(x− ty)|dtdy
∥∥∥∥
Lp(Rn\B2R)
≤
≤ C
∥∥∥∥ 1
gj(x)Rn
∫
BR
1∫
0
|gj(x− ty)DβKj(x− ty)|dtdy
∥∥∥∥
Lp(Rn\B2R)
≤
≤ C
∥∥∥∥ 1
gj(x)
∥∥∥∥
2p
2−p
∥∥∥∥ 1
Rn
∫
BR
1∫
0
|gj(x− ty)DβKj(x− ty)|dtdy
∥∥∥∥
2
≤
≤ C(Hj)
−n( 1
p
− 1
2
)
2j|β|1‖mj‖2 = CA2
j(|β|1−n( 1p−1)). (9)
Аналогично получаем∥∥∥∥∥ 1
Rn
∫
BR
|Kj(x− y)|dy
∥∥∥∥∥
Lp(Rn\B2R)
≤ CA2−jn(
1
p
−1)
. (10)
Далее, учитывая, что f ∈ AR является ортогональной ко всем полиномам порядка не выше
N = [n(1/p− 1)], по формуле Тейлора имеем
Tjf(x) =
∫
BR
Kj(x− y)f(y)dy =
=
∫
BR
Kj(x− y)−
∑
|β|≤N
1
β!
DβKj(x)(−y)β
f(y)dy =
= (N + 1)
∑
|β|=N+1
∫
BR
1∫
0
(1− t)N 1
β!
DβKj(x)(−y)βf(y)dtdy.
Следовательно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
ОБОБЩЕНИЕ ОДНОГО ДОСТАТОЧНОГО УСЛОВИЯ ДЛЯ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ ФУРЬЕ 1379
|Tjf(x)| ≤ CR−
n
p
∫
BR
|Kj(x− y)|dy
и
|Tjf(x)| ≤ CR−
n
p
+N+1
∑
|β|=N+1
∫
BR
1∫
0
|DβKj(x− ty)|dtdy.
Отсюда, применяя оценки (9) и (10), непосредственно получаем
‖Tjf‖Lp(Rn\B2R) ≤
CA(R2j)
−n( 1
p
−1)
,
CA(R2j)
N+1−n( 1
p
−1)
.
(11)
Наконец, оценим норму ‖Tf‖Lp(Rn\B2R). Выберем jR ∈ Z так, чтобы 2jRR � 1. Применяя
оценки (11), находим
‖Tf‖pLp(Rn\B2R)
≤
jR∑
j=−∞
‖Tjf‖pLp(Rn\B2R)
+
∞∑
j=jR+1
‖Tjf‖pLp(Rn\B2R)
≤
≤ CA
jR∑
j=−∞
(R2j)Np+p−n(1−p) +
∞∑
j=jR+1
(R2j)−n(1−p)
≤
≤ CA
(
(R2jR)Np+p−n(1−p) + (R2jR)−n(1−p)
)
≤ CA.
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2 основано на методе аналитической интерполяции (см., напри-
мер, [14, c. 151, 152] или [15, c. 597] вместе с леммой 2).
Выбирая 0 < q < 1 так, чтобы
[
n
(
1
q
− 1
2
)]
+ 1 = r, полагаем
m̃z(ξ) =
∑
j∈Z
‖mχVj‖ε−(1+ε)z∞ m(ξ)χVj (ξ), 0 ≤ Re z ≤ 1,
где ε = (1/q − 1/p)/(1/p− 1/2), а χE — характеристическая функция множества E.
Из определения функции m̃z видно, что |m̃1+iy(ξ)| ≤ 4 и, следовательно, m̃1+iy ∈ M(L2).
Выполняя простые вычисления и используя при этом неравенства (4), нетрудно проверить, что
sup
j∈Z
(
sup
ξ∈Vj
|m̃iy(ξ)|
)1−n
r
( 1
q
− 1
2
)
1
2nj
∫
Vj
|2sjDs
i m̃iy(ξ)|2dξ
n
2r
( 1
q
− 1
2
)
≤ A
для всех s = 0, . . . , r и i = 1, . . . , n. Отсюда, используя теорему 1, имеем m̃iy ∈M(Hq).
Таким образом, учитывая, что 1/p = (1−θ)/q+θ/2, где θ =
ε
1 + ε
, а также применяя теоре-
му (см. [14] (теорема 3.4) или [15] (теорема E) о комплексной интерполяции для аналитического
семейства операторов T̃z, T̃zf = F−1(m̃z f̂), получаем m = m̃θ ∈M(Hp).
Теорема 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1380 Ю. С. КОЛОМОЙЦЕВ
В заключение покажем, что при p = 1 теорема 1 неверна.
Предложение 1. Пусть r > n/2. Существует функция m ∈ ACrloc(Rn) такая, что
sup
j∈Z
1
2nj
∫
Vj
|m(ξ)|2dξ
1− n
2r
1
2nj
∫
Vj
|2sjDs
im(ξ)|2dξ
n
2r
≤ A (12)
для всех s = 0, . . . , r и i = 1, . . . , n, но m 6∈ M(H1).
Доказательство. Пусть функция ψ ∈ C∞(Rn) такая, что suppψ ⊂ B1 и ψ(ξ) = 1 при
ξ ∈ B1/2. Положим
m(ξ) =
∞∑
j=1
j−ρψ(2kj (ξ − 2kje1)),
где kj = 10j , а e1 = (1, 0, . . . , 0) ∈ Rn. Легко видеть, что данная функция удовлетворяет
условию (12) при любом ρ > 0. Однако, как было показано в доказательстве теоремы 3.1
работы [12], функция m при ρ < 1/2 не является мультпликатором в H1(Rn).
1. Miyachi A. On some Fourier multipliers for Hp(Rn) // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec. IA. Math. – 1980. – 27. –
P. 157 – 179.
2. Тригуб Р. М. Мультипликаторы в пространстве Харди Hp(D
m) при p ∈ (0, 1] и аппроксимативные свойства
методов суммирования степенных рядов // Мат. сб. – 1997. – 188, № 4. – С. 145 – 160.
3. Волчков Вит. В. Мультипликаторы степенных рядов на областях Рейнхарта и их применение // Доп. НАН
України. – 1997. – № 4. – С. 22 – 26.
4. Волчков Вит. В. О мультипликаторах степенных рядов в пространствах Харди // Укр. мат. журн. – 1998. – 50,
№ 4. – С. 585 – 587.
5. Tovstolis A. V. Fourier multipliers in Hardy spaces in tube domains over open cones and their applications // Meth.
Funct. Anal. and Top. – 1998. – 4, № 1. – P. 68 – 89.
6. Wainger S. Special trigonometric series in k dimensions // Mem. Amer. Math. Soc. – 1965. – 59. – 102 p.
7. Fefferman Ch., Stein E.M. Hp spaces of several variables // Acta Math. – 1972. – 129. – P. 137 – 193.
8. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. – М.: Мир, 1973. – 342 c.
9. Тригуб Р. М. О мультипликаторах Фурье и абсолютной сходимости интегралов Фурье радиальных функций //
Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 9. – C. 1280 – 1293.
10. Liflyand E., Trigub R. Conditions for the absolute convergence of Fourier integrals // J. Approxim. Theory. – 2011. –
163, № 4. – P. 438 – 459.
11. Liflyand E., Samko S., Trigub R. The Wiener algebra of absolutely convergent Fourier integrals: an overview // Anal.
Math. Phys. – 2012. – 2, № 1. – P. 1 – 68.
12. Onneweer C.W., Quek T.S. On Hp(Rn)-multipliers of mixed-norm type // Proc. Amer. Math. Soc. – 1994. – 121,
№ 2. – P. 543 – 552.
13. Latter R. H. A characterization of Hp(Rn) in terms of atoms // Stud. Math. – 1978. – 62. – P. 93 – 101.
14. Calderon A.P., Torchinsky A. Parabolic maximal functions associated with a distribution. II // Adv. Math. – 1977. –
24. – P. 101 – 171.
15. Coifman R. R., Weiss G. Extensions of Hardy spaces and their use in analysis // Bull. Amer. Math. Soc. – 1977. – 83,
№ 4. – P. 569 – 645.
Получено 30.05.12,
после доработки — 02.08.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2665 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:56Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fa/3fb57c84b13b6d1ed37c6f0dfc48d0fa.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26652020-03-18T19:32:22Z Generalization of One Sufficient Condition for Fourier Multipliers Обобщение одного достаточного условия для мультипликаторов Фурье Kolomoitsev, Yu. S. Коломойцев, Ю. С. Коломойцев, Ю. С. We obtain new sufficient conditions for Fourier multipliers in the Hardy spaces $H_p(\mathbb{R}^n),\; 0 < p < 2$. These conditions are given in terms of the simultaneous behavior of a function and its derivatives. The results of this paper generalize the corresponding theorems of A. Miachi. Отримано новi достатнi умови для мультиплiкаторiв Фур’є у просторах Хардi $H_p(\mathbb{R}^n),\; 0 < p < 2$. Цi умови дано в термiнах спiльної поведiнки функцiї та її похiдних. Результати цiєї статтi є узагальненням вiдповiдних теорем А. Мiячi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2665 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 10 (2012); 1373-1380 Український математичний журнал; Том 64 № 10 (2012); 1373-1380 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2665/2089 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2665/2090 Copyright (c) 2012 Kolomoitsev Yu. S. |
| spellingShingle | Kolomoitsev, Yu. S. Коломойцев, Ю. С. Коломойцев, Ю. С. Generalization of One Sufficient Condition for Fourier Multipliers |
| title | Generalization of One Sufficient Condition for Fourier Multipliers |
| title_alt | Обобщение одного достаточного условия для мультипликаторов Фурье |
| title_full | Generalization of One Sufficient Condition for Fourier Multipliers |
| title_fullStr | Generalization of One Sufficient Condition for Fourier Multipliers |
| title_full_unstemmed | Generalization of One Sufficient Condition for Fourier Multipliers |
| title_short | Generalization of One Sufficient Condition for Fourier Multipliers |
| title_sort | generalization of one sufficient condition for fourier multipliers |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2665 |
| work_keys_str_mv | AT kolomoitsevyus generalizationofonesufficientconditionforfouriermultipliers AT kolomojcevûs generalizationofonesufficientconditionforfouriermultipliers AT kolomojcevûs generalizationofonesufficientconditionforfouriermultipliers AT kolomoitsevyus obobŝenieodnogodostatočnogousloviâdlâmulʹtiplikatorovfurʹe AT kolomojcevûs obobŝenieodnogodostatočnogousloviâdlâmulʹtiplikatorovfurʹe AT kolomojcevûs obobŝenieodnogodostatočnogousloviâdlâmulʹtiplikatorovfurʹe |