Kolmogorov widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$
We obtain exact-order estimates for the Kolmogorov widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for $1 ≤ p, q ≤ ∞$.
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2668 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508610126151680 |
|---|---|
| author | Solich, K. V. Соліч, К. В. |
| author_facet | Solich, K. V. Соліч, К. В. |
| author_sort | Solich, K. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:22Z |
| description | We obtain exact-order estimates for the Kolmogorov widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in
the space $L_q$ for $1 ≤ p, q ≤ ∞$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
К. В. Солiч (Iн-т математики НАН України, Київ)
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ BΩ
p, θ
ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ У ПРОСТОРI Lq
We obtain exact-order estimates for the Kolmogorov widths of the classes BΩ
p,θ of periodic functions of many variables in
the space Lq for 1 ≤ p, q ≤ ∞.
Получены точные по порядку оценки колмогоровских поперечников классов B Ω
p, θ периодических функций многих
переменных в пространстве Lq при 1 ≤ p, q ≤ ∞.
Вступ. У роботi дослiджуються колмогоровськi поперечники класiв B Ω
p, θ перiодичних
функцiй багатьох змiнних у просторi Lq при рiзних спiввiдношеннях мiж p i q.
Спочатку наведемо необхiднi позначення, а також дамо означення класiв i апрокси-
мативної характеристики, що буде дослiджуватись.
Нехай R d, d ≥ 1, означає d-вимiрний евклiдiв простiр з елементами x = (x1, . . . , xd)
i Lp(πd), πd =
∏d
j=1 [−π; π), — простiр 2π-перiодичних по кожнiй змiннiй i сумовних
у степенi p, 1 ≤ p < ∞ (вiдповiдно суттєво обмежених при p = ∞) функцiй f(x) =
= f(x1, . . . , xd). Норма в цьому просторi визначається таким чином:
||f ||p =
(
(2π)−d
∫
πd
|f(x) |pdx
)1/p
, 1 ≤ p <∞,
||f ||∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Означимо простори BΩ
p, θ ⊂ Lp(πd), властивостi яких визначаються за допомогою: Ω(t),
t ∈ R+, — мажорантної функцiї для модуля неперервностi l-го порядку (l ∈ N) функцiї
f ∈ Lp(πd); числових параметрiв p i θ, 1 ≤ p, θ ≤ ∞.
Для довiльної функцiї f ∈ Lp(πd) позначимо через
Ωl(f, t)p = sup
|h|≤t
‖ ∆l
hf(·) ‖p
модуль неперервностi порядку l функцiї f, де ∆l
hf(x) = ∆h∆
l−1
h f(x), ∆0
hf(x) = f(x),
h = (h1, ..., hd), — кратна l-та рiзниця з кроком hj за змiнною xj, j = 1, d, яку можна
записати ще так:
∆l
hf(x) =
l∑
n=0
(−1)l−nC n
l f(x+ nh).
Нехай далi Ω(t) — задана функцiя типу модуля неперервностi порядку l, яка задо-
вольняє умови:
1) Ω(t) > 0, t > 0; Ω(t) = 0, t = 0;
2) Ω(t) є неперервною;
c© К. В. СОЛIЧ, 2012
1416 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ BΩ
p, θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1417
3) Ω(t) зростає;
4) для всiх n ∈ Z+ Ω(nt) ≤ CnlΩ(t), де C > 0 не залежить вiд n i t.
Множину таких функцiй Ω позначимо через Ψl. Зауважимо, що якщо f ∈ Lp(πd),
то Ωl(f, ·) ∈ Ψl.
Пiдпорядкуємо функцiї Ω ∈ Ψl додатковим умовам, якi опишемо у термiнах двох
понять, уведених С. Н. Бернштейном [1]:
а) невiд’ємна функцiя ϕ(τ), τ ∈ [0;∞), майже зростає, якщо iснує стала C1 > 0
така, що ϕ(τ1) ≤ C1ϕ(τ2) для будь-яких τ1, τ2, 0 ≤ τ1 < τ2;
б) додатна функцiя ϕ(τ), τ ∈ (0;∞), майже спадає, якщо iснує стала C2 > 0 така,
що ϕ(τ1) ≥ C2ϕ(τ2) для будь-яких τ1, τ2, 0 < τ1 < τ2.
Будемо вважати, що Ω(t) належить множинам Sα i Sl. Умови належностi до цих
множин часто називають умовами Барi – Стєчкiна [2]. Це означає наступне:
i) Ω ∈ Sα (α > 0), якщо функцiя
Ω(τ)
τα
майже зростає при τ > 0;
ii) Ω ∈ Sl, якщо iснує γ, 0 < γ < l, таке, що функцiя
Ω(τ)
τ γ
майже спадає при τ > 0.
Покладемо також Φα,l = Ψl ∩ Sα ∩ Sl.
Варто зазначити, що функцiї Ω ∈ Φα,l можуть мати, наприклад, вигляд
Ω(t) =
tr
(
log+
(
1
t
))β
, t > 0,
0, t = 0,
де log+(t) = max{1, log(t)}, 0 < r < l, a β — фiксоване дiйсне число.
Для 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i заданої функцiї Ω(t) типу модуля неперервностi порядку l, яка
задовольняє умови 1− 4, простiр BΩ
p, θ визначається таким чином:
BΩ
p, θ = {f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BΩ
p, θ
df
= ‖f‖p + |f |bΩp, θ <∞},
де напiвнорма |f |bΩp, θ визначається спiввiдношенням
|f |bΩp, θ =
(
+∞∫
0
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ
dt
t
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
t>0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
, θ =∞.
(1)
Нехай
‖f‖BΩ
p, θ
:= ‖f‖p + |f |bΩp, θ , 1 ≤ p, θ ≤ ∞,
— норма у просторi BΩ
p, θ.
Якщо Ω(t) = tr, то класи BΩ
p, θ збiгаються з класами О. В. Бєсова Br
p, θ [3] i, зокрема,
при θ = ∞ та Ω(t) = tr Br
p,∞ = Hr
p , де Hr
p — класи, введенi С. М. Нiкольським [4].
Таким чином, класи BΩ
p, θ є узагальненням (за гладкiсним параметром) вiдомих класiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1418 К. В. СОЛIЧ
Нiкольського – Бєсова. З точки зору теорем вкладення цi класи розглядались у роботах
М. Л. Гольдмана [5] i Г. А. Калябiна [6]. Пiзнiше їх апроксимативнi характеристики
дослiджувались у роботах Li Yongping та Xu Guiqiao [7], Xu Guiqiao [8], С. А. Стасюка
[9], С. П. Войтенкa [10, 11] та iнших.
У наступних мiркуваннях ми будемо використовувати порядковi спiввiдношення.
Запис A � B означає двосторонню нерiвнiсть мiж виразами A i B, тобто C3B ≤ A ≤
≤ C4B, де C3, C4 > 0 — сталi, значення яких можуть бути рiзними в рiзних мiсцях.
Також якщо A ≤ C5B, C5 > 0, та A ≥ C6B, C6 > 0, будемо писати A � B i A � B
вiдповiдно. Iз контексту буде зрозумiло, вiд яких параметрiв цi сталi не залежать. Ми
не будемо акцентувати на цьому увагу щоразу при використаннi символiв �,�,� .
Зауважимо, що зi збiльшенням параметра θ простори BΩ
p, θ розширюються, тобто
при 1 ≤ θ ≤ θ′ ≤ ∞ мають мiсце вкладення
B Ω
p, 1 ⊂ B Ω
p, θ ⊂ B Ω
p, θ′ ⊂ B Ω
p,∞ = HΩ
p . (2)
При доведеннi теореми нам буде зручнiше користуватись еквiвалентним (з точнiстю
до абсолютних сталих) означенням норм у просторах BΩ
p, θ.
Позначимо через Vm(t), m ∈ N, t ∈ R, ядро Валле Пуссена вигляду
Vm(t) = 1 + 2
m∑
k=1
cos kt+ 2
2m∑
k=m+1
(
2m− k
m
)
cos kt.
Тодi багатовимiрне ядро Vm(x), m ∈ N, x ∈ Rd, означимо згiдно з формулою
Vm(x) =
d∏
j=1
Vm(xj).
Нехай Vm — оператор, який задає згортку функцiй f ∈ Lp(πd) з багатовимiрним
ядром Vm(x):
Vmf
df
= f ∗ Vm = Vm(f, x).
Таким чином, Vm(f, x) — кратна сума Валле Пуссена функцiї f.
Для f ∈ Lp(πd) покладемо
Φ0(f, x) = V1(f, x), Φs(f, x) = V2s(f, x)− V2s−1(f, x), s ∈ N.
У прийнятих позначеннях (з точнiстю до абсолютних сталих) простори BΩ
p, θ, 1 ≤
≤ p ≤ ∞, можна означити таким чином (див., наприклад, [8]):
BΩ
p, θ=
{
f :‖f‖BΩ
p, θ
=
( ∞∑
s=0
(
‖Φs(f, ·)‖p
Ω(2−s)
)θ)1/θ
<∞
}
, 1 ≤θ<∞,
BΩ
p,∞=
{
f :‖f‖BΩ
p,∞
=sup
s
‖Φs(f, ·)‖p
Ω(2−s)
<∞
}
.
(3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ BΩ
p, θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1419
Зазначимо, що у випадку 1 < p <∞ можна записати еквiвалентнi (з точнiстю до
абсолютних сталих) означення норм функцiй iз класiв BΩ
p, θ, використовуючи в (3)
замiсть ‖Φs(f, ·)‖p норми вiдповiдних „блокiв” ряду Фур’є функцiї f.
Для f ∈ Lp(πd) i s ∈ Z+ введемо позначення
f0(x) = f̂(0), fs(x) =
∑
2s−1≤max |kj |<2s
j=1,d
f̂(k)ei(k,x), s = 1, 2, . . . ,
де (k, x) = k1x1 + . . .+ kdxd, а
f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t)e−i(k,t)dt
— коефiцiєнти Фур’є функцiї f. Тодi при 1 < p <∞ будемо мати
BΩ
p, θ=
{
f :‖f‖BΩ
p, θ
=
( ∞∑
s=0
(
‖fs(·)‖p
Ω(2−s)
)θ)1/θ
<∞
}
, 1 ≤θ<∞,
BΩ
p,∞=
{
f :‖f‖BΩ
p,∞
=sup
s
‖fs(·)‖p
Ω(2−s)
<∞
}
.
(4)
Надалi, для одиничної кулi у просторiBΩ
p, θ будемо використовувати те ж позначення,
що i для самого простору BΩ
p, θ, тобто
BΩ
p, θ := {f ∈ BΩ
p, θ : ‖f‖BΩ
p, θ
≤ 1}.
Тепер дамо означення апроксимативної характеристики, яку будемо дослiджувати.
Нехай Φ — центрально-симетрична множина банахового простору X i Lm — довiль-
ний пiдпростiр у X розмiрностi m. Тодi величина
dm(Φ,X ) := inf
Lm
sup
f∈Φ
inf
u∈Lm
‖f − u‖X (5)
називається колмогоровським поперечником. Нагадаємо, що поперечник dm(Φ,X ) був
введений у 1936 р. А. М. Колмогоровим [12].
Також будемо вважати, що
d0(Φ,X ) = sup
f∈Φ
‖f‖X .
На даний час для рiзного роду класiв функцiй як однiєї, так i багатьох змiнних,
вiдомi не лише порядковi оцiнки колмогоровських поперечникiв, але й в деяких важ-
ливих випадках їх точнi значення. З вiдповiдними результатами можна ознайомитись
у книгах [13 – 18].
Далi нам знадобляться деякi допомiжнi означення та твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1420 К. В. СОЛIЧ
Нехай
Cd(N) =
{
k = (k1, . . . , kd), |kj| ≤ N, kj ∈ Z, j = 1, d
}
.
Позначимо через T (Cd(N))q пiдмножину функцiй з
T (Cd(N)) =
{
t : t(x) =
∑
k∈Cd(N)
cke
i(k,x)
}
,
якi задовольняють умову ‖t‖q ≤ 1, 1 ≤ q ≤ ∞.
Теорема А. Нехай t ∈ T (Cd(2n)). Тодi при 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ має мiсце спiввiдношен-
ня
‖t‖p ≤ 2nd( 1
q
− 1
p
)‖t‖q. (6)
Нерiвнiсть (6) була встановлена С. М. Нiкольським [4] i отримала назву „нерiвностi
рiзних метрик”. У випадку d = 1 i p =∞ вiдповiдну нерiвнiсть довiв Джексон [19].
Має мiсце наступне твердження.
Теорема Б [14, с. 122]. Нехай m, n ∈ N такi, що m � 2nd i m < 2nd+1. Тодi
справедлива порядкова оцiнка
dm(T (Cd(2n))2, L∞)�
(
2nd/m
)1/2(
log(e2nd/m)
)1/2
. (7)
Лема А [8]. Нехай 1 ≤ p < q ≤ ∞ i Ω(t)/tα при α > d
(
1
p
− 1
q
)
майже зростає.
Тодi BΩ
p, θ ⊂ BΩ1
q, θ, де Ω1(t) = Ω(t)/td( 1
p
− 1
q
) i
‖f‖
B
Ω1
q, θ
� ‖f‖BΩ
p, θ
.
Також нами будуть використовуватись оцiнки наступних апроксимативних характе-
ристик.
Якщо F ⊂ Lp(πd), 1 ≤ q ≤ ∞, — деякий функцiональний клас, то позначимо
E2n(F )q = sup
f∈F
inf
t∈T (Cd(2n))
‖f − t‖q.
При доведеннi оцiнок зверху величин dm(BΩ
p, θ, Lq) будемо використовувати резуль-
тат, одержаний у роботi [9].
Теорема В. Нехай 1 ≤ p, q, θ ≤ ∞, а функцiя Ω(t) ∈ Φα,l, α > d
(
1
p
− 1
q
)
+
. Тодi
E2n(BΩ
p, θ)q � Ω(2−n)2nd( 1
p
− 1
q
)+ , (8)
де a+ = max{a; 0}.
Для отримання оцiнок знизу будуть використовуватись оцiнки бiлiнiйних наближень
функцiй iз класiв BΩ
p, θ [20].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ BΩ
p, θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1421
Дамо означення вiдповiдної апроксимативної характеристики.
Нехай Lq(π2d), q = (q1, q2), позначає множину функцiй f(x, y), x, y ∈ πd, зi скiн-
ченною мiшаною нормою
‖f(x, y)‖q1,q2 =
∥∥‖f(·, y)‖q1
∥∥
q2
,
де норма обчислюється спочатку у просторi Lq1(πd) по змiннiй x ∈ πd, а потiм по
змiннiй y ∈ πd у просторi Lq2(πd). Для f ∈ Lq(π2d) означимо величину
τm(f)q1,q2 = inf
ui(x),vi(y)
∥∥f(x, y)−
m∑
i=1
ui(x)vi(y)
∥∥
q1,q2
,
де ui ∈ Lq1(πd), vi ∈ Lq2(πd), яка називається найкращим бiлiнiйним наближенням
функцiї f(x, y). Зауважимо, що τ0(f)q1,q2 := ‖f(x, y)‖q1,q2 .
1. Основнi результати. Сформулюємо отриманi результати, а також наведемо деякi
коментарi.
Теорема 1. Нехай 1 ≤ p, q, θ ≤ ∞ i Ω(t) ∈ Φα,l, α > α(p, q), де
α(p, q) =
d
(
1
p
− 1
q
)
+
, 1 ≤ p ≤ q ≤ 2 або 2 ≤ q ≤ p ≤ ∞;
max
{
d
p
;
d
2
}
, 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞ або 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞.
Тодi для m ∈ N мають мiсце порядковi спiввiдношення
dm(BΩ
p, θ, Lq) �
Ω(m−
1
d )m
1
p
− 1
q , 1 ≤ p ≤ q ≤ 2,
Ω(m−
1
d ), 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞ або 2 ≤ q ≤ p ≤ ∞,
Ω(m−
1
d )m
1
p
− 1
2 , 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞.
(9)
Доведення. Спочатку встановимо в (9) оцiнки зверху. У випадках 1 ≤ p ≤ q ≤ 2
i 2 ≤ q ≤ p ≤ ∞ шуканi оцiнки поперечникiв dm(BΩ
p, θ, Lq) випливають з оцiнок
найкращого наближення функцiй iз класiв BΩ
p,∞ = HΩ
p у просторi Lq, наведених у
теоремi В. Тому при умовi, що число n ∈ N задовольняє спiввiдношення m � 2nd,
маємо
dm(HΩ
p , Lq)� E2n(HΩ
p )q � Ω(2−n)2nd( 1
p
− 1
q
)+ � Ω(m−
1
d )m( 1
p
− 1
q
)+ .
Тепер розглянемо випадок, коли p = 2 i q = ∞, тобто знайдемо оцiнку зверху
колмогоровського поперечника dm(HΩ
2 , L∞). Нехай n = [α] + 1 i
m1 = (2n+1 − 1)d � 2nd,
ms = [m1 · 2−ρ(s−n)], s = n+ 1, . . . ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1422 К. В. СОЛIЧ
де ρ > 0 — деяке число (буде уточнено нижче) i [c] — цiла частина числа c ∈ R. Нехай
m = C(ρ)2nd, де C(ρ) > 0 — достатньо велика стала. Тодi покладемо
m0 := m1 +
∞∑
s=n+1
ms
i отримаємо
m0 = m1 +
∞∑
s=n+1
ms � 2d(n+1) +
∞∑
s=n+1
2nd · 2−ρ(s−n) =
= 2d(n+1) +
∞∑
j=1
2nd−ρj � 2d(n+1) + 2nd−ρ � m.
Зрозумiло також, що iснує λ = λ(ρ) > 1 таке, що ms = 0 при s > s0 := [λn] + 1 i
ms ≥ 1 при n+ 1 ≤ s ≤ s0.
Позначимо через S2n(f, ·) кратну суму Фур’є функцiї f ∈ L1,
S2n(f) =
∑
k∈Cd(2n)
f̂(k)ei(k,x),
яку природно назвати кубiчною сумою Фур’є функцiї f.
Оскiльки для функцiї f ∈ HΩ
2 має мiсце зображення
f = S2n−1(f) +
∞∑
s=n+1
fs,
a також справедливi порядковi спiввiдношення
‖fs‖2 � Ω(2−s),
‖fs‖2 � ‖Φs(f)‖2,
то, згiдно з вибором чисел m i n, можемо записати оцiнку
dm(HΩ
2 , L∞)�
s0∑
s=n+1
Ω(2−s)dms(T (Cd(2s))2, L∞) +
+
∞∑
s=s0+1
Ω(2−s)d0(T (Cd(2s))2, L∞). (10)
Далi для оцiнки першого доданка правої частини (10) застосуємо терему Б. Продовжи-
мо оцiнку
dm(HΩ
2 , L∞)�
s0∑
s=n+1
Ω(2−s)
(
2sd
2nd−ρ(s−n)
) 1
2
log
1
2
e2sd
2nd−ρ(s−n)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ BΩ
p, θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1423
+
∞∑
s=s0+1
2
sd
2 Ω(2−s) = I1 + I2. (11)
Оцiнимо спочатку величину I1. Оскiльки функцiя Ω належить Φα, l, α >
d
2
, то,
вибравши ρ так, що α− d
2
− ρ > 0, матимемо
I1 �
s0∑
s=n+1
Ω(2−s)
2−αs
2−αs2
sd
2
−nd
2
+ ρ
2
(s−n) log
1
2
e2sd
2nd−ρ(s−n)
�
� Ω(2−n)
2−αn
2−
nd
2
− ρn
2
s0∑
s=n+1
2−s(α−
d
2
− ρ
2
) � Ω(2−n)
2−αn
2−
nd
2
− ρn
2 2−n(α− d
2
− ρ
2
) =
= Ω(2−n) � Ω(m−
1
d ). (12)
Для оцiнки величини I2 можемо записати
I2 =
∞∑
s=s0+1
Ω(2−s)
2−αs
2−s(α−
d
2
) � Ω(2−n)
2−αn
∞∑
s=s0+1
2−s(α−
d
2
) =
Ω(2−n)
2−αn
∞∑
s=[λn]+2
2−s(α−
d
2
) �
� Ω(2−n)
2−αn
2−([λn]+1)(α− d
2
) � Ω(2−n)
2−αn
2−αn = Ω(2−n). (13)
Взявши до уваги (12) та (13), з (11) будемо мати
dm(HΩ
2 , L∞)� Ω(m−
1
d ).
Звiдси у випадку 2 ≤ p < q ≤ ∞ отримаємо
dm(BΩ
p, θ, Lq)� dm(HΩ
2 , L∞)� Ω(m−
1
d ). (14)
При 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞, згiдно з лемою А, справедливе вкладення
BΩ
p, θ ⊂ BΩ1
2, θ,
де Ω1(t) = Ω(t)/td( 1
2
− 1
p
). Тому з (14) можемо записати
dm(BΩ
p, θ, Lq)� dm(BΩ1
2, θ, L∞) � Ω1(m−
1
d ) = Ω(m−
1
d )m
1
p
− 1
2 .
Отже, оцiнки зверху в (9) встановлено.
Оцiнки знизу отримаємо, скориставшись оцiнками найкращих бiлiнiйних набли-
жень функцiй iз класiв BΩ
p, θ. З цiєю метою проведемо деякi попереднi мiркування
(див., наприклад, [13, c. 85]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1424 К. В. СОЛIЧ
Нехай F — деякий клас функцiй i f(x) — фiксована функцiя з F. Позначимо через
Ff множину, що складається з функцiй вигляду f(x−y), якi отримуються з f(x) зсувом
аргумента x ∈ πd на довiльний вектор y ∈ πd, тобто
Ff =
{
f(x− y), y ∈ πd, f ∈ F}.
Тодi, з одного боку, згiдно з визначенням колмогоровського поперечника, можемо за-
писати
dm(Ff , Lq) = inf
ui(x)
sup
y∈πd
inf
vi(y)
∥∥∥∥f(· − y)−
m∑
i=1
ui(·)vi(y)
∥∥∥∥
q
≤ inf
ui(x), vi(y)
i=1,m
sup
y∈πd
∥∥∥∥f(· − y)−
−
m∑
i=1
ui(·)vi(y)
∥∥∥∥
q
= inf
ui(x), vi(y)
i=1,m
∥∥∥∥f(x− y)−
m∑
i=1
ui(x)vi(y)
∥∥∥∥
q,∞
= τm(f(x− y))q,∞. (15)
З iншого боку, виконується також нерiвнiсть
τm(f(x− y))q,∞ ≤ dm(Ff , Lq). (16)
Отже, вiдповiдно до (15) i (16) має мiсце рiвнiсть
τm(f(x− y))q,∞ = dm(Ff , Lq). (17)
Тепер, оскiльки Ff ⊂ F, то згiдно з (17) можемо записати
τm(f(x− y))q,∞ � dm(F,Lq), f ∈ F. (18)
Таким чином, для функцiонального класу F, iнварiантного вiдносно зсуву аргумента
функцiї f ∈ F, величини τm(f(x− y))q,∞, f ∈ BΩ
p, θ, можуть слугувати оцiнками знизу
для поперечникiв dm(BΩ
p, θ, Lq).
Далi скористаємось вiдомими оцiнками щодо найкращих бiлiнiйних наближень вiд-
повiдних функцiй iз класiв BΩ
p, θ, якi отримано в роботi [20].
Нехай спочатку має мiсце випадок 1 ≤ p ≤ q ≤ 2. Розглянемо функцiю
f1(x) = C7Ω(2−n)2−nd(1− 1
p
)V2n+2(x), C7 > 0.
У статтi [20] встановлено, що з вiдповiдною сталою C7 > 0 f1 ∈ BΩ
p, θ i, крiм цього,
τm(f1(x− y))q,∞ � Ω(m−
1
d )m
1
p
− 1
q .
Таким чином, згiдно з (18) для 1 ≤ p ≤ q ≤ 2 отримаємо
dm(BΩ
p, θ, Lq)� τm(f1(x− y))q,∞ � Ω(m−
1
d )m
1
p
− 1
q .
Оцiнки знизу для поперечникiв dm(Br
p, θ, Lq) для iнших спiввiдношень мiж параметра-
ми p i q встановлюються аналогiчно, з використанням оцiнок бiлiнiйних наближень
вiдповiдних функцiй, якi розглянуто в роботi [20].
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
КОЛМОГОРОВСЬКI ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАСIВ BΩ
p, θ ПЕРIОДИЧНИХ ФУНКЦIЙ . . . 1425
Зауваження . Якщо Ω(t) = tr, r > 0, то при певних додаткових обмеженнях
на параметр r з (9) отримаємо вiдповiднi оцiнки для колмогоровських поперечникiв
dm(Br
p, θ, Lq), якi встановлено в [21].
У роботi [8] було встановлено оцiнки для колмогоровських поперечникiв
dm(BΩ
p, θ, Lq), якi мiстяться в теоремi 1, але для бiльш вузького (а в деяких випадках
для iншого) спектра гладкiсного параметра α.
Крiм цього, слiд зазначити, що при встановленнi оцiнок поперечникiв в теоремi 1
(як зверху, так i знизу) використано методи, що принципово вiдрiзняються вiд тих, якi
використовувались у роботi [8].
1. Бернштейн С. Н. Конструктивная теория функций (1931 – 1953): Собр. соч. – М.: Изд-во АН СССР, 1954. –
Т. 2. – 626 с.
2. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функ-
ций // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1956. – 5. – С. 483 – 522.
3. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения // Докл.
АН СССР. – 1959. – 126, № 6. – С. 1163 – 1165.
4. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
5. Гольдман М. Л. Теоремы вложения для анизотропных пространств Никольского – Бесова с модулями непре-
рывности общего вида // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1984. – 170. – C. 84 – 106.
6. Калябин Г. А. Теоремы вложения для обобщенных пространств Бесова и Лиувилля // Докл. АН СССР. – 1977. –
232, № 6. – С. 1245 – 1248.
7. Li Yongping, Xu Guiqiao. The infinite-dimensional widths and optimal recovery of generalized Besov classes // J.
Complexity. – 2002. – 18, № 4. – P. 815 – 832.
8. Xu Guiqiao. The n-wigths for a generalized periodic Besov classes // Acta Math. Sci. – 2005. – 25B, № 4. –
P. 663 – 671.
9. Стасюк С. А. Приближение классов Bω
p, θ периодических функций многих переменных полиномами со спек-
тром в кубических областях // Мат. cтуд. – 2011. – 35, № 1. – C. 66 – 73.
10. Войтенко С. П. Найкращi M -членнi тригонометричнi наближення класiв BΩ
p, θ перiодичних функцiй багатьох
змiнних // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 9. – С. 1189 – 1199.
11. Войтенко С. П. Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення класiв BΩ
p, θ перiодичних функцiй ба-
гатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 11. – С. 1473 – 1484.
12. Kolmogoroff A. Über die beste Annaherung von Functionen einer gegeben Functionenclasse // Ann. Math. – 1936. –
37. – P. 107 – 111.
13. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – C. 1 – 112.
14. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 419 p.
15. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 c.
16. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
17. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. – 307 c.
18. Тихомиров В. М. Теория приближений // Итоги науки и техники. Соврем. пробл. математики. Фундам. направ-
ления / ВИНИТИ. – 1987. – 14. – C. 103 – 260.
19. Jakson D. Certain problem of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1933. – 39. – P. 889 – 906.
20. Солiч К. В. Бiлiнiйнi наближення класiв BΩ
p, θ перiодичних функцiй багатьох змiнних // Зб. праць Iн-ту мате-
матики НАН України. – 2010. – 7, № 1. – С. 325 – 337.
21. Романюк А. С. Билинейные приближения и колмогоровские поперечники периодических классов Бесова // Зб.
праць Iн-ту математики НАН України. – 2009. – 6, № 1. – С. 222 – 236.
Одержано 05.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2668 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:56Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bb/33faff318a1fc60219dbb00aac0e3dbb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26682020-03-18T19:32:22Z Kolmogorov widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ Колмогоровські поперечники класів $B^{\Omega}_{p, \theta}$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ Solich, K. V. Соліч, К. В. We obtain exact-order estimates for the Kolmogorov widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ for $1 ≤ p, q ≤ ∞$. Получены точные по порядку оценки колмогоровских поперечников классов $B^{\Omega}_{p, \theta}$ периодических функций многих переменных в пространстве $L_q$ при $1 ≤ p, q ≤ ∞$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2668 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 10 (2012); 1416-1425 Український математичний журнал; Том 64 № 10 (2012); 1416-1425 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2668/2095 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2668/2096 Copyright (c) 2012 Solich K. V. |
| spellingShingle | Solich, K. V. Соліч, К. В. Kolmogorov widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title | Kolmogorov widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_alt | Колмогоровські поперечники класів $B^{\Omega}_{p, \theta}$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ |
| title_full | Kolmogorov widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_fullStr | Kolmogorov widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_full_unstemmed | Kolmogorov widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_short | Kolmogorov widths of the classes $B^{\Omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$ |
| title_sort | kolmogorov widths of the classes $b^{\omega}_{p, \theta}$ of periodic functions of many variables in the space $l_q$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2668 |
| work_keys_str_mv | AT solichkv kolmogorovwidthsoftheclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelq AT solíčkv kolmogorovwidthsoftheclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofmanyvariablesinthespacelq AT solichkv kolmogorovsʹkípoperečnikiklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorílq AT solíčkv kolmogorovsʹkípoperečnikiklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihuprostorílq |