Uniformly distributed ridge approximation of some classes of harmonic functions
We determine the exact values of the uniformly distributed ridge approximation of some classes of harmonic functions of two variables.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2669 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508612103766016 |
|---|---|
| author | Babenko, V. F. Levchenko, D. A. Бабенко, В. Ф. Левченко, Д. А. Бабенко, В. Ф. Левченко, Д. А. |
| author_facet | Babenko, V. F. Levchenko, D. A. Бабенко, В. Ф. Левченко, Д. А. Бабенко, В. Ф. Левченко, Д. А. |
| author_sort | Babenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:22Z |
| description | We determine the exact values of the uniformly distributed ridge approximation of some classes of harmonic functions of two variables. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.5
В. Ф. Бабенко, Д. А. Левченко (Днепропетр. нац. ун-т)
РАВНОРАСПРЕДЕЛЕННАЯ РЕЛЬЕФНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
We determine the exact values of the uniformly distributed ridge approximation of some classes of harmonic functions of
two variables.
Знайдено точнi значення рiвнорозподiленої рельєфної апроксимацiї деяких класiв гармонiчних функцiй двох змiн-
них.
1. Обозначения, определения, постановки задач. Если X — вещественное линейное норми-
рованное пространство и H — линейное подпространство X, то наилучшим приближением
элемента x ∈ X подпространством H называется величина
E(x,H)X = inf
u∈H
‖x− u‖X .
Наилучшим приближением множества M ⊂ X подпространством H называется величина
E(M, H)X = sup
x∈M
E(x,H)X .
В данной работе в качестве X будем рассматривать следующие пространства. Пусть G —
единичная окружность T, реализованная как отрезок [0, 2π] с отождествленными концами, или
единичный круг B2 на плоскости R2, т. е.
B2 =
{
x = (x1, x2) ∈ R2 : |x| =
√
x21 + x22 ≤ 1
}
.
Через Lp(G), 1 ≤ p ≤ ∞, будем обозначать пространство измеримых и суммируемых в p-й
степени (существенно ограниченных при p =∞) функций f : G→ R с нормой
‖f‖Lp(G) :=
∫
G
|f(x)|pdx
1/p
, 1 ≤ p <∞,
ess sup
x∈G
|f(x)|, p =∞,
а через C(G) — пространство непрерывных функций f : G→ R с нормой
‖f‖C(G) := max
x∈G
|f(x)|.
В качестве аппроксимирующих множеств в пространствах Lp(T) и C(T) будем рассмат-
ривать подпространства T2n−1 тригонометрических полиномов порядка не выше n − 1. Для
пространств Lp(B2) и C(B2) в качестве аппроксимирующих подпространств будем рассматри-
вать подпространства P2
n алгебраических полиномов вида
c© В. Ф. БАБЕНКО, Д. А. ЛЕВЧЕНКО, 2012
1426 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
РАВНОРАСПРЕДЕЛЕННАЯ РЕЛЬЕФНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ . . . 1427
P (x) =
∑
0≤k+l≤n
aklx
k
1x
l
2,
а также множество W eq
n рельефных функций с n равнораспределенными направлениями, т. е.
множество функций вида
R(x) =
n∑
j=1
Wj(x · θj),
где Wj : R→ R — непрерывные функции одной действительной переменной (волновые профи-
ли), x · θj = x1 cos
πj
n
+ x2 sin
πj
n
.
Пусть еще P1
n — множество алгебраических полиномов степени n одной переменной.
Отметим, что вопросы наилучшей рельефной аппроксимации (аппроксимации линейны-
ми комбинациями плоских волн) различных классов функций f : B2 → R активно изучаются
в течение последних десятилетий, в частности в связи с приложениями в компьютерной то-
мографии (см., например, работы [1, 2]). Отметим, что в работе [1] установлено, что для
гармонических в круге B2 функций f имеют место неравенства√
1
3
E(f,P2
n+1)L2(B2) ≤ E(f,W eq
n )L2(B2) ≤ E(f,P2
n)L2(B2).
Работы, в которых были бы получены точные результаты по наилучшей рельефной аппрок-
симации классов функций, заданных на B2, нам неизвестны. Целью данной работы является
вычисление точных значений величин E(M,W eq
n )C(B2)
(
и, попутно, величин E(M,P2
n)C(B2)
)
для некоторых классов функций, заданных на B2 и гармонических во внутренности B2.
Определим классы функций. Как обычно, через W r
∞ = W r
∞(T), r = 1, 2, . . . , обозначим
класс 2π-периодических функций f, имеющих локально абсолютно непрерывную производную
порядка r−1 и таких, что ‖f (r)‖∞ ≤ 1, а через W rHω, r = 0, 1, . . . , — класс 2π-периодических
функций f ∈ Cr, модуль непрерывности r-й производной которых ω(f (r), t) мажорируется
заданным выпуклым вверх модулем непрерывности. Если F есть W r
∞ или W rHω, то через
FH = FH(B2) обозначим множество всевозможных решений fH задачи Дирихле
∆u = 0, (1)
u|∂B2 = g, (2)
где заданные на ∂B2 функции g(x1, x2), (x1, x2) ∈ ∂B2, таковы, что функции f(ϕ) =
= g(cosϕ, sinϕ), ϕ ∈ R, принадлежат классу F. Именно для таких классов функций мы и
найдем в данной работе точные значения величин E(FH ,W eq
n )C(B2) и E(FH ,P2
n)C(B2).
2. Некоторые предварительные сведения. Нам понадобятся следующие известные ре-
зультаты по аппроксимации классов W r
∞ и W rHω тригонометрическими полиномами в равно-
мерной метрике.
Поскольку классы W rHω обобщают классы W r
∞ (W r+1
∞ = W rHω при ω(t) = t), мы при-
ведем формулировку только для классов W rHω. Для n ∈ N и r ∈ Z+ через fω,n,r(t) обозначим
r-й периодический интеграл, имеющий нулевое среднее значение на периоде, от нечетной
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1428 В. Ф. БАБЕНКО, Д. А. ЛЕВЧЕНКО
2π/n-периодической функции fω,n(t), которая на отрезке [0;π/n] определяется следующим
образом:
fω,n(t) =
1
2
ω(2t), t ∈
[
0,
π
2n
]
,
1
2
ω
(
2
π
n
− 2t
)
, t ∈
[ π
2n
,
π
n
]
.
В случае ω(t) = t функция fω,n,r(t − π/2r) превращается в эйлеров идеальный сплайн
ϕn,r+1(t), который другим способом может быть определен как (r + 1)-й периодический ин-
теграл, имеющий нулевое среднее значение на периоде от функции ϕn,0(t) = sign sinnt. Для
дальнейшего изложения нам необходима следующая теорема.
Теорема А. Для любого n ∈ N
E(W rHω, T2n−1)C(T) = ‖fω,n,r‖C(T).
При r ∈ Z+ и ω(t) = t в этой теореме содержится результат Ж. Фавара – Н. И. Ахиезера –
М. Г. Крейна [3 – 5] (см. также [6], теорема 5.3.1). В случае произвольного выпуклого вверх
модуля непрерывности теорема А доказана Н. П. Корнейчуком в работах [7, 8] (см. также [6],
теорема 7.6.1).
Важным средством для получения оценок сверху рельефной аппроксимации является сле-
дующее утверждение, справедливое для любого n ∈ N : каждый многочлен P ∈ P2
n−1 может
быть представлен как линейная комбинация плосковолновых многочленов
P (x) =
n∑
j=1
Pj(x · θj), Pj ∈ P1
n−1,
с n равномерно распределенными направлениями θj , и, таким образом,
P2
n−1 ⊂W eq
n .
Данный факт является достаточно очевидным и может быть проверен непосредственно. В силу
этого включения для любой функции f ∈ C(B2)
E(f,W eq
n )C(B2) ≤ E(f,P2
n−1)C(B2). (3)
Вторым существенным фактом, который будет использован для получения оценок сверху,
является то, что если функция g(x1, x2) в правой части (2) такова, что функция g(cosϕ, sinϕ)
является тригонометрическим полиномом порядка не выше n−1, то (см., например, [9, с. 157])
решение задачи (1), (2) является гармоническим во внутренности B2 алгебраическим много-
членом из P2
n−1.
Для получения оценок снизу величин E(f,W eq
n )C(B2) будем использовать теорему двой-
ственности для наилучшего приближения элемента линейного нормированного пространства
X линейным многообразием G (см. [6], теорема 2.3.3).
Теорема B.
E(x,G)X = sup{f(x) : f ∈ X∗, ‖f‖ ≤ 1, f ⊥ G}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
РАВНОРАСПРЕДЕЛЕННАЯ РЕЛЬЕФНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ . . . 1429
3. Нахождение точных значений величин E(FH ,W eq
n )C(B2) и E(FH ,P2
n)C(B2). До-
кажем следующую теорему.
Теорема C. Пусть r ∈ N, ω(t) — выпуклый вверх модуль непрерывности и F = W rHω.
Тогда
E(FH ,W eq
n )C(B2) = E(FH ,P2
n)C(B2) = ‖(fω,n,r)H‖C(B2) = ‖fω,n,r‖C(T). (4)
Доказательство. Пусть функция fH ∈ FH(B2) является решением задачи (1), (2) с функ-
цией f(·) = g(cos(·), sin(·)) ∈ F в правой части (2). Пусть Tn ∈ T2n−1 — полином наилучшего
приближения для f в равномерной метрике и (Tn)H — решение задачи (1), (2) с полиномом Tn
в правой части (2). Как уже отмечалось, (Tn)H — гармонический полином из P2
n−1.
В силу принципа максимума для гармонических функций
‖fH − (Tn)H‖C(B2) = ‖f − Tn‖C(T),
откуда с учетом соотношения (3) и теоремы А имеем
E(fH ,W eq
n )C(B2) ≤ E(fH ,P2
n)C(B2) ≤ ‖fH − (Tn)H‖C(B2) = ‖f − Tn‖C(T) ≤ ‖fω,n,r‖C(T),
так что
E(FH ,W eq
n )C(B2) ≤ E(FH ,P2
n)C(B2) ≤ ‖fω,n,r‖C(T). (5)
Теперь покажем, что
E(FH ,W eq
n )C(B2) ≥ ‖fω,n,r‖C(T).
Применяя теорему B, получаем соотношения
E(FH ,W eq
n )C(B2) = sup
fH∈FH
E(f,W eq
n )C(B2) =
= sup
fH∈FH
sup
{
Φ(fH) : Φ ∈ (C(B2))∗, ‖Φ‖ ≤ 1,Φ ⊥W eq
n
}
≥ sup
fH∈FH
Φ0(f
H), (6)
где функционал Φ0 определяется следующим образом:
Φ0(f
H) =
1
2n
2n∑
k=1
(−1)kfH(cosϕk, sinϕk), ϕk =
(2k + 1)π
2n
.
Для обоснования неравенства в (6) покажем, что Φ0 ⊥ W eq
n . Действительно, Φ0 ⊥ W eq
n ,
если для любой рельефной функции R(x) ∈W eq
n будет Φ0(R) = 0. Пусть
R(x) =
n∑
j=1
Wj(x · θj).
В силу линейности функционала Φ0 достаточно показать, что для любого j = 1, n
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
1430 В. Ф. БАБЕНКО, Д. А. ЛЕВЧЕНКО
Φ0(Wj) =
1
2n
2n∑
k=1
(−1)kWj((cosϕk, sinϕk) · θj) = 0.
Поскольку
(cosϕk, sinϕk) · θj = cos
(
2k − 2j + 1
2n
π
)
,
то
Φ0(Wj) =
1
2n
2n∑
k=1
(−1)kWj
(
cos
(
2k − 2j + 1
2n
π
))
=
=
(−1)j
2n
2n−j∑
k=1−j
(−1)kWj
(
cos
(
2k + 1
2n
π
))
=
=
(−1)j
2n
0∑
k=1−j
(−1)kWj
(
cos
(
2k + 1 + 4n
2n
π
))
+
2n−j∑
k=1
(−1)kWj
(
cos
(
2k + 1
2n
π
)) =
=
(−1)j
2n
2n∑
k=2n−j+1
(−1)kWj
(
cos
(
2k + 1
2n
π
))
+
2n−j∑
k=1
(−1)kWj
(
cos
(
2k + 1
2n
π
)) =
=
(−1)j
2n
2n∑
k=1
(−1)kWj
(
cos
(
2k + 1
2n
π
))
.
Слагаемые в последней сумме, соответствующие k = m и k = 2n− 1−m, m = 1, n− 1, а
также слагаемые при k = 2n и k = 2n− 1 равны по модулю и имеют противоположные знаки.
Поэтому
Φ0(Wj) = 0
и ортогональность Φ0 ⊥W eq
n доказана.
Тот факт, что ‖Φ0‖ ≤ 1, очевиден. Таким образом, неравенство в (6) выполняется.
Обозначим через (f∗ω,n,r)
H решение задачи (1), (2) с функцией
g(cosϕ, sinϕ) = f∗ω,n,r(ϕ) = (−1)r(r+1)/2fω,n,r
(
ϕ− 1− (−1)r
2
π
2n
)
в правой части (2). Так как (f∗ω,n,r)
H(cosϕk, sinϕk) = f∗ω,n,r(ϕk) = (−1)k‖fω,n,r‖C(T), то
Φ0
(
(f∗ω,n,r)
H
)
=
1
2n
2n∑
k=1
(−1)k(f∗ω,n,r)
H(cosϕk, sinϕk) =
1
2n
2n∑
k=1
(−1)kf∗ω,n,r(ϕk) =
=
1
2n
2n∑
k=1
‖fω,n,r‖C(T) = ‖fω,n,r‖C(T).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
РАВНОРАСПРЕДЕЛЕННАЯ РЕЛЬЕФНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ . . . 1431
Отсюда с учетом (6) следует, что
E(FH ,W eq
n )C(B2) ≥ ‖fω,n,r‖C(T),
что вместе с соотношением (5) дает (4).
Теорема доказана.
1. Осколков К. И. Линейные и нелинейные методы рельефной аппроксимации (Метрическая теория функций и
смежные вопросы анализа. – М.: АФЦ, 1999. – С. 165 – 195.
2. Davison M. E., Grunbaum F. A. Tomographic reconstruction with arbitrary directions // Communs Pure and Appl.
Math. – 1981. – 34. – P. 77 – 120.
3. Ахиезер Н. И., Крейн М. Г. О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых
периодических функций // Докл. АН СССР. – 1937. – 15. – С. 107 – 112.
4. Favard J. Sur l’apprximation des fonctions periodicues par des polynomes trigonometriques // C. r. Acad. sci. (Paris).
– 1936. – 203. – P. 1122 – 1124.
5. Favard J. Sur les meilleurs procedes d’apprximation de certaines classes de fonctions par des polynomes
trigonometriques // Bull. sci. math. – 1937. – 61. – P. 243 – 256.
6. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи в теории приближения. – М.: Наука, 1976 . – 320 с.
7. Корнейчук Н. П. Верхние грани наилучших приближений на классах дифференцируемых периодических
функций в метриках C и L // Докл. АН СССР. – 1970. – 190. – C. 269 – 271.
8. Корнейчук Н. П. Экстремальные значения функционалов и наилучшее приближение на классах периодических
функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1971. – 35. – С. 93 – 124.
9. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Мир, 1974.
Получено 25.05.11,
после доработки — 05.09.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2669 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:58Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ae/e13c68b40bb7c66602d3bc5490f529ae.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26692020-03-18T19:32:22Z Uniformly distributed ridge approximation of some classes of harmonic functions Равнораспределенная рельефная аппроксимация некоторых классов гармонических функций Babenko, V. F. Levchenko, D. A. Бабенко, В. Ф. Левченко, Д. А. Бабенко, В. Ф. Левченко, Д. А. We determine the exact values of the uniformly distributed ridge approximation of some classes of harmonic functions of two variables. Знайдено точнi значення рiвнорозподiленої рельєфної апроксимацiї деяких класiв гармонiчних функцiй двох змiнних. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2669 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 10 (2012); 1426-1431 Український математичний журнал; Том 64 № 10 (2012); 1426-1431 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2669/2097 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2669/2098 Copyright (c) 2012 Babenko V. F.; Levchenko D. A. |
| spellingShingle | Babenko, V. F. Levchenko, D. A. Бабенко, В. Ф. Левченко, Д. А. Бабенко, В. Ф. Левченко, Д. А. Uniformly distributed ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| title | Uniformly distributed ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| title_alt | Равнораспределенная рельефная аппроксимация некоторых классов гармонических функций |
| title_full | Uniformly distributed ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| title_fullStr | Uniformly distributed ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| title_full_unstemmed | Uniformly distributed ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| title_short | Uniformly distributed ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| title_sort | uniformly distributed ridge approximation of some classes of harmonic functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2669 |
| work_keys_str_mv | AT babenkovf uniformlydistributedridgeapproximationofsomeclassesofharmonicfunctions AT levchenkoda uniformlydistributedridgeapproximationofsomeclassesofharmonicfunctions AT babenkovf uniformlydistributedridgeapproximationofsomeclassesofharmonicfunctions AT levčenkoda uniformlydistributedridgeapproximationofsomeclassesofharmonicfunctions AT babenkovf uniformlydistributedridgeapproximationofsomeclassesofharmonicfunctions AT levčenkoda uniformlydistributedridgeapproximationofsomeclassesofharmonicfunctions AT babenkovf ravnoraspredelennaârelʹefnaâapproksimaciânekotoryhklassovgarmoničeskihfunkcij AT levchenkoda ravnoraspredelennaârelʹefnaâapproksimaciânekotoryhklassovgarmoničeskihfunkcij AT babenkovf ravnoraspredelennaârelʹefnaâapproksimaciânekotoryhklassovgarmoničeskihfunkcij AT levčenkoda ravnoraspredelennaârelʹefnaâapproksimaciânekotoryhklassovgarmoničeskihfunkcij AT babenkovf ravnoraspredelennaârelʹefnaâapproksimaciânekotoryhklassovgarmoničeskihfunkcij AT levčenkoda ravnoraspredelennaârelʹefnaâapproksimaciânekotoryhklassovgarmoničeskihfunkcij |