Douglis-Nirenberg elliptic systems in Hörmander spaces
We investigate Douglis-Nirenberg uniformly elliptic systems in $\mathbb{R}^n$ on the class of Hormander Hilbert spaces $H^{\varphi}$, where $\varphi$ is an $RO$-varying function of scalar argument. An a priori estimate for solutions is proved, and their interior regularity is studied. A sufficient...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2674 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508619234082816 |
|---|---|
| author | Zinchenko, T. N. Murach, A. A. Зинченко, Т. Н. Мурач, А. А. Зинченко, Т. Н. Мурач, А. А. |
| author_facet | Zinchenko, T. N. Murach, A. A. Зинченко, Т. Н. Мурач, А. А. Зинченко, Т. Н. Мурач, А. А. |
| author_sort | Zinchenko, T. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:37Z |
| description | We investigate Douglis-Nirenberg uniformly elliptic systems in $\mathbb{R}^n$ on the class of Hormander Hilbert spaces $H^{\varphi}$, where $\varphi$ is an $RO$-varying function of scalar argument.
An a priori estimate for solutions is proved, and their interior regularity is studied. A sufficient condition for these systems to have the Fredholm property is given. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.222
Т. Н. Зинченко, А. А. Мурач* (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПО ДУГЛИСУ – НИРЕНБЕРГУ СИСТЕМЫ
В ПРОСТРАНСТВАХ ХЕРМАНДЕРА
We investigate Douglis – Nirenberg uniformly elliptic systems in Rn on the class of Hörmander Hilbert spaces Hϕ, where
ϕ is an RO-varying function of scalar argument. An a priori estimate for solutions is proved, and their interior regularity
is studied. A sufficient condition for these systems to have the Fredholm property is given.
Дослiджено рiвномiрно елiптичнi в Rn за Дуглiсом – Нiренбергом системи у класi гiльбертових просторiв Херман-
дера Hϕ, де ϕ — RO-змiнна функцiя скалярного аргументу. Встановлено апрiорну оцiнку розв’язкiв i дослiджено
їх внутрiшню регулярнiсть. Отримано достатню умову нетеровостi цих систем.
1. Введение. Общие эллиптические системы дифференциальных уравнений смешанного по-
рядка были введены А. Дуглисом и Л. Ниренбергом [1]. Содержательные примеры таких систем
встречаются в гидродинамике и теории упругости. Эллиптические по Дуглису – Ниренбергу
системы появляются также при сведении скалярных эллиптических уравнений к системам
уравнений первого порядка и при сведении эллиптических краевых задач на край многообра-
зия [2 – 4].
Эллиптические уравнения и системы имеют ряд характерных свойств в шкалах пространств
Гельдера – Зигмунда и Соболева: априорные оценки решений, повышение гладкости решений,
нетеровость эллиптических операторов. Указанные свойства имеют важные приложения в тео-
рии эллиптических краевых задач, в теории индекса эллиптических операторов, в спектральной
теории дифференциальных операторов и ряд других (см. обзоры [2, 3] и приведенную там биб-
лиографию).
В этой связи представляет интерес исследование эллиптических уравнений и систем в раз-
личных классах функциональных пространств, характеризующих свойства регулярности функ-
ций/распределений более тонко, чем классические шкалы Гельдера – Зигмунда и Соболева. Для
этого естественно использовать пространства, в которых показателем гладкости является не
числовой, а функциональный параметр. Широкие классы таких пространств были введены и
систематически исследованы Л. Хермандером [5] (п. 2.2) и применены к изучению локальной
регулярности решений линейных дифференциальных уравнений, а также их систем (послед-
ние — в случае постоянных коэффициентов) [5, 6]. В настоящее время пространства Хермандера
и их различные аналоги, называемые пространствами обобщенной гладкости, активно иссле-
дуются как сами по себе, так и с точки зрения приложений [7 – 11].
Для приложений, особенно в спектральной теории, наиболее важным является случай гиль-
бертовых пространств. Среди них особый интерес представляют пространства, интерполяцион-
ные относительно гильбертовой соболевской шкалы. Поскольку при интерполяции наследуется
ограниченность линейных операторов, а также их нетеровость (при неизменном дефекте), клас-
сы этих пространств являются удобным инструментом для изучения свойств эллиптических
уравнений и систем.
*Частично поддержан грантом № 01/01.12 НАН Украины (в рамках совместного украинско-российского проекта
НАН Украины и Российского фонда фундаментальных исследований).
c© Т. Н. ЗИНЧЕНКО, А. А. МУРАЧ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11 1477
1478 Т. Н. ЗИНЧЕНКО, А. А. МУРАЧ
В настоящей статье исследуются равномерно эллиптические в Rn по Дуглису – Ниренбергу
системы в классе гильбертовых пространств Хермандера
Hϕ := B2,ϕ(〈·〉) =
{
w — распределение : ϕ(〈ξ〉)(Fw)(ξ) ∈ L2(Rn, dξ)
}
, (∗)
где ϕ — произвольная RO-меняющаяся функция скалярного аргумента. Выбор этого класса
обусловлен тем, что он совпадает (с точностью до эквивалентности норм) с классом всех
гильбертовых пространств, интерполяционных относительно гильбертовой соболевской шка-
лы [11] (п. 2.4.2), [12]. В статье установлены теоремы об априорных оценках и о регулярности
решений эллиптических систем в пространствах (∗), а также (при дополнительных предпо-
ложениях) теорема о нетеровости матричного эллиптического оператора. Отдельный случай
систем, равномерно эллиптических по Петровскому, рассмотрен ранее в [13].
Отметим, что для более узкого класса пространств Хермандера (уточненная соболевская
шкала) эллиптические уравнения и эллиптические краевые задачи исследованы в статьях [14 –
20] и монографии [11].
2. Постановка задачи. Пусть n, p ≥ 2 — целые числа. В евклидовом пространстве Rn
рассматривается система линейных дифференциальных уравнений
p∑
k=1
Aj,k(x,D)uk(x) = fj(x), j = 1, . . . , p, (1)
где
Aj,k(x,D) :=
∑
|µ|≤rj,k
aj,kµ (x)Dµ, j, k = 1, . . . , p.
Здесь и далее µ = (µ1, . . . , µn) — мультииндекс с неотрицательными целыми компонентами,
|µ| := µ1 + . . . + µn, Dj := i∂/∂xj , D
µ(= Dµ
x) := Dµ1
1 . . . Dµn
n , где i — мнимая единица,
а x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn. Преобразование Фурье F переводит дифференциальный оператор
Dµ в оператор умножения на функцию ξµ := ξµ11 . . . ξµnn аргумента ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn,
двойственного к x.
Предполагается, что в системе (1) все коэффициенты aj,kµ (x) — комплекснозначные функции,
бесконечно дифференцируемые и ограниченные вместе со всеми частными производными в
Rn. Класс таких функций обозначаем через C∞b .
Решение системы (1) понимается в смысле теории распределений. Запишем ее в матричной
форме Au = f. Здесь A := (Aj,k(x,D))pj,k=1 — матричный дифференциальный оператор, а
u = col (u1, . . . , up), f = col (f1, . . . , fp) — функциональные столбцы.
Предполагается, что система (1) равномерно эллиптическая в Rn по Дуглису – Ниренбергу
[2] (п. 3.2.b), т. е. существуют наборы целых чисел l1, . . . , lp и m1, . . . ,mp такие, что:
i) rj,k ≤ lj +mk для всех j, k = 1, . . . , p;
ii) найдется число c > 0, при котором∣∣∣ det
(
A
(0)
j,k(x, ξ)
)p
j,k=1
∣∣∣ ≥ c для любых x, ξ ∈ Rn, |ξ| = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПО ДУГЛИСУ – НИРЕНБЕРГУ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ХЕРМАНДЕРА 1479
Здесь
A
(0)
j,k(x, ξ) :=
∑
|µ|=lj+mk
aj,kµ (x)ξµ
— главный символ дифференциального оператора Aj,k(x,D) в случае rj,k = lj + mk, либо
A
(0)
j,k(x, ξ) ≡ 0 в случае rj,k < lj +mk.
В отдельном случае, когда все числа lj = 0, система (1) называется равномерно эллипти-
ческой по Петровскому. Если, кроме того, все числа mk равны, то она является равномерно
эллиптической в обычном смысле.
Введем функциональные пространства, в которых исследуется система (1).
Пусть RO — множество всех измеримых по Борелю функций ϕ : [1,∞) → (0,∞), для
которых существуют числа a > 1 и c ≥ 1 такие, что
c−1 ≤ ϕ(λt)
ϕ(t)
≤ c для любых t ≥ 1, λ ∈ [1, a]
(постоянные a и c зависят от ϕ ∈ RO). Такие функции называют RO- (или OR)-меняющимися
на бесконечности. Класс RO-меняющихся функций введен В. Г. Авакумовичем в 1936 г. и
достаточно полно изучен (см. [21] (приложение 1), [22] (пп. 2.0 – 2.2)).
Пусть ϕ ∈ RO. Обозначим через Hϕ линейное пространство всех распределений w ∈
∈ S ′ таких, что их преобразование Фурье ŵ := Fw локально суммируемо по Лебегу в Rn и
удовлетворяет условию ∫
Rn
ϕ2
(
〈ξ〉
)∣∣ŵ(ξ)
∣∣2dξ <∞.
Здесь, как обычно, S ′ — линейное топологическое пространство Шварца медленно растущих
комплекснозначных распределений, заданных в Rn, а 〈ξ〉 := (1 + |ξ|2)1/2 — сглаженный модуль
вектора ξ ∈ Rn. С точки зрения приложений к дифференциальным уравнениям нам удоб-
но трактовать распределения как антилинейные функционалы на пространстве S основных
функций.
В пространстве Hϕ определено скалярное произведение распределений w1, w2 по формуле
(w1, w2)ϕ :=
∫
Rn
ϕ2(〈ξ〉) ŵ1(ξ) ŵ2(ξ) dξ.
Оно задает на Hϕ структуру гильбертова пространства и определяет норму ‖w‖ϕ := (w,w)
1/2
ϕ .
Это пространство сепарабельно; в нем плотно множество C∞0 бесконечно дифференцируемых
функций на Rn, у которых носитель компактен.
Пространство Hϕ — гильбертов изотропный случай пространств Bp,k, введенных и сис-
тематически исследованных Л. Хермандером [5] (п. 2.2) (см. также [6] (п. 10.1)). Именно,
Hϕ = Bp,k, если p = 2 и k(ξ) = ϕ
(
〈ξ〉
)
при ξ ∈ Rn. Отметим, что при p = 2 пространст-
ва Хермандера совпадают с пространствами, введенными и изученными Л. Р. Волевичем и
Б. П. Панеяхом [23] (§ 2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1480 Т. Н. ЗИНЧЕНКО, А. А. МУРАЧ
Если ϕ(t) = ts для всех t ≥ 1 при некотором s ∈ R, то Hϕ =: H(s) — (гильбертово)
пространство Соболева порядка s.
Отметим, что пространства Hϕ и H1/ϕ взаимно двойственны относительно расширения по
непрерывности полуторалинейной формы
(w1, w2)Rn :=
∫
Rn
w1(x)w2(x) dx
(очевидно, ϕ ∈ RO ⇔ 1/ϕ ∈ RO). Это расширение обозначаем также через (·, ·)Rn , а для
вектор-функций u и f полагаем (u, f)Rn := (u1, f1)Rn + . . .+ (up, fp)Rn , если слагаемые опре-
делены.
Обозначим %(t) := t при t ≥ 1. Матричный дифференциальный оператор A является
ограниченным оператором (см. ниже п. 4)
A :
p⊕
k=1
Hϕρmk →
p⊕
j=1
Hϕρ−lj для каждого ϕ ∈ RO. (2)
Здесь ϕρmk , ϕρ−lj ∈ RO и поэтому определены пространства Хермандера, фигурирующие
в (2).
В работе исследуются свойства оператора (2).
3. Основные результаты. Сформулируем основные результаты статьи; их доказательство
будет дано в п. 5.
Теорема 1. Пусть заданы функция ϕ ∈ RO и число σ > 0. Тогда существует число
c = c(ϕ, σ) > 0 такое, что для произвольных вектор-функций
u ∈
p⊕
k=1
Hϕρmk , f ∈
p⊕
j=1
Hϕρ−lj , (3)
удовлетворяющих уравнению Au = f в Rn, справедлива априорная оценка(
p∑
k=1
‖uk‖2ϕρmk
)1/2
≤ c
p∑
j=1
‖fj‖2ϕρ−lj
1/2 + c
(
p∑
k=1
‖uk‖2ϕρmk−σ
)1/2
. (4)
Пусть V — произвольное открытое непустое подмножество пространства Rn. Исследуем
внутреннюю регулярность решения эллиптической системы Au = f на V в классе пространств
Хермандера.
Обозначим
H−∞ :=
⋃
s∈R
H(s) =
⋃
ϕ∈RO
Hϕ, H∞ :=
⋂
s∈R
H(s) =
⋂
ϕ∈RO
Hϕ.
Эти определения корректны, как будет показано в п. 4. В пространствах H−∞ и H∞ вводятся
топологии соответственно индуктивного и проективного пределов. Отметим, что H∞ ⊂ C∞b в
силу теоремы вложения Соболева. Положим
Hϕ
int(V ) :=
{
w ∈ H−∞ : χw ∈ Hϕ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПО ДУГЛИСУ – НИРЕНБЕРГУ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ХЕРМАНДЕРА 1481
для всех χ ∈ C∞b таких, что suppχ ⊂ V,dist(suppχ, ∂V ) > 0
}
, (5)
где ϕ ∈ RO. Топология в пространстве Hϕ
int(V ) задается полунормами w → ‖χw‖ϕ, в которых
функции χ те же, что и в (5). Если V = Rn, то Hϕ
int(V ) = Hϕ.
Теорема 2. Пусть ϕ ∈ RO. Предположим, что вектор-функция u ∈ (H−∞)p является
решением уравнения Au = f на открытом множестве V ⊆ Rn, где fj ∈ Hϕρ−lj
int (V ) для всех
j = 1, . . . , p. Тогда uk ∈ Hϕρmk
int (V ) для всех k = 1, . . . , p.
Отметим, что следует различать внутреннюю и локальную регулярность на открытом мно-
жестве V ⊂ Rn. Пространство распределений, имеющих характеризуемую параметром ϕ ∈ RO
локальную регулярность на этом множестве, определяется следующим образом:
Hϕ
loc(V ) :=
{
w ∈ H−∞ : χw ∈ Hϕ для всех χ ∈ C∞0 таких, что suppχ ⊂ V
}
.
В случае, когда множество V ограничено, пространства Hϕ
int(V ) и Hϕ
loc(V ) совпадают. Если
же V не ограничено, то может быть строгое включение Hϕ
int(V ) ⊂ Hϕ
loc(V ). Для локальной
гладкости справедлив аналог теоремы 2; в ее формулировке следует лишь заменить int на loc
в обозначениях пространств. Он тривиально вытекает из теоремы 2.
В качестве приложения этой теоремы имеем следующее достаточное условие непрерывнос-
ти частных производных решения u.
Теорема 3. Пусть заданы целые числа k ∈ {1, . . . , p}, λ ≥ 0 и функция ϕ ∈ RO, удовлет-
воряющая условию
∞∫
1
t2λ+n−1−2mkϕ−2(t)dt <∞. (6)
Предположим, что вектор-функция u ∈ (H−∞)p является решением уравнения Au = f на
открытом множестве V ⊆ Rn, где fj ∈ Hϕρ−lj
int (V ) для всех j = 1, . . . , p. Тогда компонента
uk решения имеет на множестве V непрерывные частные производные до порядка λ вклю-
чительно, причем эти производные ограничены на каждом множестве V0 ⊂ V таком, что
dist(V0, ∂V ) > 0. В частности, если V = Rn, то uk ∈ Cλb .
Здесь Cλb — банахово пространство всех функций w : Rn → C, имеющих непрерывные и
ограниченные производные в Rn порядка ≤ λ.
Отметим, что аналоги теорем 1 – 3 справедливы и для системы A+u = f, формально
сопряженной к системе (1), поскольку обе они равномерно эллиптичны в Rn (по Дуглису –
Ниренбергу). Здесь, напомним, A+ := (A+
k,j
(
x,D)
)p
j,k=1
, где
A+
k,j(x,D)uk(x) :=
∑
|µ|≤rk,j
Dµ
(
ak,jµ (x)uk(x)
)
,
так что (A+u, v)Rn = (u,Av)Rn для произвольных вектор-функций u, v ∈ (S)p.
Системе A+u = f соответствует ограниченный оператор
A+ :
p⊕
k=1
Hϕρlk →
p⊕
j=1
Hϕρ−mj для каждого ϕ ∈ RO. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1482 Т. Н. ЗИНЧЕНКО, А. А. МУРАЧ
Он сопряжен к оператору (2), где пишем 1/ϕ вместо ϕ, относительно полуторалинейной формы
(·, ·)Rn .
Согласно теореме 2 ядра операторов (2) и (7) совпадают с пространствами
N :=
{
u ∈ (H∞)p : Au = 0
}
, N+ :=
{
v ∈ (H∞)p : A+v = 0
}
соответственно и не зависят от ϕ.
Следующие условия являются достаточными для нетеровости оператора (2) (а также опе-
ратора (7)):
a) Dαaj,kµ (x) → 0 при |x| → ∞ для каждого мультииндекса α с |α| ≥ 1, произвольных
индексов j, k ∈ {1, . . . , p} и мультииндекса µ с |µ| ≤ rj,k;
б) существуют числа c1 > 0 и c2 ≥ 0 такие, что
| det(Aj,k(x, ξ))
p
j,k=1| ≥ c1〈ξ〉
q для любых x, ξ ∈ Rn, |x|+ |ξ| ≥ c2.
Здесь q := l1 + . . .+ lp +m1 + . . .+mp, а
Aj,k(x, ξ) :=
∑
|µ|≤lj+mk
aj,kµ (x)ξµ
— полный символ дифференциального оператора Aj,k(x,D).
Напомним, что линейный ограниченный оператор T : E1 → E2, где E1 и E2 — банахо-
вы пространства, называется нетеровым, если его ядро kerT и коядро cokerT := E2/T (X)
конечномерны. У нетерового оператора T область значений T (X) замкнута в E2, а индекс
ind T := dim ker T − dim cokerT конечен.
Теорема 4. Пусть выполняются условия а) и б). Тогда для каждого ϕ ∈ RO оператор (2)
нетеров. Его область значений совпадает с пространствомf ∈
p⊕
j=1
Hϕρ−lj : (f, v)Rn = 0 для всех v ∈ N+
, (8)
а индекс равен dimN − dimN+ и не зависит от ϕ.
Отметим, что условие б) влечет за собой условие ii) из определения равномерной эллиптич-
ности по Дуглису – Ниренбергу. В свою очередь, если предположить, что условие а) выполнено,
то условие б) следует из нетеровости оператора (2) в соболевском случае ϕ = %s при хотя бы
одном значении s ∈ R [24] (теорема 4.2).
Предположим, что выполняются условия а) и б). В случае, когда пространства N и N+
тривиальны, оператор (2) является гомеоморфизмом в силу теоремы 4 и теоремы Банаха об
обратном операторе. В общей ситуации гомеоморфизм удобно задавать с помощью следующих
проекторов.
Пусть ϕ ∈ RO. Разложим пространства, в которых действует нетеров оператор (2), в прямые
суммы (замкнутых) подпространств:
p⊕
k=1
Hϕρmk = N u
{
u ∈
p⊕
k=1
Hϕρmk : (u,w)Rn = 0 для всех w ∈ N
}
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПО ДУГЛИСУ – НИРЕНБЕРГУ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ХЕРМАНДЕРА 1483
p⊕
j=1
Hϕρ−lj = N+ u (8).
Такие разложения существуют, поскольку в них слагаемые имеют тривиальное пересечение, и
конечная размерность первого из них равна коразмерности второго. Последнее следует из того,
что в первой сумме фактор-пространство пространства
⊕p
k=1H
ϕρmk по второму слагаемому
является двойственным пространством к подпространству N пространства
⊕p
k=1H
1/(ϕρmk )(
двойственность понимается относительно формы (·, ·)Rn
)
. Аналогично и для второй суммы.
Обозначим через P и P+ соответственно (косые) проекторы пространств
p⊕
k=1
Hϕρmk и
p⊕
j=1
Hϕρ−lj
на вторые слагаемые в указанных суммах параллельно первым слагаемым. Эти проекторы (как
отображения) не зависят от ϕ.
Тогда в силу теоремы 4 сужение оператора (2) на подпространство P
(⊕p
k=1H
ϕρmk
)
являет-
ся гомеоморфизмом
A : P
(
p⊕
k=1
Hϕρmk
)
↔ P+
p⊕
j=1
Hϕρ−lj
.
Аналогичный результат справедлив и для оператора (7). Отметим, что его нетеровость
следует из теоремы 4, так как он сопряжен к нетеровому оператору (2) с параметром 1/ϕ
вместо ϕ.
4. Вспомогательные результаты. Приведем некоторые результаты, необходимые для до-
казательства теорем 1 – 4.
Отметим следующие свойства функционального класса RO (см., например, [21], приложе-
ние 1, теоремы 1 и 2):
i) ϕ ∈ RO тогда и только тогда, когда
ϕ(t) = exp
β(t) +
t∫
1
α(τ)
τ
dτ
при t ≥ 1,
где вещественные функции α и β измеримы по Борелю и ограничены на полуоси [1,∞);
ii) для любой функции ϕ ∈ RO существуют числа s0, s1 ∈ R, s0 ≤ s1, и c1 ≥ 1 такие, что
c−11 λs0 ≤ ϕ(λt)
ϕ(t)
≤ c1λs1 при t ≥ 1, λ ≥ 1. (9)
Для функции ϕ ∈ RO определены и конечны нижний и верхний индексы Матушевской [22]
(п. 2.1.2):
σ0(ϕ) := sup
{
s0 ∈ R : верно левое неравенство в (9)
}
,
σ1(ϕ) := inf
{
s1 ∈ R : верно правое неравенство в (9)
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1484 Т. Н. ЗИНЧЕНКО, А. А. МУРАЧ
Из формулы (9) при t = 1 следуют непрерывные и плотные вложения
H(s1) ↪→ Hϕ ↪→ H(s0) для всех чисел s1 > σ1(ϕ), s0 < σ0(ϕ). (10)
Отсюда вытекает корректность определения пространств H−∞ и H∞, данного в п. 3.
Пространство Hϕ, фигурирующее в (10), есть результат интерполяции с подходящим функ-
циональным параметром пары соболевских пространств H(s0) и H(s1). Напомним определение
этой интерполяции в случае общих гильбертовых пространств и некоторые ее свойства [11]
(п. 1.1, 2.4.2). Для наших целей достаточно ограничиться сепарабельными пространствами.
Пусть задана упорядоченная параX := [X0, X1] сепарабельных комплексных гильбертовых
пространств X0 и X1 такая, что выполняется непрерывное и плотное вложение X1 ↪→ X0.
Пару X называем допустимой. Для нее существует изометрический изоморфизм J : X1 ↔ X 0
такой, что J — самосопряженный положительно определенный оператор в пространстве X0
с областью определения X1. Оператор J определяется парой X однозначно; он называется
порождающим для X.
Обозначим через B множество всех измеримых по Борелю функций ψ : (0,∞) → (0,∞),
которые отделены от нуля на каждом множестве [r,∞) и ограничены на каждом отрезке [a, b],
где r > 0 и 0 < a < b <∞.
Пусть ψ ∈ B. В пространстве X0 определен, как функция от J, оператор ψ(J). Обоз-
начим через [X0, X1]ψ или, короче, Xψ область определения оператора ψ(J), наделенную
скалярным произведением (w1, w2)Xψ := (ψ(J)w1, ψ(J)w2)X0 и соответствующей нормой
‖w‖Xψ = (w,w)
1/2
Xψ
. ПространствоXψ гильбертово и сепарабельно, причем выполняется непре-
рывное и плотное вложение Xψ ↪→ X0.
Функцию ψ ∈ B называем интерполяционным параметром, если для произвольных допус-
тимых пар X = [X0, X1], Y = [Y0, Y1] гильбертовых пространств и для любого линейного
отображения T, заданного наX0, выполняется следующее. Если при каждом j ∈ {0, 1} сужение
отображения T на пространство Xj является ограниченным оператором T : Xj → Yj , то и
сужение отображения T на пространство Xψ является ограниченным оператором T : Xψ →
→ Yψ. Тогда будем говорить, что пространствоXψ получено интерполяцией с функциональным
параметром ψ пары X.
Известно, что функция ψ ∈ B является интерполяционным параметром тогда и только
тогда, когда она псевдовогнута в окрестности бесконечности, т. е. ψ(t) � ψ1(t) при t � 1
для некоторой положительной вогнутой функции ψ1(t). (Как обычно, ψ � ψ1 обозначает
ограниченность обоих отношений ψ/ψ1 и ψ1/ψ на указанном множестве.)
В случае, когда допустимая пара состоит из соболевских пространств, нам понадобится
следующий факт [11] (п. 2.4.2, теорема 2.19).
Предложение 1. Пусть заданы функция ϕ ∈ RO и вещественные числа s0, s1 такие,
что s0 < σ0(ϕ) и s1 > σ1(ϕ). Положим
ψ(t) :=
t
−s0/(s1−s0) ϕ
(
t1/(s1−s0)
)
при t ≥ 1,
ϕ(1) при 0 < t < 1.
(11)
Тогда функция ψ ∈ B является интерполяционным параметром и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПО ДУГЛИСУ – НИРЕНБЕРГУ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ХЕРМАНДЕРА 1485[
H(s0), H(s1)
]
ψ
= Hϕ (12)
с равенством норм.
Отметим также [11] (п. 2.4.2), что используемый нами класс гильбертовых пространств
{Hϕ : ϕ ∈ RO} замкнут относительно интерполяции с функциональным параметром. Более
того, он совпадает (с точностью до эквивалентности норм) с классом всех гильбертовых прост-
ранств, интерполяционных для пар соболевских пространств [H(s0), H(s1)], где s0, s1 ∈ R и
s0 < s1. Напомним, что свойство (гильбертового) пространстваH быть интерполяционным для
допустимой пары X = [X0, X1] означает следующее: а) выполняются непрерывные вложения
X1 ↪→ H ↪→ X0, б) любой линейный оператор, ограниченный на каждом из пространств X0 и
X1, является ограниченным и на X.
При интерполяции пространств наследуется не только ограниченность, но и нетеровость
линейных операторов при некоторых дополнительных условиях. Сформулируем этот результат
применительно к рассмотренному нами методу интерполяции [11] (п. 1.1.7, теорема 1.7).
Предложение 2. Пусть X = [X0, X1] и Y = [Y0, Y1] — допустимые пары гильбертовых
пространств. Пусть, кроме того, на X0 задано линейное отображение T такое, что его
сужения на пространства Xj , j = 0, 1, являются ограниченными нетеровыми операторами
T : Xj → Yj , имеющими общее ядро и одинаковый индекс. Тогда для произвольного интерпо-
ляционного параметра ψ ∈ B ограниченный оператор T : Xψ → Yψ нетеров с теми же ядром
и индексом, а его область значений равна Yψ ∩ T (X0).
В доказательствах нам придется интерполировать ортогональные суммы гильбертовых
пространств. Для этого будет полезен следующий факт [11] (п. 1.1.5, теорема 1.5).
Предложение 3. Пусть задано конечное число допустимых пар [X
(k)
0 , X
(k)
1 ], k = 1, . . . , p,
гильбертовых пространств. Тогда для любого ψ ∈ B справедливо[
p⊕
k=1
X
(k)
0 ,
p⊕
k=1
X
(k)
1
]
ψ
=
p⊕
k=1
[
X
(k)
0 , X
(k)
1
]
ψ
с равенством норм.
При доказательстве теорем 1 и 2 мы воспользуемся тем важным фактом, что равномерно
эллиптический дифференциальный оператор A имеет параметрикс, т. е. матричный псевдодиф-
ференциальный оператор (ПДО), обратный к A с точностью до ПДО порядка −∞. Напомним
необходимые нам факты, относящиеся к ПДО и параметриксам (см., например, [2] (пп. 1.1,
1.9, 3.2)).
Обозначим через Ψr, r ∈ R, множество всех ПДО G в Rn (не обязательно классических)
таких, что их символ g(x, ξ) бесконечно дифференцируем в R2n и удовлетворяет следующему
условию: для любых мультииндексов α и β существует число cα,β > 0, при котором∣∣Dα
xD
β
ξ g(x, ξ)
∣∣ ≤ cα,β〈ξ〉r−|β| для любых x, ξ ∈ Rn.
Число r называется (формальным) порядком ПДО G. Положим Ψ−∞ :=
⋂
r∈R Ψr.
Предложение 4. Существует матричный ПДО B = (Bk,j)
p
k,j=1 такой, что все Bk,j ∈
∈ Ψ−mk−lj и
BA = I + T1, AB = I + T2, (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1486 Т. Н. ЗИНЧЕНКО, А. А. МУРАЧ
где T1 = (T j,k1 )pj,k=1 и T2 = (T k,j2 )pk,j=1 — некоторые матричные ПДО, состоящие из элементов
класса Ψ−∞, а I — тождественный оператор в S′.
Любой ПДО класса Ψr является непрерывным оператором в пространстве S ′. Следующая
лемма уточняет этот факт применительно к пространствам Хермандера.
Лемма 1. Для ПДО G ∈ Ψr сужение линейного отображения u → Gu, u ∈ S ′, на
пространство Hϕ является ограниченным оператором
G : Hϕ → Hϕρ−r для любых ϕ ∈ RO. (14)
Доказательство. В случае соболевских пространств этот факт известен [2] (п. 1.1, теоре-
ма 1.1.2). Отсюда выведем ограниченность оператора (14) с помощью интерполяции с функ-
циональным параметром.
Пусть ϕ ∈ RO. Выберем числа s0 < σ0(ϕ) и s1 > σ1(ϕ). Рассмотрим линейные ограничен-
ные операторы
G : H(sj) → H(sj−r) для j = 0, 1, (15)
действующие в пространствах Соболева. Определим ψ по формуле (11); согласно предложе-
нию 1 функция ψ — интерполяционный параметр. Поэтому из ограниченности операторов (15)
следует, что сужение отображения G на пространство [H(s0), H(s1)]ψ является ограниченным
оператором
G :
[
H(s0), H(s1)
]
ψ
→
[
H(s0−r), H(s1−r)]
ψ
. (16)
В силу предложения 1 выполняются равенства (12) и[
H(s0−r), H(s1−r)]
ψ
= Hϕρ−r .
Заметим, что второе из них верно, так как s0 − r < σ0(ϕρ
−r), s1 − r > σ1(ϕρ
−r), а функцио-
нальный параметр ψ удовлетворяет соотношению (11), если в нем заменить s0 на s0 − r, s1 на
s1 − r и ϕ на ϕρ−r. Следовательно, ограниченность оператора (16) означает ограниченность
оператора (14).
Лемма 1 доказана.
В силу леммы 1 оператор (2) ограничен, поскольку каждый дифференциальный оператор
Aj,k(x,D) принадлежит классу Ψlj+mk .
Для доказательства теоремы 3 нам понадобится следующий изотропный вариант теоремы
вложения Хермандера.
Лемма 2. Пусть заданы целое число λ ≥ 0 и функция ω ∈ RO. Тогда условие
∞∫
1
t2λ+n−1ω−2(t)dt <∞ (17)
равносильно вложению Hω ⊂ Cλb , и это вложение непрерывно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПО ДУГЛИСУ – НИРЕНБЕРГУ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ХЕРМАНДЕРА 1487
Доказательство. Теорема вложения Хермандера [5] (п. 2.2, теорема 2.2.7) утверждает в
гильбертовом случае, что ∫
Rn
〈ξ〉2λk−2(ξ)dξ <∞ ⇔ B2,k ⊂ Cλb .
Здесь, напомним, B2,k — пространство Хермандера, параметризуемое весовой функцией k(ξ)
от n переменных. Если эта функция радиальна: k(ξ) = ω(〈ξ〉), то соответствующее ей прост-
ранство B2,k = Hω изотропно и∫
Rn
〈ξ〉2λω−2
(
〈ξ〉
)
dξ <∞ ⇔ Hω ⊂ Cλb . (18)
Покажем, что левое условие в (18) эквивалентно (17).
Переходя к сферическим координатам, где r := |ξ|, и затем выполняя замену t =
√
1 + r2,
получаем ∫
Rn
〈ξ〉2λω−2
(
〈ξ〉
)
dξ = c
∞∫
0
(
1 + r2
)λ
ω−2(
√
1 + r2)rn−1 dr =
= c
∞∫
1
t2λ+1(t2 − 1)n/2−1ω−2(t)dt = A+ c
∞∫
2
t2λ+1(t2 − 1)n/2−1ω−2(t)dt.
Здесь c := nV1, V1 — объем единичного шара в Rn, а
A := c
2∫
1
t2λ+1 (t2 − 1)n/2−1ω−2(t)dt <∞,
так как ω � 1 на [1, 2] и n/2− 1 > −1. Следовательно,∫
Rn
〈ξ〉2λω−2(〈ξ〉) dξ <∞ ⇔
∞∫
2
t2λ+1(t2 − 1)n/2−1ω−2(t) dt <∞⇔
⇔
∞∫
2
t2λ+n−1ω−2(t)dt <∞⇔ (17).
Отсюда в силу (18) делаем вывод, что (17) эквивалентно вложениюHω ⊂ Cλb . Оно непрерывно,
поскольку банаховы пространства Hω и Cλb непрерывно вложены в некоторое хаусдорфово
пространство, например в S ′.
Лемма 2 доказана.
В связи с ней отметим следующее. Если Hω = H(s) — пространство Соболева порядка s,
т. е. ω(t) = ts при t ≥ 1, то условие (17) равносильно неравенству s > λ+n/2, и мы приходим
к теореме вложения Соболева.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1488 Т. Н. ЗИНЧЕНКО, А. А. МУРАЧ
5. Доказательство основных результатов. Докажем теоремы 1 – 4.
Доказательство теоремы 1. Обозначим через ‖ · ‖′ϕ, ‖ · ‖′′ϕ и ‖ · ‖′ϕ,σ соответственно нормы
в пространствах
p⊕
k=1
Hϕρmk ,
p⊕
j=1
Hϕρ−lj и
p⊕
k=1
Hϕρmk−σ .
Пусть вектор-функции (3) удовлетворяют уравнению Au = f в Rn. В силу первого равен-
ства в (13) имеем u = Bf − T1u. Отсюда следует оценка (4):
‖u‖′ϕ = ‖Bf − T1u‖′ϕ ≤ ‖Bf‖′ϕ + ‖T1u‖′ϕ ≤ c ‖f‖′ϕ + c‖u‖′ϕ,σ.
Здесь с — максимум норм операторов
B :
p⊕
j=1
Hϕρ−lj →
p⊕
k=1
Hϕρmk ,
T1 :
p⊕
k=1
Hϕρmk−σ →
p⊕
k=1
Hϕρmk ,
(19)
ограниченных в силу предложения 4 и леммы 1.
Теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Сначала рассмотрим случай, когда V = Rn. По условию
Au = f в Rn, где f ∈
⊕p
j=1H
ϕρ−lj . Воспользовавшись первым равенством в (13), запишем
u = Bf − T1u. Здесь Bf ∈
⊕p
k=1H
ϕρmk в силу (19) и T1u ∈ (H∞)p согласно предложению 4.
Следовательно, u ∈
⊕p
k=1H
ϕρmk , что и требовалось доказать в случае V = Rn.
Рассмотрим теперь случай, когда V 6= Rn. Произвольно выберем функцию χ ∈ C∞b такую,
что
suppχ ⊂ V и dist(suppχ, ∂V ) > 0. (20)
Для нее существует функция η ∈ C∞b такая, что
supp η ⊂ V, dist(supp η, ∂V ) > 0, η = 1 в окрестности suppχ. (21)
Действительно, можно определить указанную функцию с помощью операции свертки по фор-
муле η := χ2ε ∗ ωε, где ε := dist(suppχ, ∂V )/4, χ2ε — индикатор 2ε-окрестности множества
suppχ, а функция ωε ∈ C∞0 удовлетворяет условиям
ωε ≥ 0, suppωε ⊂ {x ∈ Rn : ‖x‖ ≤ ε},
∫
Rn
ωε(x) dx = 1.
Непосредственно проверяется, что такая функция η принадлежит классу C∞b и имеет следую-
щее свойство: η ≡ 1 в ε-окрестности множества suppχ и η ≡ 0 вне 3ε-окрестности этого же
множества, т. е. η удовлетворяет условиям (21).
На основании первого равенства в (13) можем записать
χu = χBAu− χT1u = χBηAu+ χB(1− η)Au− χT1u. (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПО ДУГЛИСУ – НИРЕНБЕРГУ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ХЕРМАНДЕРА 1489
Поскольку Au = f на множестве V, то ηAu = ηf в Rn, где ηf ∈
⊕p
j=1H
ϕρ−lj по условию
теоремы. Следовательно, в силу (19) имеем
χBηAu = χBηf ∈
p⊕
k=1
Hϕρmk .
Кроме того, поскольку матричные ПДО χB(1−η), где 1−η = 0 в окрестности suppχ, и T1 сос-
тоят из элементов класса Ψ−∞, вектор-функции χB(1−η)Au и T1u принадлежат пространству
(H∞)p. Поэтому в силу (22) получаем, что χu ∈
⊕p
k=1H
ϕρmk для любой функции χ ∈ C∞b ,
удовлетворяющей условию (20). Иными словами, uk ∈ Hϕρmk
int (V ) для всех k = 1, . . . , p.
Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. Сначала рассмотрим случай, когда V = Rn. В силу теоремы 2
имеем uk ∈ Hϕρmk . Отсюда на основании леммы 2, где ω := ϕρmk , и условия (6) получаем
включение uk ∈ Cλb , что и требовалось доказать в этом случае.
Предположим теперь, что V 6= Rn. В силу теоремы 2 имеем uk ∈ Hϕρmk
int (V ).Пусть функция
η ∈ C∞b удовлетворяет следующим условиям: supp η ⊂ V, dist(supp η, ∂V ) > 0 и η = 1 в
окрестности множества V0 ⊂ V такого, что dist(V0, ∂V ) > 0. Эта функция строится так же,
как и в доказательстве теоремы 2, если заменить в нем множество suppχ на V0. На основании
леммы 2, где ω := ϕρmk , и условия (6) имеем ηuk ∈ Hϕρmk ⊂ Cλb . Отсюда следует, что все
частные производные функции uk до порядка λ включительно непрерывны и ограничены в
некоторой окрестности множества V0. Тогда эти производные непрерывны и на множестве V,
так как можно взять V0 := {x0} для любой точки x0 ∈ V.
Теорема 3 доказана.
Доказательство теоремы 4. В соболевском случае ϕ = %s, где s ∈ R выбрано произвольно,
эта теорема доказана (см., например, [24] (теорема 4.2)). Докажем ее для любого ϕ ∈ RO с
помощью интерполяции с функциональным параметром.
Выберем числа s0 < σ0(ϕ) и s1 > σ1(ϕ). Рассмотрим ограниченные нетеровы операторы
A :
p⊕
k=1
H(sr+mk) →
p⊕
j=1
H(sr−lj) для r = 0, 1, (23)
действующие в пространствах Соболева. Эти операторы имеют общее ядро N, одинаковый
индекс, равный dimN − dimN+, и области значений
A
(
p⊕
k=1
H(sr+mk)
)
=
f ∈
p⊕
j=1
H(sr−lj) : (f, v)Rn = 0 для всех v ∈ N+
. (24)
Определим интерполяционный параметр ψ по формуле (11). Согласно предложению 2 нете-
ровость операторов (23) влечет за собой нетеровость ограниченного оператора
A :
[
p⊕
k=1
H(s0+mk),
p⊕
k=1
H(s1+mk)
]
ψ
→
p⊕
j=1
H(s0−lj),
p⊕
j=1
H(s1−lj)
ψ
. (25)
Здесь в силу предложений 3 и 1 имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1490 Т. Н. ЗИНЧЕНКО, А. А. МУРАЧ[
p⊕
k=1
H(s0+mk),
p⊕
k=1
H(s1+mk)
]
ψ
=
p⊕
k=1
[
H(s0+mk), H(s1+mk)
]
ψ
=
p⊕
k=1
Hϕρmk , (26)
p⊕
j=1
H(s0−lj),
p⊕
j=1
H(s1−lj)
ψ
=
p⊕
j=1
[
H(s0−lj), H(s1−lj)
]
ψ
=
p⊕
j=1
Hϕρ−lj . (27)
Уточним, что (26) верно на основании предложения 1, поскольку s0 + mk < σ0(ϕρ
mk), s1 +
+ mk > σ1(ϕρ
mk), а функциональный параметр ψ удовлетворяет соотношению (11), если в
нем заменить s0 на s0 + mk, s1 на s1 + mk и ϕ на ϕρmk . Аналогично, (27) верно, так как
s0 − lj < σ0(ϕρ
−lj ), s1 − lj > σ1(ϕρ
−lj ), а ψ удовлетворяет соотношению (11), если в нем
заменить s0 на s0 − lj , s1 на s1 − lj и ϕ на ϕρ−lj .
Таким образом, (2) — это нетеров оператор (25). В силу предложения 2 индекс оператора (2)
равен dimN − dimN+, а область значений равна
p⊕
j=1
Hϕρ−lj
⋂
A
(
p⊕
k=1
H(s0+mk)
)
и совпадает с (8) вследствие (24).
Теорема 4 доказана.
1. Douglis A., Nirenberg L. Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations // Communs Pure and
Appl. Math. – 1955. – 8, № 4. – P. 503 – 538.
2. Agranovich M. S. Elliptic operators on closed manifolds // Encycl. Math. Sci. – Berlin: Springer, 1994. – Vol. 63. –
P. 1 – 130.
3. Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci. – Berlin: Springer, 1997. – Vol. 79. – P. 1 – 144.
4. Wloka J. T., Rowley B., Lawruk B. Boundary value problems for elliptic systems. – Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 1995. – xiv + 641 p.
5. Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer, 1963. – 285 p. (Рус. перевод: Хермандер Л.
Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.: Мир, 1965. – 380 с.)
6. Hörmander L. The analysis of linear partial differential operators. II: Differential operators with constant coefficients.–
Berlin: Springer, 1983. – viii + 391 p. (Рус. перевод: Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных опера-
торов с частными производными. – М.: Мир, 1986. – T. 2. – 456 с.)
7. Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem.– Berlin: Wiley-VCH, 2000. – 348 p.
8. Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäuser, 2001. – xii + 425 p.
9. Jacob N. Pseudodifferential operators and Markov processes. – London: Imperial College Press, 2001, 2002, 2005. —
Vols 1 – 3.
10. Nicola F., Rodino L. Global pseudodifferential calculas on Euclidean spaces. – Basel: Birkhäuser, 2010. – x + 306 p.
11. Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интерполяция и эллиптические задачи. – Kиев: Ин-т
математики НАН Украины, 2010. – 372 с. (arXiv:1106.3214)
12. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation Hilbert spaces for a couple of Sobolev spaces // arXiv:1106.2049. –
14 p.
13. Murach A. A. On elliptic systems in Hörmander spaces // Ukr. Math. J. – 2009. – 61, № 3. – P. 467 – 477.
14. Mikhailets V. A., Murach A. A. Improved scale of spaces and elliptic boundary-value problems. II // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 3. – P. 398 – 417.
15. Mikhailets V. A., Murach A. A. Regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous equation in a two-sided
improved scale of spaces // Ukr. Math. J. – 2006. – 58, № 11. – P. 1748 – 1767.
16. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces and elliptic boundary-value problems. III // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 5. – P. 744 – 765.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПО ДУГЛИСУ – НИРЕНБЕРГУ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВАХ ХЕРМАНДЕРА 1491
17. Murach A. A. Elliptic pseudo-differential operators in a refined scale of spaces on a closed manifold // Ukr. Math. J.
– 2007. – 59, № 6. – P. 874 – 893.
18. Murach A. A. Douglis-Nirenberg elliptic systems in the refined scale of spaces on a closed manifold // Methods
Funct. Anal. and Top. – 2008. – 14, № 2. – P. 142 – 158.
19. Mikhailets V. A., Murach A. A. Elliptic problems and Hörmander spaces // Oper. Theory: Adv. and Appl. – 2009. –
191. – P. 447 – 470.
20. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
21. Seneta E. Regularly varying functions. – Berlin: Springer, 1976. – 112 p. (Рус. перевод: Сенета Е. Правильно
меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.)
22. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 512 p.
23. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи мат.
наук. – 1965. – 20, № 1. – C. 3 – 74.
24. Rabier P. J. Fredholm and regularity theory of Douglis – Nirenberg elliptic systems on Rn // Math. Z. – 2012. – 270,
№ 1 – 2. – S. 369 – 393.
Получено 21.02.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2674 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:05Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/75/334e36ac1d4ed415974cc675ed439875.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26742020-03-18T19:32:37Z Douglis-Nirenberg elliptic systems in Hörmander spaces Эллиптические по Дуглису - Ниренбергу системы в пространствах Хермандера Zinchenko, T. N. Murach, A. A. Зинченко, Т. Н. Мурач, А. А. Зинченко, Т. Н. Мурач, А. А. We investigate Douglis-Nirenberg uniformly elliptic systems in $\mathbb{R}^n$ on the class of Hormander Hilbert spaces $H^{\varphi}$, where $\varphi$ is an $RO$-varying function of scalar argument. An a priori estimate for solutions is proved, and their interior regularity is studied. A sufficient condition for these systems to have the Fredholm property is given. Дослiджено рiвномiрно елiптичнi в $\mathbb{R}^n$ за Дуглiсом – Нiренбергом системи у класi гiльбертових просторiв Хермандера $H^{\varphi}$, де $\varphi$ — $RO$-змiнна функцiя скалярного аргументу. Встановлено апрiорну оцiнку розв’язкiв i дослiджено їх внутрiшню регулярнiсть. Отримано достатню умову нетеровостi цих систем. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2674 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 11 (2012); 1477-1476 Український математичний журнал; Том 64 № 11 (2012); 1477-1476 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2674/2107 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2674/2108 Copyright (c) 2012 Zinchenko T. N.; Murach A. A. |
| spellingShingle | Zinchenko, T. N. Murach, A. A. Зинченко, Т. Н. Мурач, А. А. Зинченко, Т. Н. Мурач, А. А. Douglis-Nirenberg elliptic systems in Hörmander spaces |
| title | Douglis-Nirenberg elliptic systems in Hörmander spaces |
| title_alt | Эллиптические по Дуглису - Ниренбергу системы в пространствах Хермандера |
| title_full | Douglis-Nirenberg elliptic systems in Hörmander spaces |
| title_fullStr | Douglis-Nirenberg elliptic systems in Hörmander spaces |
| title_full_unstemmed | Douglis-Nirenberg elliptic systems in Hörmander spaces |
| title_short | Douglis-Nirenberg elliptic systems in Hörmander spaces |
| title_sort | douglis-nirenberg elliptic systems in hörmander spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2674 |
| work_keys_str_mv | AT zinchenkotn douglisnirenbergellipticsystemsinhormanderspaces AT murachaa douglisnirenbergellipticsystemsinhormanderspaces AT zinčenkotn douglisnirenbergellipticsystemsinhormanderspaces AT muračaa douglisnirenbergellipticsystemsinhormanderspaces AT zinčenkotn douglisnirenbergellipticsystemsinhormanderspaces AT muračaa douglisnirenbergellipticsystemsinhormanderspaces AT zinchenkotn élliptičeskiepoduglisunirenbergusistemyvprostranstvahhermandera AT murachaa élliptičeskiepoduglisunirenbergusistemyvprostranstvahhermandera AT zinčenkotn élliptičeskiepoduglisunirenbergusistemyvprostranstvahhermandera AT muračaa élliptičeskiepoduglisunirenbergusistemyvprostranstvahhermandera AT zinčenkotn élliptičeskiepoduglisunirenbergusistemyvprostranstvahhermandera AT muračaa élliptičeskiepoduglisunirenbergusistemyvprostranstvahhermandera |