Boundary-value problems for a nonlinear hyperbolic equation with Levy Laplaciana
We present solutions of the boundary-value problem $U(0, x) = u_0, \;U(t, 0) = u_1$, and the external boundary-value problem $U(0, x) = v_0,\; U(t, x)|_{Γ} = v_1,\; \lim_{||x||_H→∞} U(t, x) = v_2$ for the nonlinear hyperbolic equation $$\frac{∂^2U(t, x)}{∂t^2} + α(U(t, x)) \left[\frac{∂U(t, x)}{∂t}...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2675 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508621511589888 |
|---|---|
| author | Kovtun, I. I. Feller, M. N. Ковтун, И. И. Феллер, М. Н. Ковтун, И. И. Феллер, М. Н. |
| author_facet | Kovtun, I. I. Feller, M. N. Ковтун, И. И. Феллер, М. Н. Ковтун, И. И. Феллер, М. Н. |
| author_sort | Kovtun, I. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:37Z |
| description | We present solutions of the boundary-value problem $U(0, x) = u_0, \;U(t, 0) = u_1$, and the external boundary-value problem $U(0, x) = v_0,\; U(t, x)|_{Γ} = v_1,\; \lim_{||x||_H→∞} U(t, x) = v_2$ for the nonlinear hyperbolic equation
$$\frac{∂^2U(t, x)}{∂t^2} + α(U(t, x)) \left[\frac{∂U(t, x)}{∂t}\right]^2 = ∆_LU(t, x)$$
with infinite-dimensional Levy Laplacian $∆_L$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
И. И. Ковтун (Нац. ун-т биоресурсов и природопользования Украины, Киев),
М. Н. Феллер (УкрНИИ „Ресурс”, Киев)
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ЛАПЛАСИАНОМ ЛЕВИ
We present solutions of the boundary-value problem U(0, x) = u0, U(t, 0) = u1, and the external boundary-value problem
U(0, x) = v0, U(t, x)
∣∣
Γ
= v1, lim‖x‖H→∞ U(t, x) = v2 for the nonlinear hyperbolic equation
∂2U(t, x)
∂t2
+ α(U(t, x))
[
∂U(t, x)
∂t
]2
= ∆LU(t, x)
with infinite-dimensional Lévy Laplacian ∆L.
Для нелiнiйного гiперболiчного рiвняння з нескiнченновимiрним лапласiаном Левi ∆L
∂2U(t, x)
∂t2
+ α(U(t, x))
[
∂U(t, x)
∂t
]2
= ∆LU(t, x)
наведено розв’язки крайової задачi U(0, x) = u0, U(t, 0) = u1 i крайової зовнiшньої задачi U(0, x) = v0, U(t, x)
∣∣
Γ
=
= v1, lim‖x‖H→∞U(t, x) = v2.
1. Введение. Линейным гиперболическим уравнениям с лапласианом Леви посвящены работы
[1 – 3].
Нелинейное гиперболическое уравнение с лапласианом Леви встречается лишь в статье
[4], в которой рассматривались краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения
∂
∂t
[
k(U(t, x))
∂U(t, x)
∂t
]
= ∆LU(t, x) с дивергентной частью и с лапласианом Леви.
В настоящей статье приводится решение краевой задачи для нелинейного гиперболического
уравнения с лапласианом Леви
∂2U(t, x)
∂t2
+ α(U(t, x))
[
∂U(t, x)
∂t
]2
= ∆LU(t, x), t > 0, x ∈ H,
U(0, x) = u0, U(t, 0) = u1,
и решение краевой внешней задачи для нелинейного гиперболического уравнения с лапласиа-
ном Леви
∂2U(t, x)
∂t2
+ α(U(t, x))
[
∂U(t, x)
∂t
]2
= ∆LU(t, x), t > 0, x ∈ Ω′,
U(0, x) = v0, U(t, x)
∣∣∣
Γ
= v1, lim
‖x‖H→∞
U(t, x) = v2,
где Γ
⋃
Ω′ =
{
x ∈ H : Q(x) ≥ R2
}
, а функция Q(x) такая, что ∆LQ(x) = γ (γ > 0, const.).
Заметим, что уравнения
∂2U(t, x)
∂t2
+ α(U(t, x))
[
∂U(t, x)
∂t
]2
= ∆LU(t, x)
c© И. И. КОВТУН, М. Н. ФЕЛЛЕР, 2012
1492 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1493
и
∂
∂t
[
k(U(t, x))
∂U(t, x)
∂t
]
= ∆LU(t, x)
совпадают лишь в случае, когда α(ξ) = 0, а k(ξ) = 1, т. е. в случае волнового уравнения с
лапласианом Леви
∂2U(t, x)
∂t2
−∆LU(t, x) = 0.
2. Предварительные сведения. Пусть H — счетномерное вещественное гильбертово про-
странство. Рассмотрим скалярные функции F (x) на H, x ∈ H.
Бесконечномерный лапласиан ввел П. Леви [5]. Для функции F (x), дважды сильно диф-
ференцируемой в точке x0, лапласиан Леви в этой точке определяется, если он существует,
формулой
∆LF (x0) = lim
n→∞
1
n
n∑
k=1
(F ′′(x0)fk, fk)H , (1)
где F ′′(x) — гессиан функции F (x), {fk}∞1 — выбранный ортонормированный базис в H.
Приведем свойство лапласиана Леви (1), полученное в [5], которое понадобится в дальней-
шем (см. также [6]).
Пусть функция
F (x) = f
(
V1(x), . . . , Vm(x)
)
,
где f(v1, . . . , vm) — непрерывно дифференцируемая функция в области значений
{
V1(x), . . .
. . . , Vm(x)
}
⊂ Rm. Пусть Vk(x) — равномерно непрерывные, дважды сильно дифференцируе-
мые функции и ∆LVk(x), k = 1, . . . ,m, существует. Тогда ∆LF (x) существует и
∆LF (x) =
m∑
k=1
∂f
∂vk
∣∣∣∣
vk=Vk(x)
∆LVk(x). (2)
Обозначим через C шиловский класс функций — совокупность функций вида
F (x) = f
(
(a1, x)H , . . . , (am, x)H ,
‖x‖2H
2
)
,
где a1, . . . , am — некоторые элементы пространства H, f(ξ1, . . . , ξm, ζ) — функция m + 1 пере-
менной, определенная и непрерывная в области пространства Rm+1.
Обозначим через C∗ подмножество функций из C, дважды непрерывно дифференцируемых
по аргументу
‖x‖2H
2
. Тогда для F (x) ∈ C∗ имеет место формула [7]
∆LF (x) =
∂f((a1, x)H , . . . , (am, x)H , ζ)
∂ζ
∣∣∣∣
ζ=
‖x‖2H
2
.
Лапласиан Леви в шиловском классе функций не зависит от выбора ортонормированного
базиса {fk}∞1 в пространстве H .
Обозначим через Ω ограниченную область в гильбертовом пространстве H (т. е. ограничен-
ное открытое множество в H), через Ω = Ω ∪ Γ область в пространстве H с границей Γ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1494 И. И. КОВТУН, М. Н. ФЕЛЛЕР
Определим область Ω и поверхность Γ следующим образом:
Ω =
{
x ∈ H : 0 ≤ Q(x) < R2
}
, Γ =
{
x ∈ H : Q(x) = R2
}
,
где Q(x) — дважды сильно дифференцируемая неотрицательная функция такая, что ∆LQ(x) =
= γ, γ — постоянное положительное число. Такие области и поверхности называют фундамен-
тальными.
Пусть также lim‖x‖H→∞Q(x) =∞.
Обозначим через Ω′ множество точек x ∈ H, внешних по отношению к Ω :
Ω′ =
{
x ∈ H : Q(x) > R2
}
.
Примеры:
1. Шар Ω =
{
x ∈ H : ‖x‖2H ≤ R2
}
,
Ω′ =
{
x ∈ H : ‖x‖2H > R2
}
, Γ =
{
x ∈ H : ‖x‖2H = R2
}
.
2. Эллипсоид Ω =
{
x ∈ H : (Bx, x)H ≤ R2
}
, где B = γE + A, E — единичный оператор,
а A — вполне непрерывный оператор в H(γ > 0, const.),
Ω′ =
{
x ∈ H : (Bx, x)H > R2
}
, Γ =
{
x ∈ H : (Bx, x)H = R2
}
.
Введем функцию
S(x) =
Q(x)−R2
γ
. (3)
Функция S(x) имеет такие свойства: S(x) > 0 при x ∈ Ω′, S(x) = 0 при x ∈ Γ, ∆LS(x) = 1.
3. Краевая задача. Рассмотрим задачу
∂2U(t, x)
∂t2
+ α(U(t, x))
[
∂U(t, x)
∂t
]2
= ∆LU(t, x), t > 0, x ∈ H, (4)
U(0, x) = u0, (5)
U(t, 0) = u1, (6)
где α(ξ) — заданная функция на R1, числа u0, u1 заданы.
Теорема 1. Пусть α(ξ) — непрерывная функция и α(ξ) ∈ L1(R1).
Тогда решение задачи (4) – (6) (в неявном виде) дается формулой
U(t,x)∫
u0
e
∫ s
u0
α(ξ)dξ
ds
u1∫
u0
e
∫ s
u0
α(ξ)dξ
ds
−1
=
2√
π
t/2
√
‖x‖2H
2∫
0
e−p
2
dp. (7)
Доказательство. Дифференцируя формулу (7) по t, имеем
e
∫ U(t,x)
u0
α(ξ)dξ ∂U(t, x)
∂t
u1∫
u0
e
∫ s
u0
α(ξ)dξ
ds
−1
=
2√
π
e−t
2/
4‖x‖2H
2
1
2
√
‖x‖2H
2
, (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1495
e
∫ U(t,x)
u0
α(ξ)dξ
{
α(U(t, x))
[
∂U(t, x)
∂t
]2
+
∂2U(t, x)
∂t2
} u1∫
u0
e
∫ s
u0
α(ξ)dξ
ds
−1
=
= − 2√
π
t
4
(
‖x‖2H
2
)3/2
e−t
2/
4‖x‖2H
2 . (9)
Из (7), используя формулу (2) при m = 1, получаем
e
∫ U(t,x)
u0
α(ξ)dξ
∆LU(t, x)
u1∫
u0
e
∫ s
u0
α(ξ)dξ
ds
−1
= − 2√
π
t
4
(
‖x‖2H
2
)3/2
e−t
2/
4‖x‖2H
2 , (10)
поскольку
∆L
U(t,x)∫
u0
e
∫ s
u0
α(ξ)dξ
ds
= e
∫ U(t,x)
u0
α(ξ)dξ
∆LU(t, x),
a
∆L
(
‖x‖2H
2
)−1/2
= −1
2
(
‖x‖2H
2
)−3/2
∆L
‖x‖2H
2
= −1
2
(
‖x‖2H
2
)−3/2
(
так как ∆L
‖x‖2H
2
= 1
)
.
Правая часть выражения (9) равна правой части выражения (10). Поэтому равны и их левые
части. Приравняв их и сократив на e
∫ U(t,x)
u0
α(ξ)dξ
[∫ u1
u0
e
∫ s
u0
α(ξ)dξ
ds
]−1
, получим тождество
∂2U(t, x)
∂t2
+ α(U(t, x))
[
∂U(t, x)
∂t
]2
= ∆LU(t, x).
Полагая в (7) t = 0, получаем U(0, x) = u0, а полагая x = 0, имеем U(t, 0) = u1.
Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Для волнового уравнения с лапласианом Леви (т. е. при α(ξ) = 0) из (7)
следует, что решение задачи
∂2U(t, x)
∂t2
−∆LU(t, x) = 0, t > 0, x ∈ H,
U(0, x) = u0, U(t, 0) = u1,
имеет вид
U(t, x) = (u1 − u0)
2√
π
t/2
√
‖x‖2H
2∫
0
e−p
2
dp+ u0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1496 И. И. КОВТУН, М. Н. ФЕЛЛЕР
Действительно, в случае α(ξ) = 0 согласно формуле (7) имеем
U(t, x)− u0
u1 − u0
=
2√
π
t/2
√
‖x‖2H
2∫
0
e−p
2
dp.
4. Краевая внешняя задача. Рассмотрим задачу
∂2U(t, x)
∂t2
+ α(U(t, x))
[
∂U(t, x)
∂t
]2
= ∆LU(t, x), t > 0, x ∈ Ω′, (11)
U(0, x) = v0, (12)
U(t, x)
∣∣∣
Γ
= v1, (13)
lim
‖x|‖H→∞
U(t, x) = v2, (14)
где α(ξ) — заданная функция на R1, числа v0, v1 заданы (v2 = v0). Здесь Γ
⋃
Ω′ =
{
x ∈
∈ H : Q(x) ≥ R2
}
, Q(x) — дважды сильно дифференцируемая функция такая, что ∆LQ(x) = γ
(γ > 0, const.).
Теорема 2. Пусть α(ξ) — непрерывная функция и α(ξ) ∈ L1(R1).
Тогда решение задачи (11) – (14) (в неявном виде) дается формулой
U(t,x)∫
v0
e
∫ s
v0
α(ξ)dξ
ds
v1∫
v0
e
∫ s
v0
α(ξ)dξ
ds
−1
=
2√
π
t/(2
√
S(x))∫
0
e−p
2
dp, (15)
где S(x) =
Q(x)−R2
γ
.
Доказательство. Из формулы (15), дифференцируя по t, получаем
e
∫ U(t,x)
v0
α(ξ)dξ ∂U(t, x)
∂t
v1∫
v0
e
∫ s
u0
α(ξ)dξ
ds
−1
=
2√
π
e
− t2
4S(x)
1
2
√
S(x)
, (16)
e
∫ U(t,x)
v0
α(ξ)dξ
{
α(U(t, x))
[
∂U(t, x)
∂t
]2
+
∂2U(t, x)
∂t2
} v1∫
v0
e
∫ s
v0
α(ξ)dξ
ds
−1
=
= − 2√
π
t
4(S(x))3/2
e
− t2
4S(x) . (17)
Из (15), используя формулу (2) при m = 1, имеем
e
∫ U(t,x)
v0
α(ξ)dξ
∆LU(t, x)
v1∫
v0
e
∫ s
v0
α(ξ)dξ
ds
−1
= − 2√
π
t
4(S(x))3/2
e
− t2
4S(x) , (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1497
поскольку ∆L(S(x))−1/2 = −1
2
(S(x))−3/2∆LS(x) = −1
2
(S(x))−3/2
(
∆LS(x) =
∆LQ(x)
γ
= 1
согласно (3)
)
.
Правая часть выражения (17) равна правой части выражения (18). Поэтому равны и их ле-
вые части. Приравняв их и сократив на e
∫ U(t,x)
v0
α(ξ)dξ
[∫ v1
v0
e
∫ s
v0
α(ξ)dξ
ds
]−1
, получим тождество
∂2U(t, x)
∂t2
+ α(U(t, x))
[
∂U(t, x)
∂t
]2
= ∆LU(t, x).
Полагая в (15) t = 0, получаем U(0, x) = v0.
На поверхности Γ S(x) = 0 и из (15) имеем U(t, x)
∣∣∣
Γ
= v1.
Из (15) следует, что lim‖x‖H→∞ U(t, x) = v0.
Наконец заметим, что в случае, когда Ω — шар, Γ
⋃
Ω′ =
{
x ∈ H : ‖x‖2H ≥ R2
}
, а S(x) =
=
‖x‖2H −R2
2
.
Теорема 2 доказана.
Следствие 2. При α(ξ) = 0, т. е. для волнового уравнения с лапласианом Леви, из (15)
следует, что решение задачи
∂2U(t, x)
∂t2
−∆LU(t, x) = 0, t > 0, x ∈ Ω′,
U(0, x) = v0, U(t, x)
∣∣∣
Γ
= v1, lim
‖x‖H→∞
U(t, x) = v0,
имеет вид
U(t, x) = (v1 − v0)
2√
π
t/(2
√
S(x))∫
0
e−p
2
dp+ v0,
где S(x) =
Q(x)−R2
γ
.
Действительно, при α(ξ) = 0 согласно формуле (15) имеем
U(t, x)− v0
v1 − v0
=
2√
π
t/(2
√
S(x))∫
0
e−p
2
dp.
Приведем примеры решения некоторых краевых задач.
Пример 1. Рассмотрим краевую задачу
∂2U(t, x)
∂t2
+
1
U(t, x)
[
∂U(t, x)
∂t
]2
= ∆LU(t, x), t > 0, x ∈ H,
U(0, x) = u0, U(t, 0) = u1, u0, u1 > 0.
Согласно формуле (7) решение запишется в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1498 И. И. КОВТУН, М. Н. ФЕЛЛЕР
U(t,x)∫
u0
e
∫ s
u0
dξ
ξ ds
u1∫
u0
e
∫ s
u0
dξ
ξ ds
−1
=
2√
π
t/2
√
‖x‖2H
2∫
0
e−p
2
dp.
Поскольку
U(t,x)∫
u0
e
∫ s
u0
dξ
ξ ds =
1
2u0
(U2(t, x)− u2
0), а
u1∫
u0
e
∫ s
u0
dξ
ξ ds =
1
2u0
(u2
1 − u2
0),
то
U2(t, x)− u2
0
u2
1 − u2
0
=
2√
π
t/2
√
‖x‖2H
2∫
0
e−p
2
dp.
Отсюда
U2(t, x) = (u2
1 − u2
0)
2√
π
t/2
√
‖x‖2H
2∫
0
e−p
2
dp+ u2
0.
Пример 2. Рaссмотрим краевую внешнюю задачу
∂2U(t, x)
∂t2
− 2U(t, x)
[
∂U(t, x)
∂t
]2
= ∆LU(t, x), t > 0, x ∈ Ω′,
U(0, x) = v0, U(t, x)
∣∣∣
Γ
= v1, lim
‖x‖H→∞
U(t, x) = v0,
где Γ
⋃
Ω′ =
{
x ∈ H : ‖x‖2H ≥ R2
}
.
Согласно формуле (15) решение запишется в виде
U(t,x)∫
v0
e
−
∫ s
v0
2ξdξ
ds
v1∫
v0
e
−
∫ s
u0
2ξdξ
ds
−1
=
2√
π
t/2
√
‖x‖2H−R
2
2∫
0
e−p
2
dp.
Отсюда
U(t,x)∫
v0
e−s
2
ds =
v1∫
v0
e−s
2
ds
2√
π
t/2
√
‖x‖2H−R
2
2∫
0
e−p
2
dp,
т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1499
Φ(U(t, x)) = [Φ(v1)− Φ(v0)]Φ
t
2
√
‖x‖2H −R2
2
+ Φ(v0),
где Φ(z) =
2√
π
∫ z
0
e−z
2
dz — интеграл вероятности.
1. Феллер M. Н. Краевые задачи для волнового уравнения с лапласианом Леви в классе Гато // Укр. мат. журн. –
2009. – 61, № 11. – С. 1564 – 1574.
2. Albeverio S., Belopolskaya Ya. I., Feller M. N. Boundary problems for the wave equation with the Lévy Laplacian
in Shilov’s class // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2010. – 16, № 3. – P. 197 – 202.
3. Альбеверио С. А., Белопольская Я. И., Феллер М. Н. Задача Коши для волнового уравнения с лапласианом
Леви // Мат. заметки. – 2010. – 87, вып. 6. – С. 803 – 813.
4. Феллер M. Н. Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с дивергентной частью и с лапла-
сианом Леви // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 2. – С. 237 – 244.
5. Lévy P. Problémes concrets d’analyse fonctionnelle. – Paris: Gauthier-Villars, 1951. – 510 p.
6. Feller M. N. The Lévy Laplacian. – Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 2005. – 153 p.
7. Шилов Г. E. О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. I // Функцион. анализ и его прил. –
1967. – 1, № 2. – С. 81 – 90.
Получено 18.06.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2675 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:07Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8e/74cab1f209468443f82cde289c73448e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26752020-03-18T19:32:37Z Boundary-value problems for a nonlinear hyperbolic equation with Levy Laplaciana Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с лапласианом Леви Kovtun, I. I. Feller, M. N. Ковтун, И. И. Феллер, М. Н. Ковтун, И. И. Феллер, М. Н. We present solutions of the boundary-value problem $U(0, x) = u_0, \;U(t, 0) = u_1$, and the external boundary-value problem $U(0, x) = v_0,\; U(t, x)|_{Γ} = v_1,\; \lim_{||x||_H→∞} U(t, x) = v_2$ for the nonlinear hyperbolic equation $$\frac{∂^2U(t, x)}{∂t^2} + α(U(t, x)) \left[\frac{∂U(t, x)}{∂t}\right]^2 = ∆_LU(t, x)$$ with infinite-dimensional Levy Laplacian $∆_L$. Для нелiнiйного гiперболiчного рiвняння з нескiнченновимiрним лапласiаном Левi $∆_L$ $$\frac{∂^2U(t, x)}{∂t^2} + α(U(t, x)) \left[\frac{∂U(t, x)}{∂t}\right]^2 = ∆_LU(t, x)$$ наведено розв’язки крайової задачi $U(0, x) = u_0, \;U(t, 0) = u_1$ i крайової зовнiшньої задачi $U(0, x) = v_0,\; U(t, x)|_{Γ} = v_1,\; \lim_{||x||_H→∞} U(t, x) = v_2$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2675 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 11 (2012); 1492-1499 Український математичний журнал; Том 64 № 11 (2012); 1492-1499 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2675/2109 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2675/2110 Copyright (c) 2012 Kovtun I. I.; Feller M. N. |
| spellingShingle | Kovtun, I. I. Feller, M. N. Ковтун, И. И. Феллер, М. Н. Ковтун, И. И. Феллер, М. Н. Boundary-value problems for a nonlinear hyperbolic equation with Levy Laplaciana |
| title | Boundary-value problems for a nonlinear hyperbolic equation with Levy Laplaciana |
| title_alt | Краевые задачи для нелинейного гиперболического уравнения с лапласианом Леви |
| title_full | Boundary-value problems for a nonlinear hyperbolic equation with Levy Laplaciana |
| title_fullStr | Boundary-value problems for a nonlinear hyperbolic equation with Levy Laplaciana |
| title_full_unstemmed | Boundary-value problems for a nonlinear hyperbolic equation with Levy Laplaciana |
| title_short | Boundary-value problems for a nonlinear hyperbolic equation with Levy Laplaciana |
| title_sort | boundary-value problems for a nonlinear hyperbolic equation with levy laplaciana |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2675 |
| work_keys_str_mv | AT kovtunii boundaryvalueproblemsforanonlinearhyperbolicequationwithlevylaplaciana AT fellermn boundaryvalueproblemsforanonlinearhyperbolicequationwithlevylaplaciana AT kovtunii boundaryvalueproblemsforanonlinearhyperbolicequationwithlevylaplaciana AT fellermn boundaryvalueproblemsforanonlinearhyperbolicequationwithlevylaplaciana AT kovtunii boundaryvalueproblemsforanonlinearhyperbolicequationwithlevylaplaciana AT fellermn boundaryvalueproblemsforanonlinearhyperbolicequationwithlevylaplaciana AT kovtunii kraevyezadačidlânelinejnogogiperboličeskogouravneniâslaplasianomlevi AT fellermn kraevyezadačidlânelinejnogogiperboličeskogouravneniâslaplasianomlevi AT kovtunii kraevyezadačidlânelinejnogogiperboličeskogouravneniâslaplasianomlevi AT fellermn kraevyezadačidlânelinejnogogiperboličeskogouravneniâslaplasianomlevi AT kovtunii kraevyezadačidlânelinejnogogiperboličeskogouravneniâslaplasianomlevi AT fellermn kraevyezadačidlânelinejnogogiperboličeskogouravneniâslaplasianomlevi |