On the behavior of solutions of the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source in the case where the initial function slowly vanishes
We study the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source and inhomogeneous density of the form $$u_t = \text{div}(\rho(x)u^{m-1}|Du|^{\lambda-1}Du) + u ^p $$ in the case where initial function decreases slowly to zero as $|x| \rightarrow \infty$. We establish conditions for the ex...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2676 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508623379103744 |
|---|---|
| author | Martynenko, A. V. Tedeev, A. F. Shramenko, V. N. Мартыненко, А. В. Тедеев, А. Ф. Шраменко, В. Н. Мартыненко, А. В. Тедеев, А. Ф. Шраменко, В. Н. |
| author_facet | Martynenko, A. V. Tedeev, A. F. Shramenko, V. N. Мартыненко, А. В. Тедеев, А. Ф. Шраменко, В. Н. Мартыненко, А. В. Тедеев, А. Ф. Шраменко, В. Н. |
| author_sort | Martynenko, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:37Z |
| description | We study the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source and inhomogeneous density of the form
$$u_t = \text{div}(\rho(x)u^{m-1}|Du|^{\lambda-1}Du) + u ^p $$
in the case where initial function decreases slowly to zero as $|x| \rightarrow \infty$.
We establish conditions for the existence and nonexistence of a global-in-time solution, which substantially depend on the behavior of the initial data as $|x| \rightarrow \infty$.
In the case of global solvability, we obtain an exact estimate of a solution for large times. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
А. В. Мартыненко (Луган. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
А. Ф. Тедеев (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк),
В. Н. Шраменко (Нац. техн. ун-т Украины „КПИ”, Киев)
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ИСТОЧНИКОМ В СЛУЧАЕ
МЕДЛЕННО СТРЕМЯЩЕЙСЯ К НУЛЮ НАЧАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
We study the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source and inhomogeneous density of the form
ut = div(ρ(x)um−1|Du|λ−1Du) + up
in the case where initial function decreases slowly to zero as |x| → ∞.
We establish conditions for the existence and nonexistence of a global-in-time solution, which substantially depend on
the behavior of the initial data as |x| → ∞. In the case of global solvability, we obtain an exact estimate of a solution for
large times.
Для виродженого параболiчного рiвняння з джерелом та неоднорiдною щiльнiстю вигляду
ut = div(ρ(x)um−1|Du|λ−1Du) + up
розглядається задача Кошi з початковою функцiєю, що повiльно спадає до нуля при |x| → ∞.
Знайдено умови iснування та неiснування розв’язку задачi Кошi глобально в часi, якi суттєво залежать вiд
поведiнки початкової функцiї при |x| → ∞. У випадку iснування глобального розв’язку отримано його точну
оцiнку при великих значеннях часу.
1. Введение. В настоящей работе изучается задача Коши следующего вида:
ut = div(ρ(x)um−1|Du|λ−1Du) + up, (1)
(x, t) ∈ QT = RN × (0, T ), T > 0, N ≥ 1,
u(x, 0) = u0(x), x ∈ RN . (2)
В случае ρ(x) ≡ 1, m = 1, λ = 1 задача рассматривалась в работе [1]. Было установле-
но, что при p > p∗ = 1 +
2
N
существуют начальные данные, при которых решение задачи
существует глобально по времени, в то же время при 1 < p < p∗ все ненулевые решения ста-
новятся неограниченными за конечное время („взрываются”). Число p∗ называют критическим
показателем.
В дальнейшем подобные результаты, называемые теоремами типа Фуджиты, переносились
на уравнения более общего вида. В случае однородной плотности (ρ(x) ≡ 1) теоремы типа
Фуджиты для уравнения пористой среды (λ = 1, m > 1) получены в [2 – 4], для уравнения
неньютоновской фильтрации (λ > 1, m = 1) — в [5], а для уравнения с двойной нелинейностью
(λ > 1, m > 1) — в [6, 7]. В работе [7] для задачи (1), (2) при ρ(x) ≡ 1 показатель Фуджиты
имеет вид p∗ = m+ λ− 1 + (λ+ 1)/N, а условие на начальную функцию, дающее при p > p∗
существование глобального решения, заключается в том, что
‖u0‖L1(RN ) + ‖u0‖Lq(RN ) < δ (3)
c© А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО, 2012
1500 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1501
при некотором q > Q = N(p−m− λ+ 1)/(λ+ 1) и достаточно малом δ.
Критический случай p = p∗ впервые был исследован в [8] для уравнения (1) при ρ(x) ≡
≡ 1, λ = 1, m = 1. Как оказалось, в этом случае любое нетривиальное решение становится
неограниченным за конечное время. Для уравнения с двойной нелинейностью такой результат
получен в [6]. Подробное изложение основных результатов для случая ρ(x) ≡ 1 можно найти
в монографии [3] и обзорных статьях [9, 10].
Уравнение (1) можно рассматривать как частный случай более общего уравнения с пере-
менными коэффициентами вида
ρ1(x)ut = div(ρ2(x)um−1|Du|λ−1Du) + ρ3(x)up. (4)
Такие уравнения исследовались многими авторами. Разумеется, поведение решений такого
уравнения существенно зависит от свойств функций ρi(x), i = 1, 2, 3, в частности от их по-
ведения на бесконечности. Наиболее изученным здесь является случай степенного поведения
коэффициентов, т. е. случай ρi(x) ∼ |x|li , i = 1, 2, 3, при |x| → ∞. Ниже изложены неко-
торые основные результаты, касающиеся уравнения (4). При этом отметим, что изменения в
конфигурации параметров li, i = 1, 2, 3, приводят к качественным изменениям свойств реше-
ний и требуют значительной модификации методов и подходов, используемых при изучении
уравнения (4).
Исследованию уравнения (4) с ρ2(x) ≡ 1, ρ3(x) ≡ 0 (уравнение без источника) и вырожда-
ющейся на бесконечности функцией ρ1(x) посвящены работы [11 – 19]. Такое уравнение имеет
ряд интересных свойств, нехарактерных для уравнений с ρ1(x) ≡ 1. Например, если ρ1(x) до-
статочно сильно вырождается на бесконечности, то нарушается стабилизация к нулю решения
при t→∞ и компактный носитель решения разрушается за конечное время.
Уравнение (4) при ρ1(x) ≡ 1, ρ2(x) ≡ 1 и ρ3(x) = |x|l изучалось в работах [20 – 23]. Были
установлены теоремы типа Фуджиты с критическим показателем
p∗(l) = m+ λ− 1 +
λ+ 1 + l
N
.
В работе [23] получены универсальные оценки взрывающегося решения вблизи времени обо-
стрения.
Случай ρ1(x) = |x|−l, l ≥ 0, ρ2(x) ≡ 1, ρ3(x) ≡ 1 рассматривался в [24]. Были найдены
условия несуществования глобальных по времени решений и получена универсальная оценка
решения вблизи времени обострения.
Задача (4), (2) при ρ1(x) ≡ 1, ρ2(x) = |x|l, l ≥ 0, ρ3(x) ≡ 1 и u0(x) ∈ L1(RN ) изучена
в работе [25]. В частности, было установлено, что для l < λ + 1 < N и начальной функции,
удовлетворяющей условию (3) c Q = N(p −m − λ + 1)/(λ + 1 − l), критический показатель
p∗(l) = m+ λ− 1 + (λ+ 1− l)/N . Кроме того, при p > p∗(l) имеют место оценки
‖u(x, τ)‖∞,RN×(t/2,t) ≤ γt
− N
N(m+λ−2)+λ+1−l
sup
0<τ<t
∫
RN
u(x, τ)dx
λ+1−l
N(m+λ−2)+λ+1−l
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1502 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
sup
0<τ<t
∫
RN
u(x, τ)dx ≤ γ
∫
RN
u0(x)dx. (5)
Аналогичный результат для задачи (4), (2) в случае ρ1(x) = ρ3(x) = |x|−l, l ≥ 0, ρ2(x) ≡ 1
получен в [26]. Также отметим работу [27], в которой найден критический показатель для
задачи (4), (2) при ρ1(x) = ρ3(x) = |x|−l, ρ2(x) ≡ 1 в случае l < 0, λ = 1.
При исследовании задачи (1), (2) с начальной функцией, неинтегрируемой глобально в RN ,
возникает естественный вопрос: как поведение начальной функции на бесконечности влияет
на условия глобальной разрешимости? Как оказалось, в этом случае критический показатель
p∗ существенно зависит от поведения начальной функции при |x| → ∞. Так, в работе [28]
рассматривалась задача (1), (2) при ρ(x) ≡ 1, λ = 1, p > m > 1 с u0(x) ∼ |x|−α при больших
x, 0 ≤ α < N . Такую начальную функцию называют медленно стремящейся к нулю (медленно
убывающей). В этом случае p∗ = m+ 2/α. Этот результат был обобщен на случай задачи (4),
(2) при ρ1(x) = ρ3(x) = |x|−l, l ≥ 0, ρ2(x) ≡ 1 в [29]. Аналогичный результат получен в [30]
для задачи (4), (2) при ρ1(x) ≡ ρ2(x) ≡ ρ3(x) ≡ 1, m+ λ− 2 < 0 (случай быстрой диффузии).
Основной целью данной работы является нахождение условий существования и несуще-
ствования в целом по времени решений задачи (1), (2) в классе начальных функций, вообще
говоря, не принадлежащих L1(RN ). В случае существования решения в целом по времени мы
получаем оценку решения, которая является точной при больших значениях t.
Для описания медленно убывающих функций w(x) ∈ L1
loc(RN ) нам понадобится следую-
щая норма:
[w]θ = sup
x0∈RN
sup
R>rθ(|x0|)
(R+ |x0|)α
−
∫
BR(x0)
|w(x)|θdx
1/θ
, (6)
где α ∈ (0, N), θ = max
{
1,
lN
α(λ+ 1)
}
, rθ(a) — функция, заданная неявно уравнением
rNθ
(rθ + a)αθ
= 1, (7)
и использованы обозначения −
∫
E
v(x)dx =
∫
E
v(x)dx
/∫
E
dx, BR(x0) = {x ∈ RN : |x − x0| ≤
≤ R}. Сразу отметим, что функция rθ(a) определена и непрерывна при a ≥ 0, кроме того,
rθ(a) строго возрастает и rθ(0) = 1.
Норма (6) характеризует поведение функции при x→∞. Примером функции, для которой
[w]θ <∞, является функция w(x) v |x|−α при больших x, 0 < α < N .
Замечание 1. В работе [29] было показано, что норма [·]θ эквивалентна известной норме
|||w|||θ = sup
x0∈RN
(1 + |x0|)α
−
∫
Bd(|x0|)(x0)
|w(x)|θdx
1/θ
, d(a) = (1 + a)
αθ
N , (8)
которая была введена для описания медленно убывающих начальных функций в [4]. Исполь-
зование в данной работе нормы [·]θ мотивировано тем, что с технической точки зрения она
лучше подходит для задачи (1), (2), чем норма ||| · |||θ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1503
Всюду далее предполагаем, что 1 < λ+ 1 < N, m+ λ− 2 > 0, p > m+ λ− 1, ρ(x) = |x|l,
0 ≤ l < λ+ 1 и u0(x) — неотрицательная измеримая функция из L1
loc(RN ).
Будем говорить, что u(x, t) является обобщенным решением (или просто решением) зада-
чи (1), (2) в QT = RN × (0, T ), если
u ∈ L∞loc(QT ) ∩ C((0, T ), L2
loc(RN )),
ρum−1|Du|λ+1 ∈ L1
loc(QT ), u ∈ Lploc(QT ),
u(x, t)→ u0(x) при t→ 0 в L1
loc(RN )
и выполнено интегральное тождество
T∫
0
∫
RN
{
−uϕt + ρum−1|Du|λ−1DuDϕ
}
dxdt =
T∫
0
∫
RN
upϕdxdt
для произвольной пробной функции ϕ(x, t) ∈ C1
0 (QT ).
Замечание 2. Если не оговорено противное, то всюду далее через γ, γ1, γ2, . . . будем
обозначать положительные постоянные, которые зависят только от параметров задачи l, m, λ,
p, N, α.
Сформулируем основные результаты данной статьи.
Теорема 1. Пусть p > p∗α(l) = m+ λ− 1 + (λ+ 1− l)/α и
[u0]θ + ‖u0‖Lq(RN ) ≤ δ, (9)
где q > Q =
N(p−m− λ+ 1)
λ+ 1− l
> 1 и δ > 0 — достаточно малое число, зависящее только от
параметров задачи (1), (2).
Тогда задача (1), (2) имеет глобальное по времени решение и для любого t ∈ (0;∞) спра-
ведлива оценка
‖u(·, t)‖∞,RN ≤ γ1t
− N
Hl,θ
(
γ2 + (t[u0]
m+λ−2
θ )
N−αθ
Gα
)λ+1−l
Hl,θ
[u0]
(λ+1−l)θ
Hl,θ
θ , (10)
где
Hl,ω = N(m+ λ− 2) + (λ+ 1− l)ω, Gα = α(m+ λ− 2) + λ+ 1− l.
Замечание 3. Очевидно, что при t < C[u0]
−(m+λ−2)
θ оценка (10) имеет вид
‖u(·, t)‖∞,RN ≤ γt
− N
Hl,θ [u0]
(λ+1−l)θ
Hl,θ
θ ,
а при t ≥ C[u0]
−(m+λ−2)
θ —
‖u(·, t)‖∞,RN ≤ γt
− α
Gα [u0]
λ+1−l
Gα
θ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1504 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
Теорема 2. Пусть p < p∗α(l), u(x, t) — решение задачи (1), (2) и существует положи-
тельное число Ĉ такое, что начальная функция u0(x) удовлетворяет условию
(R+ |x0|)α(1−θ) −
∫
BR(x0)
u1−θ0 (x)dx ≥ Ĉ (11)
при некотором x0 ∈ RN , θ ∈ (0, 1) и произвольном R > 0.
Тогда u(x, t) „взрывается” за конечное время, т. е. найдутся такие 0 < R1 < ∞ и
0 < T <∞, что ∫
BR1
(x0)
u1−θ(x, t)dx→∞
при t→ T.
Замечание 4. Поскольку при доказательстве основных результатов будут использоваться
локальные энергетические оценки, модельность уравнения (1) не принципиальна.
Замечание 5. При доказательстве основных результатов мы использовали подходы из [4,
18, 23, 26, 31].
2. Доказательство теоремы 1. Пусть Bj = {x ∈ RN : |x| ≤ j}, j ∈ N и {u0j}∞j=1 —
последовательность функций таких, что u0j ∈ C∞0 (Bj), u0j → u0 в L1
loc(RN ) ∩ Lq(RN ) и
[u0j − u0]θ → 0 при n→∞.
Аппроксимируем задачу (1), (2) с помощью начально-краевых задач
∂uj
∂t
= div(ρum−1j |Duj |λ−1Duj) + uj min{j, up−1j }, (12)
uj(x, t) = 0, x ∈ ∂Bj , (13)
uj(x, 0) = u0,j(x). (14)
При любом j задача (12) – (14) глобально разрешима, причем ее решение непрерывно по Гельде-
ру (см. [32 – 34]). Таким образом, чтобы доказать теорему, необходимо получить не зависящую
от j оценку (10) для решения uj . Продолжив uj(x, t) нулем вне Bj × (0,∞), мы тем самым
определим uj(x, t) в RN × (0,∞). Все дальнейшие рассуждения будут проводиться для зада-
чи (12) – (14) при произвольном фиксированном j, поэтому для удобства будем обозначать uj ,
u0j , Bj через u, u0, B соответственно.
Из результатов работы [25] следует справедливость следующей леммы.
Лемма 1. Пусть u(x, t) — решение задачи (12) – (14) и существует такое t1, что для
любых t ∈ [0, t1), x ∈ B2R(x0) выполнено неравенство
|x|l
(2R)λ+1
tum+λ−2(x, t) + tup−1(x, t) ≤ 1. (15)
Тогда для любых t ∈ (0, t1), ω ≥ 1
‖u(x, t)‖∞,BR(x0) ≤ γt
− N
Hl,ω
sup
0<τ<t
∫
B2R(x0)
uω(x, τ)dx
λ+1−l
Hl,ω
. (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1505
Обозначим через rθ(b, t) функцию, заданную неявно уравнением
rNθ
(rθ + b)αθ
= ΓN−αθt
N−αθ
Gα + 1, (17)
где b ≥ 0, Γ = C∗[u0]
m+λ−2
Gα
θ , C∗ — достаточно большое число, зависящее от параметров задачи,
которое будет выбрано ниже.
Очевидно, что функция rθ(b, t) определена и непрерывна при b ≥ 0, t ≥ 0, кроме того,
rθ(b, 0) совпадает с функцией rθ(b), определяемой уравнением (7). Также легко заметить, что
rθ(b, t) возрастает по каждому из своих аргументов и для любых x0 ∈ RN и R ∈ [0; 2rθ(|x0|, t)]
RN
(R+ |x0|)αθ
≤ γ(ΓN−αθt
N−αθ
Gα + 1). (18)
Введем обозначение
〈u〉θ,t = sup
0<τ<t
sup
x0∈RN
sup
R>rθ(|x0|,τ)
(2R+ |x0|)α
−
∫
BR(x0)
uθ(x, τ)dx
1/θ
,
тогда для любых x0 ∈ RN , R ≥ rθ(|x0|, t)
sup
0<τ<t
∫
B2R(x0)
uθ(x, τ)dx ≤ γ RN
(R+ |x0|)αθ
〈u〉θθ,t. (19)
Пусть
Ω(t) ≡ sup
0<τ<t
sup
x0∈RN
{
τ(rθ(|x0|, τ) + |x0|)l
rλ+1
θ (|x0|, τ)
‖u(·, τ)‖m+λ−2
∞,RN
}
+ sup
0<τ<t
{
τ‖u(·, τ)‖p−1∞,RN
}
,
T = sup{t : Ω(t) ≤ 1}.
(20)
Из непрерывности решения u(x, t) следует, что T > 0.
Из леммы 1 и неравенства (19) получаем следующую лемму.
Лемма 2. Пусть u(x, t) — решение задачи (12) – (14), тогда для любого t ∈ (0, T ) и q ≥ 1
справедливы оценки
‖u(·, t)‖∞,RN ≤ γt
− N
Hl,θ
(
ΓN−αθt
N−αθ
Gα + 1
)λ+1−l
Hl,θ
〈u〉
(λ+1−l)θ
Hl,θ
θ,t , (21)
‖u(·, t)‖∞,RN ≤ γt
− N
Hl,q
sup
0<τ<t
∫
RN
uq(x, τ)dx
λ+1−l
Hl,q
. (22)
Замечание 6. Напомним, что функция u = uj продолжена нулем вне Bj × (0, T ), поэтому
интеграл в правой части (22) конечен.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1506 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
Лемма 3. Пусть u(x, τ) — решение задачи (12) – (14) и θ = 1,тогда для любых t ∈ (0, T ),
x0 ∈ RN , R ≥ r1(|x0|, t)
I ≡ 1
R
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum−1|Du|λζλ(x)dxdτ ≤ γ (R+ |x0|)
l
λ+1
R
×
× RN
(R+ |x0|)α
t
λ+1−l
(λ+1)Kl
(
ΓN−αt
N−α
Gα + 1
) (m+λ−2)(λ+1−l)
(λ+1)Kl 〈u〉
1+
(λ+1−l)(m+λ−2)
(λ+1)Kl
1,t , (23)
где Kl = Hl,1 и ζ(x) — дифференцируемая функция, такая, что ζ(x) = 1 при x ∈ BR(x0),
ζ(x) = 0 при x 6∈ B2R(x0) и |Dζ| ≤ 1
R
.
Доказательство. Пусть κ =
2−m
λ
и β ∈
(
N(m+ λ− 2)
λKl
;
1
λ
)
, тогда
I =
1
R
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum−1|Du|λζλτβ
λ
λ+1 τ
−β λ
λ+1u
κ
λ
λ+1u
−κ λ
λ+1dxdτ.
Применяя неравенство Гельдера с показателями (λ+ 1)/λ и λ+ 1, получаем
I ≤ (R+ |x0|)
l
λ+1
R
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lτβum−1−κ|Du|λ+1ζλ+1dxdτ
λ
λ+1
×
×
t∫
0
∫
B2R(x0)
τ−βλum+κλ−1dxdτ
1
λ+1
=
(R+ |x0|)
l
λ+1
R
I
λ
λ+1
1 I
1
λ+1
2 . (24)
Для того чтобы оценить I1, умножим уравнение (12) на τβu1−κζλ+1 и проинтегрируем по
B2R(x0)× (0, t):
1
2− κ
∫
B2R(x0)
u2−κ(x, t)tβζλ+1(x)dx− β
2− κ
t∫
0
∫
B2R(x0)
u2−κτβ−1ζλ+1dxdτ =
= −(1− κ)I1 − (λ+ 1)
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum−κτβ|Du|λ−1DuDζζλdxdτ+
+
t∫
0
∫
B2R(x0)
τβup+1−κζλ+1dxdτ.
Применяя неравенство Юнга с ε ко второму члену правой части, получaeм
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1507
I1 ≤ γ1
t∫
0
∫
B2R(x0)
u2−κτβ−1dxdτ+
+γ1
(R+ |x0|)l
Rλ+1
t∫
0
∫
B2R(x0)
um+λ−κτβdxdτ + γ1
t∫
0
∫
B2R(x0)
τβup+1−κdxdτ ≤
≤ γ1
t∫
0
∫
B2R(x0)
u2−κτβ−1dxdτ+
+
(R+ |x0|)l
Rλ+1
sup
0<τ<t
τ‖u‖m+λ−2
∞,B2R
t∫
0
∫
B2R(x0)
u2−κτβ−1dxdτ+
+ sup
0<τ<t
τ‖u‖p−1∞,B2R
t∫
0
∫
B2R(x0)
u2−κτβ−1dxdτ
. (25)
Поскольку при t ∈ (0, T ) Ω(t) ≤ 1, то
I1 ≤ 2γ1
t∫
0
∫
B2R(x0)
u2−κτβ−1dxdτ = 2γ1I3.
Из того, что R ≥ r1(|x0|, t), t ∈ (0, T ), и оценки (21) получаем
I3 ≤
t∫
0
τβ−1‖u(·, τ)‖1−κ∞,B2R(x0)
∫
B2R(x0)
u(x, τ)dxdτ ≤
≤ γ2
t∫
0
τβ−1τ
−N(1−κ)
Kl [ΓN−ατ
N−α
Gα + 1]
(1−κ)(λ+1−l)
Kl dτ〈u〉
(λ+1−l)(1−κ)
Kl
1,t sup
0<τ<t
∫
B2R(x0)
u(x, τ)dx.
Учитывая выбор параметров β, κ и используя (19), приходим к оценкам
I1 ≤ γ3
RN
(R+ |x0|)α
t
β−N(1−κ)
Kl
[
ΓN−αt
N−α
Gα + 1
] (1−κ)(λ+1−l)
Kl
〈u〉
1+
(λ+1−l)(1−κ)
Kl
1,t , (26)
I2 ≤ γ4
t∫
0
τ−βλ
∫
B2R(x0)
udxdτ ≤ t1−βλ RN
(R+ |x0|)α
〈u〉1,t. (27)
Из (24) – (27) следует справедливость леммы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1508 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
Отметим, что для любых x0 ∈ RN , t ≥ 0 из того, что R ≥ rθ(|x0|, t), следует
(R+ |x0|)l
Rλ+1
≤
(
R
R+ |x0|
) (λ+1)αθ−lN
N−αθ
[
ΓN−αθt
N−αθ
Gα + 1
]−λ+1−l
N−αθ
,
а поскольку значение θ выбрано так, чтобы
(λ+ 1)αθ − lN
N − αθ
≥ 0,
то
(R+ |x0|)l
Rλ+1
≤ [ΓN−αθt
N−αθ
Gα + 1]
−λ+1−l
N−αθ . (28)
Лемма 4. Пусть u(x, t) — решение задачи (12) – (14), тогда для любых t ∈ [0, T )
〈u〉θθ,t ≤ C̃[u0]
θ
θ + γC
−κ(θ)Gα(λ+1−l)θ
Hl,θ
∗
[
〈u〉θ,t
[u0]θ
] (m+λ−2)(λ+1−l)θ
Hl,θ
κ(θ)
〈u〉θθ,t+
+γ
t∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ〈u〉
θ
θ,t, (29)
где постоянная C̃ зависит лишь от параметров задачи, а κ(θ) = 1 при θ > 1 и κ(θ) = 1/(λ+1)
при θ = 1.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай θ = 1. ПустьR ≥ r1(|x0|, t) и ζ(x) — функция
из условия леммы 3. Умножим уравнение на ζλ+1(x) и проинтегрируем по B2R(x0)× (0, t) при
t ∈ (0, T ) :∫
BR(x0)
u(x, t)dx ≤
∫
B2R(x0)
u0(x)dx+
γ
R
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum−1|Du|λζλdxdτ +
t∫
0
∫
B2R(x0)
updxdτ.
Умножим полученное неравенство на (2R + |x0|)α/
∫
B2R(x0)
dx и применим (23) ко второму
слагаемому в правой части, тогда
(R+ |x0|)α −
∫
BR(x0)
u(x, t)dx ≤ C̃(2R+ |x0|)α −
∫
B2R(x0)
u0+
+γ
(
(R+ |x0|)l
Rλ+1
) 1
λ+1
t
λ+1−l
(λ+1)Kl
[
ΓN−αt
N−α
Gα + 1
] (m+λ−2)(λ+1−l)
(λ+1)Kl 〈u〉
1+
(λ+1−l)(m+λ−2)
(λ+1)Kl
1,t +
+γ
t∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ sup
0<τ<t
(2R+ |x0|)α −
∫
B2R(x0)
udx.
Используя (28) во втором слагаемом справа, получаем (29) при θ = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1509
Теперь рассмотрим случай θ > 1. Пусть R ≥ rθ(|x0|, t). Умножим уравнение (12) на
uθ−1ζλ+1 и проинтегрируем по B2R(x0)× (0, t) при t ∈ (0, T ) :
1
θ
∫
B2R(x0)
uθ(x, t)dx− 1
θ
∫
B2R(x0)
uθ0(x, t)dx ≤
≤ −(θ − 1)
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum−1|Du|λ+1uθ−2ζλ+1dxdτ+
+
λ+ 1
R
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum+θ−2|Du|λζλdxdτ+
+
t∫
0
∫
B2R(x0)
upuθ−1ζλ+1dxdτ = −I1 + I2 + I3. (30)
Оценим I2 с помощью неравенства Юнга:
I2 ≤ εI1 +
γ(ε)
Rλ+1
t∫
0
∫
B2R(x0)
|x|lum+θ+λ−2dxdτ ≤
≤ εI1 + γ(ε)
(R+ |x0|)l
Rλ+1
t∫
0
‖u(·, τ)‖m+λ−2
∞,RN dτ sup
0<τ<t
∫
B2R(x0)
uθdx. (31)
Используя (28) и (21), из (30) и (31) находим∫
BR(x0)
uθ(x, t)dx ≤
∫
B2R(x0)
uθ0(x)dx+ γt
1−N(m+λ−2)
Hl,θ ×
×
[
ΓN−αθt
N−αθ
Gα + 1
]−λ+1−l
N−αθ +
(λ+1−l)(m+λ−2)
Hl,θ
〈u〉
(λ+1−l)(m+λ−2)θ
Hl,θ
θ,t sup
0<τ<t
∫
B2R(x0)
uθdx+
+γ
t∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ sup
0<τ<t
∫
B2R(x0)
uθdx.
Умножая обе части этого неравенства на (2R+ |x0|)α
/∫
B2R(x0)
dx, получаем (29) при θ > 1.
Лемма 4 доказана.
Введем обозначения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1510 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
µ(t) = sup
0<τ<t
∫
RN
uq(x, τ)dx, µ0 =
∫
RN
uq0(x)dx,
Tµ = sup{t : µ(t) ≤ 2µ0}, T〈 〉 = sup{t : 〈u〉θt,θ ≤ 2C̃[u0]
θ
θ},
где C̃ — постоянная из условия леммы 4.
Лемма 5. Пусть q > Q > 1 и выполнено (9) с достаточно малым δ, тогда
min{Tµ, T} > 1.
Доказательство. Рассмотрим два случая:
1) Tµ < T. Предположим, что Tµ ≤ 1, тогда, умножая уравнение (12) на uq−1 и интегрируя
по RN × (0, Tµ), получaeм
µ(Tµ) ≤ µ0 + γµ(Tµ)
Tµ∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ. (32)
Используя оценку (22), приходим к неравенству
Tµ∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ ≤ γ1T
1− (p−1)N
Hl,q
µ µ(Tµ)
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q ≤ γ2T
1− (p−1)N
Hl,q
µ µ
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q
0 . (33)
Из (32) и (33), учитывая, что q > Q, при достаточно малом δ получаем
µ(Tµ) ≤ µ0 + γ3δ
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q µ(Tµ) ≤ µ0 +
1
3
µ(Tµ). (34)
Таким образом,
µ(Tµ) ≤ 3
2
µ0,
что противоречит определению Tµ. Значит, Tµ > 1.
2) T ≤ Tµ. Используя оценки (22) и (28), получaeм
Ω(t) ≤ γ sup
0<τ<T
{
τ
1− (m+λ−2)N
Hl,q µ(τ)
(λ+1−l)(m+λ−2)
Hl,q
}
+ γ sup
0<τ<T
{
τ
1− (p−1)N
Hl,q µ(τ)
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q
}
.
Поскольку q > Q и T, очевидно, предполагается меньшим 1, при достаточно малом δ приходим
к неравенству
Ω(T ) ≤ γ1µ
(λ+1−l)(m+λ−2)
Hl,q
0 + γ2µ
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q
0 <
1
2
,
что противоречит определению T, если T <∞. Значит, T > 1.
Лемма 5 доказана.
Лемма 6. Пусть q > Q, p > p∗α(l) и выполнено (9) с достаточно малым δ. Тогда T〈 〉 ≥ T.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1511
Доказательство. Предположим, что T〈 〉 < T, тогда
〈u〉θθ,T〈 〉
[u0]θθ
≤ 2C̃.
Выбирая C∗ достаточно большим, из (29) получаем
〈u〉θθ,T〈 〉 ≤ C̃[u0]
θ
θ +
1
6
C̃〈u〉θθ,T〈 〉 + γ
T〈 〉∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ〈u〉
θ
θ,T〈 〉
. (35)
Если T〈 〉 ≤ 1, то из условия q > Q, оценки (22) и того, что T > 1, имеем
T〈 〉∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ ≤ γ1
1∫
0
τ
−N(p−1)
Hl,q dτµ(1)
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q ≤ γ2δ
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q . (36)
Если T〈 〉 > 1, то
T〈 〉∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ =
1∫
0
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ +
T〈 〉∫
1
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ ≤
≤ γ3δ
(p−1)(λ+1−l)
Hl,q +
T〈 〉∫
1
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ. (37)
При p > p∗α(l) из оценки (21) следует
T〈 〉∫
1
‖u(·, τ)‖p−1∞,RNdτ ≤
≤ γ4
T〈 〉∫
1
τ
−N(p−1)
Hl,θ max
{
Γ
(N−αθ)(λ+1−l)
Hl,θ τ
(N−αθ)(λ+1−l)
GαHl,θ , 1
}p−1
dτ〈u〉
(λ+1−l)θ(p−1)
Hl,θ
θ,T〈 〉
≤
≤ γ5
T〈 〉∫
1
τ
−α(p−1)Gα dτ max
{
Γ
(N−αθ)(λ+1−l)(p−1)
Hl,θ , 1
}
[u0]
(λ+1−l)θ(p−1)
Hl,θ
θ ≤
≤ γ6 max
(
C∗δ
m+λ−2
Gα
) (N−αθ)(λ+1−l)(p−1)
Hl,θ
, 1
δ
(λ+1−l)θ(p−1)
Hl,θ . (38)
Выбирая δ достаточно малым, из (35) – (38) получаем
〈u〉θθ,T〈 〉 ≤ C̃[u0]
θ
θ +
1
6
C̃〈u〉θθ,T〈 〉 +
1
6
C̃〈u〉θθ,T〈 〉 ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1512 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
т. е.
〈u〉θθ,T〈 〉 ≤
3
2
C̃[u0]
θ
θ,
что противоречит определению T〈 〉. Значит, T〈 〉 ≥ T.
Лемма 6 доказана.
Для завершения доказательства теоремы осталось показать, что T = ∞ при p > p∗α(l).
Пусть это не так, тогда, используя (21) и (28) для первого слагаемого Ω(t) и (21), (22) для
второго слагаемого, получаем
Ω(T ) ≤ γ sup
0<τ<T
τ θ(λ+1−l)
Hl,θ
(
ΓN−αθτ
N−αθ
Gα + 1
)− (λ+1−l)θGα
(N−αθ)Hl,θ
[u0]
(λ+1−l)θ(m+λ−2)
Hl,θ
θ +
+γ sup
0<τ<1
{
τ
1−N(p−1)
Hl,q
}
µ
(λ+1−l)(p−1)
Hl,q
0 +
+γ sup
1<τ<T
τ1−N(p−1)
Hl,θ
(
ΓN−αθτ
N−αθ
Gα + 1
) (λ+1−l)(p−1)
Hl,θ
[u0]
(λ+1−l)(p−1)θ
Hl,θ ≤
≤ γ1C
− θ(λ+1−l)Gα
Hl,θ
∗ + γµ
(λ+1−l)(p−1)
Hl,q
0 + γ[ΓN−αθ + 1]
(λ+1−l)(p−1)
Hl,θ [u0]
(λ+1−l)θ(p−1)
Hl,θ
θ .
Выбирая C∗ достаточно большим, а δ достаточно малым, получаем Ω(T ) ≤ 1
2
, что невозможно
при конечном T.
3. Доказательство теоремы 2. Пусть ζ(x) — гладкая срезающая функция, такая, что ζ(x) =
= 1 при x ∈ BR(x0), ζ(x) = 0 при x /∈ B2R(x0) и |Dζ| < γR−1. Пусть ε, s > 0, тогда, умножая
обе части уравнения (12) на (u+ ε)−θζs и интегрируя в B2R(x0), получаем
d
dt
∫
B2R(x0)
(u(x, t) + ε)1−θζsdx ≥ γ1
∫
B2R(x0)
|x|lum−1|Du|λ+1(u+ ε)−(1+θ)ζsdx−
−γ2
∫
B2R(x0)
|x|lum−1|Du|λ(u+ ε)−θζs−1|Dζ|dx+ γ3
∫
B2R(x0)
up(u+ ε)−θζsdx.
Применяя ко второму слагаемому правой части неравенство Юнга с достаточно малым ν и
переходя к пределу при ε→ 0, имеем
d
dt
∫
B2R(x0)
u1−θζsdx ≥ γ4(ν)
∫
B2R(x0)
|x|lum−θ−2|Du|λ+1ζsdx−
−γ5(ν)
Rλ+1
∫
B2R(x0)
|x|lum+λ−θ−1ζs−λ−1dx+ γ3
∫
B2R(x0)
up−θζsdx = I1 − I2 + I3. (39)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1513
Снова применяя неравенство Юнга с достаточно малым ν > 0 и выбирая
s >
(λ+ 1)(p− θ)
p−m− λ+ 1
,
находим
I2 ≤ νI3 + γ6(ν)R
N− (λ+1)(p−θ)
p−m−λ+1 (R+ |x0|)
l(p−θ)
p−m−λ+1 .
Обозначим E = E(t) =
∫
B2R(x0)
u1−θ(x, t)dx. Тогда, выбирая достаточно малое ν, из (39)
получаем
d
dt
E ≥ γ8I3 − γ7R
N− (λ+1)(p−θ)
p−m−λ+1 (R+ |x0|)
l(p−θ)
p−m−λ+1 . (40)
Применяя в E неравенство Гельдера, находим
E ≤ γ9I
1−θ
p−θ
3 R
N(p−1)
p−θ ,
следовательно,
I3 ≥ γ10E
p−θ
1−θR
−N(p−1)
1−θ .
Таким образом, из (40) получаем неравенство для E :
d
dt
E ≥ γ11E
p−θ
1−θR
−N(p−1)
1−θ − γ7RN−
(λ+1)(p−θ)
p−m−λ+1 (R+ |x0|)
l(p−θ)
p−m−λ+1 . (41)
Покажем, что существует положительное R1 <∞ такое, что для любых t ≥ 0, R ≥ R1
C E
p−θ
1−θR
−N(p−1)
1−θ ≥ RN−
(λ+1)(p−θ)
p−m−λ+1 (R+ |x0|)
l(p−θ)
p−m−λ+1 , (42)
где C = const > 0 — достаточно малое число.
Действительно, (42) равносильно неравенству
C
Rα(1−θ) − −
∫
B2R(x0)
u1−θ(x, t)dx
p−θ
1−θ
≥
≥ γ12
(
Rα(1−θ)
RN
)p−θ
1−θ
R
N(p−1)
1−θ +N− (λ+1)(p−θ)
p−m−λ+1 (R+ |x0|)
l(p−θ)
p−m−λ+1 =
= γ12
(
R
α− λ+1
p−m−λ+1 (R+ |x0|)
l
p−m−λ+1
)p−θ
,
правая часть которого убывает по R при p < p∗α(l). Значит, в силу условия (11) найдется такое
достаточно большое R1 > 0, что (42) выполнено при t = 0 и R ≥ R1 со сколь угодно малой
C. Но тогда из (41), (42) следует, что E(t) — возрастающая функция и, следовательно, (42)
выполнено при всех t ≥ 0, R ≥ R1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1514 А. В. МАРТЫНЕНКО, А. Ф. ТЕДЕЕВ, В. Н. ШРАМЕНКО
Таким образом, из (41), (42) следует
d
dt
E(t) ≥ γE
p−θ
1−θR
−N(p−1)
1−θ .
Интегрируя это неравенство по интервалу (0, t), получаем
E(t) ≥ E(0)[
1− γE(0)
p−1
1−θR
−N(p−1)
1−θ t
]1−θ
p−1
,
откуда следует, что E(t)→∞ при t→ T = 1
/(
γE(0)
p−1
1−θR
−N(p−1)
1−θ
)
.
1. Fujita H. On the blowing up of solutions to the Cauchy problem for ut = ∆u + u1+α // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo.
Sec. I. – 1966. – 13. – P. 109 – 124.
2. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. О неограниченных решениях задачи Коши
для параболического уравнения ut = ∇(uσ∇u)u+ uβ // Докл. АН СССР. – 1980. – 252, № 6. – C. 1362 – 1364.
3. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для
квазилинейных параболических уравнений. – М.: Наука, 1987.
4. Andreucci D., Di Benedetto E. On the Cauchy problem and initial traces for a class of evolution equations with
strongly nonlinear sources equations // Ann. sci. norm. super. Pisa. – 1991. – 18. – P. 363 – 441.
5. Галактионов В. А. Об условиях отсутствия глобальных решений одного класса квазилинейных параболических
уравнений // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1982. – 22, № 2. – C. 322 – 338.
6. Galaktionov V. A., Levine H. A. A general approach to critical Fujita exponents and systems // Nonlinear Anal. – 1998.
– 34. – P. 1005 – 1027.
7. Andreucci D., Tedeev A. F. A Fujita type result for degenerate Neumann problem in domains with noncompact
boundary // J. Math. Anal. and Appl. – 1999. – 231. – P. 543 – 567.
8. Hayakawa K. On nonexistence of global solutions of some semilinear parabolic differential equations // Proc. Jap.
Acad. Ser. A. Math. Sci. – 1973. – 49. – P. 503 – 505.
9. Levine H. A. The role of critical exponents in blow up theorems // SIAM Rev. – 1990. – 32. – P. 262 – 288.
10. Deng K., Levine H. A. The role of critical exponents in blow up theorems: The sequel // J. Math. Anal. and Appl. –
2000. – 243. – P. 85 – 126.
11. Kamin S., Rosenau P. Nonlinear diffusion in a finite mass medium // Communs Pure and Appl. Math. – 1982. – 35. –
P. 113 – 127.
12. Kamin S., P. Rosenau P. Propagation of thermal waves in an inhomogeneous medium // Communs Pure and Appl.
Math. – 1981. – 34. – P. 831 – 852.
13. Kamin S., Kersner R. Disappearence of interfaces in finite time // Meccanica. – 1993. – 28. – P. 117 – 120.
14. Guedda M., Hilhorst D., Peletier M. A. Disappearing interfaces in nonlinear diffusion // Adv. Math. Sci. and Appl. –
1997. – 7. – P. 695 – 710.
15. Galaktionov V. A., King J. R. On the behaviour of blow-up interfaces for an inhomogeneous filtration equation // J.
Appl. Math. – 1996. – 57. – P. 53 – 77.
16. Kersner R., G. Reyes G., Tesei A. On a class of nonlinear parabolic equations with variable density and absortion //
Adv. Different. Equat. – 2002. – 7, № 2. – P. 155 – 176.
17. Galaktionov V. A., Kamin S., Kersner R., Vazquez J. L. Intermidiate asymptotics for inhomogeneous nonlinear heat
conduction // J. Math. Sci. – 2004. – 120, № 3. – P. 1277 – 1294.
18. Тедеев А. Ф. Условия существования и несуществования в целом по времени компактного носителя решений
задачи Коши для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Сиб. мат. журн. – 2004. – 45,
№ 1. – C. 189 – 200.
19. Tedeev A. F. The interface blow-up phenomenon and local estimates for doubly degenerate parabolic equations //
Appl. Anal. – 2007. – 86, № 6. – P. 755 – 782.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО . . . 1515
20. Qi Y. W. The critical exponents of parabolic equations and blow-up in Rn // Proc. Roy. Soc. Edinburg A. – 1998. –
128. – P. 123 – 136.
21. Qi Y. W., Wang M. X. Critical exponents of quasilinear parabolic equations // J. Math. Anal. and Appl. – 2002. – 267.
– P. 264 – 280.
22. Liu X., Wang M. The critical exponent of doubly singular parabolic equations // J. Math. Anal. and Appl. – 2001. –
257. – P. 170 – 188.
23. Andreucci D., Tedeev A. F. Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic equations // Adv. Different.
Equat. – 2005. – 10, № 1. – P. 89 – 120.
24. Мартыненко А. В., Тедеев А. Ф. Задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с источником и
неоднородной плотностью // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2007. – 47, № 2. – C. 245 – 255.
25. Cianci P., Martynenko A. V., Tedeev A. F. The blow-up phenomenon for degenerate parabolic equations with variable
coefficient and nonlinear source // Nonlinear Anal.: Theory, Methods and Appl. – 2010. – 73, № 7. – P. 2310 – 2323.
26. Мартыненко A. В., Тедеев А. Ф. О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического
уравнения с неоднородной плотностью и источником // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2008. –
48, № 7. – C. 1214 – 1229.
27. Wang C., Zheng S. Critical Fujita exponents of degenerate and singular parabolic equations coefficient and nonlinear
source // Proc. Roy. Soc. Edinburg A. – 2006. – 136. – P. 415 – 430.
28. Mukai K., Mochuzuki K., Huang Q. Large time behavior and life span for a quasilinear parabolic equation with slow
decay initial values // Nonlinear Anal. – 2000. – 39A, № 1. – P. 33 – 45.
29. Мартыненко А. В., Тедеев А. Ф., Шраменко В. Н. Задача Коши для вырождающегося параболического уравне-
ния с неоднородной плотностью и источником в классе медленно стремящихся к нулю начальных функций //
Изв. РАН. Сер. мат. – 2012. – 76, № 3. – C. 139 – 156.
30. Афанасьева Н. В., Тедеев А. Ф. Теоремы типа Фуджиты для квазилинейных параболических уравнений в
случае медленно стремящихся к нулю начальных данных // Мат. сб. – 2004. – 195, № 4. – C. 3 – 22.
31. Andreucci D. Degenerate parabolic equations with initial data measures // Trans. Amer. Math. Soc. – 1997. – 340,
№ 10. – P. 3911 – 3923 .
32. Bernis F. Existence results for doubly nonlinear higher order parabolic equations on unbounded domains // Math.
Ann. – 1988. – 279. – P. 373 – 394.
33. Alt H. W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. – 1983. – 183. – S. 311 – 341.
34. Мартыненко А. В., Тедеев А. Ф. Регулярность решений вырождающихся параболических уравнений с неодно-
родной плотностью // Укр. мат. вестн. – 2008. – 5, № 1. – C. 116 – 145.
Получено 27.02.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2676 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:09Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/13/8f01f8802012e8375dd764e0fb7ea513.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26762020-03-18T19:32:37Z On the behavior of solutions of the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source in the case where the initial function slowly vanishes О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции Martynenko, A. V. Tedeev, A. F. Shramenko, V. N. Мартыненко, А. В. Тедеев, А. Ф. Шраменко, В. Н. Мартыненко, А. В. Тедеев, А. Ф. Шраменко, В. Н. We study the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source and inhomogeneous density of the form $$u_t = \text{div}(\rho(x)u^{m-1}|Du|^{\lambda-1}Du) + u ^p $$ in the case where initial function decreases slowly to zero as $|x| \rightarrow \infty$. We establish conditions for the existence and nonexistence of a global-in-time solution, which substantially depend on the behavior of the initial data as $|x| \rightarrow \infty$. In the case of global solvability, we obtain an exact estimate of a solution for large times. Для виродженого параболiчного рiвняння з джерелом та неоднорiдною щiльнiстю вигляду $$u_t = \text{div}(\rho(x)u^{m-1}|Du|^{\lambda-1}Du) + u ^p $$ розглядається задача Кошi з початковою функцiєю, що повiльно спадає до нуля при $|x| \rightarrow \infty$. Знайдено умови iснування та неiснування розв’язку задачi Кошi глобально в часi, якi суттєво залежать вiд поведiнки початкової функцiї при $|x| \rightarrow \infty$. У випадку iснування глобального розв’язку отримано його точну оцiнку при великих значеннях часу. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2676 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 11 (2012); 1500-1515 Український математичний журнал; Том 64 № 11 (2012); 1500-1515 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2676/2111 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2676/2112 Copyright (c) 2012 Martynenko A. V.; Tedeev A. F.; Shramenko V. N. |
| spellingShingle | Martynenko, A. V. Tedeev, A. F. Shramenko, V. N. Мартыненко, А. В. Тедеев, А. Ф. Шраменко, В. Н. Мартыненко, А. В. Тедеев, А. Ф. Шраменко, В. Н. On the behavior of solutions of the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source in the case where the initial function slowly vanishes |
| title | On the behavior of solutions of the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source in the case where the initial function slowly vanishes |
| title_alt | О поведении решений задачи Коши для вырождающегося параболического уравнения с источником в случае медленно стремящейся к нулю начальной функции |
| title_full | On the behavior of solutions of the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source in the case where the initial function slowly vanishes |
| title_fullStr | On the behavior of solutions of the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source in the case where the initial function slowly vanishes |
| title_full_unstemmed | On the behavior of solutions of the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source in the case where the initial function slowly vanishes |
| title_short | On the behavior of solutions of the Cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source in the case where the initial function slowly vanishes |
| title_sort | on the behavior of solutions of the cauchy problem for a degenerate parabolic equation with source in the case where the initial function slowly vanishes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2676 |
| work_keys_str_mv | AT martynenkoav onthebehaviorofsolutionsofthecauchyproblemforadegenerateparabolicequationwithsourceinthecasewheretheinitialfunctionslowlyvanishes AT tedeevaf onthebehaviorofsolutionsofthecauchyproblemforadegenerateparabolicequationwithsourceinthecasewheretheinitialfunctionslowlyvanishes AT shramenkovn onthebehaviorofsolutionsofthecauchyproblemforadegenerateparabolicequationwithsourceinthecasewheretheinitialfunctionslowlyvanishes AT martynenkoav onthebehaviorofsolutionsofthecauchyproblemforadegenerateparabolicequationwithsourceinthecasewheretheinitialfunctionslowlyvanishes AT tedeevaf onthebehaviorofsolutionsofthecauchyproblemforadegenerateparabolicequationwithsourceinthecasewheretheinitialfunctionslowlyvanishes AT šramenkovn onthebehaviorofsolutionsofthecauchyproblemforadegenerateparabolicequationwithsourceinthecasewheretheinitialfunctionslowlyvanishes AT martynenkoav onthebehaviorofsolutionsofthecauchyproblemforadegenerateparabolicequationwithsourceinthecasewheretheinitialfunctionslowlyvanishes AT tedeevaf onthebehaviorofsolutionsofthecauchyproblemforadegenerateparabolicequationwithsourceinthecasewheretheinitialfunctionslowlyvanishes AT šramenkovn onthebehaviorofsolutionsofthecauchyproblemforadegenerateparabolicequationwithsourceinthecasewheretheinitialfunctionslowlyvanishes AT martynenkoav opovedeniirešenijzadačikošidlâvyroždaûŝegosâparaboličeskogouravneniâsistočnikomvslučaemedlennostremâŝejsâknulûnačalʹnojfunkcii AT tedeevaf opovedeniirešenijzadačikošidlâvyroždaûŝegosâparaboličeskogouravneniâsistočnikomvslučaemedlennostremâŝejsâknulûnačalʹnojfunkcii AT shramenkovn opovedeniirešenijzadačikošidlâvyroždaûŝegosâparaboličeskogouravneniâsistočnikomvslučaemedlennostremâŝejsâknulûnačalʹnojfunkcii AT martynenkoav opovedeniirešenijzadačikošidlâvyroždaûŝegosâparaboličeskogouravneniâsistočnikomvslučaemedlennostremâŝejsâknulûnačalʹnojfunkcii AT tedeevaf opovedeniirešenijzadačikošidlâvyroždaûŝegosâparaboličeskogouravneniâsistočnikomvslučaemedlennostremâŝejsâknulûnačalʹnojfunkcii AT šramenkovn opovedeniirešenijzadačikošidlâvyroždaûŝegosâparaboličeskogouravneniâsistočnikomvslučaemedlennostremâŝejsâknulûnačalʹnojfunkcii AT martynenkoav opovedeniirešenijzadačikošidlâvyroždaûŝegosâparaboličeskogouravneniâsistočnikomvslučaemedlennostremâŝejsâknulûnačalʹnojfunkcii AT tedeevaf opovedeniirešenijzadačikošidlâvyroždaûŝegosâparaboličeskogouravneniâsistočnikomvslučaemedlennostremâŝejsâknulûnačalʹnojfunkcii AT šramenkovn opovedeniirešenijzadačikošidlâvyroždaûŝegosâparaboličeskogouravneniâsistočnikomvslučaemedlennostremâŝejsâknulûnačalʹnojfunkcii |