On convolutions on configuration spaces. I. Spaces of finite configurations
We consider two types of convolutions ($\ast$ and $\star$) of functions on spaces of finite configurations (finite subsets of a phase space) and study some of their properties. A relationship between the $\ast$-convolution and the convolution of measures on spaces of finite configurations is descri...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2680 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508626691555328 |
|---|---|
| author | Finkelshtein, D. L. Фінкельштейн, Д. Л. |
| author_facet | Finkelshtein, D. L. Фінкельштейн, Д. Л. |
| author_sort | Finkelshtein, D. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:37Z |
| description | We consider two types of convolutions ($\ast$ and $\star$) of functions on spaces of finite configurations (finite subsets of a phase space) and study some of their properties.
A relationship between the $\ast$-convolution and the convolution of measures on spaces of finite configurations is described.
Properties of the operators of multiplication and differentiation with respect to the $\ast$-convolution are investigated.
We also present conditions under which the $\ast$-convolution is positive definite with respect to the $\star$-convolution. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.987.1; 517.983.3
Д. Л. Фiнкельштейн (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ.
I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ*
We consider two types of convolutions (∗ and ?) of functions on spaces of finite configurations (finite subsets of a phase
space) and study some of their properties. A relationship between the ∗-convolution and the convolution of measures on
spaces of finite configurations is described. Properties of the operators of multiplication and differentiation with respect
to the ∗-convolution are investigated. We also present conditions under which the ∗-convolution is positive definite with
respect to the ?-convolution.
Рассмотрены два типа сверток (∗ и ?) функций на пространствах конечных конфигураций (конечных подмножеств
фазового пространства), исследованы некоторые их свойства. Показана связь ∗-свертки со сверткой мер на про-
странствах конечных конфигураций. Изучены свойства операторов умножения и дифференцирования относительно
∗-свертки. Найдены условия, при которых ∗-свертка функций положительно определена относительно ?-свертки.
1. Вступ. Простори конфiгурацiй (дискретних пiдмножин деякого фазового простору) як окре-
мий математичний об’єкт стали предметом дослiджень починаючи з 60-х рокiв минулого сто-
лiття у рiзних областях математики: функцiональному аналiзi, математичнiй фiзицi, теорiї ймо-
вiрностей, топологiї. Скiнченнi та локально скiнченнi пiдмножини фазового простору є зручни-
ми об’єктами для вивчення математичних моделей рiзних систем у застосуваннях: фiзичних,
хiмiчних, бiологiчних, економiчних, соцiальних тощо. Вiдповiдно, елементи цих дискретних
пiдмножин iнтерпретуються як молекули, iндивiди, агенти i т. д. Фазовий простiр, в свою чергу,
може бути дискретною множиною, наприклад ґраткою, чи, бiльш загально, графом, скажiмо,
в евклiдовому просторi. Ґратчастi системи широко вивчались у лiтературi i залишаються об’єк-
том постiйних дослiджень (див., наприклад, монографiї [10, 11, 15 – 17]). Якщо ж фазовий
простiр є континуальною множиною, наприклад евклiдовим простором або, бiльш загально,
топологiчним простором (скажiмо, многовидом), то системи, що описуються вiдповiдним про-
стором конфiгурацiй, називають „неперервними”.
Математичний опис задач статистичної фiзики, в яких фiзична система моделюється за до-
помогою великої або взагалi нескiнченної множини континуального фазового простору, роз-
почався ще в ХIХ ст. в роботах Л. Больцмана та його послiдовникiв (див., наприклад, [6, 7]).
У ХХ ст. ця тематика бурхливо розвивалась, починаючи з фундаментальних праць Дж. В. Гiб-
бса (див. [4]), якi започаткували сучасну теорiю гiббсiвських мiр на просторах конфiгурацiй.
Починаючи з 40-х рокiв ХХ ст. математичнi моделi теорiї неперервних систем у статистичнiй
фiзицi активно дослiджувались М. М. Боголюбовим (див., наприклад, [1]) та його учнями i
послiдовниками. В 60-х роках стала зрозумiлою необхiднiсть строгого математичного опи-
су просторiв локально скiнченних конфiгурацiй та станiв (iмовiрнiсних мiр) на них. Вiд-
повiднi дослiдження було розпочато в роботах Р. Л. Добрушина i, незалежно, О. Ленфорда
та Д. Рюеля (див., наприклад, огляд [5] i наведену в ньому бiблiографiю). Детальне вивчен-
ня аналiзу на просторах конфiгурацiй бере свiй початок, мабуть, у роботi А. М. Вершика,
I. М. Гельфанда та М. I. Граєва [2]. Сучасного вигляду аналiз на просторах конфiгурацiй набув
*Частково пiдтримано стипендiєю Президента України для молодих вчених.
c© Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11 1547
1548 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
у роботах С. Альбеверiо, Ю. Г. Кондратьєва, М. Рьокнера та їхнiх учнiв (див., наприклад,
[8, 9, 14, 18]).
Актуальна на сьогоднi бiблiографiя робiт, що стосуються просторiв конфiгурацiй над кон-
тинуальним фазовим простором, сама по собi, мабуть, може стати повноцiнною науковою
статтею, принаймнi, за обсягом. Ми обмежимося лише перелiком основних областей, в яких
дослiдження мають велику iсторiю i продовжуються в наш час, а саме: вивчення топологiчних,
метричних, вимiрних та алгебраїчних структур на просторах конфiгурацiй; теорiя мiри, зокре-
ма вивчення гiббсiвських, детермiнантних та перманентних мiр, мiр Кокса; диференцiальне
числення та диференцiальна геометрiя, а також гармонiчний аналiз на просторах конфiгурацiй;
динамiчнi системи, детермiнованi та стохастичнi, ергодичнi та iнварiантнi мiри; марковськi
еволюцiї, рiвноважнi та нерiвноважнi стохастичнi динамiки, зокрема дифузiйнi, народження-
загибелi, стрибкiв; гамiльтонова динамiка; рiзноманiтнi перешкалювання цих динамiк, гiдро-
динамiчнi та кiнетичнi рiвняння тощо.
Дослiдження у цiй статтi присвячено рiзним згорткам на просторах конфiгурацiй (як мiж
функцiями, так i мiж мiрами), що розглядались у лiтературi. Цi питання, з одного боку, є важ-
ливими для побудови розвиненого аналiзу на просторах конфiгурацiй, а з iншого — вiдповiднi
згортки активно використовуються при подальших дослiдженнях, зокрема при вивченнi сто-
хастичних динамiк на цих просторах. Внаслiдок достатньо великого обсягу матерiалу статтю
розбито на двi частини. Першу частину присвячено згорткам на просторах скiнченних конфiгу-
рацiй, тобто пiдмножин континуального фазового простору, що мiстять довiльну, але скiнченну
кiлькiсть точок. Зазначимо, що навiть простори скiнченних конфiгурацiй є об’єктом дослi-
дження нескiнченновимiрного аналiзу. Крiм того, простори локально скiнченних конфiгурацiй
не є простим узагальненням просторiв скiнченних конфiгурацiй. Бiльш точно їх взаємозв’язок
описує аналогiя з спiввiдношенням гiльбертових просторiв та простору l2 квадратично сумов-
них послiдовностей, який можна розглянути як вiдповiдний простiр коефiцiєнтiв Фур’є. Цей
пiдхiд до гармонiчного аналiзу на просторах локально скiнченних конфiгурацiй уперше було
використано у [12] i застосовано у багатьох публiкацiях останнiх рокiв.
Опишемо коротко будову першої частини цiєї роботи. У другому пунктi наведено основнi
структури на просторах скiнченних конфiгурацiй, якi будуть використовуватися в обох час-
тинах роботи, а також розглянуто деякi їхнi властивостi. У третьому пунктi розглянуто так
зване ∗-числення Рюеля, введене за допомогою згортки Рюеля [19], яка досить часто вико-
ристовується в дослiдженнях. Проте деякi аналiтичнi питання про згортку Рюеля залишались
невивченими. Четвертий пункт присвячено оператору множення вiдносно згортки Рюеля в де-
яких функцiональних просторах. В останньому пунктi розглянуто низку наступних питань:
побудова згортки мiр на просторах скiнченних конфiгурацiй, зв’язок згортки мiр iз згорт-
кою Рюеля функцiй, властивостi твiрного функцiонала (так званого функцiонала Боголюбова
(детальнiше див., наприклад, [13])), властивостi оператора диференцiювання вiдносно
згортки Рюеля, зв’язок згортки Рюеля iз згорткою, введеною Ю. Г. Кондратьєвим та Т. Ку-
ною [12].
2. Простори скiнченних конфiгурацiй. Нехай X — зв’язний орiєнтовний некомпактний
рiманiв C∞-многовид,O(X) — клас усiх вiдкритих множин зX, B(X) — вiдповiдна борелiвська
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1549
σ-алгебра. Класи всiх вiдкритих та борелiвських множин з X з компактними замиканнями
позначимо Oc(X) та Bc(X) вiдповiдно. Будемо вважати, що на X задано неатомарну мiру
Радона m, тобто m(Λ) < ∞, Λ ∈ Bc(X) i m({x}) = 0, x ∈ X. Припустимо також, що iснує
послiдовнiсть {Λn}n∈N ⊂ Bc(X) така, що Λn ⊂ Λn+1, n ∈ N i
⋃
n∈N
Λn = X.
Для довiльних Y ∈ B(X) та n ∈ N0 := N ∪ {0} простором усiх n-точкових конфiгурацiй
над множиною Y будемо називати множину
Γ
(n)
Y :=
{
η ⊂ Y
∣∣ |η| = n
}
, n ∈ N; Γ
(0)
Y := {∅}.
Тут i далi символ | · | позначає кiлькiсть точок у дискретнiй множинi. Для довiльної Λ ∈ Bc(X),
Λ ⊂ Y покладемо ηΛ := η ∩ Λ i розглянемо вiдображення NΛ : Γ
(n)
0,Y → N0, задане формулою
NΛ(η) := |ηΛ|. Для n ∈ N покладемо
Ỹ n =
{
(x1, . . . , xn) ∈ Y n
∣∣ xk 6= xl, якщо k 6= l
}
.
Розглянемо також вiдображення symY,n : Ỹ n → Γ
(n)
Y , symY,n ((x1, . . . , xn)) := {x1, . . . , xn}.
Воно дає змогу ототожнити простiр n-точкових конфiгурацiй Γ
(n)
Y з симетризацiєю множини
Ỹ n, тобто з множиною Ỹ n/Sn, де Sn — група перестановок над множиною {1, . . . , n}. Це
дозволяє визначити у просторi Γ
(n)
Y сiм’ю вiдкритих множин O
(
Γ
(n)
0,Y
)
:= sym−1
Y,n
(
O(Ỹ n)
)
.
Базу топологiї складатиме система множин
U1×̂ . . . ×̂Un :=
{
η ∈ Γ
(n)
0,Y
∣∣ NU1(η) = 1, . . . , NUn(η) = 1
}
,
де U1, . . . , Un ∈ Oc(X), U1, . . . , Un ⊂ Y та Ui ∩ Uj = ∅ при i 6= j. Побудована за O
(
Γ
(n)
0,Y
)
борелiвська σ-алгебра B
(
Γ
(n)
Y
)
збiгатиметься з σ-алгеброю, породженою сiм’єю вiдображень
NΛ, Λ ∈ Bc(X), Λ ⊂ Y (див., наприклад, [8]).
Простором скiнченних конфiгурацiй над множиною Y ∈ B(X) називається диз’юнктне
об’єднання
Γ0,Y :=
⊔
n∈N0
Γ
(n)
Y . (2.1)
Структура диз’юнктного об’єднання дозволяє визначити на Γ0,Y топологiю O(Γ0,Y ). Вiдпо-
вiдну борелiвську σ-алгебру будемо позначати B(Γ0,Y ). У випадку Y = X будемо нехтувати
нижнiм iндексом, тобто Γ(n) := Γ
(n)
X , Γ0 := Γ0,X .
Множину B ∈ B(Γ0) називатимемо обмеженою, якщо iснують такi Λ ∈ Bc(X) та N ∈ N,
що B ⊂
⊔N
n=0
Γ
(n)
Λ . Клас усiх обмежених множин з B(Γ0) будемо позначати Bb(Γ0). Мiру ρ
на (Γ0,B(Γ0)) будемо називати локально скiнченною, якщо ρ(B) <∞ для довiльної множини
B ∈ Bb(Γ0). Клас усiх локально скiнченних мiр на (Γ0,B(Γ0)) позначимоMlf(Γ0). Важливим
прикладом локально скiнченної мiри на Γ0 є мiра Лебега – Пуассона, яку ми зараз визначимо.
Мiра m(n) на B(Γ(n)) визначається як образ продакт-мiри m⊗n на (̃X)n пiд дiєю вiдображення
symX,n. Це означення є коректним, оскiльки m⊗n
(
(X)n \ (̃X)n
)
= 0. При n = 0 покладемо
m(0)({∅}) := 1. Нехай число z > 0 задано. Мiра Лебега – Пуассона λz на (Γ0,B(Γ0)) визнача-
ється вiдповiдно до розкладу (2.1) таким чином:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1550 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
λz :=
∞∑
n=0
zn
n!
m(n). (2.2)
Для довiльного Λ ∈ Bc(X) звуження мiри λz на Γ0,Λ будемо також позначати λz. Невiд’ємне
число z називається iнтенсивнiстю мiри λz або її параметром активностi. При z = 1 будемо
нехтувати iндексом, тобто λ := λ1. У [14] показано, що для довiльної множини A ∈ B(X)
такої, що m(A) = 0, виконується рiвнiсть
λ ({η ∈ Γ0,Y | η ∩A 6= ∅}) = 0, Y ∈ B(X).
Зокрема, можна покласти Y = X. Маємо очевидний наслiдок: для довiльних ξ ∈ Γ0, x ∈ X
λ ({η ∈ Γ0 | x ∈ η}) = λ ({η ∈ Γ0 | ξ ∩ η 6= ∅}) = 0. (2.3)
Розглянемо деякi класи дiйснозначних функцiй на Γ0. Пiд вимiрною функцiєю на Γ0 завжди
будемо розумiти B(Γ0)/B(R)-вимiрну функцiю. Клас усiх вимiрних функцiй на Γ0 позначимо
L0(Γ0). Вiдповiдно до розкладу (2.1) кожна функцiя G ∈ L0(Γ0) задається системою своїх
звужень G(n) := G �Γ(n) . Для симетричної функцiї G(n) ◦ sym−1
X,n : (̃X)n → R будемо викори-
стовувати те саме позначення G(n), крiм випадкiв, коли це призведе до непорозумiння. Будемо
казати, що G ∈ L0(Γ0) має локальний носiй, якщо iснує Λ ∈ Bc(X) таке, що G �Γ0\Γ0,Λ
= 0.
Множину всiх вимiрних функцiй на Γ0, що мають локальний носiй, позначимо L0
ls(Γ0). Ана-
логiчно, будемо казати, що G ∈ L0(Γ0) має обмежений носiй, якщо iснує B ∈ Bb(Γ0) таке, що
G �Γ0\B= 0. Множину всiх обмежених вимiрних функцiй на Γ0, що мають обмежений носiй,
позначимо Bbs(Γ0).
Для довiльної B(X)-вимiрної функцiї f : X → R визначимо експоненту Лебега – Пуассона,
як функцiю на Γ0, задану таким чином:
eλ(f, η) :=
∏
x∈η
f(x), η ∈ Γ0 \ {∅}, eλ(f,∅) := 1. (2.4)
3. ∗-Числення. Введемо наступну згортку мiж функцiями G1, G2 ∈ L0(Γ0) на Γ0 (див.,
наприклад, [19]):
(G1 ∗G2)(η) :=
∑
ξ⊂η
G1(ξ)G2(η \ ξ). (3.1)
Наприклад, для довiльних вимiрних f, g : X → R
eλ(f) ∗ eλ(g) = eλ(f + g), (3.2)
що безпосередньо випливає з (2.4) та (3.1).
Твердження 3.1 (див., наприклад, [14]). Для довiльних H, G1, G2 ∈ L0(Γ0) справджу-
ється тотожнiсть∫
Γ0
H(η)(G1 ∗G2)(η)dλ(η) =
∫
Γ0
∫
Γ0
H(η ∪ ξ)G1(η)G2(ξ)dλ(ξ)dλ(η), (3.3)
якщо принаймнi один з iнтегралiв має сенс.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1551
Нехай C > 0 та δ ≥ 0. Розглянемо банаховий простiр
KC, δ =
{
k : Γ0 → R
∣∣∣ |k(η)| ≤ const · C |η|(|η|!)δ для λ-м. в. η ∈ Γ0
}
з нормою ‖k‖C, δ := ess supη∈Γ0
|k(η)|
C |η|(|η|!)δ
. Очевидно, при C ′ ≥ C, δ′ ≥ δ має мiсце включення
KC, δ ⊂ KC′, δ′ . При δ = 0 будемо нехтувати цим iндексом, тобто KC := KC,0.
Твердження 3.2. Нехай C1, C2 > 0, δ1, δ2 ≥ 0 i функцiї ki ∈ KCi, δi , i = 1, 2. Тодi
функцiя k := k1 ∗ k2 належить простору KC, δ, де C = C1 + C2, δ = max{δ1, δ2}. Крiм того,
виконується нерiвнiсть типу Юнга
‖k1 ∗ k2‖C, δ ≤ ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2 . (3.4)
Якщо δ ≥ 1, C1 6= C2, то функцiя k1 ∗ k2 належить бiльш вузькому простору KC̄, δ, де
C̄ = max{C1, C2}, до того ж виконується нерiвнiсть
‖k1 ∗ k2‖C̄, δ ≤
C̄∣∣C1 − C2
∣∣‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2 . (3.5)
Якщо δ ≥ 1, C1 = C2, то функцiя k1 ∗ k2 належить простору KC′, δ для довiльного C ′ > C1,
причому
‖k1 ∗ k2‖C′, δ ≤
C ′
eC1 ln
C ′
C1
‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2 . (3.6)
Якщо k1 ∈ KC1,δ1 , C1 > 1, δ1 ≥ 1 i k2 ∈ L∞(Γ0) := L∞(Γ0, dλ), то k1 ∗ k2 ∈ KC1,δ1 , до
того ж
‖k1 ∗ k2‖C1, δ1 ≤
C1
C1 − 1
‖k1‖C1, δ1‖k2‖L∞(Γ0). (3.7)
Якщо k1, k2 ∈ L∞(Γ0), то k1 ∗ k2 ∈ KC,0 для всiх C ≥ 2 i k1 ∗ k2 ∈ KC,δ для всiх δ > 0, C > 0,
зокрема,
‖k1 ∗ k2‖C,0 ≤ ‖k1‖L∞(Γ0)‖k2‖L∞(Γ0), C ≥ 2. (3.8)
Доведення. Для λ-м. в. η ∈ Γ0 маємо
C−|η|(|η|!)−δ|k(η)| ≤ C−|η|(|η|!)−δ
∑
ξ⊂η
|k1(ξ)||k2(η \ ξ)| =
= C−|η|(|η|!)−δ
∑
ξ⊂η
C
|ξ|
1 (|ξ|!)δ1 |k1(ξ)|
C
|ξ|
1 (|ξ|!)δ1
|k2(ξ)|
C
|η\ξ|
2 (|η \ ξ|!)δ2
C
|η\ξ|
2 (|η \ ξ|!)δ2 ≤
≤ ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2C
−|η|
|η|∑
k=0
|η|!
k!(|η| − k)!
Ck1 (k!)δ1
(|η|!)δ
C
|η|−k
2 ((|η| − k)!)δ2 ≤
≤ ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2C
−|η|
|η|∑
k=0
(
|η|!
k!(|η| − k)!
)1−δ
Ck1C
|η|−k
2 ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1552 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
≤ ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2C
−|η|
|η|∑
k=0
|η|!
k!(|η| − k)!
Ck1C
|η|−k
2 =
= ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2 , (3.9)
що доводить перше твердження.
У випадку, якщо δ ≥ 1, з (3.9) маємо
C̄−|η|(|η|!)−δ|k(η)| ≤ ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2C
−|η|
|η|∑
k=0
Ck1C
|η|−k
2 =
= ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2C̄
−|η|C
|η|+1
1 − C |η|+1
2
C1 − C2
.
Нехай, для визначеностi, C̄ = max{C1, C2} = C1. Тодi
ess sup
η∈Γ0
C−|η|
C
|η|+1
1 − C |η|+1
2
C1 − C2
= ess sup
η∈Γ0
C1 −
(
C2
C1
)|η|
C2
C1 − C2
=
C1
C1 − C2
,
що доводить друге твердження.
Якщо ж C1 = C2, то
(C ′)−|η|(|η|!)−δ|k(η)| ≤ ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2(C ′)−|η|
|η|∑
k=0
C
|η|
1 =
= ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2
(
C1
C ′
)|η|
|(η|+ 1),
i результат випливає з властивостi елементарної функцiї
max
x≥1
(x+ 1)ax = − 1
ae ln a
, a ∈ (0; 1).
Нехай тепер k2 ∈ L∞(Γ0). Тодi
C
−|η|
1 (|η|!)−δ1
∑
ξ⊂η
|k1(ξ)||k2(η \ ξ)| ≤ ‖k2‖L∞(Γ0)‖k1‖C1, δ1C
−|η|
1 (|η|!)−δ1
∑
ξ⊂η
C
|ξ|
1 (|ξ|!)δ1 =
= ‖k2‖L∞(Γ0)‖k1‖C1, δ1C
−|η|
1 (|η|!)−δ1
|η|∑
k=0
|η|!
k!(|η| − k)!
Ck1 (k!)δ1 ≤
≤ ‖k2‖L∞(Γ0)‖k1‖C1, δ1C
−|η|
1
|η|∑
k=0
Ck1 = ‖k2‖L∞(Γ0)‖k1‖C1, δ1
C1 − C−|η|1
C1 − 1
,
i при C1 > 1 маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1553
ess sup
η∈Γ0
C1 − C−|η|1
C1 − 1
=
C1
C1 − 1
,
що доводить (3.7).
Останнє твердження випливає з рiвностей
∑
ξ⊂η
1 = 2|η| i ess supη∈Γ0
(
2
C
)|η|
= 1 при
C ≥ 2.
Твердження 3.2 доведено.
Наслiдок 3.1. Нехай k ∈ KC,δ, C > 0, δ ≥ 0. Тодi при δ ∈ [0; 1) k∗n ∈ KnC,δ, n ∈ N, i
‖k∗n‖nC,δ ≤ ‖k‖nC,δ. Якщо δ ≥ 1, то для довiльного C ′ > C k∗n ∈ KC′,δ, n ≥ 2, до того ж
‖k∗n‖C′,δ ≤
(
C ′
C ′ − C
)n−2 C ′
eC ln
C ′
C
‖k‖nC,δ, n ≥ 2.
Якщо ж k ∈ L∞(Γ0), то k∗n ∈ KC,0 для всiх C ≥ 2, n ∈ N, причому
‖k∗n‖C,0 ≤
(
C
C − 1
)n−2
‖k‖nL∞(Γ0), n ≥ 2.
Подальшi результати цього пункту є, в певному сенсi, „фольклорними”. Вони або наводяться
в лiтературi без доведень, як у [19], або випливають з не повнiстю обґрунтованих загальних
конструкцiй, як у [20 – 22]. Тому, для зручностi читача, всi цi результати наведено з повними
доведеннями.
Для довiльного c ∈ R розглянемо множину Ic вимiрних функцiй на Γ0 таких, що u(∅) = c.
Зауважимо, що оскiльки (u1 ∗u2)(∅) = u1(∅)u2(∅), то множина I0 є iдеалом в алгебрi L0(Γ0)
з добутком ∗. Одиницею цiєї алгебри є функцiя
u∗0(η) := 1∗(η) := 0|η|.
Для довiльної u ∈ L0(Γ0) i n ∈ N маємо
u∗n(η) = (u ∗ . . . ∗ u︸ ︷︷ ︸
n
)(η) =
∑
η1t...tηn=η
u(η1) . . . u(ηn), η ∈ Γ0,
звiдки для u ∈ I0 отримуємо
u∗n(η) = 0, n > |η|.
Отже, для довiльної гладкої функцiї f : R→ R, яка розкладається в ряд у деякiй областi D ⊂ R:
f(t) =
∞∑
n=0
ant
n, t ∈ D,
можна визначити для довiльної u ∈ I0 такої, що u(Γ0) ⊂ D, наступну функцiю на Γ0:
(f∗u)(η) :=
∞∑
n=0
anu
∗n(η), η ∈ Γ0. (3.10)
Дiйсно, для всiх η ∈ Γ0 права частина (3.10) є скiнченною. Зазначимо, що (f∗u)(∅) = a0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1554 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
Зокрема, для f(t) = et можна розглянути для всiх u ∈ I0
exp∗ u(η) :=
∞∑
n=0
1
n!
u∗n(η) = 1∗(η) +
∑
⊔
i ηi=η
∏
i
u(ηi), (3.11)
де пiдсумовування проводиться по всiх розбиттях конфiгурацiї η на непорожнi пiдмножини.
Зрозумiло, що k := exp∗ u ∈ I1. Будемо казати, що функцiя u є кумулянтом функцiї k.
Для довiльної k ∈ I1 можна розглянути функцiю k̄ = k − 1∗ ∈ I0. Тодi якщо функцiя f :
R→ R допускає розклад
f(1 + t) =
∞∑
n=0
ant
n, t ∈ D ⊂ R,
то ми можемо визначити
(f∗k)(η) :=
∞∑
n=0
ank̄
∗n(η), η ∈ Γ0.
Знову зауважимо, що для кожного η ∈ Γ0 ряд перетворюється на скiнченну суму.
Наведемо два приклади таких функцiй.
Твердження 3.3. Нехай k ∈ I1, тодi iснує функцiя
k∗−1(η) :=
∞∑
n=0
(−1)nk̄∗n(η), η ∈ Γ0, (3.12)
така, що k∗−1 ∈ I1 i
k ∗ k∗−1 = 1∗.
Доведення. Включення k∗−1 ∈ I1 випливає безпосередньо з (3.12). Далi,
(
k ∗ k∗−1
)
(η) =
∑
ξtζ=η
k (ξ) k∗−1 (ζ) =
∑
ξtζ=η
k (ξ)
∞∑
n=0
(−1)n k̄∗n (ζ) =
=
∑
ξtζ=η
1∗ (ξ)
∞∑
n=0
(−1)n k̄∗n (ζ) +
∑
ξtζ=η
k̄ (ξ)
∞∑
n=0
(−1)n k̄∗n (ζ) =
=
∞∑
n=0
(−1)n k̄∗n (η) +
∞∑
n=0
(−1)n
∑
ξtζ=η
k̄ (ξ) k̄∗n (ζ) =
= k∗−1 (η) +
∞∑
n=0
(−1)n k̄∗ (n+1) (η) =
= k∗−1 (η) +
∞∑
n=1
(−1)n−1 k̄∗n (η) = k∗−1 (η)−
∞∑
n=1
(−1)n k̄∗n (η) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1555
= k∗−1 (η)−
( ∞∑
m=0
(−1)m k̄∗m (η)− 1∗ (η)
)
= 1∗ (η) ,
що доводить твердження 3.3.
Для того щоб вивчити властивостi другої функцiї, розглянемо для довiльного x ∈ X вимiрне
вiдображення
(DxG)(η) := G(η ∪ x), G ∈ L0(Γ0). (3.13)
Як легко бачити, це вiдображення задовольняє „ланцюгове правило”:
Dx(G1 ∗G2) = (DxG1) ∗G2 +G1 ∗ (DxG2), x ∈ X, (3.14)
для довiльних G1, G2 ∈ L0(Γ0). Зазначимо, що Dx1∗ = 0. Отже, з (3.11) випливає, що
Dx exp∗ u = Dxu ∗ exp∗ u, u ∈ I0. (3.15)
Твердження 3.4. Нехай k ∈ I1, тодi iснує функцiя
(ln∗ k)(η) :=
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
k̄∗n(η), η ∈ Γ0,
така, що ln∗ k ∈ I0, до того ж
ln∗ exp∗ u = u, u ∈ I0, exp∗ ln∗ k = k, k ∈ I1.
Доведення. Включення ln∗ k ∈ I0 є очевидним. Далi, з (3.14) i (3.12) отримуємо, що для
всiх η ∈ Γ0, x ∈ X \ η
Dx ln∗ k(η) = Dxk ∗ k∗−1,
де враховано, що Dxk̄ = Dxk. Таким чином, використовуючи (3.15), дiстаємо
Dx ln∗ exp∗ u = Dx exp∗ u ∗ (exp∗ u)∗−1 = Dxu ∗ exp∗ u ∗ (exp∗ u)∗−1 = Dxu.
Але якщо для u1, u2 ∈ I0
Dxu1(η) = u1(η ∪ x) = Dxu2(η) = u2(η ∪ x), η ∈ Γ0, x ∈ X \ η,
то u1 = u2. Отже, ln∗ exp∗ u = u.
Навпаки, нехай k ∈ I1. Покладемо exp∗ ln∗ k = k0, тодi k0 ∈ I1 i з попереднiх мiркувань
маємо
ln∗ k0 = ln∗ exp∗ ln∗ k = ln∗ k. (3.16)
Доведемо, що з цього випливає рiвнiсть k = k0. Насамперед зауважимо, що для довiльних
k1, k2 ∈ I1 виконується k1 ∗ k2 ∈ I1 i
(k1 ∗ k2)∗−1 = (k1)∗−1 ∗ (k1)∗−1,
оскiльки (k1)∗−1 ∗ (k1)∗−1 ∗ k1 ∗ k2 = 1∗ ∗ 1∗ = 1∗. Далi, одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1556 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
Dx ln∗(k1 ∗ k2) = (k1 ∗ k2)∗−1 ∗ Dx(k1 ∗ k2) =
= k∗−1
1 ∗ k∗−1
2 ∗ Dxk1 ∗ k2 + k∗−1
1 ∗ k∗−1
2 ∗ k1 ∗ Dxk2 =
= k∗−1
1 ∗ Dxk1 + k∗−1
2 ∗ Dxk2 = Dx ln∗ k1 +Dx ln∗ k2.
Таким чином, ln∗(k1 ∗ k2) = ln∗ k1 + ln∗ k2. Отже,
0 = ln∗ 1∗ = ln∗(k2 ∗ k∗−1
2 ) = ln∗ k2 + ln∗ k∗−1
2 , ln∗ k∗−1
2 = − ln∗ k2,
звiдки випливає, що ln∗(k1 ∗ k∗−1
2 ) = ln∗ k1 − ln∗ k2, i в результатi з (3.16) дiстаємо
ln∗(k ∗ k∗−1
0 ) = 0. (3.17)
Але ж для довiльного k3 ∈ I1 з умови ln∗ k3 = 0 випливає, що
0 = Dx ln∗ k3 = k∗−1
3 ∗ Dxk3,
звiдки 0 = Dxk3(η) = k3(η ∪ x), k3 = 1∗. Тодi з (3.17) отримуємо k ∗ k∗−1
0 = 1∗, k0 = k, що
доводить твердження 3.4.
4. Оператор множення вiдносно ∗-згортки. Нехай a ∈ KCa,δa для деяких Ca > 0, δa ≥ 0.
Тодi, за твердженням 3.2, для довiльного C > Ca, δ ≥ δa можна розглянути вiдображення
A : KC−Ca,δ → KC,δ, що задане рiвнiстю
(Ak)(η) = (a ∗ k)(η), η ∈ Γ0. (4.1)
Твердження 4.1. Оператор A з областю визначення KC−Ca,δ допускає замикання у ба-
наховому просторi KC,δ.
Зауваження 4.1. Як легко бачити, оператор A не є щiльно заданим у KC,δ.
Доведення. Нехай {kn}n∈N ⊂ KC−Ca,δ i ‖kn‖C,δ → 0, n → ∞. Припустимо, що iснує
b ∈ KC,δ таке, що ‖a∗kn−b‖C,δ → 0. Тодi за твердженням 3.2 i нерiвнiстю мiж нормами в KC,δ
i KC+Ca,δ ⊃ KC,δ 3 b маємо
‖b‖C+Ca,δ ≤ ‖a ∗ kn‖C+Ca,δ + ‖a ∗ kn − b‖C+Ca,δ ≤
≤ ‖a‖Ca,δa‖kn‖C,δ + ‖a ∗ kn − b‖C,δ → 0, n→∞.
Звiдси b = 0 в KC+Ca,δ, звiдки b(η) = 0 для λ-м. в. η ∈ Γ0, а отже, b = 0 i в KC,δ.
Твердження 4.1 доведено.
Зазначимо, що якщо a ∈ L∞(Γ0), то, як випливає з твердження 3.2, оператор (4.1) визначе-
ний на всьому просторi KC,δ для довiльного C > 1, δ ≥ 1, а отже, вiн є обмеженим на цьому
просторi.
Розглянемо еволюцiйне рiвняння
∂
∂t
kt = Akt, k
∣∣
t=0
= k0. (4.2)
Очевидно, що формальним розв’язком цього рiвняння буде функцiя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1557
kt =
∞∑
n=0
tn
n!
a∗n ∗ k0 = exp∗(ta) ∗ k0. (4.3)
Якщо a ∈ I0, то exp∗(ta) визначено поточково (див. (3.11)) i (4.3) задає поточковий розв’язок
рiвняння (4.2).
Якщо a ∈ L∞(Γ0), то за наслiдком 3.1 a∗n ∈ KC,0 для довiльного C ≥ 2, до того ж
‖ exp∗(ta)‖C,0 ≤ 1 + t‖a‖L∞(Γ0) +
∑
n=2
tn
n!
(
C
C − 1
)n−2
‖a‖nL∞(Γ0) < exp
(
Ct
C − 1
‖a‖L∞(Γ0)
)
,
тобто exp∗(ta) ∈ KC,0, C ≥ 2. Тодi розв’язнiсть рiвняння (4.2) у просторах KC,δ, δ ≥ 0,
безпосередньо випливає з твердження 3.2.
Якщо ж ми розглядаємо розв’язок рiвняння (4.2) в бiльш широких просторах, коли δ ≥ 1,
то можна допустити, що a ∈ KCa,δa , δa ≥ 1. Тодi за наслiдком 3.1 a∗n ∈ KC,δa для довiльного
C > Ca i ряд у (4.3) збiгається в KC,δa . Далi, знов-таки, за твердженням 3.2 маємо, що якщо,
наприклад, k0 ∈ KC0,δa , C0 < C, то kt ∈ KC,δa .
Розглянемо банахiв простiр LC,δ := L1
(
Γ0, C
|η|(|η|!)δ dλ(η)
)
, C > 0, δ ≥ 0, з нормою
‖G‖LC,δ :=
∫
Γ0
|G(η)|C |η|(|η|!)δ dλ(η) =
∞∑
n=0
Cn
(n!)1−δ
∫
Xn
|G(n)(x1, . . . , xn)|dm(x1) . . . dm(xn).
Зрозумiло, що Bbs(Γ0) ⊂ LC,δ при всiх C > 0, δ ≥ 0, причому вкладення є щiльним, а також
eλ(f) ∈ LC,δ при всiх C > 0, δ ∈ [0; 1), f ∈ L1(X, dm).
Простiр KC,δ є реалiзацiєю топологiчно дуального простору до LC,δ, тобто можна говорити
про дуальнiсть мiж цими просторами, задану спаренням
〈〈G, k〉〉 :=
∫
Γ0
G(η)k(η)dλ(η), G ∈ LC,δ, k ∈ KC,δ.
Нехай оператор A′ у просторi LC,δ задано виразом
(A′G)(η) :=
∫
Γ0
G(η ∪ ξ)a(ξ) dλ(ξ), G ∈ D(A′),
де D(A′) складається з усiх G ∈ LC,δ таких, що A′G ∈ LC,δ. Зрозумiло, що так заданий
оператор з максимальною областю визначення є замкненим. Оскiльки за тотожнiстю (3.3)∫
Γ0
|A′G(η)|C |η|(|η|!)δ dλ(η) ≤
∫
Γ0
∣∣G(η)
∣∣(|a| ∗ C |·|(| · |!)δ)(η) dλ(η),
то з твердження 3.2 випливає, що для довiльного a ∈ KCa,δa , Ca > 0, δa ≥ 0, має мiсце
включення Bbs(Γ0) ⊂ D(A′) при C > 0, δ ≥ 0. Отже, A′ є щiльно заданим. Бiльш того, при
δa ≤ δ виконується включення LC+Ca,δ ⊂ D(A′). Нарештi, якщо max {1, δa} ≤ δ, Ca < C,
то D(A′) = LC,δ, тобто оператор A′ є обмеженим в LC,δ.
З (3.3) маємо, що для довiльного G ∈ D(A′) ⊂ LC,δ, C > 0, δ ≥ 0, i довiльного k ∈ KC,δ
такого, що Ak ∈ KC,δ, випливає
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1558 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
〈〈A′G, k〉〉 = 〈〈G,Ak〉〉.
Оператор A′ будемо називати переддуальним до A.
Твердження 4.2. Нехай a ∈ KCa,δa , Ca > 0, δa ≥ 0, C > Ca, δ ≥ max {δa, 1}. Тодi iснує
z0 > 0 таке, що для всiх z > z0 резольвента оператора A′ у просторi LC,δ має вигляд
(
Rz(A
′)G
)
(η) :=
(
(z11−A′)−1G
)
(η) =
∞∑
n=0
1
zn+1
∫
Γ0
G(η ∪ ξ)a∗n(ξ) dλ(ξ). (4.4)
Доведення. Покажемо, що права частина (4.4) є рядом Неймана. Дiйсно, (z11 − A′)−1 =
= z−1
∑∞
n=0
(A′)n
zn
i, з урахуванням (3.3), (A′)nG(η) =
∫
Γ0
G(η ∪ ξ)a∗n(ξ) dλ(ξ). Оскiльки A′
є обмеженим оператором в LC,δ, твердження 4.2. доведено.
Зауваження 4.2. Нехай a ∈ I0. Тодi для довiльного z ∈ R i довiльного k ∈ L0(Γ0) iснує
(z11−A)−1k =
1
z
(
1∗ − a
z
)∗−1
∗ k =
∞∑
n=0
1
zn+1
a∗n ∗ k,
причому ряд є визначеним поточково.
Розглянемо три простих, але важливих приклади оператора A, в яких a ∈ L∞(Γ0). Нехай
a(η) = 1, η ∈ Γ0. Тодi Ak = K0k, де
(K0k)(η) =
∑
ξ⊂η
k(ξ), η ∈ Γ0
(сенс позначення K0 буде зрозумiлий з другої частини роботи). Переддуальним до K0 буде так
званий оператор Майєра
(DG)(η) := (K ′0G)(η) =
∫
Γ0
G(η ∪ ξ) dλ(ξ), η ∈ Γ0.
Оскiльки 1 = eλ(1), то з рiвностi (3.2) випливає, що в цьому випадку a∗n(η) = n|η|, η ∈ Γ0,
тобто формальний розв’язок еволюцiйного рiвняння (4.2) має вигляд
kt =
∞∑
n=0
n|·|tn
n!
∗ k0,
причому ряд є, очевидно, збiжним поточково.
У другому прикладi a(η) = −1, η ∈ Γ0, що визначає обернений оператор
(K−1
0 k)(η) =
∑
ξ⊂η
(−1)|η\ξ|k(ξ), η ∈ Γ0,
оскiльки (1 ∗ (−1)) (η) =
∑
ξ⊂η
(−1)|η\ξ| = 0|η| = 1∗(η). Переддуальним у цьому випадку буде
оператор
(D−1G)(η) := ((K−1
0 )′G)(η) =
∫
Γ0
(−1)|ξ|G(η ∪ ξ) dλ(ξ), η ∈ Γ0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1559
розв’язок рiвняння (4.2) записується аналогiчно, з урахуванням того, що (−1)∗n(η) = (−1)nn|η|,
η ∈ Γ0.
I, нарештi, нехай σ : X → R — вимiрна функцiя i
a(η) =
σ(x), η = {x},
0, |η| 6= 1,
η ∈ Γ0. Тодi
(Ak)(η) =
∑
x∈η
σ(x)k(η \ x), η ∈ Γ0.
З означення згортки випливає (iндукцiєю по n), що a∗n(η) = n!11Γ(n)(η)
∏
x∈η
σ(x), η ∈ Γ0,
n ∈ N. Звiдси
exp∗(ta)(η) =
∞∑
n=0
11Γ(n)(η)tn
∏
x∈η
σ(x) = eλ(tσ, η), η ∈ Γ0.
Отже, поточковим розв’язком еволюцiйного рiвняння
∂
∂t
kt(η) =
∑
x∈η
σ(x)kt(η \ x), k
∣∣
t=0
= k0, η ∈ Γ0, (4.5)
є функцiя kt = eλ(tσ) ∗ k0. Зазначимо, що якщо k0 = eλ(C) ∈ KC,0, C > 0, то з (3.2) маємо
kt(η) = eλ(C + tσ, η), η ∈ Γ0. Отже, якщо, наприклад, σ ∈ L∞(X, dm), q = ‖σ‖L∞(X),
то kt ∈ KC+tq,0, t ≥ 0, тобто для будь-якого C ′ > C розв’язок (4.5) належить простору KC′,0
тiльки на скiнченному промiжку часу. Проте, як легко бачити, для довiльних C ′ > 0, δ > 0,
t ≥ 0 має мiсце включення kt ∈ KC′,δ. Аналогiчно можна показати, що якщо k0 ∈ KC,δ, C > 0,
δ > 0, то kt ∈ KC,δ+ε для довiльного ε > 0 i для всiх t ≥ 0.
Зауваження 4.3. Нехай δ ∈ [0; 1). В останньому прикладi вдається показати еволюцiю
KC,δ 3 k0 7→ kt ∈ KC,δ+ε для довiльного ε > 0, лише враховуючи явне зображення для
exp∗(ta). Якщо ж намагатись отримати для загального a оцiнку на exp∗(ta) через ряд, то ми
зiткнемося з необхiднiстю розглядати ε ≥ 1. Рiч у тiм, що якщо ми захочемо вкласти a∗n ∈
∈ KCn,δ у простiр KC,δ+ε, де ε не залежить вiд n, то норма a∗n в KC,δ+ε буде зростати по n
в залежностi вiд ε. На жаль, поки що вiдома лише оцiнка зверху виразом ‖a‖nC,δ exp
{
εn1/ε
}
,
звiдки випливає достатнiсть умови ε ≥ 1 для збiжностi ряду
∑∞
n=0
tn
n!
a∗n в KC,δ+ε. Точна
асимптотика оператора вкладення по n та ε наразi невiдома.
Зауваження 4.4. Нехай D(Γ0) — деякий лiнiйний топологiчний простiр вимiрних функцiй
на Γ0, який є неперервно вкладеним у LC,δ для деяких C > 0, δ ≥ 0. Оскiльки для довiльного
k ∈ KC,δ вiдображенняG 7→
∫
Γ0
Gk dλ задає лiнiйний неперервний функцiонал на LC,δ, то воно
буде задавати лiнiйний неперервний функцiонал i на D(Γ0). Отже, k можна розглядати як регу-
лярну узагальнену функцiю на D(Γ0). Рiвнiсть (3.3) тодi можна розумiти як спосiб визначення
згортки регулярних узагальнених функцiй (пор., наприклад, з [3, с. 135]). Внаслiдок асоцiатив-
ностi ∗-згортки оператор A має наступну властивiсть: A(k1 ∗ k2) = (Ak1) ∗ k2 = k1 ∗ (Ak2). Цю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1560 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
ж властивiсть має довiльний оператор диференцiювання на узагальнених функцiях над (Rd)n,
(див., наприклад, [3, с. 137]). Проте оператор A не задовольняє „ланцюгове правило” в алгеб-
рi функцiй з L0(Γ0) з множенням, заданим ∗-згорткою. Оператори, що є диференцiюванням
вiдносно ∗-згортки, розглянуто нижче.
5. Додатковi конструкцiї. 5.1. Згортка мiр на Γ0. У подальшому нам будуть потрiбнi
простори конфiгурацiй двох рiзних типiв, якi ми позначимо «+» та «−». А саме, для довiльних
Y ± ∈ B(X), n± ∈ N розглянемо Γ
±,(n±)
0,Y ± := Γ
(n±)
0,Y ± , Γ±
0,Y ± := Γ0,Y ± , Γ±0 := Γ0 та покладе-
мо Γ
2,(n+,n−)
0,Y +,Y − := Γ
+,(n+)
0,Y + × Γ
−,(n−)
0,Y − , Γ2
0,Y +,Y − := Γ+
0,Y + × Γ−
0,Y − , Γ2
0 := Γ+
0 × Γ−0 . У випадку,
коли Y + = Y − = Y ∈ B(X), n+ = n− = n ∈ N, будемо писати Γ
2,(n)
0,Y = Γ
+,(n)
0,Y × Γ
−,(n)
0,Y ,
Γ2
0,Y = Γ+
0,Y × Γ−0,Y . На всiх цих просторах можна ввести продакт-топологiю, i цi топологiї
будуть узгодженi з розкладами типу Γ2
0,Y =
⊔
n+,n−∈N0
Γ
+,(n+)
0,Y × Γ
−,(n−)
0,Y . Очевидно, що вiд-
повiднi борелiвськi σ-алгебри будуть мiнiмальними σ-алгебрами, що породженi декартовими
добутками борелiвських множин iз просторiв конфiгурацiй одного типу. Як i ранiше, якщо
Y = Λ ∈ Bc(X), будемо нехтувати 0 у нижньому iндексi.
Визначимо тепер ще деякi поняття, аналогiчнi до розглянутих вище на просторах конфi-
гурацiй одного типу. Функцiя G : Γ2
0 → R має локальний носiй, якщо iснує Λ ∈ Bc(X) таке,
що G �Γ2
0\(Γ
+
Λ×Γ−Λ )= 0. Клас усiх вимiрних функцiй на Γ2
0 iз локальним носiєм позначимо
L0
ls(Γ
2
0). Множина B ∈ B(Γ2
0) називається обмеженою, якщо iснують Λ ∈ Bc(X) та N ∈ N
такi, що B ⊂
(⊔N
n=0
Γ
+,(n)
Λ
)
×
(⊔N
n=0
Γ
−,(n)
Λ
)
. Клас усiх обмежених множин в B(Γ2
0) по-
значимо Bb(Γ2
0). Функцiя G : Γ2
0 → R має обмежений носiй, якщо iснує B ∈ Bb(Γ2
0) така, що
G �
Γ2
0\B̃
= 0. Клас усiх обмежених функцiй з обмеженим носiєм позначимо Bbs(Γ
2
0). Мiра ρ на(
Γ2
0,B(Γ2
0)
)
називається локально скiнченною, якщо ρ(B) <∞ для всiх B ∈ Bb(Γ2
0). Клас усiх
таких мiр позначимоMlf(Γ
2
0).
Для вимiрної функцiї G : Γ0 → R розглянемо вимiрну функцiю G̃ : Γ2
0 → R, визначену
рiвнiстю
G̃(η+, η−) = G(η+ ∪ η−), (η+, η−) ∈ Γ2
0. (5.1)
Для ρi ∈ Mlf(Γ0), i = 1, 2, розглянемо мiру ρ̂ на
(
Γ2
0,B(Γ2
0)
)
, визначену рiвнiстю
dρ̂(η+, η−) = dρ1(η+) dρ2(η−), тобто ρ̂ = ρ1 ⊗ ρ2. Очевидно, що ρ̂ ∈Mlf(Γ
2
0).
Означення 5.1. Нехай ρi, i = 1, 2, — мiри на просторi (Γ0,B(Γ0)) . Згорткою цих мiр
називається мiра ρ на (Γ0,B(Γ0)) така, що для довiльної вимiрної G : Γ0 → R, для якої
G̃ ∈ L1(Γ2
0, dρ̂), виконується рiвнiсть∫
Γ0
G(η)dρ(η) =
∫
Γ2
0
G̃(η+, η−) dρ̂(η+, η−) =
∫
Γ+
0
∫
Γ−0
G(η+ ∪ η−) dρ1(η+) dρ2(η−). (5.2)
Позначення: ρ = ρ1 ∗ ρ2.
Твердження 5.1. Нехай ρ1,2 ∈Mlf(Γ0), ρ = ρ1 ∗ ρ2. Тодi ρ ∈Mlf(Γ0).
Доведення. Нехай B ∈ Bb(Γ0), тобто iснують Λ ∈ Bc(X) та N ∈ N такi, що B ⊂ AN :=
:=
⋃N
n=0
Γ
(n)
Λ . Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1561
ρ(B) =
∫
Γ
11B(η) dρ(η) =
∫
Γ+
0
∫
Γ−0
11B(η+ ∪ η−) dρ1(η+) dρ2(η−) ≤
≤
∫
Γ+
0
∫
Γ−0
11AN (η+ ∪ η−) dρ1(η+) dρ2(η−) ≤
≤
∫
Γ+
0
∫
Γ−0
11AN (η+)11AN (η−) dρ1(η+) dρ2(η−) = ρ1(AN )ρ2(AN ) <∞.
Твердження 5.1 доведено.
Позначення ∗ для згортки мiр збiгається з позначенням для ∗-згортки функцiй, заданим
у (3.1). Це вмотивовано наступним твердженням.
Твердження 5.2. Нехай ρi ∈ Mlf(Γ0), i = 1, 2, та iснують похiднi Радона – Нiкодима
вiдносно мiри Лебега – Пуассона: ki =
dρi
dλ
, i = 1, 2. Тодi згортка мiр ρ = ρ1 ∗ ρ2 також має
похiдну Радона – Нiкодима вiдносно мiри Лебега – Пуассона k =
dρ
dλ
i при цьому k = k1 ∗ k2.
Доведення. Нехай G ∈ Bbs(Γ0). Тодi, враховуючи умову, з (5.2) отримуємо∫
Γ0
G(η) dρ(η) =
∫
Γ+
0
∫
Γ−0
G(η+ ∪ η−) dρ1(η+) dρ2(η−) =
=
∫
Γ+
0
∫
Γ−0
G(η+ ∪ η−)k1(η+)k2(η−) dλ(η+) =
∫
Γ0
G(η)(k1 ∗ k2)(η) dλ(η),
де ми використали (3.3).
Твердження 5.2 доведенo.
5.2. Твiрний функцiонал. Твiрнi функцiонали, або функцiонали Боголюбова, було введено
в [1] (бiльш сучаснi результати див., наприклад, у [13]). Властивостi твiрних функцiоналiв тiсно
пов’язанi з властивостями ймовiрнiсних мiр на просторах локально скiнченних конфiгурацiй.
Тому в першiй частинi роботи обмежимося вивченням лише деяких окремих властивостей
таких функцiоналiв у термiнологiї просторiв скiнченних конфiгурацiй.
Нехай k ∈ KC,δ, C > 0, δ ∈ [0; 1). Тодi функцiонал (пор. з [13], формула (9))
Bk(f) :=
∫
Γ0
eλ(f, η)k(η) dλ(η), f ∈ L1 := L1, (X, dm),
є коректно визначеним, оскiльки∣∣Bk(f)
∣∣ ≤ ∞∑
n=0
1
(n!)1−δ (C‖f‖L1)n <∞.
З (3.3) та твердження 3.2 маємо, що якщо ki ∈ KCi,δi , Ci > 0, δi ∈ [0; 1), i = 1, 2, то k1 ∗ k2 ∈
∈ KC,δ, де C = C1 + C2, δ = max {δ1, δ2} i
Bk1∗k2(f) = Bk1(f)Bk2(f), f ∈ L1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1562 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
Зауваження 5.1. Цю процедуру можна узагальнити на випадок мiр на Γ0. А саме, нехай
ρ ∈Mlf(Γ0) така, що eλ(f) ∈ L1(Γ0, dρ) для всiх f ∈ L1. Тодi можна визначити функцiонал
B̃ρ(f) :=
∫
Γ0
eλ(f, η) dρ(η), f ∈ L1.
З (5.2) отримуємо, що B̃ρ1∗ρ2(f) = B̃ρ1(f)B̃ρ2(f), f ∈ L1. Зрозумiло, що якщо iснує k =
dρ
dλ
≥
≥ 0, то Bk = B̃ρ.
Твердження 5.3. Нехай u ∈ I0 та iснують C,C ′ > 0, δ, δ′ ∈ [0; 1) такi, що u ∈ KC,δ,
exp∗ |u| ∈ KC′,δ′ . Тодi Bk(f) > 0 для k = exp∗ u i для довiльного f ∈ L1.
Доведення. Оскiльки u ∈ KC,δ, то |Bu(f)| ≤ B|u|(|f |) <∞. Тодi внаслiдок (3.3) дiстанемо∫
Γ0
eλ(|f |)|u|∗n dλ =
(
B|u|(|f |)
)n
<∞.
Отже, ∣∣∣∣∣
∞∑
n=0
1
n!
∫
Γ0
eλ(f)u∗n dλ
∣∣∣∣∣ ≤ exp
(
B|u|(|f |)
)
<∞. (5.3)
Покладемо gN :=
∑N
n=0
1
n!
∫
Γ0
eλ(f)u∗n dλ ∈ R. З (5.3) маємо, що limN→∞ gN iснує i є скiн-
ченним. Далi, послiдовнiстьUN :=
∑N
n=0
1
n!
eλ(f)u∗n має iнтегровну мажоранту eλ(|f |) exp∗ |u|
у просторi L1(Γ0, dλ), оскiльки exp∗ |u| ∈ KC′,δ′ . Отже, за теоремою Лебега про мажоровану
збiжнiсть
Bk(f) =
∫
Γ0
eλ (f, η) k (η) dλ (η) =
∫
Γ0
eλ (f, η)
∞∑
n=0
1
n!
u∗ndλ (η) =
=
∞∑
n=0
1
n!
∫
Γ0
eλ (f, η)u∗n (η) dλ (η) = exp
∫
Γ0
eλ (f, η)u (η) dλ (η)
> 0,
що доводить твердження 5.3.
Зауваження 5.2. Для довiльного k ∈ I1 iснує u ∈ I0 таке, що k = exp∗ u. Таким чином,Bk
завжди буде додатним функцiоналом, якщо тiльки виконуються потрiбнi оцiнки на зростання
|u| та exp∗ |u|.
5.3. Оператор диференцiювання вiдносно ∗-згортки. Як вже зазначалось, оператор Dx,
заданий у (3.13), задовольняє „ланцюгове правило” вiдносно ∗-згортки (див. (3.14)). Наведемо
ще один приклад такого оператора. Нехай (Nk)(η) = |η|k(η), k ∈ L0(Γ0), η ∈ Γ0, тодi
(N(k1 ∗ k2)) (η) = |η|
∑
ξ⊂η
k1(ξ)k2(η \ ξ) =
∑
ξ⊂η
|ξ|k1(ξ)k2(η \ ξ) +
∑
ξ⊂η
k1(ξ)|η \ ξ|k2(η \ ξ) =
= ((Nk1) ∗ k2) (η) + (k1 ∗ (Nk2)) (η)
для всiх k1, k2 ∈ L0(Γ0), η ∈ Γ0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1563
Означення 5.2. Оператор B на L0(Γ0) будемо називати оператором диференцiювання,
якщо B1∗ = 0 та
(B(k1 ∗ k2)) (η) = ((Bk1) ∗ k2) (η) + (k1 ∗ (Bk2)) (η) (5.4)
для λ-м. в. η ∈ Γ0.
Зауважимо, що поки що всi оператори розумiємо визначеними поточково, безвiдносно
до якихось банахових просторiв.
Отже, оператори Dx та N є операторами диференцiювання (рiвностi Dx1∗ = N1∗ = 0
випливають з означень цих операторiв). Низку iнших прикладiв операторiв диференцiювання
ми розглянемо у другiй частинi роботи.
За iндукцiєю маємо Bu∗n = n(Bu)∗u∗(n−1), n ∈ N, u ∈ L0(Γ0). Тодi для довiльного u ∈ I0
виконується (поточкова) рiвнiсть, аналогiчна до (3.15):
B exp∗ u = B
(
1∗ +
∞∑
n=1
1
n!
u∗n
)
=
∞∑
n=1
1
n!
n(Bu) ∗ u∗(n−1) = (Bu) ∗ exp∗ u. (5.5)
Рiвнiсть (5.5) має важливий наслiдок. Нехай B є оператором диференцiювання i розглядається
еволюцiйне рiвняння
∂
∂t
kt = Bkt, k
∣∣
t=0
= k0.
Припустимо, що kt(∅) = 1, t ≥ 0, тобто kt ∈ I1. Тодi за твердженням 3.4 для довiльного t ≥ 0
iснує ut ∈ I0 таке, що kt = exp∗ ut. Звiдси, враховуючи (5.5), отримуємо
∂
∂t
kt = B exp∗ ut = (But) ∗ kt, (5.6)
але, з iншого боку, безпосередньо з (3.11) випливає, що аналогiчно до (5.5)
∂
∂t
kt =
∂
∂t
exp∗ ut =
∂
∂t
ut ∗ exp∗ ut =
∂
∂t
ut ∗ kt. (5.7)
Оскiльки за припущенням kt ∈ I1, то за твердженням 3.3, iснує k∗−1
t ∈ I1. Тодi, прирiвнявши
правi частини (5.6) i (5.7) i домноживши (в сенсi ∗-згортки) їх на k∗−1
t , дiстанемо
∂
∂t
ut = But.
Таким чином, рiвняння для кумулянтiв ut збiгається з рiвнянням для функцiй kt.
Твердження 5.4. Нехай (B,D(B)) є оператором в KC,δ, C > 0, δ ≥ 0, з максимальною
областю визначення. Нехай (B′, D(B′)) є замкненим щiльно заданим оператором у LC,δ таким,
що 〈〈B′G, k〉〉 = 〈〈G,Bk〉〉 для довiльних G ∈ D(B′), k ∈ D(B). Припустимо також, що
G(· ∪ η) ∈ D(B′) для λ-м. в. η ∈ Γ0 i для всiх G ∈ D(B′), причому для λ-м. в. η, ξ ∈ Γ0
виконується рiвнiсть
(B′G)(η ∪ ξ) =
(
(B′G)(· ∪ ξ)
)
(η) +
(
(B′G)(· ∪ η)
)
(ξ). (5.8)
Тодi для довiльних k1, k2 ∈ D(B) таких, що k1 ∗ k2 ∈ D(B), k1 ∗ (Ak2), (Ak1) ∗ k2 ∈ KC,δ,
виконується рiвнiсть (5.4).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1564 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
Доведення. Для довiльних G, k1, k2 з умови, внаслiдок (3.3) та (5.8), отримуємо∫
Γ0
G(η) (B(k1 ∗ k2)) (η)dλ(η) =
∫
Γ0
(B′G)(η)(k1 ∗ k2)(η)dλ(η) =
=
∫
Γ0
∫
Γ0
(B′G)(η ∪ ξ)k1(η)k2(ξ)dλ(η)dλ(ξ) =
=
∫
Γ0
∫
Γ0
(
B′G(· ∪ ξ)
)
(η)k1(η)k2(ξ)dλ(η)dλ(ξ)
+
∫
Γ0
∫
Γ0
(
B′G(· ∪ η)
)
(ξ)k1(η)k2(ξ)dλ(η)dλ(ξ) =
=
∫
Γ0
∫
Γ0
G(η ∪ ξ)(Bk1)(η)k2(ξ)dλ(η)dλ(ξ)+
+
∫
Γ0
∫
Γ0
G(η ∪ ξ)k1(η)(Bk2)(ξ)dλ(η)dλ(ξ) =
=
∫
Γ0
G(η) ((Bk1) ∗ k2) (η)dλ(η) +
∫
Γ0
G(η) (k1 ∗ (Bk2)) (η)dλ(η),
що доводить твердження.
5.4. ?-Згортка функцiй на Γ0. Наступну згортку мiж функцiями на Γ0 було введено в [12].
Означення 5.3. Для вимiрних функцiй G1 та G2 на Γ0 покладемо
(G1 ? G2)(η) :=
∑
ξ1tξ2tξ3=η
G1(ξ1 ∪ ξ2)G2(ξ2 ∪ ξ3), η ∈ Γ0, (5.9)
де символ t означає диз’юнктне об’єднання множин.
Зауваження 5.3. Функцiя G1 ? G2, визначена через (5.9), також є вимiрною. Бiльш того,
класи функцiї L0
ls(Γ0) та Bbs(Γ0) є замкненими вiдносно операцiї ? (див. [12], зауваження 3.10,
3.12).
Зауваження 5.4. Рiвнiсть (5.9) можна записати у виглядi
(G1 ? G2)(η) :=
∑
ξ1∪ξ2=η
G1(ξ1)G2(ξ2). (5.10)
В свою чергу, згортку (3.1) можна зареписати у виглядi, аналогiчному до (5.10):
(G1 ∗G2)(η) =
∑
ξ1tξ2=η
G1(ξ1)G2(ξ2). (5.11)
Порiвнюючи правi частини (5.11) та (5.11), легко бачити, що сума в означеннi ∗-згортки є скла-
довою частиною суми в означеннi ?-згортки.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1565
Будемо казати, що функцiя k ∈ L0(Γ0) є додатно означеною в сенсi ?-згортки, якщо∫
Γ0
(G ? G)(η)k(η) dλ(η) ≥ 0 (5.12)
для всiх B ∈ Bbs(Γ0). З’ясуємо, чи є множина додатно означених у сенсi ?-згортки функцiй
замкненою вiдносно ∗-згортки.
Введемо спочатку наступну згортку мiж вимiрними функцiями G1 та G2 на Γ2
0:
(G1 ?©G2)(η+, η−) :=
∑
ξ+
1 tξ
+
2 tξ
+
3 =η+
ξ−1 tξ
−
2 tξ
−
3 =η−
G1(ξ+
1 ∪ ξ
+
2 , ξ
−
1 ∪ ξ
−
2 )G2(ξ+
2 ∪ ξ
+
3 , ξ
−
2 ∪ ξ
−
3 ). (5.13)
Вимiрна функцiя k : Γ2
0 → R називається додатно означеною в сенсi ?©-згортки, якщо для
довiльної G ∈ Bbs(Γ
2
0) ∫
Γ2
0
(G ?©G)(η+, η−)k(η+, η−)dλ(η+)dλ(η−) ≥ 0. (5.14)
Твердження 5.5. Нехай функцiї ki : Γ0 → R, i = 1, 2, є вимiрними. Тодi функцiя k(η) =
= (k1 ∗ k2)(η) є додатно означеною в сенсi Ленарда ?-згортки на Γ0, якщо лише функцiя
k̂(η+, η−) := k1(η+)k2(η−) є додатно означеною в сенсi ?©-згортки на Γ2
0.
Доведення. Нехай Gi ∈ Bbs(Γ0) i функцiї G̃i ∈ Bbs(Γ
2
0), i = 1, 2, визначенi аналогiчно
до (5.1). Тодi для (η+, η−) ∈ Γ2
0 таких, що η+ ∩ η− = ∅, маємо
(G1 ? G2)(η+ ∪ η−) =
∑
ξ1tξ2tξ3=η+∪η−
G1(ξ1 ∪ ξ2)G2(ξ2 ∪ ξ3) =
=
∑
η+
1 tη
+
2 tη
+
3 =η+
∑
η−1 tη
−
2 tη
−
3 =η−
G1(η+
1 ∪ η
+
2 ∪ η
−
1 ∪ η
−
2 )G2(η+
2 ∪ η
+
3 ∪ η
−
2 ∪ η
−
3 ) =
= (G̃1 ?© G̃2)(η+, η−). (5.15)
Покажемо тепер, що для довiльного z > 0
(λz ⊗ λz)
({
(η+, η−) ∈ Γ2
0
∣∣ η+ ∩ η− 6= ∅
})
= 0. (5.16)
Дiйсно, для довiльного η+ ∈ Γ+
0 покладемо Aη+ :=
{
η− ∈ Γ−0
∣∣ η+ ∩ η− 6= ∅
}
. Звiдси отриму-
ємо оцiнку
λz(Aη+) ≤
∑
x∈η+
λz
({
η− ∈ Γ−0
∣∣ x ∈ η−}) = 0, (5.17)
де використано (2.3). Далi, оскiльки
(λz ⊗ λz)
({
(η+, η−) ∈ Γ2
0
∣∣ η+ ∩ η− 6= ∅
})
=
∫
Γ+
0
λz
(
Aη+
)
dλz(η
+),
то (5.16) випливає з (5.17).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1566 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
Тодi для довiльної G ∈ Bbs(Γ0) та G̃ ∈ Bbs(Γ
2
0), визначеної в (5.1), внаслiдок (3.3) маємо∫
Γ0
(G ? G)(η)k(η)dλ(η) =
∫
Γ0
(G ? G)(η)(k1 ∗ k2)(η)dλ(η) =
=
∫
Γ2
0
(G ? G)(η+ ∪ η−)k1(η+)k2(η−)dλ(η+)dλ(η−) =
=
∫
Γ2
0
(G̃ ?© G̃)(η+, η−)k1(η+)k2(η−)dλ(η+)dλ(η−), (5.18)
де використано (5.15) та (5.16).
З рiвностi (5.18) безпосередньо випливає, що з додатної означеностi функцiї k̂ = k1 ⊗ k2
в сенсi ?©-згортки випливає додатна означенiсть функцiї k = k1 ∗ k2 в сенсi ?-згортки.
Твердження 5.5 доведено.
Зауваження 5.5. Замiнивши в (5.12) мiру k dλ на довiльну ρ ∈ Mlf(Γ0), можна ввести
поняття мiри на Γ0, що є додатно визначеною вiдносно ?-згортки. Тодi твердження 5.5 природ-
ним чином можна переформулювати для мiр ρ1, ρ2, якщо вiдомо, що (ρ1 ⊗ ρ2)
({
(η+, η−) ∈
∈ Γ2
0
∣∣ η+ ∩ η− 6= ∅
})
= 0.
Автор висловлює щиру вдячнiсть д-ру фiз.-мат. наук проф. Ю. Г. Кондратьєву за кориснi
обговорення та цiннi поради.
1. Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. – М.; Л.: Гостехиздат, 1946.
2. Вершик А. М., Гельфанд И. М., Граев М. И. Представления группы диффеоморфизмов // Успехи мат. наук. –
1975. – 30, № 6(186). – С. 3 – 50.
3. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. – М.: Физматгиз, 1959.
4. Гиббс Д. В. Основные принципы статистической механики // Регулярная и хаотическая динамика. – 2002.
5. Добрушин Р., Синай Я., Сухов Ю. Динамические системы статистической механики // Динамические системы-
2. Итоги науки и техники Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. – М.: ВИНИТИ, 1985. – С. 235–284.
6. Неравновесные явления. Уравнение Больцмана / Под ред. Д. Л. Либовица, Е. У. Монтролла. – М.: Мир, 1986.
7. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. – М.: Мир, 1978.
8. Albeverio S., Kondratiev Y., Röckner M. Analysis and geometry on configuration spaces // J. Funct. Anal. – 1998. –
154, № 2. – P. 444 – 500.
9. Albeverio S., Kondratiev Y., Röckner M. Analysis and geometry on configuration spaces: the Gibbsian case // J. Funct.
Anal. – 1998. – 157, № 1. – P. 242 – 291.
10. De Masi A., Presutti E. Mathematical methods for hydrodynamic limits // Lect. Notes Math. – Berlin: Springer, 1991.
– 1501. – x + 196 p.
11. Kipnis C., Landim C. Scaling limits of interacting particle systems // Grundlehren Math. Wiss. [Fund. Principles
Math. Sci.]. – Berlin: Springer, 1999. – 320. – xvi + 442 p.
12. Kondratiev Y., Kuna T. Harmonic analysis on configuration space. I. General theory // Infinite Dimension. Anal.,
Quantum Probab. and Relat. Top. – 2002. – 5, № 2. – P. 201 – 233.
13. Kondratiev Y., Kuna T., Oliveira M. J. Holomorphic Bogoliubov functionals for interacting particle systems in
continuum // J. Funct. Anal. – 2006. – 238, № 2. – P. 375 – 404.
14. Kuna T. Studies in configuration space analysis and applications: Dissertation. – Bonn, 1999. – ii + 187 p.
15. Liggett T. M. Interacting particle systems // Grundlehren Math. Wiss. [Fund. Principles Math. Sci.]. – New York:
Springer, 1985. – 276. – xv + 488 p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1567
16. Liggett T. M. Stochastic interacting systems: contact, voter and exclusion processes // Grundlehren Math. Wiss. [Fund.
Principles Math. Sci.]. – Berlin: Springer, 1999. – 324. – xii + 332 p.
17. Presutti E. Scaling limits in statistical mechanics and microstructures in continuum mechanics // Theor. and Math.
Phys. – Berlin: Springer, 2009. – xvi + 467 p.
18. Röckner M. Stochastic analysis on configuration spaces: basic ideas and recent results // New Directions in Dirichlet
Forms. – Providence, RI : Amer. Math. Soc., 1998. – 8. – P. 157 – 231.
19. Ruelle D. Cluster property of the correlation functions of classical gases // Rev. Modern Phys. – 1964. – 36. –
P. 580 – 584.
20. Shen C. Y. A functional calculus approach to the Ursell – Mayer functions // J. Math. Phys. – 1972. – 13. – P. 754 – 759.
21. Shen C. Y. On a certain class of transformations in statistical mechanics // J. Math. Phys. – 1973. – 14. – P. 1202 – 1204.
22. Shen C. Y., Carter D. S. Representations of states of infinite systems in statistical mechanics // J. Math. Phys. – 1971. –
12. – P. 1263 – 1269.
Одержано 09.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2680 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:12Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ba/601ed8164c2d37d5a6b6b39999a2deba.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26802020-03-18T19:32:37Z On convolutions on configuration spaces. I. Spaces of finite configurations Про згортки на просторах конфігурацій. І. Простори скінченних конфігурацій Finkelshtein, D. L. Фінкельштейн, Д. Л. We consider two types of convolutions ($\ast$ and $\star$) of functions on spaces of finite configurations (finite subsets of a phase space) and study some of their properties. A relationship between the $\ast$-convolution and the convolution of measures on spaces of finite configurations is described. Properties of the operators of multiplication and differentiation with respect to the $\ast$-convolution are investigated. We also present conditions under which the $\ast$-convolution is positive definite with respect to the $\star$-convolution. Рассмотрены два типа сверток ($\ast$ и $\star$) функций на пространствах конечных конфигураций (конечных подмножеств фазового пространства), исследованы некоторые их свойства. Показана связь $\ast$-свертки со сверткой мер на пространствах конечных конфигураций. Изучены свойства операторов умножения и дифференцирования относительно $\ast$-свертки. Найдены условия, при которых $\ast$-свертка функций положительно определена относительно $\star$-свертки. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2680 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 11 (2012); 1547-1567 Український математичний журнал; Том 64 № 11 (2012); 1547-1567 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2680/2119 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2680/2120 Copyright (c) 2012 Finkelshtein D. L. |
| spellingShingle | Finkelshtein, D. L. Фінкельштейн, Д. Л. On convolutions on configuration spaces. I. Spaces of finite configurations |
| title | On convolutions on configuration spaces. I. Spaces of finite configurations |
| title_alt | Про згортки на просторах конфігурацій. І. Простори скінченних конфігурацій |
| title_full | On convolutions on configuration spaces. I. Spaces of finite configurations |
| title_fullStr | On convolutions on configuration spaces. I. Spaces of finite configurations |
| title_full_unstemmed | On convolutions on configuration spaces. I. Spaces of finite configurations |
| title_short | On convolutions on configuration spaces. I. Spaces of finite configurations |
| title_sort | on convolutions on configuration spaces. i. spaces of finite configurations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2680 |
| work_keys_str_mv | AT finkelshteindl onconvolutionsonconfigurationspacesispacesoffiniteconfigurations AT fínkelʹštejndl onconvolutionsonconfigurationspacesispacesoffiniteconfigurations AT finkelshteindl prozgortkinaprostorahkonfíguracíjíprostoriskínčennihkonfíguracíj AT fínkelʹštejndl prozgortkinaprostorahkonfíguracíjíprostoriskínčennihkonfíguracíj |