On rational functions of the best nonsymmetric approximations in integral metrics
We obtain theorems that characterize the degree of the rational function of the best $(\alpha, \beta)$ -approximation in the space $L_p$ and conditions under which the value of the best rational $(\alpha, \beta)$ -approximation is less than the best $(\alpha, \beta)$ -approximation by algebraic poly...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2683 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508630677192704 |
|---|---|
| author | Polyakov, O. V. Ruchaevskaya, N. O. Поляков, О. В Ручаевская, Н. О. Поляков, О. В Ручаевская, Н. О. |
| author_facet | Polyakov, O. V. Ruchaevskaya, N. O. Поляков, О. В Ручаевская, Н. О. Поляков, О. В Ручаевская, Н. О. |
| author_sort | Polyakov, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:37Z |
| description | We obtain theorems that characterize the degree of the rational function of the best $(\alpha, \beta)$ -approximation in the space $L_p$ and conditions under which the value of the best rational $(\alpha, \beta)$ -approximation is less than the best $(\alpha, \beta)$ -approximation by
algebraic polynomials. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О. В. ПОЛЯКОВ, Н. О. РУЧАЕВСКАЯ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11 1575
УДК 517.5
О. В. Поляков, Н. О. Ручаевская (Днепропетр. нац. ун-т)
О РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
В ИНТЕГРАЛЬНЫХ МЕТРИКАХ
We obtain theorems that characterize the degree of the rational function of the best (!; ") -approximation in the space Lp
and conditions under which the value of the best rational (!; ") -approximation is less than the best (!; ") -approximation by
algebraic polynomials.
Отриманo теореми, що характеризують степінь раціональної функції найкращого (!; ") -наближення у просторі
Lp , та умови, при яких величина найкращого раціонального (!; ") -наближення менша за найкраще (!; ") -набли-
ження алгебраїчними многочленами.
Пусть Lp[!1;1] , 1 ! p < " , — пространство суммируемых в p -й степени функций f (x) с
нормой
f p = f (x) p dx
!1
1
"
#
$
%
&
'
(
1/ p
.
Через Pn и Rn будем обозначать соответственно подпространство алгебраических мно-
гочленов и рациональных функций степени не выше n .
Для !,!" > 0 введем величину f !" = ! sign f+ # " sign f# . Обозначим через En(!,")( f )p
и Rn(!,")( f )p наилучшие (!,!") -приближения функции f !Lp["1;1] подпространствами
соответственно Pn и Rn , т. е.
En(!,")( f )p = inf !( f # pn )+ + "( f # pn )# p :!! pn $Pn{ } ,
(1)
Rn(!,")( f )p = inf !( f # rn )+ + "( f # rn )# p :!!rn $Rn{ } ,
где g± (x) = max ±g(x); 0{ } .
Если ! = " = 1 , то мы имеем обычные наилучшие приближения функции f . (Свойства
(!,!") -приближений см., например, в [1, 2].)
Многочлены и рациональные функции, реализующие точные нижние грани в (1), будем на-
зывать соответственно многочленом и рациональной функцией наилучшего (!,") -приближе-
ния и обозначать их pn(!,")( f ; x) и rn(!,")( f ; x) .
Теорема 1. Если функция f !Lp["1;!1] , 1 < p < ! , всюду конечна на [!1;!1] и не яв-
ляется рациональной функцией степени не выше n , то rn(!,")( f ;!x) имеет точно сте-
пень n .
1576 О. В. ПОЛЯКОВ, Н. О. РУЧАЕВСКАЯ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
Доказательство. Пусть f !Lp["1;1] и степень rn(!,")( f ; x) =
p(x)
q(x)
меньше n . Тогда
rn ( f ; x, !) = rn(",#)( f ; x) +
!
(x $ c)q(x)
для любого c !["1;1] и для любого ! имеет степень не выше n .
Рассмотрим функцию
! (") = f (x) # rn ( f ; x, ") $%
p dx
#1
1
& .
Покажем, что ! (") дифференцируема при ! = 0 . Положим
S(h) =
1
h
!(h) " !(0)( ) .
Из теоремы о среднем при h < 1 и неравенства t p!1 " t p + 1 , t > 0 , 1 < p < ! , полу-
чаем
1
h
f (x) ! rn ( f ; x, h) "#
p
! f (x) ! rn(",#)( f ; x) "#
p( ) dx
!1
1
$ =
= p f (x) ! rn ( f ; x, "xh)
p!1 (# psign( f (x) ! rn ( f ; x, "xh))+
!1
1
$ –
– ! psign( f (x) " rn ( f ; x, #xh))" )
dx
(x " c)q(x)
=
= p f (x) ! rn(",#)( f ; x) –
$xh
(x ! c)q(x)
p!1
!1
1
% ! psign f (x) " rn(!,#)( f ; x) "
$xh
(x " c)q(x)
%
&'
(
)* +
%
&'
–
– ! psign f (x) " rn(#,!)( f ; x) "
$xh
(x " c)q(x)
%
&'
(
)* –
(
)*
dx
(x " c)q(x)
≤
≤ p ! p + " p( ) f (x) + rn(!,")( f ; x) +
1
x # c q(x)
$
%&
'
()
p
+ 1
$
%
&&
'
(
))
1
x # c q(x)
,
0 < !x < 1 .
Поскольку последнее выражение суммируемо на [!1;!1] , по теореме Лебега о предельном
переходе
lim
h!0
S(h) = "# (0) = p f (x) $ rn(%,&)( f ; x)
p$1
$1
1
' !
О РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ НАИЛУЧШИХ НЕСИММЕТРИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ … 1577
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
! ! psign f (x) " rn(!,#)( f ; x)( )+ – # psign f (x) " rn(!,#)( f ; x)( )–( ) 1
(x " c)q(x)
dx =
= !(x)
x " c
dx
"1
1
# ,
где
!(x) = p f (x) " rn(#,$)( f ; x)
p"1
!
! ! psign f (x) " rn(!,#)( f ; x)( )+ – # psign f (x) " rn(!,#)( f ; x)( )–( ) 1
q(x)
.
В работе [3] доказано, что если f !Lp["1;!1] и для любого c !["1;!1] f (x)
x ! c
dx
!1
1
" = 0 ,
то f (x) = 0 почти всюду на [!1;!1] .
Поскольку rn(!,")( f ; x) — рациональная функция наилучшего (!,") -приближения, в силу
критерия элемента наилучшего (!,") -приближения [1] !(x)
x " c
dx
"1
1
# = 0 , а отсюда !(x) = 0
почти всюду на [!1;!1] , т. е. f (x) = rn(!,")( f ; x) . Получили противоречие.
Повторяя рассуждения, использованные при доказательстве леммы в [3], и применяя
теорему 1, нетрудно установить следующий факт.
Утверждение. Пусть функция f (x) непрерывна на [!1;!1] . Тогда разность f (x) –
– rn(!,")( f ; x) имеет не менее 2n + 1 различных нулей.
Теорема 2. Если (n + 1) -я производная f n+1(x) имеет на [!1;!1] не более n ! 1 нулей,
то
Rn(!,")( f )p < En(!,")( f )p , 1 < p < ! .
Доказательство. Пусть Rn(!,")( f )p = En(!,")( f )p . Это означает, что среди функций
rn(!,")( f ; x) имеется и многочлен pn(!,")( f ; x) . В силу утверждения разность f (x) –
– pn(!,")( f ; x) имеет на [!1;!1] не менее 2n + 1 различных нулей. Тогда по теореме Ролля
f (n+1)(x) имеет на [!1;!1] не менее n различных нулей. Получили противоречие.
Заметим, что при ! = " = 1 эти теоремы доказаны в [3] и при их доказательстве была
использована схема доказательства соответствующих теорем из [3].
1. Бабенко В. Ф. Несимметричные приближения в пространствах суммируемых функций // Укр. мат. журн. –
1982. – 34, № 4. – С. 409 – 416.
2. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближений. – М.: Наука, 1987.
3. Рамазанов А. К. О рациональных функциях наилучшего приближения в интегральных метриках // Вестн.
Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. – 1982. – № 5. – С. 43 – 48.
Получено 23.04.12
|
| id | umjimathkievua-article-2683 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:16Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/04/d2b0e8d315f32ae254620a21a07f3204.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26832020-03-18T19:32:37Z On rational functions of the best nonsymmetric approximations in integral metrics О рациональных функциях наилучших несимметричных приближений в интегральных метриках Polyakov, O. V. Ruchaevskaya, N. O. Поляков, О. В Ручаевская, Н. О. Поляков, О. В Ручаевская, Н. О. We obtain theorems that characterize the degree of the rational function of the best $(\alpha, \beta)$ -approximation in the space $L_p$ and conditions under which the value of the best rational $(\alpha, \beta)$ -approximation is less than the best $(\alpha, \beta)$ -approximation by algebraic polynomials. Отриманo теореми, що характеризують степінь раціональної функції найкращого $(\alpha, \beta)$ -наближення у просторі $L_p$, та умови, при яких величина найкращого раціонального $(\alpha, \beta)$-наближення менша за найкраще $(\alpha, \beta)$-наближення алгебраїчними многочленами. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2683 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 11 (2012); 1575-1577 Український математичний журнал; Том 64 № 11 (2012); 1575-1577 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2683/2124 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2683/2125 Copyright (c) 2012 Polyakov O. V.; Ruchaevskaya N. O. |
| spellingShingle | Polyakov, O. V. Ruchaevskaya, N. O. Поляков, О. В Ручаевская, Н. О. Поляков, О. В Ручаевская, Н. О. On rational functions of the best nonsymmetric approximations in integral metrics |
| title | On rational functions of the best nonsymmetric approximations in integral metrics |
| title_alt | О рациональных функциях наилучших несимметричных приближений в интегральных метриках |
| title_full | On rational functions of the best nonsymmetric approximations in integral metrics |
| title_fullStr | On rational functions of the best nonsymmetric approximations in integral metrics |
| title_full_unstemmed | On rational functions of the best nonsymmetric approximations in integral metrics |
| title_short | On rational functions of the best nonsymmetric approximations in integral metrics |
| title_sort | on rational functions of the best nonsymmetric approximations in integral metrics |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2683 |
| work_keys_str_mv | AT polyakovov onrationalfunctionsofthebestnonsymmetricapproximationsinintegralmetrics AT ruchaevskayano onrationalfunctionsofthebestnonsymmetricapproximationsinintegralmetrics AT polâkovov onrationalfunctionsofthebestnonsymmetricapproximationsinintegralmetrics AT ručaevskaâno onrationalfunctionsofthebestnonsymmetricapproximationsinintegralmetrics AT polâkovov onrationalfunctionsofthebestnonsymmetricapproximationsinintegralmetrics AT ručaevskaâno onrationalfunctionsofthebestnonsymmetricapproximationsinintegralmetrics AT polyakovov oracionalʹnyhfunkciâhnailučšihnesimmetričnyhpribliženijvintegralʹnyhmetrikah AT ruchaevskayano oracionalʹnyhfunkciâhnailučšihnesimmetričnyhpribliženijvintegralʹnyhmetrikah AT polâkovov oracionalʹnyhfunkciâhnailučšihnesimmetričnyhpribliženijvintegralʹnyhmetrikah AT ručaevskaâno oracionalʹnyhfunkciâhnailučšihnesimmetričnyhpribliženijvintegralʹnyhmetrikah AT polâkovov oracionalʹnyhfunkciâhnailučšihnesimmetričnyhpribliženijvintegralʹnyhmetrikah AT ručaevskaâno oracionalʹnyhfunkciâhnailučšihnesimmetričnyhpribliženijvintegralʹnyhmetrikah |