Three-Dimensional Matrix Superpotentials
We consider a special case for curves in two-, three-, and four-dimensional Euclidean spaces and obtain a necessary and sufficient condition for the tensor product surfaces of the planar unit circle centered at the origin and these curves to have a harmonic Gauss map. We present а classification of...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2688 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508635824652288 |
|---|---|
| author | Karadzhov, Yu. A. Караджов, Ю. А. |
| author_facet | Karadzhov, Yu. A. Караджов, Ю. А. |
| author_sort | Karadzhov, Yu. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:55Z |
| description | We consider a special case for curves in two-, three-, and four-dimensional Euclidean spaces and obtain a necessary and sufficient condition for the tensor product surfaces of the planar unit circle centered at the origin and these curves to have a harmonic Gauss map.
We present а classification of matrix superpotentials that correspond to exactly solvable systems of Schrodinger equations.
Superpotentials of the following form are considered: $W_k = kQ + P \frac 1k$, where $k$ is a parameter and $P, Q$ and $R$ are Hermitian matrices that depend on a variable $x$. The list of three-dimensional matrix superpotentials is explicitly presented. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
Ю. А. Караджов (Iн-т математики НАН України, Київ)
ТРИВИМIРНI МАТРИЧНI СУПЕРПОТЕНЦIАЛИ
We present а classification of matrix superpotentials that correspond to exactly solvable systems of Schrödinger equations.
Superpotentials of the following form are considered: Wk = kQ+ P +
1
k
R, where k is a parameter and P, Q, and R are
Hermitian matrices that depend on a variable x. The list of three-dimensional matrix superpotentials is explicitly presented.
Представлена классификация матричных суперпотенциалов, которые соответствуют точно решаемым системам
уравнений Шредингера. Рассмотрены суперпотенциалы вида Wk = kQ+ P +
1
k
R, где k — параметр, P, Q и R —
эрмитовые матрицы, зависящие от переменной x. Список трехмерных матричных суперпотенциалов приведен в
явном виде.
1. Вступ. Суперсиметрична квантова механiка пропонує потужний метод для пошуку точних
розв’язкiв задач, що описуються рiвняннями Шрьодiнгера [1]. Дискретна симетрiя мiж гамiль-
тонiаном та його суперпартнером, яку називають форм-iнварiантнiстю [2], дає змогу розв’язати
спектральну зaдачу за допомогою алгебраїчних методiв.
На жаль, клас вiдомих задач, що задовольняють умову форм-iнварiантностi, досить обмеже-
ний. Але вiн включає багато важливих випадкiв, коли вiдповiдне рiвняння Шрьодiнгера може
бути точно зiнтегроване та має явно зображений потенцiал.
У роботi [3] запропоновано класифiкацiю скалярних потенцiалiв, що вiдповiдають точно
розв’язним рiвнянням Шрьодiнгера. Матричнi потенцiали з’являються в багатьох фiзичних
задачах. Наприклад, рух нейтрального нерелятивiстського фермiону, що аномально взаємодiє з
магнiтним полем, згенерованим тонким дротом зi струмом, описується моделлю з матричним
потенцiалом, запропонованою Проньком та Строгановим [4]. Iншi приклади задач з матричним
потенцiалом можна знайти в роботах [5 – 7], якi описують кристалiчнi структури в моделi
Гросс – Неве. Окремi випадки матричних потенцiалiв зустрiчаються також у статтях [8 – 12].
Спецiальний i досить вузький клас матричних потенцiалiв розглянуто у статтi [13].
Систематичне вивчення проблеми класифiкацiї матричних потенцiалiв розпочато у статтях
[14, 15], в яких було повнiстю описано суперпотенцiали вигляду Wk = kQ + P +
1
k
R, де k —
параметр, P,Q та R — ермiтовi матрицi, а також виконується одна з умов: або Q пропорцiйна
одиничнiй матрицi, абоR дорiвнює нулю. У статтi [16] описано бiльш широкий клас матричних
суперпотенцiалiв, але повну класифiкацiю не було проведено.
У цiй статтi дослiджено тривимiрнi суперпотенцiали та проведено їх класифiкацiю.
2. Форм-iнварiантнi спектральнi задачi. Розглянемо спектральну задачу
Hkψ = Ekψ, (1)
де Hk — гамiльтонiан з матричним потенцiалом, Ek та ψ — його власнi значення та власнi
функцiї вiдповiдно. Будемо шукати розв’язки у класi квадратично iнтегровних функцiй, що
досить гладко прямують до нуля на кiнцях розглядуваного промiжку. Виявляється, що коли
поставлена задача є форм-iнварiантною, її можна точно розв’язати. Метод розв’язку форм-
iнварiантних спектральних задач для рiвняння Шрьодiнгера наведено нижче.
Розглянемо рiвняння Шрьодiнгера з гамiльтонiаном вигляду
c© Ю. А. КАРАДЖОВ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 1641
1642 Ю. А. КАРАДЖОВ
Hk = − ∂2
∂x2
+ Vk(x), (2)
де Vk(x) — матричний потенцiал, що залежить вiд параметра k та змiнної x.
Припустимо, що гамiльтонiан можна факторизувати таким чином:
Hk = a†kak + ck, (3)
де ck — скалярна функцiя вiд k, яка скорочується з вiдповiдним доданком у гамiльтонiанi. Тут i
далi будемо нехтувати позначенням одиничної матрицi I бiля скалярних величин у матричних
рiвняннях та писати ck замiсть ckI . Як зазначено у [15], достатньо розглянути оператори ak i
a†k вигляду
ak =
∂
∂x
+Wk(x), a†k = − ∂
∂x
+Wk(x), (4)
де Wk — ермiтова матриця, яку називають суперпотенцiалом.
Оскiльки матриця Wk є ермiтовою, то оператори ak та a†k ермiтово спряженi, що одразу
дає змогу знайти основний стан системи (1), розв’язуючи диференцiальне рiвняння першого
порядку. Справдi, домножуючи злiва вираз
a†kakψ = 0 (5)
на ермiтово спряжений спiнор ψ† та iнтегруючи отриманий вираз на всiй прямiй R, отримуємо
||akψ||2 = 0, (6)
де || · ||2 позначає норму в L2(R). Звiдси маємо
akψ = 0. (7)
Квадратично iнтегровна функцiя ψ0
k(x), яка є нормованим розв’язком рiвняння (7), є власною
функцiєю гамiльтонiана, що вiдповiдає власному значенню E0
k = ck, i називається основним
станом системи (1).
Припустимо також, що система задовольняє умову форм-iнварiантностi, а саме
H+
k = Hk+1, (8)
де H+
k — суперпартнер гамiльтонiана, який визначається за формулою
H+
k = aka
†
k + ck. (9)
Ця умова дає змогу повнiстю знайти спектр за допомогою одних лише алгебраїчних операцiй,
знаючи основний стан системи ψ0
k(x). Справдi, використовуючи умову (8), легко показати, що
функцiя
ψ1
k(x) =
a†kψ
0
k+1(x)
||a†kψ0
k+1(x)||2
(10)
є власною функцiєю гамiльтонiана з власним значенням E1
k = ck+1. Вона називається першим
збудженим станом системи (1). Аналогiчно, за iндукцiєю доводиться, що функцiя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ТРИВИМIРНI МАТРИЧНI СУПЕРПОТЕНЦIАЛИ 1643
ψn
k (x) =
a†ka
†
k+1 . . . a
†
k+n−1ψ
0
k+n(x)
||a†ka
†
k+1 . . . a
†
k+n−1ψ
0
k+n(x)||2
(11)
є власною функцiєю гамiльтонiана з власним значеннямEn
k = ck+n. Її називають n-м збудженим
станом системи (1).
Таким чином, якщо система рiвнянь Шрьодiнгера (1) задовольняє умову форм-iнварiантностi,
то її можна точно зiнтегрувати.
3. Задача класифiкацiї. Оскiльки форм-iнварiантнi потенцiали вiдповiдають точно iнте-
гровним системам рiвнянь Шрьодiнгера, доцiльно розширити їх клас. Було б цiкаво знайти всi
гамiльтонiани, якi допускають факторизацiю (3) та задовольняють умову форм-iнварiантностi
(8). Використовуючи суперпотенцiал, цi умови можна записати одним рiвнянням
W 2
k +W ′k =W 2
k+1 −W ′k+1 + Ck, (12)
де Ck = ck+1 − ck. Тому, щоб розв’язати поставлену задачу, достатньо знайти всi суперпотен-
цiали, що задовольняють рiвняння (12).
У загальному виглядi задача є досить складною, але її можна розв’язати, якщо розглядати
суперпотенцiали лише з деякого обраного класу. В цiй роботi дослiджено суперпотенцiали
вигляду
Wk = kQ+ P +
1
k
R, (13)
де P,Q та R — ермiтовi матрицi розмiру 3 × 3, Q — матриця, не пропорцiйна одиничнiй мат-
рицi i R — не нульова матриця. Такий вибiр форми суперпотенцiалу обумовлений тим, що
широкий клас вiдомих суперпотенцiалiв мають вигляд (13), а скалярнi суперпотенцiали та су-
перпотенцiали, зображенi матрицями розмiру 2 × 2, описано у роботах [3, 14, 15]. У випадку,
коли потенцiали зображенi матрицями розмiру 3× 3, вони вiдповiдають системам трьох зчеп-
лених рiвнянь Шрьодiнгера. Такi системи, зокрема, описують рух нерелятивiстських бозонiв у
магнiтному полi.
Нас цiкавлять незвiднi суперпотенцiали, тобто такi, що не можуть бути зведенi до блочно-
дiагонального вигляду за допомогою унiтарного перетворення, що не залежить вiд змiнної
x. У випадку звiдних суперпотенцiалiв задача розпадається на кiлька подiбних задач меншої
розмiрностi.
У наступному пунктi наведено i розв’язано рiвняння для невiдомих матриць P, Q та R за
умови, що вiдповiднi суперпотенцiали задовольняють рiвняння (12).
4. Визначальнi рiвняння. Щоб отримати систему визначальних рiвнянь, пiдставимо вираз
(13) для суперпотенцiалу в рiвняння (12). Пiсля вiдокремлення змiнних дiстанемо систему
рiвнянь [16]
Q′ = Q2 + ν, (14)
P ′ =
1
2
{P,Q}+ µ, (15)
R′ = 0, (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1644 Ю. А. КАРАДЖОВ
R2 = ω2, (17)
{P,R}+ κ = 0, (18)
Ck = 2µ+ (2k + 1)ν − κ
k(k + 1)
+
(2k + 1)ω2
k2(k + 1)2
, (19)
де ν, µ, ω,κ — довiльнi дiйснi сталi.
Як показано у статтi [15], матрицю Q можна дiагоналiзувати за допомогою унiтарного
перетворення, що не залежить вiд x. Тодi рiвняння (14) зводиться до системи рiвнянь Рiккатi
q′i = q2i + ν, i = 1, 2, 3, (20)
де qi — дiагональнi елементи матрицi Q, яка має такi розв’язки:
qi = λ tan(λx+ γi), i = 1, 2, 3, ν = λ2,
qi =
−λ tanh(λx+ γi), i = 1, . . . ,m,
−λ coth(λx+ γi), i = m+ 1, . . . , l,
±λ, i = l + 1, l + 2, l + 3,
ν = −λ2,
qi =
− 1
x+ γi
, i = 1, . . . ,m,
0, i = m+ 1,m+ 2,m+ 3,
ν = 0,
(21)
де γi ∈ R, i = 1, 2, 3, — iнтегральнi сталi, m, l = 0, . . . , 4, набiр a . . . b, де a > b, вважається
порожнiм.
Оскiльки Q — дiагональна матриця, то лiнiйне рiвняння (15) можна розщепити i розв’язати
поелементно:
якщо ν = λ2, то
pii =
µ
λ
tan(λx+ γi) + ϕii sec(λx+ γi), i = 1, 2, 3,
pij = ϕij
√
sec(λx+ γi) sec(λx+ γj), i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3;
(22)
якщо ν = −λ2, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ТРИВИМIРНI МАТРИЧНI СУПЕРПОТЕНЦIАЛИ 1645
pii =
−µ
λ
tanh(λx+ γi) + ϕii sech(λx+ γi), i = 1, . . . ,m,
−µ
λ
coth(λx+ γi) + ϕii csch(λx+ γi), i = m+ 1, . . . , l,
±µ
λ
+ ϕii exp(±λx), i = l + 1, l + 2, l + 3;
pij =
ϕij
√
sech(λx+ γi) sech(λx+ γj), i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,m,
ϕij
√
sech(λx+ γi) csch(λx+ γj), i = 1, . . . ,m, j = m+ 1, . . . , l,
ϕij
√
sech(λx+ γi) exp(±λx), i = 1, . . . ,m, j = l + 1, l + 2, l + 3,
ϕij
√
csch(λx+ γi) csch(λx+ γj), i = m+ 1, . . . , l, j = m+ 1, . . . , l,
ϕij
√
csch(λx+ γi) exp(±λx), i = m+ 1, . . . , l, j = l + 1, l + 2, l + 3,
ϕij exp(±λx), якщо qiqj > 0, i = l + 1, l + 2, l + 3, j = l + 1, l + 2, l + 3,
ϕij , якщо qiqj < 0, i = l + 1, l + 2, l + 3, j = l + 1, l + 2, l + 3;
(23)
якщо ν = 0, то
pii =
ϕii −
µx
2
(x+ 2γi)
x+ γi
, i = 1, . . . ,m,
−µx+ ϕii, i = m+ 1,m+ 2,m+ 3,
pij =
ϕij√
(x+ γi)(x+ γj)
, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ,m,
ϕij√
x+ γi
, i = 1, . . . ,m, j = m+ 1,m+ 2,m+ 3,
ϕij , i = m+ 1,m+ 2,m+ 3, j = m+ 1,m+ 2,m+ 3;
(24)
де ϕji = ϕij ∈ C — iнтегральнi сталi, а числа m та l в iнтервалах вiдповiдають таким у форму-
лi (21).
З рiвнянь (16), (17) робимо висновок, що R = (rij) — стала матриця, квадрат якої пропор-
цiйний одиничнiй матрицi.
Останнє рiвняння (18) накладає додатковi умови на сталi µ,κ та iнтегральнi сталi ϕij , rij .
Покажемо, що у випадку, коли Q не є сталою матрицею, необхiдно, щоб виконувались умови
µ = 0, κ = 0. (25)
Розглянемо елементи {P,R}ij у рiвняннi (18), що вiдповiдають qi — не константному елементу
матрицi Q:
4µriiξi(x) +
3∑
p=1
(ripϕip + ripϕip)ηip(x) = −κ,
2µrij(ξi(x) + ξj(x)) +
3∑
p=1
(ϕiprjpηip(x) + ϕjpripηjp(x)) = 0, j = 1, 2, 3,
(26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1646 Ю. А. КАРАДЖОВ
де ηij — множники при ϕij в матрицi P, ξi, i = 1, 2, 3, визначаються за формулою
ξi(x) =
1
λ
tan(λx+ γi), ν = λ2,
− 1
λ
tanh(λx+ γi), ν = −λ2,
− 1
λ
coth(λx+ γi), ν = −λ2,
−x(x+ 2γi)
2(x+ γi)
, ν = 0,
(27)
а ξj подiбнi до ξi або сталi.
Оскiльки ξi(x), ηij(x) та одиниця є попарно лiнiйно незалежними, то система (26) буде
сумiсною лише тодi, коли або µ та κ дорiвнюють нулю, або увесь стовпчик rij матрицi R
дорiвнює нулю. Але в останньому випадку матриця R є сингулярною матрицею, що суперечить
умовi (17), тому умови (25) доведено.
Отриманi умови значно спрощують рiвняння (18) та дають змогу розв’язати його поеле-
ментно, по можливостi спрощуючи результат за допомогою унiтарних перетворень, що не
залежать вiд x.
У наступному пунктi розв’язки рiвняння (18) та результати (21) – (25) зiбрано та подано у
виглядi списку незвiдних тривимiрних суперпотенцiалiв.
5. Тривимiрнi матричнi суперпотенцiали. Для зручностi будемо записувати матрицi P,Q
та R окремо. Матрицi P та R будемо розкладати за елементами наступного базису:
e1 =
0 1 0
1 0 0
0 0 0
, e6 =
0 0 0
0 0 1
0 1 0
, e2 =
0 −i 0
i 0 0
0 0 0
, e5 =
0 0 −i
0 0 0
i 0 0
,
e4 =
0 0 1
0 0 0
1 0 0
, e8 =
0 0 0
0 0 0
0 0 1
, e3 =
1 0 0
0 −1 0
0 0 0
, e7 =
0 0 0
0 0 −i
0 i 0
,
дев’ятий елемент базису e0 збiгається з одиничною матрицею I . МатрицюQ будемо записувати
у дiагональнiй формi
Q = diag {q1, q2, q3} =
q1 + q2
2
e0 +
q1 − q2
2
e3 +
2q3 − q1 − q2
2
e8.
Використавши наведенi базиси та результати (21), отримаємо список нееквiвалентних зоб-
ражень для матрицi Q:
якщо ν = −λ2, то
Q = diag {λ tan(λx+ γ1), λ tan(λx+ γ2), λ tan(λx+ γ3)} ; (28)
якщо ν = λ2, то
Q = diag {−λ tanh(λx+ γ1),−λ tanh(λx+ γ2),−λ tanh(λx+ γ3)} , (29)
Q = diag {−λ coth(λx+ γ1),−λ coth(λx+ γ2),−λ coth(λx+ γ3)} , (30)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ТРИВИМIРНI МАТРИЧНI СУПЕРПОТЕНЦIАЛИ 1647
Q = diag {−λ tanh(λx+ γ1),−λ tanh(λx+ γ2),−λ coth(λx+ γ3)} , (31)
Q = diag {−λ coth(λx+ γ1),−λ coth(λx+ γ2),−λ tanh(λx+ γ3)} , (32)
Q = diag {−λ tanh(λx+ γ1),−λ tanh(λx+ γ2),±λ} , (33)
Q = diag {−λ coth(λx+ γ1),−λ coth(λx+ γ2),±λ} , (34)
Q = diag {±λ,−λ tanh(λx+ γ2),−λ coth(λx+ γ3)} , (35)
Q = diag {±λ,±λ,−λ tanh(λx+ γ3)} , (36)
Q = diag {±λ,±λ,−λ coth(λx+ γ3)} , (37)
Q = diag {λ,−λ,−λ tanh(λx+ γ3)} , (38)
Q = diag {λ,−λ,−λ coth(λx+ γ3)} ; (39)
якщо ν = 0, то
Q = diag
{
− 1
x+ γ1
,− 1
x+ γ2
,− 1
x+ γ3
}
, (40)
Q = diag
{
− 1
x+ γ1
,− 1
x+ γ2
, 0
}
, (41)
Q = diag
{
0, 0,− 1
x+ γ3
}
. (42)
У наведеному перелiку розглянуто два випадки, коли γ1, γ2, γ3 всi рiзнi i γ1 = γ2 6= γ3.
Результати (22) – (25) дають змогу розв’язати рiвняння (18) та знайти матрицi P та R у
наведеному вище базисi. Пропустимо громiздкi викладки та наведемо одразу список нееквiва-
лентних зображень для матриць P та R. Зазначимо, що, де це було можливо, розв’язки були
спрощенi за допомогою унiтарних перетворень, що не залежать вiд змiнної x.
Нееквiвалентнi матрицi R для рiзних γ1, γ2, γ3 мають вигляд
R = ±ω(e3 + e8), (43)
R = εe2 + re3 ± ωe8, (44)
R = ±ω(e3 − e8), (45)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1648 Ю. А. КАРАДЖОВ
R =
1
2
(r ± ω)e0 +
1
2
(r ∓ ω)e3 + εe5 −
1
2
(3r ± ω)e8, (46)
R = ±ω(e0 − 2e8), (47)
R =
1
2
(r ± ω)e0 −
1
2
(r ∓ ω)e3 + εe7 −
1
2
(3r ± ω)e8 (48)
i для γ1 = γ2 6= γ3
R = ±ω(e1 ± e8), (49)
R =
1
2
(r ± ω)e0 +
1
2
(r ∓ ω)e3 + εe5 −
1
2
(3r ± ω)e8, (50)
де p, r, φ, ε — дiйснi сталi, p 6= 0 i r2+ε2 = ω2. У випадку (49) знаки перед e1 i e8 вибираються
незалежно.
Нижче наведено список нееквiвалентних матриць P , що вiдповiдають матрицi R вигля-
ду (43):
P = φe1
√
sec(λx+ γ1) sec(λx+ γ2) + pe6
√
sec(λx+ γ2) sec(λx+ γ3), (51)
P = φe1
√
sech(λx+ γ1) sech(λx+ γ2) + pe6
√
sech(λx+ γ2) sech(λx+ γ3), (52)
P = φe1
√
csch(λx+ γ1) csch(λx+ γ2) + pe6
√
csch(λx+ γ2) csch(λx+ γ3), (53)
P = φe1
√
sech(λx+ γ1) sech(λx+ γ2) + pe6
√
sech(λx+ γ2) csch(λx+ γ3), (54)
P = φe1
√
csch(λx+ γ1) csch(λx+ γ2) + pe6
√
csch(λx+ γ2) sech(λx+ γ3), (55)
P = φe1
√
sech(λx+ γ1) sech(λx+ γ2) + pe6
√
sech(λx+ γ2) exp(±λx), (56)
P = φe1
√
csch(λx+ γ1) csch(λx+ γ2) + pe6
√
csch(λx+ γ2) exp(±λx), (57)
P = φe1
√
exp(±λx) sech(λx+ γ2) + pe6
√
sech(λx+ γ2) csch(λx+ γ3), (58)
P = φe1 + pe6
√
sech(−λx) sech(λx+ γ3), (59)
P = φe1 + pe6
√
sech(−λx) csch(λx+ γ3), (60)
P =
φe1√
(x+ γ1)(x+ γ2)
+
pe6√
(x+ γ2)(x+ γ3)
, (61)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ТРИВИМIРНI МАТРИЧНI СУПЕРПОТЕНЦIАЛИ 1649
P =
φe1√
(x+ γ1)(x+ γ2)
+
pe6√
x+ γ2
. (62)
Вiдповiднi матрицi Q визначаються формулами (28) – (35), (38) – (41). При цьому формула (28)
вiдповiдає першiй формулi зi списку, (29) — другiй i так далi.
Нееквiвалентнi матрицi P , що вiдповiдають матрицi R вигляду (44), мають вигляд
P = pe1
√
sec(λx+ γ1) sec(λx+ γ2), (63)
P = pe1
√
sech(λx+ γ1) sech(λx+ γ2), (64)
P = pe1
√
csch(λx+ γ1) csch(λx+ γ2), (65)
P = pe1
√
sech(λx+ γ1) sech(λx+ γ2), (66)
P = pe1
√
csch(λx+ γ1) csch(λx+ γ2), (67)
P = pe1
√
sech(λx+ γ1) sech(λx+ γ2), (68)
P = pe1
√
csch(λx+ γ1) csch(λx+ γ2), (69)
P = pe1
√
exp(±λx) sech(λx+ γ2), (70)
P = pe1, (71)
P = pe1, (72)
P =
pe1√
(x+ γ1)(x+ γ2)
, (73)
P =
pe1√
(x+ γ1)(x+ γ2)
. (74)
Вiдповiднi матрицiQ визначаються формулами (28) – (35), (38) – (41). Вiдповiднiсть визначаєть-
ся так, як i в попередньому випадку.
Нееквiвалентнi матрицi P , що вiдповiдають матрицi R вигляду (45), мають вигляд
P = φe1
√
exp(±λx) sech(λx+ γ2) + pe4
√
exp(±λx) csch(λx+ γ3), (75)
P = φe1 + pe4
√
exp(λx) sech(λx+ γ3), (76)
P = φe1 + pe4
√
exp(λx) csch(λx+ γ3). (77)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1650 Ю. А. КАРАДЖОВ
Вiдповiднi матрицi Q визначаються формулами (35), (38), (39).
Нееквiвалентнi матрицi P , що вiдповiдають матрицi R вигляду (46), мають вигляд
P = pe4
√
sech(λx+ γ1) csch(λx+ γ3), (78)
P = pe4
√
csch(λx+ γ1) sech(λx+ γ3), (79)
P = pe4
√
sech(λx+ γ1) exp(±λx), (80)
P = pe4
√
csch(λx+ γ1) exp(λx), (81)
P = pe4
√
exp(±λx) csch(λx+ γ3), (82)
P = pe4
√
exp(λx) sech(λx+ γ3), (83)
P = pe4
√
exp(λx) csch(λx+ γ3), (84)
P =
pe4√
x+ γ1
. (85)
Вiдповiднi матрицi Q визначаються формулами (31) – (35), (38), (39), (41).
Нееквiвалентнi матрицi P , що вiдповiдають матрицi R вигляду (47), мають вигляд
P = φe4
√
sech(λx+ γ1) csch(λx+ γ3) + pe6
√
sech(λx+ γ2) csch(λx+ γ3), (86)
P = φe4
√
csch(λx+ γ1) sech(λx+ γ3) + pe6
√
csch(λx+ γ2) sech(λx+ γ3), (87)
P = φe4
√
sech(λx+ γ1) exp(±λx) + pe6
√
sech(λx+ γ2) exp(±λx), (88)
P = φe4
√
csch(λx+ γ1) exp(λx) + pe6
√
csch(λx+ γ2) exp(±λx), (89)
P = φe4
√
exp(±λx) csch(λx+ γ3) + pe6
√
sech(λx+ γ2) csch(λx+ γ3), (90)
P = φe4
√
exp(λx) sech(λx+ γ3) + pe6
√
exp(−λx) sech(λx+ γ3), (91)
P = φe4
√
exp(λx) csch(λx+ γ3) + pe6
√
exp(−λx) csch(λx+ γ3), (92)
P =
φe4√
x+ γ1
+
pe6√
x+ γ2
. (93)
Вiдповiднi матрицi Q визначаються формулами (31) – (35), (38), (39), (41).
Нееквiвалентнi матрицi P , що вiдповiдають матрицi R вигляду (48), мають вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ТРИВИМIРНI МАТРИЧНI СУПЕРПОТЕНЦIАЛИ 1651
P = pe6
√
exp(±λx) csch(λx+ γ3), (94)
P = pe6
√
exp(λx) sech(λx+ γ3), (95)
P = pe6
√
exp(λx) csch(λx+ γ3). (96)
Вiдповiднi матрицi Q визначаються формулами (35), (38), (39).
Нееквiвалентнi матрицi P , що вiдповiдають матрицi R вигляду (49), мають вигляд
P = pe3 sec(λx+ γ1) + φ(e4 ∓ e6)
√
sec(λx+ γ1) sec(λx+ γ3), (97)
P = pe3 sech(λx+ γ1) + φ(e4 ∓ e6)
√
sech(λx+ γ1) sech(λx+ γ3), (98)
P = pe3 csch(λx+ γ1) + φ(e4 ∓ e6)
√
csch(λx+ γ1) csch(λx+ γ3), (99)
P = pe3 sech(λx+ γ1) + φ(e4 ∓ e6)
√
sech(λx+ γ1) csch(λx+ γ3), (100)
P = pe3 csch(λx+ γ1) + φ(e4 ∓ e6)
√
csch(λx+ γ1) sech(λx+ γ3), (101)
P = pe3 sech(λx+ γ1) + φ(e4 ∓ e6)
√
sech(λx+ γ1) exp(±λx), (102)
P = pe3 csch(λx+ γ1) + φ(e4 ∓ e6)
√
csch(λx+ γ1) exp(±λx), (103)
P = pe3 exp(±λx) + φ(e4 ∓ e6)
√
exp(±λx) sech(λx+ γ3), (104)
P = pe3 exp(±λx) + φ(e4 ∓ e6)
√
exp(±λx) csch(λx+ γ3), (105)
P =
pe3
x+ γ1
+
φ(e4 ∓ e6)√
(x+ γ1)(x+ γ3)
, (106)
P =
pe3
x+ γ1
+
φ(e4 ∓ e6)√
x+ γ1
, (107)
P = pe3 +
φ(e4 ∓ e6)√
x+ γ3
. (108)
Вiдповiднi матрицiQ визначаються формулами (28) – (34), (36), (37), (40) – (42). У цьому списку
знак у матрицi P перед e6 є протилежним до вибраного знаку в матрицi R перед e8.
Нееквiвалентнi матрицi P , що вiдповiдають матрицi R вигляду (50), мають вигляд
P = pe4
√
sec(λx+ γ1) sec(λx+ γ3), (109)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1652 Ю. А. КАРАДЖОВ
P = pe4
√
sech(λx+ γ1) sech(λx+ γ3), (110)
P = pe4
√
csch(λx+ γ1) csch(λx+ γ3), (111)
P = pe4
√
sech(λx+ γ1) csch(λx+ γ3), (112)
P = pe4
√
csch(λx+ γ1) sech(λx+ γ3), (113)
P = pe4
√
sech(λx+ γ1) exp(±λx), (114)
P = pe4
√
csch(λx+ γ1) exp(±λx), (115)
P = pe4
√
exp(±λx) sech(λx+ γ3), (116)
P = pe4
√
exp(±λx) csch(λx+ γ3), (117)
P =
pe4√
(x+ γ1)(x+ γ3)
, (118)
P =
pe4√
x+ γ1
, (119)
P =
pe4√
x+ γ3
. (120)
Вiдповiднi матрицi Q визначаються формулами (28) – (34), (36), (37), (40) – (42).
Таким чином, повний список тривимiрних матричних суперпотенцiалiв, а саме матриць P ,
Q та R, задається формулами (28) – (120). Кожному з цих суперпотенцiалiв вiдповiдає форм-
iнварiантний гамiльтонiан (2) з потенцiалом вигляду Vk = W 2
k −W ′k. Вiдповiднi спектральнi
задачi можна зiнтегрувати, використавши стандартнi методи суперсиметричної квантової ме-
ханiки.
6. Висновок. У статтi було поставлено задачу: знайти тривимiрнi матричнi суперпотенцiа-
ли, що вiдповiдають точно iнтегровним системам рiвнянь Шрьодiнгера. В загальному виглядi
задача залишається досить складною для аналiзу, але її було розв’язано, обмеживши клас роз-
глядуваних суперпотенцiалiв випадком (13). Дане обмеження мотивовано тим, що широкий
клас скалярних потенцiалiв, а також майже всi вiдомi матричнi потенцiали мають зазначений
вигляд.
Було знайдено 70 нових матричних суперпотенцiалiв. Результати наведено у виглядi списку
матриць Q (формули (28) – (42)), R (формули (43) – (50)) та P (формули (51) – (120)). Вiдповiднi
суперпотенцiали можна легко вiдновити в явному виглядi за допомогою формули (13).
Таким чином, у роботi знайдено клас матричних суперпотенцiалiв, що вiдповiдають точно
розв’язним системам рiвнянням Шрьодiнгера, якi можуть мати широке застосування у кванто-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ТРИВИМIРНI МАТРИЧНI СУПЕРПОТЕНЦIАЛИ 1653
вiй механiцi. Зокрема, системи рiвнянь такого типу описують рух нерелятивiстських бозонiв у
магнiтному полi.
Незважаючи на той факт, що задачу вдалось розв’язати повнiстю, отриманi результати
обмеженi формою (13) та розмiрнiстю суперпотенцiалу. В наступних роботах буде розглянуто
бiльш загальний клас матричних суперпотенцiалiв, а також планується розширити клас вiдомих
скалярних потенцiалiв.
Автор висловлює подяку професору А. Г. Нiкiтiну за кориснi дискусiї та коментарi.
1. Witten E. Dynamical breaking of supersymmetry // Nucl. Phys. B. – 1981. – 185, Issue 513 .
2. Gendenshtein L. Derivation of exact spectra of the Schr odinger equation by means of supersymmetry // JETP Lett. –
1983. – 38. – P. 356 – 359.
3. Cooper F., Khare A., Sukhatme U. Supersymmetry and quantum mechanics // Phys. Repts. – 1995. – 251, Issue 5 – 6.
– P. 267 – 385.
4. Pron’ko G. P., Stroganov Y. G. New example of quantum mechanical problem with a hidden symmetry // Sov. Phys.
JETP. – 1977. – 45. – P. 1075 – 1078.
5. Correa F., Dunne G. V., Plyushchay M. S. The Bogoliubov – de Gennes system, the AKNS hierarchy, and nonlinear
quantum mechanical supersymmetry // Ann. Phys. – 2009. – 324, Issue 12. – P. 2522 – 2547.
6. Correa F., Jakubsky’ V., Luis-Miguel Nieto, Plyushchay M. S. Self-isospectrality, special supersymmetry, and their
effect on the band structure // Phys. Rev. Lett. – 2008. – 101, Issue 3.
7. Plyushchay M. S., Arancibia A., Luis-Miguel Nieto. Exotic supersymmetry of the kink-antikink crystal, and the infinite
period limit // Phys. Rev. – 2011.
8. Tkachuk V. M., Roy P. Motion of a spin- 1
2
particle in shape invariant scalar and magnetic fields // J. Phys. A. – 2000.
– 33, Issue 22. – P. 4159 – 4167.
9. Andrianov A. A., Ioffe M. V. From supersymmetric quantum mechanics to a parasupersymmetric one // Phys. Lett. B. –
1991. – 255, Issue 4. – P. 543 – 548.
10. Andrianov A. A., Ioffe M. V., Spiridonov V. P., Vinet L. Parasupersymmetry and truncated supersymmetry in quantum
mechanics // Phys. Lett. B. – 1991. – 272, Issue 3 – 4. – P. 297 – 304.
11. Andrianov A. A., Cannata F., Ioffe M. V., Nishnianidze D. N. Matrix Hamiltonians: SUSY approach to hidden
symmetries // J. Phys. A. – 1997. – 30, Issue 14. – P. 5037 – 5050.
12. de Lima Rodrigues R., Bezerra V. B., Vaidyac A. N. An application of super symmetric quantum mechanics to a planar
physical system // Phys. Lett. A. – 2001. – 287. – P. 45 – 49.
13. Fukui T. Shape-invariant potentials for systems with multi-component wave functions // Phys. Lett. A. – 1993. – 178,
Issue 1 – 2. – P. 1 – 6.
14. Nikitin A. G., Karadzhov Yuri. Matrix superpotentials // J. Phys. A: Math. Theor. – 2011. – 44, Issue 30.
15. Karadzhov Yuri. Matrix superpotential linear in variable parameter // CNSNS (2011), doi:10.1016/j.cnsns.2011.09.025.
16. Nikitin A. G., Karadzhov Yuri. Enhanced classification of matrix superpotentials // J. Phys. A: Math. Theor. – 2011. –
44, Issue 44.
Oтримано 31.01.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2688 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:21Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6e/7667436eb66e72467f3a58c52c3b646e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26882020-03-18T19:32:55Z Three-Dimensional Matrix Superpotentials Тривимірні матричні суперпотенціали Karadzhov, Yu. A. Караджов, Ю. А. We consider a special case for curves in two-, three-, and four-dimensional Euclidean spaces and obtain a necessary and sufficient condition for the tensor product surfaces of the planar unit circle centered at the origin and these curves to have a harmonic Gauss map. We present а classification of matrix superpotentials that correspond to exactly solvable systems of Schrodinger equations. Superpotentials of the following form are considered: $W_k = kQ + P \frac 1k$, where $k$ is a parameter and $P, Q$ and $R$ are Hermitian matrices that depend on a variable $x$. The list of three-dimensional matrix superpotentials is explicitly presented. Представлена классификация матричных суперпотенциалов, которые соответствуют точно решаемым системам уравнений Шредингера. Рассмотрены суперпотенциалы вида $W_k = kQ + P \frac 1k$, где $k$ — параметр, $P, Q$ и $R$ — эрмитовые матрицы, зависящие от переменной $x$. Список трехмерных матричных суперпотенциалов приведен в явном виде. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2688 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 12 (2012); 1641-1640 Український математичний журнал; Том 64 № 12 (2012); 1641-1640 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2688/2134 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2688/2135 Copyright (c) 2012 Karadzhov Yu. A. |
| spellingShingle | Karadzhov, Yu. A. Караджов, Ю. А. Three-Dimensional Matrix Superpotentials |
| title | Three-Dimensional Matrix Superpotentials |
| title_alt | Тривимірні матричні суперпотенціали |
| title_full | Three-Dimensional Matrix Superpotentials |
| title_fullStr | Three-Dimensional Matrix Superpotentials |
| title_full_unstemmed | Three-Dimensional Matrix Superpotentials |
| title_short | Three-Dimensional Matrix Superpotentials |
| title_sort | three-dimensional matrix superpotentials |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2688 |
| work_keys_str_mv | AT karadzhovyua threedimensionalmatrixsuperpotentials AT karadžovûa threedimensionalmatrixsuperpotentials AT karadzhovyua trivimírnímatričnísuperpotencíali AT karadžovûa trivimírnímatričnísuperpotencíali |