Representations of Algebras Defined by a Multiplicative Relation and Corresponding to the Extended Dynkin Graphs $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$
We describe, up to unitary equivalence, all $k$-tuples $(A_1, A_2,..., A_k)$ of unitary operators such that $A^{n_i}_i = I$ for $i = \overline{1, k}$ and $A_1 A_2 ... A_k = \lambda I$, where the parameters $(n_1,... ,n_k)$ correspond to one of the extended Dynkin diagrams $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2689 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508637311533056 |
|---|---|
| author | Livins'kyi, I. V. Radchenko, D. V. Лівінський, І. В. Радченко, Д. В. |
| author_facet | Livins'kyi, I. V. Radchenko, D. V. Лівінський, І. В. Радченко, Д. В. |
| author_sort | Livins'kyi, I. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:55Z |
| description | We describe, up to unitary equivalence, all $k$-tuples $(A_1, A_2,..., A_k)$ of unitary operators such that $A^{n_i}_i = I$ for $i = \overline{1, k}$
and $A_1 A_2 ... A_k = \lambda I$, where the parameters $(n_1,... ,n_k)$ correspond to one of the extended Dynkin diagrams $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$, and $\lambda \in \mathbb{C}$ is a fixed root of unity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98
I. В. Лiвiнський, Д. В. Радченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР,
ЗАДАНИХ МУЛЬТИПЛIКАТИВНИМ СПIВВIДНОШЕННЯМ,
ЩО ВIДПОВIДАЮТЬ РОЗШИРЕНИМ ГРАФАМ ДИНКIНА D̃4, Ẽ6, Ẽ7, Ẽ8
We describe, up to unitary equivalence, all k-tuples (A1, A2, . . . , Ak) of unitary operators such that Ani
i = I for i = 1, k
and A1A2 . . . Ak = λI, where the parameters (n1, . . . , nk) correspond to one of the extended Dynkin diagrams D̃4, Ẽ6,
Ẽ7, Ẽ8, and λ ∈ C is a fixed root of unity.
Описываются с точностью до унитарной эквивалентности неприводимые системы (A1, A2, . . . , Ak), состоящие из
k унитарных операторов, таких, что Ani
i = I, i = 1, k, и A1A2 . . . Ak = λI, где набор (n1, . . . , nk) cоответствует
одному из расширенных графов Дынкина D̃4, Ẽ6, Ẽ7, Ẽ8, а число λ ∈ C является некоторым фиксированным
корнем из единицы.
1. Вступ. Позначимо через Tn1,n2,...,nk
граф, що є об’єднанням k ланцюгiв довжин n1, n2, . . . , nk
вiдповiдно, якi з’єданi в однiй вершинi, що є спiльним кiнцем усiх ланцюгiв (пiд довжиною
ланцюга тут мається на увазi кiлькiсть вершин). Наприклад, T2,2,2,2 — це чотирикутна зiрка. З
кожним графом Γ = Tn1,n2,...,nk
пов’яжемо однопараметричну сiм’ю ∗-алгебр
AΓ(λ) = C〈a1, . . . , ak|a1a
∗
1 = . . . = aka
∗
k = an1
1 = . . . = ank
k = 1, a1 . . . ak = λ · 1〉,
де λ ∈ S1 — параметр (тут i далi через S1 позначено множину комплексних чисел одиничної
норми).
Дослiдження зображень алгебр AΓ(λ) є мультиплiкативним аналогом задач про зображення
сiмей адитивно пов’язаних самоспряжених операторiв iз додатковими умовами на спектр (див.,
наприклад, [1 – 3]). Крiм того, ця задача пов’язана з класичним результатом [4] вiдносно зоб-
раження унiтарних операторiв у виглядi добутку чотирьох унiтарних iнволюцiй, а також його
узагальненнями (див. [5, 6]).
У цiй роботi ми описуємо всi незвiднi ∗-зображення алгебр AΓ(λ) обмеженими лiнiйними
операторами у випадку, коли Γ є одним iз чотирьох розширених графiв Динкiна D̃4, Ẽ6, Ẽ7,
Ẽ8, а λ — коренем з одиницi. Як буде доведено далi, всi такi зображення є скiнченновимiрними.
Бiльше того, взявши визначник обох сторiн мультиплiкативного спiввiдношення в означеннi
алгебр, переконаємось, що скiнченновимiрнi зображення AΓ(λ) iснують лише тодi, коли λ є
коренем з одиницi. Для кожного λ, що не є коренем з одиницi, ми також вказуємо нескiнченну
сiм’ю незвiдних нескiнченновимiрних зображень.
Зауважимо, що образи елементiв ai автоматично будуть унiтарними операторами, а отже,
опис незвiдних зображень алгебри AΓ(λ) еквiвалентний опису незвiдних систем з k унiтарних
операторiв A1, A2, . . . , Ak, що задовольняють спiввiдношення An1
1 = I, An2
2 = I, . . . , Ank
k = I,
A1A2 . . . Ak = λI.
Скiнченновимiрнi зображення всiх алгебр A = AΓ(λ) будемо будувати за однаковою схе-
мою. В кожнiй алгебрi A ми вводимо самоспряжену пiдалгебру B таку, що A = B[a1] i всi
незвiднi зображення B скiнченновимiрнi i легко знаходяться. Далi доводимо, що всi незвiднi
зображення A скiнченновимiрнi. Кожне незвiдне зображення π алгебри A в гiльбертовому
c© I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, Д. В. РАДЧЕНКО, 2012
1654 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР, ЗАДАНИХ МУЛЬТИПЛIКАТИВНИМ СПIВВIДНОШЕННЯМ . . . 1655
просторi H, при обмеженнi на B, розпадається в пряму суму незвiдних зображень B. Викорис-
товуючи явний вигляд таких зображень i те, що an1
1 = 1, знаходимо формули для π.
Альтернативний пiдхiд до опису зображень AΓ(λ) дає теорiя Маккi зображень розширень
груп (див., наприклад, [7], §13.3). В цьому випадку замiсть алгебри AΓ(λ) при λn = 1 розгля-
дається група
GΓ,n = 〈a1, . . . , ak, e | ani
i = 1, a1 . . . ak = e, eai = aie, e
n = 1〉.
При цьому незвiднi зображення AΓ(λ) вiдповiдають незвiдним унiтарним зображенням GΓ,n.
Крiм того, пiдалгебра B вiдповiдає нормальнiй пiдгрупi H � GΓ,n такiй, що фактор-група
GΓ,n/H є скiнченною. Таким чином, група GΓ,n є скiнченним розширенням групи H, i можна
побудувати її незвiднi зображення виходячи з незвiдних зображеньH.У цiй роботi ми не будемо
використовувати теорiю Маккi, натомiсть будуємо зображення за допомогою пiдалгебри B.
Нам знадобляться деякi допомiжнi твердження. Далi скрiзь через [u, v] позначатимемо муль-
типлiкативний комутатор uvu−1v−1 вiд оборотних елементiв u, v. Доведення наступної теореми
можна знайти, наприклад, у [8, с. 254].
Теорема 1. Довiльна незвiдна пара U, V унiтарних операторiв, якi задовольняють умову
[U, V ] = µI для деякого фiксованого µ ∈ S1, що є первiсним коренем з одиницi степеня n,
унiтарно еквiвалентна однiй iз пар
U = α
1 0 · · · 0
0 µ · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · µn−1
, V = β
0 · · · 0 1
1 · · · 0 0
...
. . .
...
...
0 · · · 1 0
, (1)
де α, β ∈ S1 — параметри. Двi пари (α, β), (α′, β′) задають унiтарно еквiвалентнi зображення
тодi i тiльки тодi, коли (α/α′)n = (β/β′)n = 1.
Оператори у правих частинах формул (1) позначимо через Uα, Vβ. Введемо також позначен-
ня
Wγ = γ
0 µn−1 0 · · · 0
0 0 µn−2 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · µ
1 0 0 · · · 0
, Sσ = σ
0 0 · · · 0 µ
1 0 · · · 0 0
0 µn−1 · · · 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · µ2 0
. (2)
Для всiх α, β, γ ∈ S1 виконуються рiвностi UαVβWγ = αβγI, WγVβUα = µ−1αβγI,
VβU
∗
α = Sα−1β. Наведемо деякi необхiднi твердження щодо еквiвалентностi систем таких опе-
раторiв.
Теорема 2. Нехай α, β, γ ∈ S1, тодi:
1) трiйки
(
U−1
α , V −1
β ,W−1
γ
)
i
(
Uα−1 , Vβ−1 ,Wµγ−1
)
унiтарно еквiвалентнi;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1656 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, Д. В. РАДЧЕНКО
2) трiйки
(
Uα, Vβ,Wγ
)
,
(
Wδ−1α, Uβ, Vδγ
)
,
(
Vα,Wδ−1β, Uδγ
)
унiтарно еквiвалентнi для кож-
ного δ ∈ S1 такого, що δn = (−1)n−1;
3) четвiрки
(
Uα, Vβ, U
∗
γ , V
∗
δ
)
,
(
V ∗α−1 , Uβ, Vγ−1 , U∗δ
)
,
(
U∗α−1 , V
∗
β−1 , Uγ−1 , Vδ−1
)
,
(
Vα, U
∗
β−1 , V
∗
γ ,
Uδ−1
)
унiтарно еквiвалентнi для всiх α, β, γ, δ ∈ S1;
4) шiстки
(
Uα, Vβ, Sσ, U
∗
α′ , V
∗
β′ , S
∗
σ′
)
,
(
S∗δα−1 , Uβ, Vδσ, Sδα′−1 , U∗β′ , V
∗
δσ′
)
,
(
V ∗δ2α−1 , S
∗
δβ−1 ,
Uδσ, Vδ2α′−1 , Sδβ′−1 , U∗δσ′
)
,
(
U∗δ2α−1 , V
∗
δ2β−1 , S
∗
σ−1 , Uδ2α′−1 , Vδ2β′−1 , Sσ′−1
)
,
(
Sδ−1α, U
∗
δ2β−1 , V
∗
δσ−1 ,
S∗δ−1α′ , Uδ2β′−1 , Vδσ′−1
)
,
(
Vα, Sδ−1β, U
∗
δσ−1 , V
∗
α′ , S
∗
δ−1β′ , Uδσ′−1
)
унiтарно еквiвалентнi для всiх α,
β, σ, α′, β′, σ′ ∈ S1 i δ ∈ S1 такого, що δn = (−1)n−1.
Доведення. Розглянемо оператори Uα, Vβ, Wγ , Sσ детальнiше.
1. Оператор Uα має власнi вектори
uk = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), k = 0, n− 1,
що вiдповiдають власним числам αµk. Крiм того, Vβuk = βuk+1, Wγuk = γµ−kuk−1. Таким
чином, у новiй базi {u0, un−1, . . . , u1} оператори U−1
α , V −1
β , W−1
γ запишуться як Uα−1 , Vβ−1 ,
Wµγ−1 вiдповiдно.
2. Оператор Vβ має власнi вектори
vk =
1√
n
(
δ−kµ−(k2), δ−kµ−k−(k2), . . . , δ−kµ−(n−1)k−(k2)
)
, k = 0, n− 1,
що вiдповiдають власним числам βµk. Оскiльки
δ−n−kµ−(n+k
2 ) = δ−kµ−(k2) для всiх k ∈ Z,
безпосередньою перевiркою встановлюємо, що Wγvk = δγvk+1. Таким чином, у новiй базi
{v0, . . . , vn−1} оператори Vβ,Wγ запишуться як Uβ i Vδγ . Для останньої трiйки доведення
аналогiчне.
3. Оператори Vβ, V ∗δ мають власнi вектори
vk =
1√
n
(
1, µ−k, . . . , µ−(n−1)k
)
, k = 0, n− 1,
що вiдповiдають власним числам βµk i δµ−k вiдповiдно. Таким чином, у новiй базi {v0, . . . , vn−1}
оператори Vβ i V ∗δ запишуться як Uβ, U∗δ вiдповiдно. Далi,
Uαvk =
α√
n
(
1, µ−(k−1), . . . , µ−(n−1)(k−1)
)
= αvk−1,
тому Uα запишеться як V ∗α−1 . Аналогiчно для U∗γ i двох iнших четвiрок.
4. Оператор Vβ має власнi вектори
vk =
1√
n
(
δ−kµ(k2), δ−kµ−k+(k2), . . . , δ−kµ−(n−1)k+(k2)
)
, k = 0, n− 1,
що вiдповiдають власним числам βµk. Крiм того,
Uαvk =
α√
n
(
δ−kµ(k2), δ−kµ1−k+(k2), . . . , δ−kµ−(n−1)(k−1)+(k2)
)
= δ−1αµk−1vk−1
i
Sσvk =
σ√
n
(
δ−kµ−(n−1)(k+1)+(k2), δ−kµ(k2), . . . , δ−kµ−(n−2)(k+1)+(k2)
)
= δσvk+1.
Таким чином, у новiй базi {v0, v1, . . . , vn−1} оператори Uα, U∗α′ , Vβ, V
∗
β′ , Sσ, S
∗
σ′ запишуться
як S∗δα−1 , Sδα′−1 , Uβ, U
∗
β′ , Vδσ, V
∗
δσ′ вiдповiдно. Для iнших шiсток доведення аналогiчнi.
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР, ЗАДАНИХ МУЛЬТИПЛIКАТИВНИМ СПIВВIДНОШЕННЯМ . . . 1657
Для довiльного зображення π образ π(x) елемента x, де x = a, b, c, d, u, v, w, s, t, будемо
позначати вiдповiдною великою лiтерою X. Лiтерами α, β, γ, δ, ζ, λ, µ, σ позначатимемо лише
комплекснi числа з одиничного кола. Означимо також функцiю e : R→ S1, e(x) = exp(2πix).
Для параметризацiї зображень алгебр A
Ẽ6
i A
Ẽ8
нам знадобляться значення деяких гауссо-
вих сум. Позначимо
G(m,n) =
n−1∑
j=0
e
(
mj2
n
)
для натуральних взаємно простих m, n. Справджуються наступнi формули [9]:
G(m,n) =
0, n ≡ 2 (mod 4),
√
n
(m
n
)
, n ≡ 1 (mod 4),
e
(
1
4
)
√
n
(m
n
)
, n ≡ 3 (mod 4),
e
(
1
8
)
√
n
( n
m
)
, n ≡ 0, m ≡ 1 (mod 4),
e
(
−1
8
)
√
n
( n
m
)
, n ≡ 0, m ≡ 3 (mod 4),
де
(m
n
)
позначає символ Якобi.
2. Зображення алгебри AD̃4
(λ). Нехай Γ = D̃4 = T2,2,2,2. Розглянемо ∗-алгебру A =
= AΓ(λ) :
A = C〈a, b, c, d|aa∗ = bb∗ = cc∗ = dd∗ = a2 = b2 = c2 = d2 = 1, abcd = λ · 1〉.
Позначимо унiтарнi елементи u = ac, v = cb, w = ba в A. Тодi uvw = 1 i
[u, v] = uvu−1v−1 = ac · cb · ca · bc = (abc)2 = λ2 · 1,
[v, w] = vwv−1w−1 = cb · ba · bc · ab = (cab)2 = λ2 · 1,
[w, u] = wuw−1u−1 = ba · ac · ab · ca = (bca)2 = λ2 · 1.
Нехай µ = λ2 i B — самоспряжена пiдалгебра A, породжена елементами u, v, w. Тодi справд-
жується наступна лема, що випливає з теореми 1.
Лема 1. Довiльне незвiдне зображення (U, V,W ) алгебри B унiтарно еквiвалентне одному
з наступних:
U = Uα, V = Vβ, W = Wγ ,
де α, β, γ ∈ S1, αβγ = 1, — деякi числа. Двi трiйки (α, β, γ), (α′, β′, γ′) задають унiтарно
еквiвалентнi зображення тодi i тiльки тодi, коли (α/α′)n = (β/β′)n = (γ/γ′)n = 1.
Тут i далi двi трiйки вигляду (α, β, γ) будемо вважати еквiвалентними, якщо вони задають
унiтарно еквiвалентнi зображення алгебри B.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1658 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, Д. В. РАДЧЕНКО
Лема 2. Довiльне незвiдне зображення алгебри A є скiнченновимiрним.
Доведення. Розглянемо незвiдне зображення алгебри A в гiльбертовому просторi H. Зi
спiввiдношень в алгебрi B випливає, що оператори Un, V n, Wn комутують з усiєю алгеброю B
(де µn = 1). Оскiльки спряження оператором A змiнює кожний з U, V, W на обернений, Un +
+U−n комутує з A, а отже, є скалярним. Таким чином, U2n−c0U
n+1 = 0 i аналогiчнi рiвностi
виконуються для V,W. Тодi неважко перевiрити, що для довiльного вектора x ∈ H вектори{
U iV jW kx|i, j, k ∈ 0, 2n− 1
}
породжують скiнченновимiрний пiдпростiр H0, iнварiантний
вiдносно B. Тодi H0 +A(H0) буде iнварiантним вiдносно A.
Лему 2 доведено.
Зауважимо, що скiнченновимiрнiсть зображень в трьох iнших алгебрах доводиться анало-
гiчно.
Нехай π — незвiдне зображення алгебри A в гiльбертовому просторi H. Обмеження π на
пiдалгебру B розпадається в пряму суму незвiдних зображень B. Нехай H1 — один iз мiнiмаль-
них iнварiантних вiдносно B пiдпросторiв i π1 — вiдповiдне зображення B в цьому просторi.
Iндуктивно позначимо Hk+1 = A(Hk), Ak = A|Hk
. За iндукцiєю неважко показати, що кож-
ний пiдпростiр Hk є iнварiантним вiдносно B. Дiйсно, припустимо, що Hk — iнварiантний
пiдпростiр. Тодi U(Hk+1) = UA(Hk) = AVW (Hk) = A(Hk) = Hk+1. Аналогiчно, Hk+1 є
iнварiантним для V i W, а тому i для всiх операторiв, що зображують B. Таким чином, можемо
означити незвiднi зображення πk алгебри B у просторах Hk.
Оскiльки A2 = I, отримуємо H3 = H1, i серед просторiв Hk є щонайбiльше два рiзних.
Простiр H1 +H2 є iнварiантним для всiєї алгебри A, звiдки H = H1 +H2.
Зафiксуємо в кожному просторi Hk базу так, щоб матрицi обмежень операторiв U, V, W на
Hk записувались за допомогою формул (1), (2) для деяких αk, βk, γk ∈ S1, αkβkγk = 1.
З рiвнянь au = u−1a, av−1 = µva, wa = aw−1 отримуємо
AkUαk
= U−1
αk+1
Ak,
AkV
−1
βk
= µVβk+1
Ak, (3)
AkW
−1
γk
= Wγk+1
Ak.
Зафiксуємо k i позначимо Ak = (aij)
n−1
i,j=0 (для зручностi ми скрiзь рахуємо рядки i стовпчики
з нуля). Тодi
aij = αkαk+1µ
i+jaij ,
aij = βkβk+1µai−1,j+1, (4)
aij = γkγk+1µ
−1−i−jai+1,j−1.
Зокрема, (αkαk+1)n = (βkβk+1)n = (γkγk+1)n = 1. Таким чином, всi трiйки (αk, βk, γk) зна-
ходяться з точнiстю до еквiвалентностi з першої трiйки (α1, β1, γ1), яку далi будемо позначати
просто (α, β, γ). Розглянемо два випадки.
Припустимо, що H1 = H2 i π — зображення розмiрностi n. У цьому випадку
(αn, βn, γn) = (1, 1, 1), (1,−1,−1) (−1,−1, 1), (−1, 1,−1). (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР, ЗАДАНИХ МУЛЬТИПЛIКАТИВНИМ СПIВВIДНОШЕННЯМ . . . 1659
Якщо n є непарним, можна вважати, що
(αn, βn, γn) = (α, β, γ) i
(
α2, β2, γ2
)
= (1, 1, 1).
Використовуючи рiвняння (4), знаходимо оператор A :
A = ±
1 0 . . . 0
0 0 . . . µ
...
... . .
. ...
0 µn−1 . . . 0
.
Якщо n є парним, можна вибрати
(α, β, γ) = (1, 1, 1), (1, λ, λ−1), (λ, 1, λ−1), (λ, λ−1, 1).
Для кожної з цих трiйок аналогiчно конструюємо по два нееквiвалентних зображення. Всього
iснує вiсiм зображень розмiрностi n.
Припустимо, що H1 6= H2. Змiнимо базу в просторi H2 так, щоб замiнити трiйку (Uα2 , Vβ2 ,
Wγ2) на еквiвалентну їй (U−1
α , V −1
µβ ,W
−1
γ ). В цiй базi оператор A1 стає скалярним. Тому, ще
трохи зсунувши базу в H2, можемо вважати далi, що A1 = I. Оскiльки A2 = I, звiдси
отримуємо A2 = I i
A =
(
0 I
I 0
)
.
Якщо (αn, βn, γn) є однiєю iз трiйок (5), зображення розшаровується на два n-вимiрних,
що описанi ранiше. Трiйки (α, β, γ), (α′, β′, γ′) задають еквiвалентнi зображення A, якщо
(αn, βn, γn) = (α′n, β′n, γ′n), або (αn, βn, γn) = (α′−n, β′−n, γ′−n). У противному разi вiд-
повiднi оператори U мають рiзнi множини власних значень i зображення нееквiвалентнi.
Для зручностi пiдсумуємо отриманi результати в двох теоремах вiдповiдно до парностi n.
Теорема 3. Кожне незвiдне зображення алгебри A
D̃4
(λ), де µ = λ2 — первiсний корiнь
степеня n (n є непарним), з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi збiгається з одним iз
наступних зображень π(k) =
(
A(k), B(k), C(k), D(k)
)
, k = 1, 9 :
вiсiм n-вимiрних зображень
A(k) = ±
1 0 · · · 0
0 0 · · · µ
...
... . .
. ...
0 µn−1 · · · 0
, B(k) = ±γ
0 · · · 0 1
0 · · · 1 0
... . .
. ...
...
1 · · · 0 0
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1660 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, Д. В. РАДЧЕНКО
C(k) = ±α
1 0 · · · 0
0 0 · · · 1
...
... . .
. ...
0 1 · · · 0
, D(k) = ±β
0 λ2n−1 0 · · · 0
λ 0 0 · · · 0
0 0 0 · · · λ3
...
...
... . .
. ...
0 0 λ2n−3 · · · 0
,
де (α, β, γ) = (1, 1, 1) для k = 1, 2, (α, β, γ) = (1,−1,−1) для k = 3, 4, (α, β, γ) = (−1,−1, 1)
для k = 5, 6 i (α, β, γ) = (−1, 1,−1) для k = 7, 8;
двовимiрна сiм’я 2n-вимiрних зображень
A(9) =
(
0 I
I 0
)
, B(9) =
(
0 Wγ
W ∗γ 0
)
,
C(9) =
(
0 U∗α
Uα 0
)
, D(9) =
(
0 Vλβ
V ∗λβ 0
)
,
де α = e(x), β = e(εy), γ = (αβ)−1, 0 ≤ x, y ≤ 1
2n
, ε = ±1 при 0 < x, y <
1
2n
i
ε = 0 у протилежному випадку, (x, y, ε) 6= (0, 0, 0),
(
0,
1
2n
, 0
)
,
(
1
2n
,
1
2n
, 0
)
,
(
1
2n
, 0, 0
)
. При
(x, y, ε) = (0, 0, 0) зображення π(9) є звiдним i розпадається в пряму суму зображень π(1), π(2),
при (x, y, ε) =
(
0,
1
2n
, 0
)
— в пряму суму зображень π(3), π(4), при (x, y, ε) =
(
1
2n
,
1
2n
, 0
)
— в пряму суму зображень π(5), π(6), при (x, y, ε) =
(
1
2n
, 0, 0
)
— в пряму суму зображень
π(7), π(8).
Теорема 4. Кожне незвiдне зображення алгебри A
D̃4
(λ), де µ = λ2 — первiсний корiнь
степеня n (n є парним), з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi збiгається з одним iз
наступних зображень π(k) =
(
A(k), B(k), C(k), D(k)
)
, k = 1, 9 :
чотири n-вимiрних зображення
A(k) = ±
1 0 · · · 0
0 0 · · · µβ2
...
... . .
. ...
0 (µβ2)n−1 · · · 0
, B(k) = ±
0 · · · 0 β
0 · · · β3 0
... . .
. ...
...
β2n−1 · · · 0 0
,
C(k) = ±
1 0 · · · 0
0 0 · · · β2
...
... . .
. ...
0 β2(n−1) · · · 0
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР, ЗАДАНИХ МУЛЬТИПЛIКАТИВНИМ СПIВВIДНОШЕННЯМ . . . 1661
D(k) = ±
0 (λβ)2n−1 0 · · · 0
λβ 0 0 · · · 0
0 0 0 · · · (λβ)3
...
...
... . .
. ...
0 0 (λβ)2n−3 · · · 0
,
де β = 1 для k = 1, 2 i β = λ для k = 3, 4;
чотири n-вимiрних зображення
A(k) = ±
0 · · · 0 λβ
0 · · · (λβ)3 0
... . .
. ...
...
(λβ)2n−1 · · · 0 0
, B(k) = ±
0 · · · β2 0
... . .
. ...
...
β2n−2 · · · 0 0
0 · · · 0 1
,
C(k) = ±
0 · · · 0 β
0 · · · β3 0
... . .
. ...
...
β2n−1 · · · 0 0
, D(k) = ±
1 0 · · · 0
0 0 · · · µβ2
...
... . .
. ...
0 (µβ2)n−1 · · · 0
,
де β = 1 для k = 5, 6 i β = λ−1 для k = 7, 8;
двовимiрна сiм’я 2n-вимiрних зображень
A(9) =
(
0 I
I 0
)
, B(9) =
(
0 Wγ
W ∗γ 0
)
,
C(9) =
(
0 U∗α
Uα 0
)
, D(9) =
(
0 Vλβ
V ∗λβ 0
)
,
де α = e(x), β = e(εy), γ = (αβ)−1, 0 ≤ x, y ≤ 1
2n
, ε = ±1 при 0 < x, y <
1
2n
i ε = 0 у
протилежному випадку, (x, y, ε) 6= (0, 0, 0),
(
0,
1
2n
, 0
)
,
(
1
2n
,
1
2n
, 0
)
,
(
1
2n
, 0, 0
)
.
При (x, y, ε) = (0, 0, 0) зображення π(9) є звiдним i розпадається в пряму суму зображень
π(1), π(2), при (x, y, ε) =
(
0,
1
2n
, 0
)
— в пряму суму зображень π(3), π(4), при (x, y, ε) =
=
(
1
2n
,
1
2n
, 0
)
— в пряму суму зображень π(5), π(6), при (x, y, ε) =
(
1
2n
, 0, 0
)
— в суму
π(7), π(8).
В обох випадках проекцiя множини змiни параметрiв 2n-вимiрних зображень на площину
xy має вигляд, зображений на рис. 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1662 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, Д. В. РАДЧЕНКО
0
1/2n
x
y
1/2n
Рис. 1
3. Зображення алгебри AẼ6
(λ). Нехай Γ = Ẽ6 = T3,3,3. Розглянемо ∗-алгебруA = AΓ(λ) :
A = C〈a, b, c|aa∗ = bb∗ = cc∗ = a3 = b3 = c3 = 1, abc = λ · 1〉.
Позначимо u = a2b, v = aba, w = ba2. Виконуються наступнi спiввiдношення:
uvw = a2b · aba · ba2 = a(ababab)a2 = a · λ3 · a2 = λ3 · 1,
[u, v] = uvu−1v−1 = a2b · aba · b2a · a2b2a2 = a2b · aba · ba2 = λ3 · 1,
(6)
[v, w] = vwv−1w−1 = aba · ba2 · a2b2a2 · ab2 = aba · ba2 · a2b = λ3 · 1,
[w, u] = wuw−1u−1 = ba2 · a2b · ab2 · b2a = b2a · a2b · aba = λ3 · 1.
З означення елементiв u, v, w очевидним чином випливають також рiвностi
v = a−1ua, w = a−1va, u = a−1wa. (7)
Позначимо µ = λ3 ∈ S1. Нехай B — пiдалгебра, породжена елементами u, v, w. Очевидно,
A = B[a], i елемент a, крiм спiввiдношень (7), задовольняє лише умову a3 = 1.
Знайдемо всi незвiднi зображення B. Очевидно, що w однозначно знаходиться iз u, v за
формулою w = µv−1u−1. Єдиним спiввiдношенням мiж u i v є умова на комутатор [u, v] = µ ·1.
Лема 3. Довiльне незвiдне зображення (U, V,W ) алгебри B унiтарно еквiвалентне одному
з наступних:
U = Uα, V = Vβ, W = Wγ ,
де α, β, γ ∈ S1, αβγ = µ, — деякi числа. Двi трiйки (α, β, γ), (α′, β′, γ′) задають унiтарно
еквiвалентнi зображення тодi i тiльки тодi, коли (α/α′)n = (β/β′)n = (γ/γ′)n = 1.
Припустимо, що µ — первiсний корiнь з одиницi степеня n. Нехай π — незвiдне зображення
алгебри A в гiльбертовому просторi H. Як i при доведеннi леми 2, показуємо, що простiр H є
скiнченновимiрним. При обмеженнi на B зображення π розпадається в пряму суму незвiдних
зображень. Нехай π1 — одне з таких зображень у просторi H1 ⊆ H. Позначимо Hk+1 = A(Hk),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР, ЗАДАНИХ МУЛЬТИПЛIКАТИВНИМ СПIВВIДНОШЕННЯМ . . . 1663
Ak = A|Hk
. За iндукцiєю доводимо, що кожний простiр Hk є iнварiантним для B. Аналогiчно
вводимо незвiднi зображення πk в цих просторах.
Оскiльки A3 = I, то H4 = H1, i серед просторiв Hk є щонайбiльше три рiзних. Очевидно,
що простiрH1 +H2 +H3 є iнварiантним для всiєї алгебри A. Таким чином,H = H1 +H2 +H3.
Виберемо в кожному просторi Hk базу так, щоб оператори U |Hk
, V |Hk
, W |Hk
записувались
в нiй формулами (1), (2) iз α = αk, β = βk, γ = γk, де αkβkγk = µ.
Зафiксуємо k i позначимо Ak = (aij)
n−1
i,j=0, тодi iз спiввiдношень
Uαk+1
Ak = AkVβk ,
Vβk+1
Ak = AkWγk , (8)
Wγk+1
Ak = AkUαk
отримуємо
ai,j+1 = αk+1β
−1
k µiaij ,
ai+1,j = αkγ
−1
k+1µ
i+j+1aij ,
(9)
звiдки випливає, що всi трiйки (αk, βk, γk), з точнiстю до еквiвалентностi, отримуються з
першої трiйки (α1, β1, γ1), яку ми будемо позначати далi просто (α, β, γ), за правилом
(αnk+1, β
n
k+1, γ
n
k+1) =
(
βnk , (−1)n−1γnk , (−1)n−1αnk
)
. (10)
З цiєї рiвностi випливає, що параметри (αk, βk, γk) або попарно нееквiвалентнi, або всi
еквiвалентнi (α, β, γ). Таким чином, або H = H1 = H2 = H3 i dimH = n, або H = H1⊕H2⊕
⊕H3 i dimH = 3n. Розглянемо цi два випадки.
Нехай dim H = n. Тодi трiйка (α, β, γ) задовольняє умови
αn = βn = (−1)n−1γn, αβγ = µ.
Ми можемо вибрати β = α i γ = µα−2. Число α задовольняє умову α3n = (−1)n−1. Таким
чином, з точнiстю до еквiвалентностi iснують три попарно нееквiвалентнi допустимi трiйки
(α, β, γ).
Розв’язуючи рiвняння (9), отримуємо
A =
ζ√
n
(
α3iµij+(i
2)
)n−1
i,j=0
для деякого ζ 6= 0. Залишилося показати, що можна пiдiбрати ζ так, щоб виконувалась умова
A3 = I. Оскiльки
A2 =
ζ2
n
[
n−1∑
k=0
α3kµ(k2)
](
α−3jµ−ij−(j2)
)n−1
i,j=0
=
ζ3
√
n
[
n−1∑
k=0
α3kµ(k2)
]
A∗,
знаходимо ζ3 =
1√
n
∑n−1
k=0
α−3kµ−(k2).
Припустимо спочатку, що αn = (−1)n−1. Якщо n є парним, покладемо α = e
(m
2n
)
, тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1664 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, Д. В. РАДЧЕНКО
n−1∑
k=0
α3kµ(k2) =
n−1∑
k=0
e
(
mk2 + 2mk
2n
)
= α−1
n∑
k=1
e
(
mk2
2n
)
= α−1
n−1∑
k=0
e
(
mk2
2n
)
=
=
α−1
2
G(m, 2n) = α−1
(
2n
m
)√
n×
e
(
1
8
)
, m ≡ 1 (mod 4),
e
(
−1
8
)
, m ≡ 3 (mod 4).
Якщо n є непарним, а m — парним, знову покладемо α = e
(m
2n
)
, тодi
n−1∑
k=0
α3kµ(k2) =
n−1∑
k=0
e
(
mk2 + 2mk
2n
)
= α−1
n−1∑
k=0
e
(
m/2 · k2
n
)
=
= α−1G(m/2, n) = α−1
(
m/2
n
)√
n×
1, n ≡ 1 (mod 4),
e
(
1
4
)
, n ≡ 3 (mod 4).
Якщо n i m є непарними, покладемо α = −e
(m
2n
)
= e
(
n+m
2n
)
, тодi
n−1∑
k=0
α3kµ(k2) =
n−1∑
k=0
e
(
mk2 + 2mk + 3nk
2n
)
= α−1
n−1∑
k=0
e
(
(m+ n)/2 · k2
n
)
=
= α−1G((m+ n)/2, n) = α−1
(
(m+ n)/2
n
)√
n×
1, n ≡ 1 (mod 4),
e
(
1
4
)
, n ≡ 3 (mod 4).
Нехай тепер αn = (−1)n−1e
(
1
3
)
. Якщо n не дiлиться на 3, ми замiнимо попереднє значен-
ня α на αe
(n
3
)
, аналогiчно для αn = (−1)n−1e
(
2
3
)
.
Якщо n дiлиться на три, виникає ще кiлька випадкiв. Якщо n є парним i m ≡ 5 (mod 6),
покладемо α = e
(m
6n
)
. Тодi
n−1∑
k=0
α3kµ(k2) =
n−1∑
k=0
e
(
mk2
2n
)
=
1
2
G(m, 2n).
Якщо n є парним i m ≡ 1 (mod 6), покладемо α = e
(
−m
6n
)
. Тодi
n−1∑
k=0
α3kµ(k2) =
n−1∑
k=0
e
(
mk2 − 2mk
2n
)
=
α3
2
G(m, 2n).
Якщо n є непарним i m ≡ 2 (mod 6), знову вiзьмемо α = e
(m
6n
)
, тодi
n−1∑
k=0
α3kµ(k2) =
n−1∑
k=0
e
(
mk2
2n
)
=
n−1∑
k=0
e
(
m/2 · k2
n
)
= G(m/2, n).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР, ЗАДАНИХ МУЛЬТИПЛIКАТИВНИМ СПIВВIДНОШЕННЯМ . . . 1665
Якщо n є непарним i m ≡ 4 (mod 6), покладемо α = e
(
−m
6n
)
, тодi
n−1∑
k=0
α3kµ(k2) =
n−1∑
k=0
e
(
mk2 − 2mk
2n
)
= α3
n−1∑
k=0
e
(
m/2k2
n
)
= α3G(m/2, n).
Якщо n є непарним i m ≡ 1 (mod 6), покладемо α = e
(
n+m
6n
)
, тодi
n−1∑
k=0
α3kµ(k2) =
n−1∑
k=0
e
(
mk2 + nk
2n
)
= G((m+ n)/2, n).
Якщо n є непарним i m ≡ 5 (mod 6), покладемо α = e
(
n−m
6n
)
, тодi
n−1∑
k=0
α3kµ(k2) =
n−1∑
k=0
e
(
mk2 − 2mk + nk
2n
)
= α3G((m+ n)/2, n).
Для випадку αn = (−1)n−1e
(
2
3
)
всi формули знаходимо аналогiчно.
Нехай теперH має розмiрнiсть 3n. Зафiксуємо довiльне δ таке, що δn = (−1)n−1. Вiдповiд-
но до спiввiдношень (10) можемо вважати, що будь-яка трiйка параметрiв (αk, βk, γk) збiгається
з однiєю iз наступних: (α, β, γ), (β, δγ, δ−1α), (δγ, α, δ−1β). Згiдно з теоремою 2 змiнимо базу
в просторах H2 i H3 так, щоб замiнити трiйки (Uα2 , Vβ2 ,Wγ2) i (Uα3 , Vβ3 ,Wγ3) на еквiвалентнi
їм (Vα, Wβ, Uγ), (Wα, Uβ, Vγ). В новiй базi оператори Ak стають скалярними. Ми ще трохи
повернемо базу в H2 i H3, щоб отримати A1 = A2 = I. Тодi з умови A3 = I випливає A3 = I.
Таким чином,
A =
0 0 I
I 0 0
0 I 0
.
Звiдси знаходимо також формули для B i C.
Якщо трiйка (α, β, γ) збiгається з однiєю з нерухомих трiйок, то оператори Uα, Vβ, Wγ
унiтарно еквiвалентнi. Припустимо, що Vβ = A′−1UαA
′, Wγ = A′−2UαA
′2 для унiтарного
оператора A′, що є розв’язком рiвнянь (8), A′3 = I. Тодi пiдпростiр{
(v,A′v,A′2v) | v ∈ H1
}
⊂ H1 ⊕H2 ⊕H3
є iнварiантним вiдносно всiх операторiв, i зображення π розшаровується в суму трьох n-
вимiрних.
В iншому випадку зображення алгебри B у пiдпросторах H1,H2,H3 попарно нееквiвалент-
нi, а отже, будь-який iнварiантний вiдносно B пiдпростiр повинен бути прямою сумою деяких
Hk, але серед таких пiдпросторiв лише H є iнварiантним вiдносно A, тому зображення дiйсно
є незвiдним.
Зауважимо також, що трiйки (α, β, γ), (α′, β′, γ′) задають еквiвалентнi 3n-вимiрнi зображен-
ня алгебри A, якщо (αn, βn, γn) = (α′n, β′n, γ′n), (αn, βn, γn) =
(
β′n, (−1)n−1γ′n, (−1)n−1α′n
)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1666 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, Д. В. РАДЧЕНКО
або (αn, βn, γn) =
(
(−1)n−1γ′n, α′n, (−1)n−1β′n
)
. У противному разi зображення нееквiвалент-
нi, бо вiдповiднi оператори U мають рiзнi набори власних значень.
Теорема 5. Кожне незвiдне зображення алгебри A
Ẽ6
(λ), де µ = λ3 = e
(m
n
)
, m i n є
взаємно простими, унiтарно еквiвалентне одному з наступних зображень π(k) =
(
A(k), B(k),
C(k)
)
, k = 1, 10 :
дев’ять зображень розмiрностi n
A(k) =
ζ√
n
(
α3iµij+(i
2)
)n−1
i,j=0
,
B(k) =
ζ√
n
(
α3i+1µ(i+1)j+(i
2)
)n−1
i,j=0
,
C(k) =
λζ√
n
(
α3i−1µi(j−1)+(i
2)
)n−1
i,j=0
;
зображення π(k), k = 1, 2, 3, отримуються при α = (−1)mne
(m
2n
)
, ζ3 = ασ, зображення
π(k), k = 4, 5, 6, — при
ζ3 = ασe
(
−n
3
)
, α = (−1)mne
(m
2n
+
n
3
)
, n ≡ 1, 2 (mod 3),
ζ3 = α−3σ, α = e
(
−m
6n
)
, n ≡ 0, m ≡ 1 (mod 6),
ζ3 = σ, α = e
(m
6n
)
, n ≡ 0, m ≡ 5 (mod 6),
ζ3 = α−3σ, α = e
(
n−m
6n
)
, n ≡ 3, m ≡ 1 (mod 6),
ζ3 = σ, α = e
(m
6n
)
, n ≡ 3, m ≡ 2 (mod 6),
ζ3 = α−3σ, α = e
(
−m
6n
)
, n ≡ 3, m ≡ 4 (mod 6),
ζ3 = σ, α = e
(
n+m
6n
)
, n ≡ 3, m ≡ 5 (mod 6);
зображення π(k), k = 7, 8, 9, отримуються при
ζ3 = ασe
(
−2n
3
)
, α = (−1)mne
(
m
2n
+
2n
3
)
, n ≡ 1, 2 (mod 3),
ζ3 = σ, α = e
(m
6n
)
, n ≡ 0, m ≡ 1 (mod 6),
ζ3 = α−3σ, α = e
(
−m
6n
)
, n ≡ 0, m ≡ 5 (mod 6),
ζ3 = σ, α = e
(
n+m
6n
)
, n ≡ 3, m ≡ 1 (mod 6),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР, ЗАДАНИХ МУЛЬТИПЛIКАТИВНИМ СПIВВIДНОШЕННЯМ . . . 1667
ζ3 = α−3σ, α = e
(
−m
6n
)
, n ≡ 3, m ≡ 2 (mod 6),
ζ3 = σ, α = e
(m
6n
)
, n ≡ 3, m ≡ 4 (mod 6),
ζ3 = α−3σ, α = e
(
n−m
6n
)
, n ≡ 3, m ≡ 5 (mod 6),
де
σ =
e
(
−1
8
)(
2n
m
)
, n парне, m ≡ 1 (mod 4),
e
(
1
8
)(
2n
m
)
, n парне, m ≡ 3 (mod 4),(
m/2
n
)
, n ≡ 1 (mod 4), m парне,(
(m+ n)/2
n
)
, n ≡ 1 (mod 4), m непарне,
e
(
−1
4
)(
m/2
n
)
, n ≡ 3 (mod 4), m парне,
e
(
−1
4
)(
(m+ n)/2
n
)
, n ≡ 3 (mod 4), m непарне;
двовимiрна сiм’я зображень розмiрностi 3n :
A(10) =
0 0 I
I 0 0
0 I 0
, B(10) =
0 0 Wγ
Uα 0 0
0 Vβ 0
,
C(10) =
0 0 U∗λ−1α
V ∗λ−1β 0 0
0 W ∗λ−1γ 0
,
де δ = (−1)mne
(m
2n
)
, α = δe(εx), β = δe(εy), γ = µ(αβ)−1, x ≤ y, 2x+ y ≥ 1
n
,
1
2
x+ y ≤ 1
n
,
ε = ±1 при x < y, 2x + y >
1
n
,
1
2
x + y <
1
n
i ε = 0 у протилежному випадку, (x, y, ε) 6=
6=
(
0,
1
n
, 0
)
,
(
1
3n
,
1
3n
, 0
)
,
(
2
3n
,
2
3n
, 0
)
.
При (x, y, ε) =
(
0,
1
n
, 0
)
зображення π(10) є звiдним i розпадається в пряму суму зоб-
ражень π(1) − π(3); при (x, y, ε) =
(
1
3n
,
1
3n
, 0
)
— в пряму суму зображень π(4) − π(6); при
(x, y, ε) =
(
2
3n
,
2
3n
, 0
)
— в пряму суму зображень π(7) − π(9). Проекцiя множини змiни
параметрiв на площину xy має вигляд, зображений на рис. 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1668 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, Д. В. РАДЧЕНКО
0
2/3n
1/3n
1/n2/3n1/3n
x
y
1/n
Рис. 2
4. Зображення алгебри AẼ7
(λ). Нехай Γ = Ẽ7 = T4,4,2,
A = A
Ẽ7
(λ) = C〈a, b, c | aa∗ = bb∗ = cc∗ = a4 = b4 = c2 = 1, abc = λ · 1〉.
Позначимо u = a3b, v = a2ba, w = aba2, t = ba3, twvu = 1. Виконуються наступнi спiввiдно-
шення:
[u, v] = uvu−1v−1 = a3b · a2ba · b3a · a3b3a2 = a3ba(abab)ba2 = λ4,
[v, w] = vwv−1w−1 = a2ba · aba2 · a3b3a2 · a2b3a3 = a2ba(abab)ba3 = λ4,
[w, t] = wtw−1t−1 = aba2 · ba3 · a2b3a3 · ab3 = aba(abab)b = λ4,
[t, u] = tut−1u−1 = ba3 · a3b · ab3 · b3a = ba(abab)ba = λ4,
uw = a3b · aba2 = a2(ab)2a2 = λ2,
vt = a2ba · ba3 = a(ab)2a3 = λ2.
Нехай B — пiдалгебра в A, породжена елементами u, v, w, t. Покладемо µ = λ4.
Лема 4. Кожне незвiдне зображення π = (U, V,W, T ) алгебри B унiтарно еквiвалентне
одному з наступних зображень:
U = Uλ2α, V = Vλ2β, W = U∗α, T = V ∗β ,
де α, β ∈ S1. Двi пари (α, β), (α′, β′) задають унiтарно еквiвалентнi зображення тодi i тiльки
тодi, коли (α/α′)n = (β/β′)n = 1.
Наступна теорема доводиться аналогiчно до опису незвiдних зображень алгебри A
Ẽ6
(λ).
Теорема 6. Кожне незвiдне зображення алгебри A
Ẽ7
(λ), де µ = λ4 = e
(m
n
)
, m
i n є взаємно простими, унiтарно еквiвалентне одному iз наступних зображень π(k) =
=
(
A(k), B(k), C(k)
)
, k = 1, 11 :
чотири n-вимiрних зображення
A(k) =
(
γ√
n
µij
)n−1
i,j=0
, B(k) =
(
γλ√
n
µ(i+1)j
)n−1
i,j=0
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР, ЗАДАНИХ МУЛЬТИПЛIКАТИВНИМ СПIВВIДНОШЕННЯМ . . . 1669
C(k) = γ2
1 0 · · · 0
0 0 · · · µn−1
...
... . .
. ...
0 µ · · · 0
,
де γ = ±1, ±i, k = 1, 2, 3, 4;
чотири n-вимiрних зображення
A(k) =
(
γλ√
n
µi(j+1)
)n−1
i,j=0
, B(k) =
(
γλ2δ−1
√
n
µ(i+1)(j+1)
)n−1
i,j=0
,
C(k) = λ2δ−1γ2
0 · · · 0 1
0 · · · 1 0
... . .
. ...
...
1 · · · 0 0
,
де δ = (−1)m−1e
(
m
2n
)
, γ = ±1, ±i, k = 5, 6, 7, 8;
два 2n-вимiрних зображення
A(k) =
0 A′
I 0
, B(k) =
0 A′V−λ
Uλ 0
, C(k) =
A′U1 0
0 A′V−1
,
де
A′ = γ
1 0 · · · 0
0 0 · · · 1
...
... . .
. ...
0 1 · · · 0
,
γ = 1 при k = 9 i γ = −1 при k = 10;
двовимiрна сiм’я 4n-вимiрних зображень
A(11) =
0 0 0 I
I 0 0 0
0 I 0 0
0 0 I 0
, B(11) =
0 0 0 V ∗β
Uλ2α 0 0 0
0 Vλ2β 0 0
0 0 U∗α 0
,
C(11) =
0 0 U∗λα 0
0 0 0 V ∗λβ
Uλα 0 0 0
0 Vλβ 0 0
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1670 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, Д. В. РАДЧЕНКО
0
1/2n
1/2n
x
y
Рис. 3
де α = λ−1e(x), β = λ−1e(εy), 0 ≤ x ≤ 1
2n
, 0 ≤ y ≤ x, ε = ±1 при 0 < x <
1
2n
, 0 < y < x i
ε = 0 у протилежному випадку, (x, y, ε) 6= (0, 0, 0),
(
1
2n
,
1
2n
, 0
)
,
(
1
2n
, 0, 0
)
.
При (x, y, ε) = (0, 0, 0) зображення π(11) є звiдним i розпадається в пряму суму зображень
π(1) − π(4), при (x, y, ε) =
(
1
2n
,
1
2n
, 0
)
— в пряму суму зображень π(5) − π(8), при (x, y, ε) =
=
(
1
2n
, 0, 0
)
— в пряму суму π(9), π(10). Проекцiя множини змiни параметрiв x, y, ε на площину
xy має вигляд, зображений на рис. 3.
5. Зображення алгебри AẼ8
(λ). Нехай Γ = Ẽ8 = T6,3,2,
A = A
Ẽ8
(λ) = C〈a, b, c | aa∗ = bb∗ = cc∗ = a6 = b3 = c2 = 1, abc = λ · 1〉.
Позначимо u = a2b2, v = ab2a, s = b2a2, t = ba2b. Виконуються спiввiдношення
[u, v] = uvu−1v−1 = a2b2 · ab2a · ba4 · a5ba5 = a2b2ab(ba)2a2ba5 =
= λ2a2b(ba)2aba5 = λ4a2(ba)2a4 = λ6,
vt = ab2a · ba2b = ab(ba)2ab = λ2(ab)2 = λ4,
su = b2a2 · a2b2 = b−1a−2b−1 = (b−1a−1)2ab2a(a−1b−1)2 = λ−4v,
а також
a−1ua = v, a−1va = s, a−1sa = λ−2u−1,
a−1u−1a = λ−4t, a−1ta = λ4s−1, a−1s−1a = λ2u.
Нехай B — пiдалгебра, породжена елементами u, v, s, t.
Лема 5. Довiльне незвiдне зображення (U, V, S, T ) алгебри B унiтарно еквiвалентне одно-
му iз зображень
U = Uα, V = Vβ, S = Sλ−4α−1β, T = V ∗λ−4β (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР, ЗАДАНИХ МУЛЬТИПЛIКАТИВНИМ СПIВВIДНОШЕННЯМ . . . 1671
для деяких α, β ∈ S1. Двi пари (α, β), (α′, β′) задають унiтарно еквiвалентнi зображення тодi
i тiльки тодi, коли (α/α′)n = (β/β′)n = 1.
Наступна теорема доводиться аналогiчно до опису незвiдних зображень алгебри A
Ẽ6
(λ).
Теорема 7. Довiльне незвiдне зображення алгебри A
Ẽ8
(λ), де µ = λ6 = e
(
m
n
)
, m
i n є взаємно простими, унiтарно еквiвалентне одному iз наступних зображень π(k) =
=
(
A(k), B(k), C(k)
)
, k = 1, 12 :
шiсть n-вимiрних зображень
A(k) =
ζ√
n
(
δiµij−(i
2)
)n−1
i,j=0
, B(k) =
γλ−2ζ−1
√
n
(
δ−1−jµi(j−1)+(j2)
)n−1
i,j=0
,
C(k) = γλ−3δ−1
0 δ02−12 0 · · · 0
δ12−02 0 0 · · · 0
0 0 0 · · · δ22−(n−1)2
...
...
... . .
. ...
0 0 δ(n−1)2−22 · · · 0
,
де δ = (−1)mne
(
− m
2n
)
, ζ3 = γσ,
σ =
e
(
−1
8
)(
2n
m
)
, n парне, m ≡ 1 (mod 4),
e
(
1
8
)(
2n
m
)
, n парне, m ≡ 3 (mod 4),(
m/2
n
)
, n ≡ 1 (mod 4), m парне,(
(m+ n)/2
n
)
, n ≡ 1 (mod 4), m непарне,
e
(
−1
4
)(
m/2
n
)
, n ≡ 3 (mod 4), m парне,
e
(
−1
4
)(
(m+ n)/2
n
)
, n ≡ 3 (mod 4), m непарне,
γ = ±1, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6;
три 2n-вимiрних зображення
A(k) =
0 A′
I 0
, B(k) =
U∗αA′ 0
0 A′Uλ2α
, C(k) =
(
0 A′∗Uλα
U∗λαA
′ 0
)
,
де A′ =
ζ√
n
(
δ−jµij+(j2)
)n−1
i,j=0
, α = λ2δe
(
1
3
)
, ζ3 = σ−1, δ i σ вказанi вище, k = 7, 8, 9;
два 3n-вимiрних зображення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1672 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, Д. В. РАДЧЕНКО
A(k) =
0 0 A′
I 0 0
0 I 0
, B(k) =
0 U∗λ2δA
′ 0
0 0 V ∗−λ2δA
′
S∗−λ−4 0 0
,
C(k) =
A′S∗−λ−3 0 0
0 U∗λ3δA
′ 0
0 0 V ∗−λ3δA
′
,
де A′ = γ
1 0 · · · 0
0 0 · · · 1
...
... . .
. ...
0 1 · · · 0
, γ = ±1, k = 10, 11;
двовимiрна сiм’я 6n-вимiрних зображень
A(12) =
0 0 0 0 0 I
I 0 0 0 0 0
0 I 0 0 0 0
0 0 I 0 0 0
0 0 0 I 0 0
0 0 0 0 I 0
,
B(12) =
0 0 0 0 U∗α 0
0 0 0 0 0 V ∗β
S∗λ−4γ 0 0 0 0 0
0 Uλ2α 0 0 0 0
0 0 Vλ2β 0 0 0
0 0 0 Sλ−2γ 0 0
,
C(12) =
0 0 0 Sλ−3γ 0 0
0 0 0 0 U∗λα 0
0 0 0 0 0 V ∗λβ
S∗λ−3γ 0 0 0 0 0
0 Uλα 0 0 0 0
0 0 Vλβ 0 0 0
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР, ЗАДАНИХ МУЛЬТИПЛIКАТИВНИМ СПIВВIДНОШЕННЯМ . . . 1673
0
1/2n
1/2n
1/3n
x
y
1/3n
Рис. 4
де α = λ2δe(x), β = λ2δe(εy), γ = α−1β, 0 ≤ x ≤ 1
2n
, 0 ≤ y ≤ x, 2x + y ≤ 1, ε = ±1 при
0 < x <
1
2n
, 0 < y < x , 2x + y <
1
n
i ε = 0 у протилежному випадку, (x, y, ε) 6= (0, 0, 0),(
1
3n
,
1
3n
, 0
)
,
(
1
2n
, 0, 0
)
.
При (x, y, ε) = (0, 0, 0) зображення π(12) є звiдним i розпадається в пряму суму зображень
π(1) –π(6), при (x, y, ε) =
(
1
3n
,
1
3n
, 0
)
— в пряму суму зображень π(7) –π(9), при (x, y, ε) =
=
(
1
2n
, 0, 0
)
— в пряму суму зображень π(10), π(11). Проекцiя множини змiни параметрiв
x, y, ε на площину xy має вигляд, зображений на рис. 4.
6. Нескiнченновимiрнi зображення. Нехай тепер λ не є коренем з одиницi. В цьому
випадку алгебра B є квантовим тором i, як вiдомо (див., наприклад, [10]), не є типу I, а отже, в
цьому випадку опис усiх незвiдних зображень алгебр AΓ(λ) є складною задачею. Ми вкажемо
лише деяку нескiнченну сiм’ю таких зображень. Нехай M = {µn | n ∈ Z} — нескiнченна
пiдгрупа в S1, породжена µ.
Теорема 8. Кожна наступна пара унiтарних операторiв U, V, що дiють в нескiнченно-
вимiрному гiльбертовому просторi з базою {vi|i ∈ Z} за правилом
Uvi = αµivi, V vi = vi+1,
задає незвiдне зображення спiввiдношення [U, V ] = µI, де α ∈ S1. Два зображення, що
задаються параметрами α, α′ ∈ S1, еквiвалентнi тодi i тiльки тодi, коли α/α′ ∈ M. Опера-
тори можна зобразити нескiнченними в усi боки матрицями.
Можна довести, що це всi незвiднi зображення, у яких U має власнi вектори. Аналогiчно
можна описати всi зображення, у яких V або (UV )−1 має власнi вектори. Проте можуть iснувати
iншi зображення. Позначимо далi W = (UV )−1, S = V U−1.
Теорема 9. Для кожної трiйки унiтарних операторiв U, V, W, що дiють у гiльбертовому
просторi H i таких, що [U, V ] = µI, W = (UV )−1, µ = λ2, оператори
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1674 I. В. ЛIВIНСЬКИЙ, Д. В. РАДЧЕНКО
A =
0 I
I 0
, B =
0 W
W ∗ 0
,
C =
(
0 U∗
U 0
)
, D =
(
0 λV
λ−1V ∗ 0
)
задають зображення алгебри A
D̃4
(λ) у просторi H⊕H. Для довiльної пари U, V iз теореми 8
вiдповiдне зображення алгебри є незвiдним.
Теорема 10. Для кожної трiйки унiтарних операторiв U, V, W, що дiють у гiльберто-
вому просторi H i таких, що [U, V ] = µI, W = µ(UV )−1, µ = λ3, оператори
A =
0 I 0
0 0 I
I 0 0
, B =
0 V 0
0 0 W
U 0 0
, C =
0 λU∗ 0
0 0 λV ∗
λW ∗ 0 0
задають зображення алгебри A
Ẽ6
(λ) у просторi H ⊕ H ⊕ H. Для довiльної пари U, V iз
теореми 8 вiдповiдне зображення алгебри є незвiдним.
Теорема 11. Для кожної пари унiтарних операторiв U, V, що дiють у гiльбертовому
просторi H i таких, що [U, V ] = µI, µ = λ4, оператори
A =
0 0 0 I
I 0 0 0
0 I 0 0
0 0 I 0
, B =
0 0 0 V ∗
λ2U 0 0 0
0 λ2V 0 0
0 0 U∗ 0
,
C =
0 0 λ−1U∗ 0
0 0 0 λ−1V ∗
λU 0 0 0
0 λV 0 0
задають зображення алгебри A
Ẽ7
(λ) у просторi H⊕H⊕H⊕H. Для довiльної пари U, V iз
теореми 8 вiдповiдне зображення алгебри є незвiдним.
Теорема 12. Для кожної трiйки унiтарних операторiв U, V, S,що дiють у гiльбертовому
просторi H i таких, що [U, V ] = µI, S = V U−1, µ = λ6, оператори
A =
0 0 0 0 0 I
I 0 0 0 0 0
0 I 0 0 0 0
0 0 I 0 0 0
0 0 0 I 0 0
0 0 0 0 I 0
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
ЗОБРАЖЕННЯ АЛГЕБР, ЗАДАНИХ МУЛЬТИПЛIКАТИВНИМ СПIВВIДНОШЕННЯМ . . . 1675
B =
0 0 0 0 U∗ 0
0 0 0 0 0 V ∗
λ4S∗ 0 0 0 0 0
0 λ2U 0 0 0 0
0 0 λ2V 0 0 0
0 0 0 λ−2S 0 0
,
C =
0 0 0 λ−3S 0 0
0 0 0 0 λ−1U∗ 0
0 0 0 0 0 λ−1V ∗
λ3S∗ 0 0 0 0 0
0 λU 0 0 0 0
0 0 λV 0 0 0
задають зображення алгебри A
Ẽ8
(λ) у просторi H⊕H⊕H⊕H⊕H⊕H. Для довiльної пари
U, V iз теореми 8 вiдповiдне зображення алгебри є незвiдним.
Доведення всiх чотирьох теорем подiбнi i повторюють попереднi доведення.
Таким чином, для кожного Γ = D̃4, Ẽ6, Ẽ7, Ẽ8 маємо нескiнченну сiм’ю незвiдних зобра-
жень алгебри AΓ(λ), коли λ не є коренем з одиницi.
Автори вдячнi Ю. С. Самойленку за iнтерес до їхньої роботи та кориснi обговорення.
1. Кругляк С. А., Рабанович В. И., Самойленко Ю. С. О суммах проекторов // Функцион. анализ и его прил. –
1998. – 36, вып. 3. – C. 20 – 35.
2. Меллит А. С., Рабанович В. И., Самойленко Ю. С. Когда сумма частичных отражений кратна единичному
оператору // Функцион. анализ и его прил. – 2004. – 38, вып. 2. – C. 91 – 94.
3. Островський В. Л., Самойленко Ю. С. Про спектральнi теореми для сiмей лiнiйно пов’язаних самоспряжених
операторiв iз заданими спектрами, що асоцiйованi з розширеними графами Динкiна // Укр. мат. журн. – 2006.
– 58, № 11. – C. 1556 – 1570.
4. Halmos P. R., Kakutani S. Products of symmetries // Bull. Amer. Math. Soc. – 1958. – 64, № 3. – P. 77 – 78.
5. Hladnik M., Omladic M., Radjavi H. Products of roots of the identity // Proc. Amer. Math. Soc. – 2001. – 129. –
P. 459 – 465.
6. Albeverio S., Rabanovich S. Decomposition of a scalar operator into a product of unitary operators with two points
in spectrum // Linear Algebra and its Appl. – 2010. – 433. – P. 1127 – 1137.
7. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. – М.: Наука, 1978. – 180 с.
8. Williams D. P. Crossed products of C∗-algebras. – Providence: Amer. Math. Soc., 2007. – 528 p.
9. Berndt B. C., Evans R. J., Williams K. S. Gauss and Jacobi sums. – Wiley and Sons, Inc., 1998. – 598 p.
10. Elliot G. A., Evans D. E. The Structure of the irrational rotation C∗-algebra // Ann. Math. – 1993. – 138, № 3. –
P. 477 – 501.
Одержано 20.07.12,
пiсля доопрацювання — 05.10.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2689 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:22Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/be/a332a392d5c8ef2af430eea39b121dbe.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26892020-03-18T19:32:55Z Representations of Algebras Defined by a Multiplicative Relation and Corresponding to the Extended Dynkin Graphs $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$ Зображення алгебр, заданих мультиплікативним співвідношенням, що відповідають розширеним графам Динкіна $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$ Livins'kyi, I. V. Radchenko, D. V. Лівінський, І. В. Радченко, Д. В. We describe, up to unitary equivalence, all $k$-tuples $(A_1, A_2,..., A_k)$ of unitary operators such that $A^{n_i}_i = I$ for $i = \overline{1, k}$ and $A_1 A_2 ... A_k = \lambda I$, where the parameters $(n_1,... ,n_k)$ correspond to one of the extended Dynkin diagrams $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$, and $\lambda \in \mathbb{C}$ is a fixed root of unity. Описываются с точностью до унитарной эквивалентности неприводимые системы $(A_1, A_2,..., A_k)$, состоящие из $k$ унитарных операторов, таких, что$A^{n_i}_i = I$ for $i = \overline{1, k}$, и $A_1 A_2 ... A_k = \lambda I$, где набор $(n_1,... ,n_k)$ cоответствует одному из расширенных графов Дынкина $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$, , а число $\lambda \in \mathbb{C}$ является некоторым фиксированным корнем из единицы. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2689 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 12 (2012); 1654-1675 Український математичний журнал; Том 64 № 12 (2012); 1654-1675 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2689/2136 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2689/2137 Copyright (c) 2012 Livins'kyi I. V.; Radchenko D. V. |
| spellingShingle | Livins'kyi, I. V. Radchenko, D. V. Лівінський, І. В. Радченко, Д. В. Representations of Algebras Defined by a Multiplicative Relation and Corresponding to the Extended Dynkin Graphs $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$ |
| title | Representations of Algebras Defined by a Multiplicative Relation and Corresponding to the Extended Dynkin Graphs $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$ |
| title_alt | Зображення алгебр, заданих мультиплікативним співвідношенням, що відповідають розширеним графам Динкіна $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$ |
| title_full | Representations of Algebras Defined by a Multiplicative Relation and Corresponding to the Extended Dynkin Graphs $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$ |
| title_fullStr | Representations of Algebras Defined by a Multiplicative Relation and Corresponding to the Extended Dynkin Graphs $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$ |
| title_full_unstemmed | Representations of Algebras Defined by a Multiplicative Relation and Corresponding to the Extended Dynkin Graphs $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$ |
| title_short | Representations of Algebras Defined by a Multiplicative Relation and Corresponding to the Extended Dynkin Graphs $\tilde{D}_4, \tilde{E}_6, \tilde{E}_7, \tilde{E}_8$ |
| title_sort | representations of algebras defined by a multiplicative relation and corresponding to the extended dynkin graphs $\tilde{d}_4, \tilde{e}_6, \tilde{e}_7, \tilde{e}_8$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2689 |
| work_keys_str_mv | AT livins039kyiiv representationsofalgebrasdefinedbyamultiplicativerelationandcorrespondingtotheextendeddynkingraphstilded4tildee6tildee7tildee8 AT radchenkodv representationsofalgebrasdefinedbyamultiplicativerelationandcorrespondingtotheextendeddynkingraphstilded4tildee6tildee7tildee8 AT lívínsʹkijív representationsofalgebrasdefinedbyamultiplicativerelationandcorrespondingtotheextendeddynkingraphstilded4tildee6tildee7tildee8 AT radčenkodv representationsofalgebrasdefinedbyamultiplicativerelationandcorrespondingtotheextendeddynkingraphstilded4tildee6tildee7tildee8 AT livins039kyiiv zobražennâalgebrzadanihmulʹtiplíkativnimspívvídnošennâmŝovídpovídaûtʹrozširenimgrafamdinkínatilded4tildee6tildee7tildee8 AT radchenkodv zobražennâalgebrzadanihmulʹtiplíkativnimspívvídnošennâmŝovídpovídaûtʹrozširenimgrafamdinkínatilded4tildee6tildee7tildee8 AT lívínsʹkijív zobražennâalgebrzadanihmulʹtiplíkativnimspívvídnošennâmŝovídpovídaûtʹrozširenimgrafamdinkínatilded4tildee6tildee7tildee8 AT radčenkodv zobražennâalgebrzadanihmulʹtiplíkativnimspívvídnošennâmŝovídpovídaûtʹrozširenimgrafamdinkínatilded4tildee6tildee7tildee8 |