Injectivity Classes of the Pompeiu Transformation
New conditions for the injectivity of the Pompeiu transform for integral ball means are obtained. The main results substantially improve some known uniqueness theorems for functions with vanishing integrals over balls of fixed radius.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2690 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508639354159104 |
|---|---|
| author | Ochakovskaya, O. A. Очаковская, О. А. Очаковская, О. А. |
| author_facet | Ochakovskaya, O. A. Очаковская, О. А. Очаковская, О. А. |
| author_sort | Ochakovskaya, O. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:32:55Z |
| description | New conditions for the injectivity of the Pompeiu transform for integral ball means are obtained. The main results substantially improve some known uniqueness theorems for functions with vanishing integrals over balls of fixed radius. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.444
О. А. Очаковская (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
КЛАССЫ ИНЪЕКТИВНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОМПЕЙЮ
New conditions for the injectivity of the Pompeiu transform for integral ball means are obtained. The main results
substantially improve some known uniqueness theorems for functions with vanishing integrals over balls of fixed radius.
Отримано новi умови, за яких перетворення Помпейю, що вiдповiдає iнтегральним кульовим середнiм, є iн’єктив-
ним. Основнi результати суттєво пiдсилюють деякi вiдомi теореми єдиностi для функцiй з нульовими iнтегралами
по кулях фiксованого радiуса.
1. Введение. Пусть Rn — вещественное евклидово пространство размерности n ≥ 2 с евклидо-
вой нормой | · |. Обозначим через L1
loc(Rn) класс функций, локально суммируемых в Rn. Пусть
r > 0 фиксировано. Преобразование Помпейю Pr, соответствующее интегральным шаровым
средним, определяется как отображение из L1
loc(Rn) в C(Rn), заданное равенством
(Prf)(x) =
∫
|y|≤r
f(x+ y) dy, f ∈ L1
loc(Rn), x ∈ Rn.
Аналогично можно определить преобразование Помпейю для сферических средних и для более
общих случаев (см., например, [1] (гл. 4), [2 – 5]). Линейное пространство W (Rn) ⊂ L1
loc(Rn)
называется классом инъективности для преобразования Pr, если пересечение ядра Pr с W (Rn)
содержит только нулевую функцию.
Изучение классов инъективности представляет большой интерес для интегральной геомет-
рии и многих приложений (см. [1] (гл. 4, 5), [3]). Многие авторы исследовали классы инъек-
тивности для Pr в терминах условий на скорость убывания на бесконечности для входящих в
них функций. Первый точный результат в этом направлении получен Д. Смитом [6], который
установил, что множество функций f ∈ C(Rn) с условием
lim
|x|→∞
f(x)|x|(n−1)/2 = 0 (1)
является классом инъективности для Pr при любом r > 0. При этом условие (1) нельзя заменить
оценкой f(x) = O
(
|x|(1−n)/2
)
при |x| → ∞. Известен также ряд результатов, в которых вместо
условия (1) рассматриваются оценки сверху для различных интегральных средних функции f .
Например, класс Lp(Rn) является классом инъективности для Pr при p ∈
[
1,
2n
n− 1
]
, а при
p >
2n
n− 1
это уже неверно (см., например, [7 – 10]).
Существуют более общие и точные результаты в этом направлении, полученные В. В. Волч-
ковым в [1] (гл. 3), [5] (гл. 2). В этих результатах условие шаровых средних на Rn заменено
уравнением свертки на римановом симметрическом пространстве некомпактного типа.
В работах [11 – 13] изучаются подобные вопросы для функций с нулевыми шаровыми сред-
ними, заданных на некоторых неограниченных подмножествах Rn.
Характерной особенностью большинства известных классов инъективности для Pr явля-
ется их инвариантность относительно группы вращений Rn. Это позволяло использовать при
c© О. А. ОЧАКОВСКАЯ, 2012
1676 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
КЛАССЫ ИНЪЕКТИВНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОМПЕЙЮ 1677
их доказательствах аппарат гармонического анализа на компактных группах (см., например,
[1]). Первые нетривиальные примеры классов инъективности, не инвариантных относитель-
но вращения, были получены в [14]. Одним из результатов работы [14] является следующая
теорема.
Теорема 1. Пусть функция f принадлежит L1
loc(Rn) и Prf = 0. Пусть также суще-
ствует последовательность {Mq}∞q=0 положительных чисел такая, что
∞∑
m=1
( inf
q≥m
M1/q
q )−1 =∞, (2)
и существует γ > 0 такое, что неравенство∫
Rn
|f(x1, . . . , xn)|(1 + |x1|+ . . .+ |xn−1|)qdx1 . . . dxn−1 ≤Mqe
γ|xn| (3)
выполнено при всех q ∈ Z+ и почти всех xn ∈ R1. Тогда f = 0.
Отметим, что оценка (3) вместе с условием (2) требует достаточно быстрого убывания f
вдоль переменных x1, . . . , xn−1. Как показано в [14], условие (2) ослабить нельзя. Неравенство
(3) допускает экспоненциальный рост f по переменной xn.
Одним из вопросов, естественно возникающих в связи с теоремой 1, является следующий:
для каких функций ϕ на [0,+∞) теоремa 1 остается справедливой, если условие (3) заменить
оценкой ∫
Rn−1
|f(x1, . . . , xn)|(1 + |x1|+ . . .+ |xn−1|)qdx1 . . . dxn−1 ≤Mqe
ϕ(|xn|) (4)
для всех q ∈ Z+ и почти всех xn ∈ R1? Из результатов работы [15] следует, что теоремa будет
неверной, если вместо (3) выполнено (4) с функцией ϕ, удовлетворяющей условию ϕ(t) > εt2
при некотором ε > 0.
В данной работе показано, что теорема 1 останется справедливой, если неравенство (3)
заменить на (4) для широкого класса функций ϕ, допускающих сколь угодно быстрый рост по
некоторой подпоследовательности значений (см. ниже теоремы 2, 3).
2. Формулировки основных результатов. Для T ∈ R1 положим
U(T, r) = {x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : |xn − T | ≤ r}.
Основными результатами данной работы являются следующие теоремы.
Теорема 2. Пусть функция f принадлежит L1
loc(Rn) и Prf = 0. Пусть также суще-
ствует последовательность {Mq}∞q=0 положительных чисел, удовлетворяющая (2), и при всех
q ∈ Z+ выполнено неравенство∫
U(T,r)
|f(x)|(1 + |x1|+ . . .+ |xn−1|)qdx ≤Mqe
ϕ(T ), T ∈ R1, (5)
для некоторой положительной функции ϕ на R1 такой, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1678 О. А. ОЧАКОВСКАЯ
lim
T→−∞
ϕ(T )
|T |
< +∞ и lim
T→+∞
ϕ(T )
T
< +∞. (6)
Тогда f = 0.
Как уже отмечалось, условие (2) в этой теореме ослабить нельзя даже для функции ϕ(t) =
= c|t| (см. [14], теорема 2). Это условие впервые возникло в теории квазианалитических классов
функций (см., например, [16] (гл. 1), а также [17], §1.3).
Следующий результат более явно указывает характер убывания f по переменным x1, . . .
. . . , xn−1, который требуется в теореме 2.
Теорема 3. Пусть функция f принадлежит L1
loc(Rn) и Prf = 0. Пусть также суще-
ствуют положительная возрастающая функция κ на [0,+∞) и постоянная C > 0 такие,
что
∞∫
1
dt
tκ(t)
= +∞, (7)
lim
t→+∞
κ(t)
κ( t
κ(t))
= 1, (8)
и при всех T ∈ R1∫
U(T,r)
|f(x)| exp
( |x1|+ . . .+ |xn−1|
κ(|x1|+ . . .+ |xn−1)
)
dx1 . . . dxn−1 ≤ Ceϕ(T ) (9)
для некоторой положительной функции ϕ на R1, удовлетворяющей (6). Тогда f = 0.
Отметим, что теоремa 3 будет неверна, если условие (7) заменить условием
∞∫
1
dt
tκ(t)
< +∞
(см. [14], теорема 3). Условия (7) и (8) выполняются для многих медленно растущих функ-
ций κ. Например, они выполняются, если при достаточно больших t функция κ совпадает с
произведением логарифма и нескольких его различных итераций.
Вопрос о том, можно ли заменить U(T, r) в теоремах 2 и 3 на U(T, r′) при некотором r′ < r,
остается открытым. Однако если в указанных задачах вместо шаровых средних рассматривать
сферические средние, то значение r в оценках (5) и (9) уменьшить, вообще говоря, нельзя.
Приведем соответствующий пример при n = 3. Пусть 0 < r′ < r и g ∈ C∞(R1) — ненулевая
функция с периодом 2r, равная нулю на отрезке [−r′, r′], для которой
r∫
−r
g(t) dt = 0. (10)
Рассмотрим функцию f ∈ C∞(R3), заданную равенством f(x) = g(x3) при x = (x1, x2, x3).
Тогда для любого y ∈ R3 имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
КЛАССЫ ИНЪЕКТИВНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОМПЕЙЮ 1679
∫
|x−y|=r
f(x) dσ =
y3+r∫
y3−r
g(x3) dx3,
где dσ — поверхностная мера на сфере {x ∈ R3 : |x− y| = r}. Однако в силу 2r-периодичности
из условия (10) следует, что g имеет нулевой интеграл по любому отрезку длины 2r. Это
означает, что интегралы от f по всем сферам радиуса r в R3 равны нулю. Полагая теперь
T = 2rm, где m ∈ Z, получаем f(x) = 0 на U(T, r′). Таким образом, условия (5) и (9) с r′
вместо r выполнены для некоторых ненулевых функций с нулевыми сферическими средними.
3. Вспомогательные утверждения. Мы используем стандартные обозначения Γ и Jµ для
гамма-функции и функции Бесселя первого рода порядка µ. Для z > 0 положим Iµ = Jµ(z)z−µ.
Известно, что функция Iµ может быть аналитически продолжена по переменной z на всю
комплексную плоскость (см. [18], §1). Пусть {ν1, ν2, . . .} — возрастающая последовательность
всех нулей Jn/2, лежащих на (0,+∞). Для α > 0 положим
Nα,r =
{
λ ∈ C : r2(λ2 + α2) = νk при некоторых k ∈ N
}
.
Обозначим через f̂ преобразование Фурье функции f (в случае, когда оно существует). Для
α > 0 рассмотрим функцию
ψα(t) =
{
(r2 − t2)(n−1)/4J(n−1)/2
(
α
√
r2 − t2
)
, |t| < r,
0, |t| ≥ r.
Пусть также
ψα,λ(t) =
t∫
−r
ψα(ξ)eiλ(t−ξ)dξ, t ∈ R1, λ ∈ C. (11)
Лемма 1. Имеют место следующие утверждения:
1) при z ∈ C выполнено равенство
ψ̂α(z) =
√
2πrn−1α(n−1)/2In/2
(
r
√
α2 + z2
)
; (12)
2) если Jn/2(rα) 6= 0, то все нули функции ψ̂α простые;
3) если f ∈ L1[−r, r] и
∫ r
−r
f(x)ψα,λ(t) dt = 0 для любого λ ∈ Nα,r, то f = 0.
Доказательство. Из определения преобразования Фурье имеем
ψ̂α(z) = 2
r∫
0
(r2 − t2)(n−1)/4J(n−1)/2
(
α
√
r2 − t2
)
cos zt dt, z ∈ C.
С помощью замены переменной t = r sin ξ последний интеграл сводится к интегралу Сонина
(см. [18], формула (20.10), и [14], лемма 1), откуда следует первое утверждение.
Далее, из (12) и [18] (формула (6.1)) получаем
ψ̂′α(z) = −
√
2πα(n−1)/2rn+1zIn/2
(
r
√
α2 + z2
)
. (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1680 О. А. ОЧАКОВСКАЯ
Поскольку функции Jn/2 и Jn/2+1 не имеют общих нулей, за исключением точки z = 0 (см.
[18], § 23), из (13) имеем второе утверждение.
Третье утверждение следует из (12), (11) и [19] (теорема 1).
Таким образом, лемма 1 доказана.
Пусть Sn−1 = {x ∈ Rn : |x| = 1} и ωn−1 — площадь сферы Sn−1. Для функции f(x1, . . . , xn),
принадлежащей L1(Rn−1) по переменным x1, . . . , xn для почти всех по мере Лебега xn ∈ R1,
определим функции f \ и f\ следующим образом:
f \(x1, . . . , xn) = f\(ρ, xn) =
1
ωn−2
∫
Sn−2
f(ρσn, . . . , ρσn−1, xn) dσn−2, n > 2,
1
2
(f(ρ, x2) + f(−ρ, x2)), n = 2,
(14)
где ρ =
√
x21 + . . .+ x2n−1 и dσn−2 — поверхностная мера на Sn−2. Таким образом, f \ является
радиальной функцией переменных x1, . . . , xn−1 (четной, если n = 2) при почти всех xn ∈ R1.
Для любого λ = (λ1, . . . , λn−1) ∈ Rn−1 имеет место равенство
∫
Rn−1
f \(x) exp(i(λ1x1 + . . .+ λn−1xn−1)) dx1 . . . dxn−1 =
= τn
∞∫
0
ρn−2f\(ρ, xn)In−3
2
(|λ|ρ) dρ, (15)
где
τn = 2(n−3)/2Γ
(n− 1
2
)
ωn−2
(см., например, [20], гл. 4, теорема 3.3).
Пусть α > 0. Для почти всех t ∈ R1 положим
f∗(t, α) = τn
∞∫
0
ρn−2f\(ρ, t)I(n−3)/2(αρ) dρ. (16)
Пусть также
Fλ(f)(α) =
r∫
−r
f∗(t, λ)ψα,λ(t) dt, λ ∈ C, (17)
fh(x) = f(x+ 1, . . . , xn−1, xn + h), h ∈ R1. (18)
Обозначим через Vr(Rn) множество функций f ∈ L1
loc(Rn), для которых Prf = 0.
Лемма 2. Пусть функция f принадлежит Vr(Rn) и классу L1(Rn−1) по переменным
x1, . . . , xn−1 для почти всех xn ∈ R1. Тогда:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
КЛАССЫ ИНЪЕКТИВНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОМПЕЙЮ 1681
1) для любых h ∈ R1, α > 0
r∫
−r
f∗(th, α)ψα(t) dt = 0; (19)
2) для любых h ∈ R1, α > 0, λ ∈ Nα,r
Fλ(fh)(α) = Fλ(f)e−iλh. (20)
Доказательство. Первое утверждение следует из определения ψα и [14] (лемма 10). Дока-
жем второе утверждение. Из (??) – (18) находим
Fλ(fh)(α) =
r∫
−r
f∗(t+ h, α)ψα,λ(t) dt =
r+h∫
−r+h
f∗(t, α)ψα,λ(t− h) dt = u(h, α, λ)e−iλh, (21)
где
u(h, α, λ) =
r+h∫
−r+h
f∗(t, α)
t−h∫
−r
ψα(ξ)eiλ(t−ζ)dζdt.
Кроме того,
∂u
∂h
= f∗(r + h, α)
r∫
−r
ψα(ξ)eiλ(r+h−ξ)dξ −
r+h∫
−r+h
f∗(t, α)ψα(t− h) dt eiλh.
Учитывая, что λ ∈ Nα,r, отсюда и из (19) получаем
∂u
∂h
= 0. Тогда u не зависит от h и из (21)
имеем
Fλ(fh)(α) = u(0, α, h)e−iλh = Fλ(h)e−iλh,
что и требовалось доказать.
Далее, пусть ϕ удовлетворяет условиям теоремы 2. Положим
M = max
{
lim
T→−∞
ϕ(T )
|T |
, lim
T→+∞
ϕ(T )
T
}
.
Лемма 3. Пусть функция f принадлежит Vr(Rn) и для всех T ∈ R1∫
U(T,r)
|f(x)| dx ≤ Ceϕ(T ), (22)
где постояннаяC > 0 не зависит от T . Пусть также k ∈ N, r2(λ2+α2) = νk и | Imλ| > M+1.
Тогда Fλ(f)(α) = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1682 О. А. ОЧАКОВСКАЯ
Доказательство. Из равенств (16) – (18) для любых h ∈ R1 находим
Fλ(fh)(α) = τn
∞∫
0
ρn−2I(n−3)/2(αρ)
r∫
−r
f\(ρ, t+ h)ψα,λ(t) dtdρ.
Повторяя рассуждения из [14] с использованием оценки (22), из последнего равенства находим
|Fλ(fh)(α)| < Ceϕ(h),
где постоянная C > 0 не зависит от h. Учитывая (20), отсюда имеем
|Fλ(f)(α)| < Ceϕ(h) exp(−h Imλ). (23)
Поскольку | Imλ| > M + 1, существует последовательность {hm}∞m=1 действительных чисел
такая, что limm→∞(ϕ(hm)− hm Imλ) = −∞. Полагая в (23) h = hm и переходя к пределу при
m→∞, получаем требуемое утверждение.
4. Доказательства основных результатов. Доказательство теоремы 2. Пусть функ-
ция f принадлежит Vr(Rn) и выполнены условия (5), (6). Тогда для любого q ∈ Z+ имеем
r∫
−r
∞∫
0
ρn−1(1 + ρ)q|f\(ρ, xn)| dρdxn =
∫
U(0,r)
|f(x)|
(
1 +
√
x21 + . . .+ x2n−1
)q
dx ≤Mqe
ϕ(0).
(24)
Для любого λ ∈ Nα,r положим
Φλ(f)(λ) = (Fλ(f)(α) + F−λ(f)(α))α(1−n)/2, (25)
Ψλ(f)(λ) = λ(Fλ(f)(α)−F−λ(f)(α))α(1−n)/2. (26)
Пусть b > a > 0. Тогда для любых α ∈ [a, b], q ∈ Z+ имеет место оценка∣∣∣( d
dα
)q
Φλ(f)(α)
∣∣∣+
∣∣∣( d
dα
)q
Ψλ(f)(α)
∣∣∣ ≤ C1e
C2qMq,
где постоянные C1, C2 > 0 не зависят от q (см. (24) и [14], лемма 9). Согласно теореме
Данжуа – Карлемана, это означает (см. [17], теорема 1.3.8), что функции Φλ(f)(α) и Ψλ(f)(α)
принадлежат квазианалитическому классу на [a, b]. В силу леммы 3 и произвольности a, b
имеем
Φλ(f)(α) = Ψλ(f)(α) = 0 при любых α > 0, λ ∈ Nα,r.
Используя теперь третье утверждение леммы 1, из (25), (26) и (17) получаем, что f∗(z, α) = 0
на [−r, r] при любых α > 0. Тогда из первого утверждения леммы 2 и теоремы единственности
для решения уравнения свертки (см. [1], теорема 3.1.1) следует, что f∗(t, α) = 0 уже при
почти всех t ∈ R1, α > 0. Таким образом, f \ = 0 в Rn (см. (13) и (14)). Далее, пусть
y = (y1, . . . , yn−1, 0) принадлежит Rn и g(x) = f(x+ y). Тогда g принадлежит Vr(Rn). Кроме
того, из (5) и очевидного неравенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
КЛАССЫ ИНЪЕКТИВНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОМПЕЙЮ 1683
1 +
n−1∑
j=1
|xj − yj | ≤
(
1 +
n−1∑
j=1
|xj |
)(
1 +
n−1∑
j=1
|yj |
)
следует, что g удовлетворяет условию (5) с последовательностью Mq(1 + |y1| + . . . + |yn−1|)q
вместо Mq. Поскольку эта новая последовательность также удовлетворяет (2), как и выше,
заключаем, что g\ = 0. Отсюда и из (14) следует, что f имеет нулевые интегралы по всем
цилиндрам вида Br × [A,A + H], где Br = {x ∈ Rn−1 : |x| < R}, R > 0, A ∈ R1, H > 0.
В силу произвольности R,A,H получаем, что f = 0 (см. [21], гл. 2, теорема 2.1).
Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. Используя оценку (9), для любого q ∈ Z+ получаем∫
U(T,r)
|f(x)|(1 + |x1|+ . . .+ |xn−1|)qdx ≤
≤Mq
∫
U(T,r)
|f(x)|
( |x1|+ . . .+ |xn−1|
κ(|x1|+ . . .+ |xn−1|)
)
dx, (27)
где
Mq = sup
t≥0
(1 + t)qe
− t
κ(t) . (28)
Из равенства (28) имеем
Mq ≤ Cq1 + 2q sup
t≥1
(
exp
(
q ln t− t
κ(t)
))
, (29)
где постоянная C1 > 0 не зависит от q. Из (8) и (7) следует, что
lim
t→+∞
κ(λt)/κ(t) = 1
при любом λ > 0. Отсюда и из [15] (лемма 1) получаем, что существует положительная
возрастающая функция g ∈ C1[0,+∞) такая, что
tg′(t) = o(g(t)) при t→ +∞, (30)
C2 <
κ(t)
g(t)
< C3, t ∈ [0,+∞), (31)
для некоторых C2, C3 > 0, не зависящих от t. Используя (29) – (31) и повторяя рассуждения из
[15] (п. 3), убеждаемся, что существует C4 > 0 такое, что
Mq ≤ (C4(qg(q)))q при всех q ≥ 1. (32)
Тогда из условий (7), (31), (32) и монотонности κ следует, что числовая последовательность
{Mq}∞q=0 удовлетворяет (2). Применяя теперь неравенство () и теорему 2, получаем f = 0, что
и требовалось доказать.
1. Volchkov V. V. Integral geometry and convolution equations. – Kluwer Acad. Publ., 2003. – 454 р.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
1684 О. А. ОЧАКОВСКАЯ
2. Волчков В. В. О множествах инъективности преобразования Помпейю // Мат. сб. – 1999. – 190, № 11. –
С. 51 – 66.
3. Berenstein C. A., Zalcman L. Pompeiu’s problem on symmetric spaces // Comment. math. helv. – 1980. – 55. –
P. 593 – 621.
4. Zalcman L. Supplementary bibliography to "A bibliographic survey of the Pompeiu problem"// Contemp. math. –
2001. – 278. – P. 69 – 74.
5. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and the Heisenberg
group. – London: Springer, 2009. – 671 р.
6. Smith I. D. Harmonic analysis of scalar and vector field in Rn // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1972. – 72. – P. 403 – 416.
7. Sitaram A. Fourier analysis and determining sets for Radon measures on Rn // Ill. J. Math. – 1984. – 28. – P. 339 – 347.
8. Thangavely S. Spherical means and CR functions on the Heisenberg group // J. Anal. Math. – 1994. – 63. – P. 255 – 286.
9. Волчков В. В. Решение проблемы носителя для некоторых классов функций // Мат. сб. – 1997. – 188, № 9. –
С. 13 – 30.
10. Shahshahani M., Sitaram A. The Pompeiu problem in exterior domains in symmetric space // Contemp. math. – 1987.
– 63. – P. 267 – 277.
11. Очаковская О. А. О функциях с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса на полупростран-
стве // Докл. РАН. – 2001. – 381, № 6. – С. 745 – 747.
12. Очаковская О. А. Мажоранты функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса // Докл.
РАН. – 2008. – 420, № 5. – С. 598 – 600.
13. Очаковская О. А. О функциях с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса // Мат. физика,
анализ, геометрия. – 2002. – 9, № 3. – С. 493 – 501.
14. Очаковская О. А. Точные характеристики допустимой скорости убывания ненулевой функции с нулевыми
шаровыми средними // Мат. сб. – 2008. – 199, № 1. – С. 47 – 66.
15. Очаковская О. А. Об инъективности преобразования Помпейю для интегральных шаровых средних // Укр. мат.
журн. – 2011. – 63, № 3. – С. 361 – 368.
16. Бадалян Г. В. Квазистепенной ряд и квазианалитические классы функций. – М.: Наука, 1990. – 208 с.
17. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4 т. – М.: Мир,
1986. – Т. 1. – 456 с.
18. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М.: Наука, 1971. – 288 с.
19. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Сonvolution equations and the local Pompeiu property on symmetric spaces and on
phase space associated to the Heisenberg group // J. D’Anal. Math. – 2008. – 105. – P. 43 – 123.
20. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Мир, 1974. – 335 с.
21. Гусман М. Дифференцирование интегралов в Rn. – М.: Мир, 1978. – 200 с.
Получено 13.09.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2690 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:24Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4d/ded0d51b355e3c313c0c0b1f814f824d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26902020-03-18T19:32:55Z Injectivity Classes of the Pompeiu Transformation Классы инъективности преобразования Помпейю Ochakovskaya, O. A. Очаковская, О. А. Очаковская, О. А. New conditions for the injectivity of the Pompeiu transform for integral ball means are obtained. The main results substantially improve some known uniqueness theorems for functions with vanishing integrals over balls of fixed radius. Отримано новi умови, за яких перетворення Помпейю, що вiдповiдає iнтегральним кульовим середнiм, є iн’єктивним. Основнi результати суттєво пiдсилюють деякi вiдомi теореми єдиностi для функцiй з нульовими iнтегралами по кулях фiксованого радiуса. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2690 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 12 (2012); 1676-1684 Український математичний журнал; Том 64 № 12 (2012); 1676-1684 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2690/2138 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2690/2139 Copyright (c) 2012 Ochakovskaya O. A. |
| spellingShingle | Ochakovskaya, O. A. Очаковская, О. А. Очаковская, О. А. Injectivity Classes of the Pompeiu Transformation |
| title | Injectivity Classes of the Pompeiu Transformation |
| title_alt | Классы инъективности преобразования Помпейю |
| title_full | Injectivity Classes of the Pompeiu Transformation |
| title_fullStr | Injectivity Classes of the Pompeiu Transformation |
| title_full_unstemmed | Injectivity Classes of the Pompeiu Transformation |
| title_short | Injectivity Classes of the Pompeiu Transformation |
| title_sort | injectivity classes of the pompeiu transformation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2690 |
| work_keys_str_mv | AT ochakovskayaoa injectivityclassesofthepompeiutransformation AT očakovskaâoa injectivityclassesofthepompeiutransformation AT očakovskaâoa injectivityclassesofthepompeiutransformation AT ochakovskayaoa klassyinʺektivnostipreobrazovaniâpompejû AT očakovskaâoa klassyinʺektivnostipreobrazovaniâpompejû AT očakovskaâoa klassyinʺektivnostipreobrazovaniâpompejû |