Spaces of generalized operators with bounded projection trace
We construct a theory of Banach spaces of "generalized" operators with bounded projection trace over the given Hilbert space. This theory can be efficient in investigating evolution problems for quantum systems with infinite number of particles.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2696 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508646442532864 |
|---|---|
| author | Hrushka, Ya. I. Грушка, Я. І. |
| author_facet | Hrushka, Ya. I. Грушка, Я. І. |
| author_sort | Hrushka, Ya. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:07Z |
| description | We construct a theory of Banach spaces of "generalized" operators with bounded projection trace over the given Hilbert space.
This theory can be efficient in investigating evolution problems for quantum systems with infinite number of particles. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.983
Я. I. Грушка (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРОСТОРИ УЗАГАЛЬНЕНИХ ОПЕРАТОРIВ
З ОБМЕЖЕНИМ ПРОЕКЦIЙНИМ СЛIДОМ*
We construct a theory of Banach spaces of “generalized” operators with bounded projection trace over the
given Hilbert space. This theory can be efficient in investigating evolution problems for quantum systems with
infinite number of particles.
Построена теория банаховых пространств „обобщенных” операторов с ограниченным проекционным
следом над заданным гильбертовым пространством. Эта теория может быть полезной при исследовании
эволюционных задач для квантовых систем с бесконечным количеством частиц.
1. Вступ. У багатьох роботах, присвячених дослiдженню багаточастинкових кван-
тових систем, еволюцiя описується за допомогою групи операторiв, що дiє у про-
сторi L1(H) операторiв з обмеженим слiдом над гiльбертовим простором H [1 – 3].
Проте цього простору виявляється недостатньо, зокрема, для розв’язання задач,
постановка яких природна в класi операторiв iз трансляцiйно-iнварiантним ядром,
оскiльки такi оператори не належать до простору L1(H). У зв’язку з цим у робо-
тi [3] ставиться питання про необхiднiсть вивчення властивостей груп операторiв
у бiльш загальних операторних просторах, нiж L1(H). В рамках поставленої задачi
в роботi [4] побудовано простори лiнiйних неперервних операторiв з обмеженим
проекцiйним слiдом та встановлено, що цi простори, в загальному випадку, не є
повними.
У данiй роботi конструкцiї роботи [4] застосовано до бiльш широкого оператор-
ного простору, нiж простiр лiнiйних неперервних операторiв, i побудовано банаховi
простори „узагальнених операторiв” з обмеженим проекцiйним слiдом.
2. Попереднi вiдомостi. Нехай (H, ‖·‖ , (·, ·)) — комплексний сепарабельний
гiльбертовий простiр. Через L(H) будемо позначати простiр лiнiйних неперервних
операторiв над H, а через O i I — нульовий та одиничний оператори простору
L(H) вiдповiдно. Для оператора A ∈ L1(H) через Tr(A) будемо позначати слiд
оператора A.
Нехай B — самоспряжений (взагалi кажучи, необмежений) оператор в H. Через
σp(B) будемо позначати точковий спектр оператора B, а через U(τ) — C0-групу
унiтарних операторiв U(τ) = eiτB , τ ∈ R. Будемо говорити, що оператор A ∈ L(H)
є трансляцiйно-iнварiантним вiдносно B, якщо вiн комутує з розкладом одиницi
оператора B (що рiвносильно AU(τ) = U(τ)A, τ ∈ R).
Основними прикладами трансляцiйно-iнварiантних операторiв є лiнiйнi непе-
рервнi оператори у просторi H = L2
(
Rd
)
, d ∈ N, якi породжуються трансляцiйно-
iнварiантним ядром, тобто (AKx)
(
~t
)
=
∫
Rd
K(~t , ~s )x(~s )d~s , ~t ∈ Rd, x ∈ H, де
ядро K : Rd × Rd 7→ C задовольняє умову K(~t + h,~s + h) = K(~t , ~s), ~t , ~s ∈ Rd,
h ∈ R (тут ~t + h = (t1 + h, . . . , td + h) , ~t = (t1, . . . , td) ∈ Rd). Такi оператори є
трансляцiйно-iнварiантними вiдносно генератора групи зсувiв по „дiагональному”
напрямку: (
U (d)(τ)x
)
(~s ) = x (~s + τ) , τ ∈ R, ~s ∈ Rd. (1)
*Частково пiдтримано Державним фондом фундаментальних дослiджень України (проект 41/1/011).
c© Я. I. ГРУШКА, 2011
24 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ПРОСТОРИ УЗАГАЛЬНЕНИХ ОПЕРАТОРIВ З ОБМЕЖЕНИМ ПРОЕКЦIЙНИМ СЛIДОМ 25
Зауважимо, що оператори з трансляцiйно-iнварiантним ядром в L2
(
Rd
)
вивчались
у монографiї [5]. Загальновiдомо, що цi оператори (в ненульовому випадку) не
належать простору L1 (H). Наступна теорема показує, що аналогiчний результат
має мiсце i в абстрактнiй ситуацiї.
Теорема 1 [4]. Нехай невiд’ємний оператор A ∈ L1(H) є трансляцiйно-iнварi-
антним вiдносно оператора B = B∗ такого, що σp(B) = ∅. Тодi A = O.
Навпаки, якщо σp(B) 6= ∅, то, як показано в [4], завжди iснує ненульовий
трансляцiйно-iнварiантний вiдносно B оператор A ∈ L1(H).
З урахуванням того, що оператори з трансляцiйно-iнварiантним ядром у L2
(
Rd
)
у ненульовому випадку не належать простору L1(H), в роботi [5] для таких опера-
торiв введено поняття рiзницевого слiду або слiду за „рiзницевою” змiнною:
T̃r (AK) =
=
∫
Rd−1
K̃(t1, . . . ti−1, 0, ti+1, . . . , td)dt1 . . . dti−1dti+1 . . . dtd, d > 1,
K(0, 0), d = 1,
=
=
Tr
(
P
(d)
i (∆)AKP
(d)
i (∆)
)
m(∆)
, i ∈ 1, d, ∆ ∈ B(R), 0 < m(∆) <∞, (2)
де K̃
(
~t
)
= K
(
~t ,~t
)
, m — мiра Лебега на R, 1, d = {1, . . . , d} , B(R) — σ-алгебра
борелiвських пiдмножин R, а P (d)
i — спектральна мiра на σ-алгебрi B(R):(
P
(d)
i (∆)x
)
(~t ) := χ∆ (ti)x(~t ), x ∈ L2
(
Rd
)
, ∆ ∈ B(R), i ∈ 1, d (3)
(тут χ∆ — характеристична функцiя множини ∆ ∈ B(R)). Легко перевiрити, що
у випадку трансляцiйно-iнварiантного ядра K величина T̃r(AK) не залежить вiд
iндексу i та множини ∆ ∈ B(R).
3. Простори узагальнених векторiв та узагальнених операторiв, породженi
спектральними мiрами.
Означення 1. Нехай (R,R) — вимiрний простiр (тобто R — σ-алгебра пiд-
множинR), P (·) : R 7→ L(H) — спектральна мiра на σ-алгебрiR. Крiм того, нехай
µ — деяка скалярна σ-скiнченна i не тотожно рiвна нулю мiра на R. Тодi четвiрку
(R,R, P, µ) будемо називати проекцiйним простором з мiрою над простором H
(або, скорочено, ПМ-простором над H).
Нехай (R,R, P, µ) — ПМ-простiр над H. Згiдно з правою частиною рiвностi (2)
в абстрактнiй ситуацiї простiр операторiв „з обмеженим проекцiйним слiдом” мож-
на визначити як множину тих операторiв A ∈ L(H), для яких величина ‖A‖P,µ :=
:= sup
{
Tr(|P (∆)AP (∆)|)
µ(∆)
∣∣∣∣ ∆ ∈ R, µ(∆) <∞,
µ(∆) + Tr(|P (∆)AP (∆)| > 0
}
є скiнченною, де у
випадку P (∆)AP (∆) /∈ L1 (H) слiд покласти Tr(|P (∆)AP (∆)|) := ∞, а у ви-
падку µ(∆) = 0 покладаємо
Tr(|P (∆)AP (∆)|)
µ(∆)
:= ∞. Але в роботi [4] показано,
що подiбна конструкцiя при застосуваннi над простором лiнiйних неперервних
операторiв L(H) приводить, взагалi кажучи, до неповних лiнiйних нормованих
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
26 Я. I. ГРУШКА
просторiв. Наступний приклад iлюструє (на iнтуїтивному рiвнi) той факт, що для
повного опису класу об’єктiв, якi можна назвати „операторами з обмеженим рiз-
ницевим слiдом”, потрiбно вийти не лише за межi класу лiнiйних неперервних
операторiв, але й за межi класу операторiв над простором H.
Приклад 1. Нехай H = L2 (R). Покладемо K(t, s) := 1, t, s ∈ R. Ядро K не
породжує над простором H нiякого нетривiального оператора AK (навiть необме-
женого) у стандартному розумiннi цього слова. Справдi, позначивши через Hfin
множину функцiй з простору L2 (R) , якi дорiвнюють нулю скрiзь, за винятком
деякої множини скiнченної мiри Лебега, навiть для функцiї x ∈ Hfin будемо мати
(AKx)(t) =
∫
R
x(s)ds ≡ const, t ∈ R. Звiдси видно, що AKx належить L2 (R) лише
тодi, коли
∫
R
x(s)ds = 0.Отже, якщо розглядатиAK над простором L2 (R), то отри-
маємо оператор, який визначений на деякiй нiде не щiльнiй лiнiйнiй пiдмножинi
простору H i тотожно дорiвнює нулю на цiй множинi.
Ядро K є додатно означеним
(
тобто
∫
R
K(t, s)x(t)x(s) dtds ≥ 0, x ∈ Hfin
)
i трансляцiйно-iнварiантним. Тому, застосувавши формально означення (2) слiду
за рiзницевою змiнною, для оператора AK отримаємо T̃r (AK) = K(0, 0) = 1 <
<∞. Отже, з iнтуїтивної точки зору AK повинен бути „невiд’ємним оператором з
обмеженим слiдом за рiзницевою змiнною”.
Хоча оператор AK не може бути визначений як оператор (навiть необмежений)
над основним простором H = L2 (R) , йому можна надати сенс, як оператору, що
дiє з „вужчого” простору Hfin у „ширший” простiр H̃ ⊃ H локально сумовних з
квадратом функцiй: H̃ =
{
f ∈ L(R) | ∀∆ ∈ B(R) (m(∆) <∞⇒ χ∆f ∈ L2 (R))
}
,
де L(R) — простiр вимiрних за Лебегом функцiй.
Нижче ми побудуємо „вужчий” та „ширший” простори в абстрактнiй ситуацiї.
3.1. Простiр H+
P,µ . Нехай (R,R, P, µ) — ПМ-простiр. Розглянемо простiр
„основних” елементiв гiльбертового простору H :
H+
P,µ :=
⋃
∆∈Rµ−fin
P (∆)H, (4)
де
Rµ−fin =
{
∆ ∈ R |µ(∆) <∞
}
.
Неважко перевiрити, що H+
P,µ є лiнiйним простором вiдносно алгебраїчних опера-
цiй, iндукованих iз простору H.
Означення 2. Будемо вважати, що послiдовнiсть векторiв {xn}∞n=1 ⊆ H+
P,µ
збiгається до вектора x ∈ H+
P,µ в сенсi простору H+
P,µ
(
позначення xn
(P,µ)+−−−→x,
n→∞
)
, якщо:
а) iснує множина ∆ ∈ Rµ−fin така, що {xn}∞n=1 ⊆ P (∆)H;
б) ‖xn − x‖−→ 0 при n→∞.
Можна перевiрити, що введена збiжнiсть перетворює H+
P,µ у лiнiйний простiр зi
збiжнiстю у сенсi [6 – 8] (зокрема, це означає, що операцiї додавання i множення на
константу неперервнi вiдносно даної збiжностi). Крiм того, цей простiр є повним
у сенсi [7, 8]. Справдi, нехай послiдовнiсть {xn}∞n=1 є фундаментальною в сенсi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ПРОСТОРИ УЗАГАЛЬНЕНИХ ОПЕРАТОРIВ З ОБМЕЖЕНИМ ПРОЕКЦIЙНИМ СЛIДОМ 27
[7, 8], тобто для довiльної пiдпослiдовностi {xnk}
∞
k=1 послiдовностi {xn}∞n=1 xnk−
−xk
(P,µ)+−−−→
k→∞
0. Тодi за п. б) означення 2 послiдовнiсть {xn} буде фундаментальною,
а отже, i збiжною у просторi H до деякого вектора x ∈ H. Взявши nk := k + 1,
згiдно з п. а) означення 2 отримаємо, що послiдовнiсть {xn − xn+1}∞n=1 належить
деякому пiдпростору P (∆)H, де ∆ ∈ Rµ−fin. Оскiльки згiдно з (4) x1 належить
P (∆1)H для деякої множини ∆1 ∈ Rµ−fin, то вся послiдовнiсть {xn}∞n=1 буде
належати множинi P (∆ ∪∆1)H, де ∆ ∪ ∆1 ∈ Rµ−fin. Тобто, за означенням 2,
xn
(P,µ)+−−−→x, n→∞.
У випадку, розглянутому в прикладi 1, простiр Hfin збiгається з простором
H+
P
(1)
1 ,m
, де m — мiра Лебега на R, а P (1)
1 — спектральна мiра, означена в (3).
Розглянемо простiр L
(
H+
P,µ
)
лiнiйних неперервних операторiв над простором
H+
P,µ, тобто простiр таких лiнiйних операторiв A : H+
P,µ 7−→ H+
P,µ, що для до-
вiльної послiдовностi {xn}∞n=1 ⊆ H+
P,µ з умови xn
(P,µ)+−−−→
n→∞
x 3 H+
P,µ випливає, що
Axn
(P,µ)+−−−→
n→∞
Ax.
Твердження 1. Лiнiйний оператор A : H+
P,µ 7−→ H+
P,µ належить простору
L
(
H+
P,µ
)
тодi i тiльки тодi, коли для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin iснує множина
∆′ = ∆′A ∈ Rµ−fin така, що:
1) AP (∆)H ⊆ P (∆′)H;
2) A � P (∆)H ∈ L (P (∆)H, P (∆′)H), де через A � P (∆)H позначено звуження
оператора A на простiр P (∆)H.
Доведення. А. Якщо для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin iснує множина
∆′ ∈ Rµ−fin, яка задовольняє умови 1, 2, то за означенням 2 для послiдовностi
{xn}∞n=1 ⊆ H+
P,µ такої, що xn
(P,µ)+−−−→
n→∞
x ∈ H+
P,µ, виконується Axn
(P,µ)+−−−→
n→∞
Ax, тобто A
належить L
(
H+
P,µ
)
.
Б. Нехай A належить L
(
H+
P,µ
)
. Розглянемо довiльну множину ∆ ∈ Rµ−fin.
У випадку P (∆) = O множина ∆′ := ∆ буде задовольняти умови 1, 2. Отже,
не обмежуючи загальностi, можна вважати, що P (∆) 6= O. Оскiльки простiр H
є сепарабельним i P (∆) 6= O (P (∆)H 6= {0}), то у пiдпросторi P (∆)H iснує
злiченна скрiзь щiльна множина X = {xn : n ∈ N} така, що 0 6∈ X (тобто xn 6= 0,
n ∈ N). Покладемо x̃n :=
xn
‖xn‖n
, n ∈ N. Тодi будемо мати {x̃n}∞n=1 ⊆ P (∆)H,
‖x̃n‖ −→
n→∞
0.Отже, x̃n
(P,µ)+−−−→
n→∞
0. Тому, оскiлькиA належитьL
(
H+
P,µ
)
, Ax̃n
(P,µ)+−−−→
n→∞
0 i за
означенням 2 iснує множина ∆′ ∈ Rµ−fin така, що {Ax̃n}∞n=1 ⊆ P (∆′)H. Оскiльки
xn = n ‖xn‖ x̃n, n ∈ N, то AX = {Axn}∞n=1 ⊆ P (∆′)H. Звiдси, враховуючи
щiльнiсть множини X в P (∆)H i неперервнiсть оператора A в сенсi простору
L
(
H+
P,µ
)
, отримуємо AP (∆)H ⊆ P (∆′)H i A � P (∆)H ∈ L (P (∆)H, P (∆′)H) .
Твердження 1 доведено.
3.2. Простiр H−
P,µ. Позначимо через H−P,µ (лiнiйний) простiр
(
H+
P,µ
)′
антилi-
нiйних неперервних функцiоналiв над простором H+
P,µ, тобто таких функцiоналiв
l : H+
P,µ 7→ C, що:
1) l (α1x1 + α2x2) = α1l (x1) + α2l (x2) , x1, x2 ∈ H+
P,µ, α1, α2 ∈ C;
2) якщо {xn}∞n=1 ⊆ H+
P,µ i xn
(P,µ)+−−−→
n→∞
x ∈ H+
P,µ, то l (xn) −→
n→∞
l(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
28 Я. I. ГРУШКА
Твердження 2. Антилiнiйний функцiонал l : H+
P,µ 7→ C належить простору
H−P,µ тодi i тiльки тодi, коли для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin функцiонал
l∆(x) = l(P (∆)x), x ∈ H, (5)
належить простору H′ = H.
Доведення. А. Нехай для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin функцiонал l∆, ви-
значений в (5), належить H′. Якщо для послiдовностi {xn}∞n=1 ⊆ H+
P,µ виконуєть-
ся xn
(P,µ)+−−−→
n→∞
x ∈ H+
P,µ, то ‖xn − x‖ −→
n→∞
0 i iснує множина ∆ ∈ Rµ−fin така, що
{xn}∞n=1 ⊆ P (∆)H. Тому l(xn) = l∆xn −→
n→∞
l∆x = l(x).
Б. Нехай l належить H−P,µ. Розглянемо довiльну множину ∆ ∈ Rµ−fin. Для
довiльної послiдовностi {xn}∞n=1 ⊆ H такої, що ‖xn − x‖ −→
n→∞
0, x ∈ H, маємо
P (∆)xn
(P,µ)+−−−→
n→∞
P (∆)x. Тому оскiльки l ∈ H−P,µ =
(
H+
P,µ
)′
, то
l∆xn = l(P (∆)xn) −→
n→∞
l(P (∆))x = l∆x,
тобто l∆ ∈ H′.
Твердження 2 доведено.
Означення 3. Будемо говорити, що послiдовнiсть функцiоналiв {ln}∞n=1 ⊆
⊆ H−P,µ збiгається (сильно) до функцiонала l ∈ H−P,µ у просторi H−P,µ
(
позначення
ln
(P,µ)−−−−→
n→∞
l
)
, якщо для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin виконується
∥∥(ln)∆−l∆
∥∥ −→
n→∞
−→
n→∞
0.
Можна довести, що введена в означеннi 3 збiжнiсть перетворює H−P,µ у лiнiйний
простiр зi збiжнiстю. Зауважимо, що замiсть слабкої збiжностi, яка часто зустрi-
чається в теорiї оснащених просторiв [9, с. 20], будемо розглядати саме сильну
збiжнiсть, введену в означеннi 3.
Нехай x належить H. Позначимо через ψ[x] функцiонал, що дiє з простору H+
P,µ
у C таким чином:
(ψ[x])(y) := (x, y), y ∈ H+
P,µ.
Нескладно перевiрити, що ψ[x] належить H−P,µ для довiльного x ∈ H, а вiдобра-
ження ψ[·] : H 7→ H−P,µ неперервне i є лiнiйним iзоморфiзмом мiж простором H i
пiдпростором ψ [H] простору H−P,µ. У зв’язку з викладеним вище довiльний еле-
мент x ∈ H будемо ототожнювати з функцiоналом ψ[x] ∈ H−P,µ. Крiм того, для
x ∈ H+
P,µ i l ∈ H−P,µ введемо скалярний добуток функцiонала l на елемент x:
(l, x) := l(x), (x, l) := (l, x) = l(x).
Враховуючи ототожнення x = ψ[x], x ∈ H, можна вважати, що H ⊆ H−P,µ, до того
ж з неперервностi вiдображення ψ[·] : H 7→ H−P,µ випливає, що останнє вкладення є
неперервним. Отже, H−P,µ є розширенням простору H з бiльш „слабкою” збiжнiстю.
У випадку l ∈ H з ототожнення l = ψ[l] випливає, що скалярнi добутки (l, x), (x, l)
(x ∈ H+
P,µ) збiгаються iз звичайними скалярними добутками в H. Легко перевiрити,
що цi скалярнi добутки лiнiйнi за першою змiнною i антилiнiйнi за другою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ПРОСТОРИ УЗАГАЛЬНЕНИХ ОПЕРАТОРIВ З ОБМЕЖЕНИМ ПРОЕКЦIЙНИМ СЛIДОМ 29
Твердження 3. Якщо {ln}∞n=1∪{l} ⊆ H−P,µ, {xn}
∞
n=1∪{x} ⊆ H+
P,µ, ln
(P,µ)−−−−→
n→∞
l,
xn
(P,µ)+−−−→
n→∞
x, то (ln, xn) −→
n→∞
(l, x) i (xn, ln) −→
n→∞
(x, l).
Доведення. Оскiльки xn
(P,µ)+−−−→
n→∞
x, то ‖xn − x‖ −→
n→∞
0 i {xn}∞n=1 ⊆ P (∆)H для
деякої множини ∆ ∈ Rµ−fin. Оскiльки ln
(P,µ)−−−−→
n→∞
l, то
∥∥ (ln)∆ − l∆
∥∥ −→
n→∞
0. Тому∣∣(ln, xn)− (l, x)
∣∣ ≤ |(ln − l) (xn)|+ |l (xn − x)| =
= |(ln − l) (P (∆) (xn))|+ |l (P (∆) (xn − x))| =
= |((ln)∆ − l∆) (xn)|+ |l∆ (xn − x)| ≤
≤ ‖(ln)∆ − l∆‖ ‖xn‖+ ‖l∆‖ ‖xn − x‖ −→
n→∞
0.
Спiввiдношення (xn, ln) −→
n→∞
(x, l) випливає з рiвностi (xn, ln) = (ln, xn), n ∈ N.
Твердження 3 доведено.
Твердження 4. Всi вкладення просторiв H+
P,µ ⊆ H ⊆ H−P,µ щiльнi i непе-
рервнi.
Доведення. Нехай l належить H−P,µ. Розглянемо довiльну послiдовнiсть множин
{∆n}∞n=1 ⊆ Rµ−fin таку, що ∆n ⊆ ∆n+1, n ∈ N i
∞⋃
n=1
∆n = R (оскiльки мiра µ є
σ-скiнченною, то така послiдовнiсть множин iснує). Покладемо
zn(x) := l∆n (x) = l (P (∆n)x) , n ∈ N, x ∈ H.
Згiдно з твердженням 2 zn ∈ H, n ∈ N. Тому для n ∈ N i x ∈ H маємо
(P (∆n) zn, x) = (zn, P (∆n)x) = l
(
P
(
∆n
)2
x
)
= l (P (∆n)x) = (zn, x) .
Отже, P (∆n) zn = zn, n ∈ N, тобто zn ∈ P (∆n)H ⊆ H+
P,µ, n ∈ N.
Доведемо, що zn
(P,µ)−−−−→
n→∞
l. Нехай ∆ ∈ Rµ−fin, x ∈ H i n ∈ N. Тодi
|(zn)∆ (x)− l∆(x)| =
= |(zn, P (∆)x)− l∆(x)| = |l (P (∆n)P (∆)x)− l∆(x)| =
= |l (P (∆)P (∆n)x)− l∆(x)| = |l∆ (P (∆n)x− x)| =
= |(l∆, (P (∆n)− I)x)| = |((P (∆n)− I) l∆, x)| ≤
≤ ‖(P (∆n)− I) l∆‖ ‖x‖ ,
тобто
∥∥(zn)∆ − l∆
∥∥ ≤ ‖(P (∆n)− I) l∆‖ −→
n→∞
0, ∆ ∈ Rµ−fin, а отже, zn
(P,µ)−−−−→
n→∞
l.
Щiльнiсть H+
P,µ в H−P,µ доведено. Щiльнiсть H в H−P,µ випливає з включення H+
P,µ ⊆
⊆ H, а щiльнiсть H+
P,µ в H випливає з того, що ‖P (∆n)x− x‖ −→
n→∞
0 ∀x ∈ H.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
30 Я. I. ГРУШКА
Неперервнiсть вкладення H ⊆ H−P,µ було обґрунтовано вище (див. с. 28), непе-
рервнiсть вкладення H+
P,µ ⊆ H є очевидною.
Твердження 4 доведено.
Наступний приклад показує, що деякi вiдомi математичнi об’єкти, якi виникли
самостiйно, можна розглядати як частинний випадок просторiв H−P,µ.
Приклад 2. Нехай H = L2 ([0, 2π]) — простiр сумовних з квадратом 2π-перi-
одичних функцiй. Покладемо
R := Z, R := 2Z, µ(∆) := card(∆), ∆ ∈ R,
(P (∆)f)(x) :=
∑
k∈∆
f ˆ(k)eikx, f ∈ H, x ∈ [0, 2π],
де card(∆) — потужнiсть множини ∆, а f ˆ(k) — k-й коефiцiєнт ряду Фур’є функцiї
f ∈ H. У цьому випадку Rµ−fin збiгається з множиною всiх скiнченних множин
цiлих чисел, а простiр H+
P,µ — iз простором всiх тригонометричних многочленiв.
Можна довести, що збiжнiсть у просторi H+
P,µ збiгається iз збiжнiстю у просто-
рi тригонометричних многочленiв в сенсi [10]. Тому простiр H−P,µ буде збiгатися
з простором узагальнених перiодичних функцiй, введеним у [10, 11]. Внаслiдок
скiнченновимiрностi пiдпросторiв P (∆)H, ∆ ∈ Rµ−fin, у цьому випадку сильна
збiжнiсть на H−P,µ збiгається з традицiйною слабкою збiжнiстю в „негативному”
просторi.
3.3. Простiр L
(
H−
P,µ
)
. Продовження операторiв з простору L(H) в L
(
H−
P,µ
)
.
Розглянемо простiр L
(
H−P,µ
)
лiнiйних неперервних операторiв на просторi H−P,µ,
тобто таких лiнiйних операторiв A : H−P,µ 7→ H−P,µ, що для довiльної послiдовностi
{fn}∞n=1 ⊆ H−P,µ такої, що fn
(P,µ)−−−−→
n→∞
f ∈ H−P,µ, має мiсце Afn
(P,µ)−−−−→
n→∞
Af. Очевидно,
що L
(
H−P,µ
)
є лiнiйним простором вiдносно операцiй додавання операторiв i мно-
ження операторiв на комплекснi числа. Також легко бачити, що для A,B ∈ L
(
H−P,µ
)
добуток операторiв AB також належить L
(
H−P,µ
)
.
Будемо говорити, що оператор A ∈ L(H) допускає продовження на простiр
H−P,µ, якщо iснує оператор A− ∈ L
(
H−P,µ
)
такий, що A ⊆ A−. Такий оператор
A− будемо називати продовженням оператора A на простiр H−P,µ. Зi щiльностi
простору H в H−P,µ випливає, що якщо продовження A− оператора A ∈ L(H) на
простiр H−P,µ iснує, то воно єдине. Легко переконатись у справедливостi наступного
твердження.
Твердження 5. 1. Оператори O, I ∈ L(H) допускають продовження на
H−P,µ, при цьому O− = O[H−P,µ], I− = I[H
−
P,µ], де O[H−P,µ], I[H
−
P,µ] — нульовий та
одиничний оператори на просторi H−P,µ.
2. Якщо оператори A, B ∈ L(H) допускають продовження на H−P,µ, то опе-
ратори λA + µB, λ, µ ∈ C, i AB також допускають продовження на H−P,µ, при
цьому (λA+ µB)− = λA− + µB−, (AB)− = A−B−.
Згiдно з п. 1 твердження 5, якщо це не викликає непорозумiнь, нульовий та
одиничний оператори простору H−P,µ будемо позначати так само, як i вiдповiднi
оператори простору H (тобто O− = O, I− = I).
Нехай A належить L(H). Позначимо через A+ звуження оператора A на простiр
H+
P,µ, A+ := A � H+
P,µ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ПРОСТОРИ УЗАГАЛЬНЕНИХ ОПЕРАТОРIВ З ОБМЕЖЕНИМ ПРОЕКЦIЙНИМ СЛIДОМ 31
Зауваження 1. ОператорA+ можна трактувати як оператор, що дiє з простору
H+
P,µ в H, або як оператор, що дiє з H+
P,µ в H−P,µ.
Твердження 6. Якщо A належить L(H) i (A∗)+ належить L
(
H+
P,µ
)
(де A∗
— оператор, спряжений до A в сенсi простору L(H)), то оператор A допускає
продовження на простiр H−P,µ. При цьому для f ∈ H−P,µ i x ∈ H+
P,µ має мiсце
рiвнiсть
(A−f, x) = (f, A∗x) . (6)
Доведення. Нехай A ∈ L(H) i (A∗)+ ∈ L
(
H+
P,µ
)
. Для f ∈ H−P,µ покладемо
(A∼f, x) := (f,A∗x) =
(
f, (A∗)+ x
)
, x ∈ H+
P,µ. (7)
Оскiльки (A∗)+ належить L
(
H+
P,µ
)
, то формула (7) коректно визначає антилiнiйний
функцiонал A∼f на просторi H+
P,µ, причому, згiдно з твердженням 3, цей функцiо-
нал є неперервним на H+
P,µ, тобто A∼f ∈ H−P,µ, f ∈ H−P,µ. Таким чином, A∼ —
оператор, що вiдображає простiр H−P,µ в H−P,µ. З означення (7) видно, що цей опе-
ратор є лiнiйним. Доведемо, що оператор A∼ є неперервним на H−P,µ. Розглянемо
довiльну послiдовнiсть {fn}∞n=1 ⊆ H−P,µ таку, що fn
(P,µ)−−−−→
n→∞
f ∈ H−P,µ. Розглянемо
довiльну множину ∆ ∈ Rµ−fin. Використовуючи (7), для довiльного вектора x ∈ H
отримуємо
((A∼fn)∆ − (A∼f)∆ , x) = (A∼fn −A∼f, P (∆)x) = (fn − f,A∗P (∆)x) .
Оскiльки (A∗)+ належить L
(
H+
P,µ
)
, то, згiдно з твердженням 1, iснує множина
∆′ ∈ Rµ−fin така, що A∗P (∆)H ⊆ P (∆′)H (A∗P (∆)x = P (∆′)A∗P (∆)x, x ∈ H).
Тому ∣∣((A∼fn)∆ − (A∼f)∆, x)
∣∣ =
∣∣(fn − f, P (∆′)A∗P (∆)x
)∣∣ =
=
∣∣( (fn)∆′ − f∆′ , A
∗P (∆)x
)∣∣ ≤ ∥∥ (fn)∆′ − f∆′
∥∥ ‖A∗‖ ‖x‖ , x ∈ H,∥∥ (A∼fn)∆ − (A∼f)∆
∥∥ ≤ ∥∥(fn)∆′ − f∆′
∥∥ ‖A∗‖ −→
n→∞
0 (∀∆ ∈ Rµ−fin) .
Отже, за означенням 3A∼fn
(P,µ)−−−−→
n→∞
A∼f, тобтоA∼ ∈ L
(
H−P,µ
)
.Для f ∈ H i x ∈ H+
P,µ
згiдно з (7) маємо (A∼f, x) = (f,A∗x) = (Af, x) або A∼f = Af, f ∈ H. Отже, A∼
є (неперервним) продовженням оператора A на простiр H−P,µ (тобто A− = A∼).
Твердження 6 доведено.
3.4. Продовження спектральної мiри P (∆). Якщо ∆ належить R, то опе-
ратор P (∆) вiдображає лiнiйно неперервно простiр H+
P,µ в себе. Тому твердження
6 дає змогу при ∆ ∈ R продовжити проекцiйнi оператори P (∆) на весь простiр
H−P,µ. Введемо позначення
P(∆) = P (∆)−, ∆ ∈ R.
Згiдно з спiввiдношенням (6) для довiльної множини ∆ ∈ R має мiсце рiвнiсть
(P(∆)f, x) = (f, P (∆)x) , f ∈ H−P,µ, x ∈ H+
P,µ. (8)
Згiдно з твердженням 5 для операторiв P(∆) зберiгаються такi властивостi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
32 Я. I. ГРУШКА
P(∅) = O, P(R) = I, P(∆)2 = P(∆), ∆ ∈ R,
P (∆1 ∩∆2) = P (∆1)P (∆2) , ∆1, ∆2 ∈ R, (9)
P (∆1 ∪∆2) = P (∆1) + P (∆2) , ∆1, ∆2 ∈ R, ∆1 ∩∆2 = ∅.
За означенням простору H+
P,µ при ∆ ∈ Rµ−fin оператори P (∆) вiдображають
простiр H у простiр H+
P,µ (тобто P (∆)H ⊆ H+
P,µ). Виявляється, що викладене
залишається правильним i для операторiв P(∆) на H−P,µ (а саме, P(∆)H−P,µ ⊆
⊆ P (∆)H ⊆ H+
P,µ, ∆ ∈ Rµ−fin).
Твердження 7. 1. Для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin P(∆)H−P,µ ⊆ P (∆)H.
2. Для {fn}∞n=1 ∪ {f} ⊆ H−P,µ збiжнiсть fn
(P,µ)−−−−→
n→∞
f рiвносильна умовi
‖P(∆)fn − P(∆)f‖ −→
n→∞
0 ∀∆ ∈ Rµ−fin.
3. Якщо ∆ ∈ Rµ−fin, то P(∆) ∈ L
(
H−P,µ, H
+
P,µ
) (
i, як наслiдок, P(∆) ∈
∈ L
(
H−P,µ, H
))
.
Доведення. 1. Нехай ∆ ∈ Rµ−fin i f ∈ H−P,µ. З рiвностi (8) випливає, що
P(∆)f = f∆, (10)
де f∆ ∈ H — вектор, визначений в (5). Отже, згiдно з властивостями (9) P(∆)f =
= P(∆)2f = P (∆)f∆ ∈ P (∆)H.
2. Другий пункт даного твердження випливає з означення 3 i рiвностi (10).
3. Нехай ∆ належить Rµ−fin. Згiдно з п. 1 даного твердження оператор P(∆)
вiдображає простiр H−P,µ у простiр P (∆)H (а отже, i в H+
P,µ), причому, згiдно з п. 2,
P(∆) вiдображає H−P,µ в H+
P,µ лiнiйно неперервно.
Твердження 7 доведено.
Твердження 8. Нехай {∆n}∞n=1 ⊆ R — диз’юнктна послiдовнiсть множин
(∆i ∩ ∆j = ∅ при i 6= j) i ∆0 =
∞⋃
n=1
∆n. Тодi P (∆0) =
∑∞
n=1
P (∆n) , де
збiжнiсть ряду слiд розумiти в сильному сенсi над простором H−P,µ.
Доведення. Нехай f належить H−P,µ. Тодi для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin,
згiдно з твердженням 7 (п. 1)), P(∆)f належить H. Тому, враховуючи властивостi
(9), для довiльного n ∈ N отримуємо∥∥∥∥∥P(∆)
n∑
k=1
P (∆k) f − P(∆)P (∆0) f
∥∥∥∥∥ =
=
∥∥∥∥∥
n∑
k=1
P (∆ ∩∆k) f − P (∆ ∩∆0) f
∥∥∥∥∥ =
=
∥∥∥∥∥
n∑
k=1
P (∆k)P(∆)f − P (∆0)P(∆)f
∥∥∥∥∥ . (11)
Оскiльки P (·) — спектральна мiра над H, то права частина рiвностi (11) прямує до
нуля при n→∞. Отже, для ∆ ∈ Rµ−fin маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ПРОСТОРИ УЗАГАЛЬНЕНИХ ОПЕРАТОРIВ З ОБМЕЖЕНИМ ПРОЕКЦIЙНИМ СЛIДОМ 33∥∥∥∥∥P(∆)
n∑
k=1
P (∆k) f − P(∆)P (∆0) f
∥∥∥∥∥ −→n→∞ 0.
Внаслiдок цього, враховуючи твердження 7 (п. 2)), завершуємо доведення тверд-
ження 8.
4. Простiр L+−
P,µ(H) як розширення простору L(H). Основним об’єктом
подальшого вивчення буде простiр
L+−
P,µ(H) = L
(
H+
P,µ,H
−
P,µ
)
лiнiйних неперервних операторiв з простору H+
P,µ у простiр H−P,µ
(
тобто таких
операторiв A : H+
P,µ 7−→ H−P,µ, що для довiльної послiдовностi {xn}∞n=1 ⊆ H+
P,µ
такої, що xn
(P,µ)+−−−→
n→∞
x ∈ H+
P,µ, має мiсце Axn
(P,µ)−−−−→
n→∞
Ax
)
.
Очевидно, що простiр L+−
P,µ (H) є лiнiйним простором вiдносно операцiй дода-
вання операторiв та множення операторiв на комплекснi числа.
Твердження 9. Для того щоб лiнiйний оператор A : H+
P,µ 7−→ H−P,µ належав
простору L+−
P,µ(H), необхiдно i достатньо, щоб
P(∆)AP (∆) ∈ L(H) ∀∆ ∈ Rµ−fin. (12)
Доведення. Необхiднiсть випливає з твердження 7 (п. 3)).
Достатнiсть. Нехай виконується умова (12). Розглянемо довiльну послiдов-
нiсть {xn}∞n=1 ⊆ H+
P,µ таку, що xn
(P,µ)+−−−→
n→∞
x ∈ H+
P,µ. Тодi, за означенням збiжностi
(P,µ)+−−−→, iснує множина ∆0 ∈ Rµ−fin така, що {xn}∞n=1 ⊆ P (∆0)H i ‖xn − x‖ −→
n→∞
0.
Враховуючи п. 2 твердження 7, для доведення збiжностi Axn
(P,µ)−−−−→
n→∞
Ax досить по-
казати, що ‖P(∆) (Axn −Ax)‖ −→
n→∞
0 ∀∆ ∈ Rµ−fin. Отже, розглянемо довiльну
множину ∆ ∈ Rµ−fin. Оскiльки xn, x належать P (∆0)H ⊆ P (∆0 ∪∆)H, n ∈ N,
то, використовуючи рiвностi (9), отримуємо
‖P(∆) (Axn −Ax)‖ =
= ‖P(∆)P (∆0 ∪∆) (AP (∆0 ∪∆)xn −AP (∆0 ∪∆)x)‖ =
= ‖P (∆)P (∆0 ∪∆) (AP (∆0 ∪∆)xn −AP (∆0 ∪∆)x)‖ ≤
≤ ‖P (∆0 ∪∆) (AP (∆0 ∪∆)xn −AP (∆0 ∪∆)x)‖ . (13)
За умовою (12) P (∆0 ∪∆)AP (∆0 ∪∆) належить L(H). Отже, вираз у правiй
частинi (13) прямує до нуля при n→∞, що й необхiдно було довести.
Твердження 9 доведено.
Твердження 9 мотивує введення рiвномiрної збiжностi в L+−
P,µ (H).
Означення 4. Нехай {An}∞n=1 ⊆ L
+−
P,µ (H) , A ∈ L+−
P,µ (H).
1. Будемо говорити, що послiдовнiсть операторiв {An}∞n=1 рiвномiрно збi-
гається до оператора A у просторi L+−
P,µ (H)
(
позначення An
(P,µ)
⇒
n→∞
A
)
, якщо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
34 Я. I. ГРУШКА
для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin виконується спiввiдношення
∥∥P(∆)(An −
−A)P (∆)
∥∥ −→
n→∞
0, де операторну норму слiд розумiти в рiвномiрному сенсi.
2. Будемо говорити, що послiдовнiсть операторiв {An}∞n=1 є рiвномiрно фун-
даментальною у просторi L+−
P,µ (H), якщо для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin
послiдовнiсть операторiв {P(∆)AnP (∆)}∞n=1 рiвномiрно фундаментальна у прос-
торi L(H).
Введена вище рiвномiрна операторна збiжнiсть перетворює L+−
P,µ (H) в лiнiйний
простiр зi збiжнiстю.
Теорема 2. Для того щоб послiдовнiсть {An}∞n=1 ⊆ L
+−
P,µ (H) була рiвномiр-
но фундаментальною у просторi L+−
P,µ (H), необхiдно i достатньо, щоб iснував
оператор A ∈ L+−
P,µ (H) такий, що An
(P,µ)
⇒
n→∞
A.
Зауваження 2. Можна довести, що фундаментальнiсть послiдовностi опера-
торiв у сенсi п. 2 означення 4 рiвносильна її фундаментальностi в сенсi лiнiйних
просторiв зi збiжнiстю [7, 8]. Отже, теорема 2 стверджує, що простiр L+−
P,µ (H), є
повним у сенсi [7, 8] вiдносно введеної в означеннi 4 збiжностi.
Доведення теореми 2. Достатнiсть випливає безпосередньо з означення 4.
Необхiднiсть. Нехай послiдовнiсть {An}∞n=1 є рiвномiрно фундаментальною
у просторi L+−
P,µ (H) . Тодi для ∆ ∈ Rµ−fin послiдовнiсть {P(∆)AnP (∆)}∞n=1 є
рiвномiрно фундаментальною у просторi L(H). Тому для довiльної множини ∆ ∈
∈ Rµ−fin iснує оператор A∆ ∈ L(H) такий, що∥∥P(∆)AnP (∆)−A∆
∥∥ −→
n→∞
0. (14)
Тодi для довiльних ∆, ∆1 ∈ Rµ−fin маємо
P (∆1)A∆P (∆1) = lim
n→∞
P (∆1)P(∆)AnP (∆)P (∆1) =
= lim
n→∞
P (∆1 ∩∆)AnP (∆1 ∩∆) = A∆∩∆1
, (15)
де границю слiд розумiти у рiвномiрному сенсi простору L(H).Нехай x, y належать
H+
P,µ. Тодi iснує множина ∆ ∈ Rµ−fin така, що x, y належать P (∆)H. Покладемо
A(x, y) := (A∆x, y) ∈ C. (16)
Доведемо, що таке означення коректне, тобто вираз A(x, y) не залежить вiд мно-
жини ∆ ∈ Rµ−fin такої, що x, y належать P (∆)H. Нехай x, y належать P (∆1)H,
де ∆1 належать Rµ−fin. Тодi, згiдно з (15),
(A∆x, y) = (A∆P (∆1)x, P (∆1) y) =
= (P (∆1)A∆P (∆1)x, y) = (A∆∩∆1
x, y) .
Аналогiчно, (A∆1
x, y) = (A∆∩∆1
x, y), тобто (A∆x, y) = (A∆1
x, y) . Коректнiсть
означення доведено.
З (16) випливає, що A(·, ·) є 1,5-лiнiйною формою на H+
P,µ (тобто вiдображенням
з H+
P,µ × H+
P,µ в C, яке є лiнiйним за першою змiнною i антилiнiйним за другою).
Доведемо, що ця форма є неперервною за сукупнiстю змiнних. Нехай {xn}∞n=1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ПРОСТОРИ УЗАГАЛЬНЕНИХ ОПЕРАТОРIВ З ОБМЕЖЕНИМ ПРОЕКЦIЙНИМ СЛIДОМ 35
{yn}∞n=1 — послiдовностi векторiв з простору H+
P,µ, до того ж xn
(P,µ)+−−−→
n→∞
x ∈ H+
P,µ,
yn
(P,µ)+−−−→
n→∞
y ∈ H+
P,µ. Тодi з означення збiжностi
(P,µ)+−−−→ випливає iснування множини
∆ ∈ Rµ−fin такої, що xn, yn належать P (∆)H, n ∈ N, i виконання спiввiдношень
‖xn − x‖ −→
n→∞
0, ‖yn − y‖ −→
n→∞
0. Оскiльки xn, yn належать P (∆)H, n ∈ N, i A∆
належить L(H), то, згiдно з (16), при n ∈ N отримуємо
A (xn, yn) = (A∆xn, yn) −→
n→∞
(A∆x, y) = A (x, y),
Неперервнiсть 1,5-лiнiйної форми A доведено.
Нехай x ∈ H+
P,µ. Покладемо
(Ax)(y) := A(x, y), y ∈ H+
P,µ. (17)
Оскiльки A(·, ·) — 1,5-лiнiйна форма, що неперервна за сукупнiстю змiнних, то Ax є
антилiнiйним неперервним функцiоналом на H+
P,µ (для довiльного x ∈ H+
P,µ), тобто
Ax ∈ H−P,µ, x ∈ H+
P,µ. Отже, A — оператор, що вiдображає H+
P,µ в H−P,µ. З лiнiйностi
форми A за першою змiнною випливає, що оператор A є лiнiйним. Доведемо,
що A ∈ L+−
P,µ (H) . Розглянемо довiльну множину ∆ ∈ Rµ−fin. Використовуючи
послiдовно (8), (17), (16) i (15), для довiльних x, y ∈ H знаходимо
(P(∆)AP (∆)x, y) = (AP (∆)x, P (∆)y) = A (P (∆)x, P (∆)y) =
= (A∆P (∆)x, P (∆)y) = (P (∆)A∆P (∆)x, y) = (A∆x, y).
Отже,
P(∆)AP (∆) = A∆, ∆ ∈ Rµ−fin, (18)
де A∆ ∈ L(H), ∆ ∈ Rµ−fin. Тому, згiдно з твердженням 9, A належить L+−
P,µ (H) .
Використовуючи (18) i (14), для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin i довiльного
номера n ∈ N маємо∥∥P(∆) (An −A)P (∆)
∥∥ =
∥∥P(∆)AnP (∆)−A∆
∥∥ −→
n→∞
0.
Отже, за означенням 4 An
(P,µ)
⇒
n→∞
A.
Теорему 2 доведено.
Нехай A належить L(H). Враховуючи зауваження 1, скрiзь у даному пiдпунктi
оператор A+ = A � H+
P,µ будемо розумiти як оператор з простору L+−
P,µ (H). Легко
перевiрити, що вiдображення (·)+ : L(H) 7→ L+−
P,µ (H) взаємно однозначно вiдобра-
жає простiр L(H) у пiдпростiр L(H)+ = {A+ : A ∈ L(H)} простору L+−
P,µ (H) i є
iнварiантним вiдносно лiнiйних операцiй над операторами. Тому ми можемо про-
стiр L(H) ототожнити з пiдпростором L(H)+, а довiльний оператор A ∈ L(H) —
з оператором A+ ∈ L+−
P,µ (H) . Тодi отримаємо включення L(H) ⊆ L+−
P,µ (H) . До-
вiльна рiвномiрно збiжна в L(H) послiдовнiсть операторiв {An}∞n=1 є збiжною i в
L+−
P,µ (H) (точнiше, в L+−
P,µ (H) є збiжною послiдовнiсть
{
(An)+
}∞
n=1
). Отже, вкла-
дення L(H) ⊆ L+−
P,µ (H) є неперервним. Неважко перевiрити, що для оператора
A ∈ L+−
P,µ (H) має мiсце рiвносильнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
36 Я. I. ГРУШКА
A = O ⇐⇒ ∀∆ ∈ Rµ−fin P(∆)AP (∆) = O. (19)
5. Узагальненi проекцiйнi слiди операторiв з простору L+−
P,µ (H). Нехай A
належить L+−
P,µ (H). Покладемо
νP,A (∆) := Tr(|P(∆)AP (∆)|), ∆ ∈ Rµ−fin,
де у випадку P(∆)AP (∆) /∈ L1(H) слiд покласти νP,A (∆) := ∞. Отже, можна
вважати, що величина νP,A (∆) визначена для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin.
Покладемо
‖A‖P,µ := sup
{
νP,A (∆)
µ(∆)
∣∣∣∣ ∆ ∈ Rµ−fin,
µ(∆) + νP,A (∆) > 0
}
, A ∈ L+−
P,µ (H) , (20)
де у випадку µ(∆) = 0 слiд покласти
νP,A (∆)
µ(∆)
:=∞. Оскiльки, як було зазначено
в означеннi 1, мiра µ є σ-скiнченною i не тотожно дорiвнює нулю, то визначення
величини ‖·‖P,µ коректне (тобто „sup” в (20) береться по непорожнiй множинi).
Враховуючи, що величина ‖A‖P,µ є скiнченною, взагалi кажучи, не при всiх
A ∈ L+−
P,µ (H), покладемо
TP,µ (H) :=
{
A ∈ L+−
P,µ (H) : ‖A‖P,µ <∞
}
.
Якщо A належить TP,µ (H) , то для множини ∆ ∈ Rµ−fin з умови µ(∆) =
= 0 згiдно з (20) випливає νP,A (∆) = 0. З останнього зауваження i рiвностi (20)
отримуємо, що для довiльного оператора A ∈ TP,µ (H) виконується нерiвнiсть
Tr(|P(∆)AP (∆)|) ≤ ‖A‖P,µ µ(∆), ∆ ∈ Rµ−fin. (21)
Теорема 3.
(
TP,µ (H) , ‖·‖P,µ
)
є банаховим простором, який неперервно вкла-
дається у простiр L+−
P,µ (H) .
Доведення. 1. Згiдно з теоремою 2 [4]
(
TP,µ (H) ∩ L(H), ‖·‖P,µ
)
є лiнiйним
нормованим простором. Тому, скориставшись рiвнiстю
‖A‖P,µ = sup
∆∈Rµ−fin
‖P(∆)AP (∆)‖P,µ , A ∈ TP,µ (H)
(яку легко довести) i рiвносильнiстю (19), неважко переконатись, що
(
TP,µ (H),
‖·‖P,µ
)
є лiнiйним нормованим простором. Доведемо повноту цього простору.
Нехай {An}∞n=1 ⊆ TP,µ (H) i ‖An −Am‖P,µ −→n→∞ 0. Зафiксуємо довiльну множину
∆ ∈ Rµ−fin. Згiдно з (21) для довiльних m, n ∈ N маємо
Tr
(∣∣P(∆) (An −Am)P (∆)
∣∣) ≤ µ(∆) ‖An −Am‖P,µ . (22)
Таким чином, з фундаментальностi послiдовностi {An}∞n=1 у просторi TP,µ (H)
випливає фундаментальнiсть послiдовностi
{
P(∆)AnP (∆)
}∞
n=1
у просторi L1(H),
а отже, i в просторi L(H), для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin. Тобто, за означенням
4 послiдовнiсть операторiв {An}∞n=1 є рiвномiрно фундаментальною у просторi
L+−
P,µ (H) i, згiдно з теоремою 2, iснує оператор A ∈ L+−
P,µ (H) такий, що An
(P,µ)
⇒
n→∞
A.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ПРОСТОРИ УЗАГАЛЬНЕНИХ ОПЕРАТОРIВ З ОБМЕЖЕНИМ ПРОЕКЦIЙНИМ СЛIДОМ 37
Доведемо, що A належить TP,µ (H) i ‖An −A‖P,µ −→n→∞ 0. За означенням 4
для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin ‖P(∆) (An −A)P (∆)‖ −→
n→∞
0. З iншого бо-
ку, як було зазначено вище, послiдовнiсть операторiв {P(∆)AnP (∆)}∞n=1 є фун-
даментальною, а отже, i збiжною, у просторi L1(H). Отже, враховуючи, що з
iснування границi послiдовностi операторiв у просторi L1(H) випливає збiг цi-
єї границi з її рiвномiрною границею у просторi L(H), переконуємося, що для
довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin оператор P(∆)AP (∆) належить L1(H), причому∥∥P(∆) (An −A)P (∆)
∥∥
L1(H)
−→
n→∞
0. Покладемо
ηn := sup
m∈N,m≥n
‖An −Am‖P,µ , n ∈ N.
Оскiльки, за умовою, ‖An −Am‖P,µ −→
m,n→∞
0, то ηn−→ 0, n → ∞. З нерiв-
ностi (22) випливає, що ‖P(∆) (An −Am)P (∆)‖L1(H) ≤ µ(∆)ηn, ∆ ∈ Rµ−fin,
m, n ∈ N, m ≥ n. Тому, перейшовши до границi при m→∞, отримаємо
νP,An−A (∆) =
∥∥P(∆) (An −A)P (∆)
∥∥
L1(H)
≤ µ(∆)ηn, ∆ ∈ Rµ−fin, n ∈ N,
тому ‖An −A‖P,µ ≤ ηn, n ∈ N. Оскiльки ηn < ∞, n ∈ N, то з останнього
спiввiдношення випливає, що A належить TP,µ (H) , Бiльш того, оскiльки ηn−→ 0,
n→∞, то послiдовнiсть {An}∞n=1 збiгається до оператора A за нормою простору
TP,µ (H) .
2. За побудовою простору TP,µ (H), TP,µ (H) ⊆ L+−
P,µ (H) . Якщо {An}∞n=1 ⊆
⊆ TP,µ (H) i ‖An −A‖P,µ −→n→∞ 0, де A ∈ TP,µ (H) , то за нерiвнiстю (21) для
довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin маємо∥∥P(∆) (An −A)P (∆)
∥∥ ≤
≤
∥∥P(∆) (An −A)P (∆)
∥∥
L1(H)
≤ ‖An −A‖P,µ µ(∆) −→
n→∞
0,
тобто An
(P,µ)
⇒
n→∞
A. Неперервнiсть вкладення TP,µ (H) ⊆ L+−
P,µ (H) доведено.
Теорему 3 доведено.
Зауважимо, що теорему 3 було анонсовано в роботi [12].
З нерiвностi (21) випливає, що для довiльного оператора A ∈ TP,µ (H) i довiль-
ної множини ∆ ∈ Rµ−fin величина τP,A (∆) = Tr (P(∆)AP (∆)) має сенс. Також з
цiєї нерiвностi та з спiввiдношення (2.6) [13, с. 24] випливає, що
|τP,A (∆)| ≤ Tr (|P(∆)AP (∆)|) ≤ ‖A‖P,µ µ(∆), ∆ ∈ Rµ−fin. (23)
Теорема 4. Нехай A ∈ TP,µ (H). Тодi:
1) функцiя множини τP,A (∆) = Tr (P(∆)AP (∆)), ∆ ∈ Rµ−fin, є комплексно-
значним зарядом на кiльцi множин Rµ−fin;
2) заряд τP,A (·) є абсолютно неперервним вiдносно мiри µ; це означає, що
iснує похiдна Радона – Никодима
dτP,A
dµ
, тобто функцiя
dτP,A
dµ
: R 7→ C така, що
для довiльної множини ∆ ∈ Rµ−fin має мiсце рiвнiсть
τP,A (∆) =
∫
∆
dτP,A
dµ
(ξ)dµ(ξ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
38 Я. I. ГРУШКА
Доведення. 1. Нехай A ∈ TP,µ (H) i τP,A (∆) = Tr (P(∆)AP (∆)) , ∆ ∈ Rµ−fin.
I. Доведемо спочатку, що функцiя множини τP,A (·) є адитивною на кiльцi мно-
жин Rµ−fin. Нехай ∆1,∆2 ∈ Rµ−fin, ∆1 ∩ ∆2 = ∅. Покладемо ∆ := ∆1 ∪ ∆2,
A∆ := P(∆)AP (∆). Згiдно з (21) A∆ ∈ L1(H). Тому, використовуючи властиво-
стi (9) та загальновiдомi властивостi слiдiв операторiв з простору L1(H), отримуємо
τP,A (∆) = Tr (P(∆)AP (∆)) = Tr (P(∆)P(∆)AP (∆)P (∆)) =
= Tr (P (∆)A∆P (∆)) = Tr (P (∆)A∆) = Tr ((P (∆1) + P (∆2))A∆) =
= Tr (P (∆1)A∆) + Tr (P (∆2)A∆) =
= Tr (P (∆1)A∆P (∆1)) + Tr (P (∆2)A∆P (∆2)) =
= Tr (P (∆1 ∩∆)AP (∆1 ∩∆)) + Tr (P (∆2 ∩∆)AP (∆2 ∩∆)) =
= Tr (P (∆1)AP (∆1)) + Tr (P (∆2)AP (∆2)) = τP,A (∆1) + τP,A (∆2) .
II. Доведемо, що функцiя τP,A є σ-адитивною на Rµ−fin. Нехай ∆ ∈ Rµ−fin,
∆ =
⋃∞
n=1 ∆n, де ∆i ∈ Rµ−fin, ∆i ∩ ∆j = ∅, i, j ∈ N, i 6= j. Покладемо ΛN :=
:=
⋃N
n=1 ∆n, N ∈ N. Тодi, згiдно з п. I для довiльного N ∈ N маємо
τP,A (∆) = τP,A (ΛN ) + τP,A (∆ \ ΛN ) =
N∑
n=1
τP,A (∆n) + τP,A (∆ \ ΛN ) ,
де, згiдно з нерiвнiстю (23),∣∣τP,A (∆ \ ΛN )
∣∣ ≤ ‖A‖P,µ µ (∆ \ ΛN )−→ 0, n→∞.
Тому ряд
∑∞
n=1
τP,A (∆n) збiгається i τP,A (∆) =
∑∞
n=1
τP,A (∆n) .
2. Доведемо iснування похiдної Радона – Никодима
dτP,A
dµ
. Оскiльки мiра µ
є σ-скiнченною, то iснує послiдовнiсть множин {∆n}∞n=1 ⊆ Rµ−fin така, що⋃∞
n=1 ∆n = R. Не обмежуючи загальностi будемо вважати, що ∆i ∩ ∆j = ∅,
i 6= j.
(
Справдi, якщо послiдовнiсть {∆n}∞n=1 такої властивостi не має, то зав-
жди можна перейти до послiдовностi множин
{
∆̃n
}∞
n=1
, де ∆̃1 = ∆1 i ∆̃n =
=
(⋃n
k=1 ∆k
)
\
(⋃n−1
k=1 ∆k
)
, n > 1.
)
ПокладемоRn := {∆ ∈ R : ∆ ⊆ ∆n} = {∆ ∩∆n : ∆ ∈ R} , n ∈ N. Тодi будемо
мати Rn ⊆ Rµ−fin, n ∈ N. Для довiльного n ∈ N клас множин Rn є σ-алгеброю i
τP,A є (скiнченним) зарядом на σ-алгебрi Rn. З нерiвностi (23) випливає, що цей
заряд є абсолютно неперервним вiдносно мiри µ на ∆n. Отже, згiдно з теоремою
Радона – Никодима, для довiльного n ∈ N iснує функцiя ρn : ∆n 7→ C така, що
τP,A (∆) =
∫
∆
ρn(ξ)dµ(ξ), ∆ ∈ Rn, причому з нерiвностi (23) випливає, що для
майже всiх ξ ∈ ∆n має мiсце нерiвнiсть |ρn(ξ)| ≤ ‖A‖P,µ . Тому функцiя ρ : R 7→
7→ C, що збiгається з функцiями ρn на довiльнiй множинi ∆n, n ∈ N, буде iстотно
обмеженою на R, а отже, i сумовною за мiрою µ на довiльнiй множинi ∆ ∈ Rµ−fin.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ПРОСТОРИ УЗАГАЛЬНЕНИХ ОПЕРАТОРIВ З ОБМЕЖЕНИМ ПРОЕКЦIЙНИМ СЛIДОМ 39
Звiдси неважко вивести, що τP,A (∆) =
∫
∆
ρ(ξ)dµ(ξ), ∆ ∈ Rµ−fin. З єдиностi (з
точнiстю до „майже скрiзь”) похiдної Радона – Никодима на множинах скiнченної
мiри ∆n, n ∈ N, випливає, що функцiя ρ, що задовольняє останню умову, єдина
з точнiстю до „майже скрiзь за мiрою µ”. Отже, рiвнiсть ρ =
dτP,A
dµ
має мiсце на
всiй множинi R. Теорему 4 доведено.
Похiдну Радона – Никодима, про яку йшлося в теоремi 4, будемо називати уза-
гальненим проекцiйним слiдом оператора A ∈ TP,µ (H) :
T̃rP,µ[A] :=
dτP,A
dµ
.
Можна довести, що у класичному випадку лiнiйних неперервних операто-
рiв з трансляцiйно-iнварiантним ядром в L2
(
Rd
)
узагальнений проекцiйний слiд
T̃r
P
(d)
i ,m
є константою, яка збiгається iз слiдом за рiзницевою змiнною. (Нагадаємо,
що тут m — мiра Лебега на R, а P (d)
i — спектральна мiра, визначена в (3).)
1. Cercignani C., Gerasimenko V. I., Petrina D. Ya. Many-particle dynamics and kinetic equations. –
Kluwer Acad. Publ., 1997. – 252 p.
2. Arnold A. Mathematical properties of quantum evolution equations // Lect. Notes Math. – 2008. – 1946.
– P. 45 – 109.
3. Gerasimenko V. I. Groups of operators for evolution equations of quantum many-particle systems //
Oper. Theory: Adv. and Appl. – 2009. – 191. – P. 341 – 355.
4. Грушка Я. I. Простори операторiв з обмеженим проекцiйним слiдом // Мат. вiсн. Наук. т-ва iм.
Шевченка. – 2009. – 6. – С. 73 – 86.
5. Petrina D. Ya. Mathematical foundations of quantum statistical mechanics. Continuous systems. –
Amsterdam: Kluwer, 1995. – 624 p.
6. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. – М.: Высш. шк., 1981. – 584 c. – Т. 2.
7. Duldrey R. M. On sequentional convergence // Trans. Amer. Math. Soc. – 1964. – 122. – P. 483 – 507.
8. Мосягин В. В., Широков Б. М. Линейные пространства со сходимостью и конусом // Тр. Петрозавод.
гос. ун-та. Математика. – 2001. – Вып. 8. – С. 14 – 19.
9. Березанский Ю. М., Кондратьев Ю. Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе. – Киев:
Наук. думка, 1988. – 680 с.
10. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений.
– Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с.
11. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Тригонометрические ряды и обобщенные периодические функции
// Докл. АН СССР. – 1981. – 257, № 4. – С. 799 – 804.
12. Грушка Я. I. Трансляцiйно-iнварiантнi оператори та операторний аналог слiду за рiзницевою
змiнною // Доп. НАН України. – 2010. – № 3. – С. 13 – 18.
13. Alessandro Michelangeli. Bose – Einstein condensation: analysis of problems and rigorous results //
S.i.s.s.a. preprint 70/2007/mp. – 153 p.
Одержано 02.07.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2696 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:31Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/de/4550061bade14517f0d5dfe11bb6bfde.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26962020-03-18T19:34:07Z Spaces of generalized operators with bounded projection trace Простори узагальнених операторів з обмеженим проекційним слідом Hrushka, Ya. I. Грушка, Я. І. We construct a theory of Banach spaces of "generalized" operators with bounded projection trace over the given Hilbert space. This theory can be efficient in investigating evolution problems for quantum systems with infinite number of particles. Построена теория банаховых пространств „обобщенных” операторов с ограниченным проекционным следом над заданным гильбертовым пространством. Эта теория может быть полезной при исследовании эволюционных задач для квантовых систем с бесконечным количеством частиц. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2696 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 1 (2011); 24-39 Український математичний журнал; Том 63 № 1 (2011); 24-39 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2696/2148 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2696/2149 Copyright (c) 2011 Hrushka Ya. I. |
| spellingShingle | Hrushka, Ya. I. Грушка, Я. І. Spaces of generalized operators with bounded projection trace |
| title | Spaces of generalized operators with bounded projection trace |
| title_alt | Простори узагальнених операторів з обмеженим проекційним слідом |
| title_full | Spaces of generalized operators with bounded projection trace |
| title_fullStr | Spaces of generalized operators with bounded projection trace |
| title_full_unstemmed | Spaces of generalized operators with bounded projection trace |
| title_short | Spaces of generalized operators with bounded projection trace |
| title_sort | spaces of generalized operators with bounded projection trace |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2696 |
| work_keys_str_mv | AT hrushkayai spacesofgeneralizedoperatorswithboundedprojectiontrace AT gruškaâí spacesofgeneralizedoperatorswithboundedprojectiontrace AT hrushkayai prostoriuzagalʹnenihoperatorívzobmeženimproekcíjnimslídom AT gruškaâí prostoriuzagalʹnenihoperatorívzobmeženimproekcíjnimslídom |