Rate of convergence in the Euler scheme for stochastic differential equations with non-Lipschitz diffusion and Poisson measure
We study the rate of convergence and some other properties of the Euler scheme for stochastic differential equations with the non-Lipschitz diffusion and the Poisson measure.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2697 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508648441118720 |
|---|---|
| author | Zubchenko, V. P. Mishura, Yu. S. Зубченко, В. П. Мішура, Ю. С. |
| author_facet | Zubchenko, V. P. Mishura, Yu. S. Зубченко, В. П. Мішура, Ю. С. |
| author_sort | Zubchenko, V. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:07Z |
| description | We study the rate of convergence and some other properties of the Euler scheme for stochastic differential equations with the non-Lipschitz diffusion and the Poisson measure. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
В. П. Зубченко, Ю. С. Мiшура (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI У СХЕМI ЕЙЛЕРА
ДЛЯ СТОХАСТИЧНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
IЗ НЕЛIПШИЦЕВОЮ ДИФУЗIЄЮ
ТА ПУАССОНIВСЬКОЮ МIРОЮ*
We study the rate of convergence and some other properties of the Euler scheme for stochastic differential
equations with the non-Lipschitz diffusion and the Poisson measure.
Исследована скорость сходимости и некоторые другие свойства схемы Эйлера для стохастических
дифференциальных уравнений с нелипшицевой диффузией и пуассоновской мерой.
1. Вступ. Стохастичнi диференцiальнi рiвняння широко застосовуються при мо-
делюваннi рiзноманiтних природних явищ. При цьому особливого значення на-
бувають чисельнi схеми, адже поряд iз важливим теоретичним значенням вони
дозволяють ефективно проводити комп’ютерне моделювання. Зауважимо, що сто-
хастичнi диференцiальнi рiвняння дифузiйного типу та вiдповiднi чисельнi схеми iз
гельдеровим коефiцiєнтом дифузiї активно застосовуються у сферi фiнансiв та стра-
хування. Зокрема, надзвичайно популярним є використання таких моделей при мо-
делюваннi миттєвих стохастичних вiдсоткових ставок [1]. Останнi ж виявляються
незамiнними при оцiнюваннi довгострокових вiдсоткових ставок, побудовi фiнан-
сових прогнозiв, розробцi довгострокової стратегiї розвитку фiнансової установи
чи страхової компанiї, включаючи аналiз прибутковостi та ризику проваджуваної
дiяльностi.
Важливим питанням є дослiдження швидкостi збiжностi чисельних схем. Зокре-
ма, у роботах [2, 3] одержано результати щодо швидкостi сильної збiжностi у схемi
Ейлера для стохастичних диференцiальних рiвнянь дифузiйного типу з однорiдни-
ми коефiцiєнтами та нелiпшицевою дифузiєю, у роботi [4] — для рiвняння такого
ж типу, але з лiнiйним коефiцiєнтом зносу та додатковою випадковiстю. У робо-
тi [5] розглянуто рiвняння дифузiйного типу з неоднорiдними коефiцiєнтами та
гельдеровою дифузiєю.
Проте фiнансовi ринки практично завжди функцiонують таким чином, що вiд-
сотковi ставки чи iншi фiнансовi iндекси у певнi моменти часу мають стрибки. Тому
природними для використання при моделюваннi вказаних характеристик виявля-
ються стохастичнi диференцiальнi рiвняння зi стрибковою частиною. Швидкiсть
сильної збiжностi чисельних схем для рiвнянь такого типу з лiпшицевими кое-
фiцiєнтами вивчалася в роботi [6]. Але особливий iнтерес становить поєднання
нелiпшицевостi дифузiї, властивої бiльшостi стохастичних фiнансових моделей, та
стрибкiв, котрi моделюються, наприклад, за допомогою пуассонiвської мiри.
У зв’язку з цим у данiй роботi ми дослiджуємо швидкiсть сильної збiжностi
у схемi Ейлера для стохастичного диференцiального рiвняння з нелiпшицевою
дифузiєю та пуассонiвською мiрою. Деякi iншi властивостi рiвнянь такого типу
дослiджено також у роботах [7, 8].
*Пiдтримано Європейською комiсiєю у рамках програми “Marie Curie Actins” (грант “Multifracti-
onality” № PIRSES-GA-2008-230804).
c© В. П. ЗУБЧЕНКО, Ю. С. МIШУРА, 2011
40 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI У СХЕМI ЕЙЛЕРА ДЛЯ СТОХАСТИЧНИХ . . . 41
Нехай задано ймовiрнiсний простiр (Ω,F ,P) з потоком σ-алгебр Ft, що задо-
вольняє стандартнi умови та поповнений усiма подiями з F0 нульової ймовiрностi.
Будемо дослiджувати стохастичне диференцiальне рiвняння
Xt = x0 +
t∫
0
a(Xs) ds+ σ
t∫
0
|Xs|α dWs +
t∫
0
∫
R
q(Xs, y)ν̃(ds, dy), (1)
де W — вiнерiвський процес; ν — пуассонiвська мiра, Eν(dt, dy) = Π(dy)dt,
ν̃(dt, dy) = ν(dt, dy) − Π(dy)dt — центрована пуассонiвська мiра, Π — сигма-
скiнченна мiра на σ-алгебрi борельових множин R. Вiнерiвський процес W та
центрована пуассонiвська мiра ν̃ узгодженi з потоком Ft та незалежнi мiж собою.
Коефiцiєнти a(x), q(x, y) — невипадковi функцiї, вимiрнi за сукупнiстю змiнних,
σ > 0 — невипадкова стала, α ∈
[
1
2
, 1
)
, x0 > 0.
Опишемо коротко будову статтi. У п. 2 описано схему Ейлера для вказаного сто-
хастичного диференцiального рiвняння та дослiджено основнi її властивостi. У п. 3
одержано локальну оцiнку швидкостi збiжностi схеми Ейлера. Третiй, основний,
пункт присвячено дослiдженню швидкостi сильної збiжностi схеми Ейлера.
2. Допомiжнi результати. Нехай для коефiцiєнтiв стохастичного диференцiаль-
ного рiвняння (1) виконуються умови iснування та єдиностi невiд’ємного сильного
розв’язку [8]:
1)
∫
R
|q(x, y)|2Π(dy)≤C, C — деяка стала, lim
x1→x2
∫
R
|q(x1, y)−q(x2, y)|2Π(dy) =
= 0,
2) a(x) ≥ 0 для будь-якого x ∈ R, a(x) ≤ C(1 + |x|), C — деяка стала,
3) |a(x1)−a(x2)| ≤ k|x1−x2|, q(0, y) = 0 для будь-якого y ∈ R, q(x, y) ≥ 0 для
будь-яких x ∈ R+, y ∈ R та задовольняє умову
∫
R
|q(x1, y) − q1(x2, y)|Π(dy) ≤
≤ k|x1 − x2| для всiх x1, x2 ∈ R, k — деяка стала.
Нехай (Xt, t ≥ 0) — розв’язок стохастичного диференцiального рiвняння (1).
Для фiксованого T > 0 розглянемо наступну симетризовану схему Ейлера
(
Xtj ,
j = 0, . . . , N
)
:
Xtj+1 =
∣∣∣∣∣Xtj + a(Xtj )∆t+ σX
α
tj (Wtj+1 −Wtj ) +
+
∫
R
q(Xtj , y)(ν̃(tj+1, dy)− ν̃(tj , dy))
∣∣∣∣∣, j = 0, . . . , N − 1, X0 = x0 > 0, (2)
tj = j∆t, ∆t > 0, N∆t = T. Далi будемо використовувати неперервну версiю
запису схеми Ейлера:
Xt =
∣∣∣∣∣Xη(t) + (t− η(t))a(Xη(t)) + σX
α
η(t)(Wt −Wη(t)) +
+
∫
R
q(Xη(t), y)(ν̃(t, dy)− ν̃(η(t), dy))
∣∣∣∣∣,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
42 В. П. ЗУБЧЕНКО, Ю. С. МIШУРА
де η(s) = sup
j∈{1,...,N}
{tj ; tj ≤ s}. Випадковий процес Xt, 0 ≤ t ≤ T, з iмовiрнiстю 1
є невiд’ємним. Iндукцiєю по j = 0, . . . , N − 1 за допомогою формули Мейєра – Iто
доведемо, що випадковий процес Xt, 0 ≤ t ≤ T, є семiмартингалом iз локальним
часом L0(Xt), 0 ≤ t ≤ T, в нулi. Для випадку q ≡ 0 це доведено у роботi [2].
Нагадаємо формулу Мейєра – Iто [9, с. 217]:
f(Xt)− f(X0) =
t∫
0+
f ′(Xs−) dXs+
+
∑
0<s≤t
{
f(Xs)− f(Xs−)− f ′(Xs−)∆Xs)
}
+
1
2
∞∫
−∞
µ(da)Lat ,
де µ — заряд, що є узагальненою похiдною f в узагальнено-функцiональному сенсi.
Позначимо
Zt = Xη(t) + (t− η(t))a(Xη(t))+
+σX
α
η(t)(Wt −Wη(t)) +
∫
R
q(Xη(t), y)(ν̃(t, dy)− ν̃(η(t), dy)). (3)
Тодi Xt = |Zt|. Застосовуючи формулу Мейєра – Iто до функцiї f(x) = |x|, одер-
жуємо
Xt = x0 +
t∫
0
sgn(Zs−)a(Xη(s)) ds+ σ
t∫
0
sgn(Zs−)X
α
η(s)dWs+
+
t∫
0
sgn(Zs−)q(Xη(s), y)ν̃(ds, dy)+
+
t∫
0
∫
R
[
|Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−| − sgn(Zs−)q(Xη(s), y)
]
ν(ds, dy) + L0
t (X).
Враховуючи, що ν(ds, dy) = ν̃(ds, dy) + Π(dy)ds, отримуємо
Xt = x0 +
t∫
0
sgn(Zs−)a(Xη(s)) ds+
+
t∫
0
∫
R
[
|Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−| − sgn(Zs−)q(Xη(s), y)
]
Π(dy)ds+
+σ
t∫
0
sgn(Zs−)X
α
η(s)dWs+
+
t∫
0
∫
R
[
|Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−|
]
ν̃(ds, dy) + L0
t (X). (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI У СХЕМI ЕЙЛЕРА ДЛЯ СТОХАСТИЧНИХ . . . 43
Далi лiтерою C будемо позначати сталi, що залежать лише вiд T, x0, iнших
фiксованих параметрiв та не залежать вiд N.
Лема 1. Нехай при деякому p ≥ 1 для коефiцiєнтiв стохастичного диферен-
цiального рiвняння (1) виконуються умови 1 – 3 та для l = 2p умова
C1)
∫
R
|q(x, y)|lΠ(dy) ≤ C = C(p) > 0 для всiх x ∈ R+.
Тодi
E
(
sup
t∈[0,T ]
X2p
t
)
+ E
(
sup
t∈[0,T ]
X
2p
t
)
≤ C. (5)
Доведення. Доведемо (5) для випадкового процесу
(
Xt, 0 ≤ t ≤ T
) (
для випад-
кового процесу
(
Xt, 0 ≤ t ≤ T
)
доведення аналогiчне
)
. Застосуємо узагальнену
формулу Iто до функцiї f(x) = x2p та вiзьмемо до уваги, що
1
2
∫ t
0
X
2p−1
s dL0(Xs) =
= 0. Iз зображення (4) одержуємо
X
2p
t = x2p
0 + 2p
t∫
0
X
2p−1
s sgn(Zs−)a(Xη(s)) ds+
+2p
t∫
0
∫
R
X
2p−1
s
[
|Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−| − sgn(Zs−)q(Xη(s), y)
]
Π(dy)ds+
+σ2p(2p− 1)
t∫
0
X
2p−2
s X
2α
η(s) ds+ 2pσ
t∫
0
X
2p−1
s sgn(Zs−)X
α
η(s)dWs+
+
t∫
0
∫
R
[
(Xs + |Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−|)2p−
−X2p
s −X
2p−1
s 2p(|Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−|)
]
Π(dy)ds+
+
t∫
0
∫
R
[
(Xs + |Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−|)2p −X2p
s
]
ν̃(ds, dy).
Означимо послiдовнiсть (τn)n≥0 моментiв зупинки таким чином: τn = inf{0 ≤ s ≤
≤ T |Xη(s) ≥ n} ∧ T, inf{∅} = T. Зауважимо, що для будь-якого ω ∈ Ω iснує таке
n0 = n0(ω), що для всiх n ≥ n0 маємо τn = T.
Оцiнимо EX
2p
t 1{t<τn}:
EX
2p
t 1{t<τn} ≤ x
2p
0 + 2pE
t∫
0
X
2p−1
s |a(Xη(s))|1{s<τn} ds+
+2pE
t∫
0
∫
R
X
2p−1
s
∣∣|Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−|−
− sgn(Zs−)q(Xη(s), y)|
∣∣1{s<τn}Π(dy)ds+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
44 В. П. ЗУБЧЕНКО, Ю. С. МIШУРА
+σ2p(2p− 1)E
t∫
0
X
2p−2
s X
2α
η(s)1{s<τn} ds+
+E
t∫
0
∫
R
∣∣(Xs + |Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−|)2p−
−X2p
s −X
2p−1
s 2p(|Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−|)
∣∣1{s<τn}Π(dy)ds :=
:= x2p
0 + I1 + I2 + I3 + I4.
Оцiнимо вищевказанi доданки. Для оцiнок використаємо нерiвнiсть Юнга
I1 ≤ (2p− 1)E
t∫
0
X
2p
s 1{s<τn} ds+ E
t∫
0
|a(Xη(s))|2p1{s<τn} ds ≤
≤ C + CE
t∫
0
X
2p
s 1{s<τn} ds+ CE
t∫
0
X
2p
η(s)1{s<τn} ds.
При оцiнюваннi I2 врахуємо, що q(x, y) ≥ 0 для будь-яких x ∈ R+, y ∈ R,
скористаємось очевидною нерiвнiстю |a + b| − |a| − sgn a · b ≤ 2b, де b ≥ 0, та
врахуємо, що внаслiдок умови 3
∫
R
q(x, y)Π(dy) ≤ kx для будь-якого x ∈ R+.
Тому
I2 ≤ 4pE
t∫
0
X2p−1
s 1{s<τn}
∫
R
q(Xη(s), y)Π(dy)
ds ≤
≤ 2(2p− 1)E
t∫
0
X
2p
s 1{s<τn} ds+ 2E
t∫
0
∫
R
q(Xη(s), y)1{s<τn}Π(dy)
2p
ds ≤
≤ CE
t∫
0
X
2p
s 1{s<τn} ds+ CE
t∫
0
X
2p
η(s)1{s<τn} ds.
При оцiнюваннi I3 знову скористаємось нерiвнiстю Юнга та тим, що xα ≤ 1 + x,
α ∈
[
1
2
, 1
)
, x > 0:
I3 ≤ C + CE
t∫
0
X
2p
s 1{s<τn} ds+ CE
t∫
0
X
2p
η(s)1{s<τn} ds.
При оцiнюваннi iнтеграла I4 зауважимо, що вiн має вигляд
E
t∫
0
∫
R
|f(Xs + Ys)− f(Xs)− f ′(Xs)Ys|1{s<τn}Π(dy)ds,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI У СХЕМI ЕЙЛЕРА ДЛЯ СТОХАСТИЧНИХ . . . 45
де Ys = |Zs−+ q(Xη(s), y)| − |Zs−|, f(x) = x2p. Застосувавши формулу Лагранжа,
одержимо оцiнку
|I4| ≤ E
t∫
0
∫
R
|Ys| |f ′(θ)− f ′(Xs)|1{s<τn}Π(dy)ds ≤
≤ CE
t∫
0
∫
R
q(Xη(s), y)(X
2p−1
s +
[
q(Xη(s), y)
]2p−1
)1{s<τn}Π(dy)ds ≤
≤ CE
t∫
0
X
2p
s 1{s<τn} ds+
+CE
t∫
0
∫
R
q(Xη(s), y)Π(dy)
2p
1{s<τn} ds+ CE
T∫
0
∫
R
[
q(Xη(s), y)
]2p
Π(dy)ds ≤
≤ C + CE
t∫
0
X
2p
s 1{s<τn} ds+ CE
t∫
0
X
2p
η(s)1{s<τn} ds,
де θ позначає деяке промiжне значення мiж Xs та Xs + Ys.
Тому з вищенаведених оцiнок одержуємо
EX
2p
t 1{t<τn} ≤ C + CE
t∫
0
X
2p
s 1{s<τn} ds+ CE
t∫
0
X
2p
η(s)1{s<τn} ds. (6)
Далi з означення Xs одержуємо
EX
2p
s 1{s<τn} = E
∣∣∣∣∣Xη(s) + (s− η(s))a(Xη(s)) + σX
α
η(s)(Ws −Wη(s))+
+
∫
R
q(Xη(s), y)(ν̃(s, dy)− ν̃(η(s), dy))
∣∣∣∣∣
2p
1{s<τn} ≤
≤ C + CEX
2p
η(s)1{s<τn} + CE(1 +Xη(s))
2p1{s<τn} + CEX
2αp
η(s)1{s<τn}+
+CE
∫
R
q(Xη(s), y)1{s<τn}ν̃(s, dy)
2p
+
+CE
∫
R
q(Xη(s), y)1{s<τn}ν̃(η(s), dy)
2p
≤ C + CEX
2p
η(s)1{s<τn}. (7)
У вищенаведених оцiнках ми використали умови на коефiцiєнти стохастичного ди-
ференцiального рiвняння та нерiвнiсть Буркхолдера – Девiса – Гандi. Тому з оцiн-
ки (6), використовуючи (7), одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
46 В. П. ЗУБЧЕНКО, Ю. С. МIШУРА
EX
2p
t 1{t<τn} ≤ C + CE
t∫
0
X
2p
η(s)1{s<τn} ds,
звiдки
EX
2p
η(t)1{η(t)<τn} ≤ C + CE
η(t)∫
0
X
2p
η(s)1{s<τn} ds ≤ C + CE
t∫
0
X
2p
η(s)1{η(s)<τn} ds.
Використовуючи лему Гронуолла, маємо
sup
j=0,...,N
E
(
X
2p
tj
)
1{tj<τn} ≤ C.
Переходячи до границi при n→∞, отримуємо
sup
j=0,...,N
E
(
X
2p
tj
)
≤ C.
З оцiнки (7) випливає, що EX
2p
t ≤ C, а тому й supt∈[0,T ] EX
2p
t ≤ C. Викори-
стовуючи цю оцiнку, нерiвнiсть Буркхолдера – Девiса – Гандi та оцiнки I1, . . . , I4,
завершуємо доведення леми.
Лема 2. Нехай випадковий процес {Xt, 0 ≤ t ≤ T} є розв’язком стохастич-
ного диференцiального рiвняння (1), для коефiцiєнтiв якого виконуються умови 1 – 3
та умова a(0) > 0. Тодi для будь-якого p > 0 iснує стала C = C(p) > 0 така, що
sup
t∈[0,T ]
E
1
Xp
t
≤ C.
Доведення. Застосувавши узагальнену формулу Iто до функцiї f(x) = x−p та
розв’язку Xt рiвняння (1), поки що формально запишемо
X−pt = x−p0 − p
t∫
0
X−p−1
s a(Xs) ds+
+
1
2
p(p+ 1)
t∫
0
X−p−2
s σ2X2α
s ds− p
t∫
0
X−p−1
s Xα
s dWs+
+
t∫
0
∫
R
{
(Xs + q(Xs, y))−p −X−ps + pX−p−1
s q(Xs, y)
}
Π(dy)ds+
+
t∫
0
∫
R
{
(Xs + q(Xs, y))−p −X−ps
}
ν̃(dy, ds). (8)
Розглянемо наступнi моменти зупинки: τε = inf{0 < s ≤ T : Xs ≤ ε}, inf{∅} = T,
ε > 0. Домножаючи лiву й праву частини зображення (8) на 1{t<τε}, використову-
ючи те, що a(x) ≥ a(0)− kx для будь-якого x ∈ R+, та умови 2, 3, одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI У СХЕМI ЕЙЛЕРА ДЛЯ СТОХАСТИЧНИХ . . . 47
EX−pt 1{t<τε} ≤ x
−p
0 − pE
t∫
0
X−p−1
s a(Xs)1{t<τε} ds+
+
1
2
p(p+ 1)E
t∫
0
X−p−2
s σ2X2α
s 1{t<τε} ds+
+E
t∫
0
∫
R
{
(Xs + q(Xs, y))−p −X−ps + pX−p−1
s q(Xs, y)
}
1{t<τε}Π(dy)ds ≤
≤ x−p0 + kpE
t∫
0
X−ps 1{s<τε} ds+
+E
t∫
0
(p(p+ 1)
σ2
2
X−p+2(α−1)
s − pa(0)X−p−1
s )1{t<τε} ds+
+E
t∫
0
∫
R
{
(Xs + q(Xs, y))−p −X−ps
}
1{t<τε}Π(dy)ds+
+E
t∫
0
∫
R
pX−p−1
s (q(Xs, y)− q(0, y))}1{t<τε}Π(dy)ds ≤
≤ x−p0 + kpE
t∫
0
X−ps 1{s<τε} ds+
+E
t∫
0
(
p(p+ 1)
σ2
2
X−p+2(α−1)
s − pa(0)X−p−1
s
)
1{t<τε} ds+
+kpE
t∫
0
X−ps 1{s<τε} ds,
де в останнiй нерiвностi для оцiнки останнього доданка ми скористались тим, що
q(0, y) = 0 для будь-якого y ∈ R. Також неважко переконатись, що
p(p+ 1)
σ2
2
x−p+2(α−1) − pa(0)x−p−1
при будь-якому x > 0 обмежене зверху деякою додатною сталою C. Тому
EX−pt 1{t<τε} ≤ x
−p
0 + C + 2kpE
t∫
0
X−ps 1{s<τε} ds.
Використовуючи нерiвнiсть Гронуолла, маємо
EX−pt 1{t<τε} ≤ C.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
48 В. П. ЗУБЧЕНКО, Ю. С. МIШУРА
Переходячи до границi при ε→ 0, одержуємо
sup
t∈[0,T ]
E
1
Xp
t
≤ C.
Лему 2 доведено.
Лема 3. Нехай випадковий процес {Xt, 0 ≤ t ≤ T} є розв’язком стохастич-
ного диференцiального рiвняння (1), для коефiцiєнтiв якого виконуються умови
1 – 3 та умова a(0) > 0. Тодi:
1) iснує таке n0,що для будь-якого n — кiлькостi iнтервалiв у розбиттi вiдрiзка
[0, T ], n ≥ n0, виконується нерiвнiсть
P(Zt ≤ 0) ≤ 1
2
E exp
(
−
X
2−2α
η(t) (1− 2k∆t)2
2σ2∆t
)
,
де Zt означено в (3);
2) при цьому у випадку α ∈
(
1
2
, 1
)
iснує таке β0 > 0, що
sup
t∈[0,T ]
P(Zt ≤ 0) ≤ exp
(
− C
(∆t)β0
)
.
Доведення. 1. Зауважимо, що внаслiдок умови q(0, y) = 0 для всiх y ∈ R у
випадку Xη(t) = 0 маємо Zt = (t − η(t))a(0) > 0, тому далi будемо розглядати
лише умовну ймовiрнiсть при Xη(t) > 0. Тодi
P(Zt ≤ 0) = P
(
Xη(t) + (t− η(t))a(Xη(t))+
+σX
α
η(t)(Wt −Wη(t)) +
∫
R
q(Xη(t), y)(ν̃(t, dy)− ν̃(η(t), dy)) ≤ 0
)
=
= P
(
Xη(t) + (t− η(t))a(Xη(t)) + σX
α
η(t)(Wt −Wη(t))+
+
∫
R
q(Xη(t), y)(ν(t, dy)− ν(η(t), dy)) ≤
∫
R
q(Xη(t), y) Π(dy)(t− η(t))
)
,
де в останнiй рiвностi ми використали те, що ν̃(ds, dy) = ν(ds, dy) − Π(dy)ds, та
умову 3, за якою
∫
R
q(x, y) Π(dy) ≤ kx для всiх x ∈ R+. Одержуємо
P(Zt ≤ 0) ≤ P
(
Xη(t) + (t− η(t))a(Xη(t)) + σX
α
η(t)(Wt −Wη(t))+
+
∫
R
q(Xη(t), y)(ν(t, dy)− ν(η(t), dy)) ≤ kXη(t)(t− η(t))
)
=
= P
(
Xη(t)(1− k(t− η(t))) + (t− η(t))a(Xη(t)) + σX
α
η(t)(Wt −Wη(t))+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI У СХЕМI ЕЙЛЕРА ДЛЯ СТОХАСТИЧНИХ . . . 49
+
∫
R
q(Xη(t), y)(ν(t, dy)− ν(η(t), dy)) ≤ 0
)
≤
≤ P
(
Wt −Wη(t) ≤
−Xη(t)(1− k(t− η(t)))− (t− η(t))a(Xη(t))
σX
α
η(t)
−
−
∫
R
q(Xη(t), y)(ν̃(t, dy)− ν̃(η(t), dy))
σX
α
η(t)
, Xη(t) > 0
)
.
Внаслiдок лiпшицевостi коефiцiєнта зносу a(x) ≥ a(0) − kx для всiх x ∈ R+.
Використовуючи нерiвнiсть для гауссiвських випадкових величин, одержуємо
P(Zt ≤ 0) ≤ 1
2
E1{Xη(t)>0} exp
−
(
Xη(t)(1− 2k(t− η(t))) + a(0)(t− η(t))
2σ2X
2α
η(t)(t− η(t))
+
+
∫
R
q(Xη(t), y)(ν(t, dy)− ν(η(t), dy))
)2
2σ2X
2α
η(t)(t− η(t))
≤
≤ 1
2
E1{Xη(t)>0} exp
−
(
Xη(t)(1− 2k∆t) + a(0)(t− η(t))
2σ2X
2α
η(t)∆t
+
+
∫
R
q(Xη(t), y)(ν(t, dy)− ν(η(t), dy))
)2
2σ2X
2α
η(t)∆t
. (9)
При достатньо великому n — кiлькостi iнтервалiв у розбиттi вiдрiзка [0, T ] — маємо
1− 2k∆t > 0. Тому
P(Zt ≤ 0) ≤ 1
2
E
(
exp
[
−
X
2
η(t)(1− 2k∆t)2
2σ2X
2α
η(t)∆t
]
1{Xη(t)>0}
)
≤
≤ 1
2
E exp
[
−
X
2−2α
η(t) (1− 2k∆t)2
2σ2∆t
]
,
звiдки одержуємо перше твердження леми.
2. Розглянемо тепер випадок α ∈
(
1
2
, 1
)
.При достатньо великому n — кiлькостi
iнтервалiв у розбиттi вiдрiзка [0, T ] — маємо 1 − 2k∆t ≥ 1
2
. Тому з оцiнки (9)
одержуємо
P(Zt ≤ 0) ≤ 1
2
E
(
exp
[
−
X
2(1−α)
η(t)
8σ2∆t
]
exp
(
− a(0)
2σ2X
2α−1
η(t)
)
1{Xη(t)>0}
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
50 В. П. ЗУБЧЕНКО, Ю. С. МIШУРА
Розглядаючи подiї (Xη(t) ≤
√
∆t) та (Xη(t) >
√
∆t), отримуємо
P(Zt ≤ 0) ≤ 1
2
E
[
exp
(
− (
√
∆t)2(1−α)
8σ2∆t
)
1{Xη(t)>
√
∆t}+
+ exp
(
− a(0)
2σ2(
√
∆t)2α−1
)
1{0<Xη(t)≤
√
∆t}
]
,
що й завершує доведення другого твердження леми.
Лема 4. Нехай виконано умови леми 1. Тодi iснує така стала C = C(p) > 0,
що для всiх t, s ∈ [0, T ] маємо
E|Xt −Xs|2p ≤ C|t− s|p.
Доведення. 1. Розглянемо спочатку випадок, коли s та t належать одному вiдрiз-
ку розбиття: tj ≤ s, t ≤ tj+1 для деякого j, 0 ≤ j ≤ n− 1, n — кiлькiсть iнтервалiв
розбиття. Тодi
E|Xt −Xs|2p = E
∣∣∣∣∣∣a(Xtj )(t− s) + σX
α
tj (Wt −Ws)+
+
∫
R
q(Xtj , y)(ν̃(t, dy)− ν̃(s, dy))
∣∣∣∣∣∣
2p
≤
≤ C|t− s|2pE|a(Xtj )|2p + C|t− s|pE|σXα
tj |
2p+
+CE
∣∣∣∣∣∣
t∫
s
∫
R
q2(Xtj , y) Π(dy)du
∣∣∣∣∣∣
p
.
Використовуючи оцiнку (5) та умови 1, 2 на коефiцiєнти стохастичного диферен-
цiального рiвняння, одержуємо
E|Xt −Xs|2p ≤ C|t− s|2p + C|t− s|p ≤ C|t− s|p
для достатньо дрiбного розбиття.
2. Розглянемо тепер загальний випадок η(s) < η(t), η(s) = ti, η(t) = tj для
деяких i, j, 0 ≤ i, j ≤ n. Тодi
E|Xt −Xs|2p ≤ CE|Xt −Xtj |2p +CE
j−1∑
r=i+1
|Xtr+1
−Xtr |2p +CE|Xs −Xti+1
|2p.
Кожен iз доданкiв суми задовольняє перший випадок, розглянутий при доведеннi
даної леми. Тому
E|Xt −Xs|2p ≤ C|t− tj |p + C
j−1∑
r=i+1
|tr+1 − tr|p + C|s− ti+1|p ≤
≤ C
(
|t− tj |+
j−1∑
r=i+1
|tr+1 − tr|+ |s− ti+1|
)p
= C|t− s|p.
Лему 4 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI У СХЕМI ЕЙЛЕРА ДЛЯ СТОХАСТИЧНИХ . . . 51
У наступнiй лемi та подальших твердженнях ми обмежуємо розгляд випадком
α ∈
[
3
4
, 1
)
.
Лема 5. Нехай випадковий процес {Xt, 0 ≤ t ≤ T} є розв’язком стохастич-
ного диференцiального рiвняння (1), для коефiцiєнтiв якого виконуються умови
1 – 3 та умова a(0) > 0. Нехай α ∈
[
3
4
, 1
)
. Тодi для будь-якого µ ≥ 0 iснує стала
C = C(T, x0, µ) така, що
E exp
µ T∫
0
X2(α−1)
s ds
≤ C.
Доведення. За нерiвнiстю Йєнсена
E exp
µ T∫
0
X2(α−1)
s ds
≤ E
T∫
0
exp
(
µX2(α−1)
s
)
ds.
Застосуємо формулу Iто до функцiї f(x) = exp(µx2(α−1)). При цьому f ′(x) =
= 2µ(α−1)x2α−3 exp(µx2(α−1)), f ′′(x) = 2µ(α−1)(2α−3)x2(α−2) exp(µx2(α−1))+
+ 4µ2(α− 1)2x4α−6 exp(µx2(α−1)). Тодi
exp(µX
2(α−1)
t ) = exp(µx
2(α−1)
0 ) +
t∫
0
2µ(α− 1)X2α−3
s exp(µX2(α−1)
s )a(Xs) ds+
+
t∫
0
σ2X2α
s exp(µX2(α−1)
s )
{
µ(α− 1)(2α− 3)X2(α−2)
s + 2µ2(α− 1)2X4α−6
s
}
ds+
+
t∫
0
∫
R
{
exp(µ(Xs + q(Xs, y))2(α−1))− exp(µX2(α−1)
s )−
−2µ(α− 1)X2α−3
s exp(µX2(α−1)
s )q(Xs, y)
}
Π(dy)ds+
+
t∫
0
2µ(α− 1)X3(α−1)
s exp(µX2(α−1)
s )σXα dWs+
+
t∫
0
∫
R
{
exp(µ(Xs + q(Xs, y))2(α−1))− exp(µX2(α−1)
s )
}
ν̃(ds, dy). (10)
При оцiнюваннi другого доданка правої частини (10) врахуємо те, що a(x) ≥ a(0)−
− kx для будь-якого x ∈ R+. При оцiнюваннi четвертого доданка скористаємося
тим, що рiзниця перших двох пiдiнтегральних виразiв недодатна i
∫
R
q(x, y)Π(dy) ≤
≤ kx для будь-якого x ∈ R+. Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
52 В. П. ЗУБЧЕНКО, Ю. С. МIШУРА
E exp(µX
2(α−1)
t ) ≤
≤ exp(µx
2(α−1)
0 ) + E
t∫
0
2µ(α− 1)X2α−3
s exp(µX2(α−1)
s )a(Xs)ds+
+
t∫
0
σ2X2α
s exp(µX2(α−1)
s )
{
µ(α− 1)(2α− 3)X2(α−2)
s + 2µ2(α− 1)2X4α−6
s
}
ds−
−E
t∫
0
∫
R
2µ(α− 1)X2α−3
s exp(µX2(α−1)
s )q(Xs, y)Π(dy)ds ≤
≤ exp(µx
2(α−1)
0 ) + E
t∫
0
2µ(α− 1)(a(0)− kXs)X
2α−3
s exp(µX2(α−1)
s ) ds+
+
t∫
0
σ2X2α
s exp(µX2(α−1)
s ){µ(α− 1)(2α− 3)X2(α−2)
s + 2µ2(α− 1)2X4α−6
s }ds−
−E
t∫
0
∫
R
2µ(α− 1)kX2(α−1)
s exp(µX2(α−1)
s )ds ≤
≤ exp(µx
2(α−1)
0 ) + E
t∫
0
exp(µX2(α−1)
s )X2α−3
s
{
2µ(α− 1)a(0)+
+4µ(1− α)kXs + σ2µ(α− 1)(2α− 3)X2α−1
s + 2σ2µ2(α− 1)2X4α−3
s
}
ds.
При оцiнюваннi останнього iнтеграла врахуємо, що оскiльки α ∈
[
3
4
, 1
)
та 2µ(α−
− 1)a(0) < 0, то iснує таке ε1 > 0, що
2µ(α− 1)a(0) + 4µ(1−α)kε+ σ2µ(α− 1)(2α− 3)ε2α−1 + 2σ2µ2(α− 1)2ε4α−3 < 0
для всiх ε ∈ (0, ε1). Тому
E exp(µX
2(α−1)
t ) ≤ exp(µx
2(α−1)
0 ) + E
t∫
0
exp(µX2(α−1)
s )
{
4µ(1− α)kX2(α−1)
s +
+σ2µ(α− 1)(2α− 3)X4(α−1)
s + 2σ2µ2(α− 1)2X6(α−1)
s
}
ds ≤
≤ exp(µx
2(α−1)
0 ) + T exp(µε
2(α−1)
1 )
{
4µ(1− α)kε
2(α−1)
1 +
+σ2µ(α− 1)(2α− 3)ε
4(α−1)
1 + 2σ2µ2(α− 1)2ε
6(α−1)
1
}
= C,
звiдки й випливає твердження леми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI У СХЕМI ЕЙЛЕРА ДЛЯ СТОХАСТИЧНИХ . . . 53
3. Локальна оцiнка швидкостi збiжностi. Означимо випадковий процес
(γ(t))t≥0 таким чином:
γ(t) =
t∫
0
ds
(X1−α
s +X
1−α
η(s) )2
.
Коректнiсть означення даного випадкового процесу випливає з того, що випадковi
процеси X та X з iмовiрнiстю 1 невiд’ємнi, та з леми 2.
Означимо момент зупинки τλ:
τλ = inf
{
s ∈ [0, T ], γ(s) + s ≥ λ
}
, inf ∅ = T. (11)
Нам знадобиться наступний результат.
Теорема 1. Нехай випадковий процес {Xt, 0 ≤ t ≤ T} є розв’язком сто-
хастичного диференцiального рiвняння (1), для коефiцiєнтiв якого виконуються
умови 1 – 3 та умова a(0) > 0, α ∈
[3
4
, 1
)
. Нехай також для деякого цiлого p ≥ 1
при l = 2p виконуються умова С1) та наступна умова:
С2)
∫
R
|q(x1, y)− q(x2, y)|lΠ(dy) ≤ k|x1 − x2|l для будь-яких x1, x2 ∈ R+.
Тодi для всiх λ ≥ 0 iснує стала C̃(p, T ) > 0, що не залежить вiд ∆t та λ, для
якої
E|Xτλ −Xτλ |2p ≤ C̃(p, T )(∆t)p exp(C̃(p, T )λ).
Доведення. Означимо випадковий процес (εt)0≤t≤T таким чином: εt := Xt−Xt.
Використовуючи зображення (4) для випадкового процесу X, одержуємо
εt =
t∫
0
(
sgn(Zs−)a(Xη(s))− a(Xs)
)
ds+
+
t∫
0
∫
R
[
|Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−| − sgn(Zs−)q(Xη(s), y)
]
Π(dy)ds+
+σ
t∫
0
(
sgn(Zs−)X
α
η(s) −Xα
s
)
dWs+
+
t∫
0
∫
R
[
|Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−| − q(Xs, y)
]
ν̃(ds, dy) + L0
t (X).
Для довiльного моменту зупинки τ ∈ [0, T ] застосуємо узагальнену формулу
Iто до випадкового процесу εt та функцiї f(x) = x2p. При цьому врахуємо, що∫ τ
0
(εs)
2p−1 dL0
s(X) =
∫ τ
0
(−Xs)
2p−1 dL0
s(X) ≤ 0. Тому
Eε2p
τ = 2pE
τ∫
0
ε2p−1
s
(
sgn(Zs−)a(Xη(s))− a(Xs)
)
ds+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
54 В. П. ЗУБЧЕНКО, Ю. С. МIШУРА
+2pE
τ∫
0
∫
R
ε2p−1
s
[
|Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−| − sgn(Zs−)q(Xη(s), y)
]
Π(dy)ds+
+p(2p− 1)σ2E
τ∫
0
ε2p−2
s
(
sgn(Zs−)X
α
η(s) −Xα
s
)2
ds+
+E
τ∫
0
∫
R
[
(εs + q̃(s, y))2p − ε2p
s − 2pε2p−1
s q̃(s, y)
]
Π(dy)ds := I1 + I2 + I3 + I4,
де q̃(s, y) := |Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−| − q(Xs, y).
Оцiнимо I2. Зауважимо, що пiдiнтегральний вираз в I2 має вигляд ε2p−1
s [|a+b|−
− |a| − sgn a · b], де b ≥ 0. Скористаємось очевидною нерiвнiстю |a + b| − |a| −
− sgn a · b ≤ 2b · 1{a<0}, b ≥ 0. Тодi
I2 ≤ 4pE
τ∫
0
∫
R
|εs|2p−1q(Xη(s), y)1{Zs−≤0}Π(dy)ds ≤
≤ 4pkE
τ∫
0
|εs|2p−1Xη(s)1{Zs−≤0} ds ≤ C
√
sup
s∈[0,T ]
P(Zs ≤ 0) ≤ exp
(
− C
(∆t)β0
)
,
де в передостаннiй рiвностi ми скористалися лемою 1, а в останнiй — лемою 3.
Оцiнимо I4. Для перетворення пiдiнтегрального виразу скористаємося форму-
лою Лагранжа. Тодi для деякого θ ∈ [0, 1], що задає промiжне значення у формулi
Лагранжа, маємо
I4 = CE
τ∫
0
∫
R
(
εs + q̃(s, y)θ)2p−2(q̃(x, y)
)2
Π(dy)ds ≤
≤ CE
τ∫
0
∫
R
ε2p−2
s (q̃(s, y))2Π(dy)ds+ CE
τ∫
0
∫
R
(q̃(s, y))2pΠ(dy)ds ≤
≤ CE
τ∫
0
ε2p
s ds+ CE
τ∫
0
∫
R
(q̃(s, y))2pΠ(dy)ds.
При цьому в останнiй нерiвностi при оцiнюваннi пiдiнтегрального виразу пер-
шого iнтеграла ми використали нерiвнiсть Юнга. Далi врахуємо очевидну оцiнку
q̃(s, y) ≤ q(Xη(s), y)− q(Xs, y) та використаємо умову∫
R
|q(x1, y)− q(x2, y)|2pΠ(dy) ≤ |x1 − x2|2p.
В результатi одержимо
I4 ≤ CE
τ∫
0
ε2p
s ds+ CE
τ∫
0
|Xη(s) −Xs|2pds ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI У СХЕМI ЕЙЛЕРА ДЛЯ СТОХАСТИЧНИХ . . . 55
≤ CE
τ∫
0
ε2p
s ds+ CE
τ∫
0
|Xη(s) −Xs|2pds+ CE
τ∫
0
|Xs −Xs|2pds ≤
≤ CE
τ∫
0
ε2p
s ds+ C(∆t)p,
де при оцiнюваннi останнього iнтеграла ми скористалися лемою 4.
Оцiнимо I1 + I3. Для цього використаємо метод, аналогiчний наведеному у
роботi [3]:
I1 + I3 ≤ 2pE
τ∫
0
ε2p−1
s (a(Xη(s))− a(Xs)) ds+
+p(2p− 1)σ2E
τ∫
0
ε2p−2
s (X
α
η(s) −Xα
s )2 ds+
+E
τ∫
0
{
4p|εs|2p−1|a(Xη(s))|+ 4p(2p− 1)σ2ε2p−2
s X
α
η(s)
}
1{Zs≤0} ds :=
:= I11 + I31 + I13.
Згiдно з лемами 1 та 3, як i при оцiнюваннi I2, одержуємо
I13 ≤ exp
(
− C
(∆t)β0
)
.
Оцiнимо I31. За означенням випадкового процесу γ(t) маємо
I31 ≤ p(2p− 1)σ2E
τ∫
0
ε2p−2
s (X
α
η(s) −Xα
s )2(X1−α
s +X
1−α
η(s) ) dγ(s).
Далi використаємо нерiвнiсть, яка виконується при всiх x1, x2 ≥ 0,
1
2
≤ α ≤ 1:
|xα1 − xα2 |(x1−α
1 + x1−α
2 ) ≤ 2α|x1 − x2|.
Тодi
I31 ≤ 4α2p(2p− 1)σ2E
τ∫
0
ε2p−2
s (Xη(s) −Xs)
2 dγ(s).
Таким чином, використовуючи умову лiпшицевостi коефiцiєнта зносу та оцiнки
для I31 та I13, одержуємо
I1 + I3 ≤ E
τ∫
0
|εs|2p−1|Xη(s)−Xs| ds+CE
τ∫
0
ε2p−2
s (Xη(s)−Xs)
2 dγ(s) +C(∆t)p.
З огляду на нерiвнiсть Юнга маємо
|εs|2p−1|Xη(s) −Xs| ≤ |εs|2p−1(εs + |Xη(s) −Xs|) ≤ Cε2p
s + C|Xη(s) −Xs|2p.
Так само
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
56 В. П. ЗУБЧЕНКО, Ю. С. МIШУРА
ε2p−2
s |Xη(s) −Xs|2 ≤ |εs|2p−2(ε2
s + |Xη(s) −Xs|2) ≤ Cε2p
s + C|Xη(s) −Xs|2p.
Таким чином,
Eε2p
τ ≤ CE
τ∫
0
ε2p
s d(s+ γ(s)) + CE
τ∫
0
|Xη(s) −Xs|2p d(s+ γ(s)) + C(∆t)p.
Оцiнимо останнiй iнтеграл. При цьому скористаємося лемою 4 та нерiвнiстю Гель-
дера
E
τ∫
0
|Xη(s) −Xs|2p d(s+ γ(s)) ≤ E
T∫
0
|Xη(s) −Xs|2p
(
1 +
1
X2−2α
s
)
ds ≤
≤ C(∆t)p +
τ∫
0
(
E|Xη(s) −Xs|2pm
)1/m
(EXn(2α−2)
s )1/n ds ≤
≤ C(∆t)p
(
1 + sup
t∈[0,T ]
(EXn(2α−2)
s )1/n ds
)
≤ C(∆t)p,
де в останнiй нерiвностi ми використали лему 2. Таким чином,
Eε2p
τ ≤ CE
τ∫
0
ε2p
s d(s+ γ(s)) + C(∆t)p.
Покладемо τ = τλ, означеному в (11). Зауважимо, що τλ + γ(τλ) = λ. Виконуючи
в останньому iнтегралi замiну змiнних u = s+ γ(s), отримуємо
Eε2p
τλ
≤ CE
λ∫
0
E|ετu |2p du+ C(∆t)p.
Iз леми Гронуолла випливає iснування сталої C̃ = C̃(p, T ) такої, що
Eε2p
τλ
≤ C̃(p, T )(∆t)p exp (C̃(p, T )λ).
Теорему 1 доведено.
4. Основний результат. Тепер перейдемо до основного результату даної роботи
— швидкостi рiвномiрної збiжностi схеми Ейлера для стохастичних диференцiаль-
них рiвнянь iз нелiпшицевою дифузiєю та пуассонiвською мiрою.
Теорема 2. Нехай випадковий процес {Xt, 0 ≤ t ≤ T} є розв’язком сто-
хастичного диференцiального рiвняння (1), для коефiцiєнтiв якого виконуються
умови 1 – 3, умови a(0) > 0, α ∈
[
3
4
, 1
)
та для заданого цiлого p ≥ 1 нехай при
l = 2p, 4p виконуються умови С1) та C2). Також нехай Xt — випадковий процес,
що задається вiдповiдною схемою Ейлера (2). Тодi iснує стала C = C(p, T ) така,
що
E sup
t∈[0,T ]
∣∣X(t)−X(t)
∣∣2p ≤ C(∆t)p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI У СХЕМI ЕЙЛЕРА ДЛЯ СТОХАСТИЧНИХ . . . 57
Доведення. Як i при доведеннi теореми 1, введемо позначення εt = Xt−Xt та,
застосувавши узагальнену формулу Iто, одержимо
ε2p
t = 2p
t∫
0
ε2p−1
s
(
sgn(Zs−)a(Xη(s))− a(Xs)
)
ds+
+2p
t∫
0
∫
R
ε2p−1
s
[
|Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−| − sgn(Zs−)q(Xη(s), y)
]
Π(dy)ds+
+p(2p− 1)σ2
t∫
0
ε2p−2
s
(
sgn(Zs−)X
α
η(s) −Xα
s
)2
ds+
+
t∫
0
∫
R
[
(εs + q̃(s, y))2p − ε2p
s − 2pε2p−1
s q̃(s, y)
]
Π(dy)ds+
+2pσ
t∫
0
ε2p−1
s
(
X
α
η(s) sgn(Zs)−Xα
s
)
dWs +
t∫
0
∫
R
[
(εs + q̃(s, y))2p − ε2p
s
]
ν̃(dy, ds),
де q̃(s, y) := |Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−| − q(Xs, y).
Скористаємося нерiвностями Буркхолдера – Девiса – Гандi для оцiнювання су-
премумiв iнтегралiв за вiнерiвським процесом та центрованою пуассонiвською мi-
рою вiдповiдно:
E sup
0≤s≤T
ε2p
s = CE
T∫
0
ε2p−1
s
(
sgn(Zs−)a(Xη(s))− a(Xs)
)
ds+
+CE
T∫
0
∫
R
ε2p−1
s
[
|Zs− + q(Xη(s), y)| − |Zs−| − sgn(Zs−)q(Xη(s), y)
]
Π(dy)ds+
+CE
T∫
0
ε2p−2
s
(
sgn(Zs−)X
α
η(s) −Xα
s
)2
ds+
+E
T∫
0
∫
R
[
(εs + q̃(s, y))2p − ε2p
s − 2pε2p−1
s q̃(s, y)
]
Π(dy)ds+
+C
E
T∫
0
ε4p−2
s (X
α
η(s) sgn(Zs)−Xα
s )2 ds
1/2
+
+CE
T∫
0
∫
R
[(εs + q̃(s, y))2p − ε2p
s ]2Π(dy)ds
1/2
:= I1 + . . .+ I6.
Першi чотири iнтеграли оцiнюються так само, як i при доведеннi теореми 1. Для
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
58 В. П. ЗУБЧЕНКО, Ю. С. МIШУРА
оцiнки передостаннього iнтеграла скористаємось означенням випадкового проце-
су γ(t):
I5 ≤ C
E
T∫
0
ε4p−2
s (Xη(s) −Xs)
2 dγ(s)
1/2
.
Оцiнимо I6. Для перетворення пiдiнтегрального виразу використаємо формулу Ла-
гранжа. Тодi для деякого θ ∈ [0, 1], що задає промiжне значення у формулi Лагран-
жа, маємо
I6 = CE
T∫
0
∫
R
(
εs + q̃(s, y)θ)4p−2(q̃(x, y)
)2
Π(dy)ds
1/2
≤
≤ CE
T∫
0
∫
R
[
ε4p−2
s (q̃(s, y))2 + (q̃(s, y))4p
]
Π(dy)ds
1/2
≤
≤ CE
T∫
0
ε4p
s ds+
T∫
0
∫
R
(q̃(s, y))4p Π(dy)ds
1/2
.
При цьому у вищенаведених оцiнках ми скористалися нерiвнiстю Юнга. Далi,
аналогiчно до вiдповiдної оцiнки у теоремi 1, використовуючи умову
∫
R
|q(x1, y)−
− q(x2, y)|4pΠ(dy) ≤ |x1 − x2|4p, одержуємо
I6 ≤ CE
T∫
0
ε4p
s ds
1/2
+ C(∆t)p,
де у наведених оцiнках ми скористалися лемою 4 та означенням εs. Для оцiнювання
першого доданка останньої нерiвностi скористаємось означенням процесу γ(s):
E
T∫
0
ε4p
s ds
1/2
= E
T∫
0
ε4p
s (X1−α
s +X
1−α
η(s) )2 dγ(s)
1/2
≤
≤ E
sup
s∈[0,T ]
(X1−α
s +X
1−α
η(s) )2
T∫
0
ε4p
s dγ(s)
1/2
≤
≤ C
(
E sup
s∈[0,T ]
(X1−α
s +X
1−α
η(s) )2
)1/2
E
T∫
0
ε4p
s dγ(s)
1/2
≤ C
E
T∫
0
ε4p
s dγ(s)
1/2
,
де в останнiй нерiвностi ми використали нерiвнiсть xβ ≤ C(1 + x), β ∈ (0, 1),
x ≥ 0, та оцiнки леми 1.
Таким чином, використовуючи вищенаведенi оцiнки для I5, I6 та аналогiчнi до
проведених у доведеннi теореми 1 для iнтегралiв I1, . . . , I4, в пiдсумку одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI У СХЕМI ЕЙЛЕРА ДЛЯ СТОХАСТИЧНИХ . . . 59
E sup
0≤s≤T
ε2p
s ≤ CE
T∫
0
ε2p
s d(γ(s) + s) + CE
T∫
0
|Xη(s) −Xs|2p d(γ(s) + s)+
+C
E
T∫
0
|Xη(s) −Xs|4p dγ(s)
1/2
+ C
E
T∫
0
ε4p
s dγ(s)
1/2
+ C(∆t)p ≤
≤ CE
T∫
0
ε2p
s d(γ(s) + s) + C
E
T∫
0
ε4p
s dγ(s)
1/2
+ C(∆t)p,
де в останнiй нерiвностi другий та третiй iнтеграли оцiнили так само, як i при
доведеннi теореми 1. Виконуючи замiну змiнних u = s+ γ(s), одержуємо
E sup
0≤s≤T
ε2p
s ≤ CE
γ(T )+T∫
0
ε2p
τu du+ C
E
γ(T )+T∫
0
ε4p
τu du
1/2
+ C(∆t)p.
Оцiнимо два перших iнтеграли. Для r = 1, 2 маємоE
γ(T )+T∫
0
ε2rp
τu du
1/r
=
∞∫
0
E(1{γ(T )+T≥u}ε
2rp
τu ) du
1/r
≤
≤
T∫
0
ε2rp
τu du
1/r
+
∞∫
T
[
P(γ(T ) + T ≥ u)
]1/2
[ε4rp
τu ]
1
2 du
1/r
≤
≤ (∆t)p
C + C
∞∫
0
[
P(γ(T ) ≥ u)
]1/2
exp
(
C̃(2pr)u
2
)
du
1/r
,
де в останнiй нерiвностi ми скористались оцiнками з теореми 1. Таким чином,
E sup
0≤s≤T
ε2p
s ≤ C(∆t)p
C + C
∞∫
0
[
P(γ(T ) ≥ u)
]1/2
exp
(
C̃(4p)u
2
)
du
. (12)
За нерiвнiстю Маркова для µ > 0 маємо[
P(γ(T ) ≥ u)
]1/2 ≤ exp(−µu)
(
E exp(2µγ(T ))
)1/2
.
Виберемо µ >
C̃(4p)
2
. За означенням випадкового процесу γ(t) та лемою 5 одер-
жуємо
E exp(2µγ(T )) ≤ exp
2µ
T∫
0
ds
X
2(1−α)
s
≤ C(T, µ).
Тому iнтеграл у рiвностi (12) збiгається, звiдки й випливає твердження теореми.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
60 В. П. ЗУБЧЕНКО, Ю. С. МIШУРА
5. Висновки. У роботi дослiджено швидкiсть сильної збiжностi у схемi Ейлера
для стохастичних диференцiальних рiвнянь iз нелiпшицевою дифузiєю та центро-
ваною пуассонiвською мiрою. Дослiджено iншi властивостi схеми Ейлера, вказано
на практичну важливiсть одержаних результатiв, зокрема для моделювання харак-
теристик стану фiнансових ринкiв.
1. Cox J. C., Ingersoll J. E., Ross S. A. A theory of the term structure of interest rate // Econometrica. –
1985. – 53. – P. 385 – 407.
2. Bossy M., Diop A. Euler Scheme for one dimentional SDEs with a diffusion coefficient function of the
form |x|α, α ∈
[1
2
, 1
)
// INRIA. – Sophia-Antipolis, France, 2006.
3. Berkaoui A., Bossy M., Diop A. Euler Scheme for SDEs with non-Lipschitz diffusion coefficient: strong
convergence // ESAIM: Probab. and Statist. – 2007. – 12. – P. 1 – 11.
4. Deelstra G., Delbaen F. Convergence of discretized stochastic (interest rate) process with stochastic drift
term // Appl. Stochast. Models Data Anal. – 1998. – 14(1). – P. 77 – 84.
5. Mishura Yu. S., Posashkova S. V. The rate of convergence of Euler scheme to the solution of stocastic
differential equation with nonhomogeneous coefficients and non-Lipshitz diffusion // Random Operators
/ Stochast. Equat. – 2008. – 16. – P. 1 – 26.
6. Bruti-Liberati N., Platen E. Strong approximations of stochastic differential equations with jumps // J.
Comput. and Appl. Math. – 2007. – 205. – P. 982 – 1001.
7. Зубченко В. П., Мiшура Ю. С. Iснування та єдинiсть розв’язкiв стохастичних диференцiальних
рiвнянь iз нелiпшицевою дифузiєю та з пуассонiвською мiрою // Теорiя ймовiрностей та мат.
статистика. – 2009. – 80. – C. 43 – 54.
8. Зубченко В. П. Властивостi розв’язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь iз випадковими ко-
ефiцiєнтами, нелiпшицевою дифузiєю та з пуассонiвськими мiрами // Там же. – 2010. – 82. –
С. 30 – 42.
9. Protter P. E. Stochastic integration and differential equations. – Springer, 2004. – 416 p.
Одержано 26.04.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2697 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:33Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0e/2cb162df8eaf8ab05757a554373f580e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26972020-03-18T19:34:07Z Rate of convergence in the Euler scheme for stochastic differential equations with non-Lipschitz diffusion and Poisson measure Швидкість збіжності у схемі Ейлера для стохастичних диференціальних рівнянь із неліпшицевою дифузією та пуассонівською мірою Zubchenko, V. P. Mishura, Yu. S. Зубченко, В. П. Мішура, Ю. С. We study the rate of convergence and some other properties of the Euler scheme for stochastic differential equations with the non-Lipschitz diffusion and the Poisson measure. Исследована скорость сходимости и некоторые другие свойства схемы Эйлера для стохастических дифференциальных уравнений с нелипшицевой диффузией и пуассоновской мерой. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2697 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 1 (2011); 40-60 Український математичний журнал; Том 63 № 1 (2011); 40-60 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2697/2150 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2697/2151 Copyright (c) 2011 Zubchenko V. P.; Mishura Yu. S. |
| spellingShingle | Zubchenko, V. P. Mishura, Yu. S. Зубченко, В. П. Мішура, Ю. С. Rate of convergence in the Euler scheme for stochastic differential equations with non-Lipschitz diffusion and Poisson measure |
| title | Rate of convergence in the Euler scheme for stochastic differential equations with non-Lipschitz diffusion and Poisson measure |
| title_alt | Швидкість збіжності у схемі Ейлера для стохастичних диференціальних рівнянь із неліпшицевою дифузією та пуассонівською мірою |
| title_full | Rate of convergence in the Euler scheme for stochastic differential equations with non-Lipschitz diffusion and Poisson measure |
| title_fullStr | Rate of convergence in the Euler scheme for stochastic differential equations with non-Lipschitz diffusion and Poisson measure |
| title_full_unstemmed | Rate of convergence in the Euler scheme for stochastic differential equations with non-Lipschitz diffusion and Poisson measure |
| title_short | Rate of convergence in the Euler scheme for stochastic differential equations with non-Lipschitz diffusion and Poisson measure |
| title_sort | rate of convergence in the euler scheme for stochastic differential equations with non-lipschitz diffusion and poisson measure |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2697 |
| work_keys_str_mv | AT zubchenkovp rateofconvergenceintheeulerschemeforstochasticdifferentialequationswithnonlipschitzdiffusionandpoissonmeasure AT mishurayus rateofconvergenceintheeulerschemeforstochasticdifferentialequationswithnonlipschitzdiffusionandpoissonmeasure AT zubčenkovp rateofconvergenceintheeulerschemeforstochasticdifferentialequationswithnonlipschitzdiffusionandpoissonmeasure AT míšuraûs rateofconvergenceintheeulerschemeforstochasticdifferentialequationswithnonlipschitzdiffusionandpoissonmeasure AT zubchenkovp švidkístʹzbížnostíushemíejleradlâstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹíznelípšicevoûdifuzíêûtapuassonívsʹkoûmíroû AT mishurayus švidkístʹzbížnostíushemíejleradlâstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹíznelípšicevoûdifuzíêûtapuassonívsʹkoûmíroû AT zubčenkovp švidkístʹzbížnostíushemíejleradlâstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹíznelípšicevoûdifuzíêûtapuassonívsʹkoûmíroû AT míšuraûs švidkístʹzbížnostíushemíejleradlâstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹíznelípšicevoûdifuzíêûtapuassonívsʹkoûmíroû |