On some properties of Gelfond – Leontiev generalized integration operators
In a class of linear continuous operators acting in spaces of functions analytic in domains, we describe in various forms isomorphisms which commute with a degree of the Gelfond – Leontiev generalized integration. We also obtain images of all closed subspaces of a space of analytic functions which...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2698 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508647700824064 |
|---|---|
| author | Linchuk, N. E. Linchuk, S. S. Лінчук, Н. Є. Лінчук, С. С. |
| author_facet | Linchuk, N. E. Linchuk, S. S. Лінчук, Н. Є. Лінчук, С. С. |
| author_sort | Linchuk, N. E. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:07Z |
| description | In a class of linear continuous operators acting in spaces of functions analytic in domains, we describe in various forms isomorphisms which commute with a degree of the Gelfond – Leontiev generalized integration.
We also obtain images of all closed subspaces of a space of analytic functions which are invariant with respect to the degree of the Gelfond – Leontiev generalized integration. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
Н. Є. Лiнчук, С. С. Лiнчук (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ УЗАГАЛЬНЕНОГО
IНТЕГРУВАННЯ ГЕЛЬФОНДА – ЛЕОНТЬЄВА
In a class of linear continuous operators acting in spaces of functions analytic in domains, we describe in
various forms isomorphisms which commute with a degree of the Gelfond – Leontiev generalized integration.
We also obtain images of all closed subspaces of a space of analytic functions which are invariant with respect
to the degree of the Gelfond – Leontiev generalized integration.
В классе линейных непрерывных операторов, действующих в пространствах аналитических в областях
функций, в разных формах описаны изоморфизмы, которые коммутируют со степенью обобщенного
интегрирования Гельфонда – Леонтьєва. Получены также изображения всех замкнутых подпространств
пространства аналитических функций, инвариантных относительно степени обобщенного интегриро-
вания Гельфонда – Леонтьєва.
Нехай G — довiльна зiркова вiдносно точки z = 0 область в C. Через H(G) позна-
чимо простiр усiх аналiтичних в G функцiй, що надiлений топологiєю компактної
збiжностi, а символом L(H(G)) — множину всiх лiнiйних неперервних операторiв,
що дiють в H(G). Для додатної сталої ρ i комплексного числа µ, що задовольняє
умову Reµ > 0, оператор узагальненого iнтегрування Гельфонда – Леонтьєва Jρ,µ
неперервно дiє в H(G) за правилом
(Jρ,µf)(z) =
z
Γ (1/ρ)
1∫
0
(1− t)1/ρ−1tµ−1f(t1/ρz)dt, (1)
де tµ−1 = exp((µ− 1)ln t).
У працях [1 – 5] вивчалися рiзнi питання, що пов’язанi з операторами узагальне-
ного iнтегрування Гельфонда – Леонтьєва. Зокрема, в них дослiджено умови пов-
ноти деяких систем аналiтичних функцiй у просторi H(G), описано структуру
замкнених пiдпросторiв простору H(G), якi iнварiантнi вiдносно оператора Jρ,µ,
побудовано згортку для операторiв, якi є правими оберненими до Jρ,µ, описано
мультиплiкатори цiєї згортки, одержано зображення коефiцiєнтних мультиплiкато-
рiв розвинень аналiтичних функцiй у ряди за системою функцiй Мiттаг-Лефлера
тощо.
У данiй статтi дослiджуються зображення iзоморфiзмiв iз класу L(H(G)), якi
переставнi зi степенем узагальненого iнтегрування Гельфонда – Леонтьєва. Для
цього побудовано i застосовано метод редукцiї цiєї задачi до аналогiчної задачi
для першого степеня оператора узагальненого iнтегрування Гельфонда – Леонтьєва.
Для простору AR iзоморфiзми, що комутують зi степенем звичайного iнтегрування,
описано в [6], а зi степенем узагальненого iнтегрування — у [7]. Як застосування
основних результатiв даної статтi вивчено також структуру всiх замкнених пiдпро-
сторiв простору H(G), якi iнварiантнi вiдносно степеня оператора узагальненого
iнтегрування Гельфонда – Леонтьєва. Зауважимо, що у працях М. К. Нiкольського
[8], М. I. Нагнибiди [9], В. А. Ткаченка [10] та iнших математикiв (див. огляд [11])
вивчався опис усiх нетривiальних замкнених iнварiантних пiдпросторiв операто-
рiв звичайного та узагальненого iнтегрувань першого порядку, що дiють у рiзних
просторах аналiтичних функцiй. Iнварiантнi пiдпростори квадрата звичайного iн-
c© Н. Є. ЛIНЧУК, С. С. ЛIНЧУК, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1 61
62 Н. Є. ЛIНЧУК, С. С. ЛIНЧУК
тегрування у класi лiнiйних неперервних операторiв, що дiють у просторi функцiй,
аналiтичних у кругових областях, дослiджено в [12].
У роботi [1] при дослiдженнi комутанта оператора Jρ,µ в H(G) було введе-
но дiагональнi оператори Aρ,µ, якi на степенях z дiють за правилом Aρ,µz
n =
=
Γ (n/ρ+ µ)
Γ (n/ρ+ 1)
zn, n = 0, 1, . . . . Кожен з операторiв Aρ,µ продовжується до опе-
ратора, який лiнiйно та неперервно дiє в H(G). Оператор Aρ,µ є iзоморфiзмом
простору H(G), i обернений до нього дiє за правилом
(A−1ρ,µf)(z) =
(
µ+
z
ρ
d
dz
)
(Γ(µ))−1
1∫
0
(1− t)µ−1f(t1/ρz)dt.
За допомогою оператора Aρ,µ будується неперервна згортка в H(G) для оператора
Jρ,µ, тобто бiлiнiйна, комутативна та асоцiативна операцiя ∗ : H(G) × H(G) →
→ H(G), для якої Jρ,µ(f ∗ g) = (Jρ,µf) ∗ g ∀f, g ∈ H(G). Ця згортка визначається
формулою
(f ∗ g)(z) = g(0)f(z) +
z
ρΓ(µ)
1∫
0
(1− t)1/ρ−1tµ−1(Aρ,µg)′(z(1− t)1/ρ)f(t1/ρz)dt.
(2)
Оператор T ∈ L(H(G)) буде переставним з Jρ,µ в H(G) тодi i тiльки тодi, коли
вiн зображується у виглядi
Tf = ψ ∗ f,
де ψ ∈ H(G), до того ж ψ = T1. Звiдси випливає, що кожнi два оператори,
якi є переставними з Jρ,µ, комутують мiж собою. Використовуючи той факт, що
оператор Aρ,µ є iзоморфiзмом простору H(G), з попередньої формули одержуємо
загальний вигляд операторiв T ∈ L(H(G)), якi переставнi з Jρ,µ :
(Tf)(z) = ϕ(0)f(z) +
z
ρ
1∫
0
(1− t)1/ρ−1tµ−1ϕ′(z(1− t)1/ρ)f(t1/ρz)dt, (3)
де ϕ ∈ H(G). При цьому ϕ = (Γ(µ))−1Aρ,µψ. Для того щоб оператор (3) був
iзоморфiзмом простору H(G), необхiдно i достатньо, щоб ϕ(0) 6= 0 [1].
Оператор узагальненого диференцiювання Гельфонда – Леонтьєва Dρ,µ, який
на степенях z дiє за правилом Dρ,µz
n =
Γ (n/ρ+ µ)
Γ ((n− 1)/ρ+ µ)
zn−1, n = 1, 2, . . . ,
Dρ,µ1 = 0, формулою
Dρ,µ = Aρ,µ+1/ρA
−1
ρ,µ∆ (4)
продовжується до лiнiйного неперервного оператора Dρ,µ, який дiє в H(G). Тут
∆ — оператор Помм’є з класу L(H(G)), який визначається формулою (∆f)(z) =
=
f(z)− f(0)
z
при z 6= 0 i (∆f)(0) = f ′(0).
За допомогою згортки (2) опишемо комутант степеня оператора узагальненого
iнтегрування Гельфонда – Леонтьєва J nρ,µ, де n — довiльне фiксоване натуральне
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ УЗАГАЛЬНЕНОГО IНТЕГРУВАННЯ . . . 63
число. Нагадаємо, що формулою Eρ(z, µ) =
∑∞
n=0
zn
Γ (n/ρ+ µ)
визначається цiла
функцiя Мiттаг-Лефлера. Якщо G є однозв’язною областю в C, то при Reµ >
> 0 система {Eρ(λz, µ) : λ ∈ C} є повною в H(G). Тому кожний оператор T ∈
∈ L(H(G)) однозначно визначається своєю характеристичною функцiєю t(λ, z) =
= T (Eρ(λz, µ)). Далi ми будемо використовувати такi рiвностi:
Dρ,µ(Eρ(λz, µ)) = λEρ(λz, µ),
λJρ,µ(Eρ(λz, µ)) = Eρ(λz, µ)− 1
Γ(µ)
при довiльних λ ∈ C i z ∈ C.
Якщо область G є iнварiантною вiдносно повороту навколо початку координат
на кут 2π/n, тобто ωG = G, де ω = exp
(
2πi
n
)
, то формулами (Pjf)(z) =
=
1
n
∑n−1
k=0
ω−kjf(ωkz) визначаються проектори Pj ∈ L(H(G)), j = 0, n− 1.
Теорема 1. Нехай областьG є зiрковою вiдносно точки z = 0 в C i iнварiант-
ною вiдносно повороту навколо цiєї точки на кут 2π/n. Для того щоб оператор
T ∈ L(H(G)) був переставним з оператором J nρ,µ в H(G), необхiдно i достатньо,
щоб вiн зображувався у виглядi
(Tf)(z) =
n−1∑
j=0
Γ(µ)
Γ (j/ρ+ µ)
Dj
ρ,µ (ψj ∗ (Pjf)) (z), (5)
де ψj(z) — деякi функцiї з H(G), причому ψj(z) = Tzj , j = 0, n− 1.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай оператор T ∈ L(H(G)) з характеристичною
функцiєю t(λ, z) = T (Eρ(λz, µ)) є переставним з J nρ,µ. Подiявши обома частинами
рiвностi TJ nρ,µ = J nρ,µT на функцiю Eρ(λz, µ) i врахувавши, що
λnJ nρ,µEρ(λz, µ) = Eρ(λz, µ)−
n−1∑
j=0
(λz)j
Γ (j/ρ+ µ)
,
для характеристичної функцiї t(λ, z) оператора T при λ ∈ C i z ∈ G одержимо
спiввiдношення
t(λ, z)− λnJ nρ,µ(t(λ, z)) =
n−1∑
j=0
λjψj(z)
Γ (j/ρ+ µ)
, (6)
де ψj(z) = Tzj , j = 0, n− 1. Розв’язок цього рiвняння запишемо у виглядi ряду
Неймана
t(λ, z) =
∞∑
k=0
(λnJ nρ,µ)k
n−1∑
j=0
λjψj(z)
Γ (j/ρ+ µ)
,
який збiгається для кожного λ ∈ C за топологiєю H(G).
Перетворимо вираз для t(λ, z), скориставшись тим, що оператор Dρ,µ є лiвим
оберненим до Jρ,µ в H(G), i очевидною рiвнiстю
(J nρ,µf)(z) =
Γ(µ)
Γ (n/ρ+ µ)
(zn ∗ f(z)) , n = 0, 1, . . . ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
64 Н. Є. ЛIНЧУК, С. С. ЛIНЧУК
де згортка ∗ визначається формулою (2). При λ ∈ C i z ∈ G маємо
t(λ, z) =
n−1∑
j=0
1
Γ (j/ρ+ µ)
Dj
ρ,µ
( ∞∑
k=0
λnk+j(J nk+jρ,µ ψj)(z)
)
=
=
n−1∑
j=0
Γ(µ)
Γ (j/ρ+ µ)
Dj
ρ,µ
(
ψj(z) ∗
( ∞∑
k=0
(λz)nk+j
Γ((nk + j)/ρ+ µ)
))
=
=
n−1∑
j=0
Γ(µ)
Γ (j/ρ+ µ)
Dj
ρ,µ
(
ψj(z) ∗ Pj
z
(Eρ(λz, µ))
)
.
Враховуючи визначення характеристичної функцiї оператора T, переконуємося, що
для довiльної функцiї f ∈ H(G) при z ∈ G є правильною рiвнiсть (5).
Достатнiсть. Безпосередньою перевiркою переконуємося в тому, що опера-
тор T, який визначається формулою (5), задовольняє рiвнiсть TJ nρ,µ = J nρ,µT для
f(z) = Eρ(λz, µ) при λ ∈ C\{0} i z ∈ G. Ця рiвнiсть є правильною i для довiльної
функцiї f ∈ H(G), оскiльки T ∈ L(H(G)), а система {Eρ(λz, µ) : λ ∈ C \ {0}} є
повною в H(G).
Зауваження 1. При µ = 1 комутант оператора J nρ,1 в H(G) описав iншим
методом I. Х. Дiмовський [2].
Опишемо далi iзоморфiзми iз множини L(H(G)), якi переставнi з J nρ,µ. Для
цього нам знадобиться ще одне зображення комутанта оператора J nρ,µ.
Наведемо спочатку деякi допомiжнi твердження. Нехай G — довiльна зiркова
вiдносно точки z = 0 область в C, яка є iнварiантною вiдносно повороту навколо
цiєї точки на кут
2π
n
, а Hk(G), k = 0, n− 1, — замкненi пiдпростори простору
H(G), якi визначаються таким чином:
Hk(G) =
{
f ∈ H(G) : f(ωz) = ωkf(z) ∀z ∈ G
}
.
Лема 1 [2]. Простiр H(G) є прямою сумою своїх пiдпросторiв Hk(G), k =
= 0, n− 1, тобто
H(G) = H0(G)⊕H1(G)⊕ . . .⊕Hn−1(G).
При доведеннi цiєї леми в [2] встановлено, що кожна функцiя f ∈ H(G) єдиним
чином подається у виглядi f(z) =
∑n−1
k=0
fk(z), де fk ∈ Hk(G), k = 0, n− 1, при
цьому fk(z) = (Pkf)(z).
Позначимо через Gn множину вигляду Gn = {zn : z ∈ G}. Зрозумiло, що
область Gn є зiрковою вiдносно z = 0, оскiльки такою є G.
Лема 2. Кожен iз пiдпросторiв Hk(G), k = 0, n− 1, є iзоморфним до про-
стору H(Gn), причому iзоморфiзмом простору H(Gn) на Hk(G) є оператор Uk,
який дiє за правилом
(Ukf)(z) = zkf(zn).
Леми 2 випливає з тверджень 6◦ – 8◦ статтi [13].
Лема 3. Для k = 0, n− 1 кожен з операторiв Dk, який на степенях z дiє за
правилом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ УЗАГАЛЬНЕНОГО IНТЕГРУВАННЯ . . . 65
Dkz
m =
Γ ((nm+ k)/ρ+ µ) Γ(µ)
Γ (nm/ρ+ µ) Γ (k/ρ+ µ)
zm, m = 0, 1, . . . ,
продовжується до iзоморфiзму простору H(Gn) на себе.
Доведення. Нехай ρ, Reµ1, Reµ2 — додатнi числа. Тодi оператор S(ρ)
µ1,µ2 , який
на степенях z визначається спiввiдношеннями
S(ρ)
µ1,µ2
zm =
Γ (m/ρ+ µ1)
Γ (m/ρ+ µ2)
zm, m = 0, 1, . . . ,
формулою S
(ρ)
µ1,µ2 = Aρ,µ1A
−1
ρ,µ2
продовжується до iзоморфiзму простору H(G).
Правильнiсть леми 3 випливає з рiвностi
Dk =
Γ(µ)
Γ (k/ρ+ µ)
S
(ρ/n)
k/ρ+µ,µ, k = 0, n− 1.
Лема 4. Простiр H(G) iзоморфний прямiй сумi n екземплярiв просторiв
H(Gn), тобто простору H(n)(Gn). При цьому оператор U : H(G) → H(n)(Gn),
що дiє за правилом
(Uf)(z) = ((D0U
−1
0 P0f)(z), (D1U
−1
1 P1f)(z), . . . , (Dn−1U
−1
n−1Pn−1f)(z)),
здiйснює вказаний iзоморфiзм.
Лема 4 випливає з лем 1 – 3.
Наслiдок 1. Мiж операторами T ∈ L(H(G)) i T̃ ∈ L(H(n)(Gn)) iснує взаєм-
но однозначна вiдповiднiсть, яка визначається формулою
T̃ = UTU−1. (7)
За характеристикою лiнiйних неперервних операторiв, якi дiють у прямiй сумi
просторiв [14], справджується наступне твердження.
Лема 5. Кожен оператор T̃ ∈ L(H(n)(Gn)) однозначно визначається опе-
раторною матрицею [Tij ]
n−1
i,j=0, де Tij ∈ L(H(Gn)). При цьому для g(z) = (g0(z),
g1(z), . . . , gn−1(z)) = (gk(z))n−1k=0 ∈ H(n)(Gn)
(T̃ g)k(z) =
n−1∑
i=0
(Tkigi)(z), k = 0, n− 1.
Нехай оператор T̃ з класу L(H(n)(Gn)) визначається операторною матрицею
[Tij ]
n−1
i,j=0. Тодi за наслiдком 1 йому вiдповiдає оператор T ∈ L(H(G)), який ви-
значається формулою T = U−1T̃U. Наведемо зображення оператора T в явному
виглядi (через оператори [Tij ]
n−1
i,j=0). Безпосередньою перевiркою переконуємося в
тому, що для g(z) = (gk(z))n−1k=0 ∈ H(n)(Gn)
(U−1g)(z) =
n−1∑
k=0
(UkD
−1
k gk)(z).
Тому для довiльної функцiї f ∈ H(G) є правильною формула
Tf = (U−1T̃U)f =
n−1∑
i=0
(
n−1∑
k=0
UkD
−1
k TkiDiU
−1
i
)
(Pif). (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
66 Н. Є. ЛIНЧУК, С. С. ЛIНЧУК
Навпаки, для оператора T ∈ L(H(G)) оператор T̃ ∈ L(H(n)(Gn)), який йому
вiдповiдає за формулою (7), дiє за правилом
T̃ g =
(
n−1∑
i=0
DkU
−1
k PkTUiD
−1
i gi
)n−1
k=0
,
де g = (gk)n−1k=0 ∈ H(n)(Gn). З цього спiввiдношення та леми 5 випливає, що
Tki = DkU
−1
k PkTUiD
−1
i , k, i = 0, n− 1. (9)
Таким чином, формулами (8) i (9) у явному виглядi встановлюється взаємо-
зв’язок мiж операторами T ∈ L(H(G)) i T̃ ∈ L(H(n)(Gn)). Користуючись (7),
переконуємося в тому, що для оператора J nρ,µ ∈ L(H(G)) вiдповiдний йому опера-
тор J̃ nρ,µ ∈ L(H(n)(Gn)) визначається матрицею
[J̃ nρ,µ] = [δkiJρ1,µ]n−1k,i=0, (10)
де ρ1 =
ρ
n
, а δki — символ Кронекера.
З формули (7) випливає, що спiввiдношення TJ nρ,µ = J nρ,µT рiвносильне наступ-
ному:
T̃ J̃ nρ,µ = J̃ nρ,µT̃ . (11)
Запишемо рiвнiсть (11) у матричнiй формi. Позначивши T̃ = [Tki]
n−1
k,i=0 i викори-
ставши (10), одержимо, що спiввiдношення (11) еквiвалентне виконанню рiвностей
TkiJρ1,µ = Jρ1,µTki, k, i = 0, n− 1. (12)
Тому за формулою (3)
(Tkig)(z) = ϕki(0)g(z) +
z
ρ1
1∫
0
(1− t)1/ρ1−1tµ−1ϕ′ki(z(1− t)1/ρ1)g(t1/ρ1z)dt,
(13)
де ϕki, k, i = 0, n− 1, — деякi функцiї з простору H(Gn).
Таким чином, справджується наступне твердження.
Теорема 2. Для того щоб оператор T ∈ L(H(G)) був переставним з J nρ,µ в
H(G), необхiдно i достатньо, щоб вiн зображувався у виглядi (8), де оператори Tki
визначаються формулою (13), в якiй ϕki(z) — деякi функцiї зH(Gn), k, i = 0, n− 1.
Вивчимо далi опис iзоморфiзмiв T ∈ L(H(G)), якi переставнi з J nρ,µ.
Теорема 3. Загальний вигляд iзоморфiзмiв T з класу L(H(G)), переставних
з J nρ,µ, дається формулою (8), в якiй Tki визначаються спiввiдношеннями (13),
ϕki ∈ H(Gn), причому det‖ϕki(0)‖n−1k,i=0 6= 0.
Доведення. За теоремою 2 i наслiдком 1 оператор T ∈ L(H(G)) буде iзоморфiз-
мом, що комутує з J nρ,µ, тодi i тiльки тодi, коли вiн подається у виглядi (8), де Tki
визначаються формулою (13), i оператор T̃ = [Tki]
n−1
k,i=0 є iзоморфiзмом простору
H(n)(Gn). Але кожнi два оператори матрицi T̃ переставнi мiж собою, оскiльки
вони комутують з Jρ1,µ. Тому оператор T̃ буде iзоморфiзмом простору H(n)(Gn)
тодi i тiльки тодi, коли iзоморфiзмом простору H(Gn) буде оператор T ′ = det‖Tki‖
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI ОПЕРАТОРIВ УЗАГАЛЬНЕНОГО IНТЕГРУВАННЯ . . . 67
[14]. Оскiльки оператор T ′ також переставний з Jρ1,µ вH(Gn), то вiн зображується
вiдповiдною формулою до (3), тобто у виглядi
(T ′g)(z) = ϕ(0)g(z) +
z
ρ1
1∫
0
(1− t)1/ρ1−1tµ−1ϕ′(z(1− t)1/ρ1)g(t1/ρ1z)dt. (14)
Але, як було зазначено ранiше, оператор T ′ буде iзоморфiзмом просторуH(Gn) тодi
i тiльки тодi, коли ϕ(0) 6= 0. Залишилося виразити ϕ(0) через ϕki(0), k, i = 0, n− 1.
З формули (14) випливає, що ϕ(0) = (T ′1)(0). Тому ϕ(0) = det‖ϕki(0)‖n−1k,i=0.
Теорема 4. Загальний вигляд iзоморфiзмiв T ∈ L(H(G)), переставних з J nρ,µ
вH(G), дається формулою (5), в якiй ψi ∈ H(G), i = 0, n− 1, i виконується умова
det‖ψ(p)
i (0)‖n−1p,i=0 6= 0.
Доведення. Оператор T ∈ L(H(G)) комутує з J nρ,µ в H(G) тодi i тiльки тодi,
коли за теоремою 1 вiн зображується у виглядi (5), а згiдно з теоремою 2 — у
виглядi (8). Встановимо взаємозв’язок мiж функцiями ψi ∈ H(G), i = 0, n− 1,
з формули (5) i ϕki ∈ H(Gn), k, i = 0, n− 1, за допомогою яких оператор T
подається у виглядi (8). Оскiльки ψm(z) = Tzm, m = 0, n− 1, то, подiявши обома
частинами (8) на функцiї zm i врахувавши, що ϕkm =
1
Γ(µ)
Aρ1,µTkm1, одержимо
ψm(z) = Γ(µ)
n−1∑
k=0
(UkD
−1
k A−1ρ1,µϕkm)(z) =
n−1∑
k=0
ϕkm(0)zk + Φm(z),
де
Φm(z) = Γ(µ)
n−1∑
k=0
UkD
−1
k A−1ρ1µ(ϕkm(z)− ϕkm(0)).
Оскiльки (Dp
ρ,µΦm)(0) = 0 i (Dp
ρ,µψm)(0) =
ψ
(p)
m (0)
p!
Γ (p/ρ+ µ)
Γ(µ)
, p = 0, n− 1,
m = 0, n− 1, то ϕpm(0) =
ψ
(p)
m (0)
p!
. Тому
det‖ϕpm(0)‖n−1p,m=0 =
(
n−1∏
p=0
1
p!
)
det‖ψ(p)
m (0)‖n−1p,m=0.
Правильнiсть теореми 4 випливає з теореми 3.
Опишемо далi всi замкненi пiдпростори просторуH(G), що iнварiантнi вiднос-
но степеня оператора узагальненого iнтегрування Гельфонда – Леонтьєва.
Теорема 5. Нехай G — довiльна зiркова вiдносно точки z = 0 область в
C, яка iнварiантна вiдносно повороту на кут 2π/n навколо початку координат.
Загальний вигляд замкненого пiдпростору M ⊂ H(G), який iнварiантний вiдносно
оператора J nρ,µ, дається формулою
M = T
(
zm0nH0(G)⊕ zm1nH1(G)⊕ . . .⊕ zmn−1nHn−1(G)
)
, (15)
де T — деякий iзоморфiзм просторуH(G), який комутує з J nρ,µ, а mk, k = 0, n− 1,
— деякi цiлi невiд’ємнi числа або символи +∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
68 Н. Є. ЛIНЧУК, С. С. ЛIНЧУК
Доведення. Необхiднiсть. Нехай M — замкнений пiдпростiр H(G), який iнва-
рiантний вiдносно оператора J nρ,µ, тобто J nρ,µM ⊂M. Використаємо той факт, що
простiр H(G) є iзоморфним прямiй сумi n екземплярiв просторiв H(Gn), тобто
Hn(Gn). При цьому iзоморфiзм мiж цими просторами здiйснюється за допомо-
гою оператора U : H(G) → H(n)(Gn) (див. лему 4). Тому замкнений пiдпростiр
M ⊂ H(G) буде iнварiантним вiдносно J nρ,µ тодi i тiльки тодi, коли M подається
у виглядi
M = U−1M̃,
де M̃ — деякий замкнений пiдпростiр простору H(n)(Gn), який iнварiантний вiд-
носно оператора J̃ nρ,µ = UJ nρ,µU−1. Але згiдно з (10) оператор J̃ nρ,µ ∈ L(H(n)(Gn))
визначається матрицею [J̃ nρ,µ] =
[
δkiJ nρ
n ,µ
]n−1
k,i=0
, де δki — символ Кронекера. Вико-
ристовуючи зображення iнварiантних пiдпросторiв матричних операторiв вiдносно
оператора узагальненого iнтегрування Гельфонда – Леонтьєва, описаного в [4], пе-
реконуємося, що M подається у виглядi (15), де T — деякий iзоморфiзм простору
H(G), що переставний з J nρ,µ.
Достатнiсть є очевидною.
Зауваження 2. Якщо mk = 0 при k = 0, n− 1, то M = H(G). Якщо ж
mk = +∞ при k = 0, n− 1, то вiдповiдний пiдпростiр M є нульовим. В iнших ви-
падках формулою (15) визначається нетривiальний замкнений пiдпростiр простору
H(G), який iнварiантний вiдносно оператора J nρ,µ .
1. Линчук Н. Е. Представление коммутантов оператора обобщенного интегрирования Гельфонда –
Леонтьева // Изв. вузов. Математика. – 1985. – № 5. – С. 72 – 74.
2. Dimovski I. H. Convolutional calculus // Math. and its Appl. – 1990. – 43. – 208 p.
3. Звоздецький Т. I., Лiнчук С. С. Узагальнення згортки Берга – Дiмовського в просторах аналiтичних
функцiй // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 7. – С. 910 – 919.
4. Лiнчук Н. Є. Iнварiантнi пiдпростори операторiв узагальненого iнтегрування в прямiй сумi про-
сторiв аналiтичних функцiй // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2004. – Вип. 191 – 192.
С. 76 – 78.
5. Zvozdetskyi T. I. On the equivalence of some operators related to generalized Gelfond – Leontiev
integration and differentiation in spaces of analytic functions // Ukr. Math. Bull. – 2005. – 2, № 4.
– P. 495 – 506.
6. Нагнибида Н. И. Изоморфизмы пространства аналитических функций в круге, перестановочные
со степенью оператора интегрирования // Теория функций, функцион. анализ и их прил.: Респ.
межвед. науч. сб. – 1968. – Вып. 6. – С. 184 – 188.
7. Царьков М. Ю. Изоморфизмы аналитических пространств, перестановочные со степенью опера-
тора интегрирования // Там же. – 1971. – Вып. 13. – С. 54 – 63.
8. Никольский Н. К. Инвариантные подпространства и базисы из обобщенных первообразных в смыс-
ле А. О. Гельфонда – А. Ф. Леонтьева // Мат. исследования: Респ. межвед. науч. сб. – 1968. – 3,
вып. 7. – С. 101 – 116.
9. Нагнибида Н. И. О некоторых свойствах операторов обобщенного интегрирования в аналитическом
пространстве // Сиб. мат. журн. – 1966. – 7, № 6. – С.1306 – 1318.
10. Ткаченко В. А. Инвариантные подпространства и одноклеточность операторов обобщенного инте-
грирования в пространствах аналитических функционалов // Мат. заметки. – 1977. – 22, № 2. –
С. 221 – 230.
11. Никольский Н. К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций // Мат.
анализ. – М.: ВИНИТИ, 1974. – 12. – С. 199 – 412.
12. Нагнибiда М. I. Класичнi оператори в просторах аналiтичних функцiй. – Київ: Iн-т математики
НАН України, 1995. – 297 с.
13. Березовская Г. М., Березовский Н. И. Описание изоморфизмов пространства голоморфных функ-
ций, перестановочных с кратным умножением // Укр. мат. журн. – 1984. – 36, № 5. – С. 611 – 615.
14. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. – М.: Мир, 1970. – 352 с.
Одержано 27.11.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2698 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:32Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/30/4dfc20a055a5824abc16c133356ff930.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26982020-03-18T19:34:07Z On some properties of Gelfond – Leontiev generalized integration operators Деякі властивості операторів узагальненого інтегрування Гельфонда – Леонтьєва Linchuk, N. E. Linchuk, S. S. Лінчук, Н. Є. Лінчук, С. С. In a class of linear continuous operators acting in spaces of functions analytic in domains, we describe in various forms isomorphisms which commute with a degree of the Gelfond – Leontiev generalized integration. We also obtain images of all closed subspaces of a space of analytic functions which are invariant with respect to the degree of the Gelfond – Leontiev generalized integration. В классе линейных непрерывных операторов, действующих в пространствах аналитических в областях функций, в разных формах описаны изоморфизмы, которые коммутируют со степенью обобщенного интегрирования Гельфонда – Леонтьєва. Получены также изображения всех замкнутых подпространств пространства аналитических функций, инвариантных относительно степени обобщенного интегрирования Гельфонда – Леонтьєва. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2698 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 1 (2011); 61-68 Український математичний журнал; Том 63 № 1 (2011); 61-68 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2698/2152 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2698/2153 Copyright (c) 2011 Linchuk N. E.; Linchuk S. S. |
| spellingShingle | Linchuk, N. E. Linchuk, S. S. Лінчук, Н. Є. Лінчук, С. С. On some properties of Gelfond – Leontiev generalized integration operators |
| title | On some properties of Gelfond – Leontiev generalized integration operators |
| title_alt | Деякі властивості операторів узагальненого інтегрування Гельфонда – Леонтьєва |
| title_full | On some properties of Gelfond – Leontiev generalized integration operators |
| title_fullStr | On some properties of Gelfond – Leontiev generalized integration operators |
| title_full_unstemmed | On some properties of Gelfond – Leontiev generalized integration operators |
| title_short | On some properties of Gelfond – Leontiev generalized integration operators |
| title_sort | on some properties of gelfond – leontiev generalized integration operators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2698 |
| work_keys_str_mv | AT linchukne onsomepropertiesofgelfondleontievgeneralizedintegrationoperators AT linchukss onsomepropertiesofgelfondleontievgeneralizedintegrationoperators AT línčuknê onsomepropertiesofgelfondleontievgeneralizedintegrationoperators AT línčukss onsomepropertiesofgelfondleontievgeneralizedintegrationoperators AT linchukne deâkívlastivostíoperatorívuzagalʹnenogoíntegruvannâgelʹfondaleontʹêva AT linchukss deâkívlastivostíoperatorívuzagalʹnenogoíntegruvannâgelʹfondaleontʹêva AT línčuknê deâkívlastivostíoperatorívuzagalʹnenogoíntegruvannâgelʹfondaleontʹêva AT línčukss deâkívlastivostíoperatorívuzagalʹnenogoíntegruvannâgelʹfondaleontʹêva |