On branch points of three-dimensional mappings with unbounded characteristic of quasiconformality
For the open discrete mappings f: D \ {b} → R3 of the domain D ⊂ R3 satisfying relatively general geometric conditions in D \ {b} and having the essential singularity b ∈ R3, we prove the following statement. Let y0 belong to R3 \ f (D \ {b}) and let the inner dilatation KI (x, f) and the outer di...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2699 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508651119181824 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:07Z |
| description | For the open discrete mappings f: D \ {b} → R3 of the domain D ⊂ R3 satisfying relatively general geometric conditions in D \ {b} and having the essential singularity b ∈ R3, we prove the following
statement.
Let y0 belong to R3 \ f (D \ {b}) and let the inner dilatation KI (x, f) and the outer dilatation
KΟ (x, f) of the mapping f at a point x satisfy certain conditions.
Denote by Bf the set of branch points of f. Then for an arbitrary neighborhood V of the point y0, a set V ∩ f(Bf ) cannot be contained in the
set A such that g(A) = I, where I = {t ∈ R: |t| < 1} and g : U → Rn is a quasiconformal mapping of the domain U ⊂ Rn such that A ⊂ U. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Е. А. Севостьянов (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
О ТОЧКАХ ВЕТВЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
КВАЗИКОНФОРМНОСТИ
For the open discrete mappings f : D \ {b} → R3 of the domain D ⊂ R3 satisfying relatively general
geometric conditions in D \ {b} and having the essential singularity b ∈ R3, we prove the following
statement. Let y0 belong to R3 \ f (D \ {b}) and let the inner dilatation KI(x, f) and the outer dilatation
KO(x, f) of the mapping f at a point x satisfy certain conditions. Denote by Bf the set of branch points
of f. Then for an arbitrary neighborhood V of the point y0, a set V ∩ f(Bf ) cannot be contained in the
set A such that g(A) = I, where I = {t ∈ R : |t| < 1} and g : U → Rn is a quasiconformal mapping of
the domain U ⊂ Rn such that A ⊂ U.
Для вiдкритих дискретних вiдображень f : D\{b} → R3 областi D ⊂ R3, якi задовольняють вiдносно
загальнi геометричнi умови в D \ {b} та мають iстотну особливу точку b ∈ R3, доведено наступне
твердження. Нехай y0 належить R3 \ f (D \ {b}) , внутрiшня KI(x, f) та зовнiшня KO(x, f) дила-
тацiї вiдображення f у точцi x задовольняють певнi умови. Позначимо символом Bf множину точок
розгалуження вiдображення f. Тодi для довiльного околу V точки y0 множина V ∩ f(Bf ) не може
мiститись у множинi A такiй, що g(A) = I, де I = {t ∈ R : |t| < 1} i g : U → Rn — квазiконформне
вiдображення областi U ⊂ Rn такої, що A ⊂ U.
1. Предварительные сведения. Основные определения и обозначения, использу-
емые в данной работе, см., например, в [1], а также в [2, 3]. Всюду далее запись
f : D → Rn предполагает, что отображение f, заданное в области D, непрерывно
и сохраняет ориентацию, d(A) обозначает евклидов диаметр множества A ⊂ Rn,
Ωn — объем единичного шара Bn в Rn, i(x, f) — локальный топологический
индекс открытого дискретного отображения f в точке x, для множества E ⊂ D
и точки y ∈ Rn полагаем N(y, f, E) := card {x ∈ E : f(x) = y} , N(f,E) =
= supy∈Rn N(y, f, E). Область G ⊂ D такая, что G ⊂ D, называется нормальной
областью отображения f, если ∂f(G) = f(∂G). Пусть f : D → Rn — открытое
дискретное отображение, C — множество в D, C ⊂ D. Для y ∈ Rn определим
M (y, f, C) :=
∑
x∈ f −1(y)∩C
i(x, f), M ∗(f, C) = supy∈Rn M (y, f, C) , см., на-
пример, раздел 3.6 в [5]. Напомним, что f : D → Rn называется отображением
с ограниченным искажением, если выполнены следующие условия: 1) f принад-
лежит W 1,n
loc , 2) якобиан J(x, f) отображения f в точке x ∈ D сохраняет знак
почти всюду в D, 3) ‖f ′(x)‖n ≤ K|J(x, f)| при почти всех x ∈ D и некоторой
постоянной K < ∞, где ‖f ′(x)‖ := sup
h∈Rn : |h|=1
|f ′(x)h| (см., например, § 3 гл. I
в [4]).
Если в определении, приведенном выше, отображение f : D → Rn является
гомеоморфизмом, отображение f будем называть квазиконформным (см. там же).
Окрестностью множества A ⊂ Rn называется произвольное множество B та-
кое, что A ⊂ IntB, где IntB обозначает совокупность всех внутренних точек
множества B. Множество A ⊂ Rn называется квазиконформным p -шаром, если
существуют окрестность U множества A и квазиконформное отображение g мно-
жества U такое, что g(A) = Bp, где Bp = {y = (y1, . . . , yp) ∈ Rp : |y| < 1}. Если
p = 1, множество A называется квазиконформной дугой (см. раздел 3.21 в [5]).
c© Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1 69
70 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Иначе говоря, квазиконформная дуга есть множество, которое является квазикон-
формно эквивалентным открытому интервалу на вещественной прямой.
Пусть f : D → Rn — произвольное отображение. Следующее понятие см.,
например, в разделе 4.2 в [6]. Изолированная точка x0 границы ∂D называется
существенно особой точкой отображения f : D → Rn, если при x → x0 нет ни
конечного, ни бесконечного предела. Отметим, что если точка x0 принадлежит D
и мы рассматриваем отображение вида f : D \ {x0} → Rn, точка x0 будет изо-
лированной точкой границы области D \ {x0} по определению. В таком случае
для рассматриваемой здесь и ниже точки x0 словосочетание „изолированная су-
щественно особая точка” подменяется более простым „существенно особая точка”
всюду, где недоразумение невозможно.
В фундаментальной работе [5] доказано следующее утверждение (см. теоре-
му 3.22).
Утверждение 1. Пусть b принадлежит D, D — область в R3, b — суще-
ственная особая точка отображения с ограниченным искажением f : D \ {b} →
→ R3. Тогда для произвольной точки y0 ∈ R3 \f (D \ {b}) и произвольной окрест-
ности V точки y0 множество W := V ∩ f(Bf ) не может содержаться в
квазиконформной дуге.
В современной теории функций все большее внимание уделяется отображени-
ям, обладающим свойствами конечного искажения длин, площадей, объемов и т. п.
В настоящей работе речь идет о распространении упомянутого выше результата на
более общие классы отображений — отображений с конечным искажением длины
(см., например, раздел 4 в [2]). Отображение f : D → Rn называется отображе-
нием конечного метрического искажения, если f обладает (N) -свойством Лузина
и почти всюду искажает евклидово расстояние между точками конечное число раз.
Здесь и далее кривой γ мы называем непрерывное отображение отрезка [a, b] (либо
интервала вида (a, b), [a, b), (a, b] ) в Rn, γ : [a, b] → Rn. Под семейством кри-
вых Γ подразумевается некоторый набор кривых γ ∈ Γ, а f(Γ) = {f ◦ γ|γ ∈ Γ} .
Отображение f : D → Rn называется отображением с конечным искажением дли-
ны, если f — отображение конечного метрического искажения, образы почти всех
кривых γ в D локально спрямляемы, f |γ обладает (N) -свойством относительно
меры длины, а также (N) -свойство имеет место в обратную сторону для подня-
тий кривых. Полагаем l (f ′(x)) = inf
h∈Rn : |h|=1
|f ′(x)h|. Внешняя дилатация отоб-
ражения f в точке x есть величина KO(x, f) =
‖f ′(x)‖n
|J(x, f)|
, если J(x, f) 6= 0,
KO(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KO(x, f) = ∞ в остальных точках. Внутрен-
няя дилатация KI(x, f) =
|J(x, f)|
l (f ′(x))
n , если J(x, f) 6= 0, KI(x, f) = 1, если
f ′(x) = 0, и KI(x, f) = ∞ в остальных точках. Для отображения f : D → Rn
введем в рассмотрение следующую функцию:
Q(y, f) := sup
x∈f −1(y)∩Rn
KO(x, f) . (1)
Если f −1(y) = Ø, то в (1) полагаем Q(y, f) := 0. Для функций KI(x, f) и Q(y, f)
положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
О ТОЧКАХ ВЕТВЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ . . . 71
kI,x0(r) :=
1
ωn−1rn−1
∫
|x−x0|=r
KI(x, f) dS ,
qy0(r) :=
1
ωn−1rn−1
∫
|y−y0|=r
Q(y, f) dS ,
(2)
где dS — элемент площади поверхности S, ωn−1 обозначает площадь сферы
Sn−1 = {y ∈ Rn : |y| = 1} в Rn. Основным результатом данной работы является
следующее утверждение.
Утверждение 2. Пусть b принадлежит D ⊂ R3 (n = 3), f : D \ {b} → R3
— открытое дискретное отображение с конечным искажением длины, b — суще-
ственно особая точка f, y0 принадлежит R3 \ f (D \ {b}) . Предположим, что
найдется r(y0) > 0 такое, что для любого z0 ∈ B (y0, r(y0)) \ {y0} и некоторых
δ(b) > 0 и ∆(z0) > 0 функции kI, b(r) и qy0(r), определенные в (2), удовлетворяют
условиям
δ(b)∫
0
dt
tk
1/2
I, b (t)
=∞ ,
∆(z0)∫
0
dt
tq
1/2
z0 (t)
=∞ .
Тогда для произвольной окрестности V точки y0 множество W := f(Bf ) ∩ V
не может содержаться в какой-либо квазиконформной дуге.
2. Основная лемма. Пусть (r, ϕ, z) — цилиндрические координаты в Rn, r ≥ 0,
ϕ ∈ R1 (mod 2π), x1 = r cosϕ, x2 = r sinϕ, (x3, . . . , xn) = z. Для каждого k ∈ N
определим отображение gk : Rn → Rn, называемое закручиванием, по правилу (см.
раздел 3 в [5])
gk(r, ϕ, z) = (r, kϕ, z). (3)
При k > 0 отображение gk является отображением с ограниченным искажением,
причем KI(gk) = ess supx∈Rn KI(x, gk) = k и KO(gk) = ess supx∈Rn KO(x, gk) =
= kn−1 (см. там же). Непрерывное отображение s : A→ Rn называется сечением
отображения f : D → Rn на множестве A ⊂ f(D), если (f ◦ s)(x) = x для всех
x ∈ A. Борелева функция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для семейства
Γ кривых γ в Rn, если
∫
γ
ρ(x)|dx| ≥ 1 для всех кривых γ ∈ Γ. В этом случае
пишем ρ ∈ admΓ. Модулем семейства кривых Γ называется величина M(Γ) =
= infρ∈ adm Γ
∫
D
ρn(x)dm(x) (см., например, раздел 6 в [7]).
Лемма 1. Пусть f : D \ {b} → R3 — открытое дискретное отображение
с конечным искажением длины, b — существенно особая точка f, точка y0 при-
надлежит R3 \ f (D \ {b}) . Предположим, что при некоторых ε0 < dist (b, ∂D) ,
борелевской функции ψ0(t) : (0,∞)→ (0,∞), удовлетворяющей условию вида
I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ0(t)dt <∞ ∀ ε ∈ (0, ε0), (4)
и ε→ 0 выполнено соотношение∫
ε<|x−b|<ε0
KI(x, f) · ψn0 (|x− b|)dm(x) = o (In(ε, ε0)) . (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
72 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Предположим также, что найдется r(y0) > 0 такое, что для любого z0 ∈
∈ B
(
y0, r(y0)
)
\ y0 и некоторых ε1, борелевской функции ψ1(t) : (0,∞)→ (0,∞),
удовлетворяющей условию вида (4) при ψ1(t) и ε1 (вместо ψ0(t) и ε0), и ε → 0
выполнено соотношение вида∫
ε<|y−z0|<ε1
Q(y, f) · ψ3
1(|y − z0|) dm(y) = o
(
I3
1 (ε, ε1)
)
, (6)
где I1(ε, ε0) =
∫ ε1
ε
ψ1(t)dt, а функция Q(y, f) определена в соотношении (1).
Тогда для произвольной окрестности V точки y0 множество W := V ∩
∩ f(Bf ) не может содержаться в квазиконформной дуге, т. е., W = V ∩ f(Bf )
не может содержаться в некотором множестве, являющемся квазиконформно
эквивалентным открытому интервалу на прямой.
Доказательство для удобства разобьем на несколько шагов.
Шаг 1. Предварительные замечания. Замечание о том, что доказательство
будет проведено по методу от противного. При доказательстве используем подход
из [5] (см. теорему 3.22, а также [8]). Не ограничивая общности рассуждений,
можно считать, что b = 0 = y0. Предположим противное, а именно, что множество
W = V ∩f(Bf ) содержится в квазиконформной дуге для некоторой окрестности V
точки 0. Можно считать, что V ⊂ B (y0, r(y0)) = B(0, r(0)) и W = V ∩ f(Bf ) ⊂
⊂ Z = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 = x2 = 0}. Зафиксируем r0 > 0, r0 < ε0, такое,
что B(r0) ⊂ D и U0 = B(r0) \ {0}, g := f |U0
. Применяя к отображению f лемму
4 из [1] и учитывая, что 0 /∈ f (D \ {0}) , заключаем, что найдется r ′ 6= 0 такое,
что r ′e3 ∈ g(Bg), где e3 = (0, 0, 1), B(|r ′|) ⊂ V и, кроме того,
B (|r ′|) ∩ f (S(r0)) = Ø . (7)
Можно считать, что r ′ > 0.
Шаг 2. Переход от исходного отображения f к композиции некоторых гомео-
морфизма h и „закручивания” gk. Выберем x0 ∈ g−1 (r ′e3)∩Bg. По определению
x0 ∈ U0 . По лемме 3.20 в [5] для некоторых окрестности точки x0 и гомеомор-
физма h выполнено f = gk ◦ h, где k = i(x0, f), см. соотношение (3). Пусть
β : (0, r ′] → R3 есть кривая β(t) = te3. По лемме 3.12 в [5] существует макси-
мальное поднятие α : (δ, r ′] → D с концом в точке x0. В силу все той же леммы
3.12 из [5] с учетом (7) имеем α(t)→ 0 при t→ δ.
Шаг 3. Безотносительно к операциям, предпринятых на предыдущих двух ша-
гах, введение в рассмотрение сферических покрытий по В. А. Зоричу, т. е. специ-
альных множеств, лежащих на поверхности некоторой сферы. При фиксирован-
ных 0 < r < r ′ − δ и 0 < ϕ ≤ π рассмотрим множества
G(r, ϕ) = {y = (y1, y2, y3) ∈ R3 : |y − δe3| = r, y3 > δ + r cosϕ} . (8)
Множества G(r, ϕ) в (8) представляют собой некоторую часть на сфере S(δe3, r),
симметричную относительно отрезка {r ∈ R3 : r = r(s) = (0, 0, s+ δ), s ∈ (0, r)}.
Шаг 4. Использование представления f через композицию двух отображений,
обозначенных на шаге 2, и введение в рассмотрение некоторого множества E,
связанного со сферическими покрытиями, определенными на предыдущем шаге.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
О ТОЧКАХ ВЕТВЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ . . . 73
Введение в рассмотрение величины ϕr. Пусть G ∗(r, ϕ) есть α(δ + r) -компонента
связности множества g−1 (G(r, ϕ)) . Заметим, что в силу представления f = gk◦h,
k = i(x0, f), множество G(r, ϕ) является h -эквивалентным к G ∗(r, ϕ) при малых
ϕ и f (G ∗(r, ϕ)) = (gk ◦ h) (G ∗(r, ϕ)) = G(r, ϕ). Пусть ϕr — точная верхняя
грань указанных выше чисел ϕ ∈ (0, π]. Обозначим E = {r ∈ (0, r ′ − δ) : 0 ∈
∈ G ∗(r, ϕr)}.
Шаг 5. Доказательство того, что линейная мера Лебега mes1 (E) = 0. Пред-
положим, что 0 принадлежит G ∗(r, ϕr) при некотором r, тогда найдется после-
довательность xk ∈ G ∗(r, ϕr), xk → 0 при k → ∞. Обозначим gr = g|G ∗(r,ϕr).
Не ограничивая общности, можно считать, что последовательность h(xk) → yr ∈
∈ G(r, ϕr) при k → ∞. Заметим, что отображение h−1
r является сечением отоб-
ражения h на множестве G(r, ϕ) и по предложению 4 множество C
(
h−1
r , yr
)
есть
континуум, содержащий точку x0 = 0 и, возможно, точки границы U0. Однако, со-
гласно соотношению (7), C
(
h−1
r , yr
)
= {0}, т. е. h−1
r (y)→ 0 при y → yr. Пусть
Γ(r) — семейство открытых кривых γr(s) : (0, 1)→ R3, соединяющих β(r + δ) и
yr в G(r, ϕ), т. е. γr(0) = yr, γr(1) = β(r + δ) и γr(s) ∈ G(r, ϕ) при s ∈ (0, 1).
Положим Γ ∗(r) = h−1
r (Γ(r)) . Тогда согласно изложенному выше каждая кривая
γ ∗r (s) : (0, 1)→ U0 семейства Γ ∗(r) такова, что γ ∗r (s)→ 0 при s→ 0. Обозначим
Γ ∗ =
⋃
r : 0∈G ∗(r)
Γ ∗(r) .
По лемме 3.20 в [5] и в силу конструкции отображения gk, заданного в (3), для
каждого t ∈ (δ, r ′] в некоторой окрестности каждой точки α(t) имеем f = gk ◦ h,
k = i(x0, f). По теореме 6.10 в [2]
M(f(Γ)) ≤
∫
D
KI(x, f) · ρ3(x) dm(x) (9)
для произвольного семейства кривых Γ в D \ {b} и ρ ∈ adm Γ. Тогда по лемме 1
в [1] (см. также лемму 5.1 в [3]) получаем M (f(Γ ∗)) = 0. Однако M (f(Γ ∗)) =
= M ((gk ◦ h) (Γ ∗)) ≥ (1/k2)M (h (Γ ∗)) в силу того, что KO(gk) = k2 (см. раздел
3.19 в [5] и комментарий после (3)). Отсюда получаем M (h(Γ ∗)) = 0. С другой
стороны, согласно п. 10.2 в [7],
0 = M (h (Γ ∗)) ≥ b
∫
E
dr
r
, (10)
где b — некоторая постоянная. Из (10) следует, что mes1 (E) = 0, что и требовалось
доказать.
Шаг 6. На основании результата шага 5 вывод о том, что ϕr = π при
почти всех r. Пусть r принадлежит (0, r ′ − δ) \ E, тогда по лемме 2.2 в [5]
отображение h отображает G ∗(r, ϕr) гомеоморфно на G(r, ϕr). Кроме того, по
замечанию 1 из [8, c. 422] (см. также следствие 3.8 в [5]) отображение h инъективно
в некоторой окрестности G ∗(r, ϕr). По определению угла ϕr это возможно только
в случае ϕr = π. Следовательно, при каждом r ∈ (0, r ′ − δ) \ E множество
G ∗(r, ϕr) = G ∗(r, π) есть поверхность в U0, топологически эквивалентная сфере
S(δe3, r), и f топологически эквивалентно отображению gk на S(δe3, r).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
74 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Шаг 7. Исходя из результата шага 6 построение последовательности, состоя-
щей из „удобных нам” ri, сходящейся к нулю. Введение в рассмотрение множеств
Di на основании такой последовательности. Исходя из изложенного выше, выбе-
рем последовательность r1 > r2 > . . . такую, что r1 < δ при δ > 0, r1 < ε1,
ri ∈ (0, r ′ − δ) \ E и ri → 0 при i → ∞. Пусть Di — ограниченная компонен-
та связности множества R3 \ G ∗ (ri, ϕri), тогда, по определению, Di ⊂ B(r0) и
каждая кривая, соединяющая элементы 0 и x0, пересекает ∂Di хотя бы в одной
точке.
Шаг 8. Переходя далее к подпоследовательности, мы можем свести все даль-
нейшие рассуждения к одному из двух возможных случаев:
1) 0 ∈ Di+1 ⊂ Di для всех i ∈ N,
2) x0 ∈ Di+1 ⊂ Di для всех i ∈ N.
Шаг 9. Рассмотрение случая 0 ∈ Di+1 ⊂ Di для всех i ∈ N. На основании
модульных оценок, реализованных для семейств кривых, соединяющих обкладки
границ Di, получение результата об устранении особенности отображения f в
точке b = 0, что является противоречием к исходному предположению. Рассмот-
рим случай 1.
Шаг 9.1. Доказательство того, что множество Ai = Di \ Di+1 является
нормальной областью. Вследствие открытости отображения f имеем ∂f(Ai) ⊂
⊂ f(∂Ai). Предположим, что Ai не является нормальной областью, тогда в силу
изложенного выше Ai ∩ f −1 (f (∂Ai)) 6= ∅. Пусть Q — произвольная компонента
связности множества Ai ∩ f −1 (f (∂Ai)) . По лемме 3.7 в [5] существует окрест-
ность U границы ∂Ai такая, что M ∗(f, U) = k. Отсюда следует, что U ∩Q = Ø,
иначе было бы M ∗(f, U) > k. Следовательно, Q лежит в некотором компакте
внутри Ai и потому является компактом. Согласно п. 7.5 в [9, с. 148] получаем
f (Q) = Sj = S(δe3, rj), где либо j = i, либо j = i+ 1.
Шаг 9.1.1. Случай δ = 0. Пусть βj : (0, rj ] → R3 есть кривая βj(t) = te3.
По лемме 3.12 в [5] кривая βj(t) имеет максимальное поднятие αj : (cj , rj ] → D
с концом в некоторой точке x1 ∈ Q, причем αj(t) → 0 при t → cj . Следова-
тельно, найдется t0 ∈ (cj , rj) такое, что αj(t0) ∈ ∂Di+1. Пусть j = i + 1, тогда
βi+1(t0) = t0e3, однако, в то же время, βi+1(t0) = ri+1e3, откуда следует, что
t0 = ri+1, что невозможно, ибо t0 < ri+1. Пусть j = i, тогда, рассуждая анало-
гично, получаем t0 = ri+1. В силу представления f = gk ◦h точка αi(t0) является
единственной точкой множества ∂Di+1 ∩ f −1 (ri+1e3). Тогда кривые αi|[ri+1,ri] и
α|[ri+1,ri] одновременно являются поднятиями кривой β|[ri+1,ri] с началом в точке
α(ri+1) и, кроме того, i (α(t), f) = k = const. Применяя лемму 3.12 из [5], полу-
чаем αi(t) = α(t) на [ri+1, ri], что невозможно, так как αi(ri) = x1 ∈ Q ∈ Ai, а
α(ri) ∈ ∂Ai.
Шаг 9.1.2. Случай δ > 0. Пусть β ′j : (0, δ − rj ]→ R3 есть кривая β ′j (t) = te3.
Выберем максимальное поднятие α ′j :
(
c ′j , δ − rj
]
→ D кривой β ′j с концом в
некоторой точке множества Q. Заметим, что в этом случае α ′j(t) → 0 при t → c ′j
и, значит, найдется точка t ′0 ∈
(
c ′j , δ − rj
)
такая, что α ′j(t
′
0) ∈ ∂Di+1. Легко
видеть, что последнее невозможно как при i = j, так и при i = j + 1. Значит,
Ai = Di\Di+1 — нормальная область. Тогда и Bi = D1\Di — нормальная область.
Шаг 9.2. Введение в рассмотрение специального семейства кривых и приме-
нение модульных неравенств. Пусть Γi — семейство кривых, соединяющих гра-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
О ТОЧКАХ ВЕТВЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ . . . 75
ничные компоненты множества Bi внутри Bi. Применяя лемму 3.9 из [5], имеем
N (f,Bi) = N (f, ∂Bi) = k. Заметим, что точка δe3 принадлежит B(0, r(0)),
так как по выбору r ′ имеют место включения B(r ′) ⊂ V ⊂ B(0, r(0)), причем
M(Γi) ≥
(
b3
(d(Di))
3
m(D1)
)1/2
(см. лемму 5.9 в [10]). По теореме 6.1 в [2] M(Γ) ≤
≤
∫
f(E)
KI
(
y, f−1, E
)
ρ3
∗(y)dm(y), где KI
(
y, f −1, E
)
:=
∑
x∈E∩f −1(y)
KO(x, f).
Тогда (
b3
(d(Di))
3
m(D1)
)1/2
≤M(Γi) ≤ k
∫
ri<|y−z0|<ε1
Q(y, f) · ρ3
∗(y) dm(y) (11)
для произвольной функции ρ∗ ∈ adm f(Γi). Рассмотрим функцию
ρ̃∗(y) =
ψ1 (|y − δe3|) /I1 (ri, r1) , y ∈ {ri < |y − δe3| < r1},
0, y ∈ R3 \ {ri < |y − δe3| < r1},
где I1(a, b) :=
∫ b
a
ψ1(t) dt. Заметим, что ρ̃∗ принадлежит adm f(Γi), поскольку,
согласно теореме 5.7 из [7],
∫
γ
ρ̃∗(y) |dx| ≥ 1
I (ri, r1)
∫ r1
ri
ψ1(t) dt = 1. Тогда
из (6) и (11) следует, что
(
b3
(d(Di))
3
m(D1)
)1/2
≤ F(ri) → 0 при i → ∞, откуда
f (D1 \ {0}) ⊂ B (δe3, r1) . С другой стороны, по условию b = 0 — существен-
но особая точка f, поэтому C(f, 0) = R3 (см. лемму 3.1 и теорему 6.4 в [3]).
Полученное противоречие завершает рассмотрение случая 1.
Шаг 10. Рассмотрение случая x0 ∈ Di+1 ⊂ Di для всех i ∈ N аналогично
случаю, рассмотренному на предыдущем шаге. Рассмотрим случай x0 ∈ Di+1 ⊂
⊂ Di для всех i ∈ N . Аналогично доказанному выше, Bi = Di \D1 — нормальная
область. Для семейства кривых Γi, соединяющих граничные компоненты Bi в Bi,
имеем(
b3
(d(D1))
3
m(U0)
)1/2
≤M(Γi) ≤ k
∫
ri<|y−z0|<r1
Q(y, f)ρ3
∗(y) dm(y) := G(ri)
для произвольной функции ρ∗ ∈ adm f(Γi). По доказанному выше G(ri)→ 0 при
i→∞, что невозможно. Полученное противоречие доказывает лемму 1.
Замечание 1. По-видимому, впервые неравенство типа (9) было установлено
О. Лехто и К. Вертаненом для квазиконформных отображений на плоскости в [11]
(см. раздел 6.3 гл. V) и Ю. Струговым в [12] для отображений, квазиконформных
в среднем, в пространстве. В работе К. Бишопа, В. Гутлянского, О. Мартио и
М. Вуоринена [13] неравенство (9) установлено для квазиконформных отображений
в пространстве (см. также работу В. Миклюкова [14], где подобные неравенства
также изучались). В частности, каждое отображение с ограниченным искажением
удовлетворяет так называемому неравенству Е. Полецкого M(f(Γ)) ≤ K ′M(Γ)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
76 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
для произвольного семейства Γ кривых γ в области D, где K ′ <∞ — некоторая
постоянная (см. теорему 1 в § 4 [15]), что соответствует случаю KI(x, f) ≤ K ′
почти всюду в (9).
3. Следствия. Настоящий пункт посвящен отысканию конкретных условий, ко-
гда выполнены соотношения вида (4) – (6). Мотивацией введения следующего опре-
деления является локализация пространства BMO-функций ограниченного средне-
го колебания по Джону – Ниренбергу (см., например, [16]). Следуя работе [17],
введем следующие определения. Будем говорить, что функция ϕ : D → R, ϕ ∈
∈ L1
loc(D), имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈ D , ϕ ∈ FMO(x0), если
limε→0
1
Ωnεn
∫
B(x0, ε)
|ϕ(x)−ϕε| dm(x) <∞, где ϕε =
1
Ωnεn
∫
B(x0, ε)
ϕ(x) dm(x).
Лемма 2. Пусть D ⊂ Rn, n ≥ 2, H : D → [0,∞] — измеримая по Лебегу
функция, x0 принадлежит D и выполнено одно из следующих условий: 1) H при-
надлежит FMO(x0), 2) hx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0, 3) при некотором
δ(x0) > 0, δ(x0) < dist (x0, ∂D), и произвольных ε ∈ (0, δ(x0))
δ(x0)∫
ε
dt
th
1/(n−1)
x0 (r)
<∞ и
δ(x0)∫
0
dt
th
1/(n−1)
x0 (r)
=∞,
где
hx0
(r) :=
1
ωn−1rn−1
∫
|x−x0|=r
H(x) dS.
Тогда найдутся ε0 ∈ (0, 1) и ψ(t) > 0 такие, что 0 < I(ε, ε0) :=
∫ ε0
ε
ψ(t)dt <∞,
причем при ε→ 0 ∫
ε<|x−x0|<ε0
H(x)ψn(|x− x0|) dm(x) = o (In(ε, ε0)) .
Доказательство. Можно считать, что x0 = 0. Утверждение леммы 2 в случае
H ∈ FMO является заключением следствия 2.3 в [17]: условие H ∈ FMO(0) при
некотором ε0 > 0 влечет соотношение∫
ε<|x|<ε0
H(x)ψn(|x|) dm(x) = O
(
log log
1
ε
)
,
где ψ(t) =
1
t log (1/t)
и I(ε, ε0) =
∫ ε0
ε
ψ(t)dt = log
log (1/ε)
log (1/ε0)
. Пусть hx0
(r) =
= O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0. Фиксируем ε0 < 1, ψ(t) :=
1
t log (1/t)
. Заметим,
что
∫
ε<|x|<ε0
H(x)dm(x)
(|x| log (1/|x|))n
=
ε0∫
ε
∫
|x|=r
H(x)dm(x)
(|x| log (1/|x|))n
dS
dr ≤ Cωn−1I(ε, ε0),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
О ТОЧКАХ ВЕТВЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ . . . 77
где, как и прежде, I(ε, ε0) :=
∫ ε0
ε
ψ(t) dt и C > 0 — некоторая постоянная.
Таким образом, случай 2 рассмотрен. Осталось рассмотреть случай 3. При
каждом фиксированном ε0 < δ(x0) и произвольном ε < ε0 рассмотрим функцию
I(ε, ε0) =
∫ ε0
ε
ψ(t) dt, где
ψ(t) =
1/[th
1/(n−1)
0 (r)], t ∈ (ε, ε0),
0, t /∈ (ε, ε0),
h0(r) = hx0
(r), x0 := 0. Поскольку I(ε, ε0) → ∞ при ε → 0, можно счи-
тать, что I(ε, ε0) > 0 ∀(ε, ε0). Кроме того, несложный подсчет показывает, что∫
ε<|x|<ε0
H(x) · ψn(|x|) dm(x) = ωn−1 · I(ε, ε0), причем I(ε, ε0) = o (In(ε, ε0)).
Лемма 2 доказана.
Замечание 2. Для функций kI, b(r) и qy0(r), определенных в (2),∫ δ1
ε
dt
tkI, b(t)
< ∞ и
∫ δ2
∆
dt
tqz0(t)
< ∞ при каждых фиксированных δ1, δ2 ∈ (0, 1)
и ε ∈ (0, δ1), ∆ ∈ (0, δ2). Действительно, KI(x, f) и Q(y, f), как известно, не
меньше единицы (см. раздел 2.1, § 2 гл. I в [4]), поэтому kI, b(r) ≥ 1 и qy0(r) ≥ 1
при почти всех r > 0. Отсюда следует конечность указанных выше интегралов.
Теорема 1. Пусть f : D\{b} → R3 — открытое дискретное отображение с
конечным искажением длины, b — существенно особая точка f, y0 принадлежит
R3 \ f (D \ {b}). Предположим, что относительно KI(x, f) выполнено одно из
следующих условий:
1) KI(x, f) ∈ FMO(b),
2) kI, b(r) = O
([
log
1
r
]2
)
при r → 0,
3) при некотором δ(b) > 0, δ(b) < dist (b, ∂D),
∫ δ(b)
0
dt
tk
1/2
I, b (t)
= ∞, где
kI, b(t) определено в (2). Предположим, существует r(y0) > 0 такое, что для
всех z0 ∈ B (y0, r(y0)) \ {y0}, для Q(y, f), определенной в (1), выполнено одно из
условий:
1∗) Q(y, f) ∈ FMO(z0),
2∗) qz0(r) = O
([
log
1
r
]2
)
при r → 0,
3∗) при некотором ∆(z0) > 0, ∆(z0) < dist (z0, ∂D),
∫ ∆(z0)
0
dt
tq
1/2
z0 (t)
= ∞,
где qz0(t) определено в (2).
Тогда для произвольной окрестности V точки y0 множество W := V ∩f(Bf )
не содержится ни в каком множестве, являющемся квазиконформно эквивалент-
ным открытому интервалу на прямой.
Доказательство легко следует из лемм 1, 2 и замечания 2.
4. Некоторые примеры и замечания. Следующий пример показывает, что
условия на KI(x, f), сформулированные в предыдущих пунктах, нельзя заменить
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
78 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
более простым условием KI(x, f) ∈ Lp ни для какого сколь угодно большого
p > 1.
Теорема 2. Для каждого p > 1 найдется гомеоморфизм с конечным иска-
жением длины f : B3 \ {0} → R3 такой, что KI(x, f) принадлежит Lp(B3),
точка x0 = 0 является существенно особой для f и при этом заключение леммы
1 (теоремы 1) нарушено.
Доказательство. Зададим гомеоморфизм f : B3 \ {0} → R3 следующим об-
разом:
f(x) =
1 + |x|α
|x|
x ,
где α ∈ (0, 3/2p); можно считать, что α < 1. Заметим, что C(f, 0) = {|y| = 1}, т. е.
x0 = 0 — существенно особая точка f, причем KI(x, f) =
(
1 + |x|α
α|x|α
) 2
≤ C
|x| 2α
(см. там же). Следовательно, KI(x, f) принадлежит Lp(B3), поскольку αp < 3.
Кроме того, заметим, что f — локально квазиконформное отображение, поэтому
f −1 принадлежит W 1,3
loc . Следовательно, f является отображением с конечным
искажением длины в B3 \ {0} в силу теоремы 4.6 из [2]. Однако Bf пусто и, сле-
довательно, V ∩f(Bf ) = Ø для произвольной точки y0 ∈ Rn и любой окрестности
V, содержащей y0.
Теорема 2 доказана.
Следующая теорема показывает, что условие открытости отображения f в ре-
зультатах предыдущих пунктов является существенным.
Теорема 3. Существует дискретное отображение с конечным искажением
длины g : R3 \{0} → R3, для которого KI(x, f) ≡ 1, x0 = 0 является существен-
но особой точкой и которое не удовлетворяет заключению леммы 1 (теоремы
1).
Доказательство. Рассмотрим покрытие пространства Rn кубами с единичны-
ми ребрами
Ck1,k2,k3 =
3∏
i=1
[ki, ki + 1] , ki ∈ Z .
Значение отображения σl,m(y) в точке y ∈ Rn определим как отражение точки
y относительно гиперплоскости xl = m ∈ Z при m > 0 и, соответственно,
относительно гиперплоскости xl = m − 1 ∈ Z при m < 0. Пусть при m = 0
σl,m(y) = σl,0(y) := y. Полагаем
σl : = σl,sign kl ◦ . . . σl,|kl|sign kl ,
где sign kl — знак числа kl и
G0 := σ1 ◦ σ2 ◦ σ3 .
Заметим, что G0(x) ∈ C0,0,0 для любой точки x ∈ Ck1,k2,k3 . Сжатие G1(x) =
=
√
3
3
x переводит C0,0,0 в некоторый куб A0, полностью лежащий в B3. Положим
G2 := G1 ◦G0. Заметим, что точка z0 =∞ является изолированной существенно
особой точкой отображения G2, причем C(G2,∞) = A0 ⊂ B3. Тогда отображение
g := G2 ◦G3, где G3(x) =
x
|x|2
, имеет изолированную существенно особую точку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
О ТОЧКАХ ВЕТВЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ . . . 79
x0 = 0, причем C(g, 0) ⊂ B3. По построению отображения g видно, что g сохра-
няет длину кривых в R3 \ {0}, является отображением с конечным метрическим
искажением, дискретно, KI(g, x) = 1 и Q(y, f) ≡ χg(R3\{0}), где χA0
— характе-
ристическая функция A0 ⊂ R3. Однако g(Bg) ⊂ B3, поэтому для произвольной
окрестности V точки y0 /∈ B3 имеем V ∩ g(Bg) = Ø.
Теорема 3 доказана.
Замечание 3. Заключения леммы 1 (теоремы 1) справедливы для произволь-
ных открытых дискретных отображений, удовлетворяющих для любых измеримо-
го множества E ⊂ D, семейства кривых Γ в E, ρ ∈ adm Γ, ρ∗ ∈ adm f(Γ) и
некоторых измеримых по Лебегу функций Q1 : D → [1,∞], Q2 : f(D) → [1,∞]
оценкам вида M(f(Γ)) ≤
∫
D
Q1(x)ρ3(x) dm(x), M(Γ) ≤
∫
f(E)
Q2(y)ρ3
∗(y) dm(y).
При этом Q1(x) и Q2(y) должны удовлетворять оценкам вида (5), где KI(x, f) и
Q(y, f) заменены на Q1(x) и Q2(y) соответственно.
1. Севостьянов Е. А. О множествах точек ветвления отображений, более общих, чем квазирегулярные
// Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 2. – С. 215 – 230.
2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. D’Anal. Math.
– 2004. – 93. – P. 215 – 236.
3. Севостьянов Е. А. К теории устранения особенностей отображений с неограниченной характери-
стикой квазиконформности // Изв. РАН. Сер. мат. – 2010. – 74, № 1. – С. 159 – 174.
4. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск:
Наука, 1982. – 286 с.
5. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Topological and metric properties of quasiregular mappings // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. – 1971. – 488. – P. 1 – 31.
6. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Distortion and singularities of quasiregular mappings // Ibid. – 1970.
– 465. – P. 1 – 13.
7. Väisälä J. Lectures on n -dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – New York etc.:
Springer, 1971. – 229.
8. Зорич В. А. Теорема М.А. Лаврентьева о квазиконформных отображениях пространства // Мат. сб.
– 1967. – 116, № 3. – С. 415 – 433.
9. Whyburn G. T. Analytic topology. – Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1942.
10. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A
I. Math. – 1969. – 448. – P. 1 – 40.
11. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal mappings in the plane. – New York etc.: Springer, 1973. – 258 p.
12. Стругов Ю. Ф. Компактность классов отображений, квазиконформных в среднем // Докл.
АН СССР. – 1978. – 243, № 4. – C. 859 – 861.
13. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math.
and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
14. Miklyukov V. M. Relative distance of lavrent’eff and prime ends of nonparametric surfaces // Ukr. Math.
Bull. – 2004. – 1, № 3. – P. 353 – 376.
15. Полецкий Е. А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконфомных отображений // Мат. сб. –
1970. – 83, № 2. – С. 261 – 272.
16. John F., Nirenberg L. On functions of bounded mean oscillation // Communs Pure and Appl. Math. –
1961. – 14. – P. 415 – 426.
17. Игнатьев А., Рязанов В. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вестн. –
2005. – 2, № 3. – С. 395 – 417.
Получено 29.03.10,
после доработки — 18.09.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2699 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:35Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c5/fc731b9282f5205a160455dfddb558c5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26992020-03-18T19:34:07Z On branch points of three-dimensional mappings with unbounded characteristic of quasiconformality O точках ветвления трехмерных отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. For the open discrete mappings f: D \ {b} → R3 of the domain D ⊂ R3 satisfying relatively general geometric conditions in D \ {b} and having the essential singularity b ∈ R3, we prove the following statement. Let y0 belong to R3 \ f (D \ {b}) and let the inner dilatation KI (x, f) and the outer dilatation KΟ (x, f) of the mapping f at a point x satisfy certain conditions. Denote by Bf the set of branch points of f. Then for an arbitrary neighborhood V of the point y0, a set V ∩ f(Bf ) cannot be contained in the set A such that g(A) = I, where I = {t ∈ R: |t| < 1} and g : U → Rn is a quasiconformal mapping of the domain U ⊂ Rn such that A ⊂ U. Для вiдкритих дискретних вiдображень f: D \ {b} → R3 областi D ⊂ R3, якi задовольняють вiдносно загальнi геометричнi умови D \ {b} та мають iстотну особливу точку b ∈ R3, доведено наступне твердження. Нехай y0 належить R3 \ f (D \ {b}), внутрiшня KI (x, f) та зовнiшня KΟ (x, f) дилатацiї вiдображення f у точцi x задовольняють певнi умови. Позначимо символом Bf множину точок розгалуження вiдображення f. Тодi для довiльного околу V точки y0 множина V ∩ f(Bf ) не може мiститись у множинi A такiй, що g(A) = I, де I = {t ∈ R: |t| < 1} і g : U → Rn — квазiконформне вiдображення областi U ⊂ Rn такої, що A ⊂ U. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2699 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 1 (2011); 69-79 Український математичний журнал; Том 63 № 1 (2011); 69-79 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2699/2154 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2699/2155 Copyright (c) 2011 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. On branch points of three-dimensional mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| title | On branch points of three-dimensional mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| title_alt | O точках ветвления трехмерных отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности |
| title_full | On branch points of three-dimensional mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| title_fullStr | On branch points of three-dimensional mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| title_full_unstemmed | On branch points of three-dimensional mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| title_short | On branch points of three-dimensional mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| title_sort | on branch points of three-dimensional mappings with unbounded characteristic of quasiconformality |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2699 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea onbranchpointsofthreedimensionalmappingswithunboundedcharacteristicofquasiconformality AT sevostʹânovea onbranchpointsofthreedimensionalmappingswithunboundedcharacteristicofquasiconformality AT sevostʹânovea onbranchpointsofthreedimensionalmappingswithunboundedcharacteristicofquasiconformality AT sevost039yanovea otočkahvetvleniâtrehmernyhotobraženijsneograničennojharakteristikojkvazikonformnosti AT sevostʹânovea otočkahvetvleniâtrehmernyhotobraženijsneograničennojharakteristikojkvazikonformnosti AT sevostʹânovea otočkahvetvleniâtrehmernyhotobraženijsneograničennojharakteristikojkvazikonformnosti |