On a new approach to the construction of hypercomplex number systems of rank two over the field of complex numbers
By using the introduced notion of a parameter of hypercomplex numerical system, we propose a new approach to the construction of a hypercomplex numerical systems of rank two over a field of complex numbers. We show that quadroplex (bicomplex) numbers and quaternions can be considered as a special c...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2704 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508656691314688 |
|---|---|
| author | Klipkov, S. I. Клипков, С. И. Клипков, С. И. |
| author_facet | Klipkov, S. I. Клипков, С. И. Клипков, С. И. |
| author_sort | Klipkov, S. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:07Z |
| description | By using the introduced notion of a parameter of hypercomplex numerical system, we propose a new approach to the construction of a hypercomplex numerical systems of rank two over a field of complex numbers.
We show that quadroplex (bicomplex) numbers and quaternions can be considered as a special cases of the universal system of hypercomplex numbers that correspond to some values of the mentioned parameter.
We consider principal algebraic characteristics of the universal system of hypercomplex numbers.
We also present examples of possible applications of numbers of universal hypercomplex system to certain values of the introduced parameter. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
K O R O T K I P O V I D O M L E N N Q
UDK 512.554
S. Y. Klypkov (Hlavn¥j ynformacyonno-v¥çyslytel\n¥j centr N∏K „Ukrπnerho”, Kyev)
O NOVOM PODXODE K POSTROENYG
HYPERKOMPLEKSNÁX ÇYSLOVÁX SYSTEM
RANHA DVA NAD POLEM KOMPLEKSNÁX ÇYSEL
By using the introduced notion of a parameter of hypercomplex numerical system, we propose a new
approach to the construction of a hypercomplex numerical systems of rank two over a field of complex
numbers. We show that quadroplex (bicomplex) numbers and quaternions can be considered as a special
cases of the universal system of hypercomplex numbers that correspond to some values of the mentioned
parameter. We consider principal algebraic characteristics of the universal system of hypercomplex
numbers. We also present examples of possible applications of numbers of universal hypercomplex
system to certain values of the introduced parameter.
Na osnovi vvedenoho ponqttq – parametra hiperkompleksno] çyslovo] systemy – zaproponovano
novyj pidxid do pobudovy hiperkompleksnyx çyslovyx system ranhu dva nad polem kompleksnyx
çysel. Pokazano, wo kvadrypleksni (bikompleksni) çysla i kvaterniony moΩna rozhlqdaty qk
okremi vypadky universal\no] systemy hiperkompleksnyx çysel, qki vidpovidagt\ pevnym zna-
çennqm zaznaçenoho parametra. Rozhlqnuto osnovni alhebra]çni vlastyvosti universal\no] sys-
temy hiperkompleksnyx çysel. Navedeno pryklady, qki ilgstrugt\ moΩlyvist\ zastosuvannq
çysel universal\no] hiperkompleksno] systemy dlq rqdu znaçen\ vvedenoho parametra.
V nastoqwee vremq yzvestn¥ dve system¥ hyperkompleksn¥x çysel, konstruy-
ruem¥e kompleksn¥m udvoenyem kompleksn¥x çysel. V dannom sluçae termyn
„kompleksnoe udvoenye” oznaçaet, çto vvodymaq vtoraq mnymaq edynyca j, kak
y pervaq i, udovletvorqet sootnoßenyg j2 1= − , v otlyçye ot suwestvugwe-
ho v matematyke dvojnoho udvoenyq j2 1= yly dual\noho j2 0= [1, 2]. Kom-
mutatyvnoe kompleksnoe udvoenye pryvodyt k alhebre kvadrypleksn¥x çysel
[2, 3], kotor¥e v matematyçeskoj lyterature naz¥vagt takΩe bykompleksn¥my
çyslamy yly prostranstvenn¥my kompleksn¥my çyslamy. Kvadrypleksn¥e
çysla, soxranqq prysuwee kompleksn¥m çyslam svojstvo kommutatyvnosty um-
noΩenyq, ne qvlqgtsq alhebrayçeskym rasßyrenyem polq kompleksn¥x çysel,
tak kak ne udovletvorqgt aksyomam polq (ymegt delytely nulq). Nekommuta-
tyvnoe kompleksnoe udvoenye obrazuet alhebru kvaternyonov [1, 2], kotoraq qv-
lqetsq alhebroj s delenyem (udovletvorqet aksyomam polq) y, takym obrazom,
predstavlqet soboj edynstvennoe alhebrayçeskoe rasßyrenye polq kompleks-
n¥x çysel.
SloΩenye kvadrypleksn¥x çysel y kvaternyonov, predstavlenn¥x v vyde
kompleksn¥x sostavlqgwyx, osuwestvlqetsq po ob¥çnomu zakonu
( ) ( )� � � �A Bj C Dj+ + + = ( ) ( )� � � �A C B D j+ + + . (1)
Po ob¥çnomu zakonu umnoΩagtsq takΩe kvadrypleksn¥e çysla, predstav-
lenn¥e kompleksn¥my sostavlqgwymy, çto s uçetom sootnoßenyq j2 1= −
pryvodyt k formule [2]
( ) ( )� � � �A Bj C Dj+ + = � �AC – � �BD + ( )� � � �AD BC j+ . (2)
Zakon umnoΩenyq kvaternyonov v kompleksn¥x sostavlqgwyx otlyçaetsq
ot pravyla umnoΩenyq kvadrypleksn¥x çysel [1, 2]
© S. Y. KLYPKOV, 2011
130 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
O NOVOM PODXODE K POSTROENYG HYPERKOMPLEKSNÁX ÇYSLOVÁX … 131
( ) ( )� � � �A Bj C Dj+ + = � �AC – �BD̂ + ( ˆ )� � �AD BC j+ . (3)
Poqvlenye v proyzvedenyy kvaternyonov (3) soprqΩenn¥x kompleksn¥x çysel
D̂ y Ĉ obuslovleno nekommutatyvnost\g kvaternyonov. Poskol\ku dlq kva-
ternyonov nekommutatyvnost\ opredelqetsq sootnoßenyem
ji ij= − , (4)
to jD Dj� = ˆ
y jC Cj� = ˆ
.
Zakon¥ umnoΩenyq kvadrypleksn¥x çysel (2) y kvaternyonov (3) moΩno
zapysat\ v vyde odnoho parametryçeskoho v¥raΩenyq
( ) ( )� � � �A Bj C Dj+ + = � �AC – � � �
BDe i k D− 2 α + ( )� � � � �
AD BCe ji k C+ − 2 α , (5)
hde αD = arctg
′′
′
D
D
— uhol kompleksnoho çysla
�D = ′ + ′′D D i , αC =
= arctg
′′
′
C
C
— uhol kompleksnoho çysla
�C = ′ + ′′C C i , �k = ′ + ′′k k i — komp-
leksn¥j parametr, kotor¥j v sluçae kvadrypleksn¥x çysel raven kompleksno-
mu nulg ( �0 0 0= + i ), a v sluçae kvaternyonov — kompleksnoj edynyce ( �1 = 1 +
+ 0i ). Pry druhyx znaçenyqx vvedennoho parametra
�k ∈C v¥raΩenye (5) mo-
Ωet rassmatryvat\sq kak zakon umnoΩenyq πlementov bolee obwej system¥
hyperkompleksn¥x çysel H, kotorug v dal\nejßem budem naz¥vat\ unyver-
sal\noj y dlq kotoroj uslovye nekommutatyvnosty ymeet bolee sloΩn¥j vyd,
çem (4). Dejstvytel\no, yz v¥raΩenyq (5) sleduet jD� = � �
De ji k D− 2 α
y jC� =
= � �
Ce ji k C− 2 α
. Poπtomu peremewenye mnymoj edynyc¥ j otnosytel\no lgboho
kompleksnoho çysla
�G pry v¥polnenyy rassmatryvaemoj operacyy umnoΩe-
nyq (5) opredelqetsq sootnoßenyem
ji = �R ijG = ( )′ + ′′R R i ijG G , (6)
hde
′RG =
e G k G k
G
k
G G
G2 2 2′′ ′′ ′ − ′ ′[ ]
′′
α α αcos( ) sin ( )
,
′′RG = −
′ ′ + ′′ ′[ ] − ′
′′
′′e G k G k G
G
k
G G
G2 2 2α α αcos ( ) sin ( )
.
V pryvedenn¥x v¥ße v¥raΩenyqx nyΩnyj yndeks otraΩaet yx svqz\ s komp-
leksn¥m çyslom
�G . Takym obrazom, v ramkax rassmatryvaemoj unyversal\noj
system¥ hyperkompleksn¥x çysel H nekommutatyvnost\ opys¥vaetsq bolee
obwym sootnoßenyem (6) y zavysyt ot dejstvytel\n¥x sostavlqgwyx komp-
leksnoho parametra
�k hyperkompleksnoj system¥ H y dejstvytel\n¥x sos-
tavlqgwyx kompleksnoho çysla, otnosytel\no kotoroho peremewaetsq mnymaq
edynyca j. Lehko proveryt\, çto yz v¥raΩenyq (6) sledugt kommutatyvnost\
kvadrypleksn¥x çysel y uslovye nekommutatyvnosty (4) dlq kvaternyonov.
Poπtomu s toçky zrenyq operacyj sloΩenyq (1), umnoΩenyq (5), a takΩe v¥ra-
Ωenyq (6), opys¥vagweho nekommutatyvnost\, kvadrypleksn¥e çysla ( �k = �0 ) y
kvaternyon¥ ( �k = �1) moΩno rassmatryvat\ kak çastn¥e sluçay predloΩennoj
unyversal\noj system¥ hyperkompleksn¥x çysel H, kotoraq predstavlqet so-
boj alhebru ranha dva nad polem kompleksn¥x çysel y dlq kotoroj, v obwem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
132 S. Y. KLYPKOV
sluçae, vvedenn¥j parametr �k moΩet prynymat\ lgb¥e kompleksn¥e znaçe-
nyq
�k ∈C .
V¥raΩenye (6) pozvolqet takΩe rassmatryvat\ predlahaemug unyversal\-
nug systemu hyperkompleksn¥x çysel kak alhebru ranha çet¥re nad polem
dejstvytel\n¥x çysel. Pry πtom v kaçestve bazysn¥x πlementov, kak y pry
predstavlenyy kvadrypleksn¥x çysel [2], celesoobrazno yspol\zovat\ edynyc¥
1, i, j y i j. Tohda zakon umnoΩenyq (5) v dejstvytel\n¥x sostavlqgwyx moΩet
b¥t\ predstavlen v vyde tablyc¥.
′C ′′C i ′D j ′′D ij
′A ′ ′A C ′ ′′A C i ′ ′A D j ′ ′′A D ij
′′A i ′′ ′A C i − ′′ ′′A C ′′ ′A D ij − ′′ ′A D j
′B j ′ ′B C j ′ ′′ ′ + ′′( )B C R R i ijC C − ′ ′B D ′ ′′ ′′ − ′( )B D R R iD D
′′B ij ′′ ′B C ij ′′ ′′ − ′′ + ′( )B C R R i ijC C − ′′ ′B D i ′′ ′′ ′ + ′′( )B D R R iD D
Kak sleduet yz tablyc¥, kombynacyy bazysn¥x πlementov ji, jij, iji y ijij,
soderΩawye proyzvedenye ji, predstavlen¥ s uçetom (6). Poskol\ku dlq kvad-
rypleksn¥x çysel ′RC = ′RD = 1, ′′RC = ′′RD = 0, a dlq kvaternyonov ′RC =
= ′RD = – 1, ′′RC = ′′RD = 0, pry podstanovke ukazann¥x znaçenyj rassmatryvae-
maq tablyca prynymaet vyd tablyc umnoΩenyq sootvetstvugwyx çyslov¥x
system [2].
Pry znaçenyqx parametra
�k , otlyçn¥x ot
�0 y
�1 , producyruem¥e hyper-
kompleksn¥e çyslov¥e system¥ predstavlqgt soboj nekommutatyvn¥e neasso-
cyatyvn¥e alhebr¥, ne udovletvorqgwye v polnoj mere aksyomam kol\ca. Tem
ne menee, prykladnoe znaçenye takyx alhebr dlq rqda dejstvytel\n¥x znaçenyj
rassmatryvaemoho parametra ( �k = ′k + 0i) pryvedeno v [4]. V πtoj Ωe rabote po-
kazana svqz\ meΩdu poqvlenyem hyperkompleksn¥x reßenyj takyx alhebr y
matrycej pervoho pryblyΩenyq, postroennoj s yspol\zovanyem ponqtyq psev-
doproyzvodnoj, dlq system nelynejn¥x kompleksn¥x uravnenyj, soderΩawyx
nelynejn¥e kombynacyy prqm¥x y soprqΩenn¥x kompleksn¥x neyzvestn¥x.
Rassmotrym osnovn¥e svojstva predlahaemoj unyversal\noj system¥ hyper-
kompleksn¥x çysel H s toçky zrenyq aksyom kol\ca.
1. Çyslo
�
0 = ( )� �0 0+ j ∈ H qvlqetsq nulem H.
2. H qvlqetsq kommutatyvnoj hruppoj otnosytel\no sloΩenyq. Poπtomu
dlq
�
A ,
�
B ,
�
C ∈H v¥polnqgtsq sledugwye sootnoßenyq:
�
A +
�
B =
�
B +
�
A ,
�
A + ( )
� �
B C+ = ( )
� �
A B+ +
�
C ,
� �
A + 0 =
�
A ,
� �
A A− =
�
0 , çto sleduet neposredst-
venno yz (1).
3. Proyzvedenye
� �
AB zamknuto po otnoßenyg k umnoΩenyg (5).
4. V obwem sluçae
� �k ≠ 0 , � �k ≠ 1 dlq umnoΩenyq ne v¥polnqetsq assocya-
tyvn¥j zakon
� � �
A BC( ) ≠ ( )
� � �
AB C .
5. Çyslo
�
1 = ( )� �1 0+ j ∈ H so znaçenyem uhla kompleksnoj edynyc¥ α1 =
= 0 qvlqetsq levoj y pravoj edynycej. Poπtomu
� �
1A =
�
A y
� �
A1 =
�
A , çto sle-
duet neposredstvenno yz (5).
6. V¥polnqgtsq sootnoßenyq
� �
A0 =
� �
0A =
�
0 dlq lgboho πlementa
�
A ∈H .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
O NOVOM PODXODE K POSTROENYG HYPERKOMPLEKSNÁX ÇYSLOVÁX … 133
7. V¥polnqetsq odyn yz dystrybutyvn¥x zakonov ( )
� � �
B C A+ = ( )
� � � �
BA C A+ ,
no
� � �
A B C( )+ ≠ ( )
� � � �
AB AC+ .
8. Dlq πlementov H, kotor¥e ne qvlqgtsq prav¥my delytelqmy nulq, su-
westvugt lev¥e obratn¥e πlement¥.
V¥raΩenye dlq levoho obratnoho πlementa moΩno v obwem sluçae oprede-
lyt\ yz v¥raΩenyq (5). Dejstvytel\no, unyversal\noe hyperkompleksnoe çyslo
�
A = �A + �Bj budet obratn¥m k unyversal\nomu hyperkompleksnomu çyslu
�
B =
= �C + �Dj , esly udovletvorqetsq systema kompleksn¥x uravnenyj
� �AC – � � �
BDe i k D− 2 α = �1, (7)
� �AD + � � �
BCe i k C− 2 α = �0 . (8)
Reßenye ukazannoj system¥ uravnenyj pryvodyt k sledugwym v¥raΩenyqm
dlq kompleksn¥x sostavlqgwyx levoho obratnoho πlementa:
�A =
�
� �
�
� �
Ce
C e D e
i k
i k i k
C
C D
−
− −+
2
2 2 2 2
α
α α
, (9)
�B =
−
+− −
�
� �� �
D
C e D ei k i kC D2 2 2 2α α
. (10)
Otmetym, çto pry znaçenyy parametra
� �k = 0 hyperkompleksnoj system¥ v¥ra-
Ωenyq (9), (10) pryvodqt k kompleksn¥m sostavlqgwym obratnoho πlementa
kvadrypleksnoho çysla [2]
�
�
� �
A
C
C D
=
+2 2 , (11)
�
�
� �
B
D
C D
=
−
+2 2 , (12)
a pry znaçenyy
� �k = 1 neposredstvenno sledugt yzvestn¥e v¥raΩenyq dlq ob-
ratnoho πlementa kvaternyona
�
� �A
C
CC DD
=
+
ˆ
ˆ ˆ , (13)
�
�
� �B
D
CC DD
=
−
+ˆ ˆ , (14)
tak kak çyslytely v¥raΩenyj (13), (14) predstavlqgt soboj kompleksn¥e so-
stavlqgwye soprqΩennoho kvaternyona, a yx znamenatel\ qvlqetsq kvadratom
modulq kvaternyona.
Dlq opredelenyq delytelej nulq unyversal\noj system¥ hyperkompleks-
n¥x çysel H rassmotrym systemu uravnenyj
� �AC – � � �
BDe i k D− 2 α = �0, (15)
� �AD + � � �
BCe i k C− 2 α = �0. (16)
Reßenye ukazannoj system¥ otnosytel\no kompleksn¥x sostavlqgwyx
�C ,
�D
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
134 S. Y. KLYPKOV
pravoho mnoΩytelq
�
B ∈H pry uslovyqx
� �A ≠ 0 , � �B ≠ 0 pryvodyt k uravnenyg
� �
C e i k C2 2− α + � �
D e i k D2 2− α = �0, (17)
kotoroe pozvolqet ustanovyt\ sootnoßenyq meΩdu uhlamy αC , αD y modu-
lqmy C, D kompleksn¥x sostavlqgwyx
�C ,
�D , opredelqgwye prav¥e dely-
tely nulq:
αC = αD + ∆ α , (18)
C = De k− ′′∆α , (19)
hde ∆ α — neobxodymaq dlq v¥polnenyq rassmatryvaemoho uslovyq raznost\
meΩdu uhlamy αC y αD , kotoraq v¥çyslqetsq po formule
∆ α = ±
− ′
π
2 1( )k
. (20)
Otmetym, çto uravnenye (17) sootvetstvuet ravenstvu nulg znamenatelq v¥ra-
Ωenyj (9), (10) dlq opredelenyq levoho obratnoho πlementa, yz çeho sleduet,
çto prav¥e delytely nulq ne ymegt lev¥x obratn¥x πlementov.
Teper\ yz system¥ uravnenyj (15), (16) opredelym v¥raΩenyq dlq lev¥x de-
lytelej nulq. Otnosytel\no sostavlqgwyx
�A ,
�B ukazannaq systema pryvo-
dytsq k uravnenyg
�A2 + � �
B e i k C D2 2− +( )α α = �0, (21)
yz kotoroho moΩno poluçyt\ sootnoßenyq meΩdu uhlamy α A , αB y modulq-
my A, B kompleksn¥x sostavlqgwyx
�A ,
�B hyperkompleksnoho çysla
�
A ∈
∈ H, opredelqgwye lev¥e delytely nulq:
α A = α
π
B ∓
2
– ′ +k C D( )α α , (22)
A = Bek C D′′ +( )α α . (23)
Otmetym protyvopoloΩn¥j xarakter yspol\zovanyq znakov + y – v v¥raΩe-
nyqx (20) y (22).
Takym obrazom, esly dlq nekotoroho çysla unyversal\noj hyperkompleks-
noj system¥
�
B ∈H ne udovletvorqgtsq sootnoßenyq (18), (19), t.Le. πto çyslo
ne qvlqetsq prav¥m delytelem nulq, to dlq dannoho çysla suwestvuet lev¥j
obratn¥j πlement, kompleksn¥e sostavlqgwye kotoroho v¥çyslqgtsq po for-
mulam (9), (10). Esly Ωe nekotoroe çyslo
�
B ∈H predstavlqet soboj prav¥j
delytel\ nulq, to v πtom sluçae dlq neho vsehda moΩno opredelyt\ çyslo
�
A ∈ H, qvlqgweesq lev¥m delytelem nulq, yspol\zovav sootnoßenyq (22),
(23). Pry πtom
� � �
AB = 0 . Otmetym, çto v obwem sluçae lev¥e delytely nulq za-
vysqt ot uhlov kompleksn¥x sostavlqgwyx prav¥x delytelej nulq.
Dlq kvadrypleksn¥x çysel ( � �k = 0 ) sootnoßenyq (18), (19) meΩdu uhlamy y
modulqmy kompleksn¥x sostavlqgwyx hyperkompleksnoho çysla
�
B , oprede-
lqgwye eho prynadleΩnost\ k prav¥m delytelqm nulq, y sootnoßenyq (22),
(23) meΩdu uhlamy y modulqmy kompleksn¥x sostavlqgwyx hyperkompleks-
noho çysla
�
A , opredelqgwye eho prynadleΩnost\ k lev¥m delytelqm nulq,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
O NOVOM PODXODE K POSTROENYG HYPERKOMPLEKSNÁX ÇYSLOVÁX … 135
sootvetstvenno prynymagt vyd αC = α
π
D ±
2
, C = D y α A = α
π
B ∓
2
, A = B.
V dejstvytel\n¥x sostavlqgwyx ukazann¥e uslovyq ymegt sledugwyj vyd.
Dlq prav¥x delytelej nulq ′ = − ′′C D , ′′ = ′C D yly ′ = ′′C D , ′′ = − ′C D .
Dlq lev¥x delytelej nulq ′ = ′′A B , ′′ = − ′A B yly ′ = − ′′A B , ′′ = ′A B . Ta-
kym obrazom, v sluçae kvadrypleksn¥x çysel takΩe moΩno hovoryt\ o prav¥x y
lev¥x delytelqx nulq v sm¥sle yx sovmestnoho yspol\zovanyq. Çtob¥ polu-
çyt\ kvadrypleksn¥j nul\, kvadrypleksn¥e delytely nulq neobxodymo umno-
Ωat\ sledugwym obrazom:
( ) ( )′′ − ′ + ′ + ′′[ ]B B i B B i j × ( ) ( )− ′′ + ′ + ′ + ′′[ ]D D i D D i j =
�
0
yly
( ) ( )− ′′ + ′ + ′ + ′′[ ]B B i B B i j × ( ) ( )′′ − ′ + ′ + ′′[ ]D D i D D i j =
�
0 .
Druhye kombynacyy umnoΩenyq delytelej nulq pryvodqt ne k kvadrypleks-
nomu nulg, a k kvadrypleksnomu çyslu, kotoroe v svog oçered\ qvlqetsq dely-
telem nulq.
Otmetym takΩe, çto uslovyq nedelymosty kvadrypleksn¥x çysel moΩno po-
luçyt\ yz v¥raΩenyj (11), (12), pryravnqv yx znamenatel\ k nulg.
Kak sleduet yz v¥raΩenyq (20), edynstvennoj assocyatyvnoj alhebroj, ne
ymegwej prav¥x delytelej nulq, a sledovatel\no, y lev¥x, qvlqgtsq kvater-
nyon¥ ( � �k = 1 ), tak kak v πtom sluçae ∆ α stanovytsq beskoneçno bol\ßym
çyslom, çto vpolne oΩydaemo y zakonomerno, poskol\ku kvaternyon¥ qvlqgtsq
alhebroj s delenyem.
Yz v¥raΩenyj (9), (10) moΩno opredelyt\ dejstvytel\n¥j modul\ unyver-
sal\noho hyperkompleksnoho çysla. Dlq πtoho neobxodymo umnoΩyt\ komp-
leksn¥j znamenatel\ πtyx v¥raΩenyj na eho soprqΩennoe znaçenye. V rezul\-
tate poluçym dejstvytel\n¥j neotrycatel\n¥j polynom çetvertoj stepeny
P
l
= C e k C4 4 ′′α + D e k D4 4 ′′α +
+ 2 2 12 2 2C D e kk
C D
C D′′ + − ′ −[ ]( ) cos ( ) ( )α α α α ≥ 0. (24)
Ukazann¥j polynom moΩno rassmatryvat\ kak çetvertug stepen\ modulq. Ra-
venstvo nulg polynoma (24) vozmoΩno v dvux sluçaqx, kohda
� �
B = 0 yly
�
B
qvlqetsq prav¥m delytelem nulq, çto sleduet yz sopostavlenyq v¥raΩenyj
(18), (20) y (24).
Podstavlqq v (24) znaçenyq
�k , sootvetstvugwye kvadrypleksn¥m çyslam y
kvaternyonam, poluçaem yzvestn¥e v¥raΩenyq dlq çetvertoj stepeny modulq
ukazann¥x çyslov¥x system:
dlq kvadrypleksn¥x çysel
P
l
= ′C 4 + ′′C 4 + ′D 4 + ′′D 4 + 2 2 2′ ′′C C + 2 2 2′ ′C D – 2 2 2′ ′′C D –
– 2 2 2′′ ′C D + 2 22′′ ′′C D + 2 2 2′ ′′D D + 8 ′ ′′ ′ ′′C C D D ,
dlq kvaternyonov
P
l
= ′ + ′′ + ′ + ′′( )C C D D2 2 2 2 2
.
Teper\ rassmotrym vozmoΩnost\ opredelenyq prav¥x obratn¥x πlementov
dlq kaΩdoho yz πlementov unyversal\noj hyperkompleksnoj system¥ H. V
πtom sluçae neobxodymo najty kompleksn¥e sostavlqgwye
�C , �D , udovletvo-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
136 S. Y. KLYPKOV
rqgwye uravnenyqm system¥ (7), (8). Kak sleduet yz ukazannoj system¥ urav-
nenyj, narqdu s rassmatryvaem¥my kompleksn¥my sostavlqgwymy v sostav ne-
yzvestn¥x vxodqt takΩe yx uhl¥, umnoΩenn¥e na parametr hyperkompleksnoj
system¥
�k , çto ne pozvolqet poluçyt\ analytyçeskye v¥raΩenyq dlq oprede-
lenyq pravoho obratnoho πlementa v obwem vyde. Obwym utverΩdenyem dlq
vsex znaçenyj parametra
�k v dannom sluçae moΩet b¥t\ tol\ko to, çto prav¥x
obratn¥x πlementov ne ymegt πlement¥ hyperkompleksnoj system¥ çysel H,
qvlqgwyesq lev¥my delytelqmy nulq.
∏to sleduet yz toho, çto znamenatel\ v¥raΩenyj dlq kompleksn¥x sostav-
lqgwyx
�C , �D , kotor¥e moΩno predstavyt\ v vyde
�C =
�
� � �
A
A B e i k C D2 2 2+ − +( )α α
, (25)
�D =
−
+
−
− +
�
� �
�
�
Be
A B e
i k
i k
C
C D
2
2 2 2
α
α α( )
, (26)
sootvetstvuet levoj çasty uravnenyq (21).
Yz formul (25), (26) moΩno poluçyt\ ewe odno v¥raΩenye dlq dejstvy-
tel\noho modulq hyperkompleksnoho çysla, svqzannoho s v¥çyslenyem prav¥x
obratn¥x πlementov. UmnoΩaq znamenatel\ ukazann¥x formul na eho soprq-
Ωennoe znaçenye, poluçaem neotrycatel\n¥j polynom
P
p
= A4 + B e k C D4 4 ′′ +( )α α +
+ 2 22 2 2A B e kk
A B C D
C D′′ + − + ′ +[ ]{ }( ) cos ( ) ( )α α α α α α ≥ 0. (27)
Pryvedenn¥j polynom takΩe moΩno rassmatryvat\ kak çetvertug stepen\ mo-
dulq. Ravenstvo nulg polynoma (27) vozmoΩno v dvux sluçaqx: kohda
� �
A = 0
yly
�
A qvlqetsq lev¥m delytelem nulq, çto sleduet yz sopostavlenyq v¥ra-
Ωenyj (22) y (27). Otmetym, çto dlq kvadrypleksn¥x çysel y kvaternyonov
znaçenyq polynomov P
l
y P
p
, a sledovatel\no, y sootvetstvugwyx ym modu-
lej sovpadagt. Çto kasaetsq hyperkompleksn¥x çyslov¥x system s druhymy
znaçenyqmy parametra
�k , to dlq nyx znaçenyq levoho y pravoho modulq otly-
çagtsq meΩdu soboj.
Poskol\ku v obwem sluçae poluçyt\ v¥raΩenyq dlq pravoho obratnoho πle-
menta ne predstavlqetsq vozmoΩn¥m, v kaçestve prymera rassmotrym kak v¥-
çyslqgtsq prav¥e obratn¥e πlement¥ pry znaçenyy parametra
�k = 0,5 + 0i hy-
perkompleksnoj system¥. Otmetym, çto pry ukazannom znaçenyy parametra v¥-
raΩenye dlq nekommutatyvnosty (6) prynymaet vyd
ji = −
− ′
′′
G G
G
i ij ,
tak kak ′ =RG 0 , a ′′RG = −
− ′
′′
G G
G
. Poπtomu zamena pry umnoΩenyy rassmat-
ryvaem¥x hyperkompleksn¥x çysel ji na −
− ′
′′
D D
D
i ij pryvodyt k sootno-
ßenyg jD Dj� = dlq kompleksnoho çysla
�D y, sledovatel\no, k sootnoße-
nyg jC Cj� = dlq kompleksnoho çysla
�C . Pryvedenn¥e sootnoßenyq sledugt
takΩe neposredstvenno yz pravyla umnoΩenyq (5). Takym obrazom, systema
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
O NOVOM PODXODE K POSTROENYG HYPERKOMPLEKSNÁX ÇYSLOVÁX … 137
uravnenyj dlq opredelenyq prav¥x obratn¥x πlementov (7), (8) pry
�k = 0,5 + 0i
prynymaet vyd
� � � �AC BD− = 1,
� � � �AD BC+ = 0 .
V rezul\tate reßenyq rassmatryvaemoj system¥ uravnenyj poluçym for-
mul¥
αD = π α α− +A B ,
αC = arcsin sin ( )
B
A
B
2
2 α
– α A , (28)
C =
A
A BA C B
2 2cos ( ) cos ( )α α α+ −
, (29)
D C
B
A
= .
Ytak, esly nekotor¥j πlement hyperkompleksnoj system¥ çysel H s paramet-
rom
�k = = 0,5 + j 0 ne qvlqetsq lev¥m delytelem nulq, to on moΩet ymet\ dva
prav¥x obratn¥x πlementa, yly odyn, yly ne ymet\ ny odnoho v zavysymosty ot
znaçenyq v¥raΩenyq pod znakom arcsin v formule (28). Kak sleduet yz ukazan-
noho v¥raΩenyq, dlq toho çtob¥ znaçenye uhla αC b¥lo dejstvytel\n¥m, ne-
obxodymo v¥polnenye uslovyq
αB ≤ arcsin
A
B
2
2
.
Esly Ωe rassmatryvaem¥j πlement hyperkompleksnoj system¥ çysel H qv-
lqetsq lev¥m delytelem nulq, to v¥polnqetsq ravenstvo A = B y yz (28) sle-
duet αB = α A + αC . ∏to pryvodyt k nulevomu znaçenyg znamenatelq v v¥ra-
Ωenyy (29), çto ne pozvolqet opredelyt\ modul\ C kompleksnoj sostavlqg-
wej
�C pravoho obratnoho πlementa. Krome toho, v πtom sluçae v¥polnqgtsq
uslovyq ∆ α π= y α A = αB –
π
2
– 0 5, ( )α αC D+ , sledugwye yz sootnoße-
nyj (20), (22) meΩdu uhlamy kompleksn¥x sostavlqgwyx dlq pravoho y levoho
delytelej nulq, sootvetstvugwyx rassmatryvaemomu parametru
�k = 0,5 + 0i
hyperkompleksnoj system¥.
V zaklgçenye rassmotrym v kaçestve prymera vozmoΩn¥e hyperkompleksn¥e
reßenyq
�
X = �X + �Yj ob¥çnoho kvadratnoho uravnenyq s kompleksn¥my koπf-
fycyentamy
� �
X X + �
�
AX + �B = �0 . (30)
Hyperkompleksnoe uravnenye (30) moΩno rassmatryvat\ kak systemu dvux komp-
leksn¥x uravnenyj
�X 2 – � �
Y e i k Y2 2− α + � �AX + �B = �0 , (31)
� � � ��
Y X Xe Ai k X+ +( )− 2 α = �0 . (32)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
138 S. Y. KLYPKOV
Kak sleduet yz uravnenyq (32), reßenyq rassmatryvaemoj system¥ moΩno raz-
delyt\ na dve çasty. Perv¥e dva reßenyq sootvetstvugt uslovyg
� �Y = 0 . V
πtom sluçae systema uravnenyj preobrazuetsq v ob¥çnoe pryvedennoe uravnenye
s kompleksn¥my koπffycyentamy, tryvyal\n¥my reßenyqmy kotoroho qv-
lqgtsq dva kompleksn¥x çysla
�X1 2, = − ± −
� �
�A A
B
2 4
2
. (33)
Vtoraq çast\ reßenyj svqzana s uslovyem
�X + � �
Xe i k X− 2 α + �A = �0 . (34)
Rassmotrym πty reßenyq dlq rqda znaçenyj parametra
�k .
1.
� �k = 0 (kvadrypleksn¥e çysla). V πtom sluçae yz uravnenyq (34) poluça-
em �X = −
�A
2
, a yz uravnenyq (31) —
�Y1 2, = ± − +
�
�A
B
2
4
. Takym obrazom, kvad-
ratnoe uravnenye s kompleksn¥my koπffycyentamy narqdu s dvumq kompleks-
n¥my reßenyqmy (33) ymeet dva kvadrypleksn¥x reßenyq
�
X1 2, = − ± − +
� �
�A A
B j
2 4
2
.
2.
� �k = 1 (kvaternyon¥). Dlq kvaternyonov uravnenye (34) preobrazuetsq k
vydu
�X + X̂ + �A = �0 ,
pryçem eho reßenye trebuet, çtob¥ koπffycyent �A b¥l dejstvytel\n¥m
çyslom. Sledovatel\no, pry kompleksnom znaçenyy �A kvaternyon¥ ymegt
tol\ko dva kompleksn¥x reßenyq (33), çto vpolne obæqsnymo, tak kak kvater-
nyon¥ qvlqgtsq edynstvenn¥m rasßyrenyem polq kompleksn¥x çysel y, sle-
dovatel\no, ne mohut davat\ dopolnytel\n¥x reßenyj. Esly Ωe rassmatryvat\
koπffycyent �A kak dejstvytel\n¥j ( �A = ′A + 0i), to v πtom sluçae
′ = − ′
X
A
2
, a yz (31) sleduet, çto koπffycyent �B takΩe dolΩen b¥t\ dejst-
vytel\n¥m. V rezul\tate pryxodym k kvadratnomu uravnenyg s dejstvytel\n¥-
my koπffycyentamy, dlq kotoroho znaçenyq ostal\n¥x sostavlqgwyx kvater-
nyona opredelqgtsq sootnoßenyem
′′X 2 + ′Y 2 + ′′Y 2 = − ′A
4
2
+ ′B . (35)
Poskol\ku levaq çast\ uravnenyq (35) qvlqetsq neotrycatel\n¥m çyslom, pry
otrycatel\nom znaçenyy pravoj çasty, çto sootvetstvuet dvum dejstvytel\n¥m
kornqm rassmatryvaemoho kvadratnoho uravnenyq, kvaternyonn¥x reßenyj ne
suwestvuet. Pravda, v dannom sluçae moΩno hovoryt\ o bykvaternyonn¥x re-
ßenyqx. Esly Ωe pravaq çast\ uravnenyq qvlqetsq poloΩytel\noj, to kvad-
ratnoe uravnenye s dejstvytel\n¥my koπffycyentamy ymeet beskoneçnoe mno-
Ωestvo kvaternyonn¥x reßenyj, çto obuslovleno neodnoznaçnost\g kvater-
nyonov s toçky zrenyq yx v¥roΩdenyq v kompleksn¥e çysla.
3.
�k = 0,5 + 0i . ∏ta alhebra rassmatryvalas\ v¥ße v kaçestve prymera dlq
opredelenyq prav¥x obratn¥x πlementov. V πtom sluçae uravnenye (34) preob-
razuetsq k vydu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
O NOVOM PODXODE K POSTROENYG HYPERKOMPLEKSNÁX ÇYSLOVÁX … 139
�X + X + �A = �0 (36)
y ymeet odno reßenye pry uslovyy cos α A < 0, çto sootvetstvuet dvum dyapa-
zonam uhlov −
3
2
π
< α A < −
π
2
y
π
2
< α A <
3
2
π
. Esly v¥polnqgtsq ukazann¥e
uslovyq, to reßenyem uravnenyq (36) qvlqgtsq znaçenyq αX = 2 α A , X =
= −
A
A2 cos α
. Poskol\ku yz uravnenyq (31) sleduet sootnoßenye
�YY = �X 2 + � �AX + �B , (37)
to Y = D , a α αY D= , hde D y αD — sootvetstvenno modul\ y uhol
kompleksnoho çysla
�D = �X 2 + � �AX + �B v pravoj çasty sootnoßenyq (37).
4.
�k = 0 + i . Dlq πtoj alhebr¥ uravnenye (34) preobrazuetsq k vydu
�X + �Xe k X2 ′′α + �A = �0
y ymeet dva reßenyq αX1 2, = α πA ± , X =
A
e k X2 1′′ +α . Uçyt¥vaq, çto dlq ras-
smatryvaemoho sluçaq yz uravnenyq (31) sleduet sootnoßenye
�Y e k Y2 2 ′′α = �X 2 + � �AX + �B , (38)
poluçaem αY =
αD
2
, Y =
D
e k Y2 ′′α , hde D y αD — sootvetstvenno modul\ y
uhol kompleksnoho çysla
�D = �X 2 + � �AX + �B v pravoj çasty sootnoße-
nyqL(38).
1. Kantor Y. L., Solodovnykov A. S. Hyperkompleksn¥e çysla. – M.: Myr, 1984. – 144 s.
2. Syn\kov M. V., Hubareny N. M. Nepozycyonn¥e predstavlenyq v mnohomern¥x çyslov¥x
systemax. – Kyev: Nauk. dumka, 1972. – 138 s.
3. Lgß V. V. Teoryq funkcyj trypleksnoho peremennoho. – L.: Lenynhr. korablestroyt.
yn-t, 1936. – 164 s.
4. Klypkov S. Y. K voprosu matematyçeskoho modelyrovanyq predel\n¥x reΩymov πlektry-
çeskyx system peremennoho toka // ∏lektryçeskye sety y system¥. – 2009. – # 5. – S. 36 –
46.
Poluçeno 02.03.10
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 1
|
| id | umjimathkievua-article-2704 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:41Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5d/60611aec514a412f63f1d66cc59e265d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27042020-03-18T19:34:07Z On a new approach to the construction of hypercomplex number systems of rank two over the field of complex numbers O новом подходе к построению гиперкомплексных числовых систем ранга два над полем комплексных чисел Klipkov, S. I. Клипков, С. И. Клипков, С. И. By using the introduced notion of a parameter of hypercomplex numerical system, we propose a new approach to the construction of a hypercomplex numerical systems of rank two over a field of complex numbers. We show that quadroplex (bicomplex) numbers and quaternions can be considered as a special cases of the universal system of hypercomplex numbers that correspond to some values of the mentioned parameter. We consider principal algebraic characteristics of the universal system of hypercomplex numbers. We also present examples of possible applications of numbers of universal hypercomplex system to certain values of the introduced parameter. На основі введеного поняття - параметра гіперкомплексної числової системи - запропоновано новий підхід до побудови гіперкомплексних числових систем рангу два над полем комплексних чисел. Показано, що квадриплексні (бікомплексні) числа і кватерніони можна розглядати як окремі випадки універсальної системи гіперкомплексних чисел, які відповідають певним значенням зазначеного параметра. Розглянуто основні алгебраїчні властивості універсальної системи гіперкомплексних чисел. Наведено приклади, які ілюструють можливість застосування чисел універсальної гіперкомплексної системи для ряду значень введеного параметра. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2704 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 1 (2011); 130-139 Український математичний журнал; Том 63 № 1 (2011); 130-139 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2704/2164 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2704/2165 Copyright (c) 2011 Klipkov S. I. |
| spellingShingle | Klipkov, S. I. Клипков, С. И. Клипков, С. И. On a new approach to the construction of hypercomplex number systems of rank two over the field of complex numbers |
| title | On a new approach to the construction of hypercomplex number systems of rank two over the field of complex numbers |
| title_alt | O новом подходе к построению гиперкомплексных числовых систем ранга два над полем комплексных чисел |
| title_full | On a new approach to the construction of hypercomplex number systems of rank two over the field of complex numbers |
| title_fullStr | On a new approach to the construction of hypercomplex number systems of rank two over the field of complex numbers |
| title_full_unstemmed | On a new approach to the construction of hypercomplex number systems of rank two over the field of complex numbers |
| title_short | On a new approach to the construction of hypercomplex number systems of rank two over the field of complex numbers |
| title_sort | on a new approach to the construction of hypercomplex number systems of rank two over the field of complex numbers |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2704 |
| work_keys_str_mv | AT klipkovsi onanewapproachtotheconstructionofhypercomplexnumbersystemsofranktwooverthefieldofcomplexnumbers AT klipkovsi onanewapproachtotheconstructionofhypercomplexnumbersystemsofranktwooverthefieldofcomplexnumbers AT klipkovsi onanewapproachtotheconstructionofhypercomplexnumbersystemsofranktwooverthefieldofcomplexnumbers AT klipkovsi onovompodhodekpostroeniûgiperkompleksnyhčislovyhsistemrangadvanadpolemkompleksnyhčisel AT klipkovsi onovompodhodekpostroeniûgiperkompleksnyhčislovyhsistemrangadvanadpolemkompleksnyhčisel AT klipkovsi onovompodhodekpostroeniûgiperkompleksnyhčislovyhsistemrangadvanadpolemkompleksnyhčisel |