On the dirichlet problem for an improperly elliptic equation
The solvability of the inhomogeneous Dirichlet problem in a bounded domain for scalar improperly elliptic differential equation with complex coefficients is investigated. We study a model case where the unit disk is chosen as a domain and the equation does not contain lowest terms. We prove that t...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2707 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508658500108288 |
|---|---|
| author | Burskii, V. P. Kirichenko, E. V. Бурский, В. П. Кириченко, Е. В. Бурский, В. П. Кириченко, Е. В. |
| author_facet | Burskii, V. P. Kirichenko, E. V. Бурский, В. П. Кириченко, Е. В. Бурский, В. П. Кириченко, Е. В. |
| author_sort | Burskii, V. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:23Z |
| description | The solvability of the inhomogeneous Dirichlet problem in a bounded domain for scalar improperly elliptic differential equation with complex coefficients is investigated.
We study a model case where the unit disk is chosen as a domain and the equation does not contain lowest terms.
We prove that the problem has a unique solution in the Sobolev space for special classes of Dirichlet data that are spaces of functions with exponential decrease of the Fourier coefficients. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
В. П. Бурский, Е. В. Кириченко
(Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕПРАВИЛЬНО
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
The solvability of the inhomogeneous Dirichlet problem in a bounded domain for scalar improperly elliptic
differential equation with complex coefficients is investigated. We study a model case where the unit disk is
chosen as a domain and the equation does not contain lowest terms. We prove that the problem has a unique
solution in the Sobolev space for special classes of Dirichlet data that are spaces of functions with exponential
decrease of the Fourier coefficients.
Розглядається проблема розв’язностi неоднорiдної задачi Дiрiхле в обмеженiй областi для скалярно-
го неправильно елiптичного диференцiального рiвняння з комплексними коефiцiєнтами. Дослiджено
модельний випадок, коли за область вибрано одиничний круг, а в рiвняннi вiдсутнi молодшi члени.
Доведено, що класами даних Дiрiхле, для яких задача має єдиний розв’язок у просторi Соболєва, є
простори функцiй з експоненцiальним спаданням коефiцiєнтiв Фур’є.
1. Введение. Исследования корректности граничных задач восходят к Ж. Адама-
ру, впервые заметившему, что зависимость решения задачи Коши для уравнения
Лапласа в полуплоскости от начальных данных не является непрерывной. Этот
пример позволил Ж. Адамару дать общепринятое сегодня определение корректно-
сти линейной граничной задачи
Lu = f, Bu|∂Ω = g (1)
с линейными операторами L и B в виде оценки
‖u‖S ≤ ‖f‖R + ‖g‖B , (2)
где S,R и B — банаховы пространства решений, правых частей уравнения и
граничных данных соответственно. Неединственность решения граничной задачи
(1), т. е. существование нетривиального решения u ∈ S однородной задачи (1)
с f = 0, g = 0, означает отсутствие оценки (2) и потому некорректность такой
граничной задачи.
Во многих случаях не удается доказать корректность, но удается получить
свойство нетеровости граничной задачи (1), что означает конечномерность ядра
и конечномерность коядра оператора граничной задачи LB : SB → R, где SB
— подпространство таких функций из S, для которых Bu|∂Ω = 0, а оператор
LB = L|SB
. Известно, что критерием нетеровости линейной дифференциальной
граничной задачи для правильно (в другой терминологии — собственно) эллипти-
ческого уравнения в ограниченной области является условие Я. Б. Лопатинского
[1, 2].
Напомним основные определения. Линейный дифференциальный оператор L =
=
∑
|α|≤m
aα(x)Dα называется эллиптическим в области Ω ⊆ Rn , если его
старший символ l(x, ξ) =
∑
|α|=m
aα(x)ξα 6= 0 для всех x ∈ Ω, ξ ∈ Rn \ {0},
и правильно (или собственно) эллиптическим в открытой или замкнутой облас-
ти Ω ⊆ Rn, если m четное, m = 2k, и для любого x ∈ Ω, для каждой пары
c© В. П. БУРСКИЙ, Е. В. КИРИЧЕНКО, 2011
156 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕПРАВИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 157
линейно независимых действительных векторов ξ и η среди корней полинома
l(x, ξ + tη) от параметра t имеется ровно k корней t1+, t
2
+, . . . , t
k
+ с положи-
тельной мнимой частью Im t j+ > 0 и k корней t 1
−, t
2
−, . . . , t
k
− с отрицательной
мнимой частью Im t j− < 0. Ясно, что каждый правильно эллиптический линейный
дифференциальный оператор является эллиптическим. Отметим, что при n ≥ 3
каждый эллиптический линейный дифференциальный оператор является правиль-
но эллиптическим, но при n = 2 это не так (пример: оператор Коши – Римана
∂/∂z̄ = (∂/∂x − i∂/∂y)/2 ), и что то же справедливо для всех n в случае, когда
коэффициенты оператора вещественны ([2], см. также [1]).
Ниже для случая n = 2 будем рассматривать общее уравнение второго порядка
с постоянными комплексными коэффициентами без младших членов
aux1x1 + bux1x2 + cux2x2 = 0. (3)
Раскладывая оператор в левой части на линейные множители, уравнение (3) можно
записать в виде
(a1 · ∇)(a2 · ∇)u = 0
с единичными комплексными векторами aj = (aj1, a
j
2), j = 1, 2, что позволяет
перейти к виду
Lu ≡
(
sinϕ1
∂
∂x1
+ cosϕ1
∂
∂x2
)(
sinϕ2
∂
∂x1
+ cosϕ2
∂
∂x2
)
u = 0, (4)
где ϕ1 и ϕ2 — комплексные числа и ϕ1 6= ϕ2. Невещественность чисел ϕ1 и
ϕ2 означает, что исходное уравнение является эллиптическим, т. е. l(ξ) 6= 0 при
ξ 6= 0, где l(ξ) = (sinϕ1 · ξ1 + cosϕ1 · ξ2)(sinϕ2 · ξ1 + cosϕ2 · ξ2) — символ нашего
дифференциального оператора L. Правильная эллиптичность здесь означает, что
корни λ1, λ2 квадратного уравнения aλ2 + bλ + c = 0 имеют мнимые части
противоположных знаков, а это эквивалентно тому, что комплексные углы ϕ1 и
ϕ2 имеют мнимые части противоположных знаков и, стало быть, мнимые части
одного знака в неправильно эллиптическом случае.
Для неправильно эллиптического уравнения (4) в единичном круге K будем
изучать разрешимость задачи Дирихле
u|∂K = ψ, (5)
а именно, укажем пространство B, для которого справедлива оценка (2) с про-
странством Соболева в качестве пространства S. Выбор нами задачи Дирихле для
исследования объясняется как ее популярностью в качестве объекта исследований,
так и тем обстоятельством, что она заведомо нетерова в правильно эллиптическом
случае.
В настоящее время граничные задачи для линейных эллиптических уравнений
и систем изучаются только для правильно эллиптического случая, поскольку после
примеров А. В. Бицадзе граничные задачи для неправильно эллиптического слу-
чая представлялись весьма туманно. Напомним, что еще в 1948 г. А. В. Бицадзе
привел пример уравнения d2u/dz2 = 0, z = x1 + ix2, однородная задача Дири-
хле в единичном круге для которого имеет счетное число линейно независимых
полиномиальных решений uN (z) = (1 − zz) zN [3]. Позже им был найден еще
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
158 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. КИРИЧЕНКО
один пример уравнения с тем же свойством, но уже с простыми нулями символа
(см. [4]).
В работе [5] один из авторов настоящей работы привел критерий нарушения
единственности решения задачи Дирихле в единичном круге для общего уравне-
ния (3), а в его же работе [6] анонсированы результаты о разрешимости задачи
Дирихле (5) в обычной соболевской шкале пространств и указан путь их доказа-
тельства. В настоящей работе мы приводим их доказательства, исправляя ошибку
в формулировках результатов.
Сразу отметим, что в зависимости от свойств числа ϕ0 = ϕ1 −ϕ2, которое на-
зываем углом между характеристиками уравнения (4), будем различать три случая:
1) угол ϕ0 веществен и π -рационален, т. е. ϕ0/π ∈ Q;
2) угол ϕ0 веществен и π -иррационален;
3) угол ϕ0 невеществен.
Случай 1 — это случай нарушения единственности решения задачи Дирих-
ле [5]. В случаях 2 и 3 приходится вводить пространства аналитических правых
частей для разрешимости в обычной соболевской шкале пространств, причем на
свойства задачи Дирихле в случае 2, в отличие от случая 3, оказывают влияние
теоретико-числовые свойства числа ϕ0, аналогично тому, как это происходит со
свойствами задачи Дирихле для гиперболического уравнения (4) с вещественными
коэффициентами (см., например, [7]).
2. Метод исследования. Рассмотрим задачу Дирихле (5) для уравнения (4) в
пространстве Соболева Hs(K)(= W s
2 (K)), s > 2, где K = {x ∈ R2 : |x| <
< 1} — единичный круг с границей ∂K, функция ψ принадлежит Hs−1/2(∂K),
и выясним, для каких классов граничных данных такая задача имеет единственное
решение.
В работе [6] получено условие связи следов решения задачи Коши для урав-
нения (4) с данными из обычных соболевских пространств, которое мы приводим
ниже в виде теоремы 1.
Теорема 1. Для того чтобы функция u ∈ Hs(K) была решением задачи
u|∂K = ψ ∈ Hs−1/2(∂K), u′ν |∂K = χ ∈ Hs−3/2(∂K)
для уравнения (4), необходимо и достаточно, чтобы функции
P (x) = −l(ν(x))ψ(x) ∈ Hs−1/2(∂K),
C(x) = l(ν(x))χ(x) + [(ν2
1 − ν2
2) sin(ϕ1 + ϕ2) + 2ν1ν2 cos(ϕ1 + ϕ2)]ψ′τ+
+[(ν2
2 − ν2
1) cos(ϕ1 + ϕ2)− 2ν1ν2 sin(ϕ1 + ϕ2)]ψ ∈ Hs−3/2(∂K)
удовлетворяли условию∫
∂K
[P (x)(−i〈ν, ξ〉) + C(x)] exp(−i〈x, ξ〉) dτ = 0 ∀ξ ∈ Λ = {ξ ∈ C2 : l(ξ)} = 0.
(6)
Здесь и ниже τ — натуральный параметр на ∂K, 〈x, ξ〉 = x1ξ1 + x2ξ2, x · η =
= x1η1 + x2η2.
Позже в работе [8] было показано, что равенство (6) эквивалентно паре условий
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕПРАВИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 159
∫
∂K
[
u′ν∗ +
∆
2
u′τ
]
Q(x · ã1)dτ = 0,
∫
∂K
[
u′ν∗ −
∆
2
u′τ
]
Q(x · ã2)dτ = 0.
Здесь ã1 = (−a1
2, a
1
1), ã2 = (−a2
2, a
2
1) — направляющие векторы множества комп-
лексных характеристических направлений Λj =
{
λãj |λ ∈ C
}
, j = 1, 2, 〈ãj ,
aj〉 = 0, Λ = Λ1 ∪ Λ2,
∂
∂τ
и
∂
∂ν∗
= l(ν)
∂
∂ν
− 1
2k
[l(ν(s))]′s
∂
∂τ
— производные
по касательной и по конормали соответственно, k — кривизна кривой ∂K.
Данная эквивалентность вместе с теоремой 1 гарантировала справедливость
следующей теоремы, доказанной в [8].
Теорема 2. Для того чтобы функция u ∈ Hs(K), s > 2, была решением
задачи
u′τ |∂K = γ ∈ Hs−3/2(∂K), u′ν∗ |∂K = κ ∈ Hs−3/2(∂K)
для уравнения (4), необходимо и достаточно, чтобы функции γ и κ удовлетворяли
интегральному равенству∫
∂K
[
κ− (−1)j
∆
2
γ
]
Q(x · ãj)dτ = 0, j = 1, 2, (7)
с любым полиномом Q ∈ C[z]. При этом функция u восстанавливается с точно-
стью до аддитивной постоянной.
Таким образом, было получено другое условие связи следов решения, имеющее
вид проблемы неопределенности некоторой проблемы моментов, свойства которой
определяли свойства граничной задачи.
Рассмотрим несколько подробнее возникшую проблему моментов на границе
∂K единичного круга K :
Для j = 1, 2 и двух заданных наборов чисел ωjn, ω
1
0 = ω2
0 , n = 0, 1, . . . , найти
функцию α такую, что ∫
∂K
α(τ)(x(τ) · ãj)ndτ = ωjn.
Эта проблема моментов обобщает классическую тригонометрическую проблему
моментов. Действительно, возьмем в качестве векторов ãj следующие векторы:
ã1 = (1, i), ã2 = (1,−i). Получим обычную тригонометрическую проблему мо-
ментов ∫
∂K
α(τ)einτdτ = ω1
n,
∫
∂K
α(τ)e−inτdτ = ω2
n.
Далее, умножая эти равенства на коэффициенты полинома Чебышева Tn пер-
вого рода и складывая, получаем∫
∂K
α(τ)Tn(−x(τ) · ãj)dτ = µjn
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
160 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. КИРИЧЕНКО
с некоторыми µjn. Поскольку Tn(cosσ) = cosnσ и, кроме того, произведение
x(τ) · ãj = (cos τ, sin τ) · (− cosϕj , sinϕj) = − cos(τ + ϕj), исходную проблему
моментов можно записать в следующей форме:
Для j = 1, 2 и двух заданных наборов чисел µjn, n = 0, 1, . . . , найти функцию
α такую, что ∫
∂K
α(τ) cosn(τ + ϕj)dτ = µjn. (8)
Введем обозначения. Пусть M j
l — подпространство пространства H l(∂K),
l ∈ R, элементами которого являются функции α(τ), удовлетворяющие при всех
k ∈ Z+ интегральному равенству∫
∂K
α(τ)(x · ãj)kdτ = 0, j = 1, 2.
Определение 1. Определим пространство Соболева Hm
ρ (∂K) с весом ρ =
= ρ(n) для коэффициентов Фурье как пространство функций
α(τ) =
∞∑
n=1
(
αCn cosnτ + αSn sinnτ
)
(9)
из L2(∂K) таких, что коэффициенты αCn , α
S
n разложения удовлетворяют усло-
вию
∞∑
n=1
(
|αCn |2 + |αSn |2
)
ρ2(n)
(
1 + n2
)m
<∞. (10)
Замечание 1. В дальнейшем в качестве веса ρ(n) примем значение
ρ = ρ(n) = en(|Im(ϕ1+ϕ2)|−|Im(ϕ2−ϕ1)|).
Отметим, что |Im(ϕ1 + ϕ2)| − |Im(ϕ2 − ϕ1)| > 0 для неправильно эллиптического
уравнения (4). Пространство Hm
ρ (∂K) с таким весом состоит из аналитических
функций. Функции с экспоненциальным убыванием коэффициентов Фурье систе-
матически используются в теории функций, начиная с работ С. Н. Бернштейна
(см. [9]).
Определение 2. Будем говорить, что векторы ã1, ã2 ∈ C2 имеют Hm
ρ −
− H l -свойство на кривой ∂K, l 6 m, если для каждой функции α ∈ Hm
ρ (∂K)
существуют единственные функции α1 ∈M1
l , α
2 ∈M2
l такие, что имеет место
представление α = α1 + α2 + const.
После подстановки разложения (9) в равенство (8) получим соотношения
π(αCn cosnϕj − αSn sinnϕj) = µjn, j = 1, 2,
исходя из которых определим подпространства M j
l , j = 1, 2, равенствами
M1
l : αCn cosnϕ1 − αSn sinnϕ1 = 0,
M2
l : αCn cosnϕ2 − αSn sinnϕ2 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕПРАВИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 161
Теперь исследуем задачу Hm
ρ −H l на окружности ∂K в предположении, что
α ∈ Hm
ρ (∂K) — произвольная функция, имеющая представление (9). Спроектиру-
ем вектор (αCn , α
S
n) ∈ C2 на прямую αCn cosnϕ1 − αSn sinnϕ1 = 0 вдоль прямой
αCn cosnϕ2 − αSn sinnϕ2 = 0. Определяя координаты (α1,C
n , α1,S
n ) проекции из
системы
α1,C
n cosnϕ1 − α1,S
n sinnϕ1 = 0,
α1,C
n cosnϕ2 − α1,S
n sinnϕ2 = αCn cosnϕ2 − αSn sinnϕ2,
имеем
(α1,C
n , α1,S
n ) =
(
αCn − αSn tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
,
ctg nϕ1(αCn − αSn tg nϕ2)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
)
.
Прямым дополнением этого вектора в C2, лежащим на второй прямой, будет
вектор
(α2,C
n , α2,S
n ) =
(
αCn −
αCn − αSn tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
, αSn −
ctg nϕ1(αCn − αSn tg nϕ2)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
)
=
=
(
tg nϕ2(−αCn ctg nϕ1 + αSn)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
,
−αCn ctg nϕ1 + αSn
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
)
.
Далее, имея координаты проекции и прямого дополнения, находим функции
αj ∈M j
l , j = 1, 2 :
α1 =
∞∑
n=1
(α1,C
n cosnτ + α1,S
n sinnτ) =
=
∞∑
n=1
(
αCn − αSn tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
cosnτ +
ctg nϕ1(αCn − αSn tg nϕ2)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
sinnτ
)
,
α2 =
∞∑
n=1
(α2,C
n cosnτ + α2,S
n sinnτ) =
=
∞∑
n=1
(
tg nϕ2(−αCn ctg nϕ1 + αSn)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
cosnτ +
−αCn ctg nϕ1 + αSn
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
sinnτ
)
.
(11)
Рассмотрим векторы ã1, ã2 ∈ C2, заданные уравнением (4), и выясним, при
каком показателе l, l 6 m, эти векторы имеют Hm
ρ −H l -свойство на кривой ∂K.
Исследуем отдельно два случая, отмеченные во введении:
2) ϕ0 = ϕ2 − ϕ1 — вещественное π -иррациональное число,
3) ϕ0 — невещественное комплексное число.
Оценим коэффициенты при множителях αCn cosnτ, αSn cosnτ, αCn sinnτ,
αSn sinnτ в выражениях (11) функций α1 и α2 :
∣∣∣∣ 1
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ sinnϕ1 cosnϕ2
sinnϕ1 cosnϕ2 − sinnϕ2 cosnϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ sinnϕ1 cosnϕ2
sinnϕ0
∣∣∣∣ 6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
162 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. КИРИЧЕНКО
6
en|Imϕ1| · en|Imϕ2|
| sinnϕ0|
=
en|Im(ϕ1+ϕ2)|
| sinnϕ0|
,
∣∣∣∣ tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ sinnϕ1 sinnϕ2
sinnϕ0
∣∣∣∣ 6 en|Im(ϕ1+ϕ2)|
| sinnϕ0|
, (12)
∣∣∣∣ ctg nϕ1
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣cosnϕ1 cosnϕ2
sinnϕ0
∣∣∣∣ 6 en|Im(ϕ1+ϕ2)|
| sinnϕ0|
,
∣∣∣∣ ctg nϕ1 tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣cosnϕ1 sinnϕ2
sinnϕ0
∣∣∣∣ 6 en|Im(ϕ1+ϕ2)|
| sinnϕ0|
.
Случай 2. Напомним, что, по предположению из замечания 1, мы используем
вес для коэффициентов Фурье в виде ρ = en(|Im(ϕ1+ϕ2)|−|Im(ϕ2−ϕ1)|), так что ρ =
= en|Im(ϕ1+ϕ2)| при вещественном ϕ0, поскольку в этом случае Imϕ1 = Imϕ2.
Воспользуемся следующим утверждением из книги [7].
Утверждение 1. Пусть µ+ 1 > 0. Неравенство для числа ϕ0 ∈ R
∃C0 > 0 ∀n ∈ N : | sinnϕ0| > C0n
−µ (13)
равносильно неравенству
∃C1 > 0 ∀q
r
∈ Q :
∣∣∣∣ϕ0
π
− q
r
∣∣∣∣ > C1r
−µ−1.
Из неравенства (13) нетрудно видеть, что при вещественном ϕ0 все указанные
выше отношения в левых частях неравенств (12) оцениваются величиной ρnµ.
Следовательно, коэффициенты функций α1, α2 удовлетворяют оценке
|αj,Cn | 6 ρnµ(|αCn |+ |αSn |), |αj,Sn | 6 ρnµ(|αCn |+ |αSn |), j = 1, 2,
которая означает, с учетом принадлежности α ∈ Hm
ρ (∂K), что αj ∈ Hm−µ(∂K).
В самом деле,
∞ >
∞∑
n=1
(|αCn |2 + |αSn |2)ρ2n2m >
∞∑
n=1
|αj, Cn |2 + |αj,Sn |2
ρ2n2µ
· ρ2n2m =
=
∞∑
n=1
(
|αj, Cn |2 + |αj, Sn |2
)
n2(m−µ).
Итак, мы выяснили, используя неравенство (10), что в случае 2 функции αj при-
надлежат Hm−µ(∂K) (т. е. искомое l = m− µ ).
Перейдем к исследованию случая 3. Если ϕ0 — комплексное невещественное
число, то, как нетрудно убедиться, все четыре отношения из (12) оцениваются
сверху весом ρ = en(|Im(ϕ1+ϕ2)|−|Im(ϕ2−ϕ1)|). Но тогда
|αj,Cn | 6 ρ(|αCn |+ |αSn |), |αj,Sn | 6 ρ(|αCn |+ |αSn |), j = 1, 2,
поэтому, снова используя определение 1, замечаем, что функции αj принадлежат
Hm(∂K) (здесь индекс l совпадает с m ).
Резюмируя полученные результаты, сформулируем только что доказанное нами
утверждение как теорему 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
О ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕПРАВИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 163
Теорема 3. Пусть ϕ0 — вещественное число, α принадлежит Hm
ρ (∂K)
и выполнено неравенство (13). Тогда функции αj , j = 1, 2, принадлежат про-
странству Hm−µ(∂K). Если же ϕ0 — комплексное невещественное число и, по-
прежнему, α принадлежит Hm
ρ (∂K), то функции αj принадлежат Hm(∂K).
Замечание 2. В смысле определения 2 последнее утверждение означает, что
при вещественном ϕ0 векторы ã1, ã2 ∈ C2 имеют Hm
ρ −Hm−µ -свойство на окруж-
ности ∂K, а в случае комплексного ϕ0 — Hm
ρ −Hm -свойство на ∂K.
Теперь обратимся к формулировке и доказательству основного результата, отра-
жающего связь свойств проблемы моментов (8) с разрешимостью задачи
(4), (5).
Теорема 4. Пусть ϕ0 вещественно и π -иррационально. Если векторы ã1,
ã2 ∈ C2 имеют H
s−3/2
ρ − Hs−µ−3/2 -свойство на границе ∂K круга, то реше-
ние u(x) задачи (5) для уравнения (4) существует, единственно и принадлежит
пространству Hs−µ(K).
Доказательство. В силу свойства Hs−3/2
ρ −Hs−µ−3/2 векторов ã1, ã2 любая
функция 2γ = 2ψ′τ ∈ H
s−3/2
ρ (∂K) представима в виде суммы 2γ = v1 + v2, где
vj ∈ M j
s−µ−3/2, j = 1, 2. Положим κ =
∆
2
(v1 − γ), где ∆ = sinϕ0. Поскольку
H
s−3/2
ρ ⊂ Hs−3/2 ⊂ Hs−µ−3/2, функция κ принадлежит Hs−µ−3/2(∂K). При
таком выборе функций γ и κ выполняется равенство (7).
В самом деле, при j = 1 выражение в квадратных скобках под интегралом∫
∂K
[
κ− (−1)j
∆
2
γ
]
Q(x · ãj)dτ имеет вид
κ+
∆
2
γ =
∆
2
(v1 − γ) +
∆
2
γ =
∆
2
v1,
так что равенство нулю интеграла
∫
∂K
∆
2
v1Q(x · ã1)dτ достигается в силу при-
надлежности v1 ∈M1
s−µ−3/2.
Аналогично, при j = 2∫
∂K
[
κ− ∆
2
γ
]
Q(x · ã2)dτ =
∫
∂K
[
∆
2
(v1 − γ)− ∆
2
γ
]
Q(x · ã2)dτ =
=
∆
2
∫
∂K
(
v1 − 2γ
)
Q(x · ã2)dτ = −∆
2
∫
∂K
v2 ·Q(x · ã2)dτ = 0,
так как v2 ∈M2
s−µ−3/2.
Из равенства нулю указанных интегралов следует (в силу теоремы 2), что су-
ществует решение u ∈ Hs−µ(K) задачи Дирихле (4), (5).
Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть ϕ0 невещественно. Если векторы ã1, ã2 ∈ C2 имеют
H
s−3/2
ρ −Hs−3/2 -свойство на границе ∂K круга, то решение u(x) задачи (5) для
уравнения (4) существует, единственно и принадлежит пространству Hs(K).
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы с тем отли-
чием, что в этом случае µ = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
164 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. КИРИЧЕНКО
Объединяя теоремы 3, 4 и 5, получаем основной результат в виде теорем 6 и 7,
соответствующих случаям 2 и 3.
Теорема 6. Пусть ϕ0 вещественно и π -иррационально, ψ принадлежит
H
s−1/2
ρ (∂K) и выполнено неравенство (13). Тогда решение задачи (4), (5) суще-
ствует, единственно и принадлежит пространству Hs−µ(K).
Теорема 7. Если ϕ0 — невещественное число и ψ принадлежит H
s−1/2
ρ (∂K),
то решение задачи (4), (5) существует, единственно и принадлежит простран-
ству Hs(K).
1. Лионc Ж.-М., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971.
– 372 с.
2. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для систем дифференциальных
уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. мат. журн. – 1953.
– 5, № 2. – C. 123 – 151.
3. Бицадзе А. В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с част-
ными производными // Успехи мат. наук. – 1948. – 3, № 6. – С. 211 – 212.
4. Бицадзе А. В. Некоторые классы дифференциальных уравнений с частными производными. – М.:
Наука, 1981. – 448 с.
5. Бурский В. П. О нарушении единственности решения задачи Дирихле для эллиптических систем
в круге // Мат. заметки. – 1990. – 48, № 3. – C. 32 – 36.
6. Бурский В. П. О решениях задачи Дирихле для эллиптических систем в круге // Укр. мат. журн. –
1992. – 44, № 10. – С. 1307 – 1313.
7. Бурский В. П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравнений.
– Киев: Наук. думка, 2002. – 316 с.
8. Бурский В. П. О краевых задачах для эллиптического уравнения с комплексными коэффициентами
и одной проблеме моментов // Укр. мат. журн. – 1993. – 45, № 11. – С. 1476 – 1483.
9. Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. – Л.; М.: ОНТИ НКТП СССР, 1937.
Получено 02.07.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2707 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:43Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e7/7c8d5dc30d42b98a5844b425ac7c19e7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27072020-03-18T19:34:23Z On the dirichlet problem for an improperly elliptic equation О задаче Дирихле для неправильно эллиптического уравнения Burskii, V. P. Kirichenko, E. V. Бурский, В. П. Кириченко, Е. В. Бурский, В. П. Кириченко, Е. В. The solvability of the inhomogeneous Dirichlet problem in a bounded domain for scalar improperly elliptic differential equation with complex coefficients is investigated. We study a model case where the unit disk is chosen as a domain and the equation does not contain lowest terms. We prove that the problem has a unique solution in the Sobolev space for special classes of Dirichlet data that are spaces of functions with exponential decrease of the Fourier coefficients. Розглядається проблема розв’язностi неоднорiдної задачi Дiрiхле в обмеженiй областi для скалярного неправильно елiптичного диференцiального рiвняння з комплексними коефiцiєнтами. Дослiджено модельний випадок, коли за область вибрано одиничний круг, а в рiвняннi вiдсутнi молодшi члени. Доведено, що класами даних Дiрiхле, для яких задача має єдиний розв’язок у просторi Соболєва, є простори функцiй з експоненцiальним спаданням коефiцiєнтiв Фур’є. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2707 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 2 (2011); 156-164 Український математичний журнал; Том 63 № 2 (2011); 156-164 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2707/2170 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2707/2171 Copyright (c) 2011 Burskii V. P.; Kirichenko E. V. |
| spellingShingle | Burskii, V. P. Kirichenko, E. V. Бурский, В. П. Кириченко, Е. В. Бурский, В. П. Кириченко, Е. В. On the dirichlet problem for an improperly elliptic equation |
| title | On the dirichlet problem for an improperly elliptic equation |
| title_alt | О задаче Дирихле для неправильно эллиптического уравнения |
| title_full | On the dirichlet problem for an improperly elliptic equation |
| title_fullStr | On the dirichlet problem for an improperly elliptic equation |
| title_full_unstemmed | On the dirichlet problem for an improperly elliptic equation |
| title_short | On the dirichlet problem for an improperly elliptic equation |
| title_sort | on the dirichlet problem for an improperly elliptic equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2707 |
| work_keys_str_mv | AT burskiivp onthedirichletproblemforanimproperlyellipticequation AT kirichenkoev onthedirichletproblemforanimproperlyellipticequation AT burskijvp onthedirichletproblemforanimproperlyellipticequation AT kiričenkoev onthedirichletproblemforanimproperlyellipticequation AT burskijvp onthedirichletproblemforanimproperlyellipticequation AT kiričenkoev onthedirichletproblemforanimproperlyellipticequation AT burskiivp ozadačedirihledlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ AT kirichenkoev ozadačedirihledlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ AT burskijvp ozadačedirihledlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ AT kiričenkoev ozadačedirihledlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ AT burskijvp ozadačedirihledlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ AT kiričenkoev ozadačedirihledlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ |