Free dimonoids
We characterize the least semilattice congruence on the free dimonoid and prove that the free dimonoid is a semilattice of s-simple subdimonoids each being a rectangular band of subdimonoids.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2708 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508660054097920 |
|---|---|
| author | Zhuchok, A. V. Жучок, А. В. |
| author_facet | Zhuchok, A. V. Жучок, А. В. |
| author_sort | Zhuchok, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:23Z |
| description | We characterize the least semilattice congruence on the free dimonoid and prove that the free dimonoid is a semilattice of s-simple subdimonoids each being a rectangular band of subdimonoids. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.57
A. V. Ûuçok (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
VIL|NI DIMONO}DY
We characterize the least semilattice congruence on the free dimonoid and prove that the free dimonoid
is a semilattice of s-simple subdimonoids each being a rectangular band of subdimonoids.
Oxarakteryzovana naymen\ßaq polustrukturnaq konhruπncyq svobodnoho dymonoyda y dokaza-
no, çto svobodn¥j dymonoyd qvlqetsq polustrukturoj s-prost¥x poddymonoydov, kaΩd¥j yz
kotor¥x est\ prqmouhol\naq svqzka poddymonoydov.
Vstup. Ponqttq alhebry Lejbnica z’qvylosq v doslidΩennqx z teori] homolohij
alhebr Li [1]. Û.-L.3Lode [2] znajßov universal\nu obhortugçu alhebru dlq
alhebry Lejbnica. Rol\ takoho ob’[kta vidihra[ dialhebra [2] — vektornyj
prostir iz dvoma bilinijnymy asociatyvnymy operaciqmy, uzhodΩenymy miΩ so-
bog. Vyvçenng dialhebr ta ]x zv’qzkiv z inßymy alhebra]çnymy strukturamy
prysvqçeno bahato robit (dyv., napryklad, [2 – 5]). Z inßoho boku, dialhebra [
linijnym analohom ponqttq dimono]da [2], vvedenoho Û.-L.3Lode dlq vyvçennq
vlastyvostej alhebr Lejbnica. Ponqttq dimono]da uzahal\ng[ ponqttq dihrupy
[6], qke vidihra[ sutt[vu rol\ u doslidΩennqx vaΩlyvyx vidkrytyx problem teo-
ri] alhebr Lejbnica. Odnym iz perßyx rezul\tativ pro dimono]dy [ opys vil\noho
dimono]da, porodΩenoho zadanog mnoΩynog [2]. Za dopomohog vlastyvostej
vil\noho dimono]da bulo oxarakteryzovano vil\ni dialhebry ta vyvçeno homolohi]
dialhebr [2]. U [7] dovedeno, wo koΩnyj komutatyvnyj dimono]d [ napivstruktu-
rog arximedovyx piddimono]div. Vil\ni komutatyvni dimono]dy bulo pobudovano
v [8]. U [9] avtor opysav strukturu dovil\no] dispoluky piddimono]div. Najmen-
ßu napivstrukturnu konhruencig dovil\noho dimono]da bulo opysano v3[10].
U danij roboti pobudovano dimono]d, qkyj [ izomorfnym vil\nomu dimono]du,
vvedenomu Û.-L.3Lode v [2]. Opysano vil\nyj dimono]d ranhu 1 ta oxarakteryzo-
vano najmenßu napivstrukturnu konhruencig vil\noho dimono]da dovil\noho
ranhu. Osnovnym rezul\tatom ci[] statti [ teorema pro te, wo vil\nyj dimono]d
[ napivstrukturog s-prostyx piddimono]div, koΩen z qkyx [ prqmokutnog spo-
lukog piddimono]div. Opysugt\sq takoΩ deqki inßi konhruenci] vil\noho di-
mono]da.
1. Osnovni ponqttq ta dopomiΩni rezul\taty. MnoΩyna D z vyznaçe-
nymy na nij binarnymy asociatyvnymy operaciqmy ≺ i �, qki zadovol\nqgt\
aksiomy
( )x y z≺ ≺ = x y z≺ �( ) ,
( )x y z� ≺ = x y z� ≺( ) ,
( )x y z≺ � = x y z� �( )
dlq vsix x, y, z D∈ , nazyva[t\sq dimono]dom. U vypadku, koly operaci] dimono]-
da zbihagt\sq, vin peretvorg[t\sq u napivhrupu.
VidobraΩennq f dimono]da D1 u dimono]d D2 nazyva[t\sq homomorfizmom,
qkwo ( )x y f≺ = x f ≺ yf, ( )x y f� = x f � yf dlq vsix x, y D∈ 1 . Vza[mno odno-
znaçnyj homomorfizm dimono]div nazyva[t\sq izomorfizmom. PidmnoΩyna M
dimono]da (D, ≺ , �) nazyva[t\sq piddimono]dom, qkwo z x, y M∈ vyplyva[
x y≺ , x y M� ∈ .
Nahada[mo, wo napivhrupa idempotentiv I nazyva[t\sq prqmokutnog spolu-
© A. V. ÛUÇOK, 2011
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 2 165
166 A. V. ÛUÇOK
kog, qkwo rivnist\ xyx = x vykonu[t\sq dlq vsix x, y I∈ . Vidomo, wo koΩna
prqmokutna spoluka [ izomorfnog dekartovomu dobutku L × R napivhrupy li-
vyx nuliv ta napivhrupy pravyx nuliv.
Dimono]d (D, ≺, �) nazvemo dimono]dom idempotentiv abo dispolukog, qkwo
x x≺ = x = x x� dlq vsix x D∈ .
Lema 1. Nexaj (D, ≺ , �) — dimono]d idempotentiv. Napivhrupa (D, ≺ )
dimono]da (D, ≺, �) [ prqmokutnog spolukog todi j lyße todi, koly prqmo-
kutnog spolukog [ napivhrupa (D, �) dimono]da (D, ≺, �).
Dovedennq. Qkwo (D, ≺ ) — prqmokutna spoluka, a, b D∈ , to a b≺ ≺
≺ a = a. Z ostann\o] rivnosti ma[mo
( )a b a a≺ ≺ � = a b a a≺ � �( )( ) =
= a b a a� � �( )( ) = a b a� � = a a� = a
zhidno z aksiomamy dimono]da ta idempotentnistg operaci] �.
Navpaky, z rivnosti a b a� � = a otrymu[mo
a ≺ ( )a b a� � = a ≺ a b a� �( )( ) =
= ( )a a≺ ≺ ( )b a� = a ≺ ( )b a� = a b a≺ ≺ = a a≺ = a
zhidno z aksiomog dimono]da ta idempotentnistg operaci] ≺, otΩe (D, ≺) —
prqmokutna spoluka.
Lemu dovedeno.
U [7] avtorom dano] roboty bulo vvedeno ponqttq dispoluky piddimono]div.
Nahada[mo joho vyznaçennq.
Qkwo ϕ : S → T — homomorfizm dimono]div, to çerez ∆ϕ poznaçatymemo
vidpovidnu konhruencig na dimono]di S.
Nexaj S — dovil\nyj dimono]d, J — deqkyj dimono]d idempotentiv. Qkwo
isnu[ homomorfizm
α : S → J : x x� α ,
to koΩnyj klas konhruenci] ∆α [ piddimono]dom dimono]da S, a sam dimono]d S
[ ob’[dnannqm takyx dimono]div Sξ , ξ ∈ J , wo
xα = ξ ξ⇔ ∈x S = ∆α
x = t S x t∈ ∈{ }( ; ) ∆α ,
S S Sξ ε ξ ε≺ ≺⊆ , S S Sξ ε ξ ε� �⊆ ,
ξ ≠ ε ⇒ = ∅S Sξ ε∩ .
U c\omu vypadku hovorytymemo, wo S rozklada[t\sq v dispoluku piddimono]div
(abo S [ dispolukog J piddimono]div Sξ , ξ ∈ J ). Qkwo Ω J [ napivhrupog
idempotentiv (spolukog), to hovorytymemo, wo S [ spolukog J piddimono]div
Sξ , ξ ∈ J .
Komutatyvna napivhrupa idempotentiv nazyva[t\sq napivstrukturog. Qkwo
ρ — taka konhruenciq na dimono]di (D, ≺ , �), wo operaci] faktor-dimono]da
(D , ≺ �, )/ρ zbihagt\sq ta vin [ napivstrukturog, to budemo hovoryty, wo ρ [
napivstrukturnog konhruenci[g. Dimono]d (D, ≺, �) nazvemo s-prostym, qkwo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 2
VIL|NI DIMONO}DY 167
joho najmenßa napivstrukturna konhruenciq zbiha[t\sq z universal\nym vidno-
ßennqm.
U roboti [11] rozhlqnuto pidnapivhrupu ′S dovil\no] napivhrupy S, qka ma[
nastupnu vlastyvist\:
(P) dlq bud\-qkoho çysla elementiv a1 , a an2, ,… ∈ S z a a an1 2 … ∈ ′S
vyplyva[ ξ ξ ξ1 2 … m ∈ ′S dlq bud\-qkoho çysla elementiv ξ1 , ξ2 , … , ξm ∈ S,
qki zadovol\nqgt\ umovu ξ j j
m{ } =1
= ai i
n{ } =1 . Taku pidnapivhrupu nazyvagt\ P-
pidnapivhrupog napivhrupy S.
Nexaj (D, ≺, �) — dovil\nyj dimono]d. Çerez Ω poznaçymo sukupnist\ usix
P-pidnapivhrup napivhrupy (D, ≺ ). Elementy mnoΩyny Ω poznaçatymemo çerez
Dα , Dβ , …3. Dlq koΩno] pidmnoΩyny Γ mnoΩyny Ω vyznaçymo vidnoßennq
Γ≺ na dimono]di (D, ≺, �), poklavßy a bΓ≺ todi j lyße todi, koly
( , )x y x a y D≺ ≺ ∈{ }α = ( , )x y x b y D≺ ≺ ∈{ }α
dlq koΩnoho Dα ∈Γ .
Teorema 1 ([10], teorema32). Vidnoßennq Ω≺ na bud\-qkomu dimono]di (D,
≺, �) [ najmenßog napivstrukturnog konhruenci[g. Pry c\omu koΩnyj klas
konhruenci] Ω≺ [ s-prostym dimono]dom.
2. Budova vil\noho dimono]da. U c\omu punkti spoçatku pobudu[mo dimono-
]d, qkyj [ izomorfnym vil\nomu dimono]du, vvedenomu Û.-L.3Lode v [2], ta roz-
hlqnemo vil\nyj dimono]d ranhu 1. Dali oxarakteryzu[mo najmenßu napivstruk-
turnu konhruencig vil\noho dimono]da ta dovedemo, wo vil\nyj dimono]d [ napiv-
strukturog s-prostyx piddimono]div, koΩen z qkyx [ prqmokutnog spolukog
piddimono]div.
Rozhlqnemo vil\nyj dimono]d, pobudovanyj u [2].
Symvolom N budemo poznaçaty mnoΩynu dodatnyx cilyx çysel.
Nexaj X — dovil\na neporoΩnq mnoΩyna, n N∈ . Çerez Yn poznaçymo
ob’[dnannq n riznyx kopij mnoΩyny X n
ta poklademo D X( ) = Ynn≥1∪ . Po-
znaçagçy çerez (x1 …
�
xi … xn ) element v i-j komponenti Yn , na mnoΩyni
D X( ) vyznaçymo operaci]
( )x x xi k1 … …�
≺ ( )x x xk j l+ … …1
�
= ( )x x xi l1 … …�
,
( )x x xi k1 … …�
� ( )x x xk j l+ … …1
�
= ( )x x xj l1 … …�
dlq vsix (x1 …
�
xi … xk ) , (xk+1 …
�
x j … xl ) ∈ D X( ) . Todi D X( ), ,≺ �( ) [
vil\nym dimono]dom nad mnoΩynog X (dyv. [2, s.15]).
Vil\nyj dimono]d odnoznaçno z toçnistg do izomorfizmu vyznaça[t\sq po-
tuΩnistg mnoΩyny X. Navedemo inßu, bil\ß pryrodnu na naß pohlqd, konst-
rukcig vil\noho dimono]da nad mnoΩynog X. A same, nexaj F X[ ] — vil\na na-
pivhrupa z vil\nog bazog X. Symvolom � w poznaçatymemo dovΩynu slova
w ∈ F X[ ] . Na mnoΩyni
F = ( , )w m F X N mw∈ [ ] × ≥{ }�
vyznaçymo operaci] ≺, � za pravylamy
( , )w m1 1 ≺ ( , )w m2 2 = ( , )w w m1 2 1 , (1)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 2
168 A. V. ÛUÇOK
( , )w m1 1 � ( , )w m2 2 = ( , )w w mw1 2 21
� + (2)
dlq vsix ( , )w m1 1 , ( , )w m2 2 ∈ F.
Lema 2. MnoΩyna F z diqmy ≺, �, wo vyznaçagt\sq umovamy (1), (2), [
dimono]dom.
Dovedennq. Bezposeredn\o perevirq[t\sq, wo (F, ≺, �) [ dimono]dom.
Lemu dovedeno.
Dimono]d, otrymanyj takym sposobom, poznaçatymemo çerez
�
F X[ ] .
Lema 3. Dimono]dy D X( ), ,≺ �( ) ta
�
F X[ ] [ izomorfnymy.
Dovedennq. Zadamo vidobraΩennq σ : D(X) →
�
F X[ ] takym çynom:
( )x x xi k1 … …�
� ( , )x x x ii k1 … … , ( ) ( )x x x D Xi k1 … … ∈�
.
Peresvidçymosq, wo σ [ homomorfizmom. Spravdi, dlq dovil\nyx (x1 3…
�
xi …
… xk ) , (y1 3…
�
y j … yl ) ∈ D(X) ma[mo
( ) ( )x x x y y yi k j l1 1… … … …( )�
≺
� σ =
= ( )x x x y y yi k j l1 1… … … …� σ =
= ( , )x x x y y y ii k j l1 1… … … … =
= ( , ) ( , )x x x i y y y ji k j l1 1… … … …≺ =
= ( ) ( )x x x y y yi k j l1 1… … … …�
≺
�σ σ ,
( ) ( )x x x y y yi k j l1 1… … … …( )�
�
� σ =
= ( )x x x y y yi k j l1 1… … … …� σ =
= ( , )x x x y y y k ji k j l1 1… … … … + =
= ( , )x x x y y y ji k j l x x xi k1 1 1
… … … … +… …� =
= ( , ) ( , )x x x i y y y ji k j l1 1… … … …� =
= ( ) ( )x x x y y yi k j l1 1… … … …�
�
�σ σ ,
tobto σ [ uzhodΩenym z diqmy ≺, � v cyx dimono]dax.
Za pobudovog σ [ bi[ktyvnym vidobraΩennqm.
Lemu dovedeno.
Pobudu[mo dimono]d, izomorfnyj vil\nomu dimono]du ranhu 1.
Nexaj N = ( , )m n{ ∈ N × N m n≥ } (dyv. rysunok). Na mnoΩyni N vyzna-
çymo operaci] ≺, � za pravylamy
( , )m n ≺ ( , )k l = ( , )m k n+ ,
( , )m n � ( , )k l = ( , )m k m l+ +
dlq vsix ( , )m n , ( , )k l ∈ N . Bezposerednq perevirka pokazu[, wo ( , , )N ≺ � [
dimono]dom.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 2
VIL|NI DIMONO}DY 169
Lema 4. Qkwo X = 1, to
�
F X[ ] ≅ ( , , )N ≺ � .
Dovedennq. Nexaj X = a{ } . Vyznaçymo vidobraΩennq
τ :
�
F X[ ] → ( , , )N ≺ � ,
poklavßy ( , )a lk τ = ( , )k l . Za pobudovog τ [ bi[ktyvnym vidobraΩennqm. Po-
kaΩemo, wo vono [ homomorfizmom. Dlq vsix ( , )a lk , ( , )a st ∈
�
F X[ ] ma[mo
( , ) ( , )a l a sk t≺( ) τ = ( , )a lk t+ τ = ( , )k t l+ =
= ( , ) ( , )k l t s≺ = ( , ) ( , )a l a sk tτ τ≺ ,
( , ) ( , )a l a sk t�( ) τ = ( , )a sk t
ak
+ +� τ = ( , )a k sk t+ + τ =
= ( , )k t k s+ + = ( , ) ( , )k l t s� = ( , ) ( , )a l a sk tτ τ� .
Lemu dovedeno.
Dlq koΩnoho w ∈ F X[ ] çerez c w( ) poznaçymo mnoΩynu elementiv x X∈ ,
qki vxodqt\ do zapysu elementa w. Nexaj
CY = ( , ) ( )w m F X c w Y∈ [ ] ={ }�
dlq koΩno] neporoΩn\o] skinçenno] mnoΩyny Y X⊆ . Lehko baçyty, wo (CY ,
≺, �) , Y X⊆ [ piddimono]dom dimono]da
�
F X[ ] .
Nastupna teorema xarakteryzu[ najmenßu napivstrukturnu konhruencig
Ω≺ (dyv. p. 1) vil\noho dimono]da.
Teorema 2. Dlq bud\-qkyx ( , )w m1 1 , ( , )w m2 2 ∈
�
F X[ ] ma[ misce ekviva-
lentnist\
( , ) ( , )w m w m1 1 2 2Ω≺ ⇔ c w( )1 = c w( )2 .
Dovedennq. Neobxidnist\. Nexaj ( , ) ( , )w m w m1 1 2 2Ω≺ dlq deqkyx (w1 ,
m1) , ( , )w m2 2 ∈
�
F X[ ] . Ce oznaça[, wo
( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , )w m w m w m w m w m T3 3 4 4 3 3 1 1 4 4( ) ∈{ ≺ ≺ }} =
= ( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , )w m w m w m w m w m T3 3 4 4 3 3 2 2 4 4( ) ∈{ ≺ ≺ }}
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 2
170 A. V. ÛUÇOK
dlq koΩno] P-pidnapivhrupy T ∈Ω napivhrupy ( , )F ≺ (dyv. p. 1). Rozhlqnemo
piddimono]d ( , , )CY ≺ � , de Y = c w( )1 , dimono]da
�
F X[ ] . PokaΩemo, wo
( , )( )Cc w1
≺ — P-pidnapivhrupa napivhrupy ( , )F ≺ . Nexaj
( , ) ( , )ω ω1 1 2 2s s≺ ≺ … ≺ ( , )ω k ks = ( , )ω ω ω1 2 1… k s ∈ Cc w( )1
dlq deqkyx ( , )ω1 1s , ( , )ω2 2s , … , ( , )ω k ks ∈
�
F X[ ] ta
( , ) ( , )u t u t1 1 2 2≺ ≺ … ≺ ( , )u tr r = ( , )u u u tr1 2 1… ∈
�
F X[ ]
dlq deqkyx ( , )u t1 1 , ( , )u t2 2 , … , ( , )u tr r ∈
�
F X[ ] takyx, wo
( , ), ( , ), , ( , )u t u t u tr r1 1 2 2 …{ } = ( , ), ( , ), , ( , )ω ω ω1 1 2 2s s sk k…{ } .
Z ostann\o] rivnosti vyplyva[, wo c u u ur( )1 2 … = c k( )ω ω ω1 2 … . Ale
c(ω1 ω2 3… ω k ) = c w( )1 . Zvidsy c u u ur( )1 2 … = c w( )1 i, otΩe, (u u ur1 2 … ,
t1) ∈ Cc w( )1
, a Cc w( ),1
≺( ) — P-pidnapivhrupa.
Prypustymo teper, wo c w( )1 ≠ c w( )2 . Todi z
( , )w m3 3 ≺ ( , )w m1 1 ≺ ( , )w m4 4 = ( , )w w w m3 1 4 3 ∈ Cc w( )1
ne vyplyva[
( , )w m3 3 ≺ ( , )w m2 2 ≺ ( , )w m4 4 = ( , )w w w m3 2 4 3 ∈ Cc w( )1
,
oskil\ky
c w w w( )3 2 4 = c w( )3 ∪ c w( )2 ∪ c w( )4 ≠
≠ c w( )3 ∪ c w( )1 ∪ c w( )4 = c w w w( )3 1 4 = c w( )1 .
OtΩe, my pryjßly do supereçnosti, tobto prypuwennq, wo c w( )1 ≠ c w( )2 , ne [
virnym. Takym çynom,
( , ) ( , )w m w m1 1 2 2Ω≺ ⇒ c w( )1 = c w( )2 .
Dostatnist\. Nexaj T — dovil\na P-pidnapivhrupa napivhrupy ( , )F ≺ ta
( , )w m1 1 , ( , )w m2 2 , ( , )w m3 3 , ( , )w m4 4 ∈
�
F X[ ] . Prypustymo, wo ( , )w m1 1 ,
( , )w m2 2 ∈ CY dlq deqko] neporoΩn\o] skinçenno] pidmnoΩyny Y X⊆ . Nexaj
w1 = a1 … ai … at , a Xi ∈ , 1 ≤ i ≤ t, t ≥ m1 , w2 = b1 … bi … br , b Xi ∈ , 1 ≤ i ≤
≤ r, r ≥ m2 . Zrozumilo, wo c w( )1 = c w( )2 . Prypustymo teper, wo ( , )w m3 3 ≺
≺ ( , )w m1 1 ≺ ( , )w m4 4 ∈ T. Zhidno z P-vlastyvistg napivhrupy T z rivnosti
( , )w m3 3 ≺ ( , )w m1 1 ≺ ( , )w m4 4 =
= ( , )w m3 3 ≺ ( , )a1 1 ≺ … ≺ ( , )ai 1 ≺ … ≺ ( , )at 1 ≺ ( , )w m4 4
vyplyva[, wo
( , )w m3 3 ≺ ( , )b1 1 ≺ … ≺ ( , )bi 1 ≺ … ≺ ( , )br 1 ≺ ( , )w m4 4 ∈ T.
Ale
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 2
VIL|NI DIMONO}DY 171
( , )w m3 3 ≺ ( , )b1 1 ≺ … ≺ ( , )bi 1 ≺ … ≺ ( , )br 1 ≺ ( , )w m4 4 =
= ( , )w m3 3 ≺ ( , )b b bi r1 1… … ≺ ( , )w m4 4 =
= ( , )w m3 3 ≺ ( , )w m2 2 ≺ ( , )w m4 4 .
OtΩe, z umovy ( , )w m3 3 ≺ ( , )w m1 1 ≺ ( , )w m4 4 ∈ T vyplyva[, wo
( , )w m3 3 ≺ ( , )w m2 2 ≺ ( , )w m4 4 ∈ T.
Analohiçno dovodyt\sq implikaciq
( , )w m3 3 ≺ ( , )w m2 2 ≺ ( , )w m4 4 ∈ T ⇒ ( , )w m3 3 ≺ ( , )w m1 1 ≺
≺ ( , )w m4 4 ∈ T.
Takym çynom, za oznaçennqm ( , ) ( , )w m w m1 1 2 2Ω≺ .
Teoremu dovedeno.
Qkwo w F X∈ [ ] , to çerez w( )0
(vidpovidno w( )1
) poznaçymo perßu (vidpo-
vidno ostanng) literu slova w . Nexaj B X( ) — napivstruktura neporoΩnix
skinçennyx pidmnoΩyn mnoΩyny X vidnosno operaci] teoretyko-mnoΩynnoho
ob’[dnannq. Dlq koΩnoho Y ∈ B X( ) ta vsix x, y Y∈ poklademo
CY
x y( , ) = ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )w m C w w x yY∈ ={ }0 1 ,
Y × Y — prqmokutna spoluka (dyv. p. 1), tobto napivhrupa z operaci[g (x, y) (a,
b) = (x, b) dlq vsix (x, y), (a, b) ∈ Y × Y.
U terminax dispoluky piddimono]div (dyv. p. 1) sformulg[mo osnovnyj re-
zul\tat dano] roboty.
Teorema 3. Vil\nyj dimono]d
�
F X[ ] [ napivstrukturog B X( ) s -prostyx
piddimono]div ( , , )CY ≺ � , Y ∈ B X( ) . Pry c\omu koΩnyj dimono]d ( , , )CY ≺ � ,
Y ∈ B X( ) [ prqmokutnog spolukog Y × Y piddimono]div ( , , )( , )CY
x y ≺ � ,
x, y Y∈ .
Dovedennq. Zhidno z teoremog32 Ω≺ [ najmenßog napivstrukturnog
konhruenci[g vil\noho dimono]da
�
F X[ ] ,
�
≺F X[ ] Ω ≅ B X( ) ta
�
F X[ ] →
�
≺F X[ ] Ω : ( , ) ( , )w m w m� [ ]
[ homomorfizmom ( , )w m[ ]( — klas konhruenci] Ω≺ , qkyj mistyt\ ( , )w m ) .
Zrozumilo, wo klasamy konhruenci] Ω≺ [ dimono]dy ( , , )CY ≺ � , Y ∈ B X( ) . Z
teoremy31 vyplyva[, wo koΩnyj dimono]d ( , , )CY ≺ � , Y ∈ B X( ) [ s -prostym.
Krim c\oho, nevaΩko baçyty, wo dlq koΩnoho Y ∈ B X( ) vidobraΩennq
( , , )CY ≺ � → Y × Y3: ( , ) ,( ) ( )w m w w� 0 1( )
[ homomorfizmom. Zvidsy ( , , )CY ≺ � [ prqmokutnog spolukog Y × Y piddimo-
no]div ( , , )( , )CY
x y ≺ � , x, y Y∈ .
Teoremu dovedeno.
3. Konhruenci] vil\noho dimono]da. U c\omu punkti pobudu[mo deqki konh-
ruenci] vil\noho dimono]da.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 2
172 A. V. ÛUÇOK
Nexaj
�
F X[ ] — vil\nyj dimono]d (dyv. p. 2), α — dovil\na, ale fiksovana
konhruenciq vil\no] napivhrupy F X[ ] . Vyznaçymo vidnoßennq α na mnoΩyni
�
F X[ ] , poklavßy
( , ) ( , )w m w m1 1 2 2 α ⇔ w w1 2α
dlq vsix ( , )w m1 1 , ( , )w m2 2 ∈
�
F X[ ] .
Lema 5. Vidnoßennq α [ konhruenci[g vil\noho dimono]da
�
F X[ ] . Pry c\o-
mu operaci] faktor-dimono]da
�
F X[ ] α zbihagt\sq.
Dovedennq. Toj fakt, wo α [ konhruenci[g
�
F X[ ] , bezposeredn\o vyply-
va[ z toho, wo α [ konhruenci[g F X[ ] . Dlq dovil\nyx elementiv ( , )w m1 1 ,
( , )w m2 2 ∈
�
F X[ ] krim c\oho ma[mo
( , )w m1 1 ≺ ( , )w m2 2 = ( , )w w m1 2 1 ,
( , )w m1 1 � ( , )w m2 2 = ( , )w w mw1 2 21
� + .
Oskil\ky
( , ) ( , )w w m w w mw1 2 1 1 2 21
�α + ,
to
( , )w m1 1 ≺ ( , ) ( , )w m w m2 2 1 1 α � ( , )w m2 2 ,
zvidky vyplyva[, wo operaci] dimono]da
�
F X[ ] α zbihagt\sq.
Lemu dovedeno.
Naslidok 1. Qkwo α — diahonal\ mnoΩyny F X[ ] , to
�
F X[ ] α — vil\na
napivhrupa.
Dovedennq. Nexaj ( , )w n[ ] — klas konhruenci] α , qkyj mistyt\ element
( , )w n ∈
�
F X[ ] . Vyznaçymo vidobraΩennq
θ :
�
F X[ ] α → F X[ ] : ( , ) ( , )w n w n[ ] [ ]� θ = w,
qke, qk nevaΩko baçyty, [ izomorfizmom.
Naslidok dovedeno.
Dimono]d ( , , )D ≺ � nazyvatymemo prqmokutnym, qkwo napivhrupy ( , )D ≺
ta ( , )D � [ prqmokutnymy spolukamy.
Nexaj w ∈ F X[ ] , n N∈ , � w n≥ . Çerez w n[ ]
poznaçatymemo n-tu literu
slova w. Vyznaçymo vidnoßennq γ na mnoΩyni
�
F X[ ] , poklavßy
( , ) ( , )w n w n1 1 2 2γ ⇔ w n
1
1[ ] = w n
2
2[ ]
dlq vsix ( , )w n1 1 , ( , )w n2 2 ∈
�
F X[ ] .
Lema 6. Vidnoßennq γ [ konhruenci[g vil\noho dimono]da
�
F X[ ] . Pry c\omu
�
F X[ ] γ — prqmokutnyj dimono]d.
Dovedennq. Oçevydno, wo γ [ vidnoßennqm ekvivalentnosti. Nexaj (w1 ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 2
VIL|NI DIMONO}DY 173
n1) , ( , )w n2 2 , ( , )w n3 3 ∈
�
F X[ ] ta ( , ) ( , )w n w n1 1 2 2γ . Ce oznaça[, wo w n
1
1[ ] =
= w n
2
2[ ]
. Ma[mo
( , )w n1 1 ≺ ( , )w n3 3 = ( , )w w n1 3 1 ,
( , )w n2 2 ≺ ( , )w n3 3 = ( , )w w n2 3 2 ,
zvidky
( )w w n
1 3
1[ ] = w n
1
1[ ] = w n
2
2[ ] = ( )w w n
2 3
2[ ] .
Analohiçno z
( , )w n3 3 ≺ ( , )w n1 1 = ( , )w w n3 1 3 ,
( , )w n3 3 ≺ ( , )w n2 2 = ( , )w w n3 2 3
otrymu[mo
( )w w n
3 1
3[ ] = w n
3
3[ ] = ( )w w n
3 2
3[ ] .
OtΩe, γ [ konhruenci[g napivhrupy ( , )F ≺ . PokaΩemo, wo γ [ konhruenci[g
napivhrupy ( , )F � . Ma[mo
( , )w n1 1 � ( , )w n3 3 = ( , )w w nw1 3 31
� + ,
( , )w n2 2 � ( , )w n3 3 = ( , )w w nw2 3 32
� + .
Z rivnosti
( )w w w n
1 3
1 3� + = w n
3
3[ ] = ( )w w w n
2 3
2 3� +
vyplyva[, wo
( , ) ( , )w w n w w nw w1 3 3 2 3 31 2
� �+ +γ .
Analohiçno z
( , )w n3 3 � ( , )w n1 1 = ( , )w w nw3 1 13
� + ,
( , )w n3 3 � ( , )w n2 2 = ( , )w w nw3 2 23
� +
otrymu[mo
( )w w w n
3 1
3 1� + = w n
1
1[ ] = w n
2
2[ ] = ( )w w w n
3 2
3 2� + ,
tobto
( , ) ( , )w w n w w nw w3 1 1 3 2 23 3
� �+ +γ .
OtΩe, γ [ konhruenci[g napivhrupy ( , )F � .
Nexaj ( , )w n1 1 ∈
�
F X[ ] . Oskil\ky
( )w w n
1 1
1[ ] = w n
1
1[ ] = ( )w w w n
1 1
1 1� + ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 2
174 A. V. ÛUÇOK
to
( , ) ( , )w n w n1 1 1 1γ ≺ ( , )w n1 1 = ( , )w w n1 1 1 ,
( , ) ( , )w n w n1 1 1 1γ � ( , )w n1 1 = ( , )w w nw1 1 11
� + .
Takym çynom,
�
F X[ ] γ [ dimono]dom idempotentiv. Dlq bud\-qkyx ( , )w n1 1 ,
( , )w n2 2 ∈
�
F X[ ] krim c\oho ma[mo
( , )w n1 1 ≺ ( , )w n2 2 ≺ ( , )w n1 1 = ( , )w w w n1 2 1 1 .
Z rivnosti ( )w w w n
1 2 1
1[ ] = w n
1
1[ ]
vyplyva[ ( , ) ( , )w w w n w n1 2 1 1 1 1γ . OtΩe,
( , )F ≺ γ — prqmokutna spoluka. Zvidsy, zhidno z lemog31, ( , )F � γ — prq-
mokutna spoluka. OtΩe, za oznaçennqm
�
F X[ ] γ — prqmokutnyj dimono]d.
Lemu dovedeno.
Naslidok 2. Isnu[ bi[kciq X →
�
F X[ ] γ .
Dovedennq. Nexaj ( , )w n[ ] — klas konhruenci] γ, qkyj mistyt\ element
( , )w n ∈
�
F X[ ] . StverdΩuvana bi[kciq vyznaça[t\sq vidobraΩennqm
µ : X →
�
F X[ ] γ : x x� µ = ( , )w n[ ] ,
de w n[ ] = x.
Naslidok dovedeno.
Vyznaçymo vidnoßennq β na mnoΩyni
�
F X[ ] , poklavßy
( , ) ( , )w n w n1 1 2 2β ⇔ n1 = n w2 1
∧ � = � w2
dlq vsix ( , )w n1 1 , ( , )w n2 2 ∈
�
F X[ ] .
Lema 7. Vidnoßennq β [ konhruenci[g vil\noho dimono]da
�
F X[ ] .
Dovedennq. Oçevydno, wo β [ vidnoßennqm ekvivalentnosti. Nexaj (w1 ,
n1) , ( , )w n2 2 , ( , )w n3 3 ∈
�
F X[ ] ta ( , ) ( , )w n w n1 1 2 2β . Ce oznaça[, wo n1 = n2 ,
� w1
= � w2
. Ma[mo
( , )w n1 1 ≺ ( , )w n3 3 = ( , )w w n1 3 1 ,
( , )w n2 2 ≺ ( , )w n3 3 = ( , )w w n2 3 2 .
Oskil\ky
� w w1 3
= � w1
+ � w3
= � w2
+ � w3
= � w w2 3
ta n1 = n2 , to ( , ) ( , )w w n w w n1 3 1 2 3 2β . Analohiçno moΩna pokazaty, wo
( , ) ( , )w w n w w n3 1 3 3 2 3β .
OtΩe, β [ konhruenci[g napivhrupy ( , )F ≺ .
PokaΩemo, wo β [ konhruenci[g napivhrupy ( , )F � . Ma[mo
( , )w n1 1 � ( , )w n3 3 = ( , )w w nw1 3 31
� + ,
( , )w n2 2 � ( , )w n3 3 = ( , )w w nw2 3 32
� + .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 2
VIL|NI DIMONO}DY 175
Oskil\ky � w w1 3
= � w w2 3
ta � w1
+ n3 = � w2
+ n3 , to
( , ) ( , )w w n w w nw w1 3 3 2 3 31 2
� �+ +β .
Z inßoho boku,
( , )w n3 3 � ( , )w n1 1 = ( , )w w nw3 1 13
� + ,
( , )w n3 3 � ( , )w n2 2 = ( , )w w nw3 2 23
� + .
Z rivnostej � w w3 1
= � w w3 2
ta � w3
+ n1 = � w3
+ n2 vyplyva[, wo
( , ) ( , )w w n w w nw w3 1 1 3 2 23 3
� �+ +β .
OtΩe, β [ konhruenci[g napivhrupy ( , )F � .
Lemu dovedeno.
1. Loday J.-L. Une version non commutative des algèbres de Lie: les algèbres de Leibniz // Enseign.
math. – 1993. – 39. – P. 269 – 293.
2. Loday J.-L. Dialgebras // Dialgebras and Related Operads: Lect. Notes Math. – 2001. – 1763. –
P. 7 – 66.
3. Kolesnykov P. S. Mnohoobrazyq dyalhebr y konformn¥e alhebr¥ // Syb. mat. Ωurn. – 2008.
– 49, # 2. – S. 322 – 339.
4. Felipe R. Generalized Loday algebras and digroups // Comuns CIMAT. – No I-04-01/21-01-2004.
5. PoΩydaev A. P. Dyalhebr¥ y svqzann¥e s nymy trojn¥e system¥ // Syb. mat. Ωurn. – 2008.
– 49, # 4. – S. 870 – 885.
6. Phillips J. D. A short basis for the variety of digroups // Semigroup Forum. – 2005. – 70. – P. 466
– 470.
7. Zhuchok A. V. Commutative dimonoids // Algebra and Discrete Math. – 2009. – # 2. – P. 116 –
127.
8. Zhuchok A. V. Free commutative dimonoids // Ibid. – 2010. – 9, # 1. – P. 109 – 119.
9. Zhuchok A. V. Dibands of subdimonoids // Mat. Stud. – 2010. – 33. – S. 120 – 124.
10. Ûuçok A. V. Najmenßa napivstrukturna konhruenciq dimono]du // Visn. Ky]v. un-tu. Fiz.-
mat. nauky. – 2009. – Vyp. 3. – S. 22 – 24.
11. Yamada M. On the greatest semilattice decomposition of a semigroup // Kodai Math. Semin.
Repts.– 1955.– 7.– P. 59 – 62.
OderΩano 11.11.10
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2011, t. 63, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-2708 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:44Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a8/d083b13411d814c5a20d6e3837e04ca8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27082020-03-18T19:34:23Z Free dimonoids Вільні дімоноїди Zhuchok, A. V. Жучок, А. В. We characterize the least semilattice congruence on the free dimonoid and prove that the free dimonoid is a semilattice of s-simple subdimonoids each being a rectangular band of subdimonoids. Охарактеризована наименьшая полуструктурная конгруэнция свободного димоноида и доказано, что свободный димоноид является полуструктурой s-простых поддимоноидов, каждый из которых есть прямоугольная связка поддимоноидов. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2708 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 2 (2011); 165-175 Український математичний журнал; Том 63 № 2 (2011); 165-175 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2708/2172 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2708/2173 Copyright (c) 2011 Zhuchok A. V. |
| spellingShingle | Zhuchok, A. V. Жучок, А. В. Free dimonoids |
| title | Free dimonoids |
| title_alt | Вільні дімоноїди |
| title_full | Free dimonoids |
| title_fullStr | Free dimonoids |
| title_full_unstemmed | Free dimonoids |
| title_short | Free dimonoids |
| title_sort | free dimonoids |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2708 |
| work_keys_str_mv | AT zhuchokav freedimonoids AT žučokav freedimonoids AT zhuchokav vílʹnídímonoídi AT žučokav vílʹnídímonoídi |