Quasipoint spectral measures in the theory of dynamical systems of conflict
In the framework of dynamical picture of interacting physical systems, the notion of a spectral measure with quasipoint spectrum is introduced. It is shown that, under conflict interaction with point measures, only quasipoint singularly continuous measures are admitted for the transformation into me...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2710 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508662442754048 |
|---|---|
| author | Koshmanenko, V. D. Кошманенко, В. Д. |
| author_facet | Koshmanenko, V. D. Кошманенко, В. Д. |
| author_sort | Koshmanenko, V. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:23Z |
| description | In the framework of dynamical picture of interacting physical systems, the notion of a spectral measure
with quasipoint spectrum is introduced. It is shown that, under conflict interaction with point measures, only
quasipoint singularly continuous measures are admitted for the transformation into measures with purely point
spectrum. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. Д. Кошманенко (Iн-т математики НАН України, Київ)
КВАЗIТОЧКОВI СПЕКТРАЛЬНI МIРИ
В ТЕОРIЇ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ
In the framework of dynamical picture of interacting physical systems, the notion of a spectral measure
with quasipoint spectrum is introduced. It is shown that, under conflict interaction with point measures, only
quasipoint singularly continuous measures are admitted for the transformation into measures with purely point
spectrum.
В контекстe динамической картины взаимодействующих физических систем введено понятие спектраль-
ной меры с квазиточечным спектром. Показано, что при конфликтном взаимодействии с точечными
мерами только квазиточечные сингулярно непрерывные спектральные меры могут трансформироваться
в меры с чисто точечным спектром.
1. Вступ. Нехай A, B позначають гамiльтонiани (оператори енергiї) двох конфлiк-
тно взаємодiючих фiзичних систем у фiксованому гiльбертовому просторi станiв
H. Розглянемо спектральнi мiри самоспряжених операторiв A, B у припущеннi,
що вони мають спiльний циклiчний вектор ψ ∈ H:
µ(∆) := (EA(∆)ψ,ψ)H, ν(∆) := (EB(∆)ψ,ψ)H,
де EA, EB — вiдповiднi розклади одиницi операторiв A, B, ∆ — борелiвськi
множини.
Конфлiктна взаємодiя мiж фiзичними системами вiдбувається в моменти диск-
ретного часу t ≡ N = 0, 1, 2, . . . i приводить до трансформацiї початкової пари
операторiв у послiдовнiсть iнших самоспряжених операторiв AN , BN . Математич-
но це записуємо вiдображенням
{AN , BN} >−→ {AN+1, BN+1}, A0 = A, B0 = B,
де AN , BN позначають оператори енергiї в момент t = N. Вiдображення > поро-
джує динамiчну систему (конфлiкту) в термiнах вiдповiдних спектральних мiр:
{µN , νN} >−→ {µN+1, νN+1}, µ0 = µ, ν0 = ν.
Дiя перетворення > (композицiї конфлiкту) взагалi невiдома i будується виходячи з
конкретної задачi чи моделi. В п. 3 ми визначаємо перетворення > в термiнах мiр,
ґрунтуючись на вiдомих математичних моделях опису конфлiктних процесiв, на
аналогах дискретних варiантiв систем рiвнянь Лотки – Вольтерра та моделях теорiї
iгор (див., наприклад, [1 – 11].
На мiри µ, ν накладено умову структурної подiбностi (означення див. у ро-
ботах [12, 13]). Ця умова приводить до узагальнення поняття самоподiбностi, яке
в математичному контекстi було введене Хатчинсоном [14]. По сутi, властивiсть
структурної подiбностi мiр випливає з того, що цi мiри є образ-мiрами нескiнчен-
них прямих добуткiв послiдовностей дискретних мiр (див. [15]), якi вивчалися ще
в роботi Какутнi [16].
Внаслiдок цiєї умови кожна структурно-подiбна мiра має лише одну компоненту
в лебеговому розкладi: або чисто абсолютно неперервну, або чисто точкову, або
чисто сингулярно неперервну.
c© В. Д. КОШМАНЕНКО, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2 187
188 В. Д. КОШМАНЕНКО
В процесi конфлiктної еволюцiї
{µ0, ν0} >−→ {µ1, ν1} >−→ . . .
>−→ {µN , νN} >−→ . . .
>−→ {µ∞, ν∞}
спектральний тип мiр, взагалi кажучи, змiнюється. Як правило, граничнi мiри µ∞,
ν∞ є сингулярно неперервними незалежно вiд типу початкових мiр µ, ν. Задача
про iснування граничних iнварiантних мiр µ∞, ν∞ розв’язується окремо.
Але iснують (екзотичнi) випадки, коли одна з граничних мiр, скажiмо µ∞, є
чисто точковою, µ∞ = µ∞pp. Так, у роботi [12] доведено, що чисто сингулярно
неперервна мiра µ ∈ Msc при конфлiктнiй взаємодiї з iншою сингулярно непе-
рервною мiрою ν може трансформуватися в чисто точкову, {µ, ν} >,∞−→ {µ∞, ν∞},
µ∞ ∈ Mpp, при певних досить сильних умовах. Цi умови формулюються як iсну-
вання напрямку шокового прiоритету (однiєї мiри над iншою).
Взагалi, з точки зору задач математичної фiзики явище, коли якась взаємодiя
мiж сингулярно неперервними спектральними мiрами приводить до виникнення
мiри з точковим носiєм (= спектром), є надзвичайно цiкавим ефектом i заслуговує
на глибокий аналiз.
У роботi дослiджується наступне питання. Чи може виникнути чисто точкова
спектральна мiра при конфлiктнiй взаємодiї операторiв енергiї, один з яких має
чисто сингулярно неперервну спектральну мiру, а другий чисто точкову? Iншими
словами, чи iснують структурно-подiбнi мiри µsc, νpp такi, що виконується рiвнiсть
µsc
∞
> νpp = µ∞pp?
Тобто, чи може сингулярно неперервна мiра трансформуватися в точкову при конф-
лiктнiй взаємодiї з якоюсь точковою мiрою? На перший погляд це здається немож-
ливим, виходячи з аналiзу топологiчної структури носiїв сингулярно неперервних
та чисто точкових мiр (див. [17]).
У цiй роботi введено поняття (сингулярної) квазiточкової спектральної мiри.
Основний результат стверджує, що для пари структурно-подiбних мiр µ = µsc,
ν = νpp гранична мiра належить до класу чисто точкових мiр, µ∞ := µ
∞
> ν ∈Mpp,
тодi i лише тодi, коли мiра µ є квазiточковою.
2. Структурно-подiбнi квазiточковi мiри. Далi будемо розглядати лише ймо-
вiрнiснi мiри на вiдрiзку ∆0 = [0, 1].
Поняття структурно-подiбної мiри введено в роботах [12, 13]. Далi наведено де-
який опис таких мiр. Але одразу зазначимо, що цi мiри утворюють значно ширший
клас, нiж вiдомi самоподiбнi мiри (див. [14], а також [18, 19]).
Усю множину структурно-подiбних мiр позначаємо черезMss.
Кожна мiра µ ∈ Mss асоцiйована (пов’язана) з нескiнченною стохастичною
матрицею
P ≡ {pk}∞k=1 = {pik}n, ∞i=1, k=1 , n > 1. (1)
Тому iнодi пишемо µ = µP . Стовпчики матрицi P складаються з координат стохас-
тичних векторiв pk ∈ Rn+,
pk = (p1k, . . . , pnk), p1k, . . . , pnk ≥ 0, p1k + . . .+ pnk = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
КВАЗIТОЧКОВI СПЕКТРАЛЬНI МIРИ В ТЕОРIЇ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ 189
Нехай задано деяку систему подрiбнень вiдрiзка ∆0 на замкненi вiдрiзки, якi
можуть перетинатися лише в крайнiх точках:
∆0 = [0, 1] =
n⋃
i1=1
∆i1 , ∆i1 =
n⋃
i2=1
∆i1i2 , . . . ,
∆i1i2...ik−1
=
n⋃
ik=1
∆i1i2...ik , . . . ,
∆0 =
n⋃
i1,...,ik=1
∆i1i2...ik , diam(∆i1i2...ik)→ 0, k →∞. (2)
Якщо значення мiри µ на пiдмножинах k-го рангу ∆i1...ik визначаються коор-
динатами pik:
µ(∆i1...ik) = pi11 . . . pikk,
то очевидно виконується спiввiдношення
µ(∆i1...ik−1ik) = pikk · µ(∆i1...ik−1
), ∆i0 ≡ ∆0,
яке по сутi i є властивiстю структурної подiбностi мiри. Насправдi ця властивiсть
потребує уточнення i бiльш детального пояснення.
У фрактальнiй геометрiї [18, 19] подрiбнення вiдрiзка задається фiксованим
(скiнченним) набором стискiв {Ti}ni=1. Для введення структурно-подiбної мiри по-
трiбна послiдовнiсть таких наборiв. Розглянемо на R1 сiм’ю стискiв
T = {Tik}n,∞i=1,k=1, 2 ≤ n <∞, (3)
яка має наступнi властивостi. Коефiцiєнти стиску вiддiленi вiд нуля, 0 < c ≤ cik <
< 1 i для кожного k = 1, 2, . . .
∆0 =
n⋃
ik=1
∆ikk, ∆ikk := Tikk∆0, λ(∆ikk
⋂
∆i′kk
) = 0, ik 6= i′k,
де λ позначає мiру Лебега. Тепер подрiбнення (2) не є довiльними, а визначаються
пiдмножинами
∆i1i2...ik := Ti11 . . . Tikk∆0, k = 1, 2, . . . , (4)
якi пов’язанi
∆i1i2...ik = Ui1...ik,i′k...i′1∆i′1i
′
2...i
′
k
перетвореннями подiбностi
Ui1...ik,i′k...i′1 := Ti11 . . . Tikk(Ti′11 . . . Ti′kk)−1, 1 ≤ ik, i′k ≤ n.
Наступне твердження еквiвалентне означенню структурно-подiбної мiри. Мiра
µ належить Mss тодi i лише тодi, коли iснують сiм’я стискiв T та стохастична
матриця P (див. (3), (1)) такi, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
190 В. Д. КОШМАНЕНКО
µ(Si1...ik) = pi11 . . . pikk, (5)
де
Si1...ik := (Ti11 . . . Tikk∆#
0 )
⋂
Sµ, Sµ ≡ suppµ, (6)
# позначає можливе видалення з ∆0 однiєї з крайнiх точок (докладнiше див.
[13]). З (5), (6) випливає подiбнiсть структурних пiдмножин носiя мiри µ кожного
фiксованого рангу k = 1, 2 . . .:
Si1i2...ik = Ui1...ik,i′k...i′1Si′1i′2...i′k , (7)
а також рiвнiсть
µ(Si1...ik) = pikk · µ(Si1...ik−1
), . . . . (8)
Зрозумiло, що для довiльної мiри спiввiдношення (7), (8), взагалi кажучи, не
виконуються. Варто пояснити також, що при побудовi мiри µ за наперед заданими
T i P властивiсть структурної подiбностi (7) потрiбно доводити. Ця властивiсть
з’являється внаслiдок рiвномiрної апроксимацiї мiри µ послiдовнiстю кусково-
рiвномiрно розподiлених мiр,
µ = lim
k→∞
µk,
де µk повнiстю визначається лише своїми значеннями на вiдрiзках k-го рангу:
µk(∆i1...ik) = pi11 . . . pikk.
Якщо ввести тепер структурнi пiдмножини носiя мiри µk:
Ski1...il := (Ti11 . . . Till∆0)
⋂
Sµk
, Sµk
≡ suppµk, l ≤ k,
то за побудовою вони очевидно будуть подiбними (оскiльки складаються з вiдрiз-
кiв)
Ski1i2...il = Ui1...il,i′l...i′1S
k
i′1i
′
2...i
′
l
, l ≤ k.
Ця властивiсть зберiгається при граничному переходi при k →∞.
Варто зауважити, що на вiдмiну вiд випадку самоподiбних мiр носiй структурно-
подiбної мiри розкладається на подiбнi мiж собою пiдмножини лише на кожному
k-му рiвнi подрiбнення. Структурнi пiдмножини рiзних рангiв, взагалi кажучи, не
є подiбними.
Структурно-подiбнi мiри можна ввести iншим чином. Вони є образ-мiрами
нескiнченних прямих добуткiв дискретних мiр (див., наприклад, [15, 16, 20]). Роз-
глянемо ймовiрнiсний простiр
(Ω,A, µ∗) =
∞∏
k=1
(Ωk,Ak,mk),
де
(Ωk,Ak,mk), Ωk = {ωik}nik=1, mk(ωik) = pikk ≥ 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
КВАЗIТОЧКОВI СПЕКТРАЛЬНI МIРИ В ТЕОРIЇ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ 191
— послiдовнiсть дискретних ймовiрнiсних просторiв. Очевидно, що мiра µ∗ одно-
значно пов’язана iз стохастичною матрицею P. Зокрема, на цилiндричних множи-
нах Ωi1...ik := ωi1 × . . .× ωik ×
∏∞
l=1
Ωk+l ця мiра задається добутками елементiв
матрицi P :
µ∗(Ωi1...ik) =
k∏
s=1
piss. (9)
Якщо на вiдрiзку [0, 1] задано деяке подрiбнення вигляду (2), пов’язане з фiксова-
ною сiм’єю стискiв (3), то вiдображення
π : Ω 3 ω∗ = {ωi1 × ωi2 × . . .× ωik × . . .} → x =
∞⋂
k=1
∆i1i2...ik... ∈ ∆0
визначає на ∆0 образ-мiру µP :
µP = π−1µ∗, µ(B) := µ∗(π−1(B)) ∀B ∈ B. (10)
В [20] показано, що образ-мiра µP є структурно-подiбною.
В [21] (див. також [22, 23]) показано, що носiй образ-мiри мiстить лише одну
компоненту в розкладi Лебега. Цей результат є справедливим i для структурно-
подiбних мiр.
Позначимо черезMpp,Mac,Msc класи чисто точкових, абсолютно неперерв-
них та сингулярно неперервних мiр вiдповiдно.
Нехай задано структурно-подiбну мiру µ = µP , асоцiйовану iз стохастичною
матрицею P та сiм’єю стискiв T. Введемо числа
Pmax(µ) :=
∞∏
k=1
max
i
{pik}, ρ(µ, T ) :=
∞∏
k=1
(Σni=1
√
pikcik).
Теорема 1 [22, 23]. Кожна структурно-подiбна мiра µ ∈ Mss має чистий
спектральний тип:
a) µ ∈Mpp, лише якщо Pmax(µ) > 0,
b) µ ∈Mac, лише якщо ρ(µ, T ) > 0,
c) µ ∈Msc, лише якщо Pmax(µ) = 0 та ρ(µ, T ) = 0.
Дамо означення квазiточкової спектральної мiри.
Послiдовнiсть невiд’ємних чисел 0 ≤ xk ≤ 1, k = 1, 2, . . . , називаємо 0- або
1-збiжною, якщо
∑
k
xk <∞ або, вiдповiдно,
∑
k
(1− xk) <∞.
Дослiджуємо структуру фiксованої стохастичної матрицi P. З цiєю метою роз-
глядаємо рiзнi послiдовностi її елементiв {pikk}∞k=1. Вiдповiдно до наведеного
вище означення послiдовнiсть pikk називаємо 0-збiжною, якщо pikk → 0, k → ∞
настiльки швидко (позначаємо pikk ↓ 0), що∑
k
pikk <∞. (11)
В iншому випадку послiдовнiсть pikk називаємо 1-збiжною (позначаємо pikk ↑ 1),
якщо ∑
k
(1− pikk) <∞. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
192 В. Д. КОШМАНЕНКО
Пару послiдовностей {pikk}∞k=1, {pi′kk}
∞
k=1 називаємо диз’юнктною, якщо мно-
жини їхнiх iндексiв майже диз’юнктнi, тобто ik 6= i′k для всiх k, за можливим
винятком скiнченної кiлькостi значень k (говоримо: майже для всiх k).
Зазначимо, що умови (12), (11) є досить специфiчними i взагалi жодна з них мо-
же не виконуватися для довiльно взятої послiдовностi елементiв {pikk}∞k=1. Зокре-
ма, якщо мiра µ є чисто абсолютно неперервною, то легко зрозумiти, що з елементiв
вiдповiдної їй матрицi P неможливо cформувати жодної 0- чи 1-збiжної послiдов-
ностi.
Але якщо мiра µ є чисто точковою µ ∈ Mpp, то легко бачити, що у асоцi-
йованої з нею стохастичною матрицi P можна видiлити 1-збiжну послiдовнiсть
елементiв. Така послiдовнiсть складається з максимальних в кожному стовпчику
елементiв. Тобто послiдовнiсть pmax,k := maxni=1{pik} є 1-збiжною (див. умову а)
теореми 1). Усi iншi диз’юнктнi до неї послiдовностi є 0-збiжними. Отже, в один
бiк встановлено справедливiсть наступного твердження.
Твердження. Структурно-подiбна мiра µ є чисто точковою, µ ∈Mpp,тодi i
лише тодi, коли у вiдповiдної їй матрицi P можна видiлити точно n−1 диз’юнктну
0-збiжну послiдовнiсть. Еквiвалентно, µ належитьMpp тодi i лише тодi, коли у
P iснує лише одна 1-збiжна послiдовнiсть.
Доведення. Легко зрозумiти, що для довiльної структурно-подiбної мiри у вiд-
повiдної матрицi P внаслiдок стохастичностi векторiв pk може iснувати не бiль-
ше нiж n − 1 диз’юнктна 0-збiжна послiдовнiсть. Оскiльки iснує хоча б одна
послiдовнiсть, яка мiстить нескiнченну кiлькiсть елементiв pmax,k ≥ 1/n, то така
послiдовнiсть не є 0-збiжною. Але якщо iснує n−1 диз’юнктна 0-збiжна послiдов-
нiсть, то вiдповiдна мiра є чисто точковою. Адже тодi послiдовнiсть максимальних
елементiв з необхiднiстю є 1-збiжною.
Твердження доведено.
Означення. Мiру µ ∈ Mss називаємо квазiточковою (пишемо µ ∈ Mqp),
якщо асоцiйована з нею матриця P = {pk}, pk ∈ Rn+, n ≥ 3, має наступнi
властивостi:
1) послiдовнiсть максимальних елементiв pk,max = maxi{pik} кожного векто-
ра pk не є 1-збiжною,
2) iснує лише одна диз’юнктна до pk,max послiдовнiсть pi′kk, яка не є 0-збiжною.
Еквiвалентно, µ належить Mqp тодi i лише тодi, коли з елементiв матрицi P
можна побудувати точно n − 2 взаємно диз’юнктнi 0-збiжнi послiдовностi. Тому
наведене означення має сенс лише при n > 2. В такому випадку решта елементiв
матрицi P в покоординатнiй сумi утворюють 1-збiжну послiдовнiсть:
Ek := pk,max + pi′kk ↑ 1. (13)
З першої умови цього означення випливає, що мiра µ не належить Mpp, а з
другої — iснування хоча б однiєї 0-збiжної послiдовностi. Тому квазiточкова мiра
µ не належитьMac (не виконується умова б) теореми 1). Отже, квазiточкова мiра
з необхiднiстю є сингулярно неперервною.
Термiн „квазiточкова” обумовлений тим, що послiдовнiсть Ek := pk,max + pi′kk
є 1-збiжною. Для цiєї послiдовностi виконується умова∏
k
Ek > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
КВАЗIТОЧКОВI СПЕКТРАЛЬНI МIРИ В ТЕОРIЇ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ 193
Це означає, що для матрицi P ′, у якої елементи pk,max, pi′kk об’єднанi в покоор-
динатну суму, виконується умова a) теореми 1. Отже, асоцiйована з P ′ мiра буде
чисто точковою.
3. Iснування iнварiантних спектральних мiр. Розглянемо довiльну пару струк-
турно-подiбних мiр µ, ν ∈ Mss, якi є спектральними мiрами двох взаємодiючих
фiзичних систем. Еволюцiю взаємодiї ми вивчаємо в дискретному часi i вважаємо,
що взаємодiя є конфлiктною. Це означає, що в кожний момент конфронтацiї мiж
фiзичними системами вiдбувається перерозподiл носiїв (= спектрiв) мiр µ, ν. Iнши-
ми словами, змiнюються гамiльтонiани фiзичних систем, хоча, можливо, i досить
незначно. Таким чином виникає послiдовнiсть пар мiр µN , νN , N = 1, 2, . . . , якi
формують динамiчну систему конфлiкту
{µN−1, νN−1} >−→ {µN , νN}, N = 1, 2, . . . , (14)
де вiдображення > ( конфлiктне перетворення) визначається вiдповiдно до розу-
мiння конкретної задачi i процесу взаємодiї мiж фiзичними системами.
У цьому пунктi показано (див. теорему 2), що послiдовнiсть мiр µN , νN збi-
гається до пари iнварiантних спектральних мiр µ∞, ν∞, якщо закон конфлiктної
взаємодiї > задовольняє природнi умови, якi формулюються в термiнах елементiв
стохастичних матриць.
Нехай пара стохастичних матриць
P = {pk} = {pik}, R = {rk} = {rik}, i ∈ {1, . . . , n}, k ∈ {1, . . . ,∞},
вiдповiдає парi початкових мiр µ = µ0, ν = ν0. Закон конфлiктного перетворення
> вводимо в термiнах стохастичних векторiв
pNk = pN−1
k > rN−1
k , rNk = rN−1
k > pN−1
k , k = 1, 2, . . . .
По pNk , r
N
k будуємо матрицi PN , RN , якi вiдповiдають мiрам µN , νN .
Позначимо
δNik := pNik − rNik, ρNik :=
pNik
rNik
, θNk := (pNk , r
N
k ) =
∑
i
pNikr
N
ik.
Далi припускаємо, що в початковий момент часу
θk = (pk, rk) 6= 1, k = 1, 2, . . . . (15)
Головнi умови, якi ми накладаємо на закон конфлiктного перетворення >, поляга-
ють у наступному. Для кожної пари нерiвних координат pik 6= rik рiзниця δNik та
вiдношення ρNik повиннi монотонно зростати (або спадати), а саме,
pik > rik ≥ 0⇒ δNik ↗, ρNik ↗,
0 ≤ pik < rik ⇒ δNik ↘, ρNik ↘, N →∞.
(16)
Припускаємо також, що θNk з необхiднiстю прямує до нуля,
θNk → 0, N →∞, (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
194 В. Д. КОШМАНЕНКО
хоча далi буде показано, що в конкретних прикладах ця умова виконується автома-
тично.
Умови (16), (17) виконуються, наприклад, якщо перетворення > визначити фор-
мулами
pNik =
pN−1
ik (1− rN−1
ik )
1− θN−1
k
, rNik =
rN−1
ik (1− pN−1
ik )
1− θN−1
k
. (18)
Варто зазначити, що за умови (15) величина θN−1
k 6= 1 для усiх N та k.
Умови (16), (17) виконуються також, якщо перетворення > задати формулами,
якi нагадують рiзницевий варiант рiвнянь Лотки – Вольтерра:
pN+1
ik = pNik(1 + θNk − rNik), rN+1
ik = rNik(1 + θNk − pNik). (19)
Варто зауважити, що формули (18), (19) мають аналоги для неперервного часу:
ṗtik =
ptik(θtk − rtik)
1− θtk
, ṙtik =
rtik(θtk − ptik)
1− θtk
.
ṗtik = ptik(θtk − rtik), ṙtik = rtik(θtk − ptik), t ≥ 0.
Для них також справедливi наступнi теореми з вiдповiдними змiнами у формулю-
ваннях. Але це вимагає додаткових пояснень.
Теорема 2. Нехай для структурно-подiбних мiр µ, ν ∈ Mss задано пере-
творення >, яке задовольняє умови (15) – (17), записанi у термiнах асоцiйованих з
мiрами стохастичних матриць. Тодi траєкторiя динамiчної системи конфлiкту
(14) збiгається до нерухомої точки {µ∞, ν∞}. Це означає, що iснують граничнi
спектральнi мiри
µ∞ = lim
N→∞
µN , ν∞ = lim
N→∞
νN ,
якi є iнварiантними вiдносно перетворення > :
µ∞ = µ∞ > ν∞, ν∞ = ν∞ > µ∞.
Доведення. Наведемо лише основну iдею доведення (докладнiше див. [24, 25].
Якщо при фiксованому k для координат початкових векторiв з iндексом i викону-
ється спiввiдношення pik > rik ≥ 0, то неважко показати, що внаслiдок умови (16)
(або формул (18), (19)) iснує границя 0 < δ∞ik = limN→∞ δNik ≤ 1, в той час як
вiдношення координат розбiгається до нескiнченностi, ρNik ↗∞. Як наслiдок, для
таких послiдовностей координат iснують границi
p∞ik = lim
N→∞
pNik, r∞ik = lim
N→∞
rNik, i = 1, . . . , n, k = 1, 2, . . . . (20)
При цьому p∞ik = δ∞ik > 0, а початкова менша координата з необхiднiстю прямує до
нуля: r∞ik = 0. Бiльш того, з умови (17) випливає, що для будь-якої пари рiвних по-
чаткових координат pik = rik також iснують граничнi значення, до того ж нульовi:
p∞ik = r∞ik = 0. Для конкретних формул (18), (19) умову (17) можна не вимагати,
вона виконується автоматично. В будь-якому разi на цьому шляху доводиться iсну-
вання та ортогональнiсть граничних векторiв p∞k , r
∞
k . Звiдси випливає iснування
граничних стохастичних матриць
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
КВАЗIТОЧКОВI СПЕКТРАЛЬНI МIРИ В ТЕОРIЇ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ 195
P∞ = lim
N→∞
PN , R∞ = lim
N→∞
RN ,
з якими однозначно пов’язанi структурно-подiбнi мiри µ∞, ν∞ ∈Mss. Як наслiдок,
це означає, що кожна траєкторiя динамiчної системи конфлiкту (14) збiгається до
нерухомої точки. Властивiсть iнварiантностi граничних мiр µ∞, ν∞ є наслiдком
ортогональностi векторiв p∞k , r
∞
k , k = 1, 2, . . . .
Теорему доведено.
Наступна теорема дає якiсний опис iнварiантних граничних мiр µ∞, ν∞ у
термiнах точних граничних значень координат p∞ik , r
∞
ik стохастичних матриць P∞,
R∞.
Введемо позначення
N+,k := {i : δik > 0}, N−,k := {i : δik < 0}, N = 0,
та
Dk :=
∑
i∈N+,k
δik = −
∑
i∈N−,k
δik.
Ми вводимо додаткову умову на закон конфлiктного перетворення >. Припу-
скаємо, що всi рiзницi δNik для пар нерiвних координат pik 6= rik зростають (або
спадають) пропорцiйно:
δN+1
ik = δNik · cNk , cNk > 1, (21)
до того ж коефiцiєнт пропорцiйностi cNk не залежить вiд iндексу координат. Для
конкретних формул (18), (19) ця умова також виконується автоматично.
Теорема 3. При виконанi умов (15) – (17) та (21) елементи граничних мат-
риць P∞, R∞ мають наступний явний опис:
p∞ik =
{
δik/Dk, i ∈ N+,k,
0, i /∈ N+,k,
r∞ik =
{
−δik/Dk, i ∈ N−,k,
0, i /∈ N−,k.
(22)
Доведення. Якщо pik = rik для деяких i, k, то вже показано, що координати
pNik = rNik збiгаються до нуля при N →∞ i тому p∞i = r∞i = 0. Отже,
p∞ik = r∞ik = 0, i /∈ N+,k
⋃
N−,k,
тобто формули (22) частково доведено.
У випадку, коли i ∈ N+,k, тобто рiзниця δik є строго додатною, iтерацiя перетво-
рення > приводить до того, що одна з послiдовностей координат прямує до нуля,
а саме, rNik → 0, N → ∞, а друга має строго додатну границю, pNik → p∞ik > 0. Це
доводить рiвнiсть r∞ik = 0 для всiх i ∈ N+,k. Аналогiчно встановлюється збiжнiсть
rNik → r∞ik > 0 та pNik → 0, якщо i ∈ N−,k. Для знаходження точних формул, якi
описують ненульовi граничнi значення p∞ik , r
∞
ik , проводимо наступнi мiркування.
Внаслiдок додаткової умови (21) помiчаємо, що вiдношення δNik/δ
N
jk не залежать
вiд N :
δ1
ik
δ1
jk
=
δNik
dNjk
=
δik
δjk
, i, j ∈ N+,k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
196 В. Д. КОШМАНЕНКО
Ця властивiсть очевидно виконується i при граничному переходi N →∞. Тому
δ∞ik
δ∞jk
=
δik
δjk
.
Далi, оскiльки для i ∈ N+,k δ
∞
ik = p∞ik > 0, то
p∞ik
p∞jk
=
δik
δjk
, i, j ∈ N+,k. (23)
Аналогiчно, за тiєю ж аргументацiєю
r∞ik
r∞jk
=
δik
δjk
, i, j ∈ N−,k. (24)
Тепер легко показати, що система рiвнянь (23), (24) вiдносно граничних коорди-
нат має єдиний розв’язок, який описано формулами (22). Дiйсно, з (23) видно, що
для i ∈ N+,k усi координати p∞ik пропорцiйнi до значень δik, тобто p∞ik = Cp,kδik,
де коефiцiєнти Cp,k не залежать вiд i. Тепер, внаслiдок стохастичностi граничних
векторiв,
∑
i
p∞ik = 1, неважко показати, що Cp,k = 1/Dk. Отже, p∞ik = δik/Dk,
i ∈ N+,k. Аналогiчно, для знаходження розв’язку системи рiвнянь (24) покладаємо
r∞ik = Cr,kδik, i ∈ N−,k, i, використовуючи стохастичнiсть вектора r∞k , знаходимо
Cr,k = −1/Dk, де мiнус з’являється внаслiдок того, що δik < 0 для всiх i ∈ N−,k.
Отже, r∞ik = −dik/Dk, i ∈ N−,k.
Теорему доведено.
4. Трансформацiя сингулярно неперервної мiри у точкову мiру. Основним
результатом роботи є наступна теорема. Вона стверджує, що сингулярно неперерв-
на мiра µ ∈Msc пiд дiєю конфлiктної взаємодiї з чисто точковою мiрою ν ∈Mpp
може перейти у чисто точкову, лише якщо µ належитьMqp.
Теорема 4. Припустимо, що для заданої пари структурно-подiбних мiр µ ∈
∈Msc, ν ∈Mpp
µ∞ := µ
∞
> ν ∈Mpp.
Тодi початкова мiра µ з необхiднiстю є квазiточковою, µ ∈Mqp. Бiльш того, для
кожної структурно-подiбної мiри µ ∈ Mqp iснує чисто точкова мiра ν ∈ Mpp
така, що µ∞ належитьMpp.
Доведення. Нехай задано мiру µ ∈Mqp. Потрiбно довести iснування мiри ν ∈
∈Mpp такої, що µ∞ належитьMpp. Нехай I ′ = {i′k}∞k=1, I = {ik}∞k=1 позначають
двi диз’юнктнi послiдовностi iндексiв такi, що вiдповiднi їм послiдовностi матрич-
них елементiв {pi′kk}, {pikk} матрицi P не є 0-збiжними (вони iснують згiдно з
означенням мiри µ ∈Mqp). Одна з цих послiдовностей, а саме pikk = pk,max, не є
1-збiжною, а тому не є i 0-збiжною, оскiльки складається з максимальних елементiв
кожного стовпчика. Усi iншi диз’юнктнi послiдовностi pjkk є 0-збiжними. Тому
послiдовнiсть Ek := pi′kk + pikk ↑ 1 є 1-збiжною.
За шукану мiру вибираємо довiльну мiру ν ∈Mpp, але таку, що rk,max = ri′kk,
i′k ∈ I ′. Отже, ri′kk ↑ 1. Зрозумiло, що всi iншi диз’юнктнi послiдовностi з елементiв
вiдповiдної матрицi R будуть 0-збiжними. Тепер з ri′kk ↑ 1 випливає, що pi′kk < ri′kk
майже для всiх k, бо pi′kk ≤ 1− 1/n. Отже, p∞i′kk
↓ 0, тому що майже всi p∞i′kk
= 0 за
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
КВАЗIТОЧКОВI СПЕКТРАЛЬНI МIРИ В ТЕОРIЇ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ 197
теоремою 2. Треба перевiрити, що всi послiдовностi p∞jkk, якi є диз’юнктними до
I, I ′, є 0-збiжними:
p∞jkk =
pjkk − rjkk
Dk
=
δjkk
Dk
↓ 0, jk 6= ik ∈ I, jk 6= i′k ∈ I ′.
Це випливає з того, що pjkk ↓ 0, jk 6= ik, i
′
k (за означенням квазiточкової мiри), а
також з того, що rjkk ↓ 0, jk 6= ik, i
′
k, оскiльки лише одна послiдовнiсть ri′kk =
= rk,max ↑ 1. Крiм того, має значення той факт, що Dk > c > 0 майже для всiх
k. В дiйсностi Dk зростає, оскiльки мiстить доданок δikk = pikk − rikk з pikk =
= pk,max > 1/n та rikk ↓ 0. Отже,
δjkk
Dk
<
δjkk
c
↓ 0,
бо δjkk ↓ 0, як рiзниця двох 0-збiжних послiдовностей. Залишилась єдина диз’юнктна
послiдовнiсть
p∞ikk =
pk,max − rikk
Dk
,
яка очевидно є 1-збiжною.
Одну частину теореми доведено.
Навпаки, нехай µ ∈ Msc, ν ∈ Mpp i µ∞ ∈ Mpp. Потрiбно довести, що µ
належитьMqp.Покажемо що у матрицi P iснує точно n−2 0-збiжнi послiдовностi.
Розглянемо послiдовнiсть p∞k,max, побудовану з максимальних елементiв кожно-
го стовпчика матрицi P∞. Вона є 1-збiжною за припущенням µ∞ ∈ Mpp. Тому
можна записати
p∞k,max ≡ p∞ikk =
pikk − rikk
Dk
↑ 1, ik ∈ I, (25)
де I позначає множину вiдповiдних iндексiв ik, k = 1, 2, . . . .
Побудуємо диз’юнктну до I множину iндексiв I ′ = {i′k} = Imp
⋃
Imr, яка у
свою чергу складається з двох диз’юнктних пiдмножин:
Imp := {i′k 6= ik : ri′kk = rk,max},
Imr := {i′k 6= ik : pi′kk = maxik{pikk 6= pk,max}}.
Треба пояснити, що Imp мiстить усi iндекси i′k такi, що ri′kk = rk,max 6= rikk.
Зрозумiло, що для кожного k = 1, 2 . . . iснує i′k 6= ik такий, що ri′kk = rk,max (i
тодi вiн належить до Imp), або такий, що для нього pi′kk = maxik{pikk 6= pk,max}.
Отже, Imp
⋂
Imr = Ø.
Зазначимо, що для кожного i′k ∈ I ′, k = 1, 2, . . . , реалiзується одна з можливос-
тей
ri′kk = rk,max 6= rikk, i′k ∈ Imp, (26)
або
ri′kk 6= rk,max = rikk, i
′
k ∈ Imr.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
198 В. Д. КОШМАНЕНКО
Множина Imp нескiнченна. Дiйсно, якщо припустити, що вона скiнченна, то тодi
за побудовою rk,max = rikk майже для всiх k. В такому випадку з (25) випливає,
що pikk > rk,max майже для всiх k. Але тодi pikk ↑ 1, оскiльки rk,max ↑ 1. Це
суперечить початковiй умовi µ ∈ Msc. Отже, множина Imp не є скiнченною. До
речi, множина Imr можливо є скiнченною або навiть порожньою.
Тепер покажемо, що всi диз’юнктнi послiдовностi {pjkk} з jk 6= i′k ∈ I ′ та
jk 6= ik ∈ I є 0-збiжними. Дiйсно, завдяки µ∞ ∈ Mpp та (25) для довiльної такої
послiдовностi виконується спiввiдношення
p∞jkk =
pjkk − rjkk
Dk
↓ 0.
Тому очевидно
pjkk − rjkk <
pjkk − rjkk
Dk
,
оскiльки 1/Dk > 1. Отже, pjkk − rjkk ↓ 0. Тому внаслiдок того, що rjkk ↓ 0, послi-
довнiсть pjkk є 0-збiжною, pjkk ↓ 0. При цьому ми використали те, що jk /∈ I, I ′ та
ν ∈ Mpp. Завдяки останньому rjkk 6= rk,max, де, нагадаємо, послiдовнiсть rk,max
вiдповiдає множинi I ′ (див. (26)).
Отже, ми побудували n− 2 диз’юнктнi 0-збiжнi послiдовностi з елементiв мат-
рицi P. Серед усiх елементiв, якi належать до цих послiдовностей, лише скiнченна
кiлькiсть може бути елементами pk,max. Внаслiдок виконання нерiвностей pk,max ≥
≥ 1/n наявнiсть нескiнченної кiлькостi таких елементiв суперечить 0-збiжностi.
Тому послiдовнiсть {pk,max} можна вважати диз’юнктною вiдносно побудова-
них n− 2 0-збiжних послiдовностей {pjkk}. Нагадаємо, що pk,max 9 1, оскiльки
µ не належатьMpp.
З решти елементiв матрицi P утворюється ще одна диз’юнктна послiдовнiсть
pīkk, яка не є 0-збiжною. Дiйсно, в противному разi ми б мали n − 1 диз’юнктну
0-збiжну послiдовнiсть, а це б означало, що µ належитьMpp, тобто суперечнiсть.
Отже, µ належить Mqp, оскiльки з елементiв pjkk з iндексами, диз’юнктними
до I, I ′, можна побудувати точно n − 2 послiдовностi, а з елементiв pikk, pi′kk,
ik ∈ I, i′k ∈ I ′, — двi послiдовностi, одна з яких не є 1-збiжною, а друга не є
0-збiжною.
Теорему доведено.
1. Kuang Y. Basic properties of mathematical population models // J. Biomath. – 2002. – № 17. – P. 129 –
142.
2. Sigmund K. The population dynamics of conflict and cooperation // Doc. Math. J. DMV. – 1998. – 1. –
P. 487 – 506.
3. Bandyopadhyay M., Chattopadhayay J. Ratio-dependent predator-prey model: effects of environmental
fluctuation and stability // Nonlinearity. – 2005. – № 18. – P. 913 – 936.
4. Lonzonn Y., Solomon S., Goldenberg J., Mazarsky D. World-size global markets lead to economic
instability // Acrificial Life. – 2003. – P. 357 – 370.
5. Hofbauer J., Sigmund K. Evolutionary games and population dynamics. – Cambridge Univ. Press, 1998.
6. Takahashi K. I., Salam K. MD. M. Mathematical model of conflict with non-annihilating multi-opponent
// J. Interdiscipl. Math. – 2006. – 9, № 3. – P. 459 – 473.
7. Kuang Y., Beretta E. Global qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system // J. Math.
Biol. – 1998. – № 36. – P. 389 – 406.
8. Murray J. D. Mathematical biology I: An Introduction. – Springer, 2002. – 551 p.
9. Albeverio S., Koshmanenko V., Samoilenko I. The conflict interaction between two complex systems:
Cyclic migration // J. Interdiscipl. Math. – 2008. – 11, № 2. – P. 163 – 185.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
КВАЗIТОЧКОВI СПЕКТРАЛЬНI МIРИ В ТЕОРIЇ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ 199
10. Jones A. J. Game theory: mathematical models of conflict // Math. and Appl. – New York etc., 1980.
11. Owen G. Game theory. – Third ed. – San Diego, CA: Acad. Press, Inc., 1995.
12. Кошманенко В. Д. Вiдновлення спектрального типу граничних розподiлiв у динамiчних системах
конфлiкту // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 6. – С. 771 – 784.
13. Karataieva T., Koshmanenko V. Origination of the singular continuous spectrum in the conflict dynamical
systems // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2009. – 14, № 1. – P. 309 – 319.
14. Hutchinson J. E. Fractals and selfsimilarity // Indiana Univ. Math. J. – 1981. – 30. – P. 713 – 747.
15. Berezanskii Yu. M. Selfadjoint operators in spaces of function of infinitely many of variables. – Provi-
dence, Rhode Island: AMS, 1986.
16. Kakutani S. Equivalence of infinite product measures // Ann. Math. – 1948. – 49. – P. 214 – 224.
17. Працьовитий M. В. Фрактальний пiдхiд в дослiдженнях сингулярних розподiлiв. – Kиїв: Нац. пед.
ун-т, 1998.
18. Falconer K. J. Fractal geometry. – Chichester: Wiley, 1990.
19. Triebel H. Fractals and spectra related to Fourier analysis and functional spaces. – Basel etc.: Birkhäuser,
1997.
20. Koshmanenko V. The structured similarity property for infinite products of measures // Infinite Dimens.
Anal. and Top. – Yaremche, 2009. – P. 78 – 79.
21. Albeverio S., Koshmanenko V., Torbin G. Fine structure of the singular continuous spectrum // Meth.
Funct. Anal. and Top. – 2003. – 9, № 2. – P. 101 – 119.
22. Albeverio S., Koshmanenko V., Pratsiovytyi M., Torbin G. Spectral properties of image measures under
infinite conflict interactions // Positivity. – 2006. – 10. – P. 39 – 49.
23. Koshmanenko V., Kharchenko N. Spectral properties of image measures after conflict interactions //
Theory Stochast. Processes. – 2004. – 10, № 3 – 4. – P. 73 – 81.
24. Koshmanenko V. On the conflict theorem for a pair of stochastic vectors // Ukr. Math. J. – 2003. – 55,
№ 4. – P. 555 – 560.
25. Koshmanenko V. The theorem of conflict for probability measures // Math. Meth. Oper. Res. – 2004. –
59, № 2. – P. 303 – 313.
Одержано 03.03.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2710 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:46Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f9/24bd93dbb3cb981e291c39e6eeb244f9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27102020-03-18T19:34:23Z Quasipoint spectral measures in the theory of dynamical systems of conflict Квазiточковi спектральнi мiри в теорiї динамiчних систем конфлiкту Koshmanenko, V. D. Кошманенко, В. Д. In the framework of dynamical picture of interacting physical systems, the notion of a spectral measure with quasipoint spectrum is introduced. It is shown that, under conflict interaction with point measures, only quasipoint singularly continuous measures are admitted for the transformation into measures with purely point spectrum. В контекстe динамической картины взаимодействующих физических систем введено понятие спектраль- ной меры с квазиточечным спектром. Показано, что при конфликтном взаимодействии с точечными мерами только квазиточечные сингулярно непрерывные спектральные меры могут трансформироваться в меры с чисто точечным спектром. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2710 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 2 (2011); 187-199 Український математичний журнал; Том 63 № 2 (2011); 187-199 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2710/2176 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2710/2177 Copyright (c) 2011 Koshmanenko V. D. |
| spellingShingle | Koshmanenko, V. D. Кошманенко, В. Д. Quasipoint spectral measures in the theory of dynamical systems of conflict |
| title | Quasipoint spectral measures in the theory of dynamical systems of conflict |
| title_alt | Квазiточковi спектральнi мiри в теорiї динамiчних систем конфлiкту |
| title_full | Quasipoint spectral measures in the theory of dynamical systems of conflict |
| title_fullStr | Quasipoint spectral measures in the theory of dynamical systems of conflict |
| title_full_unstemmed | Quasipoint spectral measures in the theory of dynamical systems of conflict |
| title_short | Quasipoint spectral measures in the theory of dynamical systems of conflict |
| title_sort | quasipoint spectral measures in the theory of dynamical systems of conflict |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2710 |
| work_keys_str_mv | AT koshmanenkovd quasipointspectralmeasuresinthetheoryofdynamicalsystemsofconflict AT košmanenkovd quasipointspectralmeasuresinthetheoryofdynamicalsystemsofconflict AT koshmanenkovd kvazitočkovispektralʹnimirivteoriídinamičnihsistemkonfliktu AT košmanenkovd kvazitočkovispektralʹnimirivteoriídinamičnihsistemkonfliktu |