Group classification of quasilinear elliptic-type equations. II. Invariance under solvable Lie algebras
The problem of the group classification of quasilinear elliptic-type equations in a two-dimensional space is considered. The list of all equations of this type, which admit the solvable Lie algebras of symmetry operators, is obtained. The results of this paper along with results obtained by the auth...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2711 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508665861111808 |
|---|---|
| author | Lagno, V. I. Spichak, S. V. Лагно, В. I. Спічак, С. В. |
| author_facet | Lagno, V. I. Spichak, S. V. Лагно, В. I. Спічак, С. В. |
| author_sort | Lagno, V. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:23Z |
| description | The problem of the group classification of quasilinear elliptic-type equations in a two-dimensional space is
considered. The list of all equations of this type, which admit the solvable Lie algebras of symmetry operators, is obtained. The results of this paper along with results obtained by the authors earlier give a complete solution of the problem of the group classification of quasilinear elliptic-type equations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
В. I. Лагно (Полтав. пед. ун-т),
С. В. Спiчак (Iн-т математики НАН України, Київ)
ГРУПОВА КЛАСИФIКАЦIЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ
ЕЛIПТИЧНОГО ТИПУ II. IНВАРIАНТНIСТЬ
ВIДНОСНО РОЗВ’ЯЗНИХ АЛГЕБР ЛI
The problem of the group classification of quasilinear elliptic-type equations in a two-dimensional space is
considered. The list of all equations of this type, which admit the solvable Lie algebras of symmetry operators,
is obtained. The results of this paper along with results obtained by the authors earlier give a complete solution
of the problem of the group classification of quasilinear elliptic-type equations.
Рассматривается задача групповой классификации квазилинейных уравнений эллиптического типа в
двумерном пространстве. Получен перечень всех уравнений этого класса, допускающих разрешимые
алгебры Ли операторов симметрии. Эти результаты вместе с результатами, полученными авторами
ранее, дают исчерпывающее решение задачи групповой классификации квазилинейных уравнений эл-
липтического типа.
1. Вступ. У статтi [1] одержано групову класифiкацiю квазiлiнiйних рiвнянь елiп-
тичного типу
∆u = F (x, y, u, ux, uy), (1.1)
iнварiантних вiдносно груп локальних перетворень, алгебри Лi яких мають не-
тривiальний розклад Левi. У (1.1) i далi ux =
∂u
∂x
, uy =
∂u
∂y
, ∆ = ∂xx + ∂yy =
=
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
— двовимiрний оператор Лапласа, u = u(x, y), F — довiльна гладка
функцiя в деякiй областi простору W = R2 × V
1
= 〈x, y〉 × 〈u, ux, uy〉, яка є нелi-
нiйною хоча б за однiєю iз змiнних u, ux, uy.
У данiй роботi ми завершуємо групову класифiкацiю рiвнянь вигляду (1.1). Тут,
як i в статтi [1], використовуємо метод, запропонований у роботах [2, 3] (див. також
[4]), згiдно з яким подальшому дослiдженню пiдлягають рiвняння вигляду (1.1), якi
допускають розв’язнi алгебри Лi операторiв симетрiї. При цьому розглядаємо лише
тi рiвняння, якi замiнами змiнних не зводяться до рiвняння Лапласа або до iнших
лiнiйних рiвнянь елiптичного типу (ми їх тут називаємо суттєво нелiнiйними). Як
було вказано у [1], такими є рiвняння вигляду
∆u = f(u)(u2
x + u2
y), f 6= 0, (1.2)
∆u = λeγu, λ, γ ∈ R, λγ 6= 0. (1.3)
У подальшому ми опираємося на вiдому класифiкацiю неiзоморфних розв’язних
алгебр Лi Ak.i = 〈e1, . . . , ek〉 [5, 6], зберiгаючи при цьому позначення алгебр, якi
використовувалися в роботах [1, 4].
2. Означення, приклади та попереднi результати групової класифiкацiї.
Насамперед нагадаємо деякi результати, що були отриманi у роботi [1] i будуть
використовуватись у подальших дослiдженнях.
c© В. I. ЛАГНО, С. В. СПIЧАК, 2011
200 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ГРУПОВА КЛАСИФIКАЦIЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ ЕЛIПТИЧНОГО ТИПУ II . . . 201
Твердження 2.1 [1]. Група iнварiантностi рiвняння (1.1) генерується iнфiнi-
тезимальним оператором
v = a(x, y)∂x + b(x, y)∂y + c(x, y, u)∂u, (2.1)
де функцiї a, b, c, F задовольняють таку систему рiвнянь:
ay + bx = 0, ax − by = 0,
(2.2)
cxx + cyy + 2uxcxu + 2uycyu + (u2
x + u2
y)cuu + (cu − 2ax)F =
= aFx + bFy + cFu + [cx + ux(cu − ax)− uybx]Fux+
+[cy + uy(cu − by)− uxay]Fuy
.
Групову класифiкацiю рiвняння (1.1) проводимо з точнiстю до еквiвалентностi,
яку визначають перетворення з групи еквiвалентностi рiвняння (1.1) (у подальшому
будемо позначати її E). Групу E утворюють перетворення вигляду
x̄ = α(x, y, u), ȳ = β(x, y, u), v = γ(x, y, u),
D(x̄, ȳ, v)
D(x, y, u)
6= 0,
якi зберiгають диференцiальну структуру рiвняння (1.1), тобто трансформують його
в рiвняння вигляду
vx̄x̄ + vȳȳ = Φ(x̄, ȳ, v, vx̄, vȳ).
Твердження 2.2 [1]. Групу еквiвалентностi E рiвняння (1.1) складають пере-
творення
x̄ = α(x, y), ȳ = β(x, y), v = γ(x, y, u), (2.3)
де
αx = εβy, αy = −εβx (ε = ±1), α2
x + α2
y = β2
x + β2
y 6= 0, γu 6= 0.
Лема 2.1 [1]. Iснують такi перетворення з групи E , якi зводять оператор (2.1)
в один iз таких операторiв:
v = ∂x, v = ∂u.
Теорема 2.1 [1]. З точнiстю до еквiвалентностi iснують два класи квазiлi-
нiйних рiвнянь вигляду (1.1), якi допускають однопараметричнi групи локальних
перетворень. Канонiчний вигляд представникiв цих класiв рiвнянь i вiдповiднi одно-
вимiрнi алгебри iнварiантностi є такими:
∆u = F (y, u, ux, uy) : A1
1 = 〈∂x〉,
∆u = F (x, y, ux, uy) : A2
1 = 〈∂u〉.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
202 В. I. ЛАГНО, С. В. СПIЧАК
Зазначимо, що, як показує безпосередня перевiрка, вказанi одновимiрнi алгебри
Лi A1
1 i A2
1 операторiв симетрiї для довiльних значень F у вiдповiдних рiвняннях є
максимальними алгебрами iнварiантностi цих рiвнянь.
Розглянемо далi алгебру An = 〈e1, . . . , en〉 розмiрностi n, базисними елемента-
ми якої є диференцiальнi оператори першого порядку (векторнi поля)
ei = ai(x, y)∂x + bi(x, y)∂y + ci(x, y, u)∂u, i = 1, . . . , n, (2.4)
для яких пари функцiй ai(x, y), bi(x, y) задовольняють умови Кошi – Рiмана (два
перших рiвняння (2.2)).
Означення 2.1. Реалiзацiю (2.4) алгебри An будемо називати допустимою,
якщо iснує така функцiя F (x, y, u, ux, uy), для якої всi трiйки функцiй (ai(x, y),
bi(x, y), ci(x, y, u)) є розв’язками визначальних рiвнянь (2.2), а вiдповiдне iнварiан-
тне рiвняння вигляду (1.1) є суттєво нелiнiйним.
Означення 2.2. Двi реалiзацiї алгебри An з операторами вигляду (2.4), що
мiстять функцiї (ai(x, y), bi(x, y), ci(x, y, u)) i (ãi(x, y), b̃i(x, y), c̃i(x, y, u)), буде-
мо називати еквiвалентними, якщо iснують перетворення еквiвалентностi (2.3),
якi зводять кожен оператор ei (2.4) у вiдповiдний оператор ẽi = ãi(x, y)∂x +
+ b̃i(x, y)∂y + c̃i(x, y, u)∂u, i = 1, . . . , n.
Означення 2.3. Двi реалiзацiї алгебри An будемо називати iзоморфними,
якщо кожен iз базисних операторiв однiєї реалiзацiї є лiнiйною комбiнацiєю базис-
них операторiв iншої, а вiдповiдне лiнiйне перетворення є невиродженим.
Означення 2.4. Двi реалiзацiї алгебри An будемо називати рiзними, якщо
вони є нееквiвалентними та неiзоморфними.
Зрозумiло, що iзоморфнi реалiзацiї описують одну й ту ж множину операторiв
симетрiї з точнiстю до їх лiнiйної комбiнацiї i вiдповiднi класи iнварiантних рiвнянь
вигляду (1.1) збiгаються. Але навiть коли вони iзоморфнi, будемо розрiзняти їх на
етапi побудови усiх можливих реалiзацiй алгебр Лi розмiрностi n + 1, виходячи
з усiх знайдених нееквiвалентних реалiзацiй алгебр Лi розмiрностi n, оскiльки їх
розширення можуть бути рiзними, i природним є те, що вiдповiднi iнварiантнi
рiвняння будуть нееквiвалентними.
Через NAk.l позначимо множину усiх нееквiвалентних допустимих реалiзацiй
(можливо iзоморфних) для кожної алгебри Ak.l розмiрностi k, а через DAk.l —
множину усiх рiзних допустимих реалiзацiй алгебри Ak.l. Очевидно, що DAk.l ⊂
⊂ NAk.l, i наша мета полягає у побудовi всiх множин реалiзацiй DAk.l.
Виходячи з наведених означень, можемо констатувати, що iндуктивний алго-
ритм побудови цих множин, а також вiдповiдних класiв iнварiантних рiвнянь по-
лягає у наступному.
Згiдно з лемою 2.1 для одновимiрної алгебри A1.1 маємо NA1.1 = DA1.1 =
= {∂x, ∂u}, а вiдповiднi класи рiвнянь, якi допускають цi двi реалiзацiї, описано в
теоремi 2.1.
Для усiх алгебр Ak.l розмiрностi k, 1 ≤ k ≤ 3, будуємо множини реалiзацiй
NAk.l i DAk.l, а також вiдповiднi їм класи iнварiантних рiвнянь.
Пiсля цього розглядаємо послiдовно алгебри Ak+1.l розмiрностi k + 1. Як iде-
ал кожна з них мiстить деяку пiдалгебру Ak.m розмiрностi k (це має мiсце для
розв’язних алгебр Лi, оскiльки для кожної з них iснує композицiйний ряд пiд-
алгебр (див. [5, 6])). Тодi, розглядаючи кожну побудовану реалiзацiю з множини
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ГРУПОВА КЛАСИФIКАЦIЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ ЕЛIПТИЧНОГО ТИПУ II . . . 203
NAk.m для алгебри Ak.m = 〈e1, . . . , ek〉, будуємо додатковий оператор ek+1 так,
щоб базиснi оператори задовольняли комутацiйнi спiввiдношення алгебри Ak+1.l,
i, якщо це потрiбно, спрощуємо вигляд операторiв перетвореннями з групи E (2.3).
Далi перевiряємо, чи буде отримана реалiзацiя допустимою; якщо так, то вклю-
чаємо її до множини NAk+1.l, якщо нi — вилучаємо з подальшого розгляду. Iз
побудованої множини NAk+1.l видiляємо максимальну множину DAk+1.l рiзних
реалiзацiй.
Пiсля побудови множини DA4.l рiзних реалiзацiй алгебр розмiрностi 4 i вiд-
повiдних класiв iнварiантних рiвнянь, якi мiстять довiльнi функцiї однiєї змiнної,
використовуємо прямий метод класифiкацiї Овсяннiкова [7, 8], щоб отримати пов-
ний список рiвнянь, iнварiантних вiдносно алгебр Лi операторiв симетрiї, якi мають
розмiрнiсть вищу за чотири.
Iлюструючи цей алгоритм, зупинимося на прикладах побудови множини рiзних
реалiзацiй алгебр, розмiрностi яких дорiвнюють 2 i 3.
Алгебра A2.1. Згiдно з лемою 2.1 NA1.1 = {∂x, ∂u}.
1. Нехай e1 = ∂x, а e2 має вигляд (2.1). Тодi iз спiввiдношення [e1, e2] = 0
випливає, що ax(x, y) = bx(x, y) = cx(x, y, u) = 0. Враховуючи також першi два
рiвняння (2.2), отримуємо e2 = λ1∂x + λ2∂y + f(y, u)∂u.
1.1. Нехай λ2 6= 0. Розглянемо перетворення еквiвалентностi (2.3) вигляду
x̄ = x, ȳ = y, v = s(y, u). (2.5)
Маємо e2 → ẽ2 = λ1∂x̃ +λ2∂ỹ + (λ2sy(y, u) + f(y, u)su(y, u))∂ṽ. Оскiльки λ2 6= 0,
то iснує така функцiя s(y, u), su(y, u) 6= 0, що коефiцiєнт бiля ∂v дорiвнює нулю.
При цьому оператор e1 не змiнює свого вигляду.
1.2. Нехай λ2 = 0, тодi f(y, u) 6= 0 (iнакше e2 лiнiйно залежить вiд e1). Розгля-
немо перетворення еквiвалентностi вигляду (2.5) за умови, що f(y, u)su(y, u) = 1.
Тодi e2 → ẽ2 = λ1∂x̃ + ∂ṽ.
2. Нехай e1 = ∂u, а e2 має вигляд (2.1). Iз виконання комутацiйних спiввiдно-
шень отримуємо c(x, y, u) = f(x, y).
2.1. Нехай a2 + b2 6= 0. Тодi iснує таке перетворення еквiвалентностi, яке не
змiнює вигляду оператора e1, а e2 → ẽ2 = ∂x̃ + f̃(x̃, ỹ)∂u. Далi, застосовуючи
перетворення вигляду v = u+ s(x̃, ỹ), переконуємося, що ẽ1 → ∂v, ẽ2 → ∂x̃.
2.2. Нехай a2 + b2 = 0. Тодi e2 = f(x, y)∂u. Отже, NA2.1 = {Ã1
2.1, Ã
2
2.1, Ã
3
2.1,
Ã4
2.1}, де
Ã1
2.1 = 〈∂x, λ1∂x + λ2∂y〉, λ2 6= 0, Ã2
2.1 = 〈∂u, f(x, y)∂u〉,
Ã3
2.1 = 〈∂x, λ1∂x + ∂u〉, Ã4
2.1 = 〈∂u, ∂x〉.
(2.6)
Оскiльки реалiзацiї Ã3
2.1 i Ã4
2.1 iзоморфнi, то
DA2.1 =
{
〈∂x, ∂y〉; 〈∂x, ∂u〉; 〈∂u, f(x, y)∂u〉, f 6= const
}
. (2.7)
Для побудови реалiзацiй тривимiрних алгебр Лi, якi мiстять A2.1 як iдеал, потрiбно
розглянути всi чотири нееквiвалентнi реалiзацiї (2.6).
Алгебра A3.1. Iдеалом цiєї алгебри є A2.1 = 〈e1, e2〉. Тому для кожної реалiза-
цiї (2.6) Ãi2.1, i = 1, 2, 3, 4, знаходимо оператор e3 з умови, що вiн буде комутувати з
iншими на нуль. В результатi отримаємо такий перелiк нееквiвалентних реалiзацiй:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
204 В. I. ЛАГНО, С. В. СПIЧАК
Ã1
3.1 = 〈∂x, λ1∂x + λ2∂y, λ3∂x + λ4∂y + ∂u〉, λ2 6= 0,
Ã2
3.1 = 〈∂x, λ1∂x + ∂u, λ3∂x + λ4∂y〉, λ4 6= 0,
Ã3
3.1 = 〈∂x, λ1∂x + ∂u, λ3∂x + f(y)∂u〉, f ′(y) 6= 0,
Ã4
3.1 = 〈∂u, ∂x, λ3∂x + λ4∂y〉, λ4 6= 0,
Ã5
3.1 = 〈∂u, ∂x, λ3∂x + f(y)∂u〉, f ′(y) 6= 0,
Ã6
3.1 = 〈∂u, f(y)∂u, ∂x〉, f ′(y) 6= 0,
Ã7
3.1 = 〈∂u, f(x, y)∂u, g(x, y)∂u〉.
Нескладно переконатися, що для Ã3
3.1 i Ã4
3.1 реалiзацiї їх iдеалiв A2.1 = 〈e1, e2〉
є iзоморфними, а самi вони — рiзними. Цей приклад iлюструє той факт, чому
при розширеннi реалiзацiй потрiбно окремо розглядати випадки нееквiвалентних
реалiзацiй iдеалiв, навiть якщо вони є iзоморфними.
Далi, оскiльки реалiзацiя Ã7
3.1 не є допустимою, нескладно переконатися, що
DA3.1 =
{
〈∂x, ∂y, ∂u〉; 〈∂x, ∂u, f(y)∂u〉, f ′(y) 6= 0
}
.
Вище ми встановили, що DA2.1 збiгається з множиною реалiзацiй (2.7). Нижче
наведено перелiк A2.1-iнварiантних рiвнянь вигляду (1.1) i вiдповiдних їм реалiза-
цiй алгебри A2.1.
A2.1-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
2.1 = 〈∂x, ∂y〉 : ∆u = G(u, ux, uy),
2) A2
2.1 = 〈∂x, ∂u〉 : ∆u = G(y, ux, uy),
3) A3
2.1 = 〈∂u, f(x, y)∂u〉 : ∆u =
fxux + fyuy
f2
x + f2
y
(fxx + fyy) + G(x, y, ω), ω =
= fyux − fxuy, f2
x + f2
y 6= 0.
Аналогiчнi дослiдження показують, що
DA2.2 =
{
〈−x∂x − y∂y, ∂x〉, 〈∂x − u∂u, ∂u〉, 〈−u∂u, ∂u〉
}
.
Тому iснують три нееквiвалентних класи A2.1-iнварiантних рiвнянь.
A2.2-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
2.2 = 〈−x∂x − y∂y, ∂x〉 : ∆u = (u2
x + u2
y)G(u, ω1, ω2), ω1 = yux, ω2 = yuy,
2) A2
2.2 = 〈∂x − u∂u, ∂u〉 : ∆u = e−xG(y, ω1, ω2), ω1 = exux, ω2 = exuy,
3) A3
2.2 = 〈−u∂u, ∂u〉 : ∆u = (ux + uy)G(x, y, ω), ω = uxu
−1
y .
Тут i далi G означає довiльну функцiю своїх аргументiв. Нескладно показати, що
у випадку довiльних значень функцiї G вiдповiднi реалiзацiї алгебр A2.1 i A2.2 є
максимальними алгебрами iнварiантностi отриманих рiвнянь.
3. Iнварiантнiсть вiдносно три- i чотиривимiрних розв’язних алгебр Лi
операторiв симетрiї. Як було зазначено вище, суттєвою особливiстю розв’язних
алгебр Лi є наявнiсть у них композицiйного ряду пiдалгебр. Це дає можливiсть
для отримання реалiзацiй три- i чотиривимiрних алгебр Лi в класi операторiв (2.1)
використати вже вiдомi реалiзацiї двовимiрних алгебр Лi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ГРУПОВА КЛАСИФIКАЦIЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ ЕЛIПТИЧНОГО ТИПУ II . . . 205
3.1. Iнварiантнiсть вiдносно тривимiрних алгебр Лi. Згiдно з вiдомою кла-
сифiкацiєю неiзоморфних тривимiрних розв’язних алгебр Лi [5], розрiзняють де-
в’ять алгебр Лi A3.i = 〈e1, e2, e3〉, i = 1, . . . , 9. При цьому з визначальних кому-
тацiйних спiввiдношень випливає, що всi вони мiстять двовимiрний комутативний
iдеал A2.1. Тому, згiдно з алгоритмом i прикладом, який наведено вище для алгебри
A3.1, для решти восьми алгебр Лi потрiбно виконати аналогiчнi обчислення, якi
приводять до такого результату. Для кожної алгебри A3.i, i = 1, 3, 4, 6, 7, iснують
двi рiзнi допустимi реалiзацiї, для алгебр A3.8 i A3.9 — три, а для алгебр A3.2,
A3.5 — чотири такi реалiзацiї. Отже, всього iснують 24 рiзнi допустимi реалiзацiї
тривимiрних розв’язних алгебр Лi.
Зазначимо, шо оператори деяких реалiзацiй мiстять довiльну функцiю i не спро-
щуються перетвореннями еквiвалентностi. Також реалiзацiї алгебри A3.7 мiстять
параметр q, який параметризує саму алгебру, вiрнiше, серiю алгебр.
Нижче наведено перелiк рiвнянь вигляду (1.1), максимальними алгебрами iн-
варiантностi яких є тривимiрнi алгебри Лi операторiв симетрiї. Тут, як i у випадку
A2.1-,A2.2-iнварiантних рiвнянь, функцiяG є довiльною функцiєю своїх аргументiв
з єдиною вимогою, щоб вiдповiднi рiвняння були суттєво нелiнiйними.
A3.1-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
3.1 = 〈∂x, ∂y, ∂u〉: ∆u = G(ux, uy),
2) A2
3.1 = 〈∂x, ∂u, f(y)∂u〉, f ′(y) 6= 0: ∆u =
f ′′
f ′
uy +G(y, ux).
A3.2-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
3.2 = 〈−x∂x − y∂y, ∂x, ∂u〉 : ∆u = u2
xG(yux, yuy),
2) A2
3.2 = 〈−u∂u, ∂u, ∂x〉: ∆u = (ux + uy)G
(
y,
ux
uy
)
,
3) A3
3.2 = 〈∂y − u∂u, ∂u, ∂x〉: ∆u = (ux + uy)G (eyux, e
yuy) ,
4) A4
3.2 = 〈∂x − u∂u, ∂u, f(y)e−x∂u〉, f(y) 6= 0: ∆u = −f + f ′′
f
ux +
+e−xG(y, exf ′ux + exfuy).
A3.3-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
3.3 = 〈∂u, ∂x, ∂y + x∂u〉 : ∆u = G(ux − y, uy),
2) A2
3.3 = 〈∂u, ∂x, (f(y) + x)∂u〉 : ∆u = f ′′ux +G(y, uy − f ′ux).
A3.4-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
3.4 = 〈∂u, ∂x, x∂x + y∂y + (u+ x)∂u〉 : ∆u = e−uxG(uy, ye
−ux),
2) A2
3.4 = 〈∂u, (f(y)−x)∂u, ∂x+u∂u〉 : ∆u =
f ′uy − ux
1 + (f ′)2
f ′′+exG(y, f ′e−xux+
+ e−xuy).
A3.5-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
3.5 = 〈∂x, ∂y, x∂x + y∂y〉 : ∆u = (ux + uy)2G
(
u,
ux
uy
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
206 В. I. ЛАГНО, С. В. СПIЧАК
2) A2
3.5 = 〈∂x, ∂y, x∂x + y∂y + ∂u〉 : ∆u = e−2uG
(
euux,
ux
uy
)
,
3) A3
3.5 = 〈∂x, ∂u, x∂x + y∂y + u∂u〉 : ∆u = y−1G(ux, uy),
4) A4
3.5 = 〈∂u, f(y)∂u, ∂x + u∂u〉, f ′ 6= 0: ∆u =
uy
f ′
f ′′ + exG(y, f ′e−xux).
A3.6-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
3.6 = 〈∂x, ∂u, x∂x + y∂y − u∂u〉 : ∆u = y−3G(y2ux, y
2uy),
2) A2
3.6 = 〈∂u, e2xf(y)∂u, ∂x + u∂u〉, f(y) 6= 0: ∆u =
2fux + f ′uy
4f2 + (f ′)2
(f ′′+ 4f) +
+ exG(y, f ′e−xux − 2fe−xuy).
A3.7-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
3.7 = 〈∂x, ∂u, x∂x+y∂y+qu∂u〉, q 6= 0,±1: ∆u = yq−2G(y1−qux, y
1−quy),
2) A2
3.7 = 〈∂u, e(1−q)xf(y)∂u, ∂x+u∂u〉, 0 < |q| < 1: ∆u =
(1− q)fux + f ′uy
(1− q)2f2 + (f ′)2
×
×(f ′′ + f(1− q)2) + exG(y, f ′e−xux + (q − 1)fe−xuy).
A3.8-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
3.8 = 〈∂x, ∂y, y∂x − x∂y〉 : ∆u = G(u, u2
x + u2
y),
2) A2
3.8 = 〈∂x, ∂y, y∂x − x∂y + ∂u〉 : ∆u = G
(
u2
x + u2
y, arctg
(
ux
uy
)
− u
)
,
3) A3
3.8 = 〈∂u, tg(f(y) − x)∂u, ∂x − u tg(f(y) − x)∂u〉 : ∆u =
f ′uy − ux
(f ′)2 + 1
f ′′ +
+ 2(f ′uy − ux) tg(f − x) + (f ′ux + uy)G(y, cos(f − x)(f ′ux + uy)).
A3.9-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
3.9 = 〈∂x, ∂y, (qx+y)∂x+(qy−x)∂y〉, q > 0: ∆u = (u2
x+u2
y)G
(
u, ln(u2
x+
+ u2
y) + 2q arctg
ux
uy
)
,
2) A2
3.9 = 〈∂x, ∂y, (qx + y)∂x + (qy − x)∂y + ∂u〉, q > 0: ∆u =
= e−2quG
(
arctg
(
ux
uy
)
− u, ln(u2
x + u2
y) + 2q arctg
ux
uy
)
,
3) A3
3.9 = 〈∂u, tg(f(y) − x)∂u, ∂x + (q − tg(f(y) − x))u∂u〉, q > 0: ∆u =
=
f ′uy − ux
(f ′)2 + 1
f ′′+2(f ′uy−ux) tg(f−x)+(f ′ux+uy)G(y, cos(f−x)(f ′ux+uy)e−qx).
Зауважимо, що у випадку A1
3.7-iнварiантного рiвняння ми, за рахунок розши-
рення областi значень параметра q, звели два випадки реалiзацiй алгебри A3.7 в
один.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ГРУПОВА КЛАСИФIКАЦIЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ ЕЛIПТИЧНОГО ТИПУ II . . . 207
3.2. Iнварiантнiсть вiдносно чотиривимiрних алгебр Лi. Згiдно з класифi-
кацiєю неiзоморфних чотиривимiрних розв’язних алгебр Лi [5], розрiзняють по
десять розкладних (в пряму суму алгебр Лi нижчих розмiрностей) та нерозкладних
алгебр Лi.
3.2.1. Iнварiантнiсть вiдносно розкладних алгебр. Побудова реалiзацiй роз-
кладних алгебр Лi (окрiм алгебри A2.2 ⊕A2.2) вимагає простого розширення вiдо-
мих рiзних реалiзацiй алгебр A3.i, i = 1, . . . , 9, ще одним оператором вигляду (2.1),
який комутує з базисними операторами реалiзацiй алгебрA3.i, i = 1, . . . , 9, на нуль.
Зупинимося на випадку алгебри Ã4.1 = A3.1 ⊕A1.
Розширення множини базисних операторiв реалiзацiї A1
3.1 приводить до такої
реалiзацiї алгебри Ã4.1, в якiй один базисний оператор є лiнiйною комбiнацiєю
решти. Розширення множини базисних операторiв реалiзацiї A2
3.1 приводить до
недопустимої реалiзацiї алгебри Ã4.1. Отже, серед рiвнянь вигляду (1.1) немає
Ã4.1-iнварiантних.
Для решти розкладних чотиривимiрних розв’язних алгебр Лi iснують iнварiант-
нi рiвняння, якi допускають їх реалiзацiї в якостi максимальних алгебр iнварiант-
ностi. Нижче наведено вiдповiднi класифiкацiйнi результати.
Рiвняння, iнварiантнi вiдносно Ã4.2 = A3.2 ⊕ A1:
1) Ã1
4.2 = 〈−u∂u, ∂u, ∂x〉 ⊕ 〈∂y〉 : ∆u = (ux + uy)G
(
ux
uy
)
,
2) Ã2
4.2 = 〈∂y − u∂u, ∂u, ∂x〉 ⊕ 〈e−y∂u〉 : ∆u = e−yG(eyux)− (ux + uy).
Рiвняння, iнварiантнi вiдносно Ã4.3 = A3.3 ⊕ A1:
Ã1
4.3 = 〈∂u, ∂x, x∂u〉 ⊕ 〈∂y〉 : ∆u = G(uy).
Рiвняння, iнварiантнi вiдносно Ã4.4 = A3.4 ⊕ A1:
1) Ã1
4.4 = 〈∂u, ∂x, x∂x + y∂y + (u+ x)∂u〉 ⊕ 〈y∂u〉 : ∆u = e−uxG(ye−ux),
2) Ã2
4.4 = 〈∂u,−x∂u, ∂x + u∂u〉 ⊕ 〈∂y〉 : ∆u = exG(e−xuy).
Рiвняння, iнварiантнi вiдносно Ã4.5 = A3.5 ⊕ A1:
1) Ã1
4.5 = 〈∂x, ∂y, x∂x + y∂y〉 ⊕ 〈∂u〉 : ∆u = (ux + uy)2G
(
ux
uy
)
,
2) Ã2
4.5 = 〈∂x, ∂u, x∂x + y∂y + u∂u〉 ⊕ 〈y∂u〉 : ∆u = y−1G(ux).
Рiвняння, iнварiантнi вiдносно Ã4.6 = A3.6 ⊕ A1:
1) Ã1
4.6 = 〈∂x, ∂u, x∂x + y∂y − u∂u〉 ⊕ 〈y−1∂u〉 : ∆u = −2y−1uy + y−3G(y2ux),
2) Ã2
4.6 = 〈∂u, e2x∂u, ∂x + u∂u〉 ⊕ 〈∂y〉 : ∆u = 2ux + exG(e−xuy).
Рiвняння, iнварiантнi вiдносно Ã4.7 = A3.7 ⊕ A1:
1) Ã1
4.7 = 〈∂x, ∂u, x∂x+y∂y + qu∂u〉⊕〈yq∂u〉, q 6= 0,±1: ∆u = (q−1)y−1uy +
+ yq−2G(y1−qux),
2) Ã2
4.7 = 〈∂u, e(1−q)x∂u, ∂x + u∂u〉 ⊕ 〈∂y〉, 0 < |q| < 1: ∆u = (1 − q)ux +
+ exG(e−xuy).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
208 В. I. ЛАГНО, С. В. СПIЧАК
Рiвняння, iнварiантнi вiдносно Ã4.8 = A3.8 ⊕ A1:
1) Ã1
4.8 = 〈∂x, ∂y, y∂x − x∂y〉 ⊕ 〈∂u〉 : ∆u = G(u2
x + u2
y),
2) Ã2
4.8 = 〈∂u,− tg x∂u, ∂x + u tg x∂u〉 ⊕ 〈∂y〉 : ∆u = 2ux tg x+ uyG(uy cosx).
Рiвняння, iнварiантнi вiдносно Ã4.9 = A3.9 ⊕ A1:
1) Ã1
4.9 = 〈∂x, ∂y, (qx + y)∂x + (qy − x)∂y〉 ⊕ 〈∂u〉, q > 0: ∆u = (u2
x +
+ u2
y)G
(
(u2
x + u2
y) exp
(
2q arctg
ux
uy
))
,
2) Ã2
4.9 = 〈∂u,− tg x∂u, ∂x + u(q + tg x)∂u〉 ⊕ 〈∂y〉, q > 0: ∆u = 2ux tg x +
+ uyG(uye
−qx cosx).
Рiвняння, iнварiантнi вiдносно Ã4.10 = A2.2 ⊕ A2.2:
1) Ã1
4.10 = 〈−x∂x − y∂y, ∂x〉 ⊕ 〈−u∂u, ∂u〉 : ∆u =
(u2
x + u2
y)
yux
G
(
ux
uy
)
,
2) Ã2
4.10 = 〈∂x − u∂u, ∂u〉 ⊕
〈
λ1∂x + λ2∂y, e
−xe(1+λ1)y/λ2∂u
〉
, λ2 6= 0, λ1 ∈
∈ R : ∆u = −
(
1 +
(
1 + λ1
λ2
)2
)
ux+e−xeλ1y/λ2G
(
exe−λ1y/λ2
(
1 + λ1
λ2
ux + uy
))
.
Зауважимо, що у випадку алгебри Ã4.10 ми розширюємо нееквiвалентнi реалiза-
цiї алгебри A2.2 двома операторами вигляду (2.1), якi задовольняють комутацiйнi
спiввiдношення алгебри A2.2.
3.2.2. Iнварiантнiсть вiдносно нерозкладних алгебр. Усi нерозкладнi чотири-
вимiрнi розв’язнi алгебри Лi є напiвпрямою сумою деякої тривимiрної розв’язної
алгебри Лi й одновимiрної алгебри Лi, тобто мають структуруA1⊂+A3, деA1 = 〈e4〉,
A3 = 〈e1, e2, e3〉. При цьому для алгебр A4.i, i = 1, . . . , 6, A4.i = A1⊂+A3.1, для
алгебр A4.i, i = 7, 8, 9, A4.i = A1⊂+A3.3, а A4.10 = A1⊂+A3.5.
Використавши вiдомi нееквiвалентнi реалiзацiї алгебр A3.1, A3.3, A3.5, ми отри-
мали повний перелiк рiвнянь вигляду (1.1), максимальними алгебрами iнварiантнос-
тi яких є чотиривимiрнi нерозкладнi розв’язнi алгебри Лi операторiв симетрiї.
A4.1-iнварiантнi рiвняння:
A1
4.1 = 〈∂y − xy∂u〉⊂+〈∂u,−y∂u, ∂x〉 : ∆u = G(y2 + 2ux).
A4.2-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
4.2 = 〈x∂x + y∂y + (u+ y)∂u〉⊂+〈∂x, ∂u, ∂y〉, q = 1: ∆u = e−uyG(ux),
2) A2
4.2 = 〈qx∂x + qy∂y + u∂u〉⊂+〈∂x, ∂u,−q−1 ln y∂u〉, q 6= 0: ∆u = −uy
y
+
+
ux
y
G
(
y(q−1)/qux
)
,
3) A3
4.2 = 〈x∂x + y∂y + (qu + yq−1x)∂u〉⊂+〈∂u, yq−1∂u, ∂x〉, q 6= 0; 1: ∆u =
=
q − 2
y
uy + yq−2G
(
uxy
1−q − ln y
)
.
A4.3-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
4.3 = 〈x∂x + y∂y〉⊂+〈∂x, ∂u,− ln y∂u〉 : ∆u = −uy
y
+ u2
xG(yux),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ГРУПОВА КЛАСИФIКАЦIЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ ЕЛIПТИЧНОГО ТИПУ II . . . 209
2) A2
4.3 = 〈∂y + (u+ xey)∂u〉⊂+〈∂u, ey∂u, ∂x〉 : ∆u = uy + eyG(e−yux − y).
A4.4-iнварiантнi рiвняння:
A1
4.4 = 〈x∂x+y∂y+(u−x ln y)∂u〉〈∂u,− ln y∂u, ∂x〉 : ∆u = −uy
y
+
1
y
G(2ux+
+ ln2 y).
A4.5-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
4.5 = 〈x∂x+y∂y+pu∂u〉〈∂x, ∂y, ∂u〉, p 6= 0; 1, q = 1: ∆u = (uxuy)rG
(
ux
uy
)
,
r =
p− 2
2(p− 1)
,
2) A2
4.5 = 〈x∂x + y∂y + qu∂u〉〈∂x, ∂u, yq−p∂u〉, −1 ≤ p < q ≤ 1, pq 6= 0: ∆u =
=
q − p− 1
y
uy + yq−2G
(
uxy
1−q) ,
3) A3
4.5 = 〈qx∂x + qy∂y + u∂u〉〈∂u, ∂x, y(1−p)/q∂u〉, −1 ≤ p < 1, −1 ≤ q ≤ 1,
pq 6= 0: ∆u =
1− q − p
qy
uy + y(1−2q)/qG
(
uxy
(q−1)/q
)
.
A4.6-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
4.6 = 〈(px + y)∂x + (py − x)∂y + qu∂u〉〈∂u, ∂x, ∂y〉, q 6= 0, p ≥ 0: ∆u =
= exp
(
(q − 2p) arctg
ux
uy
)
G
(
(u2
x + u2
y) exp
(
2(p− q) arctg
ux
uy
))
,
2) A2
4.6 = 〈qx∂x+ qy∂y + (p+ tg(q−1 ln y)u∂u〉〈∂x, ∂u,− tg(q−1 ln y)∂u〉, q 6= 0,
p ≥ 0: ∆u =
(
2 tg(q−1 ln y)
qy
− 1
y
)
uy+
1
cos(q−1 ln y)y(2q−p)/qG
(
ux cos(q−1 ln y)×
×y(q−p)/q
)
.
A4.7-iнварiантнi рiвняння:
A1
4.7 = 〈x∂x+y∂y+
(
2u− x2
2
+ λxy
)
∂u〉〈∂u, (λy−x)∂u, ∂x〉, λ ∈ R : ∆u =
= − ln y +G
(
λux + uy
y
− λ2 ln y
)
.
A4.8-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
4.8 = 〈x∂x + y∂y + 2u∂u〉〈∂u, ∂x, ∂y + x∂u〉, q = 1: ∆u = G
(
ux − y
uy
)
,
2) A2
4.8 = 〈x∂x + y∂y + (1 + q)u∂u〉〈∂u, ∂x, (λy + x)∂u〉, |q| ≤ 1: ∆u = yq−1 ×
×G
(
y−q(uy − λux)
)
,
3) A3
4.8 = 〈∂y+u∂u〉〈∂u,−x∂u, ∂x+λ∂y〉, q = 0: ∆u = exp (y − λx)G(exp(λx−
−y)uy),
4) A4
4.8 = 〈qx∂x + qy∂y + (1 + q)u∂u〉〈∂u, (λy − x)∂u, ∂x〉, 0 < |q| ≤ 1: ∆u =
= y(1−q)/qG
(
λux + uy
y1/q
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
210 В. I. ЛАГНО, С. В. СПIЧАК
A4.9-iнварiантнi рiвняння:
A1
4.9 = 〈(qx+y)∂x+(qy−x)∂y+
(
2qu+
y2
2
− x2
2
)
∂u〉〈∂u, ∂x, ∂y+x∂u〉 : ∆u =
= G
(
((ux − y)2 + u2
y) exp
(
−2q arctg
(
ux − y
uy
)))
, q ≥ 0.
A4.10-iнварiантнi рiвняння:
1) A1
4.10 = 〈y∂x−x∂y+∂u〉〈∂x, ∂y, x∂x+y∂y〉 : ∆u = (u2
x+u2
y)G
(
arctg
ux
uy
− u
)
,
2) A2
4.10 = 〈λ1∂x + λ2∂y + u tg(λ−1
2 y)∂u〉〈∂u,− tg(λ−1
2 y)∂u, ∂x + u∂u〉 : ∆u =
= 2λ−1
2 tg(λ−1
2 y)uy + uxG(exp(λ1y/λ2 − x) cos(λ−1
2 y)ux), λ2 6= 0, λ1 ∈ R,
3) A3
4.10 = 〈y∂x − x∂y + λ∂u〉〈∂x, ∂y, x∂x + y∂y + ∂u〉, λ ∈ R : ∆u = (u2
x +
+ u2
y)G
(
(u2
x + u2
y)e2u exp
(
−2λ arctg
(
ux
uy
)))
.
4. Завершення групової класифiкацiї. У третьому пунктi статтi ми отримали
повний перелiк суттєво нелiнiйних рiвнянь вигляду (1.1), максимальними алгебра-
ми iнварiантностi яких є чотиривимiрнi розв’язнi алгебри Лi операторiв симетрiї.
Усi отриманi рiвняння мiстять довiльнi функцiї, якi залежать вiд однiєї змiнної. Це
дає можливiсть для завершення групової класифiкацiї рiвнянь вигляду (1.1) вико-
ристати класичний алгоритм Овсяннiкова [7, 8]. Не наводячи тут досить громiздких
i складних, але стандартних обчислень, зупинимося лише на деяких випадках рiв-
нянь, якi допускають чотиривимiрнi розв’язнi алгебри iнварiантностi, й наведемо
перелiк рiвнянь вигляду (1.1), якi iнварiантнi вiдносно розв’язних алгебр Лi роз-
мiрностей вищих за чотири. При цьому ми виключаємо з перелiку рiвнянь тi, якi
еквiвалентнi рiвнянням, що отриманi в статтi [1], а також рiвняння, якi еквiвалентнi
рiвнянням вигляду (1.2) або (1.3) (тобто не є суттєво нелiнiйними).
I. Зупинимося на випадку A2
4.5-iнварiантного рiвняння. Далi, для спрощення,
ми не будемо наводити аргументи у функцiях-коефiцiєнтах, якi входять в оператор
iнварiантностi (2.1), пам’ятаючи, що a = a(x, y, u), b = b(x, y, u), c = c(x, y, u).
Нижче дiйснi сталi iнтегрування позначимо як µi, i = 1, . . . , 8.
Нехай ω = uxy
1−q. Розглядаємо змiннi ω, uy, u як незалежнi й аналiзуємо
визначальнi рiвняння (2.2).
1. Збираючи коефiцiєнти в класифiкуючому рiвняннi бiля u2
y, отримуємо cuu =
= 0. Звiдси випливає, що c = f(x, y)u+ h(x, y).
2. Збираючи коефiцiєнти бiля uy, отримуємо рiвняння y(p− q + 1)ax + 2y2 ×
×fy(x, y)−(p−q+1)b−yayG′(ω) = 0. Якщо ay 6= 0, то G(ω) — лiнiйна функцiя, й
iнварiантне рiвняння буде лiнiйним. Тому покладаємо ay = 0 i, враховуючи першi
два рiвняння (2.2), отримуємо a = µ1x+µ2, b = µ1y+µ3, f =
µ3(q − p− 1)
2y
+h(x).
3. Збираючи коефiцiєнти бiля u, отримуємо рiвняння yfy(x, y)(p − q + 1) +
+y2∆f−y′h′(x)G′(ω) = 0, звiдки випливає, що h(x) = µ4, µ3(p−q+1)(q−p+1) =
= 0. Оскiльки q − p+ 1 > q − q + 1 > 0, то µ3(p− q + 1) = 0.
4. Збираючи решту коефiцiєнтiв, одержуємо рiвняння
ygy(x, y)(p− q + 1) + y2∆g + [µ4y
q + 2µ3y
q−1 − (µ1y + µ3)qyq−1]G(ω)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ГРУПОВА КЛАСИФIКАЦIЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ ЕЛIПТИЧНОГО ТИПУ II . . . 211
+
[
− ygx − µ4ωy
q − µ3ωy
q−1 + (µ1y + µ3)qωyq−1
]
G′(ω) = 0. (4.1)
Диференцiюючи це рiвняння за змiнною x, маємо gxx = 0, тобто g(x, y) = xv(y) +
+w(y).Пiсля пiдстановки цього спiввiдношення в (4.1) отримуємо v(y) = µ5y
q−p+
+ µ6. Далi, домноживши рiвняння (4.1) на y1−q i здиференцiювавши його за змiн-
ними y i ω, одержимо рiвняння
[µ5(p− 2)y1−p + µ6(q − 2)y1−q − ω(µ4 − µ1q)]G
′′(ω) = 0.
Звiдси випливає, що µ4 = µ1q, µ5 = µ6 = 0. Тодi (4.1) набирає вигляду
y(p− q + 1)w′(y) + y2w′′(y) + µ3(2− q)yq−1G− µ3(1− q)yq−1ωG′ = 0.
Якщо µ3 = 0, то розширень чотиривимiрної алгебри не iснує. Отже, (p−q+1) = 0,
звiдки випливає, що 0 < q < 1. Тодi
y2w′′(y)
yq−1
= λ = µ3Λ = const.
Тому
G(ω) = Kω(2−q)/(1−q) +
Λ
q − 2
, w(y) =
µ3Λyq−1
(2− q)(1− q)
+ µ7y + µ8.
Покладаючи вище в усiх виразах µ3 = 1, a µi = 0, i 6= 3, отримуємо додатковий
оператор симетрiї e5 = ∂y +
Λyq−1
(2− q)(1− q)
∂u. Позначаючи L =
Λ
(2− q)(1− q)
,
маємо e5 = ∂y+Lyq−1∂u, G(ω) = Kω(2−q)/(1−q) +(q−1)L. Якщо виконати замiну
u = v + L
yq
q
, то реалiзацiя, яку утворюють оператори з A2
4.5, трансформується в
iзоморфну, а в операторi e5 L = 0. Масштабними перетвореннями коефiцiєнт K
можна звести до 1, тому, враховуючи умову (p− q + 1) = 0, знаходимо
∆u = u(2−q)/(1−q)
x , e5 = ∂y, 0 < q < 1.
II. Розглянемо далi випадок A3
4.10-iнварiантного рiвняння. Нехай незалежнi
змiннi u, ux, uy пов’язанi спiввiдношеннями
ux = µuy = ±µ
√
t
s(1 + µ2)
, s = exp(2u− 2λ arctgµ), (4.2)
де µ ∈ R є довiльним параметром, а змiннi t i u розглядаються як незалежнi.
Тодi в A3
4.10-iнварiантному рiвняннi G(ω) = G(t). Пiдставляючи в класифiкую-
че рiвняння замiсть ux, uy праву частину спiввiдношення (4.2) спочатку зi знаком
+, а потiм зi знаком −, отримуємо систему двох таких рiвнянь:
tcuu + s∆c− tcuG(t) + 2t2[λay − cu + ax − c]G′(t) = 0,
(µcx + cy)u − (µcx + cy)G(t)− t[µcx + cy − λcx + λµcy)]G′(t) = 0.
(4.3)
Поклавши ux = −µuy = ∓µe−2u
√
st
(1 + µ2)
, одержимо таку пару рiвнянь:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
212 В. I. ЛАГНО, С. В. СПIЧАК
tcuu + s−1e−4u∆c− tcuG(t) + 2t2[λay − cu + ax − c]G′(t) = 0,
(cy − µcx)u − (cy − µcx)G(t) + t[µcx − cy + λcx + λµcy)]G′(t) = 0.
(4.4)
З перших рiвнянь (4.3) i (4.4) випливає
cuu − cuG(t) + 2t[λay − cu + ax − c]G′(t) = 0, ∆c = 0, (4.5)
а з других рiвнянь (4.3) i (4.4) — система
cyu − cyG(t) + t(λcx − cy)G′(t) = 0,
cxu − cxG(t)− t(cx + λcy)G′(t) = 0.
(4.6)
З цих рiвнянь, диференцiюючи за змiнною t, отримуємо систему
(λcx − 2cy)G′(t) + t(λcx − cy)G′′(t) = 0,
−(2cx + λcy)G′(t)− t(cx + λcy)G′′(t) = 0.
A. Нехай λ 6= 0. Визначник системи (вiдносно невiдомих G′(t) i G′′(t)) дорiв-
нює нулю: λt(c2x + c2y) = 0 (в супротивному випадку G(t) = const, i тодi рiвняння
вигляду (1.1) не буде суттєво нелiнiйним). Отже, c = c(u). Тепер, якщо cu = 0,
то з (4.5) випливає, що λay + ax = c = const, а тому розширень алгебри симетрiї
не буде й, отже, cu 6= 0. Якщо λay − cu + ax − c = 0, то з (4.5) випливає, що
G(t) = const. Тому, покладаючи h(x, y, u) = 2(λay − cu + ax − c) 6= 0, отримуємо
G(t) = KtL + M, де L =
cu
h
= const 6= 0, M =
cuu
cu
= const. Звiдси випливає
c = µ1e
Mu + µ2,
µ1MeMu
2(λay − µ1MeMu + ax − µ1eMu − µ2)
= L 6= 0. Якщо M = −1,
то лiва частина останньої рiвностi не може бути сталою величиною, а тому
λay + ax = µ2, L = − M
2(M + 1)
6= −1
2
,
й, отже,
a = µ2x+ µ3(λx− y) + µ4, b = µ2y + µ3(λy + x) + µ5,
G(t) = Kt−M/2(M+1) + M, а додатковий оператор має вигляд e5 = eMu∂u. Вико-
ристовуючи перетворення v = e−Mu, знаходимо
e3 = x∂x + y∂y + ∂u → x∂x + y∂y −Mv∂v, M = − 2L
1 + 2L
,
e4 = y∂x − x∂y + λ∂u → y∂x − x∂y − λMv∂v, e5 = eMu → ∂v,
а вiдповiдне iнварiантне рiвняння (1.1) набере вигляду
∆v = K̃(v2
x + v2
y)
[
(v2
x + v2
y) exp
(
−2λ arctg
(
vx
vy
))]L
, L 6= −1
2
.
За допомогою перетворень еквiвалентностi з групи E константу K̃ можна покласти
рiвною 1.
Зазначимо, що при L = −1
2
останнє рiвняння збiгається з рiвнянням, яке було
отримане при проведеннi розширення реалiзацiї Ã1
4.2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ГРУПОВА КЛАСИФIКАЦIЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ ЕЛIПТИЧНОГО ТИПУ II . . . 213
Б. Нехай λ = 0. Доведемо, що cx = cy = 0. Якщо cy 6= 0, то з (4.6) отримуємо
G = Kt−1 +M, M =
cyu
cy
, K 6= 0.
Пiдстановка цього спiввiдношення в (4.5) приводить до рiвностей
2ax − cu − 2c = 0, cuu −Mcu = 0.
Якщо M = 0, то рiвняння (1.1) має вигляд ∆u = e−2u i зводиться до лiнiйного
рiвняння. Тому M 6= 0. З отриманої системи випливає
c = h(x, y)eMu + g(x, y), ax = g(x, y), h(x, y)(M + 2) = 0.
Якщо M = −2, то замiною змiнних u =
1
2
ln v вiдповiдне рiвняння вигляду (1.1)
зводиться до рiвняння ∆v = 2Kv, яке є лiнiйним. Отже, h(x, y) = 0, а тому
c = g(x, y), звiдки M =
cyu
cy
= 0. Це суперечить умовi M 6= 0. Отже, cx = cy = 0,
й iнварiантних рiвнянь у цьому випадку не буде.
III. Зазначимо також, що дослiдження Ã1
4.10-iнварiантного рiвняння приводить
до рiвняння
∆u = λy−1
√
u2
x + u2
y,
яке є iнварiантним вiдносно реалiзацiї
〈−u∂u, ∂u〉 ⊕ 〈2x∂x + 2y∂y,−(x2 − y2)∂x − 2xy∂y + y∂u, ∂x〉
алгебри A2.2 ⊕ sl(2,R). Це рiвняння було отримано в статтi [1].
Провiвши аналогiчнi дослiдження усiх рiвнянь, iнварiантних вiдносно чотири-
вимiрних розв’язних алгебр Лi операторiв симетрiї, ми отримали одинадцять неек-
вiвалентних класiв рiвнянь вигляду (1.1), якi допускають максимальнi п’ятивимiрнi
розв’язнi алгебри Лi операторiв симетрiї. В таблицi наведено перелiк вiдповiдних
канонiчних рiвнянь отриманих класiв, а також реалiзацiй їх алгебр iнварiантностi
(тут використано вiдомi [2 – 4] позначення цих алгебр).
5. Висновки. Пiдсумовуючи результати дослiджень групової класифiкацiї рiв-
нянь вигляду (1.1), можемо вiдзначити наступне.
1. З точнiстю до перетворень еквiвалентностi, якi визначаються групою ди-
феоморфiзмiв (2.3), iснують 42 класи нееквiвалентних рiвнянь, якi допускають
максимальнi чотиривимiрнi алгебри Лi операторiв симетрiї. При цьому цi рiвняння
мiстять довiльнi функцiї однiєї змiнної. Наявнiсть цих функцiй у рiвняннях викли-
кає iнтерес до подальшого їх дослiдження щодо наявностi некласичних (наприклад,
умовних) симетрiй (див., наприклад, [9 – 12]).
2. Серед суттєво нелiнiйних рiвнянь вигляду (1.1) лише 13 рiвнянь допускають
максимальнi п’ятивимiрнi алгебри iнварiантностi, при цьому одинадцять iз них є
розв’язними алгебрами Лi, а двi — мають нетривiальний розклад Левi (див. [1]).
3. В принципi можуть iснувати рiзнi розширення групи еквiвалентностi, вiдно-
сно яких деякi iз знайдених рiвнянь будут попарно еквiвалентними. Однак, врахову-
ючи велику кiлькiсть таких рiвнянь, пошук таких розширень групи еквiвалентностi
можна розглядати як окрему задачу.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
214 В. I. ЛАГНО, С. В. СПIЧАК
Рi
вн
ян
ня
ви
гл
яд
у
(1
.1
)
з
на
йв
ищ
им
и
си
м
ет
рi
йн
им
и
вл
ас
ти
во
ст
ям
и
№
Рi
вн
ян
ня
Ре
ал
iз
ац
iї
iд
еа
лi
в
Д
од
ат
ко
ви
й
оп
ер
ат
ор
e 5
Т
ип
ал
ге
бр
и
1
∆
u
=
√ u
2 x
+
u
2 y
ex
p
( −q
ar
ct
g
u
x
u
y
)
Ã
1 4
.2
(q
x
+
y
)∂
x
+
(q
y
−
x
)∂
y
A
3
.9
⊕
A
2
.2
,
q
>
0
2
∆
u
=
ex
p
(u
y
)
Ã
1 4
.3
x
∂
x
+
y
∂
y
+
(u
−
y
)∂
u
A
5
.2
0
,
p
=
0
3
∆
u
=
ln
(u
y
)
Ã
1 4
.3
x
∂
x
+
y
∂
y
+
( 2u
+
x
2 2
) ∂
u
A
5
.2
3
,
p
=
1
4
∆
u
=
u
p
−
1
p
y
Ã
1 4
.3
x
∂
x
+
y
∂
y
+
(p
+
1
)u
∂
u
A
5
.1
9
,
q
=
1,
p
6=
0
;1
5
∆
u
=
(u
2 x
+
u
2 y
)
ex
p
( −q
ar
ct
g
u
x
u
y
)
Ã
1 4
.5
y
∂
x
−
x
∂
y
+
qu
∂
u
A
5
.3
5
,
p
=
0,
q
6=
0
6
∆
u
=
y
u
2 x
−
2y
−
1
u
y
Ã
1 4
.6
∂
y
−
u y
∂
u
A
5
.1
9
,
p
=
q
=
−
1
7
∆
u
=
√ u
2 x
+
u
2 y
Ã
1 4
.8
u
∂
u
A
3
.8
⊕
A
2
.2
8
∆
u
=
(u
2 x
+
u
2 y
)(2
−
p
)/
2
(1
−
p
)
Ã
1 4
.8
x
∂
x
+
y
∂
y
+
p
u
∂
u
A
5
.3
5
,
q
=
0,
p
6=
0
;1
9
∆
u
=
(u
2 x
+
u
2 y
)(2
−
p
)/
2
(1
−
p
)
ex
p
( qp 1
−
p
ar
ct
g
u
x
u
y
)
Ã
1 4
.9
x
∂
x
+
y
∂
y
+
p
u
∂
u
A
5
.3
5
,
q̃
=
−
p
q,
p
6=
0
;1
,
q
>
0
10
∆
u
=
λ
√ 2u
x
∓
y
2
A
3 4
.5
∂
y
±
x
y
∂
u
A
5
.3
0
,
p
=
1
11
∆
u
=
(λ
u
x
+
u
y
)1
/
2
+
p
y
A
4 4
.8
∂
y
+
p
2
(1
+
λ
2
)
(λ
y
−
x
)2
∂
u
A
5
.3
0
,
p
=
1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
ГРУПОВА КЛАСИФIКАЦIЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ ЕЛIПТИЧНОГО ТИПУ II . . . 215
4. Вiдомо (див., наприклад, [13]), що повний груповий аналiз диференцiального
рiвняння передбачає, окрiм вивчення його симетрiйних властивостей, побудову
iнварiантних та частково iнварiантних розв’язкiв, зокрема таких, що задовольняють
додатковi крайовi чи iншi умови. Тому у подальшому було б цiкавим i корисним
використати результати групової класифiкацiї рiвнянь вигляду (1.1) для побудови
саме таких розв’язкiв.
1. Лагно В. I., Спiчак С. В. Групова класифiкацiя квазiлiнiйних рiвнянь елiптичного типу. I. Iнварiант-
нiсть вiдносно алгебр Лi з нетривiальним розкладом Левi // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 11. –
С. 1532 – 1545.
2. Zhdanov R. Z., Lahno V. I. Group classification of heat conductivity equations with a nonlinear source
// J. Phys. A: Math. and Gen. – 1999. – 32. – P. 7405 – 7418.
3. Basarab-Horwath P., Lahno V., Zhdanov R. The structure of Lie algebras and the classification problem
for partial differential equations // Acta Appl. Math. – 2001. – 69. – P. 43 – 94.
4. Лагно В. И., Спичак С. В., Стогний В. И. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа. –
М.; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2004. – 392 с.
5. Мубарякзанов Г. М. О разрешимых алгебрах Ли // Изв. вузов. Математика. – 1963. – № 1(32). –
C. 114 – 123.
6. Мубарякзанов Г. М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка // Там
же. –1963. – № 3(34). – C. 99 – 106.
7. Овсянников Л. В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности // Докл. АН
СССР. – 1959. – 125, № 3. – С. 492 – 495.
8. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
9. Ахатов И. Ш., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход
// Современные проблемы математики. Новейшие достижения / Итоги науки и техники. – М.:
ВИНИТИ АН СССР, 1989. – 34. – С. 3 – 83.
10. Фущич В. И., Штелень В. М., Серов Н. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных
уравнений математической физики. – Киев: Наук. думка, 1989. – 336 с.
11. Fushchich W., Shtelen W., Serov N. Symmetry analysis and exact solutions of equations of nonlinear
mathematical physics. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1993. – 436 p.
12. Fushchych W. I., Tsyfra I. M. On a reduction and solutions of the nonlinear wave equations with broken
symmetry // J. Phys. A: Math. and Gen. – 1987. – 20. – P. L45 – L48.
13. Воробьев Е. М., Игнатович Н. В. Групповой анализ краевой задачи для уравнений ламинарного
пограничного слоя // Мат. моделирование. – 1991. – 3, № 11. – С. 116 – 123.
Одержано 09.11.09,
пiсля доопрацювання — 16.09.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2711 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:49Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/93/3650fe823b3ff943eba97e28e2c5a793.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27112020-03-18T19:34:23Z Group classification of quasilinear elliptic-type equations. II. Invariance under solvable Lie algebras Групова класифікація квазілінійних рівнянь еліптичного типу II. Інваріантність відносно розв'язних алгебр Лі Lagno, V. I. Spichak, S. V. Лагно, В. I. Спічак, С. В. The problem of the group classification of quasilinear elliptic-type equations in a two-dimensional space is considered. The list of all equations of this type, which admit the solvable Lie algebras of symmetry operators, is obtained. The results of this paper along with results obtained by the authors earlier give a complete solution of the problem of the group classification of quasilinear elliptic-type equations. Рассматривается задача групповой классификации квазилинейных уравнений эллиптического типа в двумерном пространстве. Получен перечень всех уравнений этого класса, допускающих разрешимые алгебры Ли операторов симметрии. Эти результаты вместе с результатами, полученными авторами ранее, дают исчерпывающее решение задачи групповой классификации квазилинейных уравнений эллиптического типа. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2711 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 2 (2011); 200-215 Український математичний журнал; Том 63 № 2 (2011); 200-215 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2711/2178 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2711/2179 Copyright (c) 2011 Lagno V. I.; Spichak S. V. |
| spellingShingle | Lagno, V. I. Spichak, S. V. Лагно, В. I. Спічак, С. В. Group classification of quasilinear elliptic-type equations. II. Invariance under solvable Lie algebras |
| title | Group classification of quasilinear elliptic-type equations. II. Invariance under solvable Lie algebras |
| title_alt | Групова класифікація квазілінійних рівнянь еліптичного типу II. Інваріантність відносно розв'язних алгебр Лі |
| title_full | Group classification of quasilinear elliptic-type equations. II. Invariance under solvable Lie algebras |
| title_fullStr | Group classification of quasilinear elliptic-type equations. II. Invariance under solvable Lie algebras |
| title_full_unstemmed | Group classification of quasilinear elliptic-type equations. II. Invariance under solvable Lie algebras |
| title_short | Group classification of quasilinear elliptic-type equations. II. Invariance under solvable Lie algebras |
| title_sort | group classification of quasilinear elliptic-type equations. ii. invariance under solvable lie algebras |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2711 |
| work_keys_str_mv | AT lagnovi groupclassificationofquasilinearelliptictypeequationsiiinvarianceundersolvableliealgebras AT spichaksv groupclassificationofquasilinearelliptictypeequationsiiinvarianceundersolvableliealgebras AT lagnovi groupclassificationofquasilinearelliptictypeequationsiiinvarianceundersolvableliealgebras AT spíčaksv groupclassificationofquasilinearelliptictypeequationsiiinvarianceundersolvableliealgebras AT lagnovi grupovaklasifíkacíâkvazílíníjnihrívnânʹelíptičnogotipuiiínvaríantnístʹvídnosnorozv039âznihalgebrlí AT spichaksv grupovaklasifíkacíâkvazílíníjnihrívnânʹelíptičnogotipuiiínvaríantnístʹvídnosnorozv039âznihalgebrlí AT lagnovi grupovaklasifíkacíâkvazílíníjnihrívnânʹelíptičnogotipuiiínvaríantnístʹvídnosnorozv039âznihalgebrlí AT spíčaksv grupovaklasifíkacíâkvazílíníjnihrívnânʹelíptičnogotipuiiínvaríantnístʹvídnosnorozv039âznihalgebrlí |