Analytic criterion for linear convexity of Hartogs domains with smooth boundary in $H^2$
We establish a criterion of the local linear convexity of sets in the two-dimensional quaternion space $H^2$, that are similar to the bounded Hartogs domains with smooth boundaries in the two-dimensional complex space $C^2$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2713 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508667389935616 |
|---|---|
| author | Osipchuk, T. M. Tkachuk, M. V. Осипчук, Т. М. Ткачук, М. В. |
| author_facet | Osipchuk, T. M. Tkachuk, M. V. Осипчук, Т. М. Ткачук, М. В. |
| author_sort | Osipchuk, T. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:23Z |
| description | We establish a criterion of the local linear convexity of sets in the two-dimensional quaternion space $H^2$, that are similar to the bounded Hartogs domains with smooth boundaries in the two-dimensional complex space
$C^2$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.55+514.17
Т. М. Осiпчук, М. В. Ткачук (Iн-т математики НАН України, Київ)
АНАЛIТИЧНИЙ КРИТЕРIЙ ЛIНIЙНОЇ ОПУКЛОСТI
ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ ГАРТОГСА З ГЛАДКОЮ МЕЖЕЮ В H2
We establish a criterion of the local linear convexity of sets in the two-dimensional quaternion space H2, that
are similar to the bounded Hartogs domains with smooth boundaries in the two-dimensional complex space
C2.
Установлен критерий локальной линейной выпуклости множеств в двумерном кватернионном про-
странстве H2, являющихся аналогами ограниченных областей Гартогса с гладкой границей в двумерном
комплексном пространстве C2.
Одним iз ключових понять багатовимiрного комплексного аналiзу є поняття лiнiй-
ної опуклостi. Область D ⊂ Cn, n ≥ 2, називається локально лiнiйно опуклою,
якщо для кожної точки z0 її межi ∂D iснує комплексна гiперплощина ΠC
n−1, яка
проходить через точку z0 i не перетинає областьD в деякому околi цiєї точки; якщо
при цьому ΠC
n−1 ∩D = ∅, то область D називається (глобально) лiнiйно опуклою.
Поняття локальної та глобальної лiнiйної опуклостi з’явились в роботi Бенке
i Пешля [1], котрi дослiджували областi D = {z = (z1, z2) ∈ C2 : ϕ(z) < 0},
визначенi за допомогою функцiї ϕ : C2 → R iз класу C2, градiєнт якої gradϕ не
дорiвнює нулю скрiзь на межi ∂D областi D. Використавши позначення
Lϕ := −
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0
∂ϕ
∂z1
∂ϕ
∂z2
∂ϕ
∂z̄1
∂2ϕ
∂z1∂z̄1
∂2ϕ
∂z2∂z̄1
∂ϕ
∂z̄2
∂2ϕ
∂z1∂z̄2
∂2ϕ
∂z2∂z̄2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
, Hϕ := −
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0
∂ϕ
∂z1
∂ϕ
∂z2
∂ϕ
∂z1
∂2ϕ
∂z1∂z1
∂2ϕ
∂z2∂z1
∂ϕ
∂z2
∂2ϕ
∂z1∂z2
∂2ϕ
∂z2∂z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
вони встановили, що для локальної лiнiйної опуклостi областi D необхiдно, щоб
скрiзь на її межi виконувалась умова Lϕ ≥ |Hϕ|, i достатньо, щоб скрiзь на ∂D
виконувалась умова Lϕ > |Hϕ|. Б. С. Зiнов’єв [2] отримав наступне узагальнення
даних результатiв на випадок довiльної розмiрностi n ≥ 2.
Нехай область
D = {z = (z1, . . . , zn) ∈ Cn : ϕ(z) < 0}
задано за допомогою функцiї ϕ : Cn → R iз класу C2, градiєнт якої вiдмiнний вiд
нуля скрiзь на ∂D. Позначивши zn+j = z̄j , j = 1, . . . , n, визначимо в точцi z0 ∈ Cn
квадратичну форму
ωϕ(z0, w) :=
2n∑
j,k=1
∂2ϕ(z0)
∂zj∂zk
wjwk.
Якщо z0 ∈ ∂D, то через TC(z0) позначаємо множину всiх векторiв w = (w1, w2, . . .
. . . , wn) ∈ Cn таких, що
∑n
j=1
∂ϕ(z0)
∂zj
wj = 0. Використовуючи введенi позна-
чення, згаданi результати Б. С. Зiнов’єва [2] можна сформулювати таким чином:
c© Т. М. ОСIПЧУК, М. В. ТКАЧУК, 2011
226 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
АНАЛIТИЧНИЙ КРИТЕРIЙ ЛIНIЙНОЇ ОПУКЛОСТI ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ ГАРТОГСА . . . 227
якщо в кожнiй точцi z0 ∈ ∂D квадратична форма ωϕ(z0, w) додатна на векторах
w ∈ TC(z0)\{0}, то область D є локально лiнiйно опуклою; навпаки, якщо область
D локально лiнiйно опукла, то
ωϕ(z0, w) ≥ 0 ∀ z0 ∈ ∂D ∀w ∈ TC(z0) (1)
(еквiвалентнiсть цих результатiв при n = 2 наведеним умовам локальної лiнiйної
опуклостi iз роботи Бенке та Пешля [1] також показано в роботi [2]).
Iз порiвняння мiж собою згаданих вище результатiв природно виникає наступ-
не питання, сформульоване в якостi однiєї iз найскладнiших нерозв’язаних задач
теорiї лiнiйно опуклих областей в оглядi С. В. Знаменського [3] (задача 1): чи буде
умова (1) достатньою для локальної лiнiйної опуклостi областi D? В [3] зазначе-
но, що спроби розв’язати цю задачу при n = 2 розпочато в шiстдесятих роках
минулого столiття. Але в 1997 р. К. О. Кiсельману [4] вдалося це зробити, вико-
ристовуючи областi Гартогса, побудованi спецiальним чином (див. також роботу
Ю. Б. Зелiнського [5]).
Нас цiкавить питання перенесення поняття (локально) лiнiйно опуклих множин
з простору Cn на багатовимiрний кватернiонний простiр Hn та розгляд властивос-
тей таких об’єктiв. Принципова вiдмiннiсть цих понять обумовлена антикомута-
тивнiстю алгебри кватернiонiв. Ось чому вiдразу ж виникає потреба вводити (ло-
кальну) лiнiйну опуклiсть злiва та справа.
Кватернiонний аналог результату Б. С. Зiнов’єва для довiльких областей Hn
з гладкою межею було доведено Т. М. Осiпчук [6] (тут наведено як теорему 1).
А в данiй роботi ми розглядаємо множини в Hn, аналогiчнi обмеженим областям
Гартогса в Cn, i для них встановлюємо критерiй лiнiйної опуклостi у випадку n = 2
(теорема 2).
Нехай H — алгебра кватернiонiв h = h0 + e1h1 + e2h2 + e3h3, де h0, h1, h2,
h3 ∈ R, а уявнi одиницi ei, i = 1, 2, 3, задовольняють умови
eiei = −1, eiej = −ejei, i 6= j,
e1e2 = e3, e2e3 = e1, e3e1 = e2.
Позначимо Hn := H×H× . . .×H︸ ︷︷ ︸
n
, z := (z1, z2, . . . , zn) ∈ Hn, де
zj := xj0 + e1x
j
1 + e2x
j
2 + e3x
j
3 ∈ H, j = 1, n.
Тодi кожну точку x = (x0, x1, x2, x3) ∈ R4n, де xk = {xjk}nj=1, k = 0, 3, ми
ототожнюємо з точкою z ∈ Hn. Нехай ‖z‖ = ‖x‖ =
√∑n
j=1
∑3
k=0
(
xjk
)2
, тодi
окiл U(w) = {z : ‖z − w‖ < ε} є вiдкритою кулею B(w, ε) iз центром у точцi
w = (w1, w2, . . . , wn) ∈ Hn i радiусом ε.
Означення [5]. Область Ω ⊂ Hn називається локально лiнiйно опуклою злiва
(справа), якщо в кожнiй точцi w = (w1, w2, . . . , wn) межi ∂Ω областi Ω iснує ква-
тернiонна гiперплощина
∑n
j=1
cj (zj − wj) = 0
(∑n
j=1
(zj − wj) cj = 0
)
, cj ∈
∈ H, z = (z1, z2, . . . , zn) ∈ Hn, яка проходить через точку w ∈ ∂Ω i не перетинає
Ω в деякому околi цiєї точки; якщо при цьому кватернiонна гiперплощина не пере-
тинає область Ω, то така область називається лiнiйно опуклою злiва (справа).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
228 Т. М. ОСIПЧУК, М. В. ТКАЧУК
Введемо „спряженi” кватернiони z1j , z
2
j , z
3
j до zj при j = 1, n:
z1j := xj0 + e1x
j
1 − e2x
j
2 − e3x
j
3,
z2j := xj0 − e1x
j
1 + e2x
j
2 − e3x
j
3,
z3j := xj0 − e1x
j
1 − e2x
j
2 + e3x
j
3.
Нехай Ω = {z : ρ(z) < 0} — область в Hn з межею ∂Ω = {z : ρ(z) = 0}, де
ρ(z) = ρ(z, z1, z2, z3) : Hn → R — двiчi неперервно диференцiйовна функцiя в
околi U (∂Ω) (ρ ∈ C2), zk = (zk1 , z
k
2 , . . . , z
k
n) ∈ Hn, k = 1, 2, 3, i grad ρ 6= 0 скрiзь
на ∂Ω. Будемо говорити, що функцiя ρ визначає область Ω.
Вiдомо [6], що повний диференцiал функцiї ρ в точцi w обчислюється за фор-
мулами (тут i скрiзь далi z0j := zj):
dρ(w) =
n∑
j=1
3∑
l=0
∂ρ(w)
∂xjl
dxjl =
n∑
j=1
3∑
l=0
∂ρ(w)
∂zlj
dzlj =
n∑
j=1
3∑
l=0
dzlj
∂ρ(w)
∂zlj
,
де формальнi похiднi
∂ρ(w)
∂zlj
мають вигляд
∂ρ(w)
∂zj
=
1
4
(
∂ρ(w)
∂xj0
− e1
∂ρ(w)
∂xj1
− e2
∂ρ(w)
∂xj2
− e3
∂ρ(w)
∂xj3
)
,
∂ρ(w)
∂z1j
=
1
4
(
∂ρ(w)
∂xj0
− e1
∂ρ(w)
∂xj1
+ e2
∂ρ(w)
∂xj2
+ e3
∂ρ(w)
∂xj3
)
,
∂ρ(w)
∂z2j
=
1
4
(
∂ρ(w)
∂xj0
+ e1
∂ρ(w)
∂xj1
− e2
∂ρ(w)
∂xj2
+ e3
∂ρ(w)
∂xj3
)
,
∂ρ(w)
∂z3j
=
1
4
(
∂ρ(w)
∂xj0
+ e1
∂ρ(w)
∂xj1
+ e2
∂ρ(w)
∂xj2
− e3
∂ρ(w)
∂xj3
)
.
Будемо говорити, що вектор s = (s1, s2, . . . , sn) ∈ Hn належить кватернiонному
дотичному простору TLH (w)
(
чи TRH (w)
)
до областi Ω в точцi w ∈ ∂Ω, якщо
n∑
i=1
∂ρ(w)
∂zi
si = 0
(
чи, вiдповiдно,
n∑
i=1
si
∂ρ(w)
∂zi
= 0
)
.
Як звичайно, множина векторiв z0 + TLH (w)
(
чи z0 + TRH (w)
)
називається кватер-
нiонною дотичною гiперплощиною з рiвнянням
n∑
i=1
∂ρ(w)
∂zi
(zi − wi) = 0
(
чи, вiдповiдно,
n∑
i=1
(zi − wi)
∂ρ(w)
∂zi
= 0
)
.
Запишемо вираз для формальних похiдних
∂ρ(w)
∂zj
у виглядi
∂ρ(w)
∂zj
=
3∑
l=0
γlel
∂ρ(w)
∂xjl
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
АНАЛIТИЧНИЙ КРИТЕРIЙ ЛIНIЙНОЇ ОПУКЛОСТI ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ ГАРТОГСА . . . 229
де γl — вiдповiднi коефiцiєнти при виразах ek
∂ρ(w)
∂xjl
з урахуванням знаку. Нехай
∂2ρ(w)
∂zki ∂z
l
j
:=
∂
∂zki
(
∂ρ(w)
∂zlj
)
=
=
3∑
k=0
γkek
∂
∂xik
(
3∑
l=0
γlel
∂ρ(w)
∂xjl
)
=
3∑
k,l=0
γkγlekel
∂2ρ(w)
∂xik∂x
j
l
.
Тодi
ω1
ρ(w, s) :=
n∑
i,j=1
3∑
k,l=0
∂2ρ(w)
∂zki ∂z
l
j
sljs
k
i ,
ω2
ρ(w, s) :=
n∑
i,j=1
3∑
k,l=0
ski
∂2ρ(w)
∂zki ∂z
l
j
slj ,
ω3
ρ(w, s) :=
n∑
i,j=1
3∑
k,l=0
sljs
k
i
∂2ρ(w)
∂zki ∂z
l
j
.
Зважаючи на те, що ω1
ρ(w, s) = ω2
ρ(w, s) = ω3
ρ(w, s) [6], далi пiд позначенням
ωρ(w, s) будемо розумiти один iз виразiв ωmρ (w, s), m = 1, 2, 3.
Теорема 1 [6]. Для того щоб область Ω була локально лiнiйно опуклою злiва
(справа), необхiдно, щоб для кожної точки w ∈ ∂Ω виконувалась нерiвнiсть
ωρ(w, s) ≥ 0, (2)
для усiх векторiв s = (s1, s2, . . . , sn) ∈ Hn, ‖s‖ = 1, s ∈ TLH (w) \ {0}
(
вiдповiдно,
s ∈ TRH (w) \ {0}
)
, i достатньо, щоб для кожної точки w ∈ ∂Ω виконувалась
нерiвнiсть
ωρ(w, s) > 0 (3)
для тих самих векторiв s.
Узагальнимо вiдомi поняття множини Гартогса та повної множини Гартогса з
Cn на випадок Hn.
Означення. Множиною Гартогса в Hn називається така множина, яка ра-
зом iз кожною своєю точкою (z, t) ∈ Hn−1 × H також мiстить кожну точку
(z, t′) ∈ Hn−1 × H, де |t′| = |t|. Якщо ж множина в Hn разом iз кожною своєю
точкою (z, t) також мiстить усi точки (z, t′), де |t′| ≤ |t|, то така множина
називається повною множиною Гартогса в Hn.
Довiльну повну область Гартогса в Hn (далi область Гартогса) можна подати у
виглядi
Ω = {(z, t) ∈ Hn−1 ×H : |t| < R(z)},
де R : H→ R+.
Далi будемо розглядати простiр H2.Для зручностi частиннi похiднi
∂h
∂zk
,
∂2h
∂zk∂zl
,
k, l = 0, 3, z0 := z, будемо позначати через hzk , hzkzl вiдповiдно. НехайD (D ⊂ H)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
230 Т. М. ОСIПЧУК, М. В. ТКАЧУК
— вiдкрита обмежена множина i h : H→ R, h(z) > 0, де z ∈ D, h(z) ∈ C2. Будемо
розглядати обмеженi областi Гартогса, визначенi таким чином:
Ω := {(z, t) ∈ D ×H : |t|2 < h(z)}, (4)
hz(z) 6= 0 в точках, де h(z) = 0.
Нехай ρ(z, t) := |t|2 − h(z). Тодi
dρ = t̄dt− hzdz 6= 0 (5)
(також dt · t̄ − dz · hz 6= 0) в точках, де ρ = 0, тобто в точках (z, t) : |t|2 = h(z).
Дiйсно, t̄dt 6= 0 в усiх точках (z, t) ∈ ∂Ω, крiм тих, що належать гiперплощинi
t = 0, але за умовою при h(z) = |t|2 = 0 hz 6= 0. Тобто умова (5) рiвносильна
умовi hz 6= 0, коли h(z) = 0 (iншими словами, якщо функцiя h визначає множину
D, то функцiя |t|2 − h(z) визначає множину Ω, i навпаки). Отже, область Ω можна
подати у виглядi
Ω := {(z, t) ∈ D ×H : ρ(z, t) < 0}. (6)
Основним результатом статтi є наступна теорема.
Теорема 2. Нехай Ω — обмежена повна область Гартогса в H2, визначена
в (4). Для того щоб область Ω була лiнiйно опуклою злiва (чи справа), необхiдно
i достатньо, щоб виконувалась диференцiальна умова (2) в кожнiй точцi межi
w ∈ ∂Ω i для кожного ненульового вектора, що належить дотичнiй гiперплощинi
TLH (w)
(
чи, вiдповiдно, TRH (w)
)
.
Для її доведення потрiбно кiлька лем.
Лема 1. Нехай функцiя h ∈ Ck, k ≥ 2, визначає вiдкриту множину D ⊂ H.
Тодi:
1) повна область Гартогса Ω має межу класу Ck, ρ ∈ Ck, k ≥ 2;
2) функцiя ρ, що визначає область Ω, задовольняє диференцiальну умову (2) в
кожнiй точцi межi ∂Ω тодi i тiльки тодi, коли функцiя h задовольняє умову
|hz|2
h
≥ 1
2
3∑
k,l=0
hzkzlp
lpk, коли h > 0 i pl ∈ H. (7)
Бiльш того, функцiя ρ задовольняє строгу диференцiальну умову (3) в кожнiй
точцi межi ∂Ω тодi i тiльки тодi, коли функцiя h задовольняє умову (7) зi знаком
строгої нерiвностi.
Доведення. Перше твердження леми випливає з попереднiх викладок. Доведемо
друге твердження.
Запишемо диференцiальну форму ωρ(w, s) для функцiї ρ(z, t) = |t|2 − h(z) у
точцi w = (z0, t0) ∈ ∂Ω (ρ(z0, t0) = |t0|2 − h(z0) = 0). Зауважимо, що для a ∈ H
|a|2 = a · ā = a · −a+ a1 + a2 + a3
2
=
−a+ a1 + a2 + a3
2
· a.
Тодi
ρ(z, t) =
1
2
(−t2 + tt1 + tt2 + tt3)− h(z),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
АНАЛIТИЧНИЙ КРИТЕРIЙ ЛIНIЙНОЇ ОПУКЛОСТI ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ ГАРТОГСА . . . 231
ωρ(w, s) = −s2s2 +
1
2
(s2s
1
2 + s2s
2
2 + s2s
3
2) +
1
2
(s12s2 + s22s2 + s32s2)− ωh(z0, s1) =
= 2|s2|2 −
3∑
k,l=0
hzkzls
l
1s
k
1 .
Диференцiальна умова (2) має вигляд
2|s2|2 −
3∑
k,l=0
hzkzls
l
1s
k
1 ≥ 0 (8)
для всiх векторiв s = (s1, s2), що належать дотичному простору TLH (w) в точцi w(
чи s ∈ TRH (w)
)
, який у даному випадку має вигляд
−hz(z0)s1 + t̄0s2 = 0
(
чи, вiдповiдно, −s1hz(z0) + s2t̄0 = 0
)
. (9)
Звiдси
s2 =
1
t̄0
hz(z0)s1
(
вiдповiдно, s2 = s1hz(z0)
1
t̄0
)
при t0 6= 0. Тодi, пiдставивши вираз для s2 в формулу (8), отримаємо
2
|hz(z0)|2|s1|2
|t̄0|2
≥
3∑
k,l=0
hzkzls
l
1s
k
1 .
Тепер з того, що |t̄0|2 = |t0|2 = h(z0), випливає умова (7).
При t0 = 0 з формули (9) виражаємо s1 i, враховуючи те, що для a, b ∈ H
(a · b)k = ak · bk, (a+ b)k = ak + bk, k = 1, 2, 3, одержуємо
2|s2|2 −
3∑
k,l=0
hzkzl
1
hlz
t̄0
l
sl2
1
hkz
t̄0
k
sk2
2|s2|2 −
3∑
k,l=0
hzkzls
l
2t̄0
l 1
hlz
sk2 t̄0
k 1
hkz
.
Звiдси видно, що при t0 = 0 умова (8) задовольняється навiть строго.
Замiнивши знак ≥ на знак >, можна провести аналогiчнi мiркування i для
другої частини твердження 2.
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай
Ω = {(z, t) ∈ H2 : |t|2 < h(z)}
— обмежена повна область Гартогса з межею класу C2. Припустимо, що Ω
задовольняє диференцiальну умову (2) в усiх точках (z0, t0) ∈ ∂Ω. Тодi область Ω
можна апроксимувати зсередини областями Гартогса
Ωε = {(z, t) ∈ H2 : |t|2 < hε(z)},
якi задовольняють строгу диференцiальну умову (3) в усiх точках (z0, t0) ∈ ∂Ωε,
крiм, можливо, тих, де hz(z0) = 0, до того ж hε = h−ε, де ε є достатньо малим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
232 Т. М. ОСIПЧУК, М. В. ТКАЧУК
Доведення. Використаємо диференцiальну умову (7), врахувавши те, що функ-
цiя hε має тi ж самi похiднi, що i функцiя h. Отримаємо
|hz|2
h− ε
>
|hz|2
h
≥ 1
2
3∑
k,l=0
hzkzlp
lpk
для всiх точок z таких, що hε(z) > 0
(
для таких точок тим бiльше буде виконува-
тись нерiвнiсть
|hz|2
h
≥ 1
2
∑3
k,l=0
hzkzlp
lpk
)
, але крiм тих, де hz = 0.
Взагалi, це твердження справедливе для всiх додатних ε. Але, щоб застосувати
лему 1 до функцiї hε, потрiбно пiдiбрати ε таке, щоб градiєнт hε не дорiвнював
нулю, коли hε = 0. Але gradhε = gradh 6= 0 в тих точках, де h = 0, отже, за
неперервнiстю, i в тих точках, де h − ε = 0, при досить малих ε. Таким чином,
gradhε 6= 0, якщо hε = 0, i за лемою 2 межа областi Ωε задовольняє строгу
диференцiальну умову (3) скрiзь, крiм тих точок, де hz = 0.
Лема 3. Нехай
Ω = {w ∈ H2 : ρ(w) < 0},
grad ρ 6= 0 скрiзь на межi ∂Ω областi Ω, ρ ∈ C1. Нехай w0 ∈ ∂Ω i L — довiльна
площина, що проходить через точку w0 i не є дотичною до областi Ω. Тодi iснує
окiл U(w0) ⊂ L точки w0 такий, що U \ ∂Ω = V1 ∪ V2, де V1 ∩ V2 = ∅, V1 ⊂ Ω,
V2 ⊂ H2 \ Ω, V 1 ∩ V 2 = ∂Ω ∩ U.
Доведення. Лема безпосередньо випливає з теореми про неявну функцiю [7,
c. 454].
Тепер покажемо, що областi Ωε, побудованi в лемi 2, є лiнiйно опуклими.
Кожну гiперплощину, рiвняння якої має вигляд z = const, назвемо вертикаль-
ною, а гiперплощину з рiвнянням вигляду t = const — горизонтальною.
Лема 4. Нехай
Ω = {(z, t) ∈ H2 : |t|2 < h(z)}
— обмежена повна область Гартогса в H2 з межею класу C2. Припустимо, що
Ω задовольняє диференцiальну умову (2) в усiх точках (z0, t0) ∈ ∂Ω, крiм тих, де
hz(z0) = 0. Тодi область Ω є лiнiйно опуклою.
Доведення. Доведемо, що: 1) перетин Ω
⋂
L зв’язний, де L — не горизонтальна
пряма; 2) якщо L дотична до Ω, то Ω
⋂
L = ∅.
Скористаємось методами з робiт [8, 9]. Оскiльки ми розглядаємо двовимiрний
кватернiонний простiр, далi для зручностi одновимiрнi лiнiйнi многовиди над тiлом
H (дiйсної розмiрностi 4) будемо називати iнодi прямими, а iнодi площинами, в
залежностi вiд контексту. Внаслiдок некомутативностi кватернiонiв вважаємо, що
множення на скаляри вiдбувається злiва. Для випадку множення на скаляри справа
мiркування аналогiчнi.
1. Нехай L не є горизонтальною прямою i (z0, t0), (z1, t1) — двi точки перетину
L
⋂
Ω.Доведемо, що вони лежать в однiй компонентi Ω
⋂
L.Оскiльки Ω є зв’язною,
то iснує крива γ : [0, 1] → Ω, γ(0) = (z0, t0), γ(1) = (z1, t1). Виберемо γ таким
чином, щоб жодна з прямих Ls = {w : w = p(s)q, q ∈ H, p(s) = γ(s)/‖γ(s)‖},
0 < s ≤ 1, L0 = L, не була горизонтальною. Якщо t0 i t1 вiдмiннi вiд нуля, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
АНАЛIТИЧНИЙ КРИТЕРIЙ ЛIНIЙНОЇ ОПУКЛОСТI ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ ГАРТОГСА . . . 233
спочатку рухаємось вiд точки (z0, t0) до (z0, 0) у площинi z = z0, потiм у площинi
t = 0 вiд (z0, 0) до (z1, 0) i нарештi вiд (z1, 0) до (z1, t1) у площинi z = z1,
оминаючи (z1, t0).
Розглянемо такi множини:
Σ1 := {s : точки γ(0), γ(s) лежать в однiй компонентi перетину Ls ∩ Ω},
Σ2 := {s : точки γ(0), γ(s) лежать в рiзних компонентах перетину Ls ∩ Ω},
Σ3 := {s : точки γ(0), γ(s) лежать в однiй компонентi перетину Ls ∩ Ω
i в рiзних компонентах перетину Ls ∩ Ω}.
Легко бачити, що Σ1 ∪ Σ2 ∪ Σ3 = [0, 1] i Σ1 ∩ Σ2 = Σ1 ∩ Σ3 = Σ2 ∩ Σ3 = ∅.
1′. Спочатку покажемо, що множина Σ3 = ∅.
Припустимо, що iснує точка x1 ∈ Ls ∩ Ω, s ∈ Σ3, x1 /∈ Ls ∩ Ω. Тодi за ле-
мою 3 Ls дотична до Ω в точцi x1. Розглянемо множину C = {x ∈ Ls ∩ Ω}, де Ls
— дотична площина до Ω в точцi x. Оскiльки ρ належить C2, множина C замкнена,
за припущенням, непорожня i C ∪ Ls ∩ Ω = Ls ∩ Ω. Позаяк Ls ∩ Ω є зв’язною,
C ∩ Ls ∩ Ω 6= ∅, отже, iснує точка x2 ∈ Ls ∩ Ω, в якiй площина Ls дотична до Ω,
i в довiльному околi точки x2 iснують точки Ω, що суперечить умовi (3). Таким
чином, припущення є хибним, i точки x1 з вказаними властивостями не iснує. Але
тодi внаслiдок зв’язностi Ls ∩ Ω iснує точка x3, що є спiльною точкою межi для
двох рiзних компонент Ls ∩ Ω. Отже, за лемою 3 Ls дотична до Ω в точцi x3, що
суперечить умовi (3). Таким чином, множина Σ3 = ∅.
2′. Покажемо, що множина Σ2 є вiдкритою.
Перетин Ls∩Ω iзометричний вiдкритiй множинi Ωs = {q : f(q, s) = ρ(p(s)q)} <
< 0 ⊂ H, оскiльки w = p(s)q гомеоморфно вiдображає H на Ls ⊂ H2 i ‖p(s)q −
− p(s)q′‖ = ‖p(s)‖‖q − q′‖ = ‖q − q′‖. Точкам γ(s), γ(0) ∈ Ls ∩ Ω вiдповiдають
точки q(s) = ‖γ(s)‖, 0 ∈ Ωs. Виберемо довiльне s0 ∈ [0, 1] так, що перетин Ls0 ∩Ω
є незв’язним. Область Ω обмежена, тому знайдеться куля Vr така, що Ωs ⊂ Vr
для 0 < τ ≤ 1. Розглянемо компоненти D0 i D1 = Ls0 ∩ Ω \ D0 цього перетину
i вiдповiдно D′0, D
′
1 ⊂ Ωs0 . Тодi в H iснують вiдкритi множини V i U такi, що
D
′
0 ⊂ V, D
′
1 ⊂ U, V ∩ U = ∅, U ∪ V ⊂ Vr. Маємо f(q, s0) > 0 на компактi
V r \ (U ∪V ), оскiльки Ωs0 = {q : f(q, s0) ≤ 0} ⊂ U ∪V. Функцiя f(q, s) = ρ(p(s)q)
неперервна при q ∈ H, 0 < s ≤ 1. Тому знайдеться таке δ > 0, що при всiх s
таких, що |s − s0| < δ i q ∈ V r \ (U ∪ V ), буде F (q, s) > 0, тобто Ωs ⊂ U ∪ V.
При цьому 0 ∈ D′0 ⊂ V, а при досить малих δ q(s) ∈ D′1 ⊂ U. Таким чином, для
s0 − δ < s ≤ s0 γ(0) i γ(s) належать рiзним компонентам ωs.
3′. Покажемо, що множина Σ1 також є вiдкритою. Врахувавши, що Σ1 6= ∅,
виберемо s0 ∈ [0, 1] так, що перетин Ls0 ∩Ω є зв’язним. Доведемо, що iснує ε > 0
таке, що для довiльного s ∈ (s0 − ε, s0 + ε) перетин Ls ∩ Ω теж є зв’язним.
Оскiльки множина Ls0 ∩ Ω зв’язна i вiдкрита в Ls0 , то iснує крива τ(l) ⊂
⊂ Ls0 ∩ Ω, l ∈ [0, 1], τ(0) = γ(0) i τ(1) = γ(s0). Вiдстань r мiж компактами
τ i ∂Ω є бiльшою за нуль. Розглянемо кулi B(τ(l), r) з центрами в точках τ(l) i
радiусами r та їх об’єднання B =
⋃
l∈[0,1]
B(τ(l), r) ⊂ Ω. Виберемо ε > 0 так,
щоб для довiльного s ∈ (s0− ε, s0 + ε) вiдстань вiд τ до Ls була меншою за r. Тодi
Ls перетинає кожну з куль B(τ(l), r). Побудуємо неперервну криву τs ⊂ Ls ∩ Ω,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
234 Т. М. ОСIПЧУК, М. В. ТКАЧУК
що з’єднує точки τs(0) = γ(0) i τs(1) = γ(s), як множину центрiв кругiв C(t) :=
:= Ls∩B(τ(t), r) в об’єднаннi з вiдрiзком [C(1), γ(s)], який лежить всерединi кулi
Ls∩B(τ(1), r). Очевидно, що крива τs неперервна. Отже, точки γ(0) i γ(s) лежать
в однiй компонентi перетину Ls ∩ Ω.
Оскiльки Σ1 ∪ Σ2 ∪ Σ3 = [0, 1], Σ1 ∩ Σ2 = Σ1 ∩ Σ3 = Σ2 ∩ Σ3 = ∅, Σ3 = ∅,
а обидвi множини Σ1, Σ2 вiдкритi, то або Σ1 = ∅, або Σ2 = ∅. Позаяк область Ω
зв’язна, множина Σ1 не може бути порожньою. Отже, Σ2 = ∅, що i потрiбно було
показати.
Нехай тепер L = TLH (a) — не горизонтальна дотична до ∂Ω в точцi a ∈ ∂Ω.
Припустимо, що перетин L∩Ω не є порожнiм i b ∈ L∩Ω. Якщо точки a i b лежать
в рiзних компонентах V1, V2 перетину L ∩ Ω = V1 ∪ V2, то iснує точка c ∈ Ω в
околi точки a така, що пряма L1 = c + TLH (a) перетинає Ω щонайменше по двох
компонентах, якi лежать в U1 ∪ U2, де U1, U2 — неперетиннi околи множин V1,
V2. Нехай тепер точки a i b лежать в однiй зв’язнiй компонентi V ⊂ L ∩ Ω. Тодi
подальшi мiркування аналогiчнi викладеним у п. 1. Множина S1 ⊂ V точок, в яких
L дотична до ∂Ω, замкнена в V, так само як i множина S2 = ∂(V ∩ Ω). Оскiльки
V = S1 ∪ S2 i V є зв’язною, то iснує точка s ∈ S1 ∩ S2, що суперечить локальнiй
лiнiйнiй опуклостi Ω в точцi s.
2. Розглянемо точки (z0, t0) ∈ ∂Ω, в яких дотична площина TLH (z0, t0) горизон-
тальна, тобто hz(z0) = 0. Припустимо, що дотична площина перетинає Ω в деякiй
точцi (z1, t1). Тодi t1 = t0.Оскiльки область Ω, а отже, i її базаD := {(z, 0)} зв’язнi,
можемо побудувати неперервну криву γ ⊂ D,що з’єднує точки z0 i z1, де γ(s) = zs,
s ∈ [0, 1]. Тепер розглянемо дотичнi площини в точках (zs, h(zs)); будемо позна-
чати їх Ls = TLH (zs, h(zs)). Припустимо, що t0 > 0, отже, R(z0) =
√
h(z0) = t0.
Ми знаємо, що L0 горизонтальна, але всi Ls не можуть бути горизонтальними, бо
R(z1) > |t1| = |t0| = R(z0). Нехай s0 — точна нижня межа усiх s таких, що Ls не
горизонтальнi. Очевидно, 0 ≤ s0 < 1. Усi площини Ls, 0 ≤ s ≤ s0 збiгаються мiж
собою i перетинають Ω в точцi (z1, t1). Тодi знайдеться s0 < s < 1, для якого пло-
щина Ls вже не є горизонтальною, але перетинає Ω, що суперечить п. 1 доведення
леми 3.
Лему 4 доведено.
Доведення теореми 2. Необхiднiсть випливає з необхiдної умови теореми 1.
Достатнiсть. Використовуючи лему 2, будуємо вiдкритi множини Ωε, якi
апроксимують Ω зсередини. За лемою 4 областi Ωε є лiнiйно опуклими. Пока-
жемо, що i область Ω також є лiнiйно опуклою. Припустимо, що це не так, i для
деякої точки (z0, t0) ∈ ∂Ω дотична площина TLH (z0, t0) перетинає Ω в деякiй точцi
(z̃, t̃).
За умовою grad ρ 6= 0. Якщо припустити, що ρt = t̄ = 0 i hz 6= 0, то це можливо
лише в тих точках межi, в яких |t|2 = h(z) = 0. Але це точки вигляду (z0, 0) ∈ ∂Ω,
де h(z0) = 0, hz(z
0) 6= 0, в яких дотична площина
t̄0(t− t0)− hz(z0)(z − z0) = 0
набирає вигляду
hz(z
0)(z − z0) = 0,
z = z0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
АНАЛIТИЧНИЙ КРИТЕРIЙ ЛIНIЙНОЇ ОПУКЛОСТI ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ ГАРТОГСА . . . 235
i, очевидно, не перетинає область Ω (ρ(z0, t) = |t|2 − h(z0) = |t|2 ≥ 0). Тому в
даному випадку ρt 6= 0, i без обмеження загальностi можна вибрати систему коор-
динат так, щоб дотична площина TLH (z0, t0) збiгалася з площиною t = t0, до того ж
t0 = |t0|. Тодi hz(z0) = 0, i дотичнi площини до Ωε у точках (z0,
√
h(z0)− ε) ∈ ∂Ωε
мають рiвняння t =
√
h(z0)− ε.
Для ε0 = h(z̃)− |t̃|2 точка (z̃, t̃) належить ∂Ωε0 , а для всiх ε < ε0
|t̃|2 − (h(z̃)− ε) < |t̃|2 − (h(z̃)− ε0) = 0,
тобто для всiх ε < ε0 площина TLH (z0, t0) перетинає Ωε у точцi (z̃, t̃). Тодi для фiксо-
ваного ε < ε0 площина TLH (z0,
√
h(z0)− ε) перетинає Ωε у точцi (z̃,
√
h(z0)− ε).
Дiйсно, |t̃|2 = |t0|2 = h(z0),
h(z0)− ε− (h(z̃)− ε) < h(z0)− (h(z̃)− ε) = |t̃|2 − (h(z̃)− ε) < 0,
але це суперечить лемi 4. Отже, наше припущення є хибним i в жоднiй межовiй
точцi дотична площина не перетинає область Ω, тобто Ω є лiнiйно опуклою.
Зауваження 1. У 1986 р. Г. А. Мкртчян [10] довiв теорему, аналогiчну теоремi
О. П. Южакова та А. П. Кривоколеску [8], а саме, показав, що обмежена гiпер-
комплексно опукла область в Hn з гладкою межею є гiперкомплексно опуклою. В
роботi [10] пiд (локальною) гiперкомплексною опуклiстю автор розумiє (локальну)
лiнiйну опуклiсть злiва або справа. Як бачимо, диференцiальна умова (2) в теоре-
мi 2 є слабшою за умову локальної лiнiйної опуклостi в теоремi Г. А. Мкртчяна,
застосованiй до повних областей Гартогса в H2. А от послабити умову гладкостi
межi областi, зберiгаючи висновок, виявляється, неможливо, що показує наступний
приклад локально лiнiйно опуклої повної областi Гартогса Ω̃ в H2, яка не є лiнiйно
опуклою.
Якщо кватернiонна пряма t = az + b, a, b ∈ H, не перетинає Ω̃, то i пряма
et = az + b, |e| = 1, утворена з першої поворотом (z, t) → (z, et), не перетинає
Ω̃. А отже, i об’єднання таких прямих для всiх можливих |e| = 1 — це конус
K : |t| = |az + b|, який не перетинає Ω̃. З цих мiркувань робимо висновок: область
Ω̃ ∈ H2 є лiнiйно опуклою тодi i тiльки тодi, коли через довiльну точку доповнення
до Ω проходить конус з рiвнянням вигляду |t| = |az + b|, який не перетинає Ω.
Побудуємо область вигляду {(z, t) ∈ H × R+ : |z| < 1, |t| < f(z)}, а саме,
Ω = {(z, t) ∈ H × R+ : |z| < 1, |t| < |z − 3e2|, |t| < |z − 2
√
2e1 + e2|, |t| <
< |z −
√
6 +
√
2e1 + e2|, |t| < |z +
√
6 +
√
2e1 + e2|}. Оскiльки доповнення до Ω є
об’єднанням конусiв |t| = |az + b|, то вона є лiнiйно опуклою областю. Очевидно,
що вiдповiдна функцiя f(z) = min{|z−3e2|, |z−2
√
2e1 +e2|, |z−
√
6+
√
2e1 +e2|,
|z +
√
6 +
√
2e1 + e2|} має рiвно два локальних максимуми в кулi |z| ≤ 1 в точках
z = ±e3 (в даних точках порушується гладкiсть). На вiдрiзку z0 = z1 = z2 = 0,
−1 ≤ z3 ≤ 1 графiк функцiї f(z) є гiперболою t2 = z23 + 9, яка має два локальних
максимуми в точках z3 = ±1.
Нехай
g(z) =
{
f(z), z3 ≤ 0,
min{f(z),
√
10− ε}, z3 > 0.
Тодi, очевидно, область {(z, t) ∈ H2 : |z| < 1, |t| < g(z)} буде локально лiнiйно
опуклою але не лiнiйно опуклою областю Гартогса.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
236 Т. М. ОСIПЧУК, М. В. ТКАЧУК
1. Behnke H., Peschl E. Zur Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen Konvexität in
bezug auf analytische Ebenen im kleinen und großen // Math. Ann. – 1935. – 111, № 2. – P. 158 – 177.
2. Зиновьев Б. С. Аналитические условия и некоторые вопросы аппроксимации линейно выпуклых
областей с гладкими границами в пространстве Cn // Изв. вузов. Матемематика. – 1971. – № 6 (109).
– C. 61 – 69.
3. Знаменский С. В. Семь задач о C-выпуклости // Комплексный анализ в современной математике: к
80-летию со дня рождения Б. В. Шабата (редактор-составитель Е. М. Чирка). – М.: ФАЗИС, 2001.
– C. 123 – 132.
4. Kiselman Ch. O. A differential inequality characterizing weak lineal convexity // Math. Ann. – 1998. –
311, № 1. – P. 1 – 10.
5. Зелинский Ю. Б. О локально линейно выпуклых областях // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 2. –
С. 280 – 284.
6. Осiпчук Т. М. Аналiтичнi умови локальної лiнiйної оруклостi в Hn // Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2005. – 2, № 3. – С. 244 – 254.
7. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. – М.: Наука,
1970. – Т. 1. – 608 с.
8. Южаков А. П., Кривоколеско В. П. Некоторые свойства линейно выпуклых областей с гладкими
границами в Cn // Сиб. мат. журн. – 1971. – 12, № 2. – С. 452 – 458.
9. Kiselman Ch. O. Lineally convex Hartogs domains // Acta Math. Vietnamica. – 1996. – 21. – P. 69 – 94.
10. Мкртчян Г. А. Гиперкомплексно выпуклые области с гладкой границей // Докл. АН УССР. Сер. А.
– 1986. – № 3. – C. 15 – 17.
Одержано 14.07.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2713 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:51Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/95/61deb736edc51df0a131ac09a4150495.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27132020-03-18T19:34:23Z Analytic criterion for linear convexity of Hartogs domains with smooth boundary in $H^2$ Аналітичний критерій лінійної опуклості для областей Гартогса з гладкою межею в $H^2$ Osipchuk, T. M. Tkachuk, M. V. Осипчук, Т. М. Ткачук, М. В. We establish a criterion of the local linear convexity of sets in the two-dimensional quaternion space $H^2$, that are similar to the bounded Hartogs domains with smooth boundaries in the two-dimensional complex space $C^2$. Установлен критерий локальной линейной выпуклости множеств в двумерном кватернионном пространстве $H^2$, являющихся аналогами ограниченных областей Гартогса с гладкой границей в двумерном комплексном пространстве $C^2$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2713 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 2 (2011); 226-236 Український математичний журнал; Том 63 № 2 (2011); 226-236 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2713/2182 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2713/2183 Copyright (c) 2011 Osipchuk T. M.; Tkachuk M. V. |
| spellingShingle | Osipchuk, T. M. Tkachuk, M. V. Осипчук, Т. М. Ткачук, М. В. Analytic criterion for linear convexity of Hartogs domains with smooth boundary in $H^2$ |
| title | Analytic criterion for linear convexity of Hartogs domains with smooth boundary in $H^2$ |
| title_alt | Аналітичний критерій лінійної опуклості для областей Гартогса з гладкою межею в $H^2$ |
| title_full | Analytic criterion for linear convexity of Hartogs domains with smooth boundary in $H^2$ |
| title_fullStr | Analytic criterion for linear convexity of Hartogs domains with smooth boundary in $H^2$ |
| title_full_unstemmed | Analytic criterion for linear convexity of Hartogs domains with smooth boundary in $H^2$ |
| title_short | Analytic criterion for linear convexity of Hartogs domains with smooth boundary in $H^2$ |
| title_sort | analytic criterion for linear convexity of hartogs domains with smooth boundary in $h^2$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2713 |
| work_keys_str_mv | AT osipchuktm analyticcriterionforlinearconvexityofhartogsdomainswithsmoothboundaryinh2 AT tkachukmv analyticcriterionforlinearconvexityofhartogsdomainswithsmoothboundaryinh2 AT osipčuktm analyticcriterionforlinearconvexityofhartogsdomainswithsmoothboundaryinh2 AT tkačukmv analyticcriterionforlinearconvexityofhartogsdomainswithsmoothboundaryinh2 AT osipchuktm analítičnijkriteríjlíníjnoíopuklostídlâoblastejgartogsazgladkoûmežeûvh2 AT tkachukmv analítičnijkriteríjlíníjnoíopuklostídlâoblastejgartogsazgladkoûmežeûvh2 AT osipčuktm analítičnijkriteríjlíníjnoíopuklostídlâoblastejgartogsazgladkoûmežeûvh2 AT tkačukmv analítičnijkriteríjlíníjnoíopuklostídlâoblastejgartogsazgladkoûmežeûvh2 |