Intermixing “according to Ibragimov”. Estimate for rate of approach of family of integral functionals of solution of differential equation with periodic coefficients to family of the Wiener processes. Some applications. II
In the first part of this work, we obtain estimates for the rate of approach of integrals of a family of "physical" white noises to a family of the Wiener processes. By using this result, we establish an estimate for the rate of approach of a family of solutions of ordinary differ...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2718 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508675755474944 |
|---|---|
| author | Bondarev, B. V. Kozyr', S. M. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. |
| author_facet | Bondarev, B. V. Kozyr', S. M. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. |
| author_sort | Bondarev, B. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:39Z |
| description | In the first part of this work, we obtain estimates for the rate of approach of integrals of a family of "physical" white noises to a family of the Wiener processes.
By using this result, we establish an estimate for the rate of approach of a family of solutions of ordinary differential equations, disturbed by some physical white noises,
to a family of solutions of the corresponding Ito equations. We consider the case where the coefficient of random disturbance is separated from zero as well as the case where it is not separated from zero. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Б. В. БОНДАРЕВ, С. М. КОЗЫРЬ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3 303
УДК 519.21
Б. В. Бондарев, С. М. Козырь (Донец. нац. ун-т)
ПЕРЕМЕШИВАНИЕ „ПО ИБРАГИМОВУ”.
ОЦЕНКА СКОРОСТИ СБЛИЖЕНИЯ СЕМЕЙСТВА
ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
С СЕМЕЙСТВОМ ВИНЕРОВСКИХ ПРОЦЕССОВ.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. II
In the first part of this work, we obtain estimates for the rate of approach of integrals of a family of “physical”
white noises to a family of the Wiener processes. By using this result, we establish an estimate for the rate of
approach of a family of solutions of ordinary differential equations, disturbed by some physical white noises,
to a family of solutions of the corresponding Ito equations. We consider the case where the coefficient of
random disturbance is separated from zero as well as the case where it is not separated from zero.
На підставі отриманих у першій частині роботи оцінок швидкості зближення інтегралів від сім’ї
„фізичних” білих шумів з сім’єю вінерівських процесів встановлено оцінку швидкості зближення сім’ї
розв’язків звичайних диференційних рівнянь, збурених деякими „фізичними” білими шумами, з сім’єю
розв’язків відповідних рівнянь Іто. Розглянуто як випадок відокремленого від нуля коефіцієнта при
випадковому збуренні, так і випадок не відокремленого від нуля коефіцієнта.
Настоящая работа является продолжением работы [1], поэтому в ней продолжает-
ся нумерация пунктов, утверждений и формул.
4. Первый способ нахождения оценка скорости сближения решения диф-
ференциального уравнения, возмущенного „физическим” белым шумом, с ре-
шением соответствующего уравнения Ито. При рассмотрении физических (см.,
например, [2]) систем часто возникает интерес к изучению свойств случайного
процесса Xt! , t ! 0 , являющегося решением обыкновенного дифференциально-
го уравнения
!X ! (t) = a(t, X ! (t)) + b(t, X ! (t)) !Wt
! , X0! = X0 , (45)
где !Wt
! — последовательность „физических” белых шумов, т. е. семейство про-
цессов, интеграл от которого
Wt
! = !Ws
!ds
0
t
"
при ! " 0 слабо сходится к некоторому винеровскому процессу Wt на проме-
жутке 0 ! t ! T . При некоторых ограничениях на функции a(t, x) , b(t, x) и их
производные имеет место (см. [2, 3]) также слабая сходимость при ! " 0 процес-
са X ! (t) , 0 ! t ! T , к решению стохастического дифференциального уравнения
Ито
304 Б. В. БОНДАРЕВ, С. М. КОЗЫРЬ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
Y (t) = X0 + a(s,Y (s)) + !2
2
bx (s,Y (s))b(s,Y (s))
"
#
$
%
&
'
0
t
( ds + !b(s,Y (s)) dWs
0
t
( .
Возник вопрос об оценке скорости сближения в некоторой функциональной
метрике решений „предельной” и „допредельной” динамических систем. Несмотря
на кажущуюся реальной возможность оценить такую скорость в метрике Леви –
Прохорова, практическое воплощение такой идеи весьма затруднительно. По-
этому был выбран метод построения случайных процессов на одном вероятност-
ном пространстве, т. е. метод А. В. Скорохода. Теперь нашей целью является
оценка скорости сближения решения обыкновенного дифференциального уравне-
ния (45) и решения соответствующего уравнения Ито, а именно, построение оце-
нок вида
M sup
0!t!T
X " (t) # Y " (t)
2m
! $" % 0, " % 0, m & 2 ,
где
Y ! (t) = X0 + a(s,Y ! (s)) + "2
2
bx (s,Y ! (s))b(s,Y ! (s))
#
$
%
&
'
(
0
t
) ds +
+
!b(s,Y " (s))d !W" (s)
0
t
# . (46)
Здесь
!W! (s) — семейство винеровских процессов, соответствующим образом
построенных по процессу !Wt
! . Для некоторых видов !Wt
! эта задача решалась в
работах [4 – 8], причем в работах [4, 7, 8] использован так называемый метод за-
мены, обращающий коэффициент при случайном возмущении в единицу, в работах
[5, 6] применялся метод, основанный на представлении интеграла от „физиче-
ского” белого шума !Wt
! в виде мартингального семейства и асимптотически пре-
небрежимого процесса. В данной статье в качестве стационарного „физического”
белого шума !Wt
! используется процесс
!Wt
! = 1
!
f " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
) Mf " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
*
+,
-
./
= 1
!
f " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
) f*
+,
-
./
,
где f (x) — некоторая дважды непрерывно дифференцируемая ограниченная
( f (x) ! K < +") периодическая с периодом 1 функция, случайный процесс !(t)
— решение уравнения (3) из [1] (в условиях теоремы 2), f подсчитывается по
формуле (8) из [1]. Изложим первый способ (см., например, [4, 7]) оценки ско-
рости сближения решений в метрике
!(X " ,Y " ) = M sup
0#t#T
Xt" $ Yt"
2m{ }1 2m ,
где m — некоторое фиксированное целое число.
ПЕРЕМЕШИВАНИЕ „ПО ИБРАГИМОВУ”. ОЦЕНКА СКОРОСТИ … 305
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
Предположим, что коэффициент b(t, x) ! " # > 0 , причем b(t, x) , !bx (t, x)
непрерывны, тогда (см. [9, с. 34]) всегда возможна замена, в результате которой
получим уравнение с единичным коэффициентом при „шуме”. Другими словами,
положив Zt! = f (t, Xt! ) , где
f (t, x) = dy
b(t, y)0
x
! ,
получим уравнение
Zt! = X0 + a(s,
0
t
" Zs! ) ds +
1
!
f # s
!
$
%&
'
()
$
%&
'
()
*M f # s
!
$
%&
'
()
$
%&
'
()
+
,-
.
/00
t
" ds , (47)
где
a(t, x) = !ft (t, g(t, x)) + !fx (t, g(t, x))a(t, g(t, x)) ,
функция g(t, x) обратная по x к функции f (t, x) , т. е. функция, для которой
f (t, g(t, x)) = x, g(t, f (t, x)) = x . В силу того, что в дальнейшем нам понадобятся
конкретные постоянные в полученных оценках скорости сближения решений, мы
не будем отсылать читателя к источникам (см., например, [4]), где этот вопрос
рассматривался, а тезисно изложим доказательство применительно к нашему
случаю.
Теорема 3. Пусть:
1) a = a(t, x) — непрерывная по совокупности переменных ограниченная
вместе со своей частной производной !ax (t, x) функция;
2) b = b(t, x) — непрерывная по совокупности переменных и ограниченная
вместе со своими частными производными !bt (t, x) , !bx (t, x) , !!btx (t, x) , !!bxx (t, x)
функция (будем считать, что функции a(t, x) , b(t, x) и их частные производ-
ные ограничены по модулю постоянной L > 0 );
3) функция b(t, x) отделена от нуля, т. е. выполнено b(t, x) ! " > 0 ;
4) выполнены условия теоремы 1 и теоремы 2 из [1].
Тогда справедлива оценка
M sup
0!t!T
Xt" # Yt"
2m
! max($"2m , % " )D0 (m,T )L2m exp 2mTL2 1+ 2L
&2
'
(
)
*)
+
,
)
-)
,
где !" , ! " определены в теореме 2, а D0 (m,T ) приведена в следствии 2 ра-
боты [1].
Доказательство. Нетрудно заметить, что в условиях теоремы 3 функция
a(t, x) удовлетворяет условию Липшица равномерно по t ! 0 . Действительно,
!ax (t, x) = [ !!ftx (t, g(t, x)) + !!fxx (t, g(t, x))a(t, g(t, x)) +
+ !fx (t, g(t, x)) !ax (t, g(t, x))] !gx (t, x) =
= b(t, g(t, x)) ! "bt (t, g(t, x))
b2(t, g(t, x))
! "bx (t, g(t, x))
b2(t, g(t, x))
a(t, g(t, x)) + "ax (t, g(t, x))
b(t, g(t, x))
#
$
%
&
'
( (48)
306 Б. В. БОНДАРЕВ, С. М. КОЗЫРЬ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
(мы воспользовались тем, что производная по x от функции g(t, x) , обратной
по x к f (t, x) , равна b(t, g(t, x)) ). Из (48) имеем оценку
!ax (t, x) = L2 1+ 2L
"2
.
Наряду с (47) рассмотрим уравнение
!t" = X0 + a(s,
0
t
# !s" ) ds + $ !W" (t) , (49)
где
!W! (t) , t ! 0 , — семейство винеровских процессов, построенное в теореме 2
из [1]. Используя условие Липшица, из (47) и (49) получаем оценку
sup
0!"!t
Z"# $ %"# !
! sup
0!t!T
1
"
f # s
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
*M f # s
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
+
,-
.
/00
t
1 ds * 2 !W" (t) exp L2 1+ 2L
32
4
5
6
76
8
9
6
:6
. (50)
В силу следствия 2 к теореме 2 из [1] имеем
M sup
0!t!T
1
"
f # s
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
*M f # s
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
+
,-
.
/00
t
1 ds * 2 !W" (t)
2m
!
! max("#2m , $ # )D0 (m,T ) .
Тогда из (50) с учетом последней оценки получаем оценку
M sup
0!t!T
Zt" # $t"
2m
! max(%"2m , & " )D0 (m,T ) exp 2mTL2 1+ 2L
'2
(
)
*
+*
,
-
*
.*
. (51)
Нетрудно показать (см., например, [4]), что случайный процесс Yt! = g(t,"t! ) ,
t ! 0 , является решением уравнения (46). Действительно, используя формулу
Ито и то, что
!!gxx (t, x) = b(t, g(t, x)) !bx (t, g(t, x)), f (t, g(t, x)) = x ,
!ft (t, g(t, x)) + !fx (t, g(t, x)) !gt (t, x) = 0, !gt (t, x) = " !ft (t, g(t, x))
!fx (t, g(t, x))
,
находим
dYt! = dg(t,"t! ) = #gt (t,"t! ) dt + #gx (t,"t! )a(t,"t! ) dt +
$2
2
##gxx (t,"t! ) dt +
+ !gx (t,"t# )$ d !Wt
# = b(t, g(t,"t# ))$ d !Wt
# %
ПЕРЕМЕШИВАНИЕ „ПО ИБРАГИМОВУ”. ОЦЕНКА СКОРОСТИ … 307
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
! "ft (t, g(t,#t$ ))
"fx (t, g(t,#t$ ))
dt + b(t, g(t,#t$ ))a(t,#t$ )dt +
%2
2
b(t, g(t,#t$ )) "bx (t, g(t,#t$ )) =
= a(t,Yt! )dt +
"2
2
b(t,Yt! ) #bx (t,Yt! ) dt + b(t,Yt! )" d !Wt
! ,
так как
! "ft (t, g(t, x))
"fx (t, g(t, x))
dt + b(t, g(t, x))a(t, x) =
= b(t, g(t, x))[! "ft (t, g(t, x)) + "ft (t, g(t, x)) + "fx (t, g(t, x))a(t, g(t, x))] = a(t, g(t, x)) .
Аналогично показывaется, что
dXt
! = dg(t, Zt! ) = "gt (t, Zt! ) dt + "gx (t, Zt! )a(t, Zt! ) dt + "gx (t, Zt! )# !Wt
! dt =
= b(t, g(t, Zt! ))" !Wt
!dt # $ft (t, g(t, Zt! ))
$fx (t, g(t, Zt! ))
dt + b(t, g(t, Zt! ))a(t, Zt! ) dt =
= a(t, Xt! ) dt + b(t, Xt! )" !Wt
! dt = a(t, Xt! )dt + b(t, Xt! )" dWt
! .
Поскольку
!gx (t, x) = b(t, g(t, x)) " L ,
из (51) следует
M sup
0!"!T
X"
# $ Y"#
2m
! M sup
0!"!T
g(t, Z"# ) $ g(t,%"# )
2m
!
! L2m M sup
0!"!T
Z"# $ %"#
2m
! L2m max(m , ' # )D0 (m,T ) exp 2mTL2 1+ 2L
(2
)
*
+
,+
-
.
+
/+
.
Теорема 3 доказана.
5. Второй способ нахождения оценки скорости сближения решения диф-
ференциального уравнения, возмущенного „физическим” белым шумом, с ре-
шением соответствующего уравнения Ито. Рассмотрим совокупность случай-
ных процессов {Xt! , ! > 0, 0 " t " T} — решений дифференциальных уравнений
!Xt! = a(t, Xt! ) + b(t, Xt! ) !Wt
! , X0! = X0 , (52)
где совокупность случайных процессов — „физических” белых шумов
!Wt
! —
представима в виде
!Wt
! = 1
!
f " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
) f*
+,
-
./
= 1
!
f " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
)M f " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
*
+,
-
./
(случайный процесс !(t) — решение уравнения (3) из [1] в условиях теоремы 2), и
семейство процессов
308 Б. В. БОНДАРЕВ, С. М. КОЗЫРЬ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
Yt! = X0 + a(s,Ys! ) +
"2
2
#bx (s,Ys! )b(s,Ys! )
$
%
&
'
(
)
0
t
* ds + " b(s,Ys! ) d !W! (s)
0
t
* , (53)
где
!W! (t) , t ! 0 , — винеровский процесс, построенный в теореме 2 из [1].
Изложим еще один способ оценки скорости сближения решений (52) и (53) в
метрике
!(X " ,Y " ) = M sup
0#t#T
Xt" $ Yt"
2m{ }1 2m ,
при котором не требуется ограничения b(t, x) ! " > 0 , но требуется дополни-
тельная гладкость коэффициента !(x) уравнения (1) из [1], а именно, потребуем
существования производной !!" (x) , которая будет непрерывна и ограничена
!!" (x) # K < + $ )( .
Теорема 4. Пусть выполнены условия:
1) a = a(t, x) — непрерывная по совокупности переменных ограниченная
вместе со своей частной производной !ax (t, x) функция;
2) b = b(t, x) — непрерывная по совокупности переменных и ограниченная
вместе со своими частными производными !bt (t, x) , !bx (t, x) , !!btx (t, x) , !!bxx (t, x)
функция;
3) функции a(t, x) , b(t, x) и их частные производные ограничены постоян-
ной L > 0 ;
4) выполнены условия теоремы 2 из [1].
Тогда справедлива оценка
M sup
0!t!T
Xt" # Yt"
2m
! max $" + " 6cK
%
&
'(
)
*+
2m
, % " , "m
&
'
(
)
*
+ ,
! 32m"1D(m,T , K , L) + D1(m,T , K )D2 (m,T , K , L)#$ %& exp TD3(m,T , K ){ } ,
где !" , ! " определены в теореме 2,
D(m,T , K , L) = 32m!1 "
! LKc
"
#
$%
&
'(
2m
2 + T + LT + 16C
4K 2L
)2
1+ T + TL + LKT( )
*
+
,
,
-
.
/
0/
+
+ Kc
!
2T + TL + 2LK( )
"
#
$
$
2m
+ 16 2m
2m % 1
&
'(
"
#$
2m m(2m % 1)16c2TC 4L4K 5
! 2)2
*
+
,
-
.
/
m
+
+ 2m
2m ! 1
"
#$
%
&'
2m
m(2m ! 1)T (64)
2C12K 7L4
(6
)
*
+
,
-
.
m /
0
1
21
,
ПЕРЕМЕШИВАНИЕ „ПО ИБРАГИМОВУ”. ОЦЕНКА СКОРОСТИ … 309
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
D1(m,T , K ) =
= 1+ 4mT m 4m
4m ! 1
"
#$
%
&'
m
2m(2m ! 1)( )m + (4m ! 1)!!() *+
16mC 4mK 3m
,2m
,
D2 (m,T , K , L) = 32m!1 2m
2m ! 1
"
#$
%
&'
2m
m 2m ! 1[ ]L2 4m
(
)
*
+
,
-
m
,
D3(m,T , K , L) = 32m!1L2m 1+ 16C
4K 3
"2
#
$%
&
'(
2m
T 2m!1 +
+ 32m!1 KmL2m 16
mC 4mK 2m
"2m
2m
2m ! 1
#
$%
&
'(
2m
m 2m ! 1[ ]
)
*
+
,
-
.
m
T m!1
&
'
(
(
.
Доказательство. Пусть U(x) — решение задачи (11) из [1], тогда, диффе-
ренцируя по формуле Ито [9] функцию U(!(t)) , получаем
dU(!(t)) = [ f (!(t)) " f ]dt + #(!(t))$(!(t)) dW (t) . (54)
Из (54) следует представление
1
!
f " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
) f*
+,
-
./
dt =
= !dU " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
) * " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
+ " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
dW! (t) , (55)
где W! (t) = !W (t /!) .
Дифференцируя по формуле Ито процесс U 2(!(t)) , находим
dU 2(!(t)) = 2[ f (!(t)) " f ]U(!(t)) dt +
+ !2("(t))#2("(t)) dt + 2U("(t))!("(t))#("(t)) dW (t) ,
откуда следует представление
f ! t
"
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
) f*
+,
-
./
U ! t
"
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
dt = "
2
dU 2 ! t
"
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
)
! 1
2
"2 # t
$
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
+2 # t
$
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
dt !
! "U # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
* # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
+ # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
dW" (t) . (56)
Обозначим
!2 = "2 (x)#2 (x)$(x) dx
0
1
% .
310 Б. В. БОНДАРЕВ, С. М. КОЗЫРЬ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
Нетрудно заметить, что
!2 (x)"2 (x)#(x) dx
0
1
$ % KD"
2 ,
где D! = 4C
2
"
K определено в (17) работы [1].
Из (52), используя представления (55) и (56), получаем
dXt! = a(t, Xt! )dt " b(t, Xt! )# $ t
!
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
+ $ t
!
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
dW! (t) +
+ !2
2
"bx (t, Xt# )b(t, Xt# )dt + dR# (t) , (57)
где
dR! (t) = !d b(t, Xt! )U " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
)
*+
,
-.
/ !U " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
0bt (t, Xt! ) dt /
! "U # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
*bx (t, Xt" )a(t, Xt" ) dt !
! "bx (t, Xt# )b(t, Xt# )U $ t
#
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
f $ t
#
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
! f+
,-
.
/0
=
= !d b(t, Xt! )U " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
)
*+
,
-.
/ !U " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
0bt (t, Xt! )dt /
! "U # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
*bx (t, Xt" )a(t, Xt" )dt +
+ 1
2
!bx (t, Xt" )b(t, Xt" ) #2 $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
+2 $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
, -2.
/0
1
23
dt +
+ ! "bx (t, Xt! )b(t, Xt! )U # t
!
$
%&
'
()
$
%&
'
()
* # t
!
$
%&
'
()
$
%&
'
()
+ # t
!
$
%&
'
()
$
%&
'
()
dW! (t) ,
! "
2
#bx (t, Xt" )b(t, Xt" )dU 2 $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
=
= !d b(t, Xt! )U " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
)
*+
,
-.
/ !U " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
0bt (t, Xt! )dt /
! "U # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
*bx (t, Xt" )a(t, Xt" )dt !
! " #bx (t, Xt" )b(t, Xt" )U $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
+ $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
, $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
dW" (t) !
ПЕРЕМЕШИВАНИЕ „ПО ИБРАГИМОВУ”. ОЦЕНКА СКОРОСТИ … 311
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
! "
2
d #bx (t, Xt" )b(t, Xt" )U 2 $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
+
,-
.
/0
+ "
2
U 2 $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
[ #bx (t, x)b(t, x) #]t (Xt" )dt +
+ !
2
U 2 " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
[ )bx (t, x)b(t, x) )]x (Xt! )a(t, Xt! )dt +
+ !
2
U 2 " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
[ )bx (t, x)b(t, x) )]x (Xt! )b(t, Xt! ) f " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
* f+
,-
.
/0
dt +
+ 1
2
!bx (t, Xt" )b(t, Xt" ) #2 $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
+2 $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
, -2.
/0
1
23
dt . (58)
Пусть U1(x) — решение задачи
1
2
!2 (x) d
2U1
dx2
+ "(x) dU1
dx
= !2 (x)#2 (x) $ %2 ,
(59)
U1(x + 1) = U1(x),
dU1
dx
(x + 1) = dU1
dx
(x) .
Поскольку !2 (x)"2 (x) # D"
2K и существуют непрерывные производные !!" (x) ,
!!" (x) , аналогично тому, как обосновывалось представление (9) работы [1], убеж-
даемся в том, что имеет место представление
U1(x) = ! M "2(# x (t))$2(# x (t)) ! %2&' ()
0
+*
+ dt .
Нетрудно заметить, что функция U1(x) 1-периодическая. Аналогично (14) убеж-
даемся в справедливости оценки
U1(x) !
D"
2Kc
#
< + $ .
Обозначим !1(x) =
dU1(x)
dx
, тогда аналогично (15) рассмотрим задачу
1
2
!2 (x) d"1
dx
+ #(x)"1 = !2 (x)"2 (x) $ %2 ,
!1(x + 1) = !1(x) ,
решением которой будет 1-периодическая функция
!1(x) = " 2#"1(x) #(z)
$2 (z)
$2 (z)!2 (z) " %2&' () dz
x
1
* . (60)
Используя 1-периодичность функции !1(x) и представление (60), аналогично
(17) убеждаемся в справедливости оценки
312 Б. В. БОНДАРЕВ, С. М. КОЗЫРЬ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
!1(x) "
4C2D!
2K
#
.
Используя формулу Ито и равенство (59), получаем
dU1(!(t)) = "2(!(t))#2(!(t)) $ %2&' () dt + #1(!(t))"(!(t)) dW (t) ,
откуда следует представление
!2 " t
#
$
%&
'
()
$
%&
'
()
*2 " t
#
$
%&
'
()
$
%&
'
()
+ ,2-
./
0
12
dt =
= !dU1 " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
) !*1 " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
+ " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
dW! (t) . (61)
С учетом (61) имеем
1
2
!bx (t, Xt" )b(t, Xt" ) #2 $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
+2 $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
, -2.
/0
1
23
dt =
= 1
2
!bx (t, Xt" )b(t, Xt" )" dU1 # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
*
! 1
2
"bx (t, Xt# )b(t, Xt# ) #$1 % t
#
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
, % t
#
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
dW# (t) =
= ! 1
2
"bx (t, Xt# )b(t, Xt# ) #$1 % t
#
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
, % t
#
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
dW# (t) +
+ !
2
d "bx (t, Xt! )b(t, Xt! )U1 # t
!
$
%&
'
()
$
%&
'
()
*
+,
-
./
0
! "
2
U1 # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
[ *bx (t, x)b(t, x) *]t (x = Xt" ) dt !
! "
2
U1 # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
[ *bx (t, x)b(t, x) *]x a(t, x)(x = Xt" ) dt !
! "
2
U1 # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
[ *bx (t, x)b(t, x) *]x (x = Xt" )b(t, Xt" ) f # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
! f+
,-
.
/0
dt . (62)
Из (58) c учетом (62) находим
dR! (t) = !d b(t, Xt! )U " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
)
*+
,
-.
/ !U " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
0bt (t, Xt! )dt /
! "U # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
*bx (t, Xt" )a(t, Xt" ) dt +
+ ! "bx (t, Xt! )b(t, Xt! )U # t
!
$
%&
'
()
$
%&
'
()
* # t
!
$
%&
'
()
$
%&
'
()
+ # t
!
$
%&
'
()
$
%&
'
()
dW! (t) ,
ПЕРЕМЕШИВАНИЕ „ПО ИБРАГИМОВУ”. ОЦЕНКА СКОРОСТИ … 313
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
! "
2
d #bx (t, Xt" )b(t, Xt" )U 2 $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
+
,-
.
/0
+
+ !
2
U 2 " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
[ )bx (t, x)b(t, x) )]t (x = Xt! )dt +
+ !
2
U 2 " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
[ )bx (t, x)b(t, x) )]x (Xt! )a(t, Xt! )dt +
+ !
2
U 2 " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
[ )bx (t, x)b(t, x) )]x (x = Xt! )b(t, Xt! ) f " t
!
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
* f+
,-
.
/0
dt +
+ 1
2
!bx (t, Xt" )b(t, Xt" ) "#1 $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
+ $ t
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
dW" (t) +
+ !
2
d "bx (t, Xt! )b(t, Xt! )U1 # t
!
$
%&
'
()
$
%&
'
()
*
+,
-
./
0
! "
2
U1 # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
[ *bx (t, x)b(t, x) *]t (x = Xt" ) dt !
! "
2
U1 # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
[ *bx (t, x)b(t, x) *]x a(t, x)(x = Xt" ) dt !
! "
2
U1 # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
[ *bx (t, x)b(t, x) *]x (x = Xt" )b(t, Xt" ) f # t
"
$
%&
'
()
$
%&
'
()
! f+
,-
.
/0
dt . (63)
Из (63) следует оценка
R! (t) " ! L Kc
#
2 + T + LT( ) + L2 Kc
#
$
%&
'
()
2
1+ T + TL + 2LKT( )
*
+
,
,
+
+ Kc
!
16C 4K 2
"2
L2 1+ T + TL + 2TLK( ) #
$
% +
+ ! "bx (s, Xs! )b(s, Xs! )U # s
!
$
%&
'
()
$
%&
'
()
* # s
!
$
%&
'
()
$
%&
'
()
+ # s
!
$
%&
'
()
$
%&
'
()
dW! (s)
0
t
, +
+ ! "bx (s, Xs! )b(s, Xs! )#1 $ s
!
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
+ $ s
!
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
dW! (s)
0
t
, . (64)
В силу того, что справедливы оценки [10, с. 174]
M sup
0!t!T
"bx (s, Xs# )b(s, Xs# )U $ s
#
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
+ $ s
#
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
, $ s
#
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
dW# (s)
0
t
-
2m
!
314 Б. В. БОНДАРЕВ, С. М. КОЗЫРЬ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
! 2m
2m " 1
#
$%
&
'(
2m
m(2m " 1)
)
*
+
,
-
.
m
/
!M "bx (s, Xs# )b(s, Xs# )U $ s
#
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
+ $ s
#
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
, $ s
#
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
2
ds
0
T
-
.
/
0
0
1
2
3
3
m
4
! 2m
2m " 1
#
$%
&
'(
2m m(2m " 1)c2TL4K 3D)
2
* 2
+
,
-
.
/
0
m
,
M sup
0!t!T
"bx (s, Xs# )b(s, Xs# )$1 % s
#
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
, % s
#
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
dW# (s)
0
t
-
2m
!
! 2m
2m " 1
#
$%
&
'(
2m
m(2m " 1)
)
*
+
,
-
.
m
/
!M "bx (s, Xs# )b(s, Xs# )$1 % s
#
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
, % s
#
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
2
ds
0
T
-
.
/
0
0
1
2
3
3
m
4
! 2m
2m " 1
#
$%
&
'(
2m
m(2m " 1)T
16C 4D)
4K 3L4
*2
+
,
-
.
/
0
m
,
из (64) получаем оценку
sup
0!t!T
R" (t)
2m ! "mD(m,T , K , L) ,
где
D(m,T , K , L) = 32m!1 L Kc
"
2 + T + LT( ) + L2 Kc
"
#
$%
&
'(
2
1+ T + TL + 2LKT( )
)
*
+
+
+
,
-
.
/.
+ Kc
!
16C 4K 2
"2
L2 1+ T + TL + 2TLK( ) #
$
%
2m
+
+ 2m
2m ! 1
"
#$
%
&'
2m m(2m ! 1)c2TL4K 3D(
2
) 2
*
+
,
-
.
/
m
+
+ 2m
2m ! 1
"
#$
%
&'
2m
m(2m ! 1)T
16C 4D(
4K 3L4
)2
*
+
,
-
.
/
m 0
1
2
32
.
Вычитая из (53) равенство (57), имеем
ПЕРЕМЕШИВАНИЕ „ПО ИБРАГИМОВУ”. ОЦЕНКА СКОРОСТИ … 315
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
Yt! " Xt! = a(s,Ys! ) " a(s, Xs! ) +
#2
2
( $bx (s,Ys! )b(s,Ys! ) " $bx (s, Xs! )b(s, Xs! ))
%
&
'
(
)
*
0
t
+ ds +
! " b(s,Ys# )d !W# (s) + b(s, Xs# )$ % s
#
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
, % s
#
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
dW# (s)
-
./
0
12
+ R# (t)
0
t
3 ,
откуда
Xt! " Yt! # Xs! " Ys!
0
t
$ L + L2%2( ) ds +
+ b(s, Xs! ) " b(s,Ys! )#$ %& ' ( s
!
)
*+
,
-.
)
*+
,
-.
/ ( s
!
)
*+
,
-.
)
*+
,
-.
dW! (s)
0
t
0 +
+ sup
0!t!T
R" (t) + b(s,Ys" ) # $ %
"
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
, $ %
"
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
dW" (%) + -d !W" (t)
.
/0
1
230
t
4 .
Заметим, что имеет место представление
!" t( ) = b(s,Ys" ) # $ s
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
+ $ s
"
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
dW" (s) + ,d !W" (s)
-
./
0
120
t
3 = b(s,Ys" )d4" (s)
0
t
3 ,
где
!" t( ) = # $ %
"
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
, $ %
"
&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
dW" (%) + - !W" (t)
0
t
.
— квадратично интегрируемый мартингал с характеристикой !"# , "# $t .
Тогда
sup
0!"!t
Xt# $ Yt# ! L sup
0!"!s
X"
# $ Y"#
0
t
% (1+ KD&
2 L) ds +
+ sup
0!"!t
b(s, Xs# ) $ b(s,Ys# )%& '( ) * s
#
+
,-
.
/0
+
,-
.
/0
1 * s
#
+
,-
.
/0
+
,-
.
/0
dW# (s)
0
t
2 +
+ sup
0!t!T
R" (t) + sup
0!t!T
b(s,Ys" ) d#" (s)
0
t
$ . (65)
Характеристика квадратично интегрируемого мартингала !" (t) очевидно (см. [10,
с. 148], теорема 5) будет иметь вид
!"# , "# $t = b2 (s,Ys# )d!%# , %# $s
0
t
& ' L2 !%# , %# $T , 0 ' t ' T . (66)
Отсюда, используя оценку для моментов супремума стохастического интеграла
316 Б. В. БОНДАРЕВ, С. М. КОЗЫРЬ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
Ито [10, с. 174], с учетом (66) получаем оценку
M sup
0!t!T
b(s,Ys" ) d#" s( )
0
t
$
2m
!
! 2m 2m " 1( )
2
2m
2m " 1
#
$%
&
'(
2m)
*
+
,
-
.
m
M b2 (s,Ys/ )d 0/ , 0/ s
0
T
1
#
$
%
%
&
'
(
(
m
=
! 2m 2m " 1( )
2
e2#
$%
&
'(
m
M b2 (s,Ys) ) d *) , *) s
0
T
+
,
-
.
.
/
0
1
1
m
!
! 2m 2m " 1( )
2
2m
2m " 1
#
$%
&
'(
2m)
*
+
,
-
.
m
L2m M /0 , /0 T
#
$
&
'
m
!
! 2m 2m " 1( )
2
2m
2m " 1
#
$%
&
'(
2m)
*
+
,
-
.
m
L2m 4m( )m M sup
0!t!T
/0 (t)
2m . (67)
Здесь использована оценка M[!"# , "# $T ]m % (4m)m M sup
0%t%T
"# (t)
2m (см. [11,
с. 118]).
Из (65) с учетом (66) и (67) получаем
M sup
0!s!t
Xs" # Ys"
2m
!!!!!32m#1 L2m (1+ KLD$
2 )2mT 2m#1%
&'
(
)
*
+
+ KmL2mD!
2m 2m
2m " 1
#
$%
&
'(
2m
m 2m " 1[ ]
)
*
+
,
-
.
m
T m"1 &
'
(
(
/
! M sup
0"#"s
X#
$ % Y#$
2m
0
t
& ds + $mD(m,T , K , L) +
+ 2m
2m ! 1
"
#$
%
&'
2m
m[2m ! 1]L2
(
)
*
+
,
-
m
M ./0 , /0 1T[ ]m
2
3
4
54
6
! 32m"1 L2m (1+ KLD#
2 )2mT 2m"1$
%&
+
'
(
)
*)
+ KmL2mD!
2m 2m
2m " 1
#
$%
&
'(
2m
m[2m " 1]
)
*
+
,
-
.
m
T m"1
&
'
(
(
/
! M sup
0"#"s
X#
$ % Y#$
2m
0
t
& ds + $m 32m%1D(m,T , K , L) +
ПЕРЕМЕШИВАНИЕ „ПО ИБРАГИМОВУ”. ОЦЕНКА СКОРОСТИ … 317
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
+ !"
2m 32m#1 2m
2m # 1
$
%&
'
()
2m
m[2m # 1]L2 4m
*
+
,
-
.
/
m 0
1
2
32
, (68)
где
!"
2m = M sup
0#t#T
$ % &
"
'
()
*
+,
'
()
*
+,
- % &
"
'
()
*
+,
'
()
*
+,
dW" (&) + . !W" (s)
0
t
/
0
1
2
2
3
4
5
5
2m
.
Воспользовавшись оценкой из следствия 3 работы [1], запишем неравенство
(68) в виде
M sup
0!s!t
Xs" # Ys"
2m
! D3(m,T , K ) sup
0!$!s
X$
" # Y$"
2m
0
t
% ds +
+max !" + " 4cK
#
$
%&
'
()
2m
, # " , "m
$
%
&
'
(
) *
! 32m"1D(m,T , K , L) + D1(m,T , K )D2 (m,T , K , L)#$ %& . (69)
Из неравенства (69) и леммы Гронуолла следует утверждение теоремы 4.
6. Выводы. На практике уравнения Ито, как правило, появляются в резуль-
тате предельного перехода в системах, подверженных воздействию „физического”
белого шума, зависящего от параметра. Удалось заметить, что 1-периодическая
дважды непрерывно дифференцируемая ограниченная функция от решения
диффузионного уравнения с 1-периодическими коэффициентами, имеющими про-
изводные, которые удовлетворяют условию Гельдера, с отделенным от нуля коэф-
фициентом диффузии, будет процессом, удовлетворяющим условию равномерного
сильного перемешивания с экспоненциально быстрой скоростью перемешивания,
что значительно пополняет класс известных процессов, перемешивающихся по
„Ибрагимову”! Использовав эти факты, удалось установить оценку скорости схо-
димости в соответствующем принципе инвариантности, что позволило построить
оценку скорости сближения решений предельной и допредельной систем в „силь-
ной” метрике, причем коэффициент при случайном возмущении не обязательно
должен быть отделенным от нуля! Эти оценки могут быть полезны при решении
многих практически важных задач, например при изучении свойств оценок неиз-
вестных параметров, входящих в коэффициенты допредельного уравнения, при на-
хождении ! -достаточных управлений допредельной системой и других.
1. Бондарев Б. В., Козырь С. М. Перемешивание „по Ибрагимову”. Оценка скорости сближения се-
мейства интегральных функционалов от решения дифференциального уравнения с периодиче-
скими коэффициентами с семейством винеровских процессов. Некоторые приложения. I // Укр.
мат. журн. – 2010. – 62, № 6. – С. 733 – 753.
2. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Мартингалы и предельные теоремы для случайных процессов // Ито-
ги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундам. направления. –1989. – 45. – С. 159 –
251.
3. Скороход А. В. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений.
– Киев: Наук. думка, 1987. – 328 с.
318 Б. В. БОНДАРЕВ, С. М. КОЗЫРЬ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
4. Bondarev Boris V., Zoobko Maxim L. The application of the invariance principle for stationary
sequences with mixing // Прикл. статистика. Актуарна та фінансова математика. – 2001. – № 1. –
С. 49 – 59.
5. Бондарев Б. В., Козырь С. М. Об оценке скорости сближения решения обыкновенного дифферен-
циального уравнения, возмущенного физическим белым шумом, и решения соответствующего
уравнения Ито. I // Тм же. – 2006. – № 2. – С. 63 – 91.
6. Бондарев Б. В., Козырь С. М. Об оценке скорости сближения решения обыкновенного дифферен-
циального уравнения, возмущенного физическим белым шумом, и решения соответствующего
уравнения Ито. II // Там же. – 2007. – № 1. – C. 68 – 97.
7. Бондарев Б. В., Ковтун Е. Е. Оценка скорости сближения в обыкновенных дифференциальных
уравнениях, находящихся под воздействием случайных процессов с быстрым временем // Укр. мат.
журн. – 2005. – 57, № 4. – C. 435 – 457.
8. Бондарев Б. В., Ковтун Е. .Е. Принцип инвариантности для стационарных процессов. Оценка ско-
рости сходимости // Вісн. Донец. ун-ту. Природничі науки. – 2004. – № 1. – С. 31 – 55.
9. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. – Киев: Наук. дум-
ка, 1968. – 354 с.
10. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 1982. – 612 с.
11. Ватанабэ С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процес-
сы. – М.: Наука, 1986. – 448 с.
Получено 24.10.08,
после доработки — 21.12.10
|
| id | umjimathkievua-article-2718 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:59Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/23/df8d7761da0b403ff83e682eea126a23.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27182020-03-18T19:34:39Z Intermixing “according to Ibragimov”. Estimate for rate of approach of family of integral functionals of solution of differential equation with periodic coefficients to family of the Wiener processes. Some applications. II Перемешивание „по Ибрагимову”. Оценка скорости сближения семейства интегральных функционалов от решения дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами с семейством винеровских процессов. Некоторые приложения. II Bondarev, B. V. Kozyr', S. M. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. In the first part of this work, we obtain estimates for the rate of approach of integrals of a family of "physical" white noises to a family of the Wiener processes. By using this result, we establish an estimate for the rate of approach of a family of solutions of ordinary differential equations, disturbed by some physical white noises, to a family of solutions of the corresponding Ito equations. We consider the case where the coefficient of random disturbance is separated from zero as well as the case where it is not separated from zero. На підставі отриманих у першій частині роботи оцінок швидкості зближення інтегралів від сім’ї „фізичних” білих шумів з сім’єю вінерівських процесів встановлено оцінку швидкості зближення сім’ї розв’язків звичайних диференційних рівнянь, збурених деякими „фізичними” білими шумами, з сім’єю розв’язків відповідних рівнянь Іто. Розглянуто як випадок відокремленого від нуля коефіцієнта при випадковому збуренні, так і випадок не відокремленого від нуля коефіцієнта. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2718 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 3 (2011); 303-318 Український математичний журнал; Том 63 № 3 (2011); 303-318 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2718/2192 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2718/2193 Copyright (c) 2011 Bondarev B. V.; Kozyr' S. M. |
| spellingShingle | Bondarev, B. V. Kozyr', S. M. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. Intermixing “according to Ibragimov”. Estimate for rate of approach of family of integral functionals of solution of differential equation with periodic coefficients to family of the Wiener processes. Some applications. II |
| title | Intermixing “according to Ibragimov”. Estimate for rate of
approach of family of integral functionals of solution of differential equation with
periodic coefficients to family of the Wiener processes. Some applications. II |
| title_alt | Перемешивание „по Ибрагимову”. Оценка скорости сближения семейства интегральных функционалов от решения дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами с семейством винеровских процессов. Некоторые приложения. II |
| title_full | Intermixing “according to Ibragimov”. Estimate for rate of
approach of family of integral functionals of solution of differential equation with
periodic coefficients to family of the Wiener processes. Some applications. II |
| title_fullStr | Intermixing “according to Ibragimov”. Estimate for rate of
approach of family of integral functionals of solution of differential equation with
periodic coefficients to family of the Wiener processes. Some applications. II |
| title_full_unstemmed | Intermixing “according to Ibragimov”. Estimate for rate of
approach of family of integral functionals of solution of differential equation with
periodic coefficients to family of the Wiener processes. Some applications. II |
| title_short | Intermixing “according to Ibragimov”. Estimate for rate of
approach of family of integral functionals of solution of differential equation with
periodic coefficients to family of the Wiener processes. Some applications. II |
| title_sort | intermixing “according to ibragimov”. estimate for rate of
approach of family of integral functionals of solution of differential equation with
periodic coefficients to family of the wiener processes. some applications. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2718 |
| work_keys_str_mv | AT bondarevbv intermixingaccordingtoibragimovestimateforrateofapproachoffamilyofintegralfunctionalsofsolutionofdifferentialequationwithperiodiccoefficientstofamilyofthewienerprocessessomeapplicationsii AT kozyr039sm intermixingaccordingtoibragimovestimateforrateofapproachoffamilyofintegralfunctionalsofsolutionofdifferentialequationwithperiodiccoefficientstofamilyofthewienerprocessessomeapplicationsii AT bondarevbv intermixingaccordingtoibragimovestimateforrateofapproachoffamilyofintegralfunctionalsofsolutionofdifferentialequationwithperiodiccoefficientstofamilyofthewienerprocessessomeapplicationsii AT kozyrʹsm intermixingaccordingtoibragimovestimateforrateofapproachoffamilyofintegralfunctionalsofsolutionofdifferentialequationwithperiodiccoefficientstofamilyofthewienerprocessessomeapplicationsii AT bondarevbv intermixingaccordingtoibragimovestimateforrateofapproachoffamilyofintegralfunctionalsofsolutionofdifferentialequationwithperiodiccoefficientstofamilyofthewienerprocessessomeapplicationsii AT kozyrʹsm intermixingaccordingtoibragimovestimateforrateofapproachoffamilyofintegralfunctionalsofsolutionofdifferentialequationwithperiodiccoefficientstofamilyofthewienerprocessessomeapplicationsii AT bondarevbv peremešivaniepoibragimovuocenkaskorostisbliženiâsemejstvaintegralʹnyhfunkcionalovotrešeniâdifferencialʹnogouravneniâsperiodičeskimikoéfficientamissemejstvomvinerovskihprocessovnekotoryepriloženiâii AT kozyr039sm peremešivaniepoibragimovuocenkaskorostisbliženiâsemejstvaintegralʹnyhfunkcionalovotrešeniâdifferencialʹnogouravneniâsperiodičeskimikoéfficientamissemejstvomvinerovskihprocessovnekotoryepriloženiâii AT bondarevbv peremešivaniepoibragimovuocenkaskorostisbliženiâsemejstvaintegralʹnyhfunkcionalovotrešeniâdifferencialʹnogouravneniâsperiodičeskimikoéfficientamissemejstvomvinerovskihprocessovnekotoryepriloženiâii AT kozyrʹsm peremešivaniepoibragimovuocenkaskorostisbliženiâsemejstvaintegralʹnyhfunkcionalovotrešeniâdifferencialʹnogouravneniâsperiodičeskimikoéfficientamissemejstvomvinerovskihprocessovnekotoryepriloženiâii AT bondarevbv peremešivaniepoibragimovuocenkaskorostisbliženiâsemejstvaintegralʹnyhfunkcionalovotrešeniâdifferencialʹnogouravneniâsperiodičeskimikoéfficientamissemejstvomvinerovskihprocessovnekotoryepriloženiâii AT kozyrʹsm peremešivaniepoibragimovuocenkaskorostisbliženiâsemejstvaintegralʹnyhfunkcionalovotrešeniâdifferencialʹnogouravneniâsperiodičeskimikoéfficientamissemejstvomvinerovskihprocessovnekotoryepriloženiâii |