On the theory of convergence and compactness for Beltrami equations
The convergence and compactness theorems are proved for classes of regular solutions of the Beltrami degenerate equations with restrictions of integral type on the dilatation.
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2720 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508674971140096 |
|---|---|
| author | Lomako, T.V. Ломако, Т. В. Ломако, Т. В. |
| author_facet | Lomako, T.V. Ломако, Т. В. Ломако, Т. В. |
| author_sort | Lomako, T.V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:39Z |
| description | The convergence and compactness theorems are proved for classes of regular solutions of the Beltrami degenerate equations with restrictions of integral type on the dilatation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:28:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Т. В. Ломако (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
К ТЕОРИИ СХОДИМОСТИ И КОМПАКТНОСТИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ
The convergence and compactness theorems are proved for classes of regular solutions of the Beltrami
degenerate equations with restrictions of integral type on the dilatation.
Доведено теореми збiжностi та компактностi класiв регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бель-
трамi з обмеженнями iнтегрального типу на дилатацiю.
1. Введение. В данной работе рассмотрены отображения класса Соболева W 1, 1
loc
(см., например, [1, с. 11]) с ограничениями на дилатацию интегрального типа.
Различные классы отображений, квазиконформных в среднем, изучались во мно-
гих работах (см., например, ссылки в работе [2, с. 238]). Некоторые из них по-
священы вопросам компактности и сходимости таких классов. Одним из важных
приложений теорем компактности является теория вариационного метода. Дело в
том, что в секвенциально компактных классах всегда гарантируется существование
экстремальных отображений для любых непрерывных, в том числе нелинейных,
функционалов. Кроме того, как правило, в компактных классах удается показать
выпуклость множества комплексных характеристик, что значительно упрощает по-
строение вариаций.
Пусть D – область в комплексной плоскости C, т. е. связное открытое подмно-
жество C. Уравнениями Бельтрами называются уравнения вида
fz = µ(z) · fz, (1)
где µ(z) : D → C — измеримая функция с |µ(z)| < 1 почти всюду, fz = ∂f =
= (fx + ify) /2, fz = ∂f = (fx − ify) /2, z = x+ iy, fx и fy — частные производ-
ные отображения f по x и y соответственно. Функция µ называется комплексным
коэффициентом, а
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)|
— максимальной дилатацией или просто дилатацией уравнения (1). Уравнение
Бельтрами (1) называется вырожденным, если ess supKµ(z) =∞. В данной рабо-
те доказаны теоремы сходимости и компактности классов решений вырожденных
уравнений Бельтрами. Отметим, что под локально равномерной сходимостью ото-
бражений в C будем понимать равномерную сходимость на компактах относитель-
но сферической метрики.
Точка дифференцируемости называется регулярной точкой отображения f, если
его якобиан в этой точке отличен от нуля:
Jf (z) = |fz|2 − |fz|2 6= 0 . (2)
Как известно, необходимым и достаточным условием того, чтобы гомеоморфизм,
имеющий хотя бы одну регулярную точку, сохранял ориентацию, является поло-
жительность якобиана во всех регулярных точках (см., например, [3, с. 10]).
Обозначим через Df(z) дифференциал функции f : D → C в точке z:
c© Т. В. ЛОМАКО, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3 341
342 Т. В. ЛОМАКО
Df(z) · h := fz · h+ fz · h, h ∈ C.
Тогда
|Df(z)| := sup
|h|=1
{|Df(z) · h|} = |fz|+ |fz|.
Заметим, что в регулярных точках гомеоморфного решения уравнения Бельтрами
Kµ(z) =
|Df(z)|2
Jf (z)
=
Jf (z)
l (Df(z))
2 ,
где l (Df(z)) := inf
|h|=1
|Df(z) · h| = |fz| − |fz|.
Под регулярным решением уравнения Бельтрами (1) в области D будем пони-
мать гомеоморфизм f из пространства Соболева W 1, 1
loc (D), частные производные
которого удовлетворяют (1) и (2) почти всюду в D. Понятие регулярного решения
впервые введено в работе [4]. Напомним, что по теореме Меньшова (см. [5], а также
теорему 42.3 в [6], ср. с теоремой III.3.1 в [3]) любой гомеоморфизм на плоскости,
имеющий почти всюду частные производные, является дифференцируемым почти
всюду.
Пусть f : D → C — непрерывная функция. Говорят, что f имеет (N)-свойство
по Лузину, если для любого E ⊂ D: |E| = 0 ⇒ |f(E)| = 0 . Здесь и далее |E|
обозначает меру Лебега множества E ⊂ C. Говорят, что функция f имеет
(
N−1
)
-
свойство, если для любого E ⊂ C: |E| = 0⇒
∣∣f−1(E)
∣∣ = 0 .
Всюду далее S(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| = r}, B(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| <
< r}, A(z0, r1, r2) = {z ∈ C : r1 < |z − z0| < r2}, dist (E, F ) — евклидово рас-
стояние между множествами E и F в C. Обозначим через h сферическое (хордаль-
ное) расстояние между точками z1 и z2 в C: h(z1, ∞) =
1√
1 + |z1|2
, h(z1, z2) =
=
|z1 − z2|√
1 + |z1|2
√
1 + |z2|2
, z1, z2 6= ∞. Элемент сферической площади в C имеет
вид dS(z) =
(
1 + |z|2
)−2
dxdy. Сферическим диаметром множества E в C на-
зывается величина h(E) = supz1, z2∈E h(z1, z2). Пусть E, F ⊆ C — произвольные
множества. Обозначим через ∆(E, F, D) семейство всех кривых γ : [a, b] → C,
которые соединяют E и F в D, т. е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b).
Напомним, что борелева функция ρ : C → [0,∞] называется допустимой для
семейства кривых Γ в C (пишут ρ ∈ adm Γ), если∫
γ
ρ(z) |dz| ≥ 1
для всех γ ∈ Γ. Модуль семейства кривых Γ определяется равенством
M(Γ) = inf
ρ∈adm Γ
∫
D
ρ2(z) dxdy.
Следующее понятие мотивировано кольцевым определением квазиконформнос-
ти по Герингу и тесно связано с решением вырожденных уравнений типа Бельтрами
на плоскости (см. [2]). Пусть Q : D → [0, ∞] – измеримая по Лебегу функция.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
К ТЕОРИИ СХОДИМОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 343
Говорят, что гомеоморфизм f : D → C является кольцевым Q-гомеоморфизмом в
точке z0 ∈ D, если соотношение
M(∆(fS1, fS2, fD)) ≤
∫
A
Q(z) η2(|z − z0|) dxdy (3)
выполнено для любого кольца A = A(z0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < d0 = dist(z0, ∂D),
окружностей Si = S(z0, ri), i = 1, 2, и для каждой измеримой функции η :
(r1, r2)→ [0, ∞] такой, что
∫ r2
r1
η(r) dr = 1.
2. Теоремы сходимости. Функция Φ : R+ → R+ называется строго выпуклой,
если она является выпуклой, неубывающей и
lim
t→∞
Φ(t)
t
=∞ (4)
(см., например, [7, с. 37]). В дальнейшем непрерывность функции Φ понимается
относительно топологии R+ = [0, ∞].
Следующий результат является обобщением теоремы 1 в [8].
Лемма 1. Пусть f, fn : D → C — сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы
класса СоболеваW 1, 1
loc и fn → f при n→∞ локально равномерно. Тогда для любого
открытого множества Ω ⊂ D имеет место неравенство∫
Ω
Φ (Kµ(z)) Ψ(z) dxdy ≤ lim inf
n→∞
∫
Ω
Φ (Kµn(z)) Ψ(z) dxdy (5)
для любой непрерывной строго выпуклой функции Φ: [1,∞] → R+ и равномерно
непрерывной функции Ψ(z) : C→ R такой, что 1/Ψ(z) локально ограничено в C.
Доказательство. В силу леммы 1 в [8] и счетной аддитивности интеграла
утверждение достаточно доказать для ограниченных множеств Ω. Тогда Ψ(z) ≥
≥ C > 0 для всех z ∈ Ω.
Пусть K(z, h) ⊂ Ω — квадрат с центром в точке z и длиной стороны h. Из
равномерной непрерывности Ψ(z) следует, что для каждого ε > 0 существует
такое δ(ε) > 0, что для любых z, z′ ∈ Ω из того, что z ∈ K(z′, h) < δ(ε), следует
неравенство |Ψ(z)−Ψ(z′)| < ε.
Система квадратов K(z, h), z ∈ Ω, h < δ(ε), образует покрытие множества
Ω в смысле Витали и по теореме Витали (см., например, теорему IV.3.1 в [9])
можно выбрать не более чем счетную последовательность непересекающихся квад-
ратов Em = K(zm, hm) ⊆ Ω, m = 1, 2, . . . , из указанного покрытия такую, что
|Ω\ ∪ Em| = 0.
Согласно теореме 1 в [8] при ε < C получаем∫
Em
Φ (Kµ(ζ)) Ψ(ζ) dξdη ≤
≤ (Ψ(zm)− ε)
∫
Em
Φ (Kµ(ζ)) dξdη + 2ε
∫
Em
Φ (Kµ(ζ)) dξdη ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
344 Т. В. ЛОМАКО
≤ (Ψ(zm)− ε) lim inf
n→∞
∫
Em
Φ (Kµn(ζ)) dξdη + 2ε
∫
Em
Φ (Kµ(ζ)) dξdη ≤
≤ lim inf
n→∞
∫
Em
Φ (Kµn(ζ)) Ψ(ζ) dξdη + 2ε
∫
Em
Φ (Kµ(ζ)) dξdη,
где ζ = ξ + iη. Из последнего неравенства, согласно счетной аддитивности инте-
грала (см., например, теорему I.12.7 в [9]) и лемме 1 в [8] имеем∫
Ω
Φ (Kµ(z)) (Ψ(z)− 2ε) dxdy ≤ lim inf
n→∞
∫
Ω
Φ (Kµn(z)) Ψ(z) dxdy,
откуда в силу произвольного выбора ε получаем неравенство (5).
Лемма доказана.
В дальнейшем мы используем функцию множества M(Ω), заданную на произ-
вольных открытых множествах Ω в C, которую всегда можно доопределить (и
переопределить) на произвольных множествах E в C, положив
M∗(E) = inf
Ω⊇E
M(Ω) . (6)
Заметим, что функция множества M∗(E) является монотонной по включению и
полунепрерывной справа, т. е. если E =
⋂
En, то
M∗(E) ≤ lim inf
n→∞
M∗(En) (7)
и существует такая последовательность (открытых) множеств Ωn ⊇ E, для которой
M∗(E) = lim
n→∞
M∗(Ωn) = lim
n→∞
M(Ωn). (8)
Таким образом, произвольная функция M(Ω) открытого множества Ω в C допус-
кает регулярную замену M∗ со свойствами (6) – (8).
Теорема 1. Пусть fn : D → C — последовательность регулярных решений
уравнения Бельтрами с комплексными коэффициентами µn. Предположим, что
для каждого открытого множества Ω ⊂ D и некоторой локально конечной функ-
ции множества M(Ω) ∫
Ω
Φ (Kµn(z)) dS(z) ≤M(Ω), (9)
где Φ: R+ → R+ — непрерывная строго выпуклая функция.
Если fn → f равномерно на каждом компактном множестве в D, где f : D →
→ C — гомеоморфизм, то f является регулярным решением уравнения (1) с комп-
лексным коэффициентом µ таким, что∫
Ω
Φ (Kµ(z)) dS(z) ≤M(Ω) (10)
для любого открытого множества Ω ⊂ D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
К ТЕОРИИ СХОДИМОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 345
Отметим, что согласно определению (6)∫
E
Φ (Kµn(z)) dS(z) ≤M∗(E) (11)
и ∫
E
Φ (Kµ(z)) dS(z) ≤M∗(E) (12)
для любого измеримого множества E ⊆ D.
Доказательство. Покажем, что предельная функция f последовательности fn
принадлежит классу W 1, 1
loc (D). Согласно лемме 2.1 в [10] для доказательства этого
факта достаточно показать, что ∂fn и ∂fn равностепенно ограничены в L1
loc и име-
ют локально равностепенно абсолютно непрерывные неопределенные интегралы.
Итак, пусть C — произвольное компактное множество в D и V — открытое
множество с компактным замыканием V в D такое, что C ⊂ V, например V =
= {z ∈ D : dist(z, C) < r}, где r < dist(C, ∂D). Заметим далее, что почти всюду
|∂fn| ≤ |∂fn| ≤ |∂fn|+ |∂fn| = K1/2
µn (z) · J1/2
fn
(z).
Следовательно, согласно неравенству Гельдера и лемме III.3.3 в [3]
∫
E
|∂fn| dxdy ≤
∣∣∣∣∣∣
∫
E
Kµn(z) dxdy
∣∣∣∣∣∣
1/2
|fn(C)|1/2
для любого измеримого множества E ⊆ C. Отсюда, поскольку fn сходится к f
равномерно на C, получаем
∫
E
|∂fn| dxdy ≤
∣∣∣∣∣∣
∫
E
Kµn(z) dxdy
∣∣∣∣∣∣
1/2
|f(V )|1/2 (13)
для всех достаточно больших n. Заметим, что условие (9) по теореме 3.1.2 в [7]
влечет равностепенную ограниченность Kµn в L1
loc и равностепенную абсолют-
ную непрерывность неопределенных интегралов
∫
Kµn dxdy. Таким образом из
(13) получаем, что
∂fn
∂x
,
∂fn
∂y
равностепенно ограничены в L1
loc и имеют локаль-
но равностепенно абсолютно непрерывные неопределенные интегралы. Согласно
лемме 2.1 в [10] f принадлежит W 1, 1
loc (D).
Заметим, что из локально равномерной сходимости fn → f последовательности
fn следует локально равномерная сходимость f−1
n → f−1 (см., например, лемму 3.1
в [11]).
Поскольку fn принадлежит W 1, 1
loc (D) и Jfn(z) > 0 почти всюду, то f−1
n ∈
∈ W 1, 2
loc (fn(D)) (см. теоремы 1.1 и 1.3 в [12]).
Аналогично (3.11) и (3.12) в [12] для произвольного измеримого множества
E ⊂ D имеем ∫
fn(E)
|Df−1
n (w)|2 dudv ≤
∫
E
Kµn(z) dxdy, (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
346 Т. В. ЛОМАКО
где w = u + iv. Из (14) получаем, что нормы ‖f−1
n ‖ равностепенно ограничены в
W 1, 2
loc (f(D)) и, следовательно, f−1 ∈W 1, 2
loc (f(D)) (см. теорему III.3.5 в [1], а также
теорему 1 в [13]). Тогда отображение f имеет
(
N−1
)
-свойство (см. теорему III.6.1
в [3]) и Jf 6= 0 почти всюду в D (см. теорему 1 в [14]).
Соотношение (10) следует из леммы 1.
Теорема доказана.
3. Теорема нормальности. Пусть D — область в C, Φ: R+ → R+ — не-
убывающая выпуклая функция, M(Ω) — произвольная функция открытого мно-
жества Ω в D, а ∆ > 0. Обозначим через FMΦ,∆ класс всех регулярных решений
f : D → C уравнения Бельтрами (1) с комплексными коэффициентами µ таких, что
h
(
C \ f(D)
)
≥ ∆ и ∫
Ω
Φ (Kµ(z)) dS(z) ≤M(Ω) (15)
для любого открытого множества Ω в D.
Семейство F непрерывных отображений из C в C называется нормальным,
если каждая последовательность отображений fn из F имеет подпоследователь-
ность fnk , которая сходится к непрерывному отображению f : C→ C равномерно
на каждом компактном множестве K ⊂ C. Нормальность тесно связана со следу-
ющим понятием. Семейство F отображений f : C→ C называется равностепенно
непрерывным в точке z0 ∈ C, если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что
h (f(z), f(z0)) < ε для всех f ∈ F и z ∈ C с |z − z0| < δ. Семейство F называется
равностепенно непрерывным, если F равностепенно непрерывно в каждой точке
z0 ∈ C.
Для каждой неубывающей функции Φ: R+ → R+ обратную функцию Φ−1 :
R+ → R+ можно корректно определить следующим образом:
Φ−1(τ) = inf
Φ(t)≥τ
t.
Здесь инфимум равен ∞, если множество элементов t ∈ R+ таких, что Φ(t) ≥ τ,
пусто. Заметим, что функция Φ−1 также неубывающая.
Теорема 2. Пусть функция Φ такая, что
∞∫
δ
dτ
τΦ−1(τ)
=∞ (16)
при некотором δ > Φ(0). Тогда класс FMΦ,∆ образует нормальное семейство для
любого ∆ > 0 и любой локально конечной функции множества M(Ω).
Доказательство. Пусть f — отображение из класса FMΦ,∆. Без ограничения
общности будем считать, что Φ(0) > 0. Отображение f является регулярным и,
следовательно, кольцевым Q-гомеоморфизмом с Q(z) = Kµ(z), µ = µf во всех
точках области D (см. следствие 3.1 в [15], а также лемму 20.9.1 в [16]).
Согласно критерию Арцела – Асколи (см. п. 20.4 в [17]) достаточно показать,
что отображение из FMΦ,∆ равностепенно непрерывно в каждой точке z0 ∈ D. Из
теоремы 7.3 в [2] следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
К ТЕОРИИ СХОДИМОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 347
h (f(z), f(z0)) ≤ 32
∆
exp
−
ρ∫
|z−z0|
dr
rkz0(r)
(17)
для любого z ∈ B(z0, ρ) и ρ = ρ(z0) < dist (z0, ∂D) такого, что M(B(z0, ρ)) <∞,
где kz0(r) – среднее значение Kµ(z) по окружности |ζ − z0| = r. После замены
t = r/ρ интеграл справа в (17) оценивается следующим образом (см. лемму 3.1
в [18]):
ρ∫
|z−z0|
dr
rkz0(r)
=
1∫
ε
dt
tk(t)
≥ 1
2
P (ε)/ε2∫
eP (ε)
dτ
τΦ−1(τ)
,
где ε = |z − z0|/ρ, k(t) = kz0(ρt) и
P (ε) =
1
2πρ2 (1− ε2)
∫
R
Φ (Kµ(ζ)) dξ dη.
Здесь R = {ζ ∈ C : |z − z0| < |ζ − z0| < ρ} — кольцо с центром в z0, ζ = ξ + iη.
Отметим, что
P (ε) ≤ β(z0)
2π (1− ε2)
∫
R
Φ (Kµ(ζ))
dξ dη
(1 + |ζ|2)
2 .
где β(z0) = (1 + (ρ(z0) + |z0|)2)2/ρ2(z0), так как |ζ| ≤ |ζ − z0|+ |z0| ≤ ρ(z0) + |z0|
при ζ ∈ R. Таким образом,
Φ(0) ≤ P (ε) ≤ β(z0)
π
M(R),
если ε ≤ 1/
√
2 и, в частности, если ε ≤ 1/2. Следовательно,
h (f(z), f(z0)) ≤ 32
∆
exp
−
1
2
Φ(0)ρ2(z0)
|z−z0|2∫
β(z0)M(R)
dτ
τΦ−1(r)
(18)
для всех z таких, что |z − z0| < ρ(z0)/2. Значит, отображения f ∈ FMΦ,∆ равносте-
пенно непрерывны в точке z0.
Теорема доказана.
4. Теорема компактности. Имеет место следующее утверждение.
Лемма 2. Пусть функция Φ: R+ → R+ удовлетворяет условию (16), M(Ω)
— локально конечная функция открытого множества Ω в D ⊆ C. Если fn —
последовательность регулярных решений уравнения Бельтрами, удовлетворяющих
условию (15), такая, что fn(z1) = z1, fn(z2) = z2 и fn → f равномерно на каждом
компактном подмножестве в D, то предельное отображение f — гомеоморфизм.
Доказательство. Возьмем точку z0 ∈ D и для 0 < r1 < r2 < d0 = dist(z0, ∂D)
положим A = A(z0, r1, r2). В силу условия (15) по теореме 3.1.2 в [7] найдется
число ΨA <∞ такое, что ∫
A
Kµn(z) dxdy ≤ ΨA, (19)
так как Φ: R+ → R+ — строго выпуклая функция.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
348 Т. В. ЛОМАКО
Отображение fn является регулярным и, следовательно, кольцевым Q-гомео-
морфизмом с Q(z) = Kµn(z), µn = µfn во всех точках области D (см. следствие
3.1 в [15], а также лемму 20.9.1 в [16]). По лемме 7.3 в [2] получаем
2π
M (∆ (fnS1, fnS2, fnA))
≥
r2∫
r1
dr
rkz0, n(r)
, (20)
где kz0,n(r) — среднее значение Kµn(z) по окружности |z − z0| = r, Sj = S(z0,
rj), j = 1, 2.
Найдется измеримое подмножество X множества [r1, r2] меры (r2 − r1)/2, на
котором
2π∫
0
Kµn
(
z0 + reiϕ
)
dϕ ≤ 8ΨA
(r2 − r1) (r2 + 3r1)
.
В противном случае имеем
r2∫
r1
2π∫
0
Kµn
(
z0 + reiϕ
)
dϕrdr >
8ΨA
(r2 − r1) (r2 + 3r1)
(r2+r1)/2∫
r1
r dr = ΨA,
что противоречит (19).
Следовательно, для любого A найдется q, определенное ниже, такое, что для
всех n
2π
M (∆ (fnS1, fnS2, fnA))
≥ π
∫
X
dr/r
2π∫
0
Kµn (z0 + reiϕ) dϕ
≥
≥ π (r2 + 3r1) (r2 − r1)
8ΨA
r2∫
(r1+r2)/2
dr
r
= q > 0.
Поэтому по лемме 1 в [19] f(z) — гомеоморфизм.
Лемма 2 доказана.
Пусть Φ: R+ → R+ — неубывающая выпуклая функция, а M(Ω) — функция
открытого множества Ω в C. Обозначим через FMΦ класс всех регулярных решений
f : C → C уравнения Бельтрами (1) с комплексными коэффициентами µ такими,
что ∫
Ω
Φ (Kµ(z)) dS(z) ≤M(Ω), (21)
и нормировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) =∞.
Комбинируя теоремы 1 и 2, а также лемму 2, получаем следующую теорему.
Теорема 3. Пусть функция Φ: R+ → R+ непрерывная строго выпуклая и
удовлетворяет условию (16), а функция M(Ω) открытого множества Ω в C огра-
ничена. Тогда класс FMΦ является компактным.
1. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск:
Наука, 1982. – 285 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
К ТЕОРИИ СХОДИМОСТИ И КОМПАКТНОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ 349
2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer,
2009. – 376 p.
3. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal mappings in the plane. – New York etc.: Springer, 1973. – 258 p.
4. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. On the Beltrami equations with two characteristics // Complex
Variables and Elliptic Equat. – 2009. – 54, № 10. – P. 935 – 950.
5. Menchoff D. Sur les differentielles totales des fonctions univalentes // Math. Ann. – 1931. – 105. –
P. 75 – 85.
6. Трохимчук Ю. Ю. Устранимые особенности аналитических функций. – Киев: Наук. думка, 1992.
– 223 с.
7. Рудин У. Теория функций в поликруге. – М.: Мир, 1974. – 160 c.
8. Рязанов В. И. О квазиконформных отображениях с ограничениями по мере // Укр. мат. журн. –
1993. – 45, № 7. – С. 1009 – 1019.
9. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Изд-во инстор. лит., 1949. – 494 c.
10. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On convergence theory for Beltrami equations // Ukr. Math. Bull.
– 2008. – 5, № 4. – P. 524 – 535.
11. Kolomoitsev Iu. S., Ryazanov V. I. Uniqueness of approximate solutions of the Beltrami equations //
Proc. Inst. Appl. Mech. Nat. Acad. Sci. Ukraine. – 2009. – 19. – P. 116 – 124.
12. Hencl S., Koskela P. Regularity of the inverse of a planar Sobolev homeomorphism // Arch. Ration.
Mech. and Anal. – 2006. – 180, № 1. – P. 75 – 95.
13. Суворов Г. Д. Семейства плоских топологических отображений – Новосибирск: Ред.-изд. совет
Сиб. отд-ния АН СССР, 1965. – 264 с.
14. Пономарев С. П. N−1-свойство отображений и условие (N ) Лузина // Мат. заметки. – 1995. – 58,
№ 3. – С. 411 – 418.
15. Salimov R. On regular homeomorphisms in the plane // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. – 2010. – 35. –
P. 285 – 289.
16. Astala K., Iwaniec T., Martin G. Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in
the plane. – Princeton Univ. Press, 2009. – 677 p.
17. Vaisala J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – Berlin etc.:
Springer, 1971. – 299. – 144 p.
18. Ryazanov V., Sevost’yanov E. Equicontinuity of mappings quasiconformal in the mean // Ann. Acad.
Sci. Fenn. Math. – 2011. – 36. – P. 231 – 244.
19. Brakalova M. A., Jenkins J. A. On solutions of the Beltrami equation // J. Anal. Math. – 1998. – 76. –
P. 67 – 92.
Получено 06.07.10,
после доработки — 06.01.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2720 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:28:58Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/65/93a7c70b4d76720b29240499f8eb2a65.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27202020-03-18T19:34:39Z On the theory of convergence and compactness for Beltrami equations K теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами Lomako, T.V. Ломако, Т. В. Ломако, Т. В. The convergence and compactness theorems are proved for classes of regular solutions of the Beltrami degenerate equations with restrictions of integral type on the dilatation. Доведено теореми збiжностi та компактностi класiв регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями iнтегрального типу на дилатацiю. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2720 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 3 (2011); 341-340 Український математичний журнал; Том 63 № 3 (2011); 341-340 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2720/2196 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2720/2197 Copyright (c) 2011 Lomako T.V. |
| spellingShingle | Lomako, T.V. Ломако, Т. В. Ломако, Т. В. On the theory of convergence and compactness for Beltrami equations |
| title | On the theory of convergence and compactness for Beltrami equations |
| title_alt | K теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами |
| title_full | On the theory of convergence and compactness for Beltrami equations |
| title_fullStr | On the theory of convergence and compactness for Beltrami equations |
| title_full_unstemmed | On the theory of convergence and compactness for Beltrami equations |
| title_short | On the theory of convergence and compactness for Beltrami equations |
| title_sort | on the theory of convergence and compactness for beltrami equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2720 |
| work_keys_str_mv | AT lomakotv onthetheoryofconvergenceandcompactnessforbeltramiequations AT lomakotv onthetheoryofconvergenceandcompactnessforbeltramiequations AT lomakotv onthetheoryofconvergenceandcompactnessforbeltramiequations AT lomakotv kteoriishodimostiikompaktnostidlâuravnenijbelʹtrami AT lomakotv kteoriishodimostiikompaktnostidlâuravnenijbelʹtrami AT lomakotv kteoriishodimostiikompaktnostidlâuravnenijbelʹtrami |