On some properties of generalized quasiisometries with unbounded characteristic
We consider a family of the open discrete mappings $f:\; D \rightarrow \overline{\mathbb{R}^n}$ that distort in a special way the $p$ -modulus of families of curves connecting the components of spherical condenser in a domain $D$ in $\mathbb{R}^n$, $p > n — 1,\;\; p < n$, and omitting...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2724 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508681750183936 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:39Z |
| description | We consider a family of the open discrete mappings $f:\; D \rightarrow \overline{\mathbb{R}^n}$ that distort in a special way the $p$ -modulus of families of curves connecting the components of spherical condenser in a domain $D$ in $\mathbb{R}^n$, $p > n — 1,\;\; p < n$, and omitting a set of positive $p$-capacity. We establish that this family is normal provided that some function realizing the control of the considered distortion of curve family has a finite mean oscillation at every point or only logarithmic singularities of the order, which is not larger than $n − 1$. We prove that, under these
conditions, an isolated singularity $x_0 \in D$ of the mapping $f : D \ \{x_0\} \rightarrow \overline{\mathbb{R}^n}$ is removable and, moreover,
the extended mapping is open and discrete. As applications we obtain analogs of the known Liouville and Sokhotski – Weierstrass theorems. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Е. А. Севостьянов (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ
КВАЗИИЗОМЕТРИЙ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
We consider a family of the open discrete mappings f : D → Rn that distort in a special way the p -modulus
of families of curves connecting the components of spherical condenser in a domain D in Rn, p > n− 1,
p < n, and omitting a set of positive p -capacity. We establish that this family is normal provided that some
function realizing the control of the considered distortion of curve family has a finite mean oscillation at every
point or only logarithmic singularities of the order, which is not larger than n− 1. We prove that, under these
conditions, an isolated singularity x0 ∈ D of the mapping f : D \ {x0} → Rn is removable and, moreover,
the extended mapping is open and discrete. As applications we obtain analogs of the known Liouville and
Sokhotski – Weierstrass theorems.
Встановлено, що сiм’я вiдкритих дискретних вiдображень f : D → Rn, якi спотворюють певним чином
p -модуль сiм’ї кривих, що з’єднують обгортки сферичного конденсатора в областi D в Rn, p > n−1,
p < n, i випускають множину позитивної p -ємностi, є нормальною сiм’єю вiдображень за умови, що
деяка дiйснозначна функцiя, яка вiдповiдає за контроль зазначеного вище спотворення сiм’ї кривих,
має скiнченне середнє коливання у кожнiй точцi або лише логарифмiчнi сингулярностi порядку, що
не перевищує n − 1. Встановлено, що за цих умов iзольована сингулярнiсть x0 ∈ D вiдображення
f : D \ {x0} → Rn є усувною, бiльш того, продовжене вiдображення є вiдкритим та дискретним. Як
застосування отримано аналоги вiдомих теорем Лiувiлля i Сохоцького – Вейєрштрасса.
1. Введение. Основная цель настоящей статьи заключается в установлении двух
важных свойств для одного класса пространственных отображений. Именно, речь
идет об устранении особенности в изолированной точке границы, а также рав-
ностепенной непрерывности (нормальности) семейств отображений, искажающих
емкости конденсаторов специальным образом. Всюду далее D — область в Rn,
n ≥ 2, m — мера Лебега в Rn, запись f : D → Rn предполагает, что отображе-
ние f, заданное в области D, непрерывно. Далее запись d(A) означает евклидов
диаметр, а m(A) — меру Лебега множества A в Rn.
Для того чтобы дать определение рассматриваемого ниже класса отображений,
необходимо привести некоторые сведения о семействах, состоящих из кривых,
а также модулях семейств кривых, играющих роль внешних мер (подробнее об
этом см. ниже). Здесь и далее кривой γ мы называем непрерывное отображение
отрезка [a, b] (открытого либо полуоткрытого интервала одного из видов (a, b),
[a, b), (a, b] ) в Rn, γ : [a, b] → Rn. Под семейством кривых Γ подразумевается
некоторый фиксированный набор кривых γ, а f(Γ) = {f ◦ γ|γ ∈ Γ} .
Следующие определения можно найти, например, в разд. 1 – 6 гл. I в [1]. Боре-
лева функция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для семейства Γ кривых γ
в Rn, если для всех кривых γ семейства Γ криволинейный интеграл первого рода∫
γ
ρ(x) |dx| по кривой γ удовлетворяет условию
∫
γ
ρ(x) |dx| ≥ 1. В этом случае
пишем ρ ∈ adm Γ. Пусть p ≥ 1, тогда p -модулем семейства кривых Γ называется
величина
Mp(Γ) = inf
ρ∈ adm Γ
∫
D
ρp(x) dm(x) (1)
(см. разд. 6 гл. I в [1]). Приведенное выше понятие модуля при p = n игра-
ет важную роль при изучении квазиконформных отображений. По-видимому, оно
c© Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3 385
386 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
впервые встречается в работах Л. Альфорса и А. Берлинга [2, 3], а также О. Лехто
и К. Виртанена (см., например, [4]). Как будет показано в настоящей работе, поня-
тие модуля весьма полезно при изучении и других классов отображений, не только
квазиконформных.
Свойства p -модуля, определенного соотношением (1), в некоторой мере анало-
гичны свойствам меры Лебега m в Rn. Именно, модуль пустого семейства кривых
равен нулю, Mp(∅) = 0, имеет свойство монотонности относительно семейств
кривых Γ1 и Γ2 : Γ1 ⊂ Γ2 ⇒ Mp(Γ1) ≤ Mp(Γ2), а также свойство полуаддитив-
ности
Mp
( ∞⋃
i=1
Γi
)
≤
∞∑
i=1
Mp(Γi) (2)
(см. теорему 6.2 в разд. 6 гл. I в [1]). Заметим также, что если Γ∞ — некоторое
семейство, состоящее из неспрямляемых кривых, то Mp(Γ∞) = 0, (см. разд. 6 гл. I
в [1, с. 18]). Упомянем еще об одном свойстве модуля. Говорят, что семейство
кривых Γ1 минорируется семейством Γ2 (пишем Γ1 > Γ2), если для каждой
кривой γ ∈ Γ1 существует подкривая, которая принадлежит семейству Γ2. В
этом случае Mp(Γ1) ≤ Mp(Γ2) (см. теорему 6.4 в разд. 6 гл. I в [1]). Заметим,
что условие p ≥ 1 здесь важно; кроме того, при 0 < p < 1 упомянутый выше p -
модуль имеет совсем другие, в некотором смысле, диаметрально противоположные
свойства, поэтому этот случай рассматривать не будем.
Пусть x0 ∈ D, r0 = dist (x0, ∂D), Q : D → [0,∞] — измеримая по Лебегу
функция,
A(r1, r2, x0) = {x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2},
S i = S(x0, ri) = {x ∈ Rn : |x− x0| = ri}.
Для произвольных множеств E, F ⊂ Rn символ Γ(E,F,D) обозначает семейство
всех кривых γ : [a, b] → Rn, которые соединяют E и F в D, т. е. γ(a) ∈ E,
γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b). Приведем теперь следующее определение.
Пусть p ≥ 1. Говорят, что f : D → Rn является кольцевым (p,Q) -отображением
в точке x0 ∈ D, если соотношение
Mp (f (Γ (S1, S2, A))) ≤
∫
A
Q(x)ηp(|x− x0|) dm(x) (3)
выполнено для любого кольца A = A(r1, r2, x0), 0 < r1 < r2 < r0, и для каждой
измеримой функции η : (r1, r2)→ [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr ≥ 1.
Изучение неравенств типа (3) при p = n восходит к Л. Альфорсу (см., например,
теорему 3 в разд. D гл. I в [3]), а также к О. Лехто и К. Виртанену (см. нера-
венство (6.6) в разд. 6.3 гл. V в [4]). По поводу подробной мотивации изучения
неравенства вида (3) см. также работы [7, 8]. Одна из распространенных моди-
фикаций соотношения (3) с показателем p, не равным n, впервые встречается в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ . . . 387
статье А. Гольберга [5]. В последней работе доказаны свойства ACL, а также диф-
ференцируемость почти всюду для гомеоморфизмов, удовлетворяющих чуть более
сильному неравенству, чем (3), при p > n− 1.
Пусть Q : D → [0,∞] — измеримая по Лебегу функция, тогда qx0
(r) обозначает
среднее интегральное значение Q(x) над сферой |x− x0| = r,
qx0
(r) :=
1
ωn−1rn−1
∫
|x−x0|=r
Q(x) dS,
где dS — элемент площади поверхности S, а ωn−1 — площадь единичной сферы
Sn−1 := S(0, 1) в Rn. Напомним, что изолированная точка x0 границы ∂D об-
ласти D называется устранимой для отображения f, если существует конечный
предел limx→x0
f(x). Если f(x) → ∞ при x → x0, точку x0 будем называть
полюсом. Изолированная точка x0 границы ∂D называется существенно особой
точкой отображения f : D → Rn, если при x→ x0 нет ни конечного, ни бесконеч-
ного предела. Пусть (X, d) и (X ′, d ′) — метрические пространства с расстоянием
d и d ′ соответственно. Семейство F непрерывных отображений f : X → X ′ на-
зывается нормальным, если из любой последовательности отображений fm ∈ F
можно выделить подпоследовательность fmk
, которая сходится локально равно-
мерно в X к непрерывной функции f : X → X ′.
Основными результатами настоящей работы являются два следующих утвер-
ждения.
Утверждение 1. Пусть D — область в Rn, n ≥ 2, E ⊂ Rn — компактное
множество положительной p -емкости, FQ — семейство открытых дискретных
отображений f : D → Rn \E, удовлетворяющих соотношению вида (3) с одним
и тем же Q в каждой точке x0 ∈ D для соответствующих r1, r2 и функций
η. Предположим, что p ∈ (n − 1, n) и функция Q имеет конечное среднее коле-
бание в каждой точке x0 ∈ D либо qx0
(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0 для
произвольного x0 ∈ D. Тогда FQ образует нормальное семейство отображений.
Утверждение 2. Пусть x0 ∈ D, f : D\{x0} → Rn — открытое дискретное
отображение, удовлетворяющее соотношению вида (3) в точке x0 для соответ-
ствующих r1, r2 и функций η. Предположим, что p ∈ (n− 1, n) и функция Q(x)
имеет конечное среднее колебание в точке x0 либо qx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при
r → 0. Если p -емкость множества Rn \ f (D \ {x0}) положительна, то отоб-
ражение f продолжимо в точку x0 по непрерывности, причем продолженное
отображение f : D → Rn открыто и дискретно.
Определения емкости, конечного среднего колебания, а также другие, исполь-
зованные нами выше, приведены далее в тексте.
2. Предварительные сведения. Известно (см., например, разд. 13 гл. II в [1]),
что в основу геометрического определения квазиконформных отображений, задан-
ных в области D из Rn, n ≥ 2, положено условие
Mn(f(Γ)) ≤ KMn(Γ) (4)
для произвольного семейства Γ кривых γ в области D, где Mn — (конформный)
модуль семейства кривых, определенный выше при p = n. Другими словами, стан-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
388 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
дартное определение квазиконформности сводится к тому, что n -модуль любого
семейства кривых искажается не более чем в K раз. Отметим, что выражение
„конформный модуль” употребляется в случае p -модуля, определенного в (1), при
p = n. Упомянутое выше словосочетание вполне оправдано тем, что для любо-
го конформного отображения g : D → Rn, заданного в области D ⊂ Rn, и для
произвольного семейства кривых Γ, лежащего в области D, выполнено равенство
Mn(g(Γ)) = Mn(Γ) (см., например, теорему 8.1 гл. I в [1]). Отметим, что при
p 6= n даже линейные отображения fk(x) = kx, k 6= 0, не сохраняют модуль
семейств кривых, а именно, Mp (fk(Γ)) = kn−pMp(Γ) (см. теорему 8.2 там же).
Предположим, что p 6= n и
Mp(f(Γ)) ≤ KMp(Γ) (5)
для произвольного семейства Γ кривых γ в области D. При дополнительном
предположении, что f в (5) является гомеоморфизмом, Ф. Герингом установлено,
что отображение f является локально квазиизометричным. Другими словами, при
некоторой постоянной C > 0 и всех x0 ∈ D справедлива оценка
lim
x→x0
|f(x)− f(x0)|
|x− x0|
≤ C
(см., например, теорему 2 в [6]). Если функция Q в (3) ограничена, то мы немедлен-
но приходим к неравенству (5), так как в этом случае в правой части неравенства (3)
можно использовать определение p -модуля и перейти к инфимуму по всем подхо-
дящим η. Отметим, что свойство локальной квазиизометрии, приведенное выше,
справедливо только при p 6= n (см., например, [6]).
При p = n такие свойства отображений вида (3), как устранение изолиро-
ванных особенностей и нормальность семейств, изучены автором (см., например,
[14, 15]. Поэтому в настоящей статье нас будет интересовать случай неравенства (3)
преимущественно при неограниченных Q и при p < n. Отметим также, что слу-
чай p > n связан с некоторым вырождением, на чем мы не будем акцентировать
внимание.
В дальнейшем
B(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| < r} , Bn := B(0, 1).
Отображение f : D → Rn называется дискретным, если прообраз {f−1 (y)} каж-
дой точки y ∈ Rn состоит из изолированных точек, и открытым, если образ
любого открытого множества U ⊆ D является открытым множеством в Rn. В
дальнейшем в расширенном пространстве Rn = Rn
⋃
{∞} используется сфери-
ческая (хордальная) метрика h(x, y) = |π(x) − π(y)|, где π — стереографическая
проекция Rn на сферу Sn
(
1
2
en+1,
1
2
)
в Rn+1 :
h(x,∞) =
1√
1 + |x|2
, h(x, y) =
|x− y|√
1 + |x|2
√
1 + |y|2
, x 6=∞ 6= y.
Всюду ниже мы рассматриваем произвольное семейство F отображений f : D →
→ Rn, как между метрическими пространствами (X, d) и (X ′, d ′) , где X = D,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ . . . 389
X ′ = Rn, d(x, y) = |x−y|, d ′(x, y) = h(x, y). Хордальным диаметром множества
E ⊂ Rn называется величина
h(E) = sup
x ,y ∈E
h(x, y). (6)
В дальнейшем нам понадобятся понятия конденсатора и емкости конденсатора
(см., например, § 5 в [9] или разд. 10 гл. II в [10]). Конденсатором называют пару
E = (A, C) , где A — открытое множество в Rn, а C — компактное подмножество
A. Всюду далее p -емкостью конденсатора E называется величина
cappE = capp (A, C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|p dm(x), (7)
где W0(E) = W0 (A, C) — семейство неотрицательных непрерывных функций
u : A → R с компактным носителем в A таких, что u(x) ≥ 1 при x ∈ C и
u ∈ ACL, |∇u| =
(∑n
i=1
(∂iu)
2
)1/2
. Говорят, что компакт C в Rn, n ≥ 2, имеет
нулевую p -емкость (пишут capp C = 0), если существует ограниченное открытое
множество A такое что, C ⊂ A, причем capp (A,C) = 0. В противном случае
говорят, что компакт C имеет положительную p -емкость и пишут capp C > 0.
Можно также определить p -емкость для конденсатора в расширенном про-
странстве Rn = Rn ∪ {∞} (см., например, замечание 10.8 гл. II в [10]), а именно,
используя связь
cappE = Mp (ΓE) , (8)
где ΓE — семейство всех кривых вида γ : [a, b)→ A с γ(a) ∈ C и |γ|∩(A \ F ) 6= ∅
для произвольного компакта F ⊂ A (см. предложение 10.2 гл. II в [10]). Другими
словами, для конденсатора E = (A,C) семейство ΓE состоит из тех и только
тех кривых, которые имеют начало в C, лежат в A и в то же время целиком не
лежат ни в одном фиксированном компакте внутри A. В случае ограниченного
множества A такие кривые должны „подходить” к границе A, однако, не обязаны
быть спрямляемыми и, вообще говоря, к чему-то стремиться.
Далее будет использоваться следующая оценка емкости конденсатора E =
= (A,C) в Rn (см., например, предложение 6 в [11]):
capp E = capp (A,C) ≥
(
c1
(d(C))
p
(m(A))
1−n+p
)1/(n−1)
(9)
при p > n− 1, где постоянная c1 зависит только от n и p.
Пусть Ωn обозначает объем единичного шара Bn в Rn. Следующее определе-
ние можно найти, например, в разд. 6.1 гл. VI в [8]. Будем говорить, что функция
ϕ : D → R имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈ D (пишем ϕ ∈ FMO в
x0), если
lim
ε→0
1
Ωnεn
∫
B(x0, ε)
|ϕ(x)− ϕε| dm(x) < ∞ ,
где ϕε =
1
Ωnεn
∫
B(x0, ε)
ϕ(x) dm(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
390 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
3. Формулировка и доказательство основных лемм.
Предложение 1. Пусть E0, E1 — два множества в области D, содержащей
кольцо A(a, b, 0) = {a < |x| < b}, такие, что при любом r ∈ (a, b) сфера S(0, r)
пересекает как E0, так и E1, причем E0∩E1 = ∅. Тогда при любом p ∈ (n−1, n),
Mp (Γ (E0, E1, D)) ≥ 2nbn,p
n− p
(
bn−p − an−p
)
(см. теорему 4 в [12]).
Следующая лемма доказана при p = n О. Мартио, С. Рикманом и Ю. Вяйсяля
(см., например, лемму 3.11 в [13] либо лемму 2.6 гл. III в [10]). В настоящей работе
упомянутая выше лемма впервые доказывается при произвольном p ∈ (n− 1, n).
Лемма 1. Пусть F — компактное собственное подмножество простран-
ства Rn такое, что capp F > 0, n − 1 < p < n. Тогда для каждого a > 0
существует δ > 0 такое, что для произвольного континуума C ⊂ Rn \ F с
условием h(C) ≥ a имеет место оценка
capp
(
Rn \ F, C
)
≥ δ. (10)
Отметим, что в формулировке леммы 1 пара E :=
(
Rn \ F,C
)
действитель-
но является конденсатором, p -емкость которого определена соотношением (7), а
соотношение (10) анонсирует возможность оценки этой емкости снизу. Хордаль-
ный диаметр множества C, обозначенный в формулировке леммы 1 через h(C),
определен выше соотношением (6).
Доказательство. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что
компакт F является ограниченным. Если это не так, то можно выбрать подкомпакт
F1 ⊂ F такой, что F1 ограничен и capp F1 > 0, а затем воспользоваться свойством
монотонности емкости capp(A,C) по первой компоненте A. Существование ука-
занного выше компакта F1 нетрудно показать следующим способом. Рассмотрим
последовательность шаров B(0, rj) с центром в нуле и радиусов rj , где rj → ∞
при j → ∞. Обозначим Dj = B(0, rj) ∩ F ; некоторые из Dj могут быть пусты-
ми. Пусть K — произвольный континуум, лежащий во множестве Rn \ F ; такой
континуум существует в силу условия, что F — собственное подмножество про-
странства Rn. Тогда вследствие условия capp F > 0, а также соотношений (8) и
(2) имеем
0 < b0 := Mp
(
Γ
(
K,F,Rn
))
≤
∞∑
j=1
Mp
(
Γ
(
K,Dj ,Rn
))
,
откуда следует, что хотя бы одно из слагаемых в правой части последнего соотно-
шения больше нуля. Пусть это слагаемое соответствует индексу j0 ∈ N, в таком
случае полагаем F1 := B(0, rj0) ∩ F.
Итак, предположим, что компакт F ограничен. Тогда существует шар, его со-
держащий. Пусть F ⊂ B(0, R). Заметим, что R можно выбрать настолько боль-
шим, что
h
(
Rn \B(0, R)
)
< a/2 . (11)
Покажем, что C содержит подконтинуум C1 такой, что C1 ⊂ B(0, R) и h(C1) ≥
≥ a/4.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ . . . 391
Если континуум C целиком лежит в шаре B(0, R), полагаем C1 := C. Пусть
найдется z0 ∈ C ∩
(
Rn \B(0, R)
)
. Поскольку C — замкнутое множество, най-
дутся x0, y0 ∈ Rn такие, что h(C) = h(x0, y0). Заметим, что точки x0 и y0 не
могут одновременно принадлежать дополнению шара B(0, R), ибо h(C) ≥ a, а
h
(
Rn \B(0, R)
)
< a/2 в силу (11). Пусть x0 ∈ B(0, R). Возможны два случая.
1) y0 ∈ Rn\B(0, R). Пусть C2 — компонента связности множества C∩B(0, R),
содержащая точку x0. Заметим, что, поскольку C — связное множество, найдется
точка z1 ∈ C2 ∩ S(0, R). Тогда согласно неравенству треугольника
a ≤ h(x0, y0) ≤ h(x0, z1) + h(z1, y0) < h(C2) + a/2,
откуда следует, что h(C2) > a/2. Теперь в качестве C1 можно взять, например, C2.
2) y0 ∈ B(0, R). Сохранив обозначение для C2, использованное выше, обозна-
чим через C3 компоненту связности множества C∩B(0, R), содержащую точку y0.
Заметим, что, поскольку C — связное множество, найдется точка z2 ∈ C3∩S(0, R).
Тогда согласно неравенству треугольника и в силу соотношения (11)
a ≤ h(x0, y0) ≤ h(x0, z1) + h(z1, z2) + h(z2, y0) < h(C2) + h(C3) + a/2,
откуда следует, что либо h(C2) > a/4, либо h(C3) > a/4, что и требовалось
установить; в качестве C1 нужно взять либо C2, либо, соответственно, C3.
Итак, найдется континуум C1 такой, что C1 ⊂ B(0, R) и h(C1) ≥ a/4. Заме-
тим, что по определению p -емкости (7) capp
(
Rn \ F, C
)
≥ capp
(
Rn \ F, C1
)
,
поэтому вполне достаточно оценить снизу емкость последнего конденсатора. По-
лагаем Γ1 := Γ (F, S(0, 2R), B(0, 2R)) . В силу условия capp F > 0, а также
соотношения (8) имеем
Mp(Γ1) := δ1 > 0, (12)
где δ1 зависит только от p, R и компакта F. Обозначим теперь Γ2 =
(
C1, S(0, 2R),
B(0, 2R)
)
. Заметим, что в силу соотношения (8) capp (B(0, 2R), C1) = Mp(Γ2).
Однако тогда согласно неравенству (9)
Mp(Γ2) ≥
(
c1
(d(C1))
p
(2nΩnRn)
1−n+p
)1/(n−1)
≥
(
c1
(a/4)
p
(2nΩnRn)
1−n+p
)1/(n−1)
:= δ2,
(13)
где δ2 зависит только от p, R, a и n. Полагаем теперь Γ1,2 = Γ
(
C1, F,Rn
)
.
Заметим, что
Mp(Γ1,2) = capp
(
Rn \ F, C1
)
(14)
в силу соотношения (8). Пусть ρ ∈ adm Γ1,2. Если 3ρ ∈ adm Γ1, либо 3ρ ∈
∈ adm Γ2, то в силу неравенств (12) и (13) имеем∫
Rn
ρp(x)dm(x) ≥ 3−p min{δ1, δ2}. (15)
Пусть одновременно 3ρ 6∈ adm Γ1 и 3ρ 6∈ adm Γ2, тогда найдется пара кривых
γ1 ∈ Γ1 и γ2 ∈ Γ2 таких, что∫
γ1
ρ(x) |dx| < 1/3,
∫
γ2
ρ(x) |dx| < 1/3. (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
392 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
В этом случае рассмотрим семейство кривых Γ4 = Γ
(
|γ1|, |γ2|, B(0, 2R) \B(0, R)
)
,
где, как обычно, |γ| обозначает ноcитель кривой γ, т. е. |γ| = {x ∈ Rn : ∃ t : x =
= γ(t)}. Поскольку ρ ∈ adm Γ1,2 и выполнены соотношения (16), имеем∫
γ
ρ(x) |dx| ≥ 1/3 для каждой кривой γ ∈ Γ4. Однако тогда 3ρ ∈ adm Γ4. По
предложению 1 ∫
Rn
ρp(x)dm(x) ≥ 3−pMp(Γ4) ≥ δ3, (17)
где постоянная δ3 зависит только от n, p и R. Тогда в силу неравенств (15) и (17)
Mp(Γ1,2) ≥ min{δ1, δ2, δ3} := δ . (18)
Требуемое утверждение следует из (18) на основании (14).
Лемма 1 доказана.
Кривая α : [a, c) → D называется максимальным поднятием кривой β при
отображении f с началом в точке x, если: i) α(a) = x; ii) f ◦α = β|[a, c); iii) если
c < c′ ≤ b, то не существует кривой α′ : [a, c′) → D такой, что α = α′|[a, c) и
f ◦α ′ = β|[a, c′). Пусть f — открытое дискретное отображение и x ∈ {f−1 (β(a))}.
Тогда кривая β : [a, b)→ Rn имеет максимальное поднятие при отображении f с
началом в точке x (см. следствие 3.3 гл. II в [10]).
Лемма 2. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное кольцевое (p,Q) -
отображение, p ≥ 1. Предположим, что∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x)ψpε (|x− x0|) dm(x) ≤ F (ε) ∀ε ∈ (0, ε0), (19)
для некоторого x0 ∈ D, 0 < ε0 < dist (x0, ∂D) и некоторого семейства измери-
мых (по Лебегу) неотрицательных на (0, ε0) функций {ψε(t)}, ε ∈ (0, ε0) таких,
что
0 < I(ε, ε0) =
ε0∫
ε
ψε(t)dt <∞ ∀ε ∈ (0, ε0).
Тогда
cap p f(E) ≤ F (ε)/Ip(ε, ε0) ∀ε ∈ (0, ε0) , (20)
где E = (A, C) , A = B (x0, r0) , C = B(x0, ε), r0 = dist (x0, ∂D) ; считаем
r0 :=∞ при D = Rn.
Доказательство. Поскольку f — открытое и непрерывное отображение, то
E′ = f(E) также является конденсатором. Если cap p f(E) = 0, доказывать нече-
го. Пусть cap p f(E) 6= 0. Обозначим через Γ∗f(E) семейство всех спрямляемых
кривых Γf(E) (см. обозначения в соотношении (8)). Ясно, что кривые из Γ∗f(E)
не проходят через ∞. Отметим, что Mp
(
Γ∗f(E)
)
= Mp
(
Γf(E)
)
= cap p f(E) (см.
соотношение (8)). Заметим также, что каждая кривая γ ∈ Γ∗f(E) имеет макси-
мальное поднятие при отображении f, лежащее в A с началом в C. Пусть Γ∗ —
семейство максимальных поднятий кривых Γ∗f(E) при отображении f. Заметим,
что Γ∗ ⊂ ΓE (см., например, доказательство леммы 3.1 в [14]). Заметим также,
что Γ∗f(E) > f(Γ∗), и, следовательно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ . . . 393
Mp
(
Γ∗f(E)
)
≤Mp (f(Γ∗)) . (21)
Рассмотрим S ε = S(x0, ε), S ε0 = S(x0, ε0), где ε0 взято из условия леммы
и ε ∈ (0, ε0) . Заметим, что, поскольку Γ∗ ⊂ ΓE , то Γ (Sε, Sε0 , D) < Γ∗ и,
следовательно, f(Γ (Sε, Sε0 , D)) < f(Γ∗), поэтому
Mp (f(Γ∗)) ≤Mp (f (Γ (Sε, Sε0 , D))) . (22)
Из соотношений (21) и (22) следует, что Mp
(
Γ∗f(E)
)
≤ Mp (f (Γ (Sε, Sε0 , D))) и,
таким образом, в силу соотношения (8)
capp f(E) ≤Mp (f (Γ (Sε, Sε0 , D))) . (23)
Рассмотрим семейство измеримых функций ηε(t) = ψε(t)/I(ε, ε0), t ∈ (ε, ε0). За-
метим, что
∫ ε0
ε
ηε(t) dt = 1. Тогда по определению кольцевого (p,Q) -отображения
Mp (f (Γ (Sε, Sε0 , D))) ≤ 1
Ip(ε, ε0)
∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x)ψpε (|x− x0|) dm(x). (24)
Наконец, из соотношений (19), (23) и (24) следует соотношение (20).
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть E ⊂ Rn — компактное множество положительной p -
емкости, FQ — семейство открытых дискретных кольцевых (p,Q) -отображений
f : D → Rn \ E, p ∈ (n− 1, n). Предположим, что∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x)ψpε (|x− x0|) dm(x) = o (Ip(ε, ε0)) ∀ε ∈ (0, ε0) (25)
для некоторой точки x0 ∈ D, 0 < ε0 < dist (x0, ∂D), где {ψε(t)} — семей-
ство измеримых (по Лебегу) неотрицательных на (0, ε0) функций таких, что
0 < I(ε, ε0) =
∫ ε0
ε
ψε(t)dt <∞ ∀ε ∈ (0, ε0). Тогда FQ равностепенно непрерыв-
но в точке x0.
Доказательство. Рассмотрим конденсатор E = (A, C), A = B (x0, r0) , C =
= B(x0, ε), r0 = dist (x0, ∂D) . Как и прежде, r0 := ∞ при D = Rn. Выберем
произвольно число a > 0. Для этого числа найдется число δ = δ(a), для которого
выполнено условие леммы 1 относительно множества E, соответствующего усло-
вию леммы 3. Используя оценку (20), из условия (25) получаем cap p f (E) ≤ α(ε)
для всех ε ∈ (0, ε0), где α(ε) → 0 при ε → 0. Тогда для числа δ = δ(a) найдется
ε∗ = ε∗(a) такое, что
cap p f (E) ≤ δ ∀ε ∈ (0, ε∗(a)) . (26)
По соотношению (26) cap p
(
Rn \ E, f
(
B(x0, ε)
))
≤ cap p
(
f (B(x0, r0)) ,
f
(
B(x0, ε)
))
≤ δ при ε ∈ (0, ε∗(a)) . Тогда из леммы 1 следует, что
h
(
f
(
B(x0, ε)
))
< a. Окончательно, для любого a > 0 существует ε∗ = ε∗(a)
такое, что h
(
f
(
B(x0, ε)
))
< a, как только ε ∈ (0, ε∗(a)) .
Лемма 3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
394 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Лемма 4. Пусть f : Bn \{0} → Rn, n ≥ 2, — открытое дискретное кольце-
вое (p,Q) -отображение в точке x0 = 0, n−1 < p < n, удовлетворяющее условию
capp
(
Rn \ f (Bn \ {0})
)
> 0. Предположим, что существует 0 < ε0 < 1 такое,
что при ε→ 0 ∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψp(|x|) dm(x) = o (Ip(ε, ε0)) , (27)
где ψ(t) — неотрицательная на (0, ε0) функция такая, что 0 < I(ε, ε0) =
=
∫ ε0
ε
ψ(t)dt < ∞ для всех ε ∈ (0, ε0). Тогда f имеет непрерывное продол-
жение f : Bn → Rn в Bn. Непрерывность понимается в смысле пространства
Rn относительно хордальной метрики h.
Доказательство. Предположим противное, т. е. отображение f не может быть
продолжено по непрерывности в точку x0 = 0. Тогда найдутся две последо-
вательности xj и x ′j , принадлежащие Bn \ {0} с xj → 0, x ′j → 0, такие,
что h
(
f(xj), f(x ′j)
)
≥ a > 0 для всех j ∈ N. Не ограничивая общности
рассуждений, можно считать, что xj и x ′j лежат внутри шара B(0, ε0). Поло-
жим rj = max
{
|xj |, |x ′j |
}
. Соединим точки xj и x ′j замкнутой кривой, лежа-
щей в B(rj) \ {0} . Обозначим эту кривую через Cj и рассмотрим конденсатор
Ej = (Bn \ {0} , Cj) . В силу открытости и непрерывности отображения f пара
f(Ej) также является конденсатором. Рассмотрим семейства кривых ΓEj
и Γf(Ej)
(см. обозначения в соотношении (8)). Пусть Γ∗j — семейство максимальных под-
нятий Γf(Ej) при отображении f с началом в Cj , лежащих в Bn \ {0} . Имеем
Γ∗j ⊂ ΓEj
. Поскольку Γf(Ej) > f(Γ∗j ),
Mp
(
Γf(Ej)
)
≤Mp
(
f(Γ∗j )
)
≤Mp
(
f(ΓEj )
)
. (28)
Заметим, что семейство ΓEj
разбивается на два подсемейства:
ΓEj
= ΓEj1
∪ ΓEj2
, (29)
где ΓEj1
— семейство всех кривых α(t) : [a, c)→ Bn \ {0} с началом в Cj таких,
что найдется tk ∈ [a, c) с α(tk) → 0 при tk → c − 0; ΓEj2
— семейство всех
кривых α(t) : [a, c) → Bn \ {0} с началом в Cj таких, что найдется tk ∈ [a, c) с
dist (α(tk), ∂Bn)→ 0 при tk → c− 0.
В силу соотношений (28), (29)
Mp
(
Γf(Ej)
)
≤Mp(f(ΓEj1
)) + Mp(f(ΓEj2
)) . (30)
Покажем, что Mp
(
f(ΓEj1
)
)
= 0 для любого фиксированного j ∈ N. Зафиксируем
целое число j ≥ 1 и положим lj = min {|xj |, |x ′j |}. Из условия (27) следует, что
I(ε, ε0)→∞ при ε→ 0, поэтому, не ограничивая общности рассуждений, можно
считать, что I(a, b) > 0 при всех a, b ∈ (0, ε0). Рассмотрим кольцо Aε,j = {x ∈
∈ Rn : ε < |x| < lj} и соответствующее семейство функций
ηε(t) =
ψ(t)/I(ε, lj), t ∈ (ε, lj),
0, t ∈ R \ (ε, lj).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ . . . 395
Имеем
∫ lj
ε
ηε(t) dt =
1
I (ε, lj)
∫ lj
ε
ψ(t)dt = 1. Следовательно, по определению
кольцевого (p,Q) -отображения,
Mp(f(ΓEj1
)) ≤ F(ε) :=
1
I(ε, lj)
p
∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψp(|x|) dm(x) . (31)
Учитывая (27), имеем
∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψp(|x|) dm(x) = G(ε)
(∫ ε0
ε
ψ(t)dt
)p
, где
G(ε) → 0 при ε → 0. Отсюда следует, что F(ε) → 0. Отметим, что левая часть
неравенства (31) не зависит от ε, а j фиксировано. Отсюда получаем
Mp(f(ΓEj1
)) = 0. Фиксируем (произвольно) некоторое ε1 < ε0. Аналогично схе-
ме, приведенной выше, рассмотрим кольцо Aj = {x ∈ Rn : rj < |x| < ε1} и
семейство функций
ηj(t) =
ψ(t)/I(rj , ε1), t ∈ (rj , ε1),
0, t ∈ R \ (rj , ε1).
Имеем
∫ ε1
rj
ηj(t)dt =
1
I (rj , ε1)
∫ ε1
rj
ψ(t)dt = 1. Таким образом, согласно усло-
вию (30) Mp(f(ΓEj
)) ≤ S(rj) :=
1
I(rj , ε1)
p
∫
rj<|x|<ε0
Q(x)ψp(|x|) dm(x). В силу
условия (27) S(rj) → 0 при j → ∞. Окончательно, в силу соотношения (8)
capp f(Ej) → 0 при j → ∞. С другой стороны, по лемме 1 capp f(Ej) ≥ δ > 0
для всех j ∈ N. Полученное противоречие опровергает предположение, что f не
имеет предела при x→ 0 в Rn.
Лемма 4 доказана.
4. Доказательство основных результатов.
Предложение 2. Пусть Q : D → [1,∞] — измеримая по Лебегу функция,
D ⊂ Rn, n ≥ 2, x0 ∈ D такие, что либо Q ∈ FMO(x0), либо qx0
(r) =
= O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0. Тогда можно указать ε0 ∈ (0, 1) и функцию
ψε(t) ≡ ψ(t) > 0 такие, что в точке x0 выполнено условие (25) леммы 3.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что x0 = 0. Пусть
Q ∈ FMO(0) и ε0 < min
{
dist (0, ∂D) , e−1
}
. На основании следствия 6.3 гл.
VI в [8] для функции 0 < ψ(t) =
1
(t log (1/t))
n/p
будем иметь
∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψp(|x|) dm(x) =
∫
ε<|x|<ε0
Q(x) dm(x)(
|x| log
1
|x|
)n = O
(
log log
1
ε
)
при ε → 0. Заметим также, что при малых t выполнено ψ(t) ≥ 1
t log (1/t)
,
поэтому I(ε, ε0) :=
∫ ε0
ε
ψ(t) dt ≥ log
log (1/ε)
log (1/ε0)
. Тогда
1
Ip(ε)
∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψp(|x|) dm(x) ≤ O
(
log log
1
ε
)1−p
→ 0
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
396 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
при ε→ 0. Таким образом, предложения 2 в случае Q ∈ FMO доказано.
Покажем его справедливость в случае qx0
(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0.
Как и прежде, можно считать, что x0 = 0. Фиксируем ε0 < min {dist (0, ∂D) , 1} .
Положим ψ(t) =
1
(t log (1/t))
n/p
. Заметим, что∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψp(|x|) dm(x) =
∫
ε< |x|<ε0
Q(x)dm(x)(
|x| log
1
|x|
)n =
=
ε0∫
ε
∫
|x|=r
Q(x)dm(x)(
|x| log
1
|x|
)n dS
dr ≤
≤ ωn−1
ε0∫
ε
dr
r log (1/r)
= ωn−1 log
log (1/ε)
log (1/ε0)
≤ ωn−1I(ε, ε0),
где I(ε, ε0) :=
∫ ε0
ε
ψ(t) dt → ∞ при ε → 0. Отсюда снова
1
Ip(ε)
∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψp(|x|) dm(x) → 0 при ε→ 0.
Предложение 2 полностью доказано.
Доказательство утверждений 1 и 2. В случае условия Q ∈ FMO(x0), выпол-
ненного для произвольного x0 ∈ D, как и в случае qx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при
r → 0, выполненного также для произвольного x0 ∈ D, доказательство утвержде-
ния 1 непосредственно следует из леммы 3, предложения 2 и известного критерия
Арцела – Асколи. Аналогично, доказательство утверждения 2 следует из леммы 4
и предложения 2.
5. Некоторые следствия. Как и в случае рассмотрения вопросов, связанных
с устранением особенностей отображений с неограниченной характеристикой при
p = n (см., например, [14, 15]), из утверждения 2 вытекают некоторые следствия,
формулировки которых приведены ниже. Их доказательство проводится анало-
гично упомянутому выше случаю p = n, и поэтому в большинстве случаев не
приводится.
Теорема 1. Пусть x0 ∈ D, f : D \ {x0} → Rn — открытое дискретное
кольцевое (p,Q) -отображение в точке x0, n−1 < p < n, а функция Q(x) имеет
конечное среднее колебание в точке x0 либо qx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0.
Тогда точка x0 является устранимой для отображения f в том и только в том
случае, когда f ограничено в некоторой окрестности U точки x0.
Теорема 2. Пусть x0 ∈ D, f : D \ {x0} → Rn — открытое дискретное
кольцевое (p,Q) -отображение в точке x0, n−1 < p < n, а функция Q(x) имеет
конечное среднее колебание в точке x0 либо qx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ . . . 397
Если capp
(
Rn \ f (U \ {x0})
)
> 0 для некоторой окрестности U точки x0, то
f может быть непрерывным образом продолжено до открытого дискретного
кольцевого (p,Q) -отображения f : D → Rn.
Для отображения f : D → Rn, множества E ⊂ D и y ∈ Rn определим функ-
цию кратности N(y, f, E) как число прообразов точки y во множестве E, т. е.
N(y, f, E) = card {x ∈ E : f(x) = y} .
Теорема 3 (аналог теоремы Сохоцкого – Вейерштрасса). Пусть x0 ∈ D, f :
D \ {x0} → Rn — открытое дискретное кольцевое (p,Q) -отображение в точке
x0, n− 1 < p < n, а функция Q(x) имеет конечное среднее колебание в точке x0
либо qx0
(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0. Если x0 — существенно особая точка
отображения f, то существует множество C ⊂ Rn типа Fσ в Rn, имеющее
p -емкость нуль, такое, что N (y, f, U \ {x0}) = ∞ для любой окрестности U
точки x0 и для всех y ∈ Rn \ C.
Пусть теперь D — область в Rn, n ≥ 2, содержащая внешность некоторого
шара B(0, r0), r0 > 0. Будем говорить, что функция ϕ : D → R имеет конечное
среднее колебание в точке ∞, ϕ ∈ FMO(∞), если функция ϕ∗(x) = ϕ
(
x
|x|2
)
имеет конечное среднее колебание в точке 0, т. е.
∫
|x|>R
|ϕ(x) − ϕR|
dm(x)
|x|2n
=
= O
(
1
Rn
)
при R→∞, где ϕR =
Rn
Ωn
∫
|x|>R
ϕ(x)
dm(x)
|x|2n
(см., например, разд. 5
в [15]). Аналогично, для бесконечности можно переформулировать условия вида
qx0
(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
:
∫
S(0, R)
Q(x)dS = O
(
Rn−1 [logR]
n−1
)
. (32)
Будем говорить, что отображение f : Rn → Rn есть кольцевое (p,Q) -отобра-
жение в точке x0 = ∞, если отображение f̃ = f
(
x
|x|2
)
является кольцевым
(p,Q ′) -отображением в точке x0 = 0 с Q ′ = Q
(
x
|x|2
)
, т. е. условие
Mp (f (Γ (S(R1), S(R2), A))) ≤
∫
A
Q(y)ηp (|y|) dm(y),
где S(Ri) = S(0, Ri), i = 1, 2, выполнено в кольце A = A(R1, R2, 0) = {R1 <
< |y| < R2} для произвольных 0 < R1 < R2 <∞ и произвольной неотрицатель-
ной измеримой функции η : (R1, R2) → [0,∞] такой, что
∫ R2
R1
η(r) dr ≥ 1. На
основании утверждения 2 получаем следующий результат.
Теорема 4 (аналог теоремы Лиувилля). Пусть f : Rn → Rn — открытое дис-
кретное кольцевое (p,Q) -отображение в точке x0 = ∞, n − 1 < p < n, а
функция Q(x) имеет конечное среднее колебание в точке ∞ либо удовлетворяет
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
398 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
условию (32) при R → ∞. Тогда capp
(
Rn \ f (Rn)
)
= 0. В частности, f не
может отображать все Rn на ограниченную область.
Доказательство. Предположим противное, а именно, что capp
(
Rn \ f (Rn)
)
>
> 0. Тогда для вспомогательного отображения f̃ = f
(
x
|x|2
)
, f̃ : Rn \ {0} → Rn,
имеем f̃ (Rn \ {0}) = f (Rn \ {0}) , поэтому
cap p
(
Rn \ f̃ (Rn \ {0})
)
= cap p
(
Rn \ f (Rn \ {0})
)
≥ cap p
(
Rn \ f (Rn)
)
> 0.
В этом случае в силу теоремы 2 отображение f̃ продолжается по непрерывности
до открытого дискретного отображения f̃ : Rn → Rn. Это равносильно тому, что
f также продолжается по непрерывности до открытого дискретного отображения
f : Rn → Rn. Тогда множество f
(
Rn
)
одновременно открыто и замкнуто в Rn,
откуда следует, что f(Rn) = Rn. Однако последнее противоречит сделанному
выше предположению.
Теорема 4 доказана.
1. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – Berlin etc.:
Springer, 1971. – 229.
2. Ahlfors L., Beurling A. Conformal invariants and function-theoretic null-sets // Acta Math. – 1950. – 83.
– P. 101 – 129.
3. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. – М.: Мир, 1969.
4. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal mappings in the plane. – New York etc.: Springer, 1973.
5. Golberg A. Differential properties of (α,Q) -homeomorphisms // Further Progress Anal. – 2009. –
P. 218 – 228.
6. Gehring F. Lipschitz mappings and p -capacity of rings in n -space // Ann. Math. Stud. – 1971. – 66. –
P. 175 – 193.
7. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math.
and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
8. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer
Sci. + Business Media, LLC, 2009.
9. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.
A1. Math. – 1969. – 448. – P. 1 – 40.
10. Rickman S. Quasiregular mappings // Results Math. and Relat. Areas. – 1993. – 3, № 26.
11. Кругликов В. И. Емкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные в
среднем // Мат. сб. – 1986. – 130, № 2. – С. 185 – 206.
12. Caraman P. Relations between p -capacity and p -module (I) // Rev. roum. math. pures et appl. – 1994.
– 39, № 6. – P. 509 – 553.
13. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Distortion and singularities of quasiregular mappings // Ann. Acad.
Sci. Fenn. Ser. A1. – 1970. – 465. – P. 1 – 13.
14. Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. Теория кольцевых Q -отображений в геометрической теории
функций // Мат. сб. – 2010. – 201, № 6. – С. 131 – 158.
15. Севостьянов Е. А. К теории устранения особенностей отображений с неограниченной характери-
стикой квазиконформности // Изв. РАН. Сер. мат. – 2010. – 74, № 1. – С. 159 – 174.
Получено 25.10.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2724 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:05Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5d/fb5225e5fd3137b46d4e3c5a60b2fd5d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27242020-03-18T19:34:39Z On some properties of generalized quasiisometries with unbounded characteristic О некоторых свойствах обобщенных квазиизометрий с неограниченной характеристикой Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. We consider a family of the open discrete mappings $f:\; D \rightarrow \overline{\mathbb{R}^n}$ that distort in a special way the $p$ -modulus of families of curves connecting the components of spherical condenser in a domain $D$ in $\mathbb{R}^n$, $p > n — 1,\;\; p < n$, and omitting a set of positive $p$-capacity. We establish that this family is normal provided that some function realizing the control of the considered distortion of curve family has a finite mean oscillation at every point or only logarithmic singularities of the order, which is not larger than $n − 1$. We prove that, under these conditions, an isolated singularity $x_0 \in D$ of the mapping $f : D \ \{x_0\} \rightarrow \overline{\mathbb{R}^n}$ is removable and, moreover, the extended mapping is open and discrete. As applications we obtain analogs of the known Liouville and Sokhotski – Weierstrass theorems. Встановлено, що сiм’я вiдкритих дискретних вiдображень $f:\; D \rightarrow \overline{\mathbb{R}^n}$, якi спотворюють певним чином $p$-модуль сiм’ї кривих, що з’єднують обгортки сферичного конденсатора в областi $D$ в $\mathbb{R}^n$, $p > n−1$, $p < n$, i випускають множину позитивної $p$-ємностi, є нормальною сiм’єю вiдображень за умови, що деяка дiйснозначна функцiя, яка вiдповiдає за контроль зазначеного вище спотворення сiм’ї кривих, має скiнченне середнє коливання у кожнiй точцi або лише логарифмiчнi сингулярностi порядку, що не перевищує $n − 1$. Встановлено, що за цих умов iзольована сингулярнiсть $x_0 \in D$ вiдображення $f : D \ \{x_0\} \rightarrow \overline{\mathbb{R}^n}$ є усувною, бiльш того, продовжене вiдображення є вiдкритим та дискретним. Як застосування отримано аналоги вiдомих теорем Лiувiлля i Сохоцького – Вейєрштрасса. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2724 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 3 (2011); 385-398 Український математичний журнал; Том 63 № 3 (2011); 385-398 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2724/2204 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2724/2205 Copyright (c) 2011 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. On some properties of generalized quasiisometries with unbounded characteristic |
| title | On some properties of generalized quasiisometries with unbounded characteristic |
| title_alt | О некоторых свойствах обобщенных квазиизометрий с неограниченной характеристикой |
| title_full | On some properties of generalized quasiisometries with unbounded characteristic |
| title_fullStr | On some properties of generalized quasiisometries with unbounded characteristic |
| title_full_unstemmed | On some properties of generalized quasiisometries with unbounded characteristic |
| title_short | On some properties of generalized quasiisometries with unbounded characteristic |
| title_sort | on some properties of generalized quasiisometries with unbounded characteristic |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2724 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea onsomepropertiesofgeneralizedquasiisometrieswithunboundedcharacteristic AT sevostʹânovea onsomepropertiesofgeneralizedquasiisometrieswithunboundedcharacteristic AT sevostʹânovea onsomepropertiesofgeneralizedquasiisometrieswithunboundedcharacteristic AT sevost039yanovea onekotoryhsvojstvahobobŝennyhkvaziizometrijsneograničennojharakteristikoj AT sevostʹânovea onekotoryhsvojstvahobobŝennyhkvaziizometrijsneograničennojharakteristikoj AT sevostʹânovea onekotoryhsvojstvahobobŝennyhkvaziizometrijsneograničennojharakteristikoj |