Construction of a solution of one integrodifferential equation
By using a method proposed by R. Langer, we construct a formal solution of an integral differential equation obtained after the asymptotic integration of one system of linear differential equations with a small parameter of a part of derivatives.
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2727 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508682927734784 |
|---|---|
| author | Skutar, I.D. Скутар, І. Д. |
| author_facet | Skutar, I.D. Скутар, І. Д. |
| author_sort | Skutar, I.D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:39Z |
| description | By using a method proposed by R. Langer, we construct a formal solution of an integral differential equation obtained after the asymptotic integration of one system of linear differential equations with a small parameter of a part of derivatives. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
I. Д. Скутар (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
ПОБУДОВА РОЗВ’ЯЗКУ ОДНОГО
IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ
By using a method proposed by R. Langer, we construct a formal solution of an integral differential equation
obtained after the asymptotic integration of one system of linear differential equations with a small parameter
of a part of derivatives.
С помощью методики, предложенной Р. Лангером, построено формальное решение интегро-дифферен-
циального уравнения, которое получено при асимптотическом интегрировании одной системы линей-
ных дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных.
У роботi [1] розглянуто систему рiвнянь вигляду
u′ = A(x)u+A1(x)v,
εv′ = (B(x) + εB1(x))v + εB2(x)u,
де u ∈ Rp, v ∈ R2, A, A1, B1 i B2 — матрицi, голоморфнi по x в областi |x| 6 ρ, ε
— малий параметр, B(x) — матриця Ейрi [2], яка має вигляд
B(x) =
(
0 1
x 0
)
Для цiєї системи побудовано перетворення, що зводить її до системи рiвнянь
вигляду
ω′1 = c1(ε)υ1, ω′j = 0, j = 2, p, (1)
ευ′ = B(x)υ + εD1(ε)ω, (2)
де υ = (υ1, υ2) — двовимiрний вектор,
D1(ε) =
(
0
d1(ε)
)
,
c1(ε), d1(ε) — вiдомi формальнi ряди.
У процесi побудови розв’язкiв системи (1), (2) одержується iнтегро-диференцiальне
рiвняння вигляду
ε2υ′′1 = xυ1 + εc(ε) + 3εα(ε)
x∫
0
υ1(t)dt, (3)
де x ∈ R, α(ε) i c(ε) — заданi формальнi ряди. Загальний розв’язок цього рiвняння
побудовано в [1] у виглядi степеневого ряду.
У данiй статтi будуємо формальний розв’язок рiвняння (3) у виглядi розкладу
за степенями малого параметра, використовуючи методику Р. Лангера [3].
За допомогою диференцiювання рiвняння (3) зводиться до вигляду
υ′′′1 − λ2xυ′1 − (λ2 + 3λµ)υ1 = 0, (4)
де x ∈ R, λ = ε−1 — великий параметр, µ(λ) = α(λ−1).
c© I. Д. СКУТАР, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3 421
422 I. Д. СКУТАР
Для побудови формальних розв’язкiв рiвняння
dnυ
dxn
+ λρ1(x, λ)
dn−1υ
dxn−1
+ . . .+ λnρn(x, λ)υ = 0,
де λ — великий параметр i коефiцiєнти
ρi(x, λ) =
∞∑
0
ρi,r(x)
λr
, i = 1, 2, . . . , n,
вираженi у виглядi степеневого ряду за степенями 1/λ, Р. Лангер [3] пропонує
використовувати так зване допомiжне алгебраїчне рiвняння вигляду
χn + ρ1,0(x)χ
n−1 + . . .+ ρn,0(x) = 0.
Отже, для рiвняння (4) вiдповiдне допомiжне алгебраїчне рiвняння матиме ви-
гляд
χ3 − xχ = 0. (5)
Рiвняння (5) має коренi χ0 = 0, χ1 = x
1
2 , χ2 = −x 1
2 . Для кожного iз коренiв χj
замiна
υ1(x) = exp
{
λ
∫
χdx
} ∞∑
n=0
θn(x)
λn
(6)
зводить рiвняння (4) до вигляду
∞∑
n=0
(
λ2(3χ2−x)θ′n+λ2(3χχ′−1)θn+λ(χ′′θn+3χ′θ′n+3χθ′′n−3µθn)+θ′′′n
)
λ−n = 0.
Враховуючи, що в лiвiй частинi одержаної рiвностi маємо розклад за степенями
1
λ
, перепишемо її таким чином:
∞∑
n=0
(
(3χ2 − x)θ′n + (3χχ′ − 1)θn+
+(χ′′θn−1 + 3χ′θ′n−1 + 3χθ′′n−1 − 3µθn−1) + θ′′′n−2
)
λ−n = 0,
де кожне θn з вiд’ємним iндексом дорiвнює 0.
Функцiя (6) буде формальним розв’язком диференцiального рiвняння (4), якщо
коефiцiєнти θn задовольнятимуть систему рiвнянь
(3χ2 − x)θ′n + (3χχ′ − 1)θn = −(χ′′θn−1 + 3χ′θ′n−1 + 3χθ′′n−1 − 3µθn−1)− θ′′′n−2,
n = 0, 1, 2, . . . . (7)
Для будь-якого розв’язку рiвняння (4) можна знайти вигляд коефiцiєнтiв θn.
Кожне з рiвнянь системи (7) може бути розв’язане як лiнiйне диференцiальне рiв-
няння першого порядку по вiдношенню до θn [4]. Зокрема, при χ = χ0 система (7)
матиме вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
ПОБУДОВА РОЗВ’ЯЗКУ ОДНОГО IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ 423
−xθ′n − θn = 3µθn−1 − θ′′′n−2, n = 0, 1, 2, . . . .
Поклавши в останньому рiвняннi n = 0, 1, 2, одержимо
xθ′0 + θ0 = 0,
xθ′1 + θ1 = −3µx−1,
xθ′2 + θ2 = 9µ2x−1lnx+ 6x−4.
Частиннi розв’язки цих рiвнянь мають вiдповiдно розв’язки
θ0(x) = x−1,
θ1 = −3µx−1ln(x),
θ2 = 2Cx−4 +
9
2
µ2Cx−1ln2(x).
Продовжуючи цей процес, можемо отримати загальнi формули для обчислення
розв’язкiв системи (7):
θ2m =
m∑
k=1
2(m−k)∑
j=0
K(2(m− k), k, j)µ2(m−k)x−3k−1lnjx+
+K(2m, 0, 2m)µ2mx−1ln2mx, m = 0, 1, 2, . . . ,
θ2m+1 =
m∑
k=1
2(m−k)+1∑
j=0
K(2(m− k) + 1, k, j)µ2(m−k)+1x−3k−1lnjx+
+K(2m+ 1, 0, 2m+ 1)µ2m+1x−1ln2m+1x, m = 0, 1, 2, . . . ,
(8)
з коефiцiєнтами
K(i, k, j) =
0, k = 0, i 6= j,
(−3)i
i!
, k = 0, i = j 6= 0,
(−1)i(3k)!
3k−jj!k!ki−j
−
i−1∑
l=j
l!
j!(3k)l−j+1
×
×
(
i∑
n=l
K(i, k − 1, n)
n!
l!
δk − 3K(i− 1, k, l)
)
в iнших випадках.
(9)
Тут
δk =
0, n− l > 3,
1, n− l = 3,
3(3k − 1), n− l = 2,
27k2 − 18k + 2, n− l = 1,
(3k)!
(3k − 3)!
, n− l = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
424 I. Д. СКУТАР
Для розв’язкiв χ = ±x 1
2 рiвняння (5) система (7) матиме вигляд
2xθ′n +
1
2
θn = ∓ 1
x
1
2
(
3xθ′′n−1 +
3
2
θ′n−1 −
1
4
x−1θn−1
)
+ 3µθn−1 − θ′′′n−2.
Як i в попередньому випадку, покладемо n = 0, 1, 2, . . . i розв’яжемо отри-
манi лiнiйнi диференцiальнi рiвняння першого порядку по вiдношенню до θn.
Розв’язками попередньої системи будуть функцiї
θm =
m∑
k=1
m−k∑
j=0
K(m− k, k, j)µm−kx− 3
2k−
1
4 lnj x+K(m, 0,m)µmx−
1
4 lnm x,
m = 0, 1, 2, . . . , (10)
з коефiцiєнтами
K(i, k, j) =
0, k < 0, k = 0, i 6= j,(
3
2
)i
i!
, k = 0, i = j 6= 0,
−1
2
i∑
l=j
l!(2)l−j+1
j!(3k)l−j+1
(
i∑
n=l
K(i, k − 1, n)
n!
l!
×
×
(
∓ 3δ1k ∓
3
2
δ2k ±
1
4
δ3k
)
+ 3K(i− 1, k, l)−
−δ0kK(i, k − 2, l)
)
в iнших випадках,
(11)
де
δ1k =
0, n− l > 2,
1, n− l = 2,
−3k + 3
2
, n− l = 1,
(6k − 5)(6k − 1)
16
, n− l = 0,
δ2k =
0, n− l > 1,
1, n− l = 1,
−6k − 5
4
, n− l = 0,
δ3k =
0, n− l 6= 0,
1, n− l = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
ПОБУДОВА РОЗВ’ЯЗКУ ОДНОГО IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ 425
δ0k =
0, i− l > 3,
1, i− l = 3,
−18k − 21
4
, i− l = 2,
108k2 − 252k + 131
16
i− l = 1,
− (6k − 3)(6k − 7)(6k − 11)
64
, i− l = 0.
Отже, ми отримали формальнi розв’язки рiвняння (4). Пiдставляючи знайденi
розв’язки у вiдповiдне для (3) однорiдне рiвняння, переконуємося, що його за-
довольняють лише два з трьох знайдених вище розв’язкiв, а саме розв’язки при
χ = ±x1/2, що задаються формулою (10) з коефiцiєнтами (11).
Залишилося знайти частинний розв’язок рiвняння (3). Покажемо, що цей розв’я-
зок можна подати у виглядi
v(x) =
∞∑
m=0
m∑
k=0
2m−2k+1∑
i=0
C(m, k, i)x−3k−1 lni x. (12)
Для цього пiдставимо вираз (12) у рiвняння (3) i прирiвняємо коефiцiєнти при од-
накових степенях x. Розв’язавши систему, що отримали в результатi пiдстановки,
знайдемо вигляд коефiцiєнтiв:
C(m, k, i) =
(−1)i+1(3αε)i
i!
εc(ε), k = 0, m = 0,
0, k = 0, m 6= 0,
kε2
k − αε
(
(−3k − 5)(−3k − 4)C(m, k − 1, i)+
+(−6k + 3)(i+ 1)C(m, k − 1, i+ 1) + (i+ 2)(i+ 1)×
×C(m, k − 1, i+ 2)
)
в iнших випадках.
(13)
Формальний розв’язок рiвняння (3) одержується у виглядi лiнiйної комбiнiцiї
υ1 = C1y1 + C2y2 + y3.
Тут y1, y2 задаються формулами (6) при пiдстановцi замiсть χ розв’язкiв χ1,2 =
= ±x1/2 рiвняння (5), а замiсть θn рiвностi (10) з коефiцiєнтами (11). Частинний
розв’язок y3 задається формулою (12) з коефiцiєнтами (13), C1, C2 — довiльнi сталi.
Приклад. Розглянемо рiвняння
ε2υ′′ = xυ, (14)
яке одержується з (3) при c(ε) = 0 i α(ε) = 0. Дане рiвняння вiдоме як рiвняння
Ейрi [2]. Здиференцiюємо обидвi частини рiвняння (14). Отримаємо рiвняння
ε2υ′′′ = xυ′ + υ. (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
426 I. Д. СКУТАР
Випишемо розв’язки цього рiвняння, використавши формули (8) та (10). Одер-
жимо
υ1 =
∞∑
m=0
kmx
−3m−1
λ2m
, km =
(3m)!
3mm!
,
υ2 = x−1/4e2/3λx
3/2
∞∑
m=0
kmx
−3/2m
λm
,
km =
1
3m
[
km−1
(
3
(6m− 1)(6m− 5)
16
− 3
2
6m− 5
4
− 1
4
)
−
−km−2
(6m− 3)(6m− 7)(6m− 11)
64
]
,
υ3 = x−1/4e−2/3λx
3/2
∞∑
m=0
kmx
−3/2m
λm
,
km = − 1
3m
[
km−1
(
3
(6m− 1)(6m− 5)
16
− 3
2
6m− 5
4
− 1
4
)
+
+km−2
(6m− 3)(6m− 7)(6m− 11)
64
]
.
Пiдставивши отриманi розв’язки в рiвняння Ейрi, одержимо, що υ2 i υ3 пере-
творюють це рiвняння у тотожнiсть. Слiд також зазначити, що розв’язки υ2 i υ3
збiгаються з розв’язками рiвняння Ейрi, одержаними В. Вазовим у монографiї [2].
1. Самойленко А. М. Об асимптотическом интегрировании одной системы линейных дифференци-
альных уравнений с малым параметром при части производных // Укр. мат. журн. – 2002. – 54,
№ 11. – С. 1505 – 1516.
2. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. –
М.: Мир, 1968. – 464 с.
3. Langer R. E. The solutions of the differential equation υ′′′ + λ2zυ′ + 3µλ2υ = 0 // Duke Math. J. –
1955. – 22. – P. 525 – 542.
4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1971. –
576 с.
Одержано 30.06.10,
пiсля доопрацювання — 30.09.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2727 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:06Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3b/008b90b5e0a1a1ff94c16d9162f0273b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27272020-03-18T19:34:39Z Construction of a solution of one integrodifferential equation Побудова розв'язку одного інтегро-диференціального рівняння Skutar, I.D. Скутар, І. Д. By using a method proposed by R. Langer, we construct a formal solution of an integral differential equation obtained after the asymptotic integration of one system of linear differential equations with a small parameter of a part of derivatives. С помощью методики, предложенной Р. Лангером, построено формальное решение интегро-дифференциального уравнения, которое получено при асимптотическом интегрировании одной системы линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при части производных. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2727 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 3 (2011); 421-426 Український математичний журнал; Том 63 № 3 (2011); 421-426 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2727/2210 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2727/2211 Copyright (c) 2011 Skutar I.D. |
| spellingShingle | Skutar, I.D. Скутар, І. Д. Construction of a solution of one integrodifferential equation |
| title | Construction of a solution of one integrodifferential equation |
| title_alt | Побудова розв'язку одного інтегро-диференціального рівняння |
| title_full | Construction of a solution of one integrodifferential equation |
| title_fullStr | Construction of a solution of one integrodifferential equation |
| title_full_unstemmed | Construction of a solution of one integrodifferential equation |
| title_short | Construction of a solution of one integrodifferential equation |
| title_sort | construction of a solution of one integrodifferential equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2727 |
| work_keys_str_mv | AT skutarid constructionofasolutionofoneintegrodifferentialequation AT skutaríd constructionofasolutionofoneintegrodifferentialequation AT skutarid pobudovarozv039âzkuodnogoíntegrodiferencíalʹnogorívnânnâ AT skutaríd pobudovarozv039âzkuodnogoíntegrodiferencíalʹnogorívnânnâ |