On the statistical estimation of the initial probability distribution based on the observations of dynamics at the end of an interval
We consider a problem of the estimation of density of a random value that is an initial value of some dynamics. The dynamics is determined by differential equation whose solution is observable at the end of an interval. This problem is called a problem of the estimation with the use of indirect ob...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2728 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508686643888128 |
|---|---|
| author | Tkeshelashvili, A. S. Ткешелашвили, А. С. Ткешелашвили, А. С. |
| author_facet | Tkeshelashvili, A. S. Ткешелашвили, А. С. Ткешелашвили, А. С. |
| author_sort | Tkeshelashvili, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:39Z |
| description | We consider a problem of the estimation of density of a random value that is an initial value of some dynamics.
The dynamics is determined by differential equation whose solution is observable at the end of an interval.
This problem is called a problem of the estimation with the use of indirect observations.
By using a method of transformation of a measure along an integral curve in combination with kernel estimates, we present a procedure of the estimation of density. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
A. C. Ткешелашвили (Тбилис. ун-т им. И. Джавахишвили, Грузия)
О СТАТИСТИЧЕСКОМ ОЦЕНИВАНИИ
НАЧАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ПО НАБЛЮДЕНИЯМ ДИНАМИКИ В КОНЦЕ ИНТЕРВАЛА
We consider a problem of the estimation of density of a random value that is an initial value of some dynamics.
The dynamics is determined by differential equation whose solution is observable at the end of an interval.
This problem is called a problem of the estimation with the use of indirect observations. By using a method
of transformation of a measure along an integral curve in combination with kernel estimates, we present a
procedure of the estimation of density.
Розглядається задача оцiнювання щiльностi випадкової величини, що є початковим значенням де-
якої динамiки. При цьому динамiка задається у виглядi диференцiального рiвняння, розв’язок якого
є спостережуваним у кiнцi iнтервалу. Таку задачу називаємо задачею оцiнювання за посереднiми спос-
тереженнями. З застосуванням технiки перетворення мiри вздовж iнтегральної кривої в поєднаннi з
ядерними оцiнками наведено процедуру оцiнювання щiльностi.
Пусть на интервале [0, T ] задано дифференциальное уравнение первого порядка
y′(t) = f(t, y(t)). (1)
Рассмотрим начальную задачу Коши y(0) = X, где X — случайная величина с
неизвестной плотностью распределения p(x). Допустим, поставленная задача для
(1) имеет единственное решение y(t) с вероятностью 1, которое, конечно, является
случайным процессом. Статистику доступны наблюдения этого процесса в конце
интервала — в точке T, которые соответствуют недоступной выборке изX, т. е. име-
ем наблюдения y1(T ), y2(T ), . . . , yn(T ). По этим наблюдениям требуется оценить
p(x). Если f(t, x) ≡ 0, то y(t) = X и задача сводится к классической постановке.
Понятно, что вдоль интегральной кривой плотность p(x) должна быть достаточ-
но регулярной и поэтому восстановление должно быть возможно. Поэтому сначала
изучим именно этот вопрос.
Пусть {Θ,F} — измеримое пространство,M =M(F) — пространство вещест-
веннозначных σ-аддитивных функций множеств на F с нормой
‖µ‖ = (Varµ)(Θ) = µ+(Θ)− µ−(Θ),
где µ = µ+ − µ− — разложение Хана. M является банаховым пространством.
Элементы этого пространства будем называть мерами.
Рассмотрим семейство мер µt ∈ M, где t — вещественный параметр, 0 ≤ t ≤
≤ T < ∞. Будем считать, что для каждого фиксированного A ∈ F функция
t 7→ µt(A) непрерывна. Сходимость на множествах из F есть слабая сходимость в
M (см. [1]). Поэтому рассматриваемое семейство ограничено вM : sup0≤t≤T ‖µt‖ <
< ∞.
Предположим, что для каждого A ∈ F функция µt(A) дифференцируема по
параметру t ∈ (0, T ) и имеет односторонние производные для t = 0 и t = T. Тогда
мера
νt = µ′t : A 7→
dµt(A)
dt
называется производной меры µt по параметру. Из представления
c© A. C. ТKЕШЕЛАШВИЛИ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3 427
428 A. C. ТKЕШЕЛАШВИЛИ
µt2 − µt1 =
t2∫
t1
ντ (dτ)
следует непрерывность по вариации семейства µt:
‖µt2 − µt1‖ ≤ C|t2 − t1|.
Если мера νt = µ′t абсолютно непрерывна относительно µt, то плотность Радо-
на – Никодима
ρ(t, x) =
dνt
dµt
(x)
называется логарифмической производной семейства мер µt по параметру.
Пусть B(F) — банахово пространство ограниченных измеримых функций с
равномерной нормой. Дифференцируемость µt в описанном выше смысле эквива-
лентна соотношению
d
dt
∫
Θ
ϕ(x)µt(dx) =
∫
Θ
ϕ(x)µ′t(dx)
для каждого ϕ ∈ B(F), а существование логарифмической производной семейства
µt по параметру — соотношению
d
dt
∫
Θ
ϕ(x)µt(dx) =
∫
Θ
ϕ(x)ρ(t, x)µt(dx), ϕ ∈ B(F).
Например, пусть µ — некоторая мера, α(t, x) — непрерывно дифференцируемая
по t вещественная положительная ограниченная функция и α(T, x) ≡ 1. Тогда
семейство мер
µt(A) =
∫
A
α(t, x)µ(dx), t ∈ [0, T ],
имеет логарифмическую производную вида
ρ(t, x) =
α′t(t, x)
α(t, x)
.
Отсюда
α(t, x) = e
∫ t
0
ρ(τ,x) dτ , 0 ≤ t ≤ T.
Важно обратное утверждение.
Лемма. Пусть семейство мер µt ∈ M, t ∈ [0, T ], на измеримом пространс-
тве {Θ,F} имеет логарифмическую производную ρ(t, x), для которой выполнены
условия:
1) ρ(t, x) непрерывна по t, µt почти всюду;
2) ρ(t, x) — σ-ограничена в том смысле, что существует разбиение Θ =
=
⋃∞
j=1 Θj такое, что ρ(t, x) ограничена на каждом [0, T ]×Θj .
Тогда каждые две меры µs и µτ , s, τ ∈ [0, T ], рассматриваемого семейства
эквивалентны и
p(s, τ, x) =
dµs
dµτ
(x) = e
∫ s
τ
ρ(t,x) dt. (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
О СТАТИСТИЧЕСКОМ ОЦЕНИВАНИИ НАЧАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ . . . 429
Доказательство. Достаточно показать, что для любой ϕ ∈ B(F) выражение∫
Θ
ϕ(x)p(t, τ, x)µτ (dx) = ψ(t, τ)
не зависит от τ. Тогда при t = τ для индикаторной функции ϕ(x) = IA(x) получим
(2). Покажем, что
d
dτ
ψ(t, τ) = 0.
Формально это следует из равенств
∂p(t, τ, x)
∂τ
= −ρ(τ, x) и
d
dτ
µτ = ρ(τ, x)µτ ,
и поэтому надо лишь проверить законность почленного дифференцирования по
параметру под знаком интеграла.
Рассмотрим соотношение
1
ε
{∫
Θ
ϕ(x)p(t, τ + ε, x)µτ+ε(dx)−
∫
Θ
ϕ(x)p(t, τ, x)µτ (dx)
}
=
=
∫
Θ
ϕ(x)p(t, τ, x)
µτ+ε(dx)− µτ (dx)
ε
+
+
∫
Θ
ϕ(x)
p(t, τ + ε, x)− p(t, τ, x)
ε
µτ (dx)+
+
∫
Θ
ϕ(x)
p(t, τ + ε, x)− p(t, τ, x)
ε
[µτ+ε − µτ ] (dx).
Пусть сначала функция ρ(t, x) ограничена на [0, T ]×Θ. Тогда в каждом из трех сла-
гаемых подынтегральное выражение ограничено и возможен предельный переход
при ε→ 0. При этом последнее слагаемое стремится к нулю, так как
‖µτ+ε − µτ‖ → 0 при ε→ 0.
В общем же случае при рассмотренных условиях можно представить Θ =
⋃∞
j=1 Θj
так, что на каждом Θj функция ρ(t, x) ограничена, и тогда для каждого j
d
dτ
∫
Θj
ϕ(x)p(t, τ, x)µτ (dx) = 0.
Лемма доказана.
Вернемся теперь к уравнению (1)
y′(t) = f(t, y(t)), y(0) = X, (1′)
где случайная величина X имеет неизвестную плотность p(x).
Предположим, что:
(f) f(t, x) — непрерывная функция своих переменных, имеющая непрерывную
производную f ′x(t, x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
430 A. C. ТKЕШЕЛАШВИЛИ
Решение задачи (1′) существует, единственно и является случайным процессом
с дифференцируемыми траекториями с вероятностью 1. Пусть µt — распределение
вероятностей процесса y(t) в точке. Ясно, что
µ0(A) =
∫
A
p(t) dt, A ∈ B[0, T ],
где B[0, T ] обозначает борелевскую σ-алгебру подмножеств [0, T ].
Теорема 1. Пусть p(t) > 0 и выполнено условие (f). Тогда семейство µt
имеет логарифмическую производную.
Доказательство. Обозначим через Stτ обратимое эволюционное семейство,
связанное с задачей (1′):
y(t) = Stτy, Stt = I, Stτ ◦ Sτx = Sts,
∂Stτy
∂t
= f(t, Stτy), 0 ≤ s ≤ τ ≤ t ≤ T.
Тогда
µt(A) = P (y(t) ∈ A) = P (St0X ∈ A) = P (X ∈ S−1
t0 A) =
=
∫
S−1
t0 A
p(s) ds =
∫
A
p
(
S−1
t0 τ
) (
S−1
t0
)′
(τ) dτ.
Значит, µt имеет плотность распределения вероятностей и
pt(x) = p(S−1
t0 x)
∂(S−1
t0 x)
∂x
или
p(x) =
∂St0x
∂x
pt(St0x). (3)
Легко также подсчитать логарифмическую производную меры µt:
ρ(t, x) =
∂
∂t
ln p(S−1
t0 x)
∂S−1
t0 x
∂x
.
Теорема доказана.
Пусть решение задачи (1′) наблюдается в точке T и y1(T ), y2(T ), . . . , yn(T ) —
соответственно выборка. Надо построить оценку для плотности p(x) случайной
величины X. Будем строить так называемую ядерную оценку.
Пусть K(x) — функция, обладающая свойствами:
(k) K(x) — непрерывная, ограниченная, интегрируемая, положительная функ-
ция, определенная на R и такая, что
∫
R
K(x) dx = 1.
Рассмотрим оценку плотности p
T
(x) ядерного вида
p̂
T
(x) =
1
nhn
n∑
j=1
K
(
x− yj(T )
hn
)
, (4)
где последовательность {hn}∞n=1 удовлетворяет условию:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
О СТАТИСТИЧЕСКОМ ОЦЕНИВАНИИ НАЧАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ . . . 431
(h) hn — положительная, сходящаяся к нулю последовательность действитель-
ных чисел, для которой nhn →∞.
Тогда в условиях (k) и (h), как известно (см. [2]), p̂
T
(x) является состоятельной
оценкой для плотности p
T
(x). Поэтому для оценки p(t) согласно формулам (3) и
(4) возмем
p̂(x) =
∂(ST0x)
∂x
p̂
T
(ST0x). (5)
Если известен интегральный поток, соответствующий (1) – St0, то формула (5)
даст нам искомую оценку. Однако в некоторых случаях задание явного вида та-
кого семейства представляет сложную задачу. Поэтому приходится искать другие
возможности.
Рассмотрим детерминированную задачу Коши
y′(t) = f(t, y(t)), y0 = y(0) = x,
и построим для нее последовательность ϕn(x), которая равномерно сходится к
решению задачи Коши – y(t)
(
такова, например, процедура Пикара: ϕn(t) = x +
+
∫ t
0
f(x, ϕn−1(s)) dx, n = 1, 2, . . . , ϕ0(t) = y0
)
. В качестве приближения можем
взять SnT0x = ϕn(T ).
Окончательно приходим к выводу, что
p̂(x) =
∂(ϕn(T ))
∂x
p̂
T
(ϕn(T )) (6)
является искомой оценкой для плотности p(x). Итак, справедлива следующая тео-
рема.
Теорема 2. Пусть для задачи Коши (1′) выполнены условия (f), (k) и (h), где
X — случайная величина с неизвестной положительной плотностью p(x). Тогда
состоятельная оценка плотности p(x) дается формулой (6).
Замечание. Задача, рассмотренная здесь, допускает многочисленные обобще-
ния. Можно рассмотреть стохастический вариант динамики с гладкими коэффи-
циентами, а также уравнения с частными производными и со случайным началь-
ным условием. Тогда применение описанного метода дает возможность оценки
плотности распределения начальной случайной величины по наблюдениям в точке
интегральной кривой динамики.
1. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. – M.: Мир, 1962.
2. Надарая Э. А., Абсава Р. М. Некоторые задачи теории непараметрического оценивания функцио-
нальных характеристик закона распределения наблюдений. – Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 2005.
Получено 26.11.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-2728 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:09Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/96/e19258e572260115464d1588c087b096.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27282020-03-18T19:34:39Z On the statistical estimation of the initial probability distribution based on the observations of dynamics at the end of an interval О статистическом оценивании начального распределения вероятностей по наблюдениям динамики в конце интервала Tkeshelashvili, A. S. Ткешелашвили, А. С. Ткешелашвили, А. С. We consider a problem of the estimation of density of a random value that is an initial value of some dynamics. The dynamics is determined by differential equation whose solution is observable at the end of an interval. This problem is called a problem of the estimation with the use of indirect observations. By using a method of transformation of a measure along an integral curve in combination with kernel estimates, we present a procedure of the estimation of density. Розглядається задача оцiнювання щiльностi випадкової величини, що є початковим значенням деякої динамiки. При цьому динамiка задається у виглядi диференцiального рiвняння, розв’язок якого є спостережуваним у кiнцi iнтервалу. Таку задачу називаємо задачею оцiнювання за посереднiми спос- тереженнями. З застосуванням технiки перетворення мiри вздовж iнтегральної кривої в поєднаннi з ядерними оцiнками наведено процедуру оцiнювання щiльностi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2728 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 3 (2011); 427-431 Український математичний журнал; Том 63 № 3 (2011); 427-431 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2728/2212 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2728/2213 Copyright (c) 2011 Tkeshelashvili A. S. |
| spellingShingle | Tkeshelashvili, A. S. Ткешелашвили, А. С. Ткешелашвили, А. С. On the statistical estimation of the initial probability distribution based on the observations of dynamics at the end of an interval |
| title | On the statistical estimation of the initial probability distribution based on the observations of dynamics at the end of an interval |
| title_alt | О статистическом оценивании начального распределения вероятностей по наблюдениям динамики в конце интервала |
| title_full | On the statistical estimation of the initial probability distribution based on the observations of dynamics at the end of an interval |
| title_fullStr | On the statistical estimation of the initial probability distribution based on the observations of dynamics at the end of an interval |
| title_full_unstemmed | On the statistical estimation of the initial probability distribution based on the observations of dynamics at the end of an interval |
| title_short | On the statistical estimation of the initial probability distribution based on the observations of dynamics at the end of an interval |
| title_sort | on the statistical estimation of the initial probability distribution based on the observations of dynamics at the end of an interval |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2728 |
| work_keys_str_mv | AT tkeshelashvilias onthestatisticalestimationoftheinitialprobabilitydistributionbasedontheobservationsofdynamicsattheendofaninterval AT tkešelašvilias onthestatisticalestimationoftheinitialprobabilitydistributionbasedontheobservationsofdynamicsattheendofaninterval AT tkešelašvilias onthestatisticalestimationoftheinitialprobabilitydistributionbasedontheobservationsofdynamicsattheendofaninterval AT tkeshelashvilias ostatističeskomocenivaniinačalʹnogoraspredeleniâveroâtnostejponablûdeniâmdinamikivkonceintervala AT tkešelašvilias ostatističeskomocenivaniinačalʹnogoraspredeleniâveroâtnostejponablûdeniâmdinamikivkonceintervala AT tkešelašvilias ostatističeskomocenivaniinačalʹnogoraspredeleniâveroâtnostejponablûdeniâmdinamikivkonceintervala |