Conditions of smoothness for the distribution density of a solution of a multidimensional linear stochastic differential equation with levy noise
A sufficient condition is obtained for smoothness of the density of distribution for a multidimensional Levy-driven Ornstein-Uhlenbeck process, i.e., a solution to a linear stochastic differential equation with Levy noise.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2729 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508687092678656 |
|---|---|
| author | Bodnarchuk, S. V. Kulik, A. M. Боднарчук, С. В. Кулик, А. М. Боднарчук, С. В. Кулик, А. М. |
| author_facet | Bodnarchuk, S. V. Kulik, A. M. Боднарчук, С. В. Кулик, А. М. Боднарчук, С. В. Кулик, А. М. |
| author_sort | Bodnarchuk, S. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:55Z |
| description | A sufficient condition is obtained for smoothness of the density of distribution for a multidimensional Levy-driven Ornstein-Uhlenbeck process, i.e.,
a solution to a linear stochastic differential equation with Levy noise. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
С. В. Боднарчук (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
А. М. Кулик (Iн-т математики НАН Украины, Киев)
УСЛОВИЯ ГЛАДКОСТИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНОГО ЛИНЕЙНОГО
СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ С ШУМОМ ЛЕВИ
A sufficient condition is obtained for smoothness of the density of distribution for a multidimensional Levy-
driven Ornstein – Uhlenbeck process, i.e., a solution to a linear stochastic differential equation with Levy
noise.
Отримано достатню умову гладкостi щiльностi розподiлу багатовимiрного процесу Орнштейна – Уленбека
з шумом Левi, тобто розв’язку лiнiйного стохастичного диференцiального рiвняння з шумом Левi.
1. Введение. Настоящая статья является продолжением работы [1]. В этих двух
статьях исследуются локальные свойства распределений процессов Орнштейна –
Уленбека с шумом Леви, т. е. решений линейных стохастических дифференциаль-
ных уравнений (СДУ) вида
X(t) = X(0) +
t∫
0
AX(s) ds+ U(t), t ≥ 0, (1)
где U — процесс Леви (т. е. однородный стохастически непрерывный процесс с
независимыми приращениями) со значениями в Rm, A — матрица размера m×m.
Такие уравнения представляют собой структурно наиболее простой класс СДУ с
шумом Леви. Основная цель данного исследования состоит в том, чтобы выяс-
нить на примере этого важного частного класса процессов какими должны быть
необходимые и достаточные условия существования и/или гладкости плотности
переходной вероятности для процессов Маркова, задаваемых СДУ с шумом Леви
(подробнее см. в [1]).
Одномерные процессы Орнштейна – Уленбека, т. е. решения (1) с m = 1, пол-
ностью исследованы в [1]. При этом были установлены два обстоятельства, прин-
ципиально важные для дальнейших исследований. Во-первых, было показано, что
при наличии нетривиального коэффициента переноса A возникает эффект „регуля-
ризации”, состоящий в следующем. При A = 0 процесс X фактически совпадает
с процессом Леви U. Задача исследования локальных свойств распределений про-
цессов Леви имеет долгую историю и является весьма непростой. Известен ряд
достаточных условий, таких как условия Сато или Калленберга (утверждения 1
и 2 соответственно предложения 1 [1]), но общие критерии, устанавливающие
существование и/или гладкость плотности в терминах эффективно проверяемых
условий на меру Леви процесса, на данный момент не установлены. Напротив,
при A 6= 0 такие критерии доступны, по крайней мере, в одномерном случае (см.
c© С. В. БОДНАРЧУК, А. М. КУЛИК, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4 435
436 С. В. БОДНАРЧУК, А. М. КУЛИК
[1], предложение 2 и теорема 1). Во-вторых, вопросы существования плотности и
ее регулярности существенно различны и требуют отдельного изучения. Для су-
ществования плотности распределения pt(x) решения уравнения (1) с X(0) = 0,
в случае нетривиального коэффициента переноса A и отсутствия диффузионной
компоненты, необходимо и достаточно, чтобы мера Леви Π процесса U была бес-
конечна. С другой стороны, для того чтобы эта плотность была ограниченной при
каждом t > 0, необходимо выполнение условия(
ε2 ln
1
ε
)−1 ∫
R
(u2 ∧ ε2)Π(du)→ +∞, ε→ 0 + . (2)
Условие (2) оказывается достаточным даже для существования плотности, лежа-
щей в классе C∞b бесконечно дифференцируемых функций с ограниченными про-
изводными. Таким образом, для существования плотности необходимо и доста-
точно, чтобы общая интенсивность скачка была бесконечной, в то время как ее
регулярность однозначно определяется более тонким условием (2), описывающим
асимптотическое поведение меры Леви в окрестности нуля.
В случае размерности m ≥ 2 появляются новые трудности, обусловленные
возможностью частичного вырождения компонент линейной системы (1). Так, воз-
никает вопрос о том, какого рода условие невырожденности (матричного) коэффи-
циента переноса A обеспечивает эффект „регуляризации” скачкообразного шума.
Полный ответ на этот вопрос в контексте задачи о существовании плотности дает
теорема 3 [1] (см. также [2]). В данной работе мы приводим полный ответ на этот
вопрос в контексте задачи о гладкости плотности.
2. Предварительные сведения и основной результат. Рассмотрим линейное
СДУ
X(t) =
t∫
0
AX(s) ds+BW (t) +DZ(t), t ≥ 0, (3)
где A,B,D — матрицы размеров m × m, m × k, m × d соответственно, W и
Z — независимые винеровский процесс в Rk и процесс Леви в Rd, причем Z не
содержит диффузионной компоненты и для каждого собственного подпространства
L ⊂ Rd
Π(Rd \ L) = +∞.
Здесь Π — мера Леви процесса Z; приведенное выше условие часто называют
условием Ямазато (см. [3]). Говоря формально, (3) является частным случаем (1),
но с помощью несложных рассуждений задача исследования локальных свойств
распределений решений (1) сводится к аналогичной задаче для уравнения (3) (см.
[1], раздел 4).
Даже в сравнительно простом диффузионном случае (т. е. при D = 0) воп-
рос существования плотности распределения решения не тривиален. Его история
восходит к известному примеру Колмогорова, в котором одномерный винеровский
процесс порождает решение двумерного уравнения с абсолютно непрерывным рас-
пределением [4]. Следующее известное условие управляемости Калмана дает кри-
терий существования плотности для распределения решения уравнения (3):
Rank [B,AB, . . . , Am−1B] = m,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
УСЛОВИЯ ГЛАДКОСТИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ . . . 437
где [B,AB, . . . , Am−1B] — матрица размера m × mk, составленная из матриц
B, . . . , Am−1B (см., например, [5]). Отметим, что в этом случае решение (3) —
гауссовский процесс, так что плотность распределения, если только она существу-
ет, лежит в C∞b .
Для уравнения, в котором скачкообразный шум содержится нетривиальным
образом, аналогом условия Калмана является условие
H1) Rank [B,AB, . . . , Am−1B,D,AD, . . . , Am−1D] = m.
В [2] доказано, что если мера Леви процесса Z удовлетворяет многомерному ана-
логу достаточного условия Сато, то условие H1 достаточно для существования
плотности распределения для решения уравнения (3). С другой стороны, согласно
теореме 2 [1], если выполнены условие H1 и многомерный аналог достаточного
условия Калленберга, то плотность распределения лежит в C∞b . Таким образом,
условие H1 отвечает за эффект „сохранения гладкости, представленной в шуме
(W,Z)”: при выполнении условий, достаточных либо для существования, либо для
гладкости плотности процесса (W,Z), аналогичное свойство оказывается справед-
ливым и для распределения решения (3).
Однако условие H1 не обеспечивает эффект „регуляризации”: решение уравне-
ния (3), даже при выполненных условиях Ямазато и H1 , может иметь сингулярное
распределение [1] (пример 1). Такой эффект, по крайней мере в контексте задачи
существования плотности, обеспечивает условие
H2) Rank [B,AB, . . . , Am−1B,AD,AD2, . . . , AmD] = m,
а именно, при выполненных условиях Ямазато и H2 решение уравнения (3) имеет
абсолютно непрерывное распределение. Этот результат установлен в [1] (теорема
3), см. также [6], где аналогичный результат получен при условии, отличном по
форме от условия H2 , но по существу эквивалентном ему. Отметим, что в при-
веденных выше ссылках рассмотрен случай B = 0, но обобщение упомянутых
результатов для произвольных B не составляет существенных сложностей; то же
замечание касается и приведенной выше ссылки [2].
Основным результатом данной статьи является следующая теорема, которая
показывает, что условие H2 обеспечивает эффект „регуляризации” и в контексте
задачи о гладкости плотности распределения решения уравнения (3).
Теорема. Пусть коэффициенты уравнения (3) удовлетворяют условию H2,
а мера Леви процесса Z удовлетворяет условию[
ε2 ln
1
ε
]−1
inf
l : ‖l‖Rd=1
∫
Rd
[
(u, l)2Rd ∧ ε2
]
Π(du)→ +∞, ε→ 0 + . (4)
Тогда распределение X(t), t > 0, имеет плотность класса C∞b .
Теорема будет доказана в следующем пункте. Отметим, что условие (4) являет-
ся многомерным аналогом условия (2), которое, напомним, является необходимым
и достаточным для существования плотности класса C∞b одномерного уравне-
ния с невырожденным коэффициентом переноса. Допуская некоторую неточность,
можно сказать, что необходимое и достаточное условие (2) в многомерном случае
распадается на два: (4) и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
438 С. В. БОДНАРЧУК, А. М. КУЛИК
[
ε2 ln
1
ε
]−1
sup
l : ‖l‖Rd=1
∫
Rd
[
(u, l)2Rd ∧ ε2
]
Π(du)→ +∞, ε→ 0 + . (5)
Условие (4) является достаточным в силу приведенной теоремы. С другой сторо-
ны, условие (5) является необходимым для существования ограниченной плотности
распределения для решения СДУ, не обязательно линейного, с шумом Леви ([7],
теорема 1.4).
3. Доказательство теоремы. Согласно общим свойствам преобразования Фу-
рье, для доказательства существования плотности класса C∞b у распределения
m -мерного случайного вектора достаточно, чтобы характеристическая функция φ
этого вектора удовлетворяла условию
∀n ≥ 0: ‖z‖nRm |φ(z)| → 0, ‖z‖Rm → ∞.
Xарактеристическую функцию величины X(t) можно записать в явном виде (см.,
например, [1], формула (10)):
φX(t)(z) = exp
t∫
0
−1
2
‖B∗e(t−s)A
∗
z‖2Rk +
∫
Rd
[
exp{i(e(t−s)ADu, z)Rm} − 1 −
−i(e(t−s)ADu, z)Rmχ{‖u‖Rd≤1}
]
Π(du)
ds
, z ∈ Rm,
где ∗ обозначает операцию сопряжения.
Для доказательства теоремы нам понадобится следующая лемма.
Лемма. Существует такая положительная константа γ, зависящая от t
и матрицы A, что
t∫
0
[
cos (a+ (esAv, z)Rm)− 1
]
ds ≤
≤ −γ
(
m∑
k=1
[
(Akv, z)2Rm ∧ 1
])
, v, z ∈ Rm, a ∈ R. (6)
Доказательство. Предположим, что (6) не выполняется, т. е. для произвольного
n существуют такие vn, zn ∈ Rm, an ∈ R, что
t∫
0
[
cos (an + (esAvn, zn)Rm)− 1
]
ds ≥ − 1
n
(
m∑
k=1
[
(Akvn, zn)2Rm ∧ 1
])
. (7)
Обозначим ρn(s) = (esAvn, zn)Rm . Тогда из (7) следует, что
t∫
0
[cos (an + ρn(s))− 1] ds→ 0, n→∞. (8)
Далее нам понадобится несколько вспомогательных утверждений.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
УСЛОВИЯ ГЛАДКОСТИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ . . . 439
Утверждение 1. Для функции ρn(s) имеет место представление
ρn(s) =
K0∑
k=1
Nk−1∑
j=0
sjeλksa
(n)
jk , (9)
где λk — (различные) собственные числа матрицы A, K0 — их количество, Nk —
кратность λk.
Утверждение 1 стандартным образом доказывается с помощью представления
матрицы A через ее жорданову нормальную форму.
Утверждение 2. Для любого n ≥ 1 найдутся такие точки t1, . . . , tm ∈
∈ [0, t], что коэффициенты a
(n)
jk в представлении (9) выражаются через значения
ρn(t1), . . . , ρn(tm) линейно, причем единственным образом.
Доказательство. Пусть θr(s), r = 1, . . . ,m, функции sjeλks, j = 0, . . . , Nk−
−1, k = 1, . . . ,K0, занумерованы в произвольном порядке, и ã(n)r , r = 1, . . . ,m, —
соответствующим образом перенумерованные коэффициенты a
(n)
jk , j = 0, . . . , Nk−
− 1, k = 1, . . . ,K0. Соотношение (9) можно записать в виде
ρn(s) =
m∑
r=1
θr(s)ã
(n)
r , (10)
и для доказательства утверждения, очевидно, достаточно установить требуемое
свойство для коэффициентов ã(n)r в представлении (10).
Покажем, что функции θ1(s), . . . , θm(s) являются линейно независимыми на R.
Пусть это не так. Тогда существуют константы α1, . . . , αm, не все равные нулю,
для которых выполняется равенство
α1θ1(s) + . . .+ αmθm(s) = 0, s ∈ R. (11)
Функции θj(s) имеют вид spje(qj+iwj)s, где pj , qj , wj — действительные чис-
ла. Выберем среди тех из них, у которых соответствующие коэффициенты αj не
равни нулю, функции с максимальным значением qj ; пусть Q — соответствующее
максимальное значение для qj . Среди выбранных функций выделим те, у которых
степенная функция возрастает наиболее быстро. Пусть максимальный показатель
степени равен P. Тогда (11) можно представить в виде∑
kj
αkje
iwkj
s = − 1
eQsP
∑
k 6=kj
θk(s), s ∈ R. (12)
Определитель Вронского функций eiwkj
s имеет вид
e
is
∑
kj
wkj
det
1 1 . . . 1
wk1 wk2 . . . wkl
...
...
wl−1k1
wl−1k2
. . . wl−1kl
,
и он не равен нулю, поскольку все wkj различны. Поэтому слагаемые в левой части
(12) являются линейно независимыми, причем их сума в силу леммы Кронекера
(см. [8, с. 19, 20]) не стремится к нулю при s→∞. Отсюда следует, что αkj = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
440 С. В. БОДНАРЧУК, А. М. КУЛИК
поскольку правая часть (12) стремится к нулю при s → ∞. Полученное противо-
речие показывает, что функции θ1(s), . . . , θm(s) являются линейно независимыми
на R.
Занумеруем в произвольном порядке множество {sl, l ≥ 1} рациональных то-
чек отрезка [0, t]. Рассмотрим векторы
Θjr =
θj(s1)
...
θj(sr)
, j = 1, . . . ,m, r ≥ 1.
Покажем, что при некотором r0 ≥ m эти векторы линейно независимы. Предпо-
ложив обратное, получим, что для произвольного r ≥ m существуют константы
βjr, j = 1, . . . ,m, не все равные нулю и такие, что
β1rΘ1r + . . .+ βmrΘmr = 0. (13)
Не ограничивая общности, можно считать, что
∑m
j=1
|βjr|2 = 1. Тогда, поскольку
сфера — это компакт, переходя к подпоследовательности, можно считать, что
βjr → βj , 1 ≤ j ≤ m,
причем
∑m
j=1
|βj |2 = 1. Кроме того, рассматривая l -ю координату в соотношении
(13) и переходя к пределу при r →∞, получаем
β1θ1(sl) + . . .+ βmθm(sl) = 0, l ≥ 1. (14)
Функция
h(s) =
m∑
j=1
βjθj(s), s ∈ R,
очевидно, является аналитической на R. С другой стороны, из (14) следует, что
она тождественно равна нулю на [0, t], а значит, и на всем R. Это противоречит
линейной независимости функций θ1(s), . . . , θm(s), доказанной выше.
Таким образом, существует такое r0 ≥ m, что Rank[Θ1r0 , . . . ,Θmr0 ] = m, где
[Θ1r0 , . . . ,Θmr0 ] обозначает матрицу, составленную из вектор-столбцов Θ1r0 , . . .
. . . ,Θmr0 . Отсюда следует, что существует m линейно независимых строк матри-
цы [Θ1r0 , . . . ,Θmr0 ]. Каждая строка этой матрицы имеет вид
(θ1(sl), . . . , θm(sl)),
где l — номер строки. Таким образом, мы доказали существование номеров l1, . . . , lm
таких, что матрица
Q =
(
θr(slp)
)m
r,p=1
невырождена. Записывая (10) для s = slp , p = 1, . . . ,m, и решая получившуюся
систему уравнений относительно неизвестных a
(n)
r r = 1, . . . ,m, получаем
ã(n)r =
m∑
p=1
(
Q−1
)
rp
ρn(slp), r = 1, . . . ,m,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
УСЛОВИЯ ГЛАДКОСТИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ . . . 441
что и доказывает требуемое утверждение.
Представим функции ρn(s) виде
ρn(s) = bn + cnψn(s),
где bn = ρn(0), cn = sup0≤s≤t |ρ′n(s)|. По построению, ψn(0) = 0 и
sup0≤s≤t |ψ′n(s)| = 1.
Утверждение 3. Существует такая подпоследовательность {nk}, что по-
следовательность функций ψ′nk
(s) сходится при k →∞ равномерно по s ∈ [0, t].
Доказательство. В силу (10)
ψ′n(s) =
m∑
r=1
θ′r(s)b̃
(n)
r , s ∈ [0, t], (15)
где b̃(n)r = ã
(n)
r /cn. Для представления (15) справедлив следующий аналог утверж-
дения 2. Если все собственные числа λk, k = 1, . . . ,K0, отличны от нуля, то
существуют такие точки t1, . . . , tm ∈ [0, t], что коэффициенты b̃
(n)
r выражаются
через значения ψ′n(t1), . . . , ψ′n(tm) линейно, причем единственным образом. Если
же какое-то из собственных чисел равно нулю, то одна из функций θr тождественно
равна 1. При этом соответствующий коэффициент b̃(n)r не определяется однознач-
но, но он несуществен, так как θ′r тождественно равна 0. Остальные же коэф-
фициенты b̃
(n)
r выражаются через значения ψ′n(t1), . . . , ψ′n(tm) линейно, причем
единственным образом. Доказательство приведенных фактов дословно совпадает
с доказательством утверждения 2.
Напомним, что по построению |ψ′n(s)| ≤ 1. Поэтому существует такая подпо-
следовательность {nk}, что ψ′nk
(tr) → hr, k → ∞. Следовательно, сходятся и
соответствующие коэффициенты b̃
(nk)
r (кроме, возможно, одного несущественного
коэффициента при функции, тождественно равной 0). Отсюда следует равномерная
сходимость функций ψ′nk
(s) на каждом ограниченном отрезке.
Утверждение 3 доказано.
С целью упрощения обозначений далее считаем, что сами функции ψ′n(s) схо-
дятся равномерно на каждом отрезке. Обозначим через b′n такое единственное
число из интервала (−π, π], что
an + bn − b′n
2π
∈ Z (величины an взяты из соот-
ношений (7), (8)). Тогда
cos (an + ρn(s)) = cos (an + bn + cnψn(s)) = cos (b′n + cnψn(s)).
Утверждение 4. Соотношение (8) влечет за собой сходимость
b′n → 0, cn → 0.
Доказательство. Предположим, что cn → ∞, n → ∞. Из равномерной схо-
димости функций ψ′n(s) и равенства sup0≤s≤t |ψ′(s)| = 1 следует, что существует
интервал [a, b], на котором функции ψ′n(s) и ψ′(s) имеют одинаковый знак при
достаточно больших n. Например, пусть ψ′n(s) > 0, ψ′(s) > 0, s ∈ [a, b] . Это
означает, что функции ψn(s) и ψ(s) монотонно возрастают на [a, b]. Запишем
тривиальную оценку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
442 С. В. БОДНАРЧУК, А. М. КУЛИК
t∫
0
[cos (b′n + cnψn(s))− 1] ds ≤
b∫
a
[cos (b′n + cnψn(s))− 1] ds
и выполним замену переменных u = ψn(s). На интервале [a, b] функции ψn(s),
ψ(s) имеют обратные. Тогда s = ψ−1n (u) = rn(u), ds = r′n(u)du, ψ−1(s) = r(u).
Также для достаточно больших n существует такое ε > 0, что ψn(a) < ψ(a) +
+ ε, ψn(b) > ψ(b)− ε. Тогда
b∫
a
[cos (b′n + cnψn(s))− 1] ds =
ψn(b)∫
ψn(a)
[cos(b′n + cnu)− 1] r′n(u)du ≤
≤
ψ(b)−ε∫
ψ(a)+ε
[cos(b′n + cnu)− 1] r′n(u)du ≤ cos b′n
ψ(b)−ε∫
ψ(a)+ε
cos(cnu)r′n(u)du−
− sin b′n
ψ(b)−ε∫
ψ(a)+ε
sin(cnu)r′n(u)du− (ψ(b)− ψ(a) + 2ε)r′n(ψ(a) + ε).
Рассмотрим отдельно интеграл
ψ(b)−ε∫
ψ(a)+ε
cos(cnu)r′n(u)du =
ψ(b)−ε∫
ψ(a)+ε
cos(cnu)(r′n(u)−r′(u))du+
ψ(b)−ε∫
ψ(a)+ε
cos(cnu)r′(u)du.
(16)
Первый интеграл в правой части равенства (16) стремится к 0 при n → ∞ по
теореме Лебега о мажорируемой сходимости, поскольку r′n(u) → r′(u), n → ∞,
и r′n(u), r′(u) ограничены на [ψ(a) + ε, ψ(b) − ε]. Второй интеграл стремится к
0 при n → ∞ в силу леммы Римана, так как cn → ∞, а r′(u) интегрируема на
[ψ(a) + ε, ψ(b)− ε]. Поэтому
lim
n→∞
t∫
0
[cos (an + ρn(s))− 1] ds ≤ −(ψ(b)− ψ(a) + 2ε)r′(ψ(a) + ε) < 0,
что противоречит (8).
Предположим теперь, что cn → c > 0. Поскольку последовательность b′n
ограничена, можно считать, что b′n → b′ ∈ (−π, π]. Тогда интеграл в левой части
(8) стремится к числу
t∫
0
[cos (b′ + cψ(s))− 1] ds,
отличному от нуля, так как предельная функция ψ(s) аналитична и не является
константой.
Те же рассуждения делают невозможным существование бесконечного или
положительного частичного предела у последовательности {cn}. Поэтому cn →
→ 0, n→∞. Из этого и (8) непосредственно следует сходимость b′n → 0.
Утверждение 4 доказано.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
УСЛОВИЯ ГЛАДКОСТИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ . . . 443
Приведенное утверждение и асимптотическое соотношение 1 − cosx ∼ x2/2,
x→ 0, обеспечивают неравенство
t∫
0
[cos (an + ρn(s))− 1] ds =
t∫
0
[cos (b′n + cnψn(s))− 1] ds ≤
≤ −1
3
t∫
0
(b′n + cnψn(s))2ds = −1
3
t∫
0
(ρn(s)− bn + b′n)2ds,
которое выполняется при достаточно больших n при условии (8). Используя нера-
венство
t∫
0
(f(s) + d)2 ds ≥
t∫
0
f2(s) ds− 1
t
t∫
0
f(s) ds
2
,
отсюда получаем, что предположение (7) влечет за собой выполнение при доста-
точно больших n неравенства
t∫
0
(esAv, z)2Rmds−
1
t
t∫
0
(esAv, z)Rmds
2
≤ 3
n
m∑
k=1
(Akvn, zn)2 ∧ 1. (17)
Для доказательства леммы нужно показать, что для достаточно больших n
неравенство (17) не выполняется. Для этого докажем следующее утверждение.
Утверждение 5. Для любых t > 0, v, z ∈ Rm, матрицы A размером m×m
существует такая константа Ct,A, что выполняется неравенство
m∑
k=1
(Akv, z)2Rm ≤ Ct,A
t∫
0
(esAv, z)2Rmds−
1
t
t∫
0
(esAv, z)Rmds
2
.
Доказательство. Для любой матрицы B = (bij)
m
i,j=1 и векторов v, z ∈ Rm
рассмотрим скалярное произведение
(Bv, z)Rm =
m∑
i,j=1
bijvjzi.
Его можно интерпретировать как скалярное произведение векторов из Rm2
следу-
ющим образом:
(Bv, z)Rm = (B,w)Rm2 ,
где B = (b11, . . . , b1m, b21, . . . , bmm), w = (u1z1, . . . , umz1, u1z2, . . . , umzm). Тогда
(B,w)2Rm2 — квадратичная форма в Rm2
относительно вектора w. Утверждение 5
будет доказано, если мы покажем, что для любых t > 0 и матрицы A размером
m ×m (или, что то же самое, вектора в Rm2
) существует такая константа Ct,A,
что
m∑
k=1
(Ak, w)2Rm2 ≤ Ct,A
t∫
0
(esA, w)2Rm2ds−
1
t
t∫
0
(esA, w)Rm2ds
2
, w ∈ Rm
2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
444 С. В. БОДНАРЧУК, А. М. КУЛИК
Для доказательства требуемого соотношения воспользуемся следующим свой-
ством квадратических форм.
Утверждение 6. Пусть Q1, Q2 — неотрицательные квадратические фор-
мы в Rl, причем для каждого v ∈ Rl из равенства Q1(v, v) = 0 следует, что
Q2(v, v) = 0. Тогда существует такая константа M > 0, что выполняется
неравенство
Q2(v, v) ≤MQ1(v, v), v ∈ Rl.
Доказательство. Рассмотрим пучок квадратических форм Q1 − λE, где квад-
ратической форме E соответствует единичная матрица. Существует такая матрица
Z, что преобразование v = Zξ приводит Q1 и E к диагональному виду (см. [9,
с. 281 – 285]). Пусть в новом базисе {ei}li=1 форма Q1 имеет вид
Q1(v, v) =
k∑
i=1
aiv
2
i .
Здесь v =
∑l
i=1
viei, ai > 0, 1 ≤ i ≤ k. Рассмотрим действие формы Q2 в этом
базисе
Q2(v, v) = Q2
(
l∑
i=1
viei,
l∑
i=1
viei
)
=
l∑
i,j=1
vivjQ2(ei, ej),
где Q2(v, z) — соответствующая квадратической билинейная форма. По нера-
венству Шварца Q2
2(ei, ej) ≤ Q2(ei, ei)Q2(ej , ej). Поэтому Q2(ei, ej) = 0, ес-
ли i ≥ k + 1 или j ≥ k + 1. Также существует такая константа C > 0, что
|Q2(ei, ej)| ≤ C для всех i, j. Поэтому для всех v ∈ Rl
Q2(v, v) =
k∑
i,j=1
vivjQ2(ei, ej) ≤ C
(
k∑
i=1
|vi|
)2
≤
≤ kC
k∑
i=1
|vi|2 ≤
kC
min
i
ai
k∑
i=1
aiv
2
i = MQ1(v, v),
где M =
kC
min
i
ai
.
Утверждение 6 доказано.
Завершение доказательства утверждения 5. Рассмотрим неотрицательные
квадратические формы в Rm2
Q1(w,w) =
t∫
0
(esA, w)2Rm2ds−
1
t
t∫
0
(esA, w)Rm2ds
2
,
Q2(w,w) =
m∑
i=1
(Ai, w)2Rm2 .
Если w ∈ Rm2
таково, что Q1(w,w) = 0, то (e sA, w)Rm2 является константой.
Отсюда получаем (A,w)Rm2 = . . . = (Ak, w)Rm2 = 0, т. е. Q2(w,w) = 0. По-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
УСЛОВИЯ ГЛАДКОСТИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ . . . 445
этому квадратические формы Q1 и Q2 удовлетворяют условию утверждения 6, и,
следовательно, утверждение 5 доказано.
Завершение доказательства леммы. Как было показано выше, предположение
(7) влечет за собой (17) при больших n. С другой стороны, из утверждения 5
видно, что (17) при больших n не выполняется. Таким образом, предположение
(7) не имеет места, и поэтому оценка (6) справедлива.
Лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы. Обозначим через Sm единичную сферу в
Rm. Из условия H2 следует, что для произвольного z ∈ Sm есть две возможности:
либо существует такое k = 0,m− 1, что B∗(Ak)∗z 6= 0, либо существует такое
j = 1,m, что D∗(Aj)∗z 6= 0. Рассмотрим следующие открытые множества:
SBk = {z ∈ Sm : B∗(Ak)∗z 6= 0}, k = 0,m− 1,
SDj = {z ∈ Sm : D∗(Aj)∗z 6= 0}, j = 1,m,
SBkr =
{
z ∈ Sm : ‖B∗(Ak)∗z‖Rk >
1
r
}
, k = 0,m− 1, r > 0,
SDjq =
{
z ∈ Sm : ‖D∗(Aj)∗z‖Rd >
1
q
}
, j = 1,m, q > 0.
При этом Sm =
(⋃m−1
k=0
SBk
)⋃(⋃m
j=1
SDj
)
=
(⋃m−1
k=0
⋃
r∈Q
SBkr
)⋃
⋃(⋃m
j=1
⋃
q∈Q
SDjq
)
— открытое покрытие компактного множества. Из открытого
покрытия можем выделить конечное подпокрытие:
SBk1r1 , . . . , S
B
klrl
, SDj1q1 , . . . , S
D
jsqs .
Рассмотрим следующие множества:
X1 = SBk1r1 ,
X2 = SBk2r2\X1,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Xl = SBklrl\
(⋃l−1
i=1
Xi
)
.
Пусть SmB =
⋃l
i=1
Xi,
Y1 = SDj1q1\S
m
B ,
Y2 = SDj2q2\
(
Y1
⋃
SmB
)
,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Ys = SDjsqs\
((⋃s−1
i=1
Yi
)⋃
SmB
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
446 С. В. БОДНАРЧУК, А. М. КУЛИК
Пусть SmD =
⋃s
i=1
Yi и, кроме того, z ∈ Rm. Рассмотрим два соотношения:
z
‖z‖Rm
∈ SmB и
z
‖z‖Rm
∈ SmD . В силу приведенных выше рассуждений хотя бы
одно из этих соотношений выполняется. Докажем, что если выполнено первое соот-
ношение, то существуют такие α > 0, β > 0, что λ{0 ≤ s ≤ t : ‖B∗e(t−s)A∗
z‖Rk ≥
≥ α‖z‖Rm} ≥ β. Предположим, что это не так. Тогда существует такая последова-
тельность ln ∈ SmB , n ≥ 1, что
λ
{
0 ≤ s ≤ t : ‖B∗e(t−s)A
∗
ln‖Rk >
1
n
}
<
1
n
, n ≥ 1,
т. е. последовательность функций {‖B∗e(t−s)A∗
ln‖} сходится по мере Лебега к
функции, тождественно равной нулю. Поскольку SmB — компактное множество,
без ограничения общности можем считать, что ln → l ∈ SmB . Но при каждом
s ∈ [0, t] отображение τs : l 7→ B∗e(t−s)A
∗
l является линейным и непрерывным,
поэтому функция s 7→ ‖B∗e(t−s)A∗
l‖ почти наверное (по мере Лебега) равна нулю.
Поскольку эта функция, очевидно, непрерывна, отсюда следует равенство
B∗e(t−s)A
∗
l = 0, s ∈ [0, t]. (18)
Возьмем (m − 1) -ю производную по s от равенства (18) и рассмотрим значения
функции B∗e(t−s)A
∗
l и ее производных при s = t. Получим
B∗l = B∗A∗l = · · · = B∗(A∗)m−1l = 0.
Пришли к противоречию, поскольку для всех l ∈ SmB существуют такие k =
= 0,m− 1, r > 0, что ‖B∗(A∗)kl‖ > 1
r
.
Если
z
‖z‖Rm
∈ SmD , то существует такое j0 = 1,m, что ‖D∗(Aj0)∗z‖Rd ≥
≥ q‖z‖Rm . Из оценки (6) имеем
t∫
0
[
cos (esADu, z)Rm − 1
]
ds ≤ −γ
(
m∑
k=1
[
(AkDu, z)2Rm ∧ 1
])
≤
≤ −γ
[
(Aj0Du, z)2Rm ∧ 1
]
= −γ
[
(u,D∗(Aj0)∗z)2Rm ∧ 1
]
=
= −γ‖z‖2Rm
[(
u,
D∗(Aj0)∗z
‖D∗(Aj0)∗z‖Rd
∥∥∥∥D∗(Aj0)∗
z
‖z‖Rm
∥∥∥∥
Rd
)2
Rm
∧ 1
‖z‖2Rm
]
≤
≤ −γq2‖z‖2Rm inf
l : ‖l‖Rd=1
[
(u, l)2Rd ∧
1
q2‖z‖2Rm
]
.
Оценим ‖z‖nRm |φX(t)(z)| при всех n ≥ 0, z ∈ Rm. Модуль характеристической
функции процесса X(t) имеет вид
|φX(t)(z)| =
= exp
t∫
0
−1
2
‖B∗e(t−s)A
∗
z‖2Rk +
∫
Rd
[
cos(e(t−s)ADu, z)Rm − 1
]
Π(du)
ds
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
УСЛОВИЯ ГЛАДКОСТИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ . . . 447
Поэтому
‖z‖nRm |φX(t)(z)| ≤
≤ ‖z‖nRm exp
−q2‖z‖2Rm min
αβ
2q2
, γ inf
l : ‖l‖Rd=1
∫
Rd
[(u, l)2Rd ∧
1
q2‖z‖2Rm
]Π(du)
.
(19)
Положим ε =
1
q‖z‖Rm
. Тогда правая часть неравенства (19) примет вид
1
qn
exp
ln
1
ε
n− [ε2 ln
1
ε
]−1
min
αβ
2q2
, γ inf
l : ‖l‖Rd=1
∫
Rd
[(u, l)2Rd ∧ ε2]Π(du)
и при выполнении условия (4) стремится к 0 при ε→ 0 + .
Теорема доказана.
1. Боднарчук С. В., Кулик О. М. Умови iснування та гладкостi щiльностi розподiлу для процесу
Орнштейна – Уленбека з шумом Левi // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 2008. – Вип. 79.
– С. 21 – 35.
2. Priola E., Zabczyk J. Densities for Ornstein – Uhlenbeck processes with jumps // Bull. London Math.
Soc. – 2009. – 41. – P. 41 – 50.
3. Yamazato M. Absolute continuity of transition probabilities of multidimensional processes with
independent increments // Probab. Theory and Appl. – 1994. – 38, № 2. – P. 422 – 429.
4. Kolmogoroff A. N. Zufällige Bewegungen // Ann. Math. II. – 1934. – 35. – P. 116 – 117.
5. Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic equations in infinite dimensions. – Camdridge Univ. Press, 1992.
6. Simon T. On the absolute continuity of multidimensional Ornstein – Uhlenbeck processes // Probab.
Theory Relat. Fields, DOI 10.1007/s00440-010-0296-5; arXiv:0908.3736v1.
7. Kulik A. M. Stochastic calculus of variations for general Lévy processes and its applications to jump-type
SDE’s with non-degenerated drift // arxiv.org:math.PR/0606427v2.
8. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. – М.: Наука,
1987. – 304 c.
9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 576 с.
Получено 03.09.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2729 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:10Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/96/4162c861f62dc31a198e83160f673396.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27292020-03-18T19:34:55Z Conditions of smoothness for the distribution density of a solution of a multidimensional linear stochastic differential equation with levy noise Условия гладкости плотности распределения решения многомерного линейного стохастического дифференциального уравнения с шумом Леви Bodnarchuk, S. V. Kulik, A. M. Боднарчук, С. В. Кулик, А. М. Боднарчук, С. В. Кулик, А. М. A sufficient condition is obtained for smoothness of the density of distribution for a multidimensional Levy-driven Ornstein-Uhlenbeck process, i.e., a solution to a linear stochastic differential equation with Levy noise. Отримано достатню умову гладкостi щiльностi розподiлу багатовимiрного процесу Орнштейна – Уленбека з шумом Левi, тобто розв’язку лiнiйного стохастичного диференцiального рiвняння з шумом Левi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2729 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 4 (2011); 435-447 Український математичний журнал; Том 63 № 4 (2011); 435-447 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2729/2214 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2729/2215 Copyright (c) 2011 Bodnarchuk S. V.; Kulik A. M. |
| spellingShingle | Bodnarchuk, S. V. Kulik, A. M. Боднарчук, С. В. Кулик, А. М. Боднарчук, С. В. Кулик, А. М. Conditions of smoothness for the distribution density of a solution of a multidimensional linear stochastic differential equation with levy noise |
| title | Conditions of smoothness for the distribution density of a solution of a multidimensional linear stochastic differential equation with levy noise |
| title_alt | Условия гладкости плотности распределения решения многомерного линейного стохастического дифференциального уравнения с шумом Леви |
| title_full | Conditions of smoothness for the distribution density of a solution of a multidimensional linear stochastic differential equation with levy noise |
| title_fullStr | Conditions of smoothness for the distribution density of a solution of a multidimensional linear stochastic differential equation with levy noise |
| title_full_unstemmed | Conditions of smoothness for the distribution density of a solution of a multidimensional linear stochastic differential equation with levy noise |
| title_short | Conditions of smoothness for the distribution density of a solution of a multidimensional linear stochastic differential equation with levy noise |
| title_sort | conditions of smoothness for the distribution density of a solution of a multidimensional linear stochastic differential equation with levy noise |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2729 |
| work_keys_str_mv | AT bodnarchuksv conditionsofsmoothnessforthedistributiondensityofasolutionofamultidimensionallinearstochasticdifferentialequationwithlevynoise AT kulikam conditionsofsmoothnessforthedistributiondensityofasolutionofamultidimensionallinearstochasticdifferentialequationwithlevynoise AT bodnarčuksv conditionsofsmoothnessforthedistributiondensityofasolutionofamultidimensionallinearstochasticdifferentialequationwithlevynoise AT kulikam conditionsofsmoothnessforthedistributiondensityofasolutionofamultidimensionallinearstochasticdifferentialequationwithlevynoise AT bodnarčuksv conditionsofsmoothnessforthedistributiondensityofasolutionofamultidimensionallinearstochasticdifferentialequationwithlevynoise AT kulikam conditionsofsmoothnessforthedistributiondensityofasolutionofamultidimensionallinearstochasticdifferentialequationwithlevynoise AT bodnarchuksv usloviâgladkostiplotnostiraspredeleniârešeniâmnogomernogolinejnogostohastičeskogodifferencialʹnogouravneniâsšumomlevi AT kulikam usloviâgladkostiplotnostiraspredeleniârešeniâmnogomernogolinejnogostohastičeskogodifferencialʹnogouravneniâsšumomlevi AT bodnarčuksv usloviâgladkostiplotnostiraspredeleniârešeniâmnogomernogolinejnogostohastičeskogodifferencialʹnogouravneniâsšumomlevi AT kulikam usloviâgladkostiplotnostiraspredeleniârešeniâmnogomernogolinejnogostohastičeskogodifferencialʹnogouravneniâsšumomlevi AT bodnarčuksv usloviâgladkostiplotnostiraspredeleniârešeniâmnogomernogolinejnogostohastičeskogodifferencialʹnogouravneniâsšumomlevi AT kulikam usloviâgladkostiplotnostiraspredeleniârešeniâmnogomernogolinejnogostohastičeskogodifferencialʹnogouravneniâsšumomlevi |