On the mean value of the function $\overline{S}_k(n)$
An asymptotic formula is constructed for a mean value of the function $\overline{S}_k(n)$ which is dual to the Smarandache function $S_k(n)$. $O$- and $\Omega$-estimates for the second moment of the remainder term are obtained.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2730 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508689105944576 |
|---|---|
| author | Varbanets, P. D. Kirbat, S. A. Варбанец, П. Д. Кирбат, С. А. Варбанец, П. Д. Кирбат, С. А. |
| author_facet | Varbanets, P. D. Kirbat, S. A. Варбанец, П. Д. Кирбат, С. А. Варбанец, П. Д. Кирбат, С. А. |
| author_sort | Varbanets, P. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:55Z |
| description | An asymptotic formula is constructed for a mean value of the function $\overline{S}_k(n)$ which is dual to the Smarandache function $S_k(n)$.
$O$- and $\Omega$-estimates for the second moment of the remainder term are obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519
П. Д. Варбанец, С. А. Кирбат (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ Sk(n)
An asymptotic formula is constructed for a mean value of the function Sk(n) which is dual to the Smarandache
function Sk(n). O- and Ω-estimates for the second moment of the remainder term are obtained.
Побудовано асимптотичну формулу для середнього значення функцiї Sk(n), яка є дуальною до функцiї
Смарандача Sk(n). Отримано O- i Ω-оцiнки другого моменту залишкового члена.
1. Введение. Пусть k — фиксированное натуральное число. Обозначим через
Sk(n) функцию натурального аргумента, которая определяется как наибольшее
натуральное число m такое, что mk|n. Функцию Sk(m) можно рассматривать как
двойственную к функции Смарандача, исследованной в работах [1, 2]. Функция
Sk(n) изучалась в работах [3, 4].
Целью настоящей статьи является построение верхних и нижних оценок оста-
точного члена в асимптотической формуле для среднего значения Sk(n).
Легко видеть, что функция Sk(n) мультипликативна и Sk(pa) = p[a/k] для
простого числа p (здесь [u] обозначает целую часть вещественного числа u). От-
сюда следует, что производящий ряд Дирихле для последовательности {Sk(n)},
n = 1, 2, . . . , в области <s > 1 имеет вид
Fk(s) :=
∑ Sk(n)
ns
=
ζ(s)ζ(ks− 1)
ζ(ks)
. (1)
Будем различать случаи k = 2 и k ≥ 3.
Нам понадобятся некоторые стандартные обозначения: s = σ + it — комплекс-
ное число; σ = <s, t = =s; ζ(s) — дзета-функция Римана; символ Виноградо-
ва � означает то же, что и символ Ландау O; γ — постоянная Эйлера; Γ(z) —
гамма-функция Эйлера; ε > 0 — произвольно малое, не всегда одно и то же;
exp(u) = eu.
2. Вспомогательные результаты. Будем использовать некоторые факты о
дзета-функции Римана ζ(s).
Лемма 1. Для ζ(s) справедливы следующие соотношения:
ζ(s) =
1
s− 1
+ γ +O (|s− 1|) в окрестности точки s = 1, (2)
ζ(s)� |t|c(1−σ)
3/2
(log |t|)2/3 , c > 0 — константа,
1
2
≤ σ ≤ 2, |t ≥ 3|,
(ζ(s))
−1 � (log(|t|+ 3))
2/3
, если σ ≥ 1,
(3)
ζ(s) = χ(s)ζ(1− s), где χ(s) = π−1/2+s
Γ ((1− s)/2)
Γ (s/2)
,
|χ(s)| � (1 + |t|)1/2−σ ,
(4)
c© П. Д. ВАРБАНЕЦ, С. А. КИРБАТ, 2011
448 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ Sk(n) 449
T∫
1
|ζ(σ + it)|2dt� T min
(
log T,
1
σ − 1/2
)
, если σ ≥ 1
2
,
T∫
1
|ζ(σ + it)|4dt� ζ4(2σ)
ζ(4σ)
T, если σ >
1
2
,
T∫
1
∣∣∣∣ζ (1
2
+ it
)∣∣∣∣4 dt� T log4 T в остальных случаях.
(5)
Доказательство см. в [5].
Лемма 2 (верхняя оценка среднего значения полинома Дирихле). Пусть
S(s) =
∑
N1<n≤N2
ann
−s — полином Дирихле, an ∈ C. Тогда для любых веще-
ственных T0 и T1 имеем
T0+T∫
T0
|S(it)|2dt =
∑
N1<n≤N2
(T +Bn)|an|2, (6)
где B — абсолютная постоянная.
Доказательство см. в [4]).
Лемма 3 [6]. Пусть для <s ≥ σ0 ряд Дирихле 1 +
∑∞
n=2
ann
−s сходится
абсолютно и определяет регулярную в области
{
<s ≥ 1
2
, M ≤ =s ≤ 2M
}
функцию F (s), причем F (s)� exp(MD) и an � exp(MD) для некоторого D > 0.
Тогда
1
M
2M∫
M
∣∣∣∣F (1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dt� ∑
n≤ 1
100M
|an|2
n
(
1− log n
logM
+
1
log logM
)
. (7)
3. Верхняя оценка ∆k(x). В работе [7] получена асимптотическая формула
для суммы
Gk(x) :=
∑
n≤x
Sk(n).
Докажем теорему, которая уточняет главный член асимптотики для G(x) и улуч-
шает остаточный член.
Теорема 1. При x→∞ справедлива асимптотическая формула
Gk(x) = Ak(x) + ∆k(x),
где
Ak(x) =
3
π2
x
(
log x+ 3γ − 1− 12
π2
ζ ′(2)
)
, если k = 2,
ζ(2)
ζ(3)
x+
ζ (2/3)
2ζ(2)
x2/3, если k = 3,
ζ(k − 1)
ζ(k)
x, если k ≥ 4,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
450 П. Д. ВАРБАНЕЦ, С. А. КИРБАТ
∆k(x)�
x3/4(log x)3/2, если k = 2,
x1/2(log x)2, если k = 3,
x1/2(log x)3/2, если k = 4,
x1/2 log x, если k ≥ 5.
Замечание 1. В работе [7] пропущено второе слагаемое главного члена асимп-
тотики при k = 3, а в остаточных членах xε мы заменили степенями log x.
Доказательство теоремы 1. Поскольку Sk(n) ≤ n1/k, то, полагая ck =
=
k + 1
k
+
1
log x
, по формуле Перрона для каждого T > 1 получаем
∑
n≤x
Sk(n) =
1
2πi
ck+iT∫
ck−iT
ζ(s)ζ(ks− 1)
ζ(ks)
xs
s
ds+O
(
x(k+1)/k
T
(log x)α
)
, (8)
где α — кратность полюса подынтегральной функции в точке s = 1 (т. е. α = 2,
если k = 2, и α = 1 при k ≥ 3).
Пусть сначала k = 2. Передвинем контур интегрирования на прямую <s =
3
4
.
Тогда из оценок (3) – (5) и неравенства Коши – Шварца имеем∑
n≤x
S2(n) = res
s=1
(
ζ(s)ζ(2s− 1)
ζ(2s)
xs
s
)
+
+O
(
x3/2
T
)
+O
(
x3/4(log T )3/2
)
+O
(
x3/2
T
log2 x
)
.
Учитывая (2) и разложения
1
ζ(2s)
=
1
ζ(2)
− ζ ′(2)
ζ2(2)
(s− 1) +O(|s− 1|2),
(
ζ(2) =
π2
6
)
,
xs
s
= x+ (x log x− 1)(s− 1) +O(|s− 1|2),
при T = x получаем
S2(x) =
3
π2
x
(
log x+ 3γ − 1− 12
π2
ζ ′(2)
)
+O
(
x3/4(log x)3/2
)
. (9)
При k ≥ 3 передвинем контур интегрирования в (8) на прямую <s =
1
2
. Тогда
S3(x) =
1
2πi
1/2+iT∫
1
2−iT
ζ(s)ζ(3s− 1)
ζ(3s)
xs
s
ds+
+O
(
x1/2 log2 T
)
+O
(
x4/5
T
log x
)
+
+ res
s=1
(
ζ(s)ζ(3s− 1)
ζ(3s)
xs
s
)
+ res
s= 2
3
(
ζ(s)ζ(3s− 1)
ζ(3s)
xs
s
)
. (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ Sk(n) 451
Теперь в силу (5) и неравенства Коши – Шварца имеем∣∣∣∣∣∣∣
1/2+iT∫
1
2−iT
ζ(s)ζ(3s− 1)
ζ(3s)
xs
s
ds
∣∣∣∣∣∣∣� x1/2
T∫
1
∣∣ζ ( 12 + it
)∣∣2
t
dt
1/2×
×
T∫
1
∣∣ζ ( 12 + 3it
)∣∣2
t
dt
1/2 � x1/2 log2 T. (11)
Полагая T = x, получаем утверждение теоремы при k = 3. В случае k = 4
подынтегральная функция имеет полюс первого порядка в точке s =
1
2
. Поэтому в
новом контуре мы предусматриваем обход точки s =
1
2
по правой полуокружности∣∣∣∣s− 1
2
∣∣∣∣ =
1
log x
. При k ≥ 5 этот обход не нужен. Следовательно, рассуждая, как и
в случае k = 3, находим
Ak(x) =
ζ(k − 1)
ζ(k)
x, k = 4, 5, . . . ,
∆4(x) = O
(
x1/2(log x)3/2
)
,
∆k(x = O
(
x1/2 log x
)
, k = 5, 6, . . . ,
что и завершает доказательство теоремы 1.
4. O-оценка среднего квадрата остаточного члена ∆k(x). Основной целью
данной статьи является исследование ∆k(x) в среднем квадратичном.
Теорема 2. Для X →∞ имеем
X∫
1
∆2
k(x)dx�
X
2(logX)14/3, если k = 2,
X(k+3)/k log2X, если k ≥ 3.
(12)
Доказательство. Сначала приведем стандартную формулу Перрона
∑
n≤x
Sk(n) =
1
2πi
c+i∞∫
c−i∞
Fk(s)
xs
s
ds, c > 2, (13)
где Fk(s) определено формулой (1).
Положим
a(k) = a =
1
2
+
1
log x
, если k = 2,
3
2k
+
1
log x
, если k ≥ 3.
Рассмотрим случай k = 2.
Передвинем контур интегрирования в (13) на прямую <s =
1
2
+
1
log x
. Тогда
согласно теореме о вычетах имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
452 П. Д. ВАРБАНЕЦ, С. А. КИРБАТ
∆2(x) =
1
2πi
a+i∞∫
a−i∞
F2(s)
xs
s
ds. (14)
Из (14) следует, что
1
s
F2(s) является преобразованием Меллина для функции
∆2
(
1
x
)
, а потому равенство Парсеваля для преобразования Меллина приводит
к соотношению
1
2πi
∞∫
−∞
|F2(a+ it)|2 dt
|a+ it|2
=
=
∞∫
0
∆2
2
(
1
x
)
x2a−1dx =
∞∫
0
∆2(x)x−2a−1dx. (15)
Известно, что интегралы в (15) слева и справа сходятся или расходятся одновре-
менно.
Учитывая, что F2(s) = ζ(s)ζ(2s− 1)ζ−1(2s), из (15) получаем
2X∫
X
∆2
2(x)dx� X2a+1
∞∫
−∞
|ζ(a+ it)|2|ζ(2a− 1 + 2it)|2
|ζ(2a+ 2it)|2
dt
|a+ it|2
�
� X2a+1
∞∫
0
∆2
2(x)dx. (16)
В последнем интеграле разобьем промежуток интегрирования на три части: (0, 3),
(3, Y ) и (Y,∞), где Y = exp(10 logX log logX).
В силу (3), (4) имеем
ζ(2a− 1 + 2it) =
= ζ
(
2
logX
+ 2it
)
� (1 + t)1/2−2/ logX
∣∣∣∣ζ (1− 2
logX
+ 2it
)∣∣∣∣�
�
logX, если 0 ≤ t ≤ 3,
t1/2−2/ logX+C1(logX)−3/2
(log t)2/3, если t ≥ t ≥ 3,
(17)
ζ−1
(
1 +
2
logX
+ 2it
)
� (log (t+ 3))2/3. (18)
Поэтому, используя (2) – (5), (17), (18), получаем
I1 :=
3∫
0
|F2(a+ it)|2 dt
|a+ it|2
� log2X, (19)
I2 :=
Y∫
3
t−1−4/ logX
∣∣∣∣ζ (1
2
+
1
logX
+ it
)∣∣∣∣2 tC1(logX)−3/2
(log t)8/3dt�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ Sk(n) 453
�
Y∫
3
∣∣∣∣ζ (1
2
+
1
logX
+ it
)∣∣∣∣2 t−1+3/(logX)(log t)8/3dt. (20)
Для вычисления последнего интеграла полагаем
U(t) = t−1+3/ logX(log t)8/3, V (t) =
t∫
3
∣∣∣∣ζ (1
2
+
1
logX i
v
)∣∣∣∣2 dv,
а затем, интегрируя по частям и используя (5), приходим к оценке
I2 � (logX)14/3. (21)
Далее, имеем
I3 =
∞∫
Y
|F2(a+ it)|2 dt
|a+ it|2
=
∞∑
i=1
2jY∫
2j−1Y
|F2(a+ it)|2 dt
|a+ it|2
. (22)
Теперь, применяя предыдущие рассуждения, для каждого M ≥ Y получаем
2M∫
M
|F2(a+ it)|2 dt
|a+ it|2
�M−2/ logX(logM)11/3 �M−1/ logX . (23)
Следовательно, из (22), (23) имеем I3 � 1, а потому
I1 + I2 + I3 � (logX)14/3. (24)
Таким образом, при k = 2 теорема доказана.
При k ≥ 3 переносим контур интегрирования в (13) на прямую<s =
3
2k
+
1
logX
и, проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, получаем
I1 � log2X, I2, I3 � 1. (25)
Поскольку соотношение (16) при k ≥ 3 принимает вид
2X∫
X
∆2
k(x)dx� X2a(k)+1(I1 + I2 + I3), (26)
непосредственно получаем утверждение теоремы при k ≥ 3:
2X∫
X
∆2
k(x)dx� X(k+3)/k log2X. (27)
Теорема доказана.
5. Ω-оценка. Теперь установим Ω-результат для второго момента остаточно-
го члена ∆k(x). При этом будем использовать схему A. Ivić, который в работе
[8] получил Ω-оценку второго момента для остаточного члена в задаче о числе
неизоморфных абелевых групп конечного порядка.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
454 П. Д. ВАРБАНЕЦ, С. А. КИРБАТ
Теорема 3. Справедлива оценка
X∫
1
∆2
2(x)dx = Ω(X2 logX).
Доказательство. Воспользуемся парой Меллина ex, Γ(z):
Γ(z) =
∞∫
0
e−xxz−1dx, <z > 0.
С помощью обратного преобразования Меллина получаем
e−x =
1
2πi
c+i∞∫
c−i∞
Γ(z)x−zdz, c > 0.
Положим x = Uh, h > 0, и учтем, что zΓ(z) = Γ(z + 1). Тогда приходим к
стартовому интегралу
exp(−Uh) =
1
2πi
c0+i∞∫
c0−i∞
U−ωΓ
(
1 +
ω
h
) dω
ω
, c0 > 0. (28)
Умножая обе части (28) на n−sS2(n), полагая U =
n
Y
и суммируя по n, имеем
∞∑
n=1
S2(n)n−s exp
((
−n
y
)h)
=
1
2πi
c0+i∞∫
c0−i∞
F2(s+ ω)Y ωΓ
(
1 +
ω
h
) dω
ω
. (29)
В дальнейшем считаем, что s =
1
2
+ it, T 1−δ ≤ t ≤ T, Y = TB , h = log2 T, δ > 0
— достаточно малое, B > 1 — подходящая постоянная (ее значение будет уточнено
позже).
В (29) передвинем контур интегрирования на прямую <s = −1
4
, при этом мы
пройдем через два полюса подынтегральной функции в точках ω = 0 и ω = 1− s.
Учтем, что вычет в точке ω = 0 равен F2(s), а вычет в точке ω = 1 − s дает
вклад в оценку интеграла в (29), равный O(1) (чтобы это увидеть, достаточно вос-
пользоваться формулой Стирлинга для Γ(z) в полосе −1 < <z ≤ 2). Кроме того,
интеграл на прямой <ω = −1
4
также оценивается как O(1) (в силу экспоненциаль-
ного убывания Γ(z) при |=z| → ∞).
Таким образом, из (29) следует
F2(s) =
∞∑
n=1
Sk(n)
ns
exp
(
−
( n
Y
)h)
+O(1) =
=
∑
n≤T
S2(n)
ns
exp
(
−
( n
Y
)h)
+
∑
T<n≤2Y
S2(n)
ns
exp
(
−
( n
Y
)h)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ Sk(n) 455
+
∑
n>2Y
S2(n)
ns
exp
(
−
( n
Y
)h)
+O(1) :=
∑
1
+
∑
2
+
∑
3
+O(1). (30)
Из определения S2(n) следует, что S2(n) ≤ n1/2, а потому условие n > 2Y в
сумме
∑
3
приводит к оценке
∑
3
� 1.
Таким образом,
F2(s) =
∑
1
+
∑
2
+O(1).
Установим верхнюю и нижнюю оценки для интеграла
T∫
T 1−δ
∣∣∣∣F2
(
1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dtt2 .
Пусть M ∈ [T 1−δ, T ]. В силу представления (1) имеем
2M∫
M
∣∣∣∣F2
(
1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dtt2 �M−2
2M∫
M
∣∣∣∣ζ (1
2
+ it
)∣∣∣∣2 |ζ(it)|2
|ζ(1 + 2it)|2
dt. (31)
Поскольку |ζ(σ + it)| = |ζ(σ − it)|, в силу (4)
|ζ(1 + 2it)| = |ζ(−2it)||χ(1 + 2it)| = |ζ(2it)||t|−1/2.
Поэтому можно записать
2M∫
M
∣∣∣∣F2
(
1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dtt2 �
2M∫
M
∣∣∣∣ζ (1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dtt � logM. (32)
Тогда
T∫
T 1−δ
∣∣∣∣F2
(
1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dtt2 ≥
[δ log (T/4)]∑
j=1
2−jT∫
2−j−1T
∣∣∣∣F2
(
1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dtt2 � log2 T (33)
с постоянной в символе �, зависящей от δ.
С другой стороны,
T∫
T 1−δ
∣∣∣∣F2
(
1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dtt2 �
T∫
T 1−δ
(∣∣∣∑
1
∣∣∣2 +
∣∣∣∑
2
∣∣∣2 +O(1)
)
dt
t2
:=
:= I1 + I2 +O
(
T−1+δ
)
. (34)
Далее, полагая T1 = T 1−δ, T1j = 2jT1 и применяя лемму 2, имеем
I1 � T−2−2δ
∞∑
j=1
2−2j
T1j∫
T1j−1
∣∣∣∣∣∣
∑
n≤T
S2(n)n−1/2+it exp
(
−
( n
Y
)h)∣∣∣∣∣∣
2
dt�
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
456 П. Д. ВАРБАНЕЦ, С. А. КИРБАТ
� T−2+2δ
∞∑
j=1
2−2j
∑
n≤T
(n− T1j)
S
2
2(n)
n
�
� T−
3
2+2δ
∞∑
j=1
2−2jT
∑
n≤T
S2(n)
n
� T−1/2+2δ log2 T � T−ε (35)
(
здесь δ <
1
8
, ε > 0 — достаточно малое число
)
.
Осталось оценить I2.
По теореме 1 имеем∑
n≤x
S2(n) = A2(x) +O
(
x3/2 log3/2 x
)
= A2(x) + ∆2(x),
где A2(x) =
3
π2
x
(
log x+ 3γ − 1− 12
π2
ζ ′(2)
)
.
Поэтому, применяя абелевое суммирование, получаем∑
T<n≤Y
S2(n)h−1/2−it exp
(
−
( n
Y
)h)
�
� Y T−1/2t−1 log T +
2Y∫
T
u−1/2−it exp
(
−
( u
Y
)h)
d∆2(u) := I1 + I2. (36)
Возьмем B = 2− 3
2
δ, тогда в силу Y = TB , T 1−δ < t ≤ T имеем
I1 � T−ε. (37)
Далее, интегрированием по частям в I2 получаем
I2 = O
(
T−1/2T 3/4
)
+
+
2Y∫
T
∆2(u) exp
(
−
( u
Y
)h)(1
2
+ it+ h
( u
Y
)h)
u−3/2−itdt. (38)
В последнем интеграле наибольший вклад дает слагаемое, содержащее множитель
t. Поэтому простые вычисления приводят к оценке
I2 � T 1/4 +
∣∣∣∣∣∣
2Y∫
T
t∆2(u) exp
(
−
( u
Y
)h)
u−3/2−itdu
∣∣∣∣∣∣ . (39)
Таким образом, из (34) – (39) находим
T∫
T 1−δ
∣∣∣∣F2
(
1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dtt2 �
T∫
T 1−δ
∣∣∣∣∣∣
∑
T≤n≤2Y
1∫
0
∆2(u+ n)×
× exp
(
−
(
u+ n
Y
)h)
(u+ n)−3/2−itdu
∣∣∣∣∣
2
dt+O(1). (40)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ Sk(n) 457
В последнем внутреннем интеграле применим неравенство Коши – Шварца, изме-
ним порядок интегрирования, а затем применим лемму 1. В результате получим
T∫
T 1−δ
∣∣∣∣F2
(
1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dtt2 �
�
1∫
0
∑
T≤n≤2Y
∆2
2(u+ n) exp
(
−2
(
u+ n
Y
)h)
(u+ n)−3(n+ T )du+O(1)�
�
Y∫
T
∆2
2(x)x−2dx+O(1). (41)
Итак, в силу (33) и (41) имеем
log2 T �
T∫
T 1−δ
∣∣∣∣F2
(
1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dtt2 �
Y∫
T
∆2
2(x)x−2dx+O(1). (42)
Если теперь предположить, что
2M∫
M
∆2
2(x)x−2dx = o(M2 logM),
то соотношение (42) перейдет в противоречивое соотношение
log2 T �
T∫
T 1−δ
∣∣∣∣F2
(
1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dtt2 � o(log2 T ).
Следовательно, мы доказали, что
2X∫
X
∆2
2(x)dx = Ω(X2 logX).
Теорема 3 доказана.
Следствие 1. ∆2(x) = Ω
(
x1/2 log1/2 x
)
.
Замечание 2. По рассмотренной выше схеме доказательства теоремы 3 можно
рассмотреть и случаи k = 3, 4, . . . .
При k = 3, 4, . . . , дословно повторяя предыдущие рассуждения, получаем нера-
венство
T∫
T 1−δ
∣∣∣∣F2
(
1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dtt2 �
Y∫
T
∆k(x)x−2dx+O(1). (43)
Кроме того, при k = 3∣∣∣∣F2
(
1
2
+ it
)∣∣∣∣2 =
∣∣∣∣ζ (1
2
+ it
)∣∣∣∣2 ∣∣∣∣ζ (1
2
+ 3it
)∣∣∣∣2 ∣∣∣∣ζ−1(3
2
+ 3it
)∣∣∣∣2 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
458 П. Д. ВАРБАНЕЦ, С. А. КИРБАТ
Заметим, что при σ > 1
ζ(σ + it)ζ(σ + 3it) =
∑ Cn
nσ+it
,
где
Cn =
∑
m3d=n
am, am =
m
1/3, если m = `3,
0 в противном случае.
Отсюда ∑
n≤x
|Cn|2
n
�
∑
n≤x
n=`3
n−1/3 � log x.
Поэтому при k = 3, применяя лемму 3, имеем
1
M
2M∫
M
∣∣∣∣F3
(
1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dt� logM. (44)
При k ≥ 4 непосредственно получаем
1
M
2M∫
M
∣∣∣∣Fk (1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dt� 1
M
2M∫
M
∣∣∣∣ζ (1
2
+ it
)∣∣∣∣2 dt� logM.
Следовательно, из оценок (43), (44) можно получить Ω-оценки вида
2X∫
X
∆k(x)dx = Ω(X logX), k ≥ 3,
которые, по-видимому, не интересны.
6. Заключение. Из теоремы 2 можно вывести, что для почти всех x ≤ X
при X → ∞, за исключением o(X), справедлива оценка ∆2(x) � x1/2 log1/2 x.
Поэтому можно сделать предположение, что при всех k = 2, 3, . . . и всех x → ∞
∆k(x) � x1/2 logαk x, αk ≥ 0. Кроме того, сравнение теорем 2 и 3 показывает,
что O- и Ω-оценки второго момента остаточного члена ∆2(x) близки к неулучшае-
мым. Проблема построения Ω-оценок для второго момента ∆k(x), k ≥ 3, остается
открытой.
1. Balacenoin J., Seleacu V. History of the Smarandache function // Smarandache Not. J. – 1999. – 10,
№ 1–3. – P. 192 – 201.
2. Ding Liping. On the mean value of the Smarandache ceil function // Sci. Magna. – 2005. – 1, № 2. –
P. 74 – 77.
3. Lu Yaming. On a dual function of the Smarandache function // Res. on Smarandache Problems in the
Number Theory (Hexis, Phoenix, AZ). – 2005. – 2. – P. 55 – 57.
4. Montgomery H., Vaughan R. Hilbert’s inequality // J. London Math. Soc. – 1974. – 2, № 8. – P. 73 – 82.
5. Ivić A. The Riemann zeta-function. – New York: Joun Wiley Sons, 1985.
6. Ramachandra K. On the mean-value and Omega-theorems for the Riemann zeta-function // Tata Inst.
Found. Res. – Bombay, 1995.
7. Xiaoyan Li. The mean value of the k th Smarandache dual function // Proc. Fifth Int. Conf. Number
Theory and Smarandache Notions. – Hexis, 2009. – P. 128 – 132.
8. Ivić A. On the number of subgroups of finite abelian groups // J. Théorie Nombres Bordeaux. – 1997. –
9. – P. 371 – 381.
Получено 25.10.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2730 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:12Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0e/1eea248c447217c1b5bc3de7f8363c0e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27302020-03-18T19:34:55Z On the mean value of the function $\overline{S}_k(n)$ O среднем значении функции $\overline{S}_k(n)$ Varbanets, P. D. Kirbat, S. A. Варбанец, П. Д. Кирбат, С. А. Варбанец, П. Д. Кирбат, С. А. An asymptotic formula is constructed for a mean value of the function $\overline{S}_k(n)$ which is dual to the Smarandache function $S_k(n)$. $O$- and $\Omega$-estimates for the second moment of the remainder term are obtained. Побудовано асимптотичну формулу для середнього значення функцiї $\overline{S}_k(n)$, яка є дуальною до функцiї Смарандача $S_k(n)$. Отримано $O$- i $\Omega$-оцiнки другого моменту залишкового члена. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2730 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 4 (2011); 448-458 Український математичний журнал; Том 63 № 4 (2011); 448-458 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2730/2216 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2730/2217 Copyright (c) 2011 Varbanets P. D.; Kirbat S. A. |
| spellingShingle | Varbanets, P. D. Kirbat, S. A. Варбанец, П. Д. Кирбат, С. А. Варбанец, П. Д. Кирбат, С. А. On the mean value of the function $\overline{S}_k(n)$ |
| title | On the mean value of the function $\overline{S}_k(n)$ |
| title_alt | O среднем значении функции $\overline{S}_k(n)$ |
| title_full | On the mean value of the function $\overline{S}_k(n)$ |
| title_fullStr | On the mean value of the function $\overline{S}_k(n)$ |
| title_full_unstemmed | On the mean value of the function $\overline{S}_k(n)$ |
| title_short | On the mean value of the function $\overline{S}_k(n)$ |
| title_sort | on the mean value of the function $\overline{s}_k(n)$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2730 |
| work_keys_str_mv | AT varbanetspd onthemeanvalueofthefunctionoverlineskn AT kirbatsa onthemeanvalueofthefunctionoverlineskn AT varbanecpd onthemeanvalueofthefunctionoverlineskn AT kirbatsa onthemeanvalueofthefunctionoverlineskn AT varbanecpd onthemeanvalueofthefunctionoverlineskn AT kirbatsa onthemeanvalueofthefunctionoverlineskn AT varbanetspd osrednemznačeniifunkciioverlineskn AT kirbatsa osrednemznačeniifunkciioverlineskn AT varbanecpd osrednemznačeniifunkciioverlineskn AT kirbatsa osrednemznačeniifunkciioverlineskn AT varbanecpd osrednemznačeniifunkciioverlineskn AT kirbatsa osrednemznačeniifunkciioverlineskn |