On hyperholomorphic functions of the space variable
For quaternionic-differentiable functions of a spatial variable, we prove a theorem on an integral over a closed surface. This theorem is an analog of the Cauchy theorem from complex analysis.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2731 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508689462460416 |
|---|---|
| author | Gerus, O. F. Герус, О. Ф. |
| author_facet | Gerus, O. F. Герус, О. Ф. |
| author_sort | Gerus, O. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:55Z |
| description | For quaternionic-differentiable functions of a spatial variable, we prove a theorem on an integral over a closed surface. This theorem is an analog of the Cauchy theorem from complex analysis. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
О. Ф. Герус (Житомир. держ. ун-т)
ПРО ГIПЕРГОЛОМОРФНI ФУНКЦIЇ
ПРОСТОРОВОЇ ЗМIННОЇ
For quaternionic-differentiable functions of a spatial variable, we prove a theorem on an integral over a closed
surface. This theorem is an analog of the Cauchy theorem from complex analysis.
Для кватернионно дифференцируемых функций пространственной переменной доказана теорема об
интеграле по замкнутой поверхности, являющаяся аналогом теоремы Коши из комплексного анализа.
1. Вступ. Початком розвитку гiперкомплексного аналiзу у просторi R3 була ро-
бота Г. Моiсiла i Н. Теодореско [1] (див. також [2]), у якiй уперше запропоновано
тривимiрний аналог системи рiвнянь Кошi – Рiмана. Р. Фютер [3] побудував її чоти-
ривимiрне узагальнення та уперше увiв клас „регулярних” кватернiонних функцiй
як таких, що задовольняють запропоновану ним систему. Це дозволило довести
кватернiоннi аналоги теореми Кошi, iнтегральної формули Кошi, теореми Лiувiлля
та побудувати аналог ряду Лорана. На даний час кватернiонний аналiз набув ши-
рокого розвитку (детальнiше див. [4 – 7]), у першу чергу, завдяки його фiзичним
застосуванням. При цьому гiперголоморфними прийнято називати функцiї, якi ма-
ють у данiй областi неперервнi частиннi похiднi та задовольняють вищезгадану
систему рiвнянь.
У роботi [4] доведено теорему про iнтеграл вiд гiперголоморфних функцiй по
замкненiй кусково-гладкiй поверхнi, яка є просторовим аналогом теореми Кошi з
комплексного аналiзу. При цьому було використано кватернiонну формулу Стокса
для обмежених областей з кусково-гладкою межею та функцiй, якi мають непе-
рервнi частиннi похiднi у замиканнi областi. У данiй роботi ми розглядаємо бiльш
слабке означення гiперголоморфної функцiї, вимагаючи лише диференцiйовнiсть її
компонент та виконання умов типу Кошi – Рiмана, подiбно до одного з означень го-
ломорфної функцiї у комплексному аналiзi (див. [8]), та доводимо аналог теореми
Кошi для функцiй, гiперголоморфних за новим означенням.
2. Кватернiони. Кватернiоннi гiперголоморфнi функцiї. Нехай H(C) — алгеб-
ра комплексних кватернiонiв
a =
3∑
k=0
akik,
де {ak}3k=0 ⊂ C, i0 = 1 — одиниця, i1, i2, i3 — уявнi кватернiоннi одиницi з пра-
вилом множення i1
2 = i2
2 = i3
2 = i1i2i3 = −1. Норма кватернiона визначається
формулою
|a| :=
√√√√ 3∑
k=0
|ak|2.
Розглянемо дiйснi векторнi кватернiони z := z1i1 + z2i2 + z3i3, що є точками
евклiдового простору R3, надiленого додатково структурою кватернiонного мно-
ження.
c© О. Ф. ГЕРУС, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4 459
460 О. Ф. ГЕРУС
Нехай Ω — область у просторi R3. Для функцiй f : Ω → H(C), якi мають
частиннi похiднi першого порядку, розглянемо диференцiальнi оператори
Dl[f ] :=
3∑
k=1
ik
∂f
∂zk
,
Dr[f ] :=
3∑
k=1
∂f
∂zk
ik.
Означення 1. Функцiя f := f0 + f1i1 + f2i2 + f3i3 називається лiво- або
право- H-диференцiйовною в точцi z0 ∈ R3, якщо її компоненти f0, f1, f2, f3 є
R3-диференцiйовними функцiями в z0 i справджується вiдповiдно умова
Dl[f ](z0) = 0 (1)
або
Dr[f ](z0) = 0. (2)
Це означення є аналогом вiдомого у комплексному аналiзi означення C-диферен-
цiйовної функцiї (див. [8, с. 33, 34]). Вiдомо (див. там же), що C-диференцiйовнiсть
комплексної функцiї рiвносильна iснуванню її похiдної. У гiперкомплексному ана-
лiзi такої рiвносильностi немає. Зокрема, у кватернiонному аналiзi мають похiдну
лише лiнiйнi функцiї певного вигляду (див. [9]).
Оператор Dl називається оператором Дiрака [10] або оператором Моiсiла –
Теодореско [11], а рiвнiсть (1) рiвносильна системi рiвнянь Моiсiла – Теодорес-
ко [1].
Означення 2. Функцiя f називається лiво-гiперголоморфною або право-гi-
перголоморфною в областi Ω, якщо вона вiдповiдно лiво- або право- H-диферен-
цiйовна у кожнiй точцi цiєї областi.
У вiдомих роботах (див., наприклад, [11]) означення гiперголоморфних функцiй
мiстили додаткову умову неперервностi частинних похiдних компонент функцiї f.
Позначимо через ν(z) := ν1(z)i1 + ν2(z)i2 + ν3(z)i3 одиничний вектор зов-
нiшньої нормалi до поверхнi Γ, яка є межею областi Ω, в тих точках z, де вiн
iснує.
Теорема 1. Нехай P — поверхня замкненого куба, який мiститься в одно-
зв’язнiй областi Ω, функцiя f : Ω → H(C) — право-гiперголоморфна, а функцiя
g : Ω→ H(C) — лiво-гiперголоморфна. Тодi справедлива формула∫∫
P
f(z) ν(z) g(z) ds = 0, (3)
де ν(z) — одиничний вектор зовнiшньої нормалi до поверхнi P у тих точках z, де
вiн iснує.
Зауваження. Формулу (3) було доведено ранiше (див. [4]) для замкнених
кусково-гладких поверхонь при додатковiй умовi неперервностi частинних похiд-
них вiд функцiй f та g.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ПРО ГIПЕРГОЛОМОРФНI ФУНКЦIЇ ПРОСТОРОВОЇ ЗМIННОЇ 461
Доведення. Припустимо супротивне, тобто∣∣∣∣∣∣
∫∫
P
f(z) ν(z) g(z) ds
∣∣∣∣∣∣ = M > 0.
Позначимо через U площу поверхнi P, подiлимо куб на вiсiм рiвних кубiв i
позначимо через P (1) поверхню з площею
U
4
того з них, який задовольняє умову∣∣∣∣∣∣
∫∫
P (1)
f(z) ν(z) g(z) ds
∣∣∣∣∣∣ > M
8
.
Продовжуючи цей процес, отримаємо послiдовнiсть вкладених кубiв з поверхнями
P (n) площею
U
4n
, що задовольняють умову∣∣∣∣∣∣
∫∫
P (n)
f(z) ν(z) g(z) ds
∣∣∣∣∣∣ > M
8n
. (4)
За принципом Кантора iснує єдина спiльна для всiх кубiв точка z(0) = z
(0)
1 i1 +
+ z
(0)
2 i2 + z
(0)
3 i3. Завдяки диференцiйовностi функцiї f та g в околi точки z(0)
подаються у виглядi
f(z) = f(z(0)) +
3∑
m=1
(zm − z(0)
m )
∂f(z(0))
∂zm
+ γ(z, z(0))ρ,
g(z) = g(z(0)) +
3∑
m=1
(zm − z(0)
m )
∂g(z(0))
∂zm
+ γ1(z, z(0))ρ,
де γ(z, z(0)), γ1(z, z(0)) — кватернiоннозначнi нескiнченно малi функцiї при
ρ :=
∣∣∣z − z(0)
∣∣∣→ 0.
Тому для всiх достатньо малих кубiв маємо∫∫
P (n)
f(z) ν(z) g(z) ds = f(z(0))
∫∫
P (n)
ν(z) ds g(z(0))+
+f(z(0))
3∑
m=1
∫∫
P (n)
ν(z) (zm − z(0)
m ) ds
∂g(z(0))
∂zm
+
+
3∑
m=1
∂f(z(0))
∂zm
∫∫
P (n)
(zm − z(0)
m ) ν(z) ds g(z(0))+
+
3∑
m=1
∂f(z(0))
∂zm
3∑
k=1
∫∫
P (n)
(zm − z(0)
m ) ν(z) (zk − z(0)
k )ds
∂g(z(0))
∂zk
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
462 О. Ф. ГЕРУС
+f(z(0))
∫∫
P (n)
ν(z) γ1(z, z(0)) ρ ds+
∫∫
P (n)
γ(z, z(0)) ρ ν(z) ds g(z(0))+
+
3∑
m=1
∂f(z(0))
∂zm
∫∫
P (n)
(zm − z(0)
m ) ν(z) γ1(z, z(0)) ρ ds+
+
3∑
m=1
∫∫
P (n)
γ(z, z(0)) ρ ν(z)(zm − z(0)
m ) ds
∂g(z(0))
∂zm
+
+
∫∫
P (n)
γ(z, z(0)) ν(z)γ1(z, z(0)) ρ2 ds. (5)
Далi нам знадобиться кватернiонна формула Остроградського (див. [4])∫∫
Γ
f(z) ν(z) g(z) ds =
∫∫∫
Ω
(Dr[f ](z) g(z) + f(z)Dl[g](z)) dz1dz2dz3, (6)
де Ω — обмежена область з кусково-гладкою межею Γ, а функцiї f : Ω → H(C) та
g : Ω→ H(C) мають неперервнi частиннi похiднi в Ω.
Перший iнтеграл у правiй частинi рiвностi (5) за формулою (6) дорiвнює нулю.
Другий та третiй iнтеграли за формулою (6) зводяться вiдповiдно до вигляду
f(z(0))Vn
3∑
m=1
im
∂g(z(0))
∂zm
, Vn
3∑
m=1
∂f(z(0))
∂zm
im g(z(0)),
де Vn — об’єм куба K(n), обмеженого поверхнею P (n). Завдяки умовам (1),
(2) вони також дорiвнюють нулю.
Застосування формули (6) до четвертого iнтеграла зводить його до вигляду
3∑
m=1
∂f(z(0))
∂zm
im
3∑
k=1
∫∫∫
K(n)
(zk − z(0)
k ) dz1dz2dz3
∂g(z(0))
∂zk
+
+
3∑
m=1
∂f(z(0))
∂zm
∫∫∫
K(n)
(zm − z(0)
m ) dz1dz2dz3
3∑
k=1
ik
∂g(z(0))
∂zk
,
тому вiн дорiвнює нулю за умовами (1), (2).
Довжина ребра n-го куба дорiвнює
√
U
2n
√
6
, тому ρ 6
√
U
2n
√
2
. Для довiльного
ε > 0 i для всiх кубiв, починаючи з деякого, виконуються нерiвностi
∣∣γ(z, z(0))
∣∣ < ε,∣∣γ1(z, z(0))
∣∣ < ε. Тому з урахуванням того, що модуль добутку двох кватернiонiв
не перевищує добутку їх модулiв, помноженого на
√
2 (див. лему 2.1 роботи [12]),
маємо ∣∣∣∣∣∣ f(z(0))
∫∫
P (n)
ν(z) γ1(z, z(0))ρ ds
∣∣∣∣∣∣ <
√
2U3/2
8n
|f(z(0))| ε, (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ПРО ГIПЕРГОЛОМОРФНI ФУНКЦIЇ ПРОСТОРОВОЇ ЗМIННОЇ 463∣∣∣∣∣∣
∫∫
P (n)
γ(z, z(0)) ρ ν(z) ds g(z(0))
∣∣∣∣∣∣ <
√
2U3/2
8n
|g(z(0))| ε. (8)
Модулi сьомого, восьмого та дев’ятого iнтегралiв разом оцiнюються виразом
U2
16n
(
3∑
m=1
∣∣∣∣∂f(z(0))
∂zm
∣∣∣∣+
3∑
m=1
∣∣∣∣∂g(z(0))
∂zm
∣∣∣∣+ 1
)
ε. (9)
З рiвностi (5) та нерiвностей (4), (7) – (9) випливає
ε
(√
2U3/2
(
|f(z(0))|+ |g(z(0))|
)
+
+ U2
(
3∑
m=1
(∣∣∣∣∂f(z(0))
∂zm
∣∣∣∣+
∣∣∣∣∂g(z(0))
∂zm
∣∣∣∣)+ 1
))
> M.
Отримана суперечнiсть доводить теорему.
Нехай δ > 0,
ωΓ(f, δ) := sup
|z1−z2|6δ
z1,z2 ∈Γ
|f(z1)− f(z2)|
— модуль неперервностi функцiї f на Γ, Γz,δ := {ζ ∈ Γ: |ζ − z| 6 δ}, mes Γz,δ —
поверхнева мiра множини Γz,δ, d(Γ) — дiаметр поверхнi Γ.
Лема 1. Якщо функцiї f, g неперервнi на кусково-гладкiй поверхнi Γ, яка є
межею обмеженої областi, то∣∣∣∣∣∣
∫∫
Γ
f(z) ν(z) g(z) ds
∣∣∣∣∣∣ 6
6 2 mes Γ
(
ωΓ(f, d(Γ)) max
z∈Γ
|g(z)|+ ωΓ(g, d(Γ)) max
z∈Γ
|f(z)|
)
. (10)
Доведення. Завдяки формулi (6) маємо∫∫
Γ
f(z0) ν(z) g(z0) ds = 0
для довiльної точки z0 ∈ Γ. Тому∫∫
Γ
f(z) ν(z) g(z) ds =
∫∫
Γ
(f(z)− f(z0)) ν(z) g(z0) ds+
+
∫∫
Γ
f(z) ν(z) (g(z)− g(z0)) ds,
звiдки i випливає оцiнка (10).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
464 О. Ф. ГЕРУС
Теорема 2. Нехай Ω — обмежена область з кусково-гладкою межею Γ, яка
для довiльних z ∈ R3, δ > 0 задовольняє умову
d(Γz,δ)
mes Γz,δ
6 Λ, (11)
де Λ — додатна стала, функцiя f : Ω→ H(C) є право-гiперголоморфною, а функцiя
g : Ω→ H(C) — лiво-гiперголоморфною, f та g неперервнi в замиканнi Ω. Тодi∫∫
Γ
f(z) ν(z) g(z) ds = 0. (12)
Доведення. Обмежимося випадком однозв’язної областi (загальний випадок
зводиться до даного стандартними мiркуваннями, такими ж, як i в теорiї комп-
лексних голоморфних функцiй). Розiб’ємо простiр площинами, перпендикулярни-
ми координатним осям, на куби з ребром довжини
ε <
d(Γ)
3
√
3
. (13)
Нехай {Kj} , j ∈ J, — скiнченна множина кубiв, якi перетинаються з поверхнею
Γ, K ′j — куби з ребрами довжини 3ε з тими ж центрами, що i Kj .
Оцiнимо суму дiаметрiв кубiв Kj . Завдяки умовi (13) поверхня Γ перетинає
межу ∂K ′j куба K ′j . Тому, згiдно з нерiвнiстю (11), площа mes (Γ ∩ K ′j) частини
поверхнi Γ в кубi K ′j задовольняє умову
mes (Γ ∩K ′j) >
ε√
3Λ
. (14)
З iншого боку, ∑
j∈J
mes (Γ ∩K ′j) 6 27 mes Γ, (15)
бо mes Γ =
∑
j∈J
mes (Γ ∩ Kj), а в сумi
∑
j∈J
mes (Γ ∩ K ′j) кожна з площ
mes (Γ ∩Kj) враховується не бiльше 27 разiв. З нерiвностей (14), (15) отримуємо∑
j∈J
d(Kj) =
∑
j∈J
ε
√
3 6 3Λ
∑
j∈J
mes (Γ ∩K ′j) 6 71 Λ mes Γ. (16)
Iнтеграл (12) можна записати у виглядi∫∫
Γ
f(z) ν(z) g(z) ds =
∑
j∈J
∫∫
∂(Ω∩Kj)
f(z) ν(z) g(z) ds+
+
∑
Kj⊂Ω
∫∫
∂(Kj)
f(z) ν(z) g(z) ds. (17)
За теоремою 1 друга сума в рiвностi (17) дорiвнює нулю.
Кожна з множин Ω ∩ Kj складається з скiнченної або зчисленної сукупностi
зв’язних компонент. Застосувавши до межi кожної з таких компонент оцiнку (10),
отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ПРО ГIПЕРГОЛОМОРФНI ФУНКЦIЇ ПРОСТОРОВОЇ ЗМIННОЇ 465∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
∂(Ω∩Kj)
f(z) ν(z) g(z) ds
∣∣∣∣∣∣∣ 6 2(mes(Γ ∩Kj) + 6ε2)
(
ωΓ(f, ε
√
3) max
z∈Ω
|g(z)|+
+ ωΓ(g, ε
√
3) max
z∈Ω
|f(z)|
)
. (18)
Пiдставляючи нерiвнiсть (18) у рiвнiсть (17), одержуємо∣∣∣∣∣∣
∫∫
Γ
f(z) ν(z) g(z) ds
∣∣∣∣∣∣ 6
6 2
mes Γ + 6
∑
j∈J
ε2
(ωΓ(f, ε
√
3) max
z∈Ω
|g(z)|+ ωΓ(g, ε
√
3) max
z∈Ω
|f(z)|
)
.
З нерiвностi (16) випливає∑
j∈J
ε2 6
∑
j∈J
ε 6
71 Λ√
3
mes Γ,
тому ∣∣∣∣∣∣
∫∫
Γ
f(z) ν(z) g(z) ds
∣∣∣∣∣∣ 6
6 (284
√
3 Λ + 2) mes Γ
(
ωΓ(f, ε
√
3) max
z∈Ω
|g(z)|+ ωΓ(g, ε
√
3) max
z∈Ω
|f(z)|
)
.
Переходячи тут до границi при ε→ 0, отримуємо рiвнiсть (12).
Теорему доведено.
1. Moisil G. C., Theodoresco N. Functions holomorphes dans l’espace // Mathematica (Cluj). – 1931. – 5.
– P. 142 – 159.
2. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. – М.: Наука, 1966.
– 204 с.
3. Fueter R. Die Funktionentheorie der Differentialgleichungen ∆u = 0 und ∆∆u = 0 mit vier reellen
Variablen // Comment. math. helv. – 1936. – 8. – P. 371 – 378.
4. Kravchenko V. V., Shapiro M. V. Integral representations for spatial models of mathematical physics //
Res. Notes Math. Ser. – 1996. – 351. – 247 p.
5. Gürlebeck K., Sprössig W. Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers. – John Wiley
& Sons, 1997. – 384 p.
6. Sudbery A. Quaternionic аnalysis // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1979. – 85. – P. 199 – 225.
7. Kravchenko V. V. Applied quaternionic analysis // Res. and Expos. Math. Ser. – 2003. – 28. – 136 p.
8. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Часть 1. Функции одного переменного. – М.: Наука,
1976. – 320 с.
9. Мейлихзон А. С. По поводу моногенности кватернионов // Докл. АН СССР. – 1948. – 59, № 3. –
С. 431 – 434.
10. Cnops J. An introduction to Dirac operators on manifolds // Progr. Math. Phys. – 2002. – 24. – 211 p.
11. Blaya R. A., Reyes J. B., Shapiro M. On the Laplasian vector fields theory in domains with rectifiable
boundary // Math. Meth. Appl. Sci. – 2006. – 29. – P. 1861 – 1881.
12. Gerus O. F., Shapiro M. V. On a Cauchy-type integral related to the Helmholtz operator in the plane //
Bol. Soc. mat. mexic. – 2004. – 10, № 1. – P. 63 – 82.
Одержано 21.12.10,
пiсля доопрацювання — 10.03.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2731 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:12Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5e/c5021b4b5479c17217f59b517af4ba5e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27312020-03-18T19:34:55Z On hyperholomorphic functions of the space variable Про гіперголоморфні функції просторової змінної Gerus, O. F. Герус, О. Ф. For quaternionic-differentiable functions of a spatial variable, we prove a theorem on an integral over a closed surface. This theorem is an analog of the Cauchy theorem from complex analysis. Для кватернионно дифференцируемых функций пространственной переменной доказана теорема об интеграле по замкнутой поверхности, являющаяся аналогом теоремы Коши из комплексного анализа. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2731 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 4 (2011); 459-465 Український математичний журнал; Том 63 № 4 (2011); 459-465 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2731/2218 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2731/2219 Copyright (c) 2011 Gerus O. F. |
| spellingShingle | Gerus, O. F. Герус, О. Ф. On hyperholomorphic functions of the space variable |
| title | On hyperholomorphic functions of the space variable |
| title_alt | Про гіперголоморфні функції просторової змінної |
| title_full | On hyperholomorphic functions of the space variable |
| title_fullStr | On hyperholomorphic functions of the space variable |
| title_full_unstemmed | On hyperholomorphic functions of the space variable |
| title_short | On hyperholomorphic functions of the space variable |
| title_sort | on hyperholomorphic functions of the space variable |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2731 |
| work_keys_str_mv | AT gerusof onhyperholomorphicfunctionsofthespacevariable AT gerusof onhyperholomorphicfunctionsofthespacevariable AT gerusof progípergolomorfnífunkcííprostorovoízmínnoí AT gerusof progípergolomorfnífunkcííprostorovoízmínnoí |