On positive solutions of one class of evolutionary inclusions of the subdifferential type
Sufficient conditions of the existence of a nonnegative solution are obtained for an evolution inclusion of subdifferential type with multivalued non-Lipschitz perturbation. Under the additional condition of dissipativity, the existence of the global attractor in the class of nonnegative functions...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2733 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508691808124928 |
|---|---|
| author | Kapustyan, O. V. Shklyar, T. B. Капустян, О. В. Шкляр, Т. Б. |
| author_facet | Kapustyan, O. V. Shklyar, T. B. Капустян, О. В. Шкляр, Т. Б. |
| author_sort | Kapustyan, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:55Z |
| description | Sufficient conditions of the existence of a nonnegative solution are obtained for an evolution inclusion of subdifferential
type with multivalued non-Lipschitz perturbation. Under the additional condition of dissipativity, the existence of the global attractor in the class of nonnegative functions is proved. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. В. Капустян, Т. Б. Шкляр (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПРО ДОДАТНI РОЗВ’ЯЗКИ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЕВОЛЮЦIЙНИХ ВКЛЮЧЕНЬ
СУБДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО ТИПУ
Sufficient conditions of the existence of a nonnegative solution are obtained for an evolution inclusion of
subdifferential type with multivalued non-Lipschitz perturbation. Under the additional condition of dissipativity,
the existence of the global attractor in the class of nonnegative functions is proved.
Получены достаточные условия существования неотрицательного решения для эволюционного включе-
ния субдифференциального типа с многозначным нелипшицевым возмущением. При дополнительном
условии диссипативности доказано существование глобального аттрактора в классе неотрицательных
функций.
Вступ. У роботi розглядається проблема розв’язностi у класi невiд’ємних функцiй
для еволюцiйного включення субдиференцiального типу з багатозначним нелiпши-
цевим збуренням типу Немицького, що є напiвнеперервним зверху. Систематичнi
дослiдження проблеми розв’язностi i регулярностi для нескiнченновимiрних ево-
люцiйних включень субдиференцiального типу з лiпшицевим по фазовiй змiннiй
однозначним збуренням проведено в [1, 2]. У класi багатозначних збурень вiдповiд-
нi результати одержано в [3, 4]. Сучаснi дослiдження в цьому напрямi викладено в
[5]. Iснування невiд’ємних розв’язкiв для нелiпшицевих еволюцiйних рiвнянь пара-
болiчного типу для гладких збурень одержано в [6], для неперервної правої частини
— в роботi [7]. У данiй роботi за допомогою апроксимацiї типу Моро – Iосiди бага-
тозначного нелiпшицевого збурення доведено iснування невiд’ємного розв’язку, а
також за додаткової умови дисипативностi доведено iснування глобального атрак-
тора [8] для багатозначного напiвпотоку, породженого цими розв’язками.
Постановка задачi. Нехай Ω ⊂ Rp — обмежена область, H = L2(Ω), ‖·‖ i (·, ·)
— норма i скалярний добуток в H, H+ =
{
u ∈ H | u(x) ≥ 0 майже скрiзь
}
, P (H)
— сукупнiсть усiх непорожнiх пiдмножин H, Cv(H) — сукупнiсть усiх непорожнiх
замкнених обмежених опуклих пiдмножин H.
Розглядаємо задачу
dy
dt
∈ −∂ϕ(y) +G(y), t ∈ (0, T ),
y(0) = y0,
(1)
де ϕ : H 7→ (−∞,+∞] — власна опукла напiвнеперервна знизу (н.н. зн.) функцiя,
D(ϕ) = {u ∈ H | ϕ(u) < +∞}, ∂ϕ : D(∂ϕ) 7→ P (H) — її субдиференцiал, G :
H 7→ Cv(H) — напiвнеперервне зверху (н. н. зв.) багатозначне вiдображення [9].
Тут i далi напiвнеперервнiсть знизу i зверху скалярнозначних функцiй будемо
розумiти у класичному сенсi, натомiсть для багатозначного вiдображення F : H 7→
7→ P (H) будемо казати, що F є н. н. зв. у точцi x0, якщо
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Oδ(x0) : F (x) ⊂ Oε(F (x0)),
де Oε(A) =
{
x ∈ H
∣∣∣ inf
y∈A
‖x− y‖ < ε
}
. Для однозначного вiдображення ця вла-
стивiсть збiгається зi звичайною неперервнiстю.
c© О. В. КАПУСТЯН, Т. Б. ШКЛЯР, 2011
472 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ПРО ДОДАТНI РОЗВ’ЯЗКИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЕВОЛЮЦIЙНИХ ВКЛЮЧЕНЬ . . . 473
За умов
∃C > 0 ∀u ∈ H : ‖G(u)‖+ := sup
v∈G(u)
‖v‖ ≤ C(1 + ‖u‖), (2)
∀R > 0:
{
u ∈ H | ‖u‖ ≤ R, ϕ(u) ≤ R
}
— компакт в H (3)
вiдомо [2, c. 188, 189], [4] (теорема 2.1), що для будь-якого y0 ∈ D(ϕ) задача (1)
має (сильний) розв’язок, тобто iснують y(·) ∈ C([0, T ];H) i f(·) ∈ L1(0, T ;H) такi,
що y(·) є абсолютно неперервною на [a, b] ⊂ (0, T ), y(t) ∈ D(∂ϕ) для майже всiх
(м. в.) t ∈ (0, T ), f(t) ∈ G(y(t)) для м. в. t ∈ (0, T ) i майже скрiзь (м. с.) на (0, T )
dy
dt
∈ −∂ϕ(y(t)) + f(t),
y(0) = y0.
(4)
Розв’язок (4) з фiксованою f(·) ∈ L1(0, T ;H) будемо позначати y(·) = I(y0)f(·) ∈
∈ C([0, T ];H). Оскiльки згiдно з умовами (3)−∂ϕ породжує компактну напiвгрупу,
то вiдображення I(y0) : L1(0, T ;H) 7→ C([0, T ];H) переводить будь-яку рiвномiрно
iнтегровну множину в передкомпактну [3, c. 162]. Отже, справедливим є наступне
твердження, що випливає з [3] (твердження 1.2, лема 1.1).
Лема 1. Якщо для послiдовностi {fn} ⊂ L1(0, T ;H) iснує γ(·) ∈ L1(0, T )
таке, що ‖fn(t)‖ ≤ γ(t) м. с., то по пiдпослiдовностi fn
w→ f в L1(0, T ;H) yn(·) =
= I(y0)fn(·)→ y(·) = I(y0)f(·) в C([0, T ];H).
Нехай G — багатозначне вiдображення типу Немицького, тобто
∃g : R 7→ Cv(R) н. н. зв., |g(y)|+ ≤ C(1 + |y|) (5)
таке, що
∀y ∈ H : G(y) =
{
u ∈ H|u(x) ∈ g(y(x)) м. с.
}
. (6)
Тодi [8] для будь-якого y ∈ H G(y) 6= � i G : H 7→ Cv(H) задовольняє умову (2) з
константою C(1 + (meas Ω)1/2).
Основна мета роботи — з’ясувати умови на функцiї ϕ i g, за яких для будь-якого
y0 ∈ H+ задача (1) мала б розв’язок y(·) такий, що y(t) ∈ H+ ∀t ∈ [0, T ].
Основний результат. У подальшому викладi будемо використовувати наступнi
результати [3, 8]. Для y(·) = I(y0)α(·), z(·) = I(z0)β(·) при всiх 0 ≤ s ≤ t ≤ T
справджується оцiнка
‖y(t)− z(t)‖ ≤ ‖y(s)− z(s)‖+
t∫
s
‖α(p)− β(p)‖ dp. (7)
З (5) випливає, що для будь-якого y ∈ R g(y) = [κ(y), f(y)], де κ : R 7→ R н. н. зн.,
f : R 7→ R н. н. зв.,
|κ(y)| ≤ C(1 + |y|), |f(y)| ≤ C(1 + |y|). (8)
Додаткова умова на g(·) має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
474 О. В. КАПУСТЯН, Т. Б. ШКЛЯР
f(0) ≥ 0. (9)
Для y ∈ H означимо функцiю y+ ∈ H+ таким чином:
y+(x) = max{0, y(x)}.
Додатковi умови на ϕ:
D(ϕ) = H, ϕ(y)− ϕ(y+) ≥ −D
∥∥y − y+
∥∥2 ∀y ∈ H. (10)
Умови (10) задовольняє наступний клас функцiй ϕ [2]:
ϕ(u) =
1
2
∫
Ω
|∇u(x)|2 dx+
∫
Ω
j(u(x))dx, u ∈ H0
1(Ω), j(u) ∈ L1(Ω),
+∞ в iншому випадку,
(11)
де j : R 7→ R опукла н. н. зн., j(u) ≥ −Du2 ∀u ∈ R.
Зауважимо, що якщо g(·) є однозначною, а ϕ має вигляд (11) з j ≡ 0, то (1)
— нелiнiйне параболiчне рiвняння, для якого за умови (9) в роботi [7] доведено
глобальну розв’язнiсть у класi H+.
Основним результатом роботи є наступна теорема.
Теорема 1. Нехай функцiя ϕ задовольняє умови (3), (10), для вiдображення
G(y) =
{
u ∈ H|u(x) ∈ [κ(y(x)), f(y(x))] м. с.
}
виконуються умови (8), (9). Тодi
для будь-якого y0 ∈ H+ задача (1) має принаймнi один розв’язок y(·), для якого
y(t) ∈ H+ ∀t ∈ [0, T ].
Доведення. Для n ≥ 1 розглянемо апроксимацiї типу Моро – Iосiди [2]
fn(x) = sup
y∈R
(
f(y)− n
2
|y − x|2
)
, (12)
де згiдно з (8), (9) f : R 7→ R н. н. зв., |f(y)| ≤ C(1 + |y|), f(0) ≥ 0. Хоча f не
обов’язково угнута, умова не бiльш як лiнiйного зростання дозволяє легко отримати
наступнi властивостi fn(·):
∀n ≥ 1 ∀x ∈ R : fn(x) < +∞, fn(x) ≥ f(x), fn(0) ≥ f(0) ≥ 0,
∀x ∈ R ∃xn : fn(x) = f(xn)− n
2
|xn − x|2, до того ж xn → x, n→∞,
f(x) ≤ fn(x) ≤ f(xn),
f(xn)→ f(x), fn(x)→ f(x), n→∞,
|fn(x)| ≤ C1(1 + |x|), |fn(x)− fn(y)| ≤ C1n(1 + |x|+ |y|)|x− y|,
де константа C1 > 0 не залежить вiд n, x, y.
Тодi для вiдображень
f (n)(x) =
fn(x), |x| < n,
fn(n), x ≥ n,
fn(−n), x ≤ −n,
(13)
одержуємо наступнi властивостi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ПРО ДОДАТНI РОЗВ’ЯЗКИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЕВОЛЮЦIЙНИХ ВКЛЮЧЕНЬ . . . 475
1) f (n)(0) ≥ f(0) ≥ 0 ∀n ≥ 1;
2) для |x| < n f(x) ≤ f (n+1)(x) = fn+1(x) ≤ fn(x) = f (n)(x) ∀n ≥ 1;
3) ∀n ≥ 1 ∀x ∈ R : |f (n)(x)| ≤ C1(1 + |x|);
4) f (n)(x)→ f(x), n→∞ ∀x ∈ R;
5) ∀n ≥ 1 ∃C(n) > 0 ∀x, y ∈ R :
∣∣f (n)(x)− f (n)(y)
∣∣ ≤ C(n) |x− y| .
Розглянемо вiдображення Fn, n ≥ 1, що дiє за правилом
Fn(y)(x) = f (n)(y(x)) ∀y ∈ H.
З властивостi 5 маємо, що для будь-якого n ≥ 1 вiдображення Fn : H 7→ H є
неперервним. З властивостi 3 отримуємо
‖Fn(y)‖ ≤ C̃(1 + ‖y‖),
де C̃ = C1(1 + (meas Ω)1/2). З властивостi 5 випливає нерiвнiсть
‖Fn(y)− Fn(z)‖ ≤ C(n)‖y − z‖. (14)
Розглянемо задачу
dy
dt
∈ −∂ϕ(y) + Fn(y), t ∈ (0, T ),
y(0) = y0 ∈ H+,
(15)
яка внаслiдок лiпшицевостi Fn має єдиний розв’язок yn(·) ∈ C([0, T ];H) [1, 2].
Покладемо ln(t) = f (n)(yn(t)). Тодi yn(·) = I(y0)ln(·) i з властивостi 3 для будь-
якого t ∈ [0, T ] одержуємо ‖ln(t)‖ ≤ C̃(1 + ‖yn(t)‖). Крiм того, використовуючи
функцiю z(·) = I(y0)0 i оцiнку (7), для всiх t ∈ [0, T ] маємо оцiнку
‖yn(t)‖ ≤ C2 +
t∫
0
‖ln(s)‖ds,
де C2 = maxt∈[0,T ] ‖z(t)‖. Тодi, враховуючи наведену вище оцiнку для ‖ln(t)‖ ,
t ∈ [0, T ] , з леми Гронуолла виводимо
max
t∈[0,T ]
‖yn(t)‖ ≤ (C2 + C̃T )eC̃T .
Отже, ‖ln(t)‖ ≤ C̃(1 + (C2 + C̃T )eC̃T ) ∀t ∈ [0, T ]. З леми 1 випливає, що iснують
y(·) ∈ C([0, T ];H) i l(·) ∈ L1(0, T ;H) такi, що по пiдпослiдовностi
yn(·) = I(y0)ln(·)→ y(·) = I(y0)l(·) в C([0, T ];H),
ln(·) w→ l(·) в L1(0, T ;H).
Покажемо, що l(t) ∈ G(y(t)) м. с., тобто y(·) — розв’язок задачi (1).
Оскiльки yn → y в L2(0, T ;L2(Ω)), то iснує пiдпослiдовнiсть {ynk
} така, що
для всiх (t, x) iз множини повної мiри Q1 ⊂ (0, T ) × Ω маємо ynk
(t, x) → y(t, x),
nk →∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
476 О. В. КАПУСТЯН, Т. Б. ШКЛЯР
Позаяк ln(·) w→ l(·) в L1(0, T ;H), то за теоремою Мазура iснують числа λmk ≥ 0,∑∞
k=m
λmk = 1, λmk = 0, крiм скiнченної кiлькостi, такi, що Sm =
∑∞
k=m
λmk lk →
→ l в L1(0, T ;H). Тодi iснує пiдпослiдовнiсть (для якої залишимо позначення
{Sm}) така, що для всiх (t, x) iз множини повної мiри Q2 ⊂ (0, T ) × Ω маємо
Sm(t, x)→ l(t, x), m→∞.
Виберемо довiльне (t, x) ∈ Q1 ∩ Q2 i зафiксуємо довiльне n > 1 + |y(t, x)|.
Оскiльки функцiя κ напiвнеперервна знизу, правильною є властивiсть 5 i ynk
(t, x)→
→ y(t, x), то iснує nk0 > n таке, що для довiльного nk ≥ nk0 маємо
|ynk
(t, x)| < n, (16)
κ(ynk
(t, x)) ≥ κ(y(t, x))− 1
n
, f (n)(ynk
(t, x)) ≤ f (n)(y(t, x)) +
1
n
. (17)
Враховуючи (16) i властивiсть 2, переконуємося, що для довiльного nk ≥ nk0 i
k ≥ k0
f(ynk
(t, x)) ≤ f (k)(ynk
(t, x)) ≤ f (n)(ynk
(t, x)).
Звiдси i з (17) з урахуванням нерiвностi κ ≤ f на R випливає, що для довiльного
k ≥ k0
κ(y(t, x))− 1
n
≤ lk(t, x) ≤ f (n)(y(t, x)) +
1
n
.
Тодi при всiх m > k0 для опуклих комбiнацiй Sm(t, x) виконується нерiвнiсть
κ(y(t, x))− 1
n
≤ Sm(t, x) ≤ f (n)(y(t, x)) +
1
n
.
З останньої нерiвностi маємо
κ(y(t, x))− 1
n
≤ l(t, x) ≤ f (n)(y(t, x)) +
1
n
.
Звiдси, враховуючи властивiсть 4, отримуємо l(t, x) ∈
[
κ(y(t, x)), f(y(t, x))
]
, i шу-
кану властивiсть доведено.
Залишилось показати, що для будь-яких n ≥ 1 i t ∈ [0, T ] yn(t) ∈ H+. Далi
будемо вiдкидати iндекс n, вважаючи, що Fn ≡ F задовольняє (14) з константою
Лiпшиця C > 0, (Fy)(x) = f̂(y(x)), f̂ : R 7→ R — глобально лiпшицева функцiя,
що має не бiльш як лiнiйне зростання i задовольняє умову f̂(0) ≥ 0. Розгляне-
мо включення (15) на (δ, T ), δ > 0, i домножимо його скалярно в H на (−y)+.
Одержимо рiвнiсть(
dy
dt
, (−y)+
)
= −(ξ, (−y)+) + (F (y), (−y)+), де ξ ∈ ∂ϕ(y(t)).
Згiдно з результатами [2]
dy
dt
∈ L2(δ, T ;H), отже, з [10] маємо, що м. с. на (δ, T )(
dy
dt
, (−y)+
)
= −1
2
d
dt
‖(−y)+‖2.
Далi, згiдно з умовою (10) для будь-якого ξ ∈ ∂ϕ(y(t)) — (ξ, (−y)+) = (ξ, y−y+) ≥
≥ ϕ(y) − ϕ(y+) ≥ −D‖(−y)+‖2. На пiдставi властивостей 1 i 5 (F (y), (−y)+) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ПРО ДОДАТНI РОЗВ’ЯЗКИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЕВОЛЮЦIЙНИХ ВКЛЮЧЕНЬ . . . 477
= −(F (y), y−y+) = −(F (y)−F (y+), y−y+)− (F (y+), y−y+) ≥ −C‖(−y)+‖2 +
+
∫
Ω
f̂(y+(x))(−y)+(x)dx = −C‖(−y)+‖2 +
∫
Ω
f̂(0)(−y)+(x)dx ≥ −C‖(−y)+‖2.
Таким чином, на (δ, T ) маємо
d
dt
∥∥(−y)+
∥∥2 ≤ K‖(−y)+‖2,
де K = 2(C +D). Тодi для будь-якого t ∈ [δ, T ]
‖(−y(t))+‖2 ≤ ‖(−y(δ))+‖2eK(t−δ).
Оскiльки (−y)+ ∈ C([0, T ];H), то при δ → 0+ одержимо
‖(−y(t))+‖2 ≤ ‖(−y(0))+‖2eKt = 0 ∀t ∈ [0, T ],
бо y0 ∈ H+. Отже, y(t) ∈ H+ для будь-якого t ∈ [0, T ] i теорему доведено.
Зауваження. Теорема не гарантує, що всi розв’язки задачi (1) з y0 ∈ H+
мають властивiсть y(t) ∈ H+ для будь-якого t ∈ [0, T ].
Iснування глобального атрактора у класi H+.
Означення 1 [7, 8]. Нехай (X, ρ) — метричний простiр. Вiдображення G :
R+ ×X 7→ P (X) називається m-напiвпотоком, якщо
G(0, x) = x ∀x ∈ X,
G(t+ s, x) ⊆ G(t, G(s, x)) ∀x ∈ X ∀t, s ∈ R+,
де G(t, B) =
⋃
x∈B G(t, x) для непорожньої множини B в X.
G називається строгим m-напiвпотоком, якщо G(t+ s, x) = G(t, G(s, x)).
Означення 2 [8]. Компактна множинаA ⊂ X називається глобальним атрак-
тором m-напiвпотоку G, якщо:
1) A ⊆ G(t, A) ∀t ≥ 0;
2) для довiльної обмеженої множини B ⊂ X dist(G(t, B), A) → 0, t → +∞,
де dist(A,B) = supx∈A infy∈B ρ(x, y) — напiвметрика Хаусдорфа.
Глобальний атрактор A називається iнварiантним, якщо A = G(t, A) ∀t ≥ 0.
Згiдно з теоремою 1 для будь-якого y0 ∈ H+ можемо коректно означити мно-
жину
K+(y0) =
{
y(·)|y(·) — розв’язок задачi (1) на (0,+∞),
y(0) = y0, y(t) ∈ H+ ∀t ≥ 0
}
.
Розглянемо вiдображення G : R+ ×H+ 7→ P (H+):
G(t, y0) = {y(t) | y(·) ∈ K+(y0)}. (18)
Згiдно з наведеним вище зауваженням для фiксованого t > 0 G(t, y0) 6= G̃(t, y0) ∩
∩H+, де G̃(t, y0) =
{
y(t) | y(·) — розв’язок задачi (1), y(0) = y0
}
. Таким чином,
вiдомi для G̃ результати [8] не можна автоматично перенести на G.
Розглянемо наступну додаткову умову дисипативностi:
∃δ > 0, M > 0 ∀u ∈ D(∂ϕ) ∩H+, ‖u‖ > M, ∀y ∈ −∂ϕ(u) +G(u) виконується
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
478 О. В. КАПУСТЯН, Т. Б. ШКЛЯР
(y, u) ≤ −δ. (19)
Зауважимо, що умова (19) для класу функцiй ϕ(·) з (11) випливає з умови
λ1 > C +D, (20)
де константу C > 0 взято з умови (2), D — константа з умов на функцiю j(·) з
прикладу (11) i λ1 — перше власне число оператора −∆ в H0
1(Ω).
Теорема 2. За умов (3), (8) – (10), (19) формула (18) визначає строгий m-
напiвпотiк, для якого у фазовому просторi H+ iснує iнварiантний стiйкий гло-
бальний атрактор A ⊂ H+, де пiд стiйкiстю розумiється властивiсть
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀t ≥ 0: G(t, Oδ(A)) ⊂ Oε(A).
Доведення. Перевiримо умови означення m-напiвпотоку для X = H+. Оче-
видно, що для будь-якого y0 ∈ H+ G(0, y0) = y0. Нехай ξ ∈ G(t + s, y0). Тодi
ξ = y(t+s), y(·) ∈ K+(y0). Покладемо z(b) = y(b+s). Тодi z(0) = y(s) ∈ G(s, y0),
z(·) ∈ K+(z(0)), отже, ξ = y(t + s) = z(t) ∈ G(t, y(s)). Нехай ξ ∈ G(t, G(s, y0)).
Тодi ξ = y(t), y(·) ∈ K+(y(0)), y(0) = z(s) ∈ G(s, y0), z(·) ∈ K+(y0). Розглянемо
функцiю
θ(µ) =
z(µ), µ ∈ [0, s],
y(µ− s), µ ≥ s.
Тодi θ(·) ∈ K+(y0) i θ(t+ s) = ξ ∈ G(t+ s, y0). Отже, G — строгий m-напiвпотiк.
Внаслiдок мiркувань, аналогiчних викладеним у [8, с. 36] (теорема 2.3), вла-
стивiсть (19) гарантує, що для будь-яких N > M i t ≥ 0 G(t, BN ) ⊂ BN , де
BN = {u ∈ H+ | ‖u‖ ≤ N}, та для будь-якого y0 ∈ H+ dist (G(t, y0), B0) → 0,
t → +∞, де B0 = {u ∈ H+ | ‖u‖ ≤ M + ε}, ε — довiльне фiксоване додатне
число. Доведемо цей факт. Спочатку покажемо, що G(t, BN ) ⊂ BN для довiльних
N > M i t ≥ 0. Вiд супротивного, нехай N > M, y0 ∈ BN , y(·) ∈ K+(y0) такi,
що для деякого t > 0 y(t) 6∈ BN , тобто ‖y(t)‖ > N. Оскiльки y(·) неперервна,
то iснує t0 > 0 таке, що ‖y(t0)‖ = N, ‖y(τ)‖ > N ∀τ ∈ (t0, t]. Позаяк y(·) —
єдиний сильний розв’язок задачi (4), де f(·) — селектор, що вiдповiдає y(·), то з [2,
c. 188, 189] маємо, що
dy
dt
∈ L2(s, T ;H) для будь-яких T > s > 0. Звiдси випливає
рiвнiсть
1
2
d
dt
‖y(t)‖2 =
(
dy(t)
dt
, y(t)
)
для м. в. t > 0. Далi, використовуючи умову
дисипативностi (19), отримуємо нерiвнiсть
1
2
d
dt
‖y(t)‖2 ≤ −δ для м. в. τ ∈ [t0, t].
Тому ‖y(t)‖2 ≤ ‖y(t0)‖2 − 2δ(t− t0), що суперечить нерiвностi ‖y(t)‖ > N.
Покажемо, що для будь-якого y ∈ H+ iснує t0 = t0(y) таке, що G(t0, y) ⊂ B0.
Припустимо обернене. В цьому випадку iз властивостi G(t, B0) ⊂ B0 випливає,
що iснує y0 6∈ B0 таке, що G(t, y0) 6⊂ B0 ∀t ≥ 0. Тодi, враховуючи умову (19), вста-
новлюємо, що для всiх t0 ≥ 0 iснує y(·) ∈ K+(y0) таке, що y(τ) 6∈ B0 ∀τ ∈ [0, t0].
Вiзьмемо t0 >
‖y0‖2 − (M + ε)2
2δ
. Використовуючи умову дисипативностi (19), от-
римуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
ПРО ДОДАТНI РОЗВ’ЯЗКИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЕВОЛЮЦIЙНИХ ВКЛЮЧЕНЬ . . . 479
‖y(t0)‖2 ≤ ‖y0‖2 − 2δt0 < (M + ε)2,
що приводить до суперечностi. Тодi для будь-якого t > t0 G(t, y) = G(t − t0 +
+ t0, y) = G(t− t0, G(t0, y)) ⊂ G(t− t0, B0) ⊂ B0. Тому для всiх y0 ∈ H+ маємо
dist (G(t, y0), B0)→ 0, t→ +∞.
Теорему буде доведено, якщо показати виконання наступних властивостей [7, 8]:
а) m-напiвпотiк G асимптотично напiвкомпактний зверху, тобто для будь-яких
r > 0, tn ↗∞ i ξn ∈ G(tn, Br) послiдовнiсть {ξn} є передкомпактною;
б)m-напiвпотiкG має компактний графiк, тобто для будь-яких tn → t0, ηn → η0
i ξn ∈ G(tn, ηn) принаймнi по пiдпослiдовностi ξn → ξ0 ∈ G(t0, η0).
Властивiсть а) випливає з вкладення
ξn ∈ G(tn, Br) = G(tn − 1 + 1, Br) ⊂ G(1, G(tn − 1, Br)) ⊂ G(1, BR) ⊂ G̃(1, BR),
що справедливе для деякогоR > 0 i достатньо великих n ≥ 1, та передкомпактностi
множини G̃(1, BR) [8, с. 36] (теорема 2.3). Доведемо властивiсть б). Нехай tn →
→ t0, ηn → η0 iξn ∈ G(tn, ηn) для всiх n. Тодi ξn = yn(tn), yn(·) ∈ K+(ηn),
yn(·) = I(ηn)fn(·), де fn(·) — селектор, що вiдповiдає yn(·). Розглянемо функцiю
zn(·) = I(η0)fn(·). Використовуючи функцiю z(·) = I(η0)0, як i в теоремi 1, для
T > t0 маємо
max
t∈[0,T ]
‖zn(t)‖ ≤ C3, ‖fn(t)‖ ≤ C4 м. с.
Тодi за лемою 1 по пiдпослiдовностi zn(·) → y(·) в C([0, T ];H), fn
w→ f в
L1(0, T ;H), де y(·) = I(η0)f(·). З нерiвностi (7) маємо
max
[0,T ]
‖yn(t)− zn(t)‖ ≤ ‖yn(0)− zn(0)‖ = ‖ηn − η0‖.
Звiдси yn(·) − zn(·) → 0 в C([0, T ];H). Таким чином, принаймнi по пiдпослiдов-
ностi yn(·) → y(·) в C([0, T ];H), зокрема ξn = yn(tn) → y(t0) в H i y(t) ∈ H+
∀t ∈ [0, T ]. Для доведення теореми залишилось показати, що f(t) ∈ G(y(t)) м. с.
на [0, T ]. З [3] (твердження 1.1) маємо, що для м. в. t ∈ [0, T ]
f(t) ∈
∞⋂
n=1
co
∞⋃
k=n
fk(t). (21)
Зафiксуємо t ∈ [0, T ]. Тодi з напiвнеперервностi зверху вiдображення G у точцi
y(t) маємо
∀ε > 0 ∃N ≥ 1 ∀n ≥ N : fn(t) ∈ G(yn(t)) ⊂ Oε(G(y(t))). (22)
Враховуючи, що множина G(y(t)) є опуклою i замкненою, з (21) i (22) отримуємо,
що f(t) належить G(y(t)).
Теорему доведено.
1. Brezis H. Operateurs maximaux monotones et contractions dans les espaces de Hilbert. – Amsterdam:
North Holland, 1973. – 183 p.
2. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces. – Leyden: Noordhoff, 1974.
– 351 p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
480 О. В. КАПУСТЯН, Т. Б. ШКЛЯР
3. Толстоногов А. А. О решениях эволюционных включений. I // Сиб. мат. журн. – 1992. – 33, № 3.
– C. 161 – 174.
4. Толстоногов А. А., Уманский Я. И. О решениях эволюционных включений. II // Там же. – № 4. –
C. 163 – 174.
5. Згуровський М. З., Касьянов П. О., Мельник В. С. Дифференциально-операторные включения и
вариационные неравенства в бесконечномерных пространствах. – Киев: Наук. думка, 2008. – 459 с.
6. Chepyzhov V. V., Vishik M. I. Attractors for equations of mathematical physics. – Rhode Island: Amer.
Math. Soc., 2002. – 49. – 324 p.
7. Kapustyan A. V., Valero J. On the connectedness and asymptotic behaviour of solutions of reaction-
diffusion systems // J. Math. Anal. and Appl. – 2006. – 323. – P. 614 – 633.
8. Valero J., Kapustyan A. V. Attractors of multivalued semiflows generated by differential inclusions and
their approximations // Abstract and Appl. Anal. – 2000. – № 5. – P. 33 – 46.
9. Aubin J. P., Frankowska H. Set-valued analysis. – Boston: Birkhäuser, 1990. – 410 p.
10. Chipot M. Elements of nonlinear analysis // Birkhäuser Adv. Texts: Basel Textbooks. – Basel: Birkhäuser
Verlag, 2000. – 272 p.
Одержано 02.02.10,
пiсля доопрацювання — 01.03.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2733 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:14Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4e/616c6904177657b0c6e3789f2427f04e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27332020-03-18T19:34:55Z On positive solutions of one class of evolutionary inclusions of the subdifferential type Про додатні розв'язки для одного класу еволюційних включень субдиференціального типу Kapustyan, O. V. Shklyar, T. B. Капустян, О. В. Шкляр, Т. Б. Sufficient conditions of the existence of a nonnegative solution are obtained for an evolution inclusion of subdifferential type with multivalued non-Lipschitz perturbation. Under the additional condition of dissipativity, the existence of the global attractor in the class of nonnegative functions is proved. Получены достаточные условия существования неотрицательного решения для эволюционного включе- ния субдифференциального типа с многозначным нелипшицевым возмущением. При дополнительном условии диссипативности доказано существование глобального аттрактора в классе неотрицательных функций. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2733 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 4 (2011); 472-480 Український математичний журнал; Том 63 № 4 (2011); 472-480 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2733/2222 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2733/2223 Copyright (c) 2011 Kapustyan O. V.; Shklyar T. B. |
| spellingShingle | Kapustyan, O. V. Shklyar, T. B. Капустян, О. В. Шкляр, Т. Б. On positive solutions of one class of evolutionary inclusions of the subdifferential type |
| title | On positive solutions of one class of evolutionary inclusions of the subdifferential type |
| title_alt | Про додатні розв'язки для одного класу еволюційних включень субдиференціального типу |
| title_full | On positive solutions of one class of evolutionary inclusions of the subdifferential type |
| title_fullStr | On positive solutions of one class of evolutionary inclusions of the subdifferential type |
| title_full_unstemmed | On positive solutions of one class of evolutionary inclusions of the subdifferential type |
| title_short | On positive solutions of one class of evolutionary inclusions of the subdifferential type |
| title_sort | on positive solutions of one class of evolutionary inclusions of the subdifferential type |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2733 |
| work_keys_str_mv | AT kapustyanov onpositivesolutionsofoneclassofevolutionaryinclusionsofthesubdifferentialtype AT shklyartb onpositivesolutionsofoneclassofevolutionaryinclusionsofthesubdifferentialtype AT kapustânov onpositivesolutionsofoneclassofevolutionaryinclusionsofthesubdifferentialtype AT šklârtb onpositivesolutionsofoneclassofevolutionaryinclusionsofthesubdifferentialtype AT kapustyanov prododatnírozv039âzkidlâodnogoklasuevolûcíjnihvklûčenʹsubdiferencíalʹnogotipu AT shklyartb prododatnírozv039âzkidlâodnogoklasuevolûcíjnihvklûčenʹsubdiferencíalʹnogotipu AT kapustânov prododatnírozv039âzkidlâodnogoklasuevolûcíjnihvklûčenʹsubdiferencíalʹnogotipu AT šklârtb prododatnírozv039âzkidlâodnogoklasuevolûcíjnihvklûčenʹsubdiferencíalʹnogotipu |