Asymptotic behavior of generalized quasiisometries at a point
We consider $Q$-homeomorphisms with respect to the $p$-modulus. An estimate for a measure of a ball image is obtained under such mappings and the asymptotic behavior at zero is investigated.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2011
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2734 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508691960168448 |
|---|---|
| author | Kovtonyuk, D. A. Salimov, R. R. Ковтонюк, Д. А. Салимов, Р. Р. Ковтонюк, Д. А. Салимов, Р. Р. |
| author_facet | Kovtonyuk, D. A. Salimov, R. R. Ковтонюк, Д. А. Салимов, Р. Р. Ковтонюк, Д. А. Салимов, Р. Р. |
| author_sort | Kovtonyuk, D. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:34:55Z |
| description | We consider $Q$-homeomorphisms with respect to the $p$-modulus. An estimate for a measure of a ball image is
obtained under such mappings and the asymptotic behavior at zero is investigated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:29:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Д. А. Ковтонюк, Р. Р. Салимов (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ТОЧКЕ
ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ
We consider Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus. An estimate for a measure of a ball image is
obtained under such mappings and the asymptotic behavior at zero is investigated.
Розглядаються Q-гомеоморфiзми вiдносно p-модуля. Отримано оцiнку мiри образу кулi при таких
вiдображеннях i дослiджено асимптотичну поведiнку в нулi.
1. Введение. Напомним некоторые определения. Борелева функция % : Rn → [0,∞]
называется допустимой для семейства кривых Γ в Rn (пишут % ∈ adm Γ), если∫
γ
%(x) ds > 1 (1)
для всех γ ∈ Γ. Пусть p > 1, тогда p-модулем семейства кривых Γ называется
величина
Mp(Γ) = inf
%∈adm Γ
∫
Rn
%p(x) dm(x). (2)
Здесь m обозначает меру Лебега в Rn. В дальнейшем полагаем M(Γ) = Mn(Γ).
Свойства p-модуля, определенного соотношением (2), в некоторой мере анало-
гичны свойствам меры Лебега m в Rn, а именно:
1) p-модуль пустого семейства кривых равен нулю:
Mp(∅) = 0;
2) p-модуль имеет свойство монотонности относительно семейств кривых:
Γ1 ⊂ Γ2 ⇒Mp(Γ1) ≤Mp(Γ2);
3) p-модуль имеет свойство полуаддитивности:
Mp
( ∞⋃
i=1
Γi
)
6
∞∑
i=1
Mp(Γi)
(см. теорему 6.2 в разд. 6 гл. I [1]). Заметим также, что если Γ∞ — некоторое
семейство, состоящее из неспрямляемых кривых, то Mp(Γ∞) = 0 (см. разд. 6
гл. I в [1, с. 18]). Упомянем еще об одном свойстве модуля. Говорят, что семейство
кривых Γ1 минорируется семейством Γ2 (пишем Γ1 > Γ2), если для каждой кривой
γ ∈ Γ1 существует подкривая, которая принадлежит семейству Γ2. Известно, что
если Γ1 > Γ2, то Mp(Γ1) < Mp(Γ2) (см. [1]).
Известно (см., например, разд. 13 гл. II в [1]), что в основу геометрического
определения квазиконформных отображений, заданных в области G из Rn, n > 2,
положено условие
M(fΓ) 6 KM(Γ) (3)
c© Д. А. КОВТОНЮК, Р. Р. САЛИМОВ, 2011
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4 481
482 Д. А. КОВТОНЮК, Р. Р. САЛИМОВ
для произвольного семейства Γ кривых γ в области G, где M(·) — (конформный)
модуль семейства кривых, определенный при p = n.Другими словами, стандартное
определение квазиконформности сводится к тому, что n-модуль любого семейства
кривых искажается не более чем в K раз. Отметим, что выражение „конформный
модуль” употребляется в случае p-модуля, определенного в (2), при p = n. Упомя-
нутое выше словосочетание вполне оправдано тем, что для любого конформного
отображения g : G → Rn, заданного в области G ⊂ Rn, и для произвольного се-
мейства кривых Γ, лежащего в области G, выполнено равенство M(gΓ) = M(Γ)
(см., например, теорему 8.1 гл. I в [1]). Отметим, что при p 6= n даже линейные
отображения fk(x) = kx, k 6= 0, не сохраняют модуль семейств кривых, а именно,
Mp (fkΓ) = kn−pMp(Γ) (см. теорему 8.2 там же). Предположим, что 1 < p 6= n и
Mp(fΓ) ≤ KMp(Γ) (4)
для произвольного семейства Γ кривых γ в области G. При дополнительном пред-
положении, что f в (4) является гомеоморфизмом, Ф. Герингом установлено, что
отображение f является локально квазиизометричным. Другими словами, при не-
которой постоянной C > 0 и всех x0 ∈ G справедлива оценка
lim sup
x→x0
|f(x)− f(x0)|
|x− x0|
6 C
(см., например, теорему 2 в [2]). Целью данной работы является исследование на
основе используемой нами техники аналога следующего результата из работы [3]
для более общих классов.
Предположим, что f : B3 → B3 — K-квазиконформное отображение такое,
что f(0) = 0. Тогда
lim inf
x→0
|f(x)|
|x|α
6 1,
где α — постоянная, зависящая только от коэффициента квазиконформности K.
Пусть для отображения f : G → Rn, имеющего в G частные производные
почти всюду, f ′(x) — якобиева матрица отображения f в точке x, ‖f ′(x)‖ =
= maxh∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h|
. Внешняя дилатация отображения f в точке x есть вели-
чина
KO(x, f) =
‖f ′(x)‖n
|J(x, f)|
,
если якобиан J(x, f) := det f ′(x) 6= 0, KO(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KO(x, f) =
= ∞ в остальных точках. Внутренняя дилатация отображения f в точке x есть
величина
KI(x, f) =
|J(x, f)|
l (f ′(x))
n ,
если якобиан J(x, f) 6= 0, KI(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KI(x, f) = ∞ в
остальных точках. В формуле выше, как обычно,
l (f ′(x)) = min
h∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h|
.
Всюду далееB(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| < r} ,Bn = B(0, 1) , Br = B(0, r),
ωn−1 — площадь единичной сферы Sn−1 в Rn, Ωn — объем единичного шара Bn в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ТОЧКЕ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ 483
Rn, nΩn = ωn−1. Пусть G — область в Rn, n ≥ 2, и Q : G → [0,∞] — измеримая
функция. Тогда qx0
(r) =
1
ωn−1rn−1
∫
|x−x0|=r
Q(x)dA означает среднее интеграль-
ное значение над сферой S(x0, r) =
{
x ∈ Rn : |x − x0| = r
}
, где dA — элемент
площади поверхности. В дальнейшем при x0 = 0 полагаем q(t) = qx0
(t). Запись
m(A) означает меру Лебега множества A в Rn.
Следуя работе [4], пару E = (A,C), где A ⊂ Rn — открытое множество и C
— непустое компактное множество, содержащееся в A, называем конденсатором.
Конденсатор E называем кольцевым конденсатором, если B = A \ C — кольцо,
т. е. если B — область, дополнение которой Rn \ B состоит в точности из двух
компонент. Конденсатор E называем ограниченным конденсатором, если множе-
ство A является ограниченным. Говорят, что конденсатор E = (A,C) лежит в
области G, если A ⊂ G. Очевидно, что если f : G→ Rn — открытое отображение
и E = (A,C) — конденсатор в G, то (fA, fC) также конденсатор в fG. Далее
fE = (fA, fC).
Пусть E = (A,C) — конденсатор, W0(E) = W0(A,C) — семейство неотрица-
тельных функций u : A → R1 таких, что: 1) u ∈ C0(A), 2) u(x) > 1 для x ∈ C
и 3) u принадлежит классу ACL, и пусть
|∇u| =
(
n∑
i=1
(∂iu)
2
)1/2
. (5)
При p > 1 величину
cappE = capp (A,C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|p dm (6)
называют p-емкостью конденсатора E. В дальнейшем при p > 1 будем использо-
вать равенство
cappE = Mp(∆(∂A, ∂C;A \ C)), (7)
где для множеств S1, S2 и S3 в Rn, n > 2, ∆(S1,S2;S3) обозначает семейство всех
непрерывных кривых, соединяющих S1 и S2 в S3 [5 – 7].
Известно, что при p > 1
cappE >
(inf mn−1 σ)
p
[m(A \ C)]
p−1 , (8)
где mn−1 σ — (n − 1)-мерная мера Лебега C∞-многообразия σ, которое является
границей σ = ∂U ограниченного открытого множества U, содержащего C и содер-
жащегося вместе со своим замыканием U в A, а точная нижняя грань берется по
всем таким σ (см. предложение 5 из [8]).
Пусть G — область в Rn, n > 2, и Q : G → [0,∞] — измеримая функция.
Гомеоморфизм f : G → Rn будем называть Q-гомеоморфизмом относительно p-
модуля, если
Mp(fΓ) 6
∫
G
Q(x)%p(x) dm(x) (9)
для любого семейства Γ путей в G и любой допустимой функции % для Γ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
484 Д. А. КОВТОНЮК, Р. Р. САЛИМОВ
Определение Q-гомеоморфизма относительно p-модуля впервые встречается в
работе [9]. Такие отображения являются естественным обобщением квазиконформ-
ных и локально квазиизометрических отображений. Заметим, что если Q(x) 6 K
почти всюду при p = n, отображение f является K-квазиконформным (см., напри-
мер, [1]) и локально K-квазиизометричным в случае 1 < p 6= n [2]. Целью теории
Q-гомеоморфизмов является установление взаимосвязей между различными свой-
ствами мажоранты Q и самого отображения f. Неравенство вида (9) при p = n
установлено В. Я. Гутлянским в работе [10] совместно с К. Бишопом, О. Мартио
и М. Вуориненом для квазиконформных отображений, где Q было равно KI(x, f).
Последнее обстоятельство, собственно, и положило начало рассмотрению классов
отображений, удовлетворяющих упомянутому выше соотношению. Отметим так-
же, что неравенство вида (9) при p = n было установлено Ю. Ф. Струговым в
работе [11] для так называемых отображений, квазиконформных в среднем. При
p = n проблема локального поведения Q-гомеоморфизмов изучалась в Rn в случае
Q ∈ BMO (ограниченного среднего колебания), в случае Q ∈ FMO (конечного
среднего колебания) и в других случаях (см. монографию [12]).
2. Искажение объема. В этом пункте получена оценка меры образа шара при
Q-гомеоморфизмах относительно p-модуля. Впервые оценка площади образа круга
при квазиконформных отображениях встречается в работе М. А. Лаврентьева [13].
Лемма. Пусть n > 2, f : Bn → Bn — Q-гомеоморфизм относительно p-
модуля с Q(x) ∈ L1
loc(Bn). Тогда при 1 < p < n имеет место оценка
m(fBr) 6 Ωn
1 +
n− p
p− 1
1∫
r
dt
t(n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t)
n(p−1)/(p−n)
, (10)
а при p = n —
m(fBr) 6 Ωn exp
−n
1∫
r
dt
tq1/(n−1)(t)
. (11)
Доказательство. Рассмотрим сферическое кольцо Rt = {x ∈ Bn : t < |x| <
< t+4t}. Пусть (At+4t, Ct) — конденсатор, где Ct = Bt, At+4t = Bt+4t. Тогда
(fAt+4t, fCt) — кольцевой конденсатор в Rn, и согласно (7) имеем
capp(fAt+4t, fCt) = Mp(4(∂fAt+4t, ∂fCt; fRt)). (12)
В силу неравенства (8) получим
capp (fAt+4t, fCt) >
(inf mn−1 σ)
p
m (fAt+∆t \ fCt)p−1 , (13)
где mn−1 σ – (n − 1)-мерная мера Лебега C∞-многообразия σ, которое является
границей σ = ∂U ограниченного открытого множества U, содержащего fCt и
содержащегося вместе со своим замыканием U в fAt+4t, а точная нижняя грань
берется по всем таким σ.
С другой стороны, в силу определения Q-гомеоморфизма относительно p-
модуля имеем
capp (fAt+4t, fCt) 6
∫
Rt
Q(x)%p(x) dm(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ТОЧКЕ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ 485
Заметим, что функция %(x) =
(
|x| ln t+ ∆t
t
)−1
χRt(x), где χRt(x) — ха-
рактеристическая функция множества Rt, является допустимой для семейства
4(∂At+4t, ∂Ct;Rt), и поэтому
capp (fAt+4t, fCt) 6
1(
ln
t+ ∆t
t
)p ∫
Rt
Q(x)
|x|p
dm(x). (14)
Комбинируя неравенства (13) и (14), получаем
(inf mn−1 σ)
p
m (fAt+∆t \ fCt)p−1 6
1(
ln
t+ ∆t
t
)p ∫
Rt
Q(x)
|x|p
dm(x).
Заметим, что по теореме Фубини имеем
∫
Rt
Q(x)
|x|p
dm(x) =
t+∆t∫
t
dt
tp
∫
St
Q(x) dA = ωn−1
t+∆t∫
t
tn−p−1q(t) dt
и, таким образом,
inf mn−1 σ 6 ω
1/p
n−1
[m (fAt+∆t \ fCt)](p−1)/p
ln
t+ ∆t
t
t+∆t∫
t
tn−p−1q(t) dt
1/p
.
Далее, воспользовавшись изопериметрическим неравенством
inf mn−1 σ > nΩ1/n
n (m(fCt))
(n−1)/n
,
получим
(m(fCt))
(n−1)/n 6
6 ω
1/p
n−1
[m (fAt+∆t \ fCt)](p−1)/p
ln
t+ ∆t
t
t+∆t∫
t
tn−p−1q(t) dt
1/p
. (15)
Определим функцию Φ(t) для данного гомеоморфизма f следующим образом:
Φ(t) := m (fBt) . Тогда из соотношения (15) следует, что
nΩ1/n
n Φ(n−1)/n(t) 6
6 ω
1/p
n−1
[
Φ(t+ ∆t)− Φ(t)
∆t
](p−1)/p
ln(t+ ∆t)− ln t
∆t
1
∆t
t+∆t∫
t
tn−p−1q(t) dt
1/p
. (16)
Далее, устремляя в неравенстве (16) ∆t к нулю и учитывая монотонное возра-
стание функции Φ по t ∈ (0, 1), для почти всех t имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
486 Д. А. КОВТОНЮК, Р. Р. САЛИМОВ
nΩ
(p−n)/n(p−1)
n
t(n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t)
6
Φ′(t)
Φp(n−1)/n(p−1)(t)
. (17)
Рассмотрим неравенство (17) при 1 < p < n. Интегрируя обе части неравенства
по t ∈ [r, 1] и учитывая, что (см., например, теорему 7.4 гл. IV в [14])
1∫
r
Φ′(t)
Φp(n−1)/n(p−1)(t)
dt 6
n(p− 1)
p− n
(
Φ(p−n)/n(p−1)(1)− Φ(p−n)/n(p−1)(r)
)
,
находим
1∫
r
dt
t(n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t)
6
6
1
Ω
(p−n)/n(p−1)
n
p− 1
p− n
(
Φ(p−n)/n(p−1)(1)− Φ(p−n)/n(p−1)(r)
)
. (18)
Из неравенства (18) получаем
Φ(r) 6
(
Φ(p−n)/n(p−1)(1)+
+Ω(p−n)/n(p−1)
n
n− p
p− 1
1∫
r
dt
t(n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t)
)n(p−1)/(p−n)
.
Наконец, обозначая в последнем неравенстве Φ(r) = m(fBr) и учитывая, что
m(fBn) ≤ Ωn, имеем оценку
m(fBr) 6 Ωn
1 +
n− p
p− 1
1∫
r
dt
t(n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t)
n(p−1)/(p−n)
.
Неравенство (10) доказано.
Осталось рассмотреть случай p = n. В этом случае неравенство (17) примет
вид
n
tq1/(n−1)(t)
6
Φ′(t)
Φ(t)
. (19)
Интегрируя обе части неравенства (19) по t ∈ [r, 1] и учитывая, что (см., например,
теорему 7.4 гл. IV в [14])
1∫
r
Φ′(t)
Φ(t)
dt 6 ln
Φ(1)
Φ(r)
,
получаем
n
1∫
r
dt
tq1/(n−1)(t)
6 ln
Φ(1)
Φ(r)
.
Следовательно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ТОЧКЕ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ 487
exp
n
1∫
r
dt
tq1/(n−1)(t)
6
Φ(1)
Φ(r)
,
а потому
Φ(r) 6 Φ(1) exp
−n
1∫
r
dt
tq1/(n−1)(t)
.
Наконец, обозначая в последнем неравенстве Φ(r) = m(fBr), имеем
m(fBr) 6 Ωn exp
−n
1∫
r
dt
tq1/(n−1)(t)
.
Неравенство (11) доказано, что и завершает доказательство леммы.
3. Поведение в точке. Лемма, приведенная в предыдущем пункте, позволя-
ет также описать асимптотическое поведение Q-гомеоморфизмов относительно
p-модуля в нуле.
Предложение. Пусть f : Bn → Bn, n > 2, — гомеоморфизм, f(0) = 0. Тогда
если
m(fBr) 6 ΩnR
n(r), (20)
то
lim inf
x→0
|f(x)|
R(|x|)
6 1. (21)
Доказательство. Положим min|x|=r |f(x)| = lf (r). Тогда, учитывая, что f(0) =
= 0, получаем Ωn l
n
f (r) 6 m(fBr) и, следовательно,
lf (r) 6
(
m(fBr)
Ωn
)1/n
. (22)
Таким образом, учитывая неравенства (22) и (20), имеем
lim inf
x→0
|f(x)|
R(|x|)
= lim inf
r→0
lf (r)
R(r)
6 lim inf
r→0
(
m(fBr)
Ωn
)1/n
1
R(r)
6 1.
Предложение доказано.
Комбинируя лемму и предложение с функцией
R(r) =
1 +
n− p
p− 1
1∫
r
dt
t(−n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t)
(p−1)/(n−p)
при 1 < p < n иR(r) = exp
{
−
∫ 1
r
dt
tq1/(n−1)(t)
}
при p = n, получаем следующий
результат.
Теорема. Пусть f : Bn → Bn, n > 2, — Q-гомеоморфизм относительно
p-модуля с Q ∈ L1
loc(Bn), f(0) = 0. Тогда при 1 < p < n имеет место оценка
lim inf
x→0
|f(x)|
1 +
n− p
p− 1
1∫
|x|
dt
t(n−1)/(p−1) q1/(p−1)(t)
(p−1)/(n−p)
6 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
488 Д. А. КОВТОНЮК, Р. Р. САЛИМОВ
а при p = n —
lim inf
x→0
|f(x)| exp
1∫
|x|
dt
tq1/(n−1)(t)
6 1.
Авторы выражают благодарность профессору Гутлянскому В. Я. за постановку
задачи об оценке меры образа шара, восходящей к Лаврентьеву М. А. в классе
квазиконформных отображений на комплексной плоскости.
1. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 229. –
229 p.
2. Gehring F. W. Lipschitz mappings and the p-capacity of ring in n-space // Adv. Theory Riemann
Surfaces (Proc. Conf. Stonybrook, New York, 1969). Ann. Math. Stud. – 1971. – 66. – P. 175 — 193.
3. Ikoma K. On the distortion and correspondence under quasiconformal mappings in space // Nagoya
Math. J. – 1965. – 25. – P. 175 – 203.
4. Martio O., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.
A1. Math. – 1969. – 448. – P. 1 – 40.
5. Gehring F. W. Quasiconformal mappings in complex analysis and its applications. – Vienna: Int. Atomic
Energy Agency, 1976.
6. Hesse J. A p-extremal length and p-capacity equality // Arch. mat. – 1975. – 13. – P. 131 – 144.
7. Shlyk V. A. On the equality between p-capacity and p-modulus // Sib. Mat. Zh. – 1993. – 34, № 6. –
S. 216 – 221.
8. Кругликов В. И. Емкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные в
среднем // Мат. сб. – 1986. – 130, № 2. – C. 185 – 206.
9. Golberg A. Differential properties of (α,Q)-homeomorphisms // Further Progress in Analysis. – World
Sci. Publ., 2009. – P. 218 – 228.
10. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J.
Math. and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
11. Стругов Ю. Ф. Компактность классов отображений, квазиконформных в среднем // Докл. АН
СССР. – 1978. – 243, № 4. – С. 859 – 861.
12. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer,
2009. – 367 p.
13. Лаврентьев М. А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического
типа. – М.: Наука, 1962. – 136 с.
14. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949.
Получено 01.11.10
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2011, т. 63, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2734 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:29:14Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/33/4ae7a0ed18efa7e0d1a6a38bc35e9d33.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-27342020-03-18T19:34:55Z Asymptotic behavior of generalized quasiisometries at a point Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий Kovtonyuk, D. A. Salimov, R. R. Ковтонюк, Д. А. Салимов, Р. Р. Ковтонюк, Д. А. Салимов, Р. Р. We consider $Q$-homeomorphisms with respect to the $p$-modulus. An estimate for a measure of a ball image is obtained under such mappings and the asymptotic behavior at zero is investigated. Розглядаються $Q$-гомеоморфiзми вiдносно $p$-модуля. Отримано оцiнку мiри образу кулi при таких вiдображеннях i дослiджено асимптотичну поведiнку в в нулi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2011-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2734 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 63 No. 4 (2011); 481-488 Український математичний журнал; Том 63 № 4 (2011); 481-488 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2734/2224 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2734/2225 Copyright (c) 2011 Kovtonyuk D. A.; Salimov R. R. |
| spellingShingle | Kovtonyuk, D. A. Salimov, R. R. Ковтонюк, Д. А. Салимов, Р. Р. Ковтонюк, Д. А. Салимов, Р. Р. Asymptotic behavior of generalized quasiisometries at a point |
| title | Asymptotic behavior of generalized quasiisometries at a point |
| title_alt | Асимптотическое поведение в точке обобщенных квазиизометрий |
| title_full | Asymptotic behavior of generalized quasiisometries at a point |
| title_fullStr | Asymptotic behavior of generalized quasiisometries at a point |
| title_full_unstemmed | Asymptotic behavior of generalized quasiisometries at a point |
| title_short | Asymptotic behavior of generalized quasiisometries at a point |
| title_sort | asymptotic behavior of generalized quasiisometries at a point |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2734 |
| work_keys_str_mv | AT kovtonyukda asymptoticbehaviorofgeneralizedquasiisometriesatapoint AT salimovrr asymptoticbehaviorofgeneralizedquasiisometriesatapoint AT kovtonûkda asymptoticbehaviorofgeneralizedquasiisometriesatapoint AT salimovrr asymptoticbehaviorofgeneralizedquasiisometriesatapoint AT kovtonûkda asymptoticbehaviorofgeneralizedquasiisometriesatapoint AT salimovrr asymptoticbehaviorofgeneralizedquasiisometriesatapoint AT kovtonyukda asimptotičeskoepovedenievtočkeobobŝennyhkvaziizometrij AT salimovrr asimptotičeskoepovedenievtočkeobobŝennyhkvaziizometrij AT kovtonûkda asimptotičeskoepovedenievtočkeobobŝennyhkvaziizometrij AT salimovrr asimptotičeskoepovedenievtočkeobobŝennyhkvaziizometrij AT kovtonûkda asimptotičeskoepovedenievtočkeobobŝennyhkvaziizometrij AT salimovrr asimptotičeskoepovedenievtočkeobobŝennyhkvaziizometrij |